§ 102. Mga paunang paglilinaw.

Sa nakaraang bahagi, isinasaalang-alang namin ang mga fraction na may lahat ng posibleng denominator at tinawag itong mga ordinaryong fraction. Interesado kami sa anumang fraction na lumitaw sa proseso ng pagsukat o paghahati, anuman ang denominator na nakuha namin.

Ngayon, mula sa buong hanay ng mga praksyon, pipili tayo ng mga praksyon na may mga denominador: 10, 100, 1,000, 10,000, atbp., ibig sabihin, ang mga praksiyon, ang mga denominador nito ay mga numero lamang na kinakatawan ng pagkakaisa (1) na sinusundan ng mga zero (isa o ilang). Ang mga nasabing fraction ay tinatawag desimal.

Narito ang mga halimbawa ng mga decimal:

Nakilala namin ang mga decimal fraction dati, ngunit hindi nagpahiwatig ng anumang mga espesyal na katangian na likas sa kanila. Ngayon ay ipapakita namin na mayroon silang ilang mga kahanga-hangang katangian, na pinapasimple ang lahat ng mga kalkulasyon na may mga fraction.

§ 103. Larawan ng isang decimal fraction na walang denominator.

Ang mga desimal na praksiyon ay karaniwang isinusulat hindi sa parehong paraan tulad ng mga ordinaryong praksyon, ngunit ayon sa mga tuntunin kung saan isinusulat ang mga buong numero.

Upang maunawaan kung paano magsulat ng decimal fraction na walang denominator, kailangan mong tandaan kung paano nakasulat ang anumang buong numero sa decimal system. Kung, halimbawa, sumulat tayo ng tatlong-digit na numero gamit lamang ang numero 2, iyon ay, ang numero 222, kung gayon ang bawat isa sa dalawang ito ay magkakaroon ng espesyal na kahulugan depende sa lugar na sinasakop nito sa numero. Ang unang dalawa mula sa kanan ay kumakatawan sa mga yunit, ang pangalawa para sa sampu, at ang pangatlo para sa daan-daan. Kaya, ang anumang digit sa kaliwa ng anumang iba pang digit ay nagpapahiwatig ng mga yunit ng sampung beses na mas malaki kaysa sa ipinahiwatig ng nakaraang digit. Kung anumang digit ang nawawala, ang zero ay nakasulat sa lugar nito.

Kaya, sa isang buong bilang, ang mga yunit ay nasa unang lugar sa kanan, sampu ay nasa pangalawang lugar, atbp.

Ngayon ay itaas natin ang tanong kung anong kategorya ng mga yunit ang makukuha kung, halimbawa, tayo ay nasa numerong 222 na may tama side magdadagdag kami ng isa pang numero. Upang masagot ang tanong na ito, kailangan mong isaalang-alang na ang huling dalawa (ang una mula sa kanan) ay nagpapahiwatig ng mga yunit.

Samakatuwid, kung pagkatapos ng deuce, na tumutukoy sa mga yunit, kami, pagkatapos ng kaunting pag-urong, sumulat ng ilang iba pang numero, halimbawa 3, kung gayon ito ay magsasaad ng mga yunit, sampung beses na mas maliit kaysa sa mga nauna, sa madaling salita, ito ay magsasaad ikasampu mga yunit; ang resulta ay isang numero na naglalaman ng 222 buong yunit at 3 ikasampu ng isang yunit.

Nakaugalian na maglagay ng kuwit sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ng numero, ibig sabihin, sumulat ng ganito:

Kung pagkatapos ng triple sa numerong ito ay nagdagdag kami ng isa pang numero, halimbawa 4, ang ibig sabihin ay 4 daanan mga fraction ng isang yunit; magiging ganito ang numero:

at binibigkas: dalawang daan at dalawampu't dalawang punto, tatlumpu't apat na raan.

Ang isang bagong digit, halimbawa 5, na itinalaga sa numerong ito, ay nagbibigay sa amin ikalibo: 222.345 (dalawang daan at dalawampu't dalawang punto, tatlong daan at apatnapu't limang libo).

Para sa higit na kalinawan, ang pag-aayos sa bilang ng mga integer at fractional na digit ay maaaring ipakita sa anyo ng isang talahanayan:

Kaya, ipinaliwanag namin kung paano isinusulat ang mga decimal fraction nang walang denominator. Isulat natin ang ilan sa mga fraction na ito.

Upang magsulat ng isang fraction na walang denominator 5/10, kailangan mong isaalang-alang na wala itong mga integer at, samakatuwid, ang lugar ng mga integer ay dapat na inookupahan ng zero, ibig sabihin, 5/10 = 0.5.

Ang fraction 2 9/100 na walang denominator ay isusulat ng ganito: 2.09, ibig sabihin, zero ang dapat ilagay sa lugar ng tenths. Kung laktawan natin ang 0 na ito, makakakuha tayo ng ganap na magkakaibang fraction, ibig sabihin, 2.9, iyon ay, dalawang buong puntos at siyam na ikasampu.

Kaya, kapag nagsusulat ng mga decimal fraction, kailangan mong tukuyin ang nawawalang integer at fractional digit sa pamamagitan ng zero:

0.325 - walang integer,
0.012 - walang integer at walang tenths,
1.208 - walang ikasampu,
0.20406 - walang integers, walang hundredths, at walang ten-thousandths.

Ang mga numero sa kanan ng decimal point ay tinatawag na decimal place.

Upang maiwasan ang mga pagkakamali kapag nagsusulat ng mga decimal fraction, kailangan mong tandaan na pagkatapos ng decimal point sa imahe ng isang decimal fraction ay dapat mayroong kasing daming digit na magkakaroon ng mga zero sa denominator kung isinulat natin ang fraction na ito na may denominator, i.e.

0.1 \u003d 1 / 10 (ang denominator ay may isang zero at isang digit pagkatapos ng decimal point);

§ 104. Pagtatalaga ng mga zero sa isang decimal fraction.

Sa nakaraang talata, inilarawan kung paano ipinapakita ang mga decimal fraction na walang denominator. Napakahalaga ng zero kapag nagsusulat ng mga decimal fraction. Ang bawat regular na decimal fraction ay may zero sa halip na mga integer upang ipahiwatig na ang naturang fraction ay walang integer. Magsusulat kami ngayon ng ilang magkakaibang mga decimal gamit ang mga numero: 0, 3 at 5.

0.35 - 0 integers, 35 hundredths,
0.035 - 0 integer, 35 thousandths,
0.305 - 0 integers, 305 thousandths,
0.0035 - 0 integers, 35 ten-thousandths.

Alamin natin ngayon kung ano ang kahulugan ng mga null na inilagay sa dulo ng decimal fraction, ibig sabihin, sa kanan.

Kung kukuha tayo ng integer, halimbawa 5, maglagay ng kuwit pagkatapos nito, at pagkatapos ay isulat ang zero pagkatapos ng kuwit, ang zero na ito ay mangangahulugan ng zero tenths. Samakatuwid, ang zero na ito na nakatalaga sa kanan ay hindi makakaapekto sa halaga ng numero, i.e.

Ngayon kunin natin ang numero 6.1 at idagdag ang zero dito sa kanan, makakakuha tayo ng 6.10, ibig sabihin, mayroon tayong 1/10 pagkatapos ng decimal point, at naging 10/100 ito, ngunit ang 10/100 ay katumbas ng 1/10. Nangangahulugan ito na ang halaga ng numero ay hindi nagbago, at mula sa pagtatalaga sa kanan ng zero, tanging ang uri ng numero at pagbigkas lamang ang nagbago (6.1 - anim na punto isang ikasampu; 6.10 - anim na punto sa sampung daan).

Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, maaari nating tiyakin na ang pagtatalaga ng mga zero sa kanan sa isang decimal na bahagi ay hindi magbabago sa halaga nito. Samakatuwid, maaari nating isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000 atbp.

Kung magtatalaga tayo ng mga zero sa kaliwa ng decimal fraction, wala silang anumang kahulugan. Sa katunayan, kung isusulat namin ang zero sa kaliwa ng numero 4.6, ang numero ay kukuha ng form na 04.6. Nasaan ang zero? Ito ay nakatayo sa lugar ng sampu, iyon ay, ipinapakita nito na walang sampu sa numerong ito, ngunit ito ay malinaw kahit na walang zero.

Gayunpaman, dapat tandaan na kung minsan ang mga zero ay itinalaga sa mga decimal fraction sa kanan. Halimbawa, mayroong apat na fraction: 0.32; 2.5; 13.1023; 5,238. Nagtatalaga kami ng mga zero sa kanan sa mga fraction na may mas kaunting decimal na lugar pagkatapos ng decimal point: 0.3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

Para saan ito? Ang pagtatalaga ng mga zero sa kanan, nakakuha kami ng apat na digit pagkatapos ng decimal point para sa bawat numero, na nangangahulugan na ang bawat fraction ay magkakaroon ng denominator na 10,000, at bago magtalaga ng mga zero, ang denominator ng unang fraction ay 100, ang pangalawang 10, ang pangatlo. 10,000 at ang ikaapat na 1,000. Kaya't, sa pamamagitan ng pagtatalaga ng mga zero, napantayan namin ang bilang ng mga decimal na lugar ng aming mga fraction, ibig sabihin, dinala ang mga ito sa isang karaniwang denominator. Samakatuwid, ang pagbabawas ng mga decimal fraction sa isang common denominator ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagtatalaga ng mga zero sa mga fraction na ito.

Sa kabilang banda, kung ang ilang bahagi ng decimal ay may mga zero sa kanan, maaari nating itapon ang mga ito nang hindi binabago ang halaga nito, halimbawa: 2.60 = 2.6; 3.150 = 3.15; 4.200 = 4.2.

Paano dapat maunawaan ng isang tao ang gayong pagtatapon ng mga zero sa kanan ng decimal fraction? Katumbas ito ng pagbabawas nito, at makikita ito kung isusulat natin ang mga decimal fraction na ito na may denominator:

§ 105. Paghahambing ng mga decimal fraction sa magnitude.

Kapag gumagamit ng mga decimal fraction, napakahalaga na makapaghambing ng mga fraction sa isa't isa at sagutin ang tanong kung alin sa mga ito ang pantay, alin ang mas malaki at alin ang mas mababa. Ang paghahambing ng mga decimal ay ginagawa sa ibang paraan kaysa sa paghahambing ng mga integer. Halimbawa, ang isang dalawang-digit na integer ay palaging mas malaki kaysa sa isang isang-digit na numero, gaano man karami ang mayroon sa isang-digit na numero; ang tatlong-digit na numero ay higit pa sa dalawang-digit na numero, at higit pa sa isang-digit na numero. Ngunit kapag naghahambing ng mga decimal fraction, isang pagkakamali na bilangin ang lahat ng mga palatandaan kung saan nakasulat ang mga fraction.

Kumuha tayo ng dalawang praksyon: 3.5 at 2.5, at ihambing ang mga ito sa laki. Mayroon silang parehong mga decimal na lugar, ngunit ang unang fraction ay may 3 integer, at ang pangalawa ay may 2. Ang unang fraction ay mas malaki kaysa sa pangalawa, i.e.

Kunin natin ang iba pang mga praksyon: 0.4 at 0.38. Upang ihambing ang mga fraction na ito, kapaki-pakinabang na magtalaga ng zero sa kanan ng unang fraction. Pagkatapos ay ihahambing natin ang mga praksiyon na 0.40 at 0.38. Ang bawat isa sa kanila ay may dalawang digit pagkatapos ng decimal point, na nangangahulugan na ang mga fraction na ito ay may parehong denominator na 100.

Kailangan lang nating ihambing ang kanilang mga numerator, ngunit ang numerator 40 ay mas malaki kaysa sa 38. Kaya ang unang bahagi ay mas malaki kaysa sa pangalawa, i.e.

Ang unang bahagi ay may higit pang mga ikasampu kaysa sa pangalawa, gayunpaman, ang pangalawang bahagi ay may 8 higit pang daan-daang, ngunit sila ay mas mababa sa isang ikasampu, dahil 1/10 \u003d 10/100.

Ngayon ihambing natin ang mga nasabing fraction: 1.347 at 1.35. Nagtatalaga kami ng zero sa kanan ng pangalawang fraction at ihambing ang mga decimal fraction: 1.347 at 1.350. Ang mga bahagi ng integer ay pareho, kaya kailangan mo lamang ihambing ang mga bahaging fractional: 0.347 at 0.350. Ang denominator ng mga fraction na ito ay karaniwan, ngunit ang numerator ng pangalawang fraction ay mas malaki kaysa sa numerator ng una, na nangangahulugang ang pangalawang bahagi ay mas malaki kaysa sa una, i.e. 1.35\u003e 1.347.

Sa wakas, paghambingin natin ang dalawa pang fraction: 0.625 at 0.62473. Nagdaragdag kami ng dalawang zero sa unang fraction upang ang mga digit ay pantay, at ihambing ang mga resultang fraction: 0.62500 at 0.62473. Ang kanilang mga denominator ay pareho, ngunit ang numerator ng unang bahagi 62 500 ay mas malaki kaysa sa numerator ng pangalawang bahagi 62 473. Samakatuwid, ang unang bahagi ay mas malaki kaysa sa pangalawa, i.e. 0.625\u003e 0.62473.

Batay sa nabanggit, maaari nating gawin ang sumusunod na konklusyon: ng dalawang decimal fraction, ang isa na may mas maraming integer ay mas malaki; kapag ang mga integer ay pantay, ang fraction na iyon ay mas malaki, kung saan ang bilang ng mga tenth ay mas malaki; kapag ang mga integer at tenth ay pantay, ang fraction na iyon ay mas malaki, kung saan ang bilang ng hundredths ay mas malaki, atbp.

§ 106. Pagtaas at pagbaba ng isang decimal fraction ng 10, 100, 1,000, atbp. na beses.

Alam na natin na ang pagdaragdag ng mga zero sa isang decimal ay hindi makakaapekto sa halaga nito. Noong nag-aral kami ng mga integer, nakita namin na ang bawat zero na itinalaga sa kanan ay tumaas ang bilang ng 10 beses. Hindi mahirap intindihin kung bakit nangyari ito. Kung kukuha tayo ng integer, halimbawa 25, at magdagdag ng zero sa kanan nito, tataas ang bilang ng 10 beses, ang bilang na 250 ay 10 beses na mas malaki kaysa sa 25. Kapag lumitaw ang zero sa kanan, ang numero 5, na ginamit upang tukuyin ang mga yunit, ngayon ay nagsimulang tukuyin ang sampu, at ang bilang 2, na dating nangangahulugang sampu, ngayon ay nangangahulugang daan-daan. Kaya, salamat sa hitsura ng zero, ang mga lumang digit ay pinalitan ng mga bago, naging mas malaki sila, lumipat sila ng isang lugar sa kaliwa. Kapag kinakailangan upang madagdagan ang isang decimal na bahagi, halimbawa, sa pamamagitan ng 10 beses, pagkatapos ay kailangan din nating ilipat ang mga digit sa isang lugar sa kaliwa, ngunit ang gayong paggalaw ay hindi maaaring makamit ng zero. Binubuo ang decimal fraction ng integer na bahagi at fractional na bahagi, na pinaghihiwalay ng kuwit. Sa kaliwa ng decimal point ay ang pinakamababang integer digit, sa kanan ay ang pinakamataas na fractional digit. Isaalang-alang ang isang fraction:

Paano natin maililipat ang mga digit sa loob nito, kahit man lang sa isang lugar, ibig sabihin, sa madaling salita, paano natin ito madadagdagan ng 10 beses? Kung ililipat natin ang kuwit sa isang lugar sa kanan, pagkatapos ay una sa lahat ito ay makakaapekto sa kapalaran ng lima: ito ay bumaba mula sa lugar ng mga fractional na numero sa lugar ng mga integer. Ang numero ay kukuha ng form: 12345.678. Ang pagbabago ay nangyari sa lahat ng iba pang mga numero, at hindi lamang sa lima. Ang lahat ng mga numero na kasama sa numero ay nagsimulang gumanap ng isang bagong papel, ang mga sumusunod ay nangyari (tingnan ang talahanayan):

Binago ng lahat ng mga ranggo ang kanilang pangalan, at lahat ng mga yunit ng ranggo, wika nga, ay tumaas sa isang lugar. Mula dito, ang buong bilang ay tumaas ng 10 beses. Kaya, ang paglipat ng kuwit ng isang character sa kanan ay nagpapataas ng bilang ng 10 beses.

Tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa:

1) Kunin ang fraction 0.5 at ilipat ang kuwit sa isang lugar sa kanan; nakukuha natin ang numero 5, na 10 beses na higit sa 0.5, dahil bago ang limang ibig sabihin ay ikasampu ng isang yunit, at ngayon ay nangangahulugan ito ng buong mga yunit.

2) Ilipat ang kuwit sa numerong 1.234 dalawang digit sa kanan; ang bilang ay nagiging 123.4. Ang bilang na ito ay 100 beses na mas malaki kaysa sa nauna, dahil dito ang numero 3 ay nagsimulang tukuyin ang mga yunit, ang bilang 2 - sampu, at ang bilang 1 - daan-daan.

Kaya, upang madagdagan ang decimal na bahagi ng 10, kailangan mong ilipat ang kuwit dito sa isang lugar sa kanan; upang madagdagan ito ng 100 beses, kailangan mong ilipat ang kuwit sa dalawang lugar sa kanan; upang tumaas ng 1,000 beses - tatlong digit sa kanan, atbp.

Kung sa parehong oras ay walang sapat na mga palatandaan para sa numero, kung gayon ang mga zero ay itinalaga dito sa kanan. Halimbawa, dagdagan natin ang fraction ng 1.5 ng 100 beses sa pamamagitan ng paglipat ng kuwit ng dalawang digit; makakakuha tayo ng 150. Dagdagan natin ang fraction ng 0.6 ng 1,000 beses; nakakakuha tayo ng 600.

pabalik kung kinakailangan bumaba decimal fraction sa pamamagitan ng 10, 100, 1,000, atbp. beses, pagkatapos ay kailangan mong ilipat ang kuwit sa kaliwa sa loob nito ng isa, dalawa, tatlo, atbp. na mga character. Hayaang ibigay ang fraction 20.5; bawasan natin ito ng 10 beses; para gawin ito, ililipat namin ang kuwit isang sign sa kaliwa, ang fraction ay kukuha ng form 2.05. Bawasan natin ang fraction na 0.015 ng 100 beses; nakakakuha tayo ng 0.00015. Bawasan natin ng 10 beses ang bilang na 334; nakakakuha tayo ng 33.4.

Mga fraction na nakasulat sa anyong 0.8; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 ay tinatawag na decimal. Sa katunayan, ang mga decimal fraction ay isang pinasimpleng representasyon ng mga ordinaryong fraction. Maginhawang gamitin ang notasyong ito para sa lahat ng mga fraction na ang mga denominator ay 10, 100, 1000, at iba pa.

Isaalang-alang ang mga halimbawa (0.5 ay binabasa bilang, zero point five);

(0.15 ay binabasa bilang, zero point fifteenths);

(Ang 5.3 ay binabasa bilang, limang puntong tatlo).

Tandaan na sa notasyon ng isang decimal fraction, pinaghihiwalay ng kuwit ang integer na bahagi ng numero mula sa fractional, ang integer na bahagi ng tamang fraction ay 0. Ang notasyon ng fractional na bahagi ng decimal na fraction ay naglalaman ng kasing dami ng bilang doon ay mga zero sa denominator ng kaukulang ordinaryong fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, , , .

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing isaalang-alang ang isang natural na numero bilang isang decimal fraction, kung saan ang fractional na bahagi ay katumbas ng zero. Nakaugalian na isulat iyon, 5 = 5.0; 245 = 245.0 at iba pa. Tandaan na sa decimal notation ng isang natural na numero, ang unit ng hindi bababa sa makabuluhang digit ay 10 beses na mas mababa kaysa sa unit ng katabing pinaka makabuluhang digit. Ang mga desimal na fraction ay may parehong katangian. Samakatuwid, kaagad pagkatapos ng decimal point ay dumating ang ikasampung lugar, pagkatapos ay ang ika-daang lugar, pagkatapos ay ang ika-libong lugar, at iba pa. Nasa ibaba ang mga pangalan ng mga digit ng numero 31.85431, ang unang dalawang column ay ang integer na bahagi, ang natitirang mga column ay ang fractional na bahagi.

Ang fraction na ito ay binabasa bilang tatlumpu't isang punto walumpu't limang libo apat na raan at tatlumpu't isang daan-libo.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal

Ang unang paraan ay ang pag-convert ng mga decimal sa commons at idagdag ang mga ito.

Tulad ng makikita mo mula sa halimbawa, ang pamamaraang ito ay napaka-inconvenient at mas mainam na gamitin ang pangalawang paraan, na mas tama, nang hindi binabago ang mga decimal fraction sa mga ordinaryong. Upang magdagdag ng dalawang decimal:

• ipantay ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa mga termino;
• isulat ang mga termino sa ilalim ng bawat isa upang ang bawat digit ng ikalawang termino ay nasa ilalim ng katumbas na digit ng unang termino;
• idagdag ang mga resultang numero sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag ng mga natural na numero;
• maglagay ng kuwit sa ilalim ng mga kuwit sa mga termino sa resultang halaga.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

• equalize sa binawasan at bawas ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point;
• isulat ang subtrahend sa ilalim ng minuend upang ang bawat bit ng subtrahend ay nasa ilalim ng katumbas na bit ng minuend;
• ibawas sa parehong paraan tulad ng natural na mga numero ay ibawas;
• maglagay ng kuwit sa ilalim ng mga kuwit sa minuend at subtrahend sa resultang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, makikita na ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal fraction ay ginanap nang paunti-unti, iyon ay, sa parehong paraan tulad ng ginawa namin ang mga katulad na operasyon na may natural na mga numero. Ito ang pangunahing bentahe ng decimal notation para sa mga fraction.

Decimal multiplication

Upang i-multiply ang isang decimal na fraction sa pamamagitan ng 10, 100, 1000, at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kanan sa fraction na ito, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, at iba pa, ang mga numero. Samakatuwid, kung ang kuwit ay inilipat sa kanan ng 1, 2, 3 at iba pa na mga numero, ang fraction ay tataas ng 10, 100, 1000 at iba pa, ayon sa pagkakabanggit. Upang magparami ng dalawang decimal:

• i-multiply ang mga ito bilang natural na mga numero, hindi pinapansin ang mga kuwit;
• sa nagreresultang produkto, paghiwalayin ang kasing dami ng mga digit na may kuwit sa kanan gaya ng pagkatapos ng mga kuwit sa parehong mga salik na magkasama.

May mga kaso kapag ang produkto ay naglalaman ng mas kaunting mga digit kaysa sa kinakailangan upang paghiwalayin gamit ang isang kuwit, ang kinakailangang bilang ng mga zero ay idinaragdag sa kaliwa bago ang produktong ito, at pagkatapos ay ang kuwit ay inilipat sa kaliwa ng kinakailangang bilang ng mga digit.

Isaalang-alang ang mga halimbawa: 2 * 4 = 8, pagkatapos ay 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, pagkatapos ay 0.023 * 0.35 = 0.00805.

May mga kaso kapag ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng 0.1; 0.01; 0.001 at iba pa, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

• Upang i-multiply ang isang decimal sa 0.1; 0.01; 0.001 at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kaliwa sa decimal fraction na ito, ayon sa pagkakabanggit, ng 1, 2, 3 at iba pa na mga numero.

Isaalang-alang ang mga halimbawa: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576.

Ang mga katangian ng multiplikasyon ng mga natural na numero ay mayroon din para sa mga decimal fraction.

• ab=ba- commutative property ng multiplikasyon;
• (ab)c = a(bc)- nag-uugnay na pag-aari ng pagpaparami;
• a (b + c) = ab + ac ay ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Disimal na dibisyon

Ito ay kilala na kung hahatiin natin ang isang natural na numero a sa isang natural na numero b ay nangangahulugan ng paghahanap ng ganoong natural na numero c, na, kapag pinarami ng b nagbibigay ng numero a. Nananatiling totoo ang panuntunang ito kung isa man lang sa mga numero a, b, c ay isang decimal.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, gusto mong hatiin ang 43.52 sa 17 na sulok, na hindi pinapansin ang kuwit. Sa kasong ito, ang kuwit sa pribado ay dapat ilagay kaagad bago ang unang digit pagkatapos gamitin ang decimal point sa dibidendo.

May mga kaso kapag ang dibidendo ay mas mababa sa divisor, kung gayon ang integer na bahagi ng quotient ay katumbas ng zero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Tingnan natin ang isa pang kawili-wiling halimbawa.

Ang proseso ng paghahati ay huminto dahil ang mga numero ng dibidendo ay tapos na, at ang natitira ay hindi nakatanggap ng zero. Ito ay kilala na ang isang decimal fraction ay hindi magbabago kung anumang bilang ng mga zero ay nakatalaga dito sa kanan. Pagkatapos ay nagiging malinaw na ang mga bilang ng dibidendo ay hindi maaaring magtapos.

Upang hatiin ang isang decimal na fraction sa pamamagitan ng 10, 100, 1000 at iba pa, kinakailangang ilipat ang decimal point sa kaliwa sa fraction na ito ng 1, 2, 3 at iba pa na mga numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751.

Kung ang dibidendo at ang divisor ay sabay na tumaas ng 10, 100, 1000 at iba pa, kung gayon ang quotient ay hindi magbabago.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa: 39.44: 1.6 = 24.65 taasan natin ang dibidendo at ang divisor ng 10 beses 394.4: 16 = 24.65 Makatarungang sabihin na mas madali ang paghahati ng decimal fraction sa natural na numero sa pangalawang halimbawa.

Upang hatiin ang isang decimal sa isang decimal, kailangan mong:

• ilipat ang mga kuwit sa dibidendo at sa divisor sa kanan ng kasing dami ng mga digit na nilalaman ng mga ito pagkatapos ng decimal point sa divisor;
• hatiin sa natural na numero.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 23.6: 0.02 tandaan na mayroong dalawang decimal na lugar sa divisor, samakatuwid pinarami namin ang parehong mga numero sa 100, nakakakuha kami ng 2360: 2 = 1180 hinati namin ang resulta sa 100 at nakuha namin ang sagot na 11.80 o 23.6: 0, 02 = 11.8.

Paghahambing ng Decimal

Mayroong dalawang paraan upang ihambing ang mga decimal. Paraan ng isa, kailangan mong ihambing ang dalawang decimal fraction 4.321 at 4.32, i-equalize ang bilang ng mga decimal na lugar at simulan ang paghahambing ng unti-unti, tenths na may tenths, hundredths na may hundredths, at iba pa, bilang isang resulta, nakakakuha kami ng 4.321\u003e 4.320.

Ang pangalawang paraan upang ihambing ang mga fraction ng decimal ay ginagawa gamit ang multiplikasyon, i-multiply ang halimbawa sa itaas ng 1000 at ihambing ang 4321\u003e 4320. Aling paraan ang mas maginhawa, pinipili ng lahat para sa kanyang sarili.

Bilang:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

kung saan ang ± ay ang fraction sign: alinman sa + o -,

, - decimal point, na nagsisilbing separator sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ng numero,

d k- mga decimal na digit.

Kasabay nito, ang pagkakasunud-sunod ng mga digit bago ang kuwit (sa kaliwa nito) ay may dulo (tulad ng min 1-bawat digit), at pagkatapos ng kuwit (sa kanan) maaari itong maging may hangganan (bilang isang opsyon. , maaaring walang mga digit pagkatapos ng kuwit sa lahat), at walang katapusan.

halaga ng desimal ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … ay isang tunay na numero:

na katumbas ng kabuuan ng isang may hangganan o walang katapusang bilang ng mga termino.

Ang representasyon ng mga tunay na numero gamit ang mga decimal fraction ay isang generalization ng notation ng mga integer sa decimal number system. Ang decimal na representasyon ng isang integer ay walang mga digit pagkatapos ng decimal point, at sa gayon, ang representasyong ito ay ganito ang hitsura:

± d m … d 1 d 0 ,

At ito ay kasabay ng talaan ng ating numero sa sistema ng decimal na numero.

Decimal- ito ang resulta ng paghahati ng 1 sa 10, 100, 1000 at iba pa. Ang mga fraction na ito ay medyo maginhawa para sa mga kalkulasyon, dahil sila ay batay sa parehong positional system kung saan ang pagbibilang at notasyon ng mga integer ay binuo. Dahil dito, ang notasyon at mga panuntunan para sa mga decimal fraction ay halos kapareho ng para sa mga integer.

Kapag nagsusulat ng mga decimal fraction, hindi mo kailangang markahan ang denominator, ito ay tinutukoy ng lugar na inookupahan ng kaukulang figure. Una, isulat ang integer na bahagi ng numero, pagkatapos ay maglagay ng decimal point sa kanan. Ang unang digit pagkatapos ng decimal point ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga tenth, ang pangalawa - ang bilang ng hundredths, ang pangatlo - ang bilang ng thousandths, at iba pa. Ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay mga decimal na lugar.

Halimbawa:

Ang isa sa mga pakinabang ng mga decimal fraction ay ang mga ito ay napakadaling bawasan sa anyo ng mga ordinaryong: ang numero pagkatapos ng decimal point (sa amin ay 5047) ay tagabilang; denominador katumbas n ika degree 10, kung saan n- ang bilang ng mga decimal na lugar (namin ito n=4):

Kapag walang integer na bahagi sa decimal fraction, ilagay namin ang zero sa harap ng decimal point:

Mga katangian ng mga decimal fraction.

1. Ang Decimal ay hindi nagbabago kapag ang mga zero ay idinagdag sa kanan:

13.6 =13.6000.

2. Ang decimal ay hindi nagbabago kapag ang mga zero na nasa dulo ng decimal ay inalis:

0.00123000 = 0.00123.

Pansin! Ang mga zero na HINDI sa dulo ng isang decimal ay hindi dapat alisin!

3. Ang decimal fraction ay tumataas ng 10, 100, 1000, at iba pa kapag inililipat natin ang decimal point sa 1-well, 2, 2, at iba pa na mga posisyon sa kanan, ayon sa pagkakabanggit:

3.675 → 367.5 (ang fraction ay tumaas ng isang daang beses).

4. Ang decimal fraction ay nagiging mas mababa sa sampu, isang daan, isang libo, at iba pa kapag inililipat natin ang decimal point sa 1-well, 2, 3, at iba pa na mga posisyon sa kaliwa, ayon sa pagkakabanggit:

1536.78 → 1.53678 (ang fraction ay naging isang libong beses na mas maliit).

Mga uri ng decimal.

Ang mga desimal ay hinati ng pangwakas, walang katapusan At panaka-nakang mga decimal.

Tapusin ang decimal - ito ay isang fraction na naglalaman ng isang may hangganan na bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point (o wala sila doon), i.e. parang ganyan:

Ang isang tunay na numero ay maaaring katawanin bilang isang finite decimal fraction lamang kung ang numerong ito ay makatwiran at kapag isinulat bilang isang irreducible fraction p/q denominador q ay walang pangunahing divisors maliban sa 2 at 5.

Walang katapusang decimal.

Naglalaman ng walang katapusan na paulit-ulit na pangkat ng mga digit na tinatawag panahon. Ang panahon ay nakasulat sa mga bracket. Halimbawa, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Panaka-nakang decimal- ito ay tulad ng isang walang katapusang decimal fraction kung saan ang pagkakasunod-sunod ng mga digit pagkatapos ng decimal point, simula sa isang partikular na lugar, ay isang pana-panahong umuulit na pangkat ng mga digit. Sa ibang salita, periodic fraction ay isang decimal na ganito ang hitsura:

Ang nasabing fraction ay karaniwang maikli na isinusulat tulad nito:

Pangkat ng numero b 1 … b l, na inuulit, ay panahon ng fraction, ang bilang ng mga digit sa pangkat na ito ay haba ng panahon.

Kapag nasa periodic fraction ang period ay dumarating kaagad pagkatapos ng decimal point, kung gayon ang fraction ay puro periodic. Kapag may mga numero sa pagitan ng kuwit at 1st period, ang fraction ay halo-halong pana-panahon, at isang pangkat ng mga digit pagkatapos ng decimal point hanggang sa 1st period sign - fraction preperiod.

Halimbawa, ang fraction 1,(23) = 1.2323… ay purong periodic, at ang fraction 0.1(23)=0.12323… ay mixed periodic.

Ang pangunahing pag-aari ng mga periodic fraction, dahil sa kung saan sila ay nakikilala mula sa buong hanay ng mga decimal fraction, ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga periodic fraction at ang mga ito lamang ang kumakatawan sa mga rational na numero. Mas tiyak, ang mga sumusunod ay nagaganap:

Ang anumang walang katapusang umuulit na decimal ay kumakatawan sa isang rational na numero. Sa kabaligtaran, kapag ang isang rational na numero ay nabulok sa isang walang katapusang decimal fraction, ang fraction na ito ay magiging pana-panahon.

Sa artikulong ito, mauunawaan natin kung ano ang isang decimal fraction, kung ano ang mga katangian at katangian nito. Go! 🙂

Ang decimal fraction ay isang espesyal na kaso ng mga ordinaryong fraction (kung saan ang denominator ay isang multiple ng 10).

Kahulugan

Ang mga desimal ay mga fraction na ang mga denominador ay mga numero na binubuo ng isa at isang tiyak na bilang ng mga zero na sumusunod dito. Iyon ay, ito ay mga fraction na may denominator na 10, 100, 1000, atbp. Kung hindi, ang isang decimal na fraction ay maaaring ilarawan bilang isang fraction na may denominator na 10 o isa sa mga kapangyarihan ng sampu.

Mga halimbawa ng fraction:

, ,

Ang isang decimal fraction ay isinulat nang iba kaysa sa isang karaniwang fraction. Ang mga operasyon na may mga fraction na ito ay iba rin sa mga operasyong may mga ordinaryong. Ang mga patakaran para sa mga pagpapatakbo sa mga ito ay sa malaking lawak na malapit sa mga patakaran para sa mga pagpapatakbo sa mga integer. Ito, sa partikular, ay tumutukoy sa kanilang kaugnayan sa paglutas ng mga praktikal na problema.

Representasyon ng isang fraction sa decimal notation

Walang denominator sa decimal notation, ipinapakita nito ang numero ng numerator. Sa pangkalahatan, ang mga decimal fraction ay isinusulat tulad ng sumusunod:

kung saan ang X ay ang integer na bahagi ng fraction, Y ang fractional na bahagi nito, "," ay ang decimal point.

Para sa tamang representasyon ng isang ordinaryong fraction bilang isang decimal, kinakailangan na ito ay tama, iyon ay, na may naka-highlight na bahagi ng integer (kung maaari) at isang numerator na mas mababa sa denominator. Pagkatapos, sa decimal notation, ang integer na bahagi ay isinusulat bago ang decimal point (X), at ang numerator ng ordinaryong fraction ay isinusulat pagkatapos ng decimal point (Y).

Kung ang numerator ay kumakatawan sa isang numero na may bilang ng mga digit na mas mababa sa bilang ng mga zero sa denominator, pagkatapos ay sa bahaging Y ang nawawalang bilang ng mga digit sa decimal notation ay puno ng mga zero sa harap ng mga numero ng numerator.

Halimbawa:

Kung ang ordinaryong fraction ay mas mababa sa 1, i.e. ay walang integer na bahagi, pagkatapos ay 0 ang nakasulat sa decimal na anyo para sa X.

Sa fractional na bahagi (Y), pagkatapos ng huling makabuluhang (maliban sa zero) na digit, maaaring maglagay ng arbitrary na bilang ng mga zero. Hindi ito nakakaapekto sa halaga ng fraction. At vice versa: lahat ng mga zero sa dulo ng fractional na bahagi ng decimal fraction ay maaaring tanggalin.

Pagbabasa ng mga decimal

Ang Bahagi X ay binabasa sa pangkalahatang kaso tulad ng sumusunod: "Mga X integer."

Ang bahaging Y ay binabasa ayon sa bilang sa denominator. Para sa denominator 10, dapat mong basahin ang: "Y tenths", para sa denominator 100: "Y hundredths", para sa denominator 1000: "Y thousandths" at iba pa ... 😉

Ang isa pang diskarte sa pagbabasa ay itinuturing na mas tama, batay sa pagbibilang ng bilang ng mga digit ng fractional na bahagi. Upang gawin ito, kailangan mong maunawaan na ang mga fractional digit ay matatagpuan sa isang mirror image na may paggalang sa mga digit ng integer na bahagi ng fraction.

Ang mga pangalan para sa tamang pagbasa ay ibinigay sa talahanayan:

Batay dito, ang pagbabasa ay dapat na nakabatay sa mga sulat sa pangalan ng kategorya ng huling digit ng fractional na bahagi.

• 3.5 ay nagbabasa ng "tatlong puntong lima"
• Ang 0.016 ay parang "zero point labing anim na libo"

Pag-convert ng isang di-makatwirang ordinaryong fraction sa isang decimal

Kung ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay 10 o ilang kapangyarihan ng sampu, kung gayon ang fraction ay kino-convert tulad ng inilarawan sa itaas. Sa ibang mga sitwasyon, kailangan ang mga karagdagang pagbabago.

Mayroong 2 paraan upang magsalin.

Ang unang paraan ng pagsasalin

Ang numerator at denominator ay dapat na i-multiply sa naturang integer na ang denominator ay 10 o isa sa mga kapangyarihan ng sampu. At pagkatapos ay kinakatawan ang fraction sa decimal notation.

Ang pamamaraang ito ay naaangkop para sa mga praksyon, ang denominator nito ay nabubulok lamang sa 2 at 5. Kaya, sa nakaraang halimbawa . Kung mayroong iba pang pangunahing mga kadahilanan sa pagpapalawak (halimbawa, ), pagkatapos ay kailangan mong gumamit sa ika-2 paraan.

Ang pangalawang paraan ng pagsasalin

Ang ika-2 paraan ay upang hatiin ang numerator sa denominator sa isang hanay o sa isang calculator. Ang bahaging integer, kung mayroon man, ay hindi kasama sa pagbabago.

Ang mahabang panuntunan sa paghahati na nagreresulta sa isang decimal fraction ay inilarawan sa ibaba (tingnan ang Dividing Decimals).

I-convert ang decimal sa ordinaryo

Upang gawin ito, ang praksyonal na bahagi nito (sa kanan ng kuwit) ay dapat na isulat bilang numerator, at ang resulta ng pagbabasa ng praksyonal na bahagi ay dapat isulat bilang katumbas na numero sa denominator. Dagdag pa, kung maaari, kailangan mong bawasan ang resultang fraction.

Wakas at Walang-hanggan Decimal

Ang decimal fraction ay tinatawag na final, ang fractional na bahagi nito ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga digit.

Ang lahat ng mga halimbawa sa itaas ay naglalaman ng eksaktong mga huling decimal fraction. Gayunpaman, hindi lahat ng ordinaryong fraction ay maaaring katawanin bilang isang panghuling decimal. Kung ang unang paraan ng pagsasalin para sa isang partikular na bahagi ay hindi naaangkop, at ang ika-2 paraan ay nagpapakita na ang paghahati ay hindi makumpleto, kung gayon ang isang walang katapusang decimal na bahagi lamang ang maaaring makuha.

Imposibleng magsulat ng isang walang katapusang fraction sa buong anyo nito. Sa isang hindi kumpletong anyo, ang mga naturang fraction ay maaaring katawanin:

1. bilang isang resulta ng pagbawas sa nais na bilang ng mga decimal na lugar;
2. sa anyo ng periodic fraction.

Ang isang fraction ay tinatawag na periodic, kung saan, pagkatapos ng decimal point, ang isang walang katapusan na paulit-ulit na pagkakasunud-sunod ng mga digit ay maaaring makilala.

Ang natitirang mga fraction ay tinatawag na non-periodic. Para sa mga non-periodic fraction, tanging ang 1st representation method (rounding) lang ang pinapayagan.

Isang halimbawa ng periodic fraction: 0.8888888 ... Mayroong umuulit na figure 8 dito, na, malinaw naman, ay mauulit nang walang katiyakan, dahil walang dahilan upang ipagpalagay kung hindi. Ang numerong ito ay tinatawag panahon ng fraction.

Ang mga periodic fraction ay dalisay at halo-halong. Ang isang decimal fraction ay purong, kung saan ang panahon ay nagsisimula kaagad pagkatapos ng decimal point. Ang isang mixed fraction ay may 1 o higit pang mga digit bago ang decimal point.

54.33333 ... - panaka-nakang purong decimal na bahagi

2.5621212121 ... - periodic mixed fraction

Mga halimbawa ng pagsulat ng mga walang katapusang decimal:

Ang ika-2 halimbawa ay nagpapakita kung paano maayos na bumuo ng isang tuldok sa isang periodic fraction.

Pag-convert ng mga periodic decimal fraction sa ordinaryo

Upang i-convert ang isang purong periodic fraction sa isang ordinaryong tuldok, isulat ito sa numerator, at isulat sa denominator ang isang numero na binubuo ng siyam sa halagang katumbas ng bilang ng mga digit sa tuldok.

Ang isang halo-halong umuulit na decimal ay isinalin bilang mga sumusunod:

1. kailangan mong bumuo ng isang numero na binubuo ng numero pagkatapos ng decimal point bago ang tuldok, at ang unang tuldok;
2. mula sa resultang numero ibawas ang numero pagkatapos ng decimal point bago ang tuldok. Ang resulta ay ang numerator ng isang ordinaryong fraction;
3. sa denominator, kailangan mong magpasok ng isang numero na binubuo ng bilang ng mga siyam na katumbas ng bilang ng mga digit ng tuldok, na sinusundan ng mga zero, ang bilang nito ay katumbas ng bilang ng mga digit ng numero pagkatapos ng decimal point bago ang 1st period.

Paghahambing ng Decimal

Ang mga desimal na praksiyon ay inihahambing sa simula ng kanilang buong bahagi. Ang mas malaki ay ang fraction na may mas malaking bahagi ng integer.

Kung ang mga bahagi ng integer ay pareho, kung gayon ang mga digit ng kaukulang mga digit ng bahagi ng fractional ay inihambing, simula sa una (mula sa mga ikasampu). Ang parehong prinsipyo ay nalalapat dito: ang mas malaki sa mga fraction, na may mas malaking ranggo ng tenths; kung ang ikasampung digit ay pantay, ang hundredths na mga digit ay inihambing, at iba pa.

Sa abot ng

, dahil sa mga pantay na bahagi ng integer at pantay na ikasampu sa bahaging praksyonal, ang 2nd fraction ay may higit na daanan.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal

Ang mga desimal na praksiyon ay idinaragdag at ibinabawas sa parehong paraan tulad ng mga buong numero, na isinusulat ang mga katumbas na numero sa ilalim ng isa. Upang gawin ito, kailangan mong magkaroon ng mga decimal point sa ilalim ng bawat isa. Pagkatapos ay magtutugma ang mga unit (sampu, atbp.) ng integer na bahagi, pati na rin ang mga ikasampu (hundredth, atbp.) ng fractional na bahagi. Ang mga nawawalang digit ng fractional na bahagi ay puno ng mga zero. Direkta Ang proseso ng pagdaragdag at pagbabawas ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng para sa mga integer.

Decimal multiplication

Upang i-multiply ang mga decimal fraction, kailangan mong isulat ang mga ito sa ilalim ng isa, na nakahanay sa huling digit at hindi binibigyang pansin ang lokasyon ng mga decimal point. Pagkatapos ay kailangan mong i-multiply ang mga numero sa parehong paraan tulad ng kapag nagpaparami ng mga integer. Pagkatapos matanggap ang resulta, dapat mong kalkulahin muli ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa parehong mga fraction at paghiwalayin ang kabuuang bilang ng mga fractional digit sa resultang numero gamit ang kuwit. Kung walang sapat na mga digit, papalitan sila ng mga zero.

Pagpaparami at paghahati ng mga decimal sa 10 n

Ang mga pagkilos na ito ay simple at bumaba sa paglipat ng decimal point. P sa multiplikasyon, ang kuwit ay inilipat sa kanan (ang fraction ay tumataas) sa pamamagitan ng bilang ng mga digit na katumbas ng bilang ng mga zero sa 10 n, kung saan ang n ay isang arbitrary na integer na kapangyarihan. Iyon ay, ang isang tiyak na bilang ng mga digit ay inililipat mula sa fractional na bahagi patungo sa integer. Kapag hinahati, ayon sa pagkakabanggit, ang kuwit ay inililipat sa kaliwa (bumababa ang bilang), at ang ilan sa mga digit ay inililipat mula sa integer na bahagi patungo sa fractional na bahagi. Kung walang sapat na mga digit upang ilipat, pagkatapos ay ang mga nawawalang digit ay puno ng mga zero.

Paghahati ng isang decimal at isang integer sa pamamagitan ng isang integer at isang decimal

Ang paghahati ng decimal sa isang integer ay kapareho ng paghahati ng dalawang integer. Bukod pa rito, ang posisyon lamang ng decimal point ang dapat isaalang-alang: kapag winawasak ang digit ng digit na sinusundan ng kuwit, kinakailangang maglagay ng kuwit pagkatapos ng kasalukuyang digit ng nabuong sagot. Pagkatapos ay kailangan mong patuloy na hatiin hanggang makakuha ka ng zero. Kung walang sapat na mga palatandaan sa dibidendo para sa kumpletong paghahati, ang mga zero ay dapat gamitin bilang mga ito.

Katulad nito, ang 2 integer ay nahahati sa isang column kung ang lahat ng mga digit ng dibidendo ay na-demolish, at ang buong dibisyon ay hindi pa nakumpleto. Sa kasong ito, pagkatapos ng demolisyon ng huling digit ng dibidendo, isang decimal point ang inilalagay sa resultang sagot, at ang mga zero ay ginagamit bilang ang mga na-demolish na digit. Yung. ang dibidendo dito, sa katunayan, ay kinakatawan bilang isang decimal fraction na may zero fractional na bahagi.

Upang hatiin ang isang decimal fraction (o isang integer) sa isang decimal na numero, kinakailangang i-multiply ang dibidendo at ang divisor sa numerong 10 n, kung saan ang bilang ng mga zero ay katumbas ng bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa divisor. Sa ganitong paraan, inaalis nila ang decimal point sa fraction kung saan mo gustong hatiin. Dagdag pa, ang proseso ng paghahati ay pareho sa inilarawan sa itaas.

Graphical na representasyon ng mga decimal

Sa graphically, ang mga decimal fraction ay kinakatawan sa pamamagitan ng isang coordinate line. Para dito, ang mga solong segment ay karagdagang nahahati sa 10 pantay na bahagi, tulad ng mga sentimetro at milimetro ay idineposito sa isang ruler sa parehong oras. Tinitiyak nito na ang mga desimal ay ipinapakita nang tumpak at maihahambing sa layunin.

Upang ang mga dibisyon ng pitch sa mga solong segment ay magkapareho, dapat na maingat na isaalang-alang ang haba ng solong segment mismo. Dapat itong maging tulad na ang kaginhawaan ng karagdagang dibisyon ay maaaring matiyak.

Mga Fraction

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ang mga fraction sa high school ay hindi masyadong nakakainis. Pansamantala. Hanggang sa makatagpo ka ng mga exponent na may mga rational exponents at logarithms. At doon…. Pinindot mo, pinindot mo ang calculator, at ipinapakita nito ang lahat ng buong scoreboard ng ilang numero. Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo, tulad ng sa ikatlong baitang.

Harapin natin ang mga fraction, sa wakas! Aba, gaano ka nalilito sa kanila!? Bukod dito, ang lahat ay simple at lohikal. Kaya, ano ang mga fraction?

Mga uri ng fraction. Mga pagbabago.

Ang mga fraction ay may tatlong uri.

1. Mga karaniwang fraction , Halimbawa:

Minsan, sa halip na pahalang na linya, naglalagay sila ng slash: 1/2, 3/4, 19/5, well, at iba pa. Dito natin madalas gamitin ang spelling na ito. Ang pinakamataas na numero ay tinatawag tagabilang, mas mababa - denominador. Kung palagi mong nalilito ang mga pangalang ito (nangyayari ito ...), sabihin sa iyong sarili ang parirala na may expression: " Zzzzz Tandaan! Zzzzz denominator - labas zzzz u!" Tingnan mo, lahat ay maaalala.)

Ang gitling, na pahalang, na pahilig, ay nangangahulugang dibisyon numero sa itaas (numerator) hanggang sa ibabang numero (denominator). At ayun na nga! Sa halip na isang gitling, medyo posible na maglagay ng isang tanda ng dibisyon - dalawang tuldok.

Kapag ang paghahati ay posible nang buo, dapat itong gawin. Kaya, sa halip na ang fraction na "32/8" ay mas kaaya-aya na isulat ang numerong "4". Yung. Ang 32 ay hinati lamang ng 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Hindi ko pinag-uusapan ang fraction na "4/1". Na "4" lang din. At kung hindi ito ganap na nahahati, iiwan natin ito bilang isang fraction. Minsan kailangan mong gawin ang kabaligtaran. Gumawa ng isang fraction mula sa isang buong bilang. Ngunit higit pa sa na mamaya.

2. Mga desimal , Halimbawa:

Nasa form na ito na kakailanganing isulat ang mga sagot sa mga gawain na "B".

3. magkahalong numero , Halimbawa:

Ang mga mixed number ay halos hindi ginagamit sa high school. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Ngunit tiyak na kailangan mong malaman kung paano ito gawin! At pagkatapos ay ang gayong numero ay makikita sa palaisipan at mag-hang ... Mula sa simula. Ngunit naaalala namin ang pamamaraang ito! Medyo mababa.

Pinaka maraming nalalaman mga karaniwang fraction. Magsimula tayo sa kanila. Sa pamamagitan ng paraan, kung mayroong lahat ng mga uri ng logarithms, sines at iba pang mga titik sa fraction, hindi ito nagbabago ng anuman. In the sense na lahat Ang mga aksyon na may mga fractional na expression ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction!

Pangunahing katangian ng isang fraction.

Kaya tara na! Una sa lahat, sorpresahin kita. Ang buong iba't ibang pagbabago ng fraction ay ibinibigay ng isang pag-aari! Yan ang tawag dun pangunahing katangian ng isang fraction. Tandaan: Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, ang fraction ay hindi magbabago. Yaong:

Malinaw na maaari kang sumulat nang higit pa, hanggang sa ikaw ay asul sa mukha. Huwag hayaang malito ka ng mga sine at logarithms, haharapin pa namin ang mga ito. Ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay ang lahat ng iba't ibang mga expression na ito ay ang parehong fraction . 2/3.

At kailangan natin ito, lahat ng pagbabagong ito? At kung paano! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili. Una, gamitin natin ang pangunahing katangian ng isang fraction para sa mga pagdadaglat ng fraction. Mukhang elementary ang bagay. Hinahati namin ang numerator at denominator sa parehong numero at iyon na! Imposibleng magkamali! Ngunit... ang tao ay isang malikhaing nilalang. Maaari kang magkamali kahit saan! Lalo na kung kailangan mong bawasan ang hindi isang fraction tulad ng 5/10, ngunit isang fractional expression na may lahat ng uri ng mga titik.

Kung paano bawasan ang mga fraction nang tama at mabilis nang hindi gumagawa ng hindi kinakailangang gawain ay makikita sa espesyal na Seksyon 555.

Ang isang normal na estudyante ay hindi nag-abala sa paghahati ng numerator at denominator sa parehong numero (o expression)! Tinatawid lang niya ang lahat ng pareho mula sa itaas at sa ibaba! Dito nagkukubli ang isang karaniwang pagkakamali, isang pagkakamali, kung gusto mo.

Halimbawa, kailangan mong gawing simple ang expression:

Walang dapat isipin, e-cross out natin ang letrang "a" sa itaas at ang deuce sa ibaba! Nakukuha namin:

Lahat ay tama. Pero nagshare ka talaga ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador "a". Kung nakasanayan mong e-cross out lang, tapos, sa pagmamadali, pwede mong i-cross out ang "a" sa expression

at makuha muli

Na kung saan ay tiyak na mali. Dahil dito ang kabuuan numerator sa "a" na hindi ibinahagi! Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan. Sa pamamagitan ng paraan, ang naturang pagdadaglat ay, um ... isang seryosong hamon sa guro. Hindi ito pinatawad! Tandaan? Kapag binabawasan, ito ay kinakailangan upang hatiin ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador!

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ginagawang mas madali ang buhay. Makakakuha ka ng fraction sa isang lugar, halimbawa 375/1000. At paano makipagtulungan sa kanya ngayon? Nang walang calculator? Paramihin, sabihin, idagdag, parisukat!? At kung hindi ka masyadong tamad, ngunit maingat na bawasan ng lima, at kahit na lima, at kahit na ... habang ito ay binabawasan, sa madaling salita. Nakakuha tayo ng 3/8! Mas maganda, tama?

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagbibigay-daan sa iyo na i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa walang calculator! Mahalaga ito para sa pagsusulit, tama ba?

Paano i-convert ang mga fraction mula sa isang anyo patungo sa isa pa.

Madali lang sa mga decimal. Tulad ng narinig, gayon din ang nakasulat! Sabihin nating 0.25. Ito ay zero point, dalawampu't limang daan. Kaya sumulat kami: 25/100. Binabawasan natin (hatiin ang numerator at denominator sa 25), nakukuha natin ang karaniwang fraction: 1/4. Lahat. Nangyayari ito, at walang nabawasan. Tulad ng 0.3. Ito ay tatlong ikasampu, i.e. 3/10.

Paano kung ang mga integer ay hindi zero? ayos lang. Isulat ang buong bahagi nang walang anumang kuwit sa numerator, at sa denominator - kung ano ang narinig. Halimbawa: 3.17. Ito ay tatlong buo, labing pitong daan. Sinusulat namin ang 317 sa numerator, at 100 sa denominator. Nakukuha namin ang 317/100. Walang nababawasan, that means everything. Ito ang sagot. Elementary Watson! Mula sa lahat ng nasa itaas, isang kapaki-pakinabang na konklusyon: anumang decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang common fraction .

Ngunit ang reverse conversion, ordinaryo hanggang decimal, ang ilan ay hindi magagawa nang walang calculator. At ito ay kinakailangan! Paano mo isusulat ang sagot sa pagsusulit!? Maingat naming binabasa at pinagkadalubhasaan ang prosesong ito.

Ano ang decimal fraction? Siya ay nasa denominator palagi ay nagkakahalaga ng 10 o 100 o 1000 o 10000 at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may ganoong denominator, walang problema. Halimbawa, 4/10 = 0.4. O 7/100 = 0.07. O 12/10 = 1.2. At kung sa sagot sa gawain ng seksyon "B" ito ay naging 1/2? Ano ang isusulat natin bilang tugon? Kinakailangan ang mga desimal...

Naaalala namin pangunahing katangian ng isang fraction ! Pinahihintulutan ka ng matematika na i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero. Para kahit kanino, nga pala! Maliban sa zero, siyempre. Gamitin natin ang feature na ito sa ating kalamangan! Ano ang maaaring i-multiply ng denominator, i.e. 2 upang ito ay maging 10, o 100, o 1000 (mas maliit ay mas mahusay, siyempre ...)? 5, malinaw naman. Huwag mag-atubiling i-multiply ang denominator (ito ay US kinakailangan) sa pamamagitan ng 5. Ngunit, kung gayon ang numerator ay dapat ding i-multiply sa 5. Ito ay matematika hinihingi! Nakukuha namin ang 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Iyon lang.

Gayunpaman, ang lahat ng uri ng mga denominador ay nakikita. Halimbawa, babagsak ang fraction na 3/16. Subukan ito, alamin kung ano ang i-multiply ng 16 para makakuha ng 100, o 1000... Hindi gumagana? Pagkatapos ay maaari mo lamang hatiin ang 3 sa 16. Sa kawalan ng calculator, kakailanganin mong hatiin sa isang sulok, sa isang piraso ng papel, tulad ng itinuro nila sa elementarya. Nakukuha namin ang 0.1875.

At mayroong ilang napakasamang denominator. Halimbawa, ang fraction na 1/3 ay hindi maaaring gawing magandang decimal. Parehong sa isang calculator at sa isang piraso ng papel, nakakakuha tayo ng 0.3333333 ... Nangangahulugan ito na 1/3 sa isang eksaktong decimal fraction hindi nagsasalin. Parang 1/7, 5/6 at iba pa. Marami sa kanila ay hindi maisasalin. Kaya isa pang kapaki-pakinabang na konklusyon. Hindi lahat ng karaniwang fraction ay nagko-convert sa isang decimal. !

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay kapaki-pakinabang na impormasyon para sa pagsusuri sa sarili. Sa seksyong "B" bilang tugon, kailangan mong isulat ang isang decimal fraction. At nakakuha ka, halimbawa, 4/3. Ang fraction na ito ay hindi na-convert sa decimal. Nangangahulugan ito na sa isang lugar sa daan ay nagkamali ka! Bumalik ka, suriin ang solusyon.

Kaya, na may mga ordinaryong at decimal na fraction na pinagsunod-sunod. Ito ay nananatiling humarap sa magkahalong numero. Upang gumana sa kanila, lahat sila ay kailangang ma-convert sa mga ordinaryong fraction. Paano ito gagawin? Maaari mong mahuli ang isang ika-anim na baitang at tanungin siya. Ngunit hindi palaging isang ikaanim na baitang ang nasa kamay ... Kakailanganin nating gawin ito sa ating sarili. Hindi naman ito mahirap. I-multiply ang denominator ng fractional na bahagi ng integer na bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi. Ito ang magiging numerator ng isang karaniwang fraction. Paano ang denominator? Ang denominator ay mananatiling pareho. Mukhang kumplikado, ngunit ito ay talagang simple. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Ipasok ang problemang nakita mo sa horror ang numero:

Kalmado, nang walang gulat, naiintindihan namin. Ang buong bahagi ay 1. Isa. Ang fractional na bahagi ay 3/7. Samakatuwid, ang denominator ng fractional na bahagi ay 7. Ang denominator na ito ang magiging denominator ng ordinaryong fraction. Binibilang namin ang numerator. I-multiply namin ang 7 sa 1 (ang integer na bahagi) at idinagdag ang 3 (ang numerator ng fractional na bahagi). Makakakuha tayo ng 10. Ito ang magiging numerator ng isang ordinaryong fraction. Iyon lang. Mukhang mas simple ito sa mathematical notation:

Malinaw? Pagkatapos ay i-secure ang iyong tagumpay! I-convert sa mga karaniwang fraction. Dapat kang makakuha ng 10/7, 7/2, 23/10 at 21/4.

Ang reverse operation - ang pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number - ay bihirang kailanganin sa high school. Well, kung... At kung ikaw - wala sa high school - maaari mong tingnan ang espesyal na Seksyon 555. Sa parehong lugar, sa pamamagitan ng paraan, matututunan mo ang tungkol sa mga hindi wastong fraction.

Well, halos lahat. Naalala mo ang mga uri ng fraction at naunawaan mo paano i-convert ang mga ito mula sa isang uri patungo sa isa pa. Ang tanong ay nananatili: bakit gawin mo? Saan at kailan ilalapat ang malalim na kaalamang ito?

Sinagot ko. Ang anumang halimbawa mismo ay nagmumungkahi ng mga kinakailangang aksyon. Kung sa halimbawa ang mga ordinaryong fraction, decimal, at kahit na pinaghalong mga numero ay pinaghalo sa isang bungkos, isinasalin namin ang lahat sa ordinaryong mga fraction. Maaari itong palaging gawin. Well, kung ang isang bagay na tulad ng 0.8 + 0.3 ay nakasulat, pagkatapos ay sa tingin namin ito, nang walang anumang pagsasalin. Bakit kailangan natin ng karagdagang trabaho? Pinipili namin ang solusyon na maginhawa US !

Kung ang gawain ay puno ng mga decimal fraction, ngunit um ... ilang uri ng masasama, pumunta sa mga ordinaryong, subukan ito! Tingnan mo, magiging maayos din ang lahat. Halimbawa, kailangan mong i-square ang numerong 0.125. Hindi ganoon kadali kung hindi mo nawala ang ugali ng calculator! Hindi lamang kailangan mong i-multiply ang mga numero sa isang column, ngunit isipin din kung saan ilalagay ang kuwit! Tiyak na hindi ito gumagana sa aking isipan! At kung pupunta ka sa isang ordinaryong fraction?

0.125 = 125/1000. Bawasan namin ng 5 (ito ay para sa mga nagsisimula). Kumuha kami ng 25/200. Muli sa 5. Nakukuha namin ang 5/40. Ay, lumiliit na! Bumalik sa 5! Nakakuha kami ng 1/8. Madaling parisukat (sa iyong isip!) at makakuha ng 1/64. Lahat!

Ibuod natin ang araling ito.

1. May tatlong uri ng fraction. Ordinaryo, decimal at halo-halong mga numero.

2. Mga desimal at pinaghalong numero palagi maaaring i-convert sa mga karaniwang fraction. Baliktad na Pagsasalin hindi laging magagamit.

3. Ang pagpili ng uri ng mga fraction para sa pagtatrabaho sa gawain ay nakasalalay sa mismong gawaing ito. Kung mayroong iba't ibang uri ng mga fraction sa isang gawain, ang pinaka-maaasahang bagay ay ang lumipat sa mga ordinaryong fraction.

Ngayon ay maaari kang magsanay. Una, i-convert ang mga decimal fraction na ito sa mga ordinaryo:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Dapat kang makakuha ng mga sagot na tulad nito (sa gulo!):

Dito tayo magtatapos. Sa araling ito, pinag-aralan natin ang mga pangunahing punto sa mga fraction. Nangyayari, gayunpaman, na walang espesyal na ire-refresh ...) Kung ang isang tao ay ganap na nakalimutan, o hindi pa nakakabisado ... Ang mga iyon ay maaaring pumunta sa isang espesyal na Seksyon 555. Ang lahat ng mga pangunahing kaalaman ay detalyado doon. Marami bigla intindihin ang lahat ay nagsisimula. At nalulutas nila ang mga fraction sa mabilisang).

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.