Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman
variable sa ilalim ng module sign.
Kung sa pagsusulit ay nakatagpo ka ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa isang module, maaari mo itong lutasin,
nang hindi alam ang anumang espesyal na pamamaraan at ginagamit lamang ang kahulugan ng module. katotohanan,
maaari itong tumagal ng isang oras at kalahati ng mahalagang oras ng pagsusulit.
Samakatuwid, nais naming sabihin sa iyo ang tungkol sa mga pamamaraan na nagpapasimple sa solusyon ng mga naturang problema.
Una sa lahat, tandaan natin ito
Isaalang-alang ang iba't ibang uri mga equation na may modulus. (Higit pa sa hindi pagkakapantay-pantay mamaya.)
Kaliwang module, kanang numero
Ito ang pinakasimpleng kaso. Solusyonan natin ang equation
Mayroon lamang dalawang numero na ang modulus ay apat. Ito ay 4 at -4. Samakatuwid, ang equation
ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang simple:
Ang pangalawang equation ay walang mga solusyon. Mga solusyon sa una: x = 0 at x = 5.
Sagot: 0; 5.
Variable sa ilalim ng module at sa labas ng module
Dito kailangan mong palawakin ang module ayon sa kahulugan. . . o isipin!
Ang equation ay nahahati sa dalawang kaso, depende sa tanda ng expression sa ilalim ng modulus.
Sa madaling salita, ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:
Solusyon ng unang sistema: . Ang pangalawang sistema ay walang solusyon.
Sagot: 1.
Unang kaso: x ≥ 3. Alisin ang module:
Ang bilang , bilang negatibo, ay hindi nakakatugon sa kundisyon x ≥ 3 at samakatuwid ay hindi ang ugat ng orihinal na equation.
Alamin natin kung ang numero ay nakakatugon sa kundisyong ito. Upang gawin ito, gumawa kami ng pagkakaiba at tinutukoy ang tanda nito:
Kaya, higit sa tatlo at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation
Pangalawang kaso: x< 3. Снимаем модуль:
Numero . ay mas malaki kaysa sa , at samakatuwid ay hindi nakakatugon sa kundisyon x< 3. Проверим :
Ibig sabihin, . ay ang ugat ng orihinal na equation.
Alisin ang module ayon sa kahulugan? Nakakatakot man lang isipin, dahil hindi perpektong parisukat ang discriminant. Mas mabuting gamitin natin ang sumusunod na pagsasaalang-alang: isang equation ng anyong |A| = B ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:
Pareho, ngunit bahagyang naiiba:
Sa madaling salita, nilulutas namin ang dalawang equation, A = B at A = −B, at pagkatapos ay piliin ang mga ugat na nakakatugon sa kundisyon B ≥ 0.
Magsimula na tayo. Una, lutasin natin ang unang equation:
Pagkatapos ay malulutas namin ang pangalawang equation:
Ngayon sa bawat kaso sinusuri namin ang tanda ng kanang bahagi:
Samakatuwid, lamang at angkop.
Quadratic equation na may |x| = t
Lutasin natin ang equation:
Dahil , maginhawang gawin ang pagbabago |x| = t. Nakukuha namin:
Sagot: ±1.
Ang modulus ay katumbas ng modulo
Pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga equation ng anyong |A| = |B|. Ito ay isang regalo ng kapalaran. Walang pagpapalawak ng module ayon sa kahulugan! Ito ay simple:
Halimbawa, isaalang-alang ang equation: . Ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:
Ito ay nananatiling lutasin ang bawat isa sa mga equation ng populasyon at isulat ang sagot.
Dalawa o higit pang mga module
Lutasin natin ang equation:
Hindi namin aabalahin ang bawat module nang hiwalay at buksan ito sa pamamagitan ng kahulugan - magkakaroon ng masyadong maraming mga pagpipilian. Mayroong mas makatwirang paraan - ang paraan ng mga pagitan.
Ang mga expression sa ilalim ng mga module ay nawawala sa mga puntong x = 1, x = 2 at x = 3. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa apat na pagitan (mga pagitan). Minarkahan namin ang mga puntong ito sa linya ng numero at inilalagay ang mga palatandaan para sa bawat isa sa mga expression sa ilalim ng mga module sa mga agwat na nakuha. (Ang pagkakasunud-sunod ng mga palatandaan ay kapareho ng pagkakasunud-sunod ng kaukulang mga module sa equation.)
Kaya, kailangan nating isaalang-alang ang apat na kaso - kapag ang x ay nasa bawat isa sa mga pagitan.
Case 1: x ≥ 3. Ang lahat ng mga module ay tinanggal "na may plus":
Ang resultang halaga x = 5 ay nakakatugon sa kundisyon x ≥ 3 at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation.
Case 2: 2 ≤ x ≤ 3. Ang huling module ay tinanggal na ngayon "na may minus":
Ang nakuhang halaga ng x ay angkop din - kabilang ito sa itinuturing na pagitan.
Case 3: 1 ≤ x ≤ 2. Ang pangalawa at pangatlong module ay tinanggal "na may minus":
Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero para sa anumang x mula sa isinasaalang-alang na pagitan, nagsisilbi silang mga solusyon sa equation na ito.
Case 4: x ≤ 1 ≤ 1. Ang pangalawa at pangatlong module ay tinanggal "na may minus":
Walang bago. Alam na natin na ang x = 1 ay isang solusyon.
Sagot: ∪ (5).
Module sa loob ng isang module
Lutasin natin ang equation:
Magsisimula kami sa pagpapalawak ng panloob na module.
1) x ≤ 3. Nakukuha namin ang:
Ang expression sa ilalim ng modulus ay naglalaho sa . Ang puntong ito ay nabibilang sa isinasaalang-alang
pagitan. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang dalawang subcase.
1.1) Nakukuha namin sa kasong ito:
Ang halagang ito ng x ay hindi maganda, dahil hindi ito kabilang sa pagitan na isinasaalang-alang.
1.2). Pagkatapos:
Ang halaga ng x na ito ay hindi rin maganda.
Kaya, para sa x ≤ 3 walang mga solusyon. Lumipat tayo sa pangalawang kaso.
2) x ≥ 3. Mayroon kaming:
Narito tayo ay masuwerte: ang expression na x + 2 ay positibo sa itinuturing na pagitan! Samakatuwid, wala nang anumang mga subcase: ang module ay tinanggal "na may plus":
Ang halagang ito ng x ay nasa pagitan na isinasaalang-alang at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation.
Ito ay kung paano malulutas ang lahat ng mga gawain ng ganitong uri - binubuksan namin ang mga nested na module, simula sa panloob.
Pagtuturo
Kung ang modulus ay kinakatawan bilang isang tuluy-tuloy na function, kung gayon ang halaga ng argumento nito ay maaaring maging positibo o negatibo: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x
Ang modulus ay zero, at ang modulus ng anumang positibong numero ay ang modulus nito. Kung negatibo ang argumento, pagkatapos buksan ang mga bracket, nagbabago ang sign nito mula minus hanggang plus. Batay dito, ang konklusyon ay sumusunod na ang mga module ng kabaligtaran ay pantay: |-x| = |x| = x.
Ang modulus ng isang kumplikadong numero ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: |a| = √b ² + c ² at |a + b| ≤ |a| + |b|. Kung ang argumento ay naglalaman ng positibong numero bilang multiplier, maaari itong alisin sa bracket sign, halimbawa: |4*b| = 4*|b|.
Kung ang argumento ay ipinakita bilang isang kumplikadong numero, kung gayon para sa kaginhawahan ng mga kalkulasyon, ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ng expression na nakapaloob sa mga square bracket ay pinapayagan: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 dahil ang (2-3) ay mas mababa sa zero.
Ang argumentong itinaas sa kapangyarihan ay sabay-sabay sa ilalim ng tanda ng ugat ng parehong pagkakasunud-sunod - ito ay malulutas sa: √a² = |a| = ±a.
Kung mayroon kang isang gawain sa harap mo na hindi tumutukoy sa kondisyon para sa pagpapalawak ng mga bracket ng module, kung gayon hindi mo kailangang alisin ang mga ito - ito ang magiging huling resulta. At kung gusto mong buksan ang mga ito, dapat mong tukuyin ang sign ±. Halimbawa, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression na √(2 * (4-b)) ². Ang kanyang solusyon ay ganito ang hitsura: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Dahil ang tanda ng expression na 4-b ay hindi kilala, dapat itong iwanang nasa panaklong. Kung magdagdag ka ng karagdagang kundisyon, halimbawa, |4-b| >
Ang modulus ng zero ay katumbas ng zero, at ang modulus ng anumang positibong numero ay katumbas ng sarili nito. Kung negatibo ang argumento, pagkatapos buksan ang mga bracket, nagbabago ang sign nito mula minus hanggang plus. Batay dito, ang konklusyon ay sumusunod na ang moduli ng magkasalungat na mga numero ay pantay: |-x| = |x| = x.
Ang modulus ng isang kumplikadong numero ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: |a| = √b ² + c ² at |a + b| ≤ |a| + |b|. Kung ang argument ay naglalaman ng positive integer bilang multiplier, maaari itong alisin sa bracket sign, halimbawa: |4*b| = 4*|b|.
Ang modulus ay hindi maaaring negatibo, kaya ang anumang negatibong numero ay na-convert sa isang positibo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5.
Kung ang argumento ay ipinakita bilang isang kumplikadong numero, kung gayon para sa kaginhawahan ng mga kalkulasyon, pinapayagan na baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ng expression na nakapaloob sa mga square bracket: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 dahil ang (2-3) ay mas mababa sa zero.
Kung mayroon kang isang gawain sa harap mo na hindi tumutukoy sa kondisyon para sa pagpapalawak ng mga bracket ng module, kung gayon hindi mo kailangang alisin ang mga ito - ito ang magiging huling resulta. At kung gusto mong buksan ang mga ito, dapat mong tukuyin ang sign ±. Halimbawa, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression na √(2 * (4-b)) ². Ang kanyang solusyon ay ganito ang hitsura: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Dahil ang tanda ng expression na 4-b ay hindi kilala, dapat itong iwanang nasa panaklong. Kung magdagdag ka ng karagdagang kundisyon, halimbawa, |4-b| > 0, pagkatapos ang resulta ay 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Bilang isang hindi kilalang elemento, ang isang tiyak na numero ay maaari ding ibigay, na dapat isaalang-alang, dahil. makakaapekto ito sa tanda ng pagpapahayag.
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Hindi namin pinipili ang math ang kanyang propesyon, at siya ang pumili sa amin.
Ang Russian mathematician na si Yu.I. Manin
Mga Equation ng Modulo
Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga equation na naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang equation, kailangang malaman ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng modyul. Natural, ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation ng ganitong uri.
Mga pangunahing konsepto at katangian
Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero ipinapahiwatig at tinukoy bilang mga sumusunod:
Ang mga simpleng katangian ng modyul ay kinabibilangan ng mga sumusunod na ugnayan:
Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay nagtataglay para sa anumang kahit na antas.
Gayundin, kung , saan , pagkatapos at
Mas kumplikadong mga katangian ng module, na maaaring epektibong magamit sa paglutas ng mga equation na may mga module, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:
Teorama 1.Para sa anumang analytic function at ang hindi pagkakapantay-pantay
Teorama 2. Ang pagkakapantay-pantay ay kapareho ng hindi pagkakapantay-pantay.
Teorama 3. Pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang ang karaniwang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang “Equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign.
Paglutas ng mga Equation gamit ang Modulus
Ang pinakakaraniwang paraan sa matematika ng paaralan para sa paglutas ng mga equation na may modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay generic, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na mga kalkulasyon. Kaugnay nito, dapat ding magkaroon ng kamalayan ang mga mag-aaral sa iba, mas mahusay na mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation. Sa partikular, kailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga theorems, ibinigay sa artikulong ito.
Halimbawa 1 Lutasin ang equation. (isa)
Desisyon. Ang equation (1) ay malulutas sa pamamagitan ng "classical" na paraan - ang module expansion method. Upang gawin ito, sinisira namin ang numerical axis tuldok at pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.
1. Kung ang , kung gayon , , , at equation (1) ay may anyong . Sumusunod ito mula rito. Gayunpaman, dito , kaya ang nahanap na halaga ay hindi ang ugat ng equation (1).
2. Kung , pagkatapos ay mula sa equation (1) makuha namin o .
Simula noon ang ugat ng equation (1).
3. Kung , pagkatapos ay ang equation (1) ay kinuha ang form o . Tandaan na .
Sagot: , .
Kapag nilulutas ang mga sumusunod na equation sa module, aktibong gagamitin namin ang mga katangian ng mga module upang mapataas ang kahusayan ng paglutas ng mga naturang equation.
Halimbawa 2 lutasin ang equation.
Desisyon. Simula at pagkatapos ito ay sumusunod mula sa equation. Kaugnay nito, , , at ang equation ay nagiging. Mula dito nakukuha natin. gayunpaman, kaya ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 3 lutasin ang equation.
Desisyon. Simula noon . Kung, kung gayon, at ang equation ay nagiging.
Mula dito nakukuha natin.
Halimbawa 4 lutasin ang equation.
Desisyon.Isulat muli natin ang equation sa isang katumbas na anyo. (2)
Ang resultang equation ay nabibilang sa mga equation ng uri.
Isinasaalang-alang ang Theorem 2, maaari nating sabihin na ang equation (2) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.
Sagot: .
Halimbawa 5 Lutasin ang equation.
Desisyon. Ang equation na ito ay may anyo. kaya , ayon sa Theorem 3, dito mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay o .
Halimbawa 6 lutasin ang equation.
Desisyon. Ipagpalagay natin na . Bilang , pagkatapos ang ibinigay na equation ay tumatagal ng anyo ng isang quadratic equation, (3)
saan . Dahil ang equation (3) ay may iisang positibong ugat at , pagkatapos . Mula dito nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng orihinal na equation: at .
Halimbawa 7 lutasin ang equation. (4)
Desisyon. Mula noong equationay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation: at , pagkatapos kapag nilutas ang equation (4) ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang dalawang mga kaso.
1. Kung , kung gayon o .
Mula dito nakukuha natin ang , at .
2. Kung , kung gayon o .
Simula noon .
Sagot: , , , .
Halimbawa 8lutasin ang equation . (5)
Desisyon. Simula at , noon . Mula dito at mula sa Eq. (5) sinusundan nito iyon at , i.e. dito mayroon tayong sistema ng mga equation
Gayunpaman, ang sistemang ito ng mga equation ay hindi pare-pareho.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 9 lutasin ang equation. (6)
Desisyon. Kung italaga natin at mula sa equation (6) makuha natin
O kaya . (7)
Dahil ang equation (7) ay may anyo , ang equation na ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay . Mula dito nakukuha natin. Mula noon o .
Sagot: .
Halimbawa 10lutasin ang equation. (8)
Desisyon.Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat
(9)
Isinasaalang-alang ang equation (8), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (9) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation
Gayunpaman, sa pamamagitan ng Theorem 3, ang nasa itaas na sistema ng mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.
(10)
Paglutas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) nakukuha natin . Dahil ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) ay katumbas ng equation (8), ang orihinal na equation ay may iisang ugat .
Sagot: .
Halimbawa 11. lutasin ang equation. (11)
Desisyon. Hayaan at , pagkatapos ay ang equation (11) ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay .
Mula dito sinusundan iyon at . Kaya, dito mayroon tayong sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang solusyon sa sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay ay at .
Sagot: , .
Halimbawa 12.lutasin ang equation. (12)
Desisyon. Ang equation (12) ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagpapalawak ng mga module. Upang gawin ito, isaalang-alang ang ilang mga kaso.
1. Kung , kung gayon .
1.1. Kung , pagkatapos at , .
1.2. Kung , kung gayon . gayunpaman, samakatuwid, sa kasong ito, ang equation (12) ay walang mga ugat.
2. Kung , kung gayon .
2.1. Kung , pagkatapos at , .
2.2. Kung , kung gayon at .
Sagot: , , , , .
Halimbawa 13lutasin ang equation. (13)
Desisyon. Dahil ang kaliwang bahagi ng equation (13) ay di-negatibo, kung gayon at . Kaugnay nito, , at equation (13)
kumukuha ng anyo o .
Ito ay kilala na ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation at , paglutas na nakukuha natin, . Bilang , pagkatapos ang equation (13) ay may isang ugat.
Sagot: .
Halimbawa 14 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (14)
Desisyon. Mula noon at , pagkatapos at . Samakatuwid, mula sa sistema ng mga equation (14) nakakakuha tayo ng apat na sistema ng mga equation:
Ang mga ugat ng mga sistema ng equation sa itaas ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation (14).
Sagot: ,, , , , , , .
Halimbawa 15 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (15)
Desisyon. Simula noon . Kaugnay nito, mula sa sistema ng mga equation (15) nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation
Ang mga ugat ng unang sistema ng mga equation ay at , at mula sa pangalawang sistema ng mga equation ay nakuha natin at .
Sagot: , , , .
Halimbawa 16 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (16)
Desisyon. Ito ay sumusunod mula sa unang equation ng system (16) na .
Simula noon . Isaalang-alang ang pangalawang equation ng system. Sa abot ng, tapos , at ang equation ay nagiging, , o .
Kung papalitan natin ang halagasa unang equation ng system (16), pagkatapos , o .
Sagot: , .
Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa solusyon ng mga equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign, maaari kang magpayo ng mga tutorial mula sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.
1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga gawain ng tumaas na pagiging kumplikado. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.
3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.
Mayroon ka bang anumang mga katanungan?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
