Harmonic oscillator(sa klasikal na mekanika) - isang sistema na, kapag inalis mula sa posisyon ng ekwilibriyo nito, nakakaranas ng pagkilos ng puwersang nagpapanumbalik. F, proporsyonal sa displacement x :

,

saan k- pare-pareho ang koepisyent.

Kung ang F- ang tanging puwersa na kumikilos sa system, pagkatapos ay tinawag ang system simple lang o konserbatibong harmonic oscillator. Ang mga libreng oscillations ng naturang sistema ay kumakatawan sa isang panaka-nakang paggalaw sa paligid ng posisyon ng equilibrium (harmonic oscillations). Ang dalas at amplitude ay pare-pareho, at ang dalas ay hindi nakasalalay sa amplitude.

Ang mga mekanikal na halimbawa ng isang harmonic oscillator ay isang mathematical pendulum (na may maliit na mga anggulo ng pagpapalihis), isang torsion pendulum, at mga acoustic system. Kabilang sa mga non-mechanical na analogues ng isang harmonic oscillator, maaari isa-isa ang isang electric harmonic oscillator (tingnan ang LC circuit).

Libreng oscillations ng isang konserbatibong harmonic oscillator

Ang equation at ang mga solusyon nito

Hayaan x- pag-aalis ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa posisyon ng ekwilibriyo nito, at F- kumikilos sa isang puntong nagpapanumbalik ng puwersa ng anumang uri ng anyo

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

saan k= const. Pagkatapos, gamit ang pangalawang batas ni Newton, maaaring isulat ng isa ang acceleration bilang

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

nagsasaad ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) at pinapalitan a sa pangalawang derivative ng coordinate na may paggalang sa oras x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), meron kami

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Inilalarawan ng differential equation na ito ang pag-uugali ng isang konserbatibong harmonic oscillator. ang halaga ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) tinatawag na cyclic frequency. (Ito ay tumutukoy sa pabilog na dalas, na sinusukat sa radians bawat segundo. Upang i-convert ito sa isang dalas na ipinahayag sa hertz, dapat itong hatiin sa 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

Maghahanap tayo ng solusyon sa equation na ito sa anyo

x (t) = Isang kasalanan ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

Dito A- amplitude, ω - dalas ng oscillation, φ - paunang yugto.

Pinapalitan namin ang differential equation at makuha ang:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

Ang amplitude ay nabawasan. Nangangahulugan ito na maaari itong magkaroon ng anumang halaga (kabilang ang zero - nangangahulugan ito na ang materyal na punto ay nasa pahinga sa posisyon ng ekwilibriyo). Ang sine ay maaari ding bawasan, dahil ang pagkakapantay-pantay ay dapat manatili anumang oras t. Kaya, ang kondisyon para sa dalas ng oscillation ay nananatili:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

Ang simpleng harmonic motion ay ang batayan ng ilang paraan ng pagsusuri sa mas kumplikadong mga uri ng paggalaw. Ang isa sa mga pamamaraang ito ay batay sa pagbabagong Fourier, ang kakanyahan nito ay upang mabulok ang isang mas kumplikadong uri ng paggalaw sa isang serye ng mga simpleng harmonic na galaw.

Mga halimbawa ng mga oscillator

Anumang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay may dalawang pangunahing katangian:

• kapag ang sistema ay wala sa ekwilibriyo, dapat na mayroong puwersang nagpapanumbalik na may posibilidad na ibalik ang sistema sa ekwilibriyo;
• ang puwersa ng pagpapanumbalik ay dapat na eksakto o humigit-kumulang proporsyonal sa displacement.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa.

Pahalang na spring-load system

Ang isang tipikal na halimbawa ng isang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay isang idealized na mass-spring system kung saan ang isang masa ay nakakabit sa isang spring at inilalagay sa isang pahalang na ibabaw. Kung ang tagsibol ay hindi naka-compress at hindi nakaunat, kung gayon walang mga variable na puwersa ang kumikilos sa pagkarga at ito ay nasa isang estado ng mekanikal na balanse. Gayunpaman, kung ang pagkarga ay aalisin mula sa posisyon ng balanse, ang spring ay deformed at isang puwersa ay kikilos mula sa tagiliran nito, na may posibilidad na ibalik ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo. Sa kaso ng sistema ng pag-load-spring, ang gayong puwersa ay ang nababanat na puwersa ng tagsibol, na sumusunod sa batas ni Hooke:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

saan k ay may napaka tiyak na kahulugan - ito ang koepisyent ng paninigas ng tagsibol.

Sa sandaling ang displaced load ay sumailalim sa pagkilos ng isang nagpapanumbalik na puwersa, pinabilis ito at may posibilidad na ibalik ito sa panimulang punto, iyon ay, sa posisyon ng ekwilibriyo. Habang papalapit ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo, bumababa ang puwersa ng pagpapanumbalik at nagiging zero. Gayunpaman, sa posisyon x = 0 ang pag-load ay may isang tiyak na halaga ng paggalaw (momentum), na nakuha dahil sa pagkilos ng puwersa ng pagpapanumbalik. Samakatuwid, ang pag-load ay lumalampas sa posisyon ng balanse, na nagsisimulang mag-deform muli sa tagsibol (ngunit sa kabaligtaran ng direksyon). Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay malamang na pabagalin ito hanggang ang bilis ay zero; at ang puwersa ay muling maghahangad na ibalik ang pagkarga sa posisyon nitong ekwilibriyo.

Kung walang pagkawala ng enerhiya, ang load ay mag-oscillate tulad ng inilarawan sa itaas; pana-panahon ang kilusang ito.

Vertical load-spring system

Sa kaso ng isang load na patayong nasuspinde sa isang spring, kasama ang nababanat na puwersa, ang gravity ay kumikilos, iyon ay, ang kabuuang puwersa ay magiging

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

Kung gumawa kami ng pagbabago ng variable upang gumana sa isang hindi halaga x (\displaystyle x), at ang halaga X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k), kung gayon ang equation ng paggalaw ay magkakaroon ng anyo na kapareho sa kaso ng horizontal geometry, para lamang sa variable X (\displaystyle X).

Ang mga oscillation ay magaganap sa parehong dalas ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Gayunpaman, kung sa pahalang na kaso ang estado ng isang undeformed spring ay tumutugma sa equilibrium, pagkatapos ay sa vertical na bersyon ang spring sa equilibrium ay iuunat. Dependences ng frequency sa magnitude ng free fall acceleration g (\displaystyle g) habang hindi; g (\displaystyle g) nakakaapekto lamang sa paglilipat ng posisyon ng ekwilibriyo m g / k (\displaystyle mg/k).

Ang mga sukat ng dalas (o panahon) ng mga oscillations ng isang load sa isang spring ay ginagamit sa mga aparato para sa pagtukoy ng masa ng isang katawan - ang tinatawag na mass meters, na ginagamit sa mga istasyon ng espasyo kapag ang mga kaliskis ay hindi maaaring gumana dahil sa kawalan ng timbang.

Universal circular motion

Ang simpleng harmonic motion sa ilang mga kaso ay maaaring ituring bilang isang one-dimensional na projection ng unibersal na circular motion.

Kung ang isang bagay ay gumagalaw nang may pare-pareho ang angular na bilis ω kasama ang isang bilog na radius r, na ang sentro ay ang pinagmulan ng eroplano x − y, kung gayon ang gayong paggalaw sa bawat isa sa mga coordinate axes ay simpleng harmonic na may amplitude r at pabilog na dalas ω .

Timbang bilang isang simpleng pendulum

Sa maliit na anggulo approximation, ang galaw ng isang simpleng pendulum ay malapit sa simpleng harmonic. Ang panahon ng oscillation ng naturang pendulum na nakakabit sa isang baras ng haba ℓ , ay ibinibigay ng formula

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

saan g- acceleration ng gravity. Ipinapakita nito na ang panahon ng oscillation ay hindi nakasalalay sa amplitude at mass ng pendulum, ngunit depende sa g, samakatuwid, na may parehong haba ng pendulum, sa Buwan ito ay uugoy nang mas mabagal, dahil ang gravity ay mas mahina doon at ang halaga ng libreng pagbagsak ng acceleration ay mas mababa.

Ang tinukoy na approximation ay tama lamang sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis, dahil ang expression para sa angular acceleration ay proporsyonal sa sine ng coordinate:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

saan ako- sandali ng pagkawalang-galaw; sa kasong ito ako = mℓ 2. Ang mga maliliit na anggulo ay natanto sa ilalim ng mga kondisyon kapag ang amplitude ng oscillation ay mas mababa kaysa sa haba ng baras.

ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

na ginagawang direktang proporsyonal ang angular acceleration sa anggulo θ, at natutugunan nito ang kahulugan ng simpleng harmonic motion.

Libreng oscillations ng isang damped harmonic oscillator

Ang equation at ang mga solusyon nito

Kapag isinasaalang-alang ang isang damped oscillator, ang modelo ng isang konserbatibong oscillator ay kinuha bilang batayan, kung saan ang viscous friction force ay idinagdag. Ang puwersa ng malapot na friction ay nakadirekta laban sa bilis ng pagkarga na may kaugnayan sa daluyan at direktang proporsyonal sa bilis na ito. Pagkatapos ang kabuuang puwersa na kumikilos sa pag-load ay nakasulat tulad ng sumusunod:

F = − k x − α v . (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Gamit ang pangalawang batas ni Newton, nakakakuha tayo ng differential equation na naglalarawan sa isang damped oscillator:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

Narito ang notasyon: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). Coefficient γ (\displaystyle \gamma ) ay tinatawag na damping constant. Mayroon din itong sukat ng dalas.

Ang solusyon ay nahuhulog sa tatlong kaso.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

saan ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- dalas ng mga libreng oscillation.

x (t) = (A + B t) e − γ t . (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t))

saan β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Plano:

Panimula

• 1 Libreng vibrations
  • 1.1 Konserbatibong harmonic oscillator
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 Dynamics ng simpleng harmonic motion
      • 1.1.1.2 Enerhiya ng simpleng maharmonya na paggalaw
      • 1.1.1.3 Mga Halimbawa
        • 1.1.1.3.1 Timbang ng tagsibol
        • 1.1.1.3.2 Universal circular motion
        • 1.1.1.3.3 Timbang bilang isang simpleng pendulum
  • 1.2 Damped harmonic oscillator
• 2 Sapilitang panginginig ng boses
Panitikan
Mga Tala

Panimula

Harmonic oscillator(sa klasikal na mekanika) ay isang sistema na, kapag inilipat mula sa isang ekwilibriyo na posisyon, ay nakakaranas ng pagpapanumbalik na puwersa na proporsyonal sa displacement (ayon sa batas ni Hooke):

saan k ay isang positibong pare-pareho na naglalarawan sa katigasan ng system.

Kung ang tanging puwersa na kumikilos sa sistema, kung gayon ang sistema ay tinatawag simple lang o konserbatibong harmonic oscillator. Ang mga libreng oscillations ng naturang sistema ay kumakatawan sa isang panaka-nakang paggalaw sa paligid ng posisyon ng equilibrium (harmonic oscillations). Ang dalas at amplitude ay pare-pareho, at ang dalas ay hindi nakasalalay sa amplitude.

Kung mayroon ding friction force (attenuation) na proporsyonal sa bilis ng paggalaw (viscous friction), kung gayon ang ganitong sistema ay tinatawag na kumukupas o dissipative oscillator. Kung ang friction ay hindi masyadong malaki, kung gayon ang sistema ay nagsasagawa ng halos pana-panahong paggalaw - sinusoidal oscillations na may pare-pareho ang dalas at isang exponentially decreasing amplitude. Ang dalas ng mga libreng oscillator ng isang damped oscillator ay lumalabas na medyo mas mababa kaysa sa isang katulad na oscillator na walang friction.

Kung ang oscillator ay naiwan sa sarili nito, kung gayon ito ay sinabi na ito ay nagsasagawa ng mga libreng oscillations. Kung mayroong isang panlabas na puwersa (depende sa oras), pagkatapos ay sinasabi namin na ang oscillator ay nakakaranas ng sapilitang mga oscillations.

Ang mga mekanikal na halimbawa ng isang harmonic oscillator ay isang mathematical pendulum (na may maliit na displacement angle), isang timbang sa isang spring, isang torsion pendulum, at acoustic system. Sa iba pang mga analogue ng harmonic oscillator, ito ay nagkakahalaga ng pag-highlight ng electric harmonic oscillator (tingnan ang LC circuit).

1. Libreng vibrations

1.1. Konserbatibong harmonic oscillator

Bilang isang modelo ng isang konserbatibong harmonic oscillator, kumuha tayo ng mass load na naayos sa isang spring na may higpit .

Let is the displacement of the load relative to the equilibrium position. Pagkatapos, ayon sa batas ni Hooke, ang puwersang nagpapanumbalik ay kikilos dito:

Gamit ang pangalawang batas ni Newton, sumulat kami

Ang pagtukoy at pagpapalit ng acceleration ng pangalawang derivative ng coordinate na may paggalang sa oras , isinusulat namin:

Inilalarawan ng differential equation na ito ang pag-uugali ng isang konserbatibong harmonic oscillator. Ang coefficient ω 0 ay tinatawag na cyclic frequency ng oscillator. (Tumutukoy ito sa circular frequency, na sinusukat sa radians per second. Para ma-convert ito sa frequency na ipinahayag sa Hertz, dapat mong hatiin ang circular frequency sa 2π)

Maghahanap kami ng solusyon sa equation na ito sa anyo:

Dito - amplitude, - dalas ng oscillation (hindi pa kinakailangang katumbas ng natural na dalas), - paunang yugto.

Pinapalitan namin ang differential equation.

Ang amplitude ay nabawasan. Nangangahulugan ito na maaari itong magkaroon ng anumang halaga (kabilang ang zero - nangangahulugan ito na ang pagkarga ay nasa pahinga sa posisyon ng balanse). Ang sine ay maaari ding bawasan, dahil ang pagkakapantay-pantay ay dapat manatili anumang oras t. At ang kondisyon para sa dalas ng oscillation ay nananatili:

Ang negatibong dalas ay maaaring itapon, dahil ang arbitrariness sa pagpili ng sign na ito ay sakop ng arbitrariness sa pagpili ng paunang yugto.

circular motion at harmonic motion

Ang pangkalahatang solusyon ng equation ay nakasulat bilang:

,

kung saan amplitude A at ang paunang yugto ay mga arbitrary na pare-pareho. Inubos ng record na ito ang lahat ng solusyon ng differential equation, dahil pinapayagan nitong matugunan ang anumang mga paunang kondisyon (ang paunang posisyon ng load at ang paunang bilis nito).

Sa buod, ang isang konserbatibong harmonic oscillator ay maaaring magsagawa ng puro harmonic oscillations na may frequency na katumbas ng natural na frequency nito, na may amplitude ng anumang magnitude at may arbitrary na paunang yugto.

Ang kinetic energy ay nakasulat bilang

.

at ang potensyal na enerhiya ay

kung gayon ang kabuuang enerhiya ay pare-pareho

1.1.1. Simpleng harmonic na paggalaw

Simpleng harmonic na paggalaw ay isang simpleng paggalaw harmonic oscillator, isang panaka-nakang paggalaw na hindi pinilit o damped. Ang isang katawan sa simpleng harmonic motion ay napapailalim sa isang variable na puwersa na direktang proporsyonal sa ganap na halaga sa displacement x, at nakadirekta sa kabilang direksyon.

Ang paggalaw na ito ay panaka-nakang: ang katawan ay umiikot sa paligid ng posisyon ng ekwilibriyo ayon sa sinusoidal na batas. Ang bawat kasunod na oscillation ay pareho sa nauna, at ang period, frequency at amplitude ng oscillations ay nananatiling pare-pareho. Kung tatanggapin natin na ang posisyon ng equilibrium ay nasa isang punto na may coordinate na katumbas ng zero, kung gayon ang displacement x katawan sa anumang oras ay ibinibigay ng formula:

A ay ang amplitude ng mga oscillations, f- dalas, φ - unang bahagi.

Ang dalas ng paggalaw ay tinutukoy ng mga katangian ng system (halimbawa, ang masa ng gumagalaw na katawan), habang ang amplitude at paunang yugto ay tinutukoy ng mga paunang kondisyon - ang pag-aalis at bilis ng katawan sa sandaling ang mga oscillations magsimula. Ang kinetic at potensyal na enerhiya ng system ay nakasalalay din sa mga katangian at kundisyon na ito.

Simpleng harmonic na paggalaw. Sa animated na larawang ito, ang particle coordinate ay naka-plot kasama ang vertical axis ( x sa formula), at ang oras ay naka-plot kasama ang pahalang na axis ( t).

Ang simpleng harmonic motion ay maaaring mga matematikal na modelo ng iba't ibang uri ng paggalaw, tulad ng oscillation ng spring. Ang iba pang mga kaso na halos maituturing na simpleng harmonic motion ay ang paggalaw ng isang pendulum at ang mga vibrations ng mga molekula.

Ang simpleng harmonic motion ay ang batayan ng ilang paraan ng pagsusuri ng mas kumplikadong mga uri ng paggalaw. Ang isa sa mga pamamaraang ito ay batay sa pagbabagong Fourier, ang kakanyahan nito ay upang mabulok ang isang mas kumplikadong uri ng paggalaw sa isang serye ng mga simpleng harmonic na galaw.

Simple harmonic motion na ipinapakita nang sabay-sabay sa real space at phase space. Dito, ang velocity axis at ang position axis ay ipinapakita nang naiiba mula sa karaniwang representasyon ng mga coordinate axes - ginagawa ito upang ang parehong mga figure ay tumutugma sa bawat isa. Real Space - totoong espasyo; Phase Space - puwang ng phase; bilis - bilis; posisyon - posisyon (posisyon).

Ang isang tipikal na halimbawa ng isang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay isang idealized na mass-spring system kung saan ang isang masa ay nakakabit sa isang spring. Kung ang tagsibol ay hindi naka-compress at hindi nakaunat, kung gayon walang mga variable na puwersa ang kumikilos sa pagkarga, at ang pagkarga ay nasa isang estado ng mekanikal na balanse. Gayunpaman, kung ang pag-load ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse, ang spring ay deformed, at isang puwersa ang kikilos sa pagkarga mula sa gilid nito, na malamang na ibalik ang pagkarga sa posisyon ng balanse. Sa kaso ng sistema ng pag-load-spring, ang gayong puwersa ay ang nababanat na puwersa ng tagsibol, na sumusunod sa batas ni Hooke:

F = − kx, F- pagpapanumbalik ng puwersa x- paggalaw ng pagkarga (pagpapangit ng tagsibol), k- koepisyent ng higpit ng tagsibol.

Anumang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay may dalawang pangunahing katangian:

1. Kapag ang isang sistema ay wala sa ekwilibriyo, dapat na mayroong puwersang nagpapanumbalik na may posibilidad na ibalik ang sistema sa ekwilibriyo.
2. Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay dapat na eksakto o humigit-kumulang na proporsyonal sa displacement.

Natutugunan ng weight-spring system ang parehong mga kundisyong ito.

Sa sandaling ang displaced load ay sumailalim sa pagkilos ng isang nagpapanumbalik na puwersa, pinabilis ito, at may posibilidad na bumalik sa panimulang punto, iyon ay, sa posisyon ng ekwilibriyo. Habang papalapit ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo, bumababa ang puwersa ng pagpapanumbalik at nagiging zero. Gayunpaman, sa posisyon x= 0 ang pag-load ay may isang tiyak na halaga ng paggalaw (momentum), na nakuha dahil sa pagkilos ng puwersa ng pagpapanumbalik. Samakatuwid, ang pag-load ay lumalampas sa posisyon ng balanse, na nagsisimulang mag-deform muli sa tagsibol (ngunit sa kabaligtaran ng direksyon). Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay malamang na pabagalin ito hanggang ang bilis ay zero; at ang puwersa ay muling maghahangad na ibalik ang pagkarga sa posisyon nitong ekwilibriyo.

Hangga't walang pagkawala ng enerhiya sa system, ang load ay mag-oscilllate gaya ng inilarawan sa itaas; tinatawag na periodic ang naturang paggalaw.

Ang karagdagang pagsusuri ay magpapakita na sa kaso ng mass-spring system, ang paggalaw ay simpleng harmonic.

1.1.1.1. Dynamics ng simpleng harmonic motion

Para sa isang oscillation sa one-dimensional space, na ibinigay sa Newton's Second Law ( F= m d² x/d t² ) at batas ni Hooke ( F = −kx, tulad ng inilarawan sa itaas), mayroon kaming pangalawang-order na linear differential equation:

m ay ang masa ng katawan x- ang pag-aalis nito na may kaugnayan sa posisyon ng ekwilibriyo, k- pare-pareho (spring stiffness factor).

Ang solusyon sa differential equation na ito ay sinusoidal; isang solusyon ay ito:

saan A, ω , at φ ay mga pare-pareho, at ang posisyon ng ekwilibriyo ay kinukuha bilang inisyal. Ang bawat isa sa mga constant na ito ay kumakatawan sa isang mahalagang pisikal na katangian ng paggalaw: A ay ang amplitude ω = 2π f ay ang pabilog na dalas, at φ - unang bahagi.

Posisyon, bilis at acceleration ng harmonic oscillator

Gamit ang mga pamamaraan ng differential calculus, ang bilis at acceleration bilang isang function ng oras ay matatagpuan gamit ang mga formula:

Posisyon, bilis at acceleration ng simpleng harmonic motion sa phase plane

Ang pagpabilis ay maaari ding ipahayag bilang isang function ng displacement:

Sa abot ng ma = −mω² x = −kx , pagkatapos

Kung ganoon ω = 2π f, nakukuha namin

at dahil T = 1/f, kung saan ang T ay ang panahon ng oscillation, kung gayon

Ang mga formula na ito ay nagpapakita na ang panahon at dalas ay hindi nakadepende sa amplitude at sa paunang yugto ng paggalaw.

1.1.1.2. Enerhiya ng simpleng maharmonya na paggalaw

Kinetic energy K mga sistema bilang isang function ng oras t ay:

at ang potensyal na enerhiya ay

Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng system, gayunpaman, ay may pare-parehong halaga

1.1.1.3. Mga halimbawa

Isang load-spring system na walang damping kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion.

Ang simpleng harmonic motion ay kinakatawan sa iba't ibang simpleng pisikal na sistema at ilang halimbawa ang ibinigay sa ibaba.

1.1.1.3.1. Timbang sa isang bukal

Timbang m nakakabit sa isang bukal ng patuloy na paninigas k ay isang halimbawa ng simpleng harmonic motion sa kalawakan. Formula

nagpapakita na ang panahon ng oscillation ay hindi nakasalalay sa amplitude at gravitational acceleration.

1.1.1.3.2. Universal circular motion

Ang simpleng harmonic motion sa ilang mga kaso ay maaaring ituring bilang isang one-dimensional na projection ng unibersal na circular motion. Kung ang isang bagay ay gumagalaw sa isang angular na bilis ω sa paligid ng circumference ng radius r, na ang sentro ay ang pinagmulan ng eroplano x-y, kung gayon ang gayong paggalaw sa bawat isa sa mga coordinate axes ay simpleng harmonic na may amplitude r at pabilog na dalas ω .

1.1.1.3.3. Timbang bilang isang simpleng pendulum

Ang paggalaw ng isang pendulum na walang pamamasa ay maaaring ituring na isang simpleng harmonic motion kung ang amplitude ng oscillation ay napakaliit kumpara sa haba ng rod.

Sa maliit na anggulo approximation, ang galaw ng isang simpleng pendulum ay malapit sa simpleng harmonic. Ang panahon ng oscillation ng naturang pendulum na nakakabit sa isang baras ng haba ℓ na may free fall acceleration g ay ibinigay ng formula

Ipinapakita nito na ang panahon ng oscillation ay hindi nakadepende sa amplitude at mass ng pendulum, ngunit depende sa free fall acceleration. g, samakatuwid, na may parehong haba ng pendulum, sa Buwan ito ay iikot nang mas mabagal, dahil ang gravity ay mas mahina doon at ang halaga ng libreng pagbagsak ng acceleration ay mas mababa.

Ang tinukoy na approximation ay tama lamang sa maliliit na anggulo, dahil ang expression para sa angular acceleration ay proporsyonal sa sine ng coordinate:

ako- sandali ng pagkawalang-galaw; sa kasong ito ako = mℓ 2 .

na gumagawa ng angular acceleration na direktang proporsyonal sa anggulo θ , at natutugunan nito ang kahulugan ng simpleng harmonic motion.

1.2. Damped harmonic oscillator

Ang pagkuha ng parehong modelo bilang batayan, idinagdag namin ang puwersa ng malapot na alitan dito. Ang puwersa ng malapot na friction ay nakadirekta laban sa bilis ng paggalaw ng load na may kaugnayan sa daluyan at proporsyonal sa bilis na ito. Pagkatapos ang kabuuang puwersa na kumikilos sa pag-load ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Sa pagsasagawa ng mga katulad na aksyon, nakakakuha tayo ng differential equation na naglalarawan sa isang damped oscillator:

Ang notasyon ay ipinakilala dito: . Ang coefficient γ ay tinatawag na damping constant. Mayroon din itong sukat ng dalas.

Ang solusyon ay nahuhulog sa tatlong kaso.

• Sa mababang friction (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, kung saan ang dalas ng mga libreng oscillation.

• Ang pamamasa γ = ω 0 ay tinatawag mapanganib. Simula sa halagang ito ng damping index, gagawin ng oscillator ang tinatawag na non-oscillatory movement. Sa boundary case, ang mosyon ay nangyayari ayon sa batas:

• Para sa malakas na friction γ > ω 0, ang solusyon ay ganito ang hitsura:

, saan

Ang kritikal na pamamasa ay kapansin-pansin sa katotohanan na sa panahon ng kritikal na pamamasa na ang oscillator ay may pinakamabilis na pagpunta sa posisyon ng ekwilibriyo. Kung ang friction ay mas mababa kaysa sa kritikal, mas mabilis itong maaabot ang posisyon ng ekwilibriyo, gayunpaman, ito ay "lulusot" dito sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw, at mag-a-oscillate. Kung ang friction ay mas malaki kaysa sa kritikal, ang oscillator ay exponentially tendency sa equilibrium position, ngunit ang mas mabagal, mas malaki ang friction.

Samakatuwid, sa mga dial gauge (halimbawa, sa mga ammeter), kadalasang sinusubukan nilang ipakilala ang tiyak na kritikal na attenuation upang mabasa ang mga pagbabasa nito sa lalong madaling panahon.

Ang pamamasa ng isang oscillator ay madalas ding nailalarawan ng isang walang sukat na parameter na tinatawag na quality factor. Ang kadahilanan ng kalidad ay karaniwang tinutukoy ng liham Q. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kadahilanan ng kalidad ay:

Kung mas malaki ang quality factor, mas mabagal ang oscillations ng oscillator decay.

Ang isang oscillator na may kritikal na pamamasa ay may kalidad na kadahilanan na 0.5. Alinsunod dito, ang kadahilanan ng kalidad ay nagpapahiwatig ng likas na katangian ng pag-uugali ng oscillator. Kung ang kadahilanan ng kalidad ay mas malaki kaysa sa 0.5, kung gayon ang libreng paggalaw ng oscillator ay isang oscillation; sa paglipas ng panahon, tatawid ito sa posisyon ng ekwilibriyo ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang isang kadahilanan ng kalidad na mas mababa sa o katumbas ng 0.5 ay tumutugma sa hindi oscillatory na paggalaw ng oscillator; sa libreng paggalaw, tatawid ito sa posisyon ng ekwilibriyo nang hindi hihigit sa isang beses.

Ang kadahilanan ng kalidad ay kung minsan ay tinatawag na pakinabang ng oscillator, dahil sa ilang mga paraan ng paggulo, kapag ang dalas ng paggulo ay tumutugma sa resonant amplitude, ang oscillation amplitude ay lumalabas na humigit-kumulang Q beses na mas malaki kaysa kapag nasasabik sa mababang frequency.

Gayundin, ang kadahilanan ng kalidad ay humigit-kumulang katumbas ng bilang ng mga oscillatory cycle, kung saan bumababa ang amplitude ng oscillation sa e beses na pinarami ng π.

Sa kaso ng oscillatory motion, ang pagpapalambing ay nailalarawan din ng mga parameter tulad ng:

• Habang buhay pag-aatubili, ito oras ng pagkabulok, ito ay oras ng pagpapahinga. Ang τ ay ang oras kung kailan bababa ang oscillation amplitude e minsan.

τ = 1 / γ Ang oras na ito ay isinasaalang-alang bilang ang oras na kinakailangan para sa pamamasa (pagtigil) ng mga oscillations (bagaman ang pormal na libreng oscillations ay nagpapatuloy nang walang katiyakan).

2. Sapilitang panginginig ng boses

Pangunahing artikulo: Sapilitang panginginig ng boses

Ang mga oscillations ng isang oscillator ay tinatawag na sapilitang kapag ang ilang karagdagang panlabas na impluwensya ay ginawa dito. Ang impluwensyang ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan at ayon sa iba't ibang batas. Halimbawa, ang force excitation ay ang epekto sa pagkarga ng isang puwersa na nakasalalay lamang sa oras ayon sa isang partikular na batas. Ang kinematic excitation ay ang pagkilos sa oscillator sa pamamagitan ng paggalaw ng spring fixing point ayon sa isang ibinigay na batas. Posible rin ang epekto ng friction - ito ay kapag, halimbawa, ang medium kung saan ang load ay nakakaranas ng friction ay gumagalaw ayon sa isang ibinigay na batas.

Panitikan

Butikov EI Mga natural na oscillations ng isang linear oscillator. Pagtuturo

Mga Tala

, Simpleng relasyon , Simpleng field , Simpleng pangungusap , Prime number .

transcript

1 IV Yakovlev Mga Materyales sa physics MathUs.ru Harmonic motion Bago lutasin ang mga problema sa leaflet, dapat ulitin ang artikulong "Mechanical vibrations", kung saan nakasaad ang lahat ng kinakailangang teorya. Sa harmonic motion, nagbabago ang coordinate ng katawan ayon sa batas ng sine o cosine. Halimbawa, kung x = A sin ωt, ang projection ng velocity at ang projection ng acceleration ay v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. Gawain 1. (“Conquer Sparrow Hills!”, 014,) Dalawang katawan na may masa M at pinagdugtong ng isang bukal, tulad ng ipinapakita sa larawan. Ang katawan ay nagsasagawa ng mga harmonic vibrations sa kahabaan ng vertical na may frequency ω at amplitude A. Ang spring ay walang timbang. Hanapin ang ratio ng pinakamalaking F 1 at ang pinakamaliit na F pwersa ng presyon ng system sa eroplano ng talahanayan. Ang free fall acceleration ay g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω para sa (M +)g > Aω Problema. (Vseross., 006, final, 9) Ang isang bar ng mass M, na nakapatong sa isang pahalang na mesa, at isang spring pendulum, na binubuo ng isang bigat ng masa at isang magaan na mahabang spring, ay konektado sa pamamagitan ng isang magaan na hindi mapalawak na sinulid na inihagis sa isang ideal. hindi natitinag na bloke (tingnan ang figure). Ang koepisyent ng friction sa pagitan ng base ng bar at ng ibabaw ng talahanayan µ = 0.3. Ang ratio ng mass ng bar sa mass ng load ay M/ = 8. Ang load ay nagsasagawa ng vertical oscillations na may period T = 0.5 s. Ano ang pinakamataas na posibleng amplitude A ng naturang mga oscillations kung saan sila ay nananatiling harmonic? A () µm 1 gt 4pi = 8.8 cm, A gt 4π = 6.3 cm; kaya, A = 6.3 cm Problema 3. Ang pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations. Sa anong bahagi ng panahon ng oscillation ang pendulum ay tinanggal mula sa posisyon ng equilibrium ng hindi hihigit sa kalahati ng amplitude? 1/3 Problema 4. (MIPT, 006) Ang isang bola na nakasabit sa isang elastic spring ay umuusad na may period T at amplitude A kasama ang vertical. Ang masa ng bola ay mas malaki kaysa sa masa ng tagsibol. 1) Hanapin ang pinakamataas na bilis (modulo) ng bola v.) Hanapin ang acceleration (modulo) ng bola sa mga oras na ang bilis nito (modulo) ay katumbas ng v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Problema 5. (MIPT, 1996) Ang isang tasa na may timbang na balanse sa tagsibol ay nakapahinga. Isa pang bigat ang inilagay sa tasa. Hanapin ang amplitude ng mga oscillations ng cup. Paninigas ng tagsibol. A = g Problema 6. (MIPT, 1996) Ang isang spring ay mahigpit na nakakabit sa kisame at isang bar sa pamamagitan ng isang masa (tingnan ang figure). Ang bar ay namamalagi sa stand upang ang axis ng spring ay patayo at ang spring ay naka-compress sa pamamagitan ng halaga L. Ang stand ay mabilis na tinanggal. Hanapin ang amplitude ng mga vibrations ng bar. A = L + g Pagkatapos masunog ang thread, ang itaas na timbang ay nagsimulang mag-oscillate na may amplitude A. Hanapin ang masa ng mas mababang timbang. = A g Problema 8. (MIPT, 1996) Ang isang timbang ay itinatali ng isang sinulid na itinapon sa ibabaw ng isang bloke patungo sa isa pang timbang, na hinahawakan sa isang makinis na pahalang na mesa sa pamamagitan ng isang bukal na nakakabit sa dingding (tingnan ang figure). Ang sinulid ay nasunog, at ang pagkarga sa mesa ay nagsisimulang mag-oscillate na may amplitude A. Hanapin ang higpit ng tagsibol. = g A Problema 9. (MIPT, 199) Dalawang load na may kabuuang masa = 1 kg, na konektado ng isang nababanat na spring na may higpit = 100 N/m, nakabitin sa isang sinulid (tingnan ang figure). Hanapin ang lahat ng posibleng mga distansya kung saan ang mas mababang timbang ay dapat hilahin nang patayo pababa at pagkatapos ay bitawan upang sa mga kasunod na oscillations nito ang itaas na timbang ay nananatiling hindi gumagalaw. A g 10 cm Problema 10. (MIPT, 199) Dalawang timbang na may kabuuang masa = 1 kg, na konektado sa pamamagitan ng isang sinulid, nakabitin sa isang nababanat na bukal na may higpit = 100 N/m (tingnan ang figure). Hanapin ang lahat ng posibleng mga distansya kung saan ang mga pabigat ay dapat hilahin nang patayo pababa at pagkatapos ay bitawan upang ang thread ay hindi lumubog sa mga kasunod na vibrations ng mga timbang. A g 10 cm Problema 11. (MIPT, 199) Ang isang board na may bar na nakapatong dito ay inilalagay sa isang makinis na pahalang na ibabaw ng isang mesa (tingnan ang figure). Ang bloke ay limang beses na mas mabigat kaysa sa board. Ang sistema ay nag-o-oscillates na may amplitude A = 8 cm at period T = 0.8 s kasama ang ibabaw ng talahanayan sa ilalim ng pagkilos ng isang spring na nakakabit sa bar. Ang board at ang bar sa panahon ng vibrations ay hindi gumagalaw na may kaugnayan sa isa't isa. Sa anong mga halaga ng koepisyent ng friction sa pagitan ng board at bar posible ang mga oscillations na ito? µ 4π A gt M 0.1

3 Problema 1. (MIPT, 199) Ang isang tabla na may bar na nakapatong dito ay nasa makinis na pahalang na ibabaw ng mesa (tingnan ang figure). Ang sistema ay nag-o-oscillate sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na spring kasama ang isang tuwid na linya na may isang panahon T = 1 at isang maximum na bilis v = 0.5 m/s. Sa kasong ito, ang board at ang bar ay hindi gumagalaw na nauugnay sa isa't isa. Sa anong mga halaga ng coefficient ng sliding friction sa pagitan ng board at bar posible ang mga oscillations na ito? µ π T v g 0.3 Problema 13. (MIPT, 005) Sa isang makinis na inclined plane na may anggulo ng pagkahilig sa horizon α, isang washer of mass at isang bar ng mass 3 oscillate na may amplitude A bilang isang unit sa isang tuwid na linya sa ilalim ang pagkilos ng isang bukal na may higpit na nakakabit sa bar (tingnan ang . larawan). Sa anong minimum na koepisyent ng sliding friction sa pagitan ng washer at bar ay posible ang gayong mga oscillations? 3 α µin = tg α + A 4g cos α see figure). Ang coefficient ng sliding friction sa pagitan ng bar at ng board ay µ. Sa anong pinakamataas na amplitude ng mga oscillations ang mga naturang oscillations ay posible? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Problema 15. (MIPT, 007) Ang isang bloke ng masa ay nag-oscillates na may amplitude A 0 sa isang tuwid na linya sa isang makinis na pahalang na ibabaw ng mesa sa ilalim ng pagkilos ng isang elastic spring. Sa sandaling ang displacement ng bar mula sa posisyon ng equilibrium ay A 0 /3, isang piraso ng plasticine na may masa ang nahulog dito at natigil, na gumagalaw nang patayo bago ang epekto. Ang oras ng epekto ay mas mababa kaysa sa panahon ng oscillation, at sa panahon ng epekto ang bar ay hindi lumalabas sa talahanayan. 1) Paano at ilang beses nagbago ang panahon ng oscillation?) Hanapin ang amplitude ng oscillation ng bar pagkatapos magdikit ng plasticine. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 ang masa ng bagong kargamento ay tatlong beses ang orihinal. 1) Gaano karaming beses ang halaga ng pinakamataas na acceleration ng isang palakol sa panahon ng mga resultang oscillations ay naiiba mula sa free fall acceleration g?) Sa anong magnitude gumagalaw ang load sa sandaling ang kinetic energy nito T = 3U 0? Huwag pansinin ang pamamasa ng mga oscillations. 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 Problema 17. (MIPT, 003) Isang bola ang nakasabit sa isang spring sa isang gravitational field g. Sa posisyon ng equilibrium, ang tagsibol ay nag-imbak ng enerhiya na katumbas ng U 0. Ang bola ay hinila pababa upang ang enerhiya U 1 \u003d 9U 0 /4 ay naka-imbak sa tagsibol, at pagkatapos ay inilabas. 1) Ano ang halaga ng pinakamataas na acceleration ng isang palakol kung saan ang bola ay gumagalaw sa panahon ng mga nagresultang vertical oscillations?) Ano ang kinetic energy T ng paggalaw ng bola sa sandaling ang acceleration nito ay a = ax /? Huwag pansinin ang pamamasa ng mga oscillations. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Problema 18. (MIPT, 000) Ang mga bola ay naka-mount sa isang tuwid na pahalang na spoke at maaaring dumausdos kasama nito nang walang alitan (tingnan ang figure). Ang isang light spring ay nakakabit sa bola sa pamamagitan ng masa, at ito ay nakapahinga. Ang isang bola ng masa ay gumagalaw na may bilis na v. Ang radii ng mga bola ay mas mababa kaysa sa haba ng tagsibol. 1) Tukuyin ang bilis ng masa ng bola pagkatapos ng paghihiwalay mula sa tagsibol.) Tukuyin ang oras ng pakikipag-ugnay ng masa ng bola sa tagsibol. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Problema 19. (MIPT, 000) Dalawang bar ng masa v 3 at 3, na konektado ng isang sinulid, gumagalaw sa isang makinis na pahalang na ibabaw ng mesa na may pare-pareho ang bilis v. Sa pagitan ng mga bar ay may isang spring na may higpit, na pinipiga ng x 0 (tingnan ang figure). Ang tagsibol ay nakakabit lamang sa bar sa pamamagitan ng masa. Ang mga sukat ng mga bar ay maliit kumpara sa haba ng thread, ang masa ng tagsibol ay napapabayaan, ang bilis ng mga bar ay nakadirekta sa kahabaan ng thread. Sa panahon ng paggalaw, ang thread ay masira, at ang mga bar ay gumagalaw sa kahabaan ng unang direksyon ng thread. 1) Hanapin ang bilis ng bar ng mass 3 pagkatapos ng paghihiwalay nito mula sa spring.) Hanapin ang oras ng contact sa pagitan ng spring at ang bar ng mass 3, pagbibilang mula sa sandaling maputol ang thread. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Problema 0. (MIPT, 1999) Ang isang maliit na bloke ng masa ay nakahiga sa isang makinis na mesa sa loob ng isang matibay na frame. Ang haba ng frame ay L, timbang. Sa tulong ng isang light rod at isang spring, ang bar ay mahigpit na konektado sa isang nakapirming suporta (tingnan ang figure). Ang bar ay dinadala sa kabaligtaran ng frame at pinakawalan. Bilang resulta ng nababanat na banggaan, ang bar at ang frame ay nagsasagawa ng mga pana-panahong paggalaw. 1) Hanapin ang bilis ng frame kaagad pagkatapos ng unang banggaan sa bar.) Hanapin ang panahon ng oscillation ng bar. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Problema 1. (MIPT, 1999) Ang isang maliit na bloke ng masa ay nakahiga sa isang makinis na mesa sa loob ng isang matibay na frame na may haba na L at mass. Ang bar sa tulong ng isang light rod at isang spring ay mahigpit na konektado sa isang nakapirming suporta 1 (tingnan ang figure). Ang frame ay mahigpit na konektado sa isang nakapirming suporta sa pamamagitan ng isang spring. Sa paunang posisyon, hinawakan ng bar ang kaliwang bahagi ng frame, at ang mga bukal ay hindi na-deform. Ang frame ay dadalhin sa kaliwa, hanggang sa mahawakan ng bar ang kanang dingding ng frame, at mabitawan. Bilang resulta ng nababanat na banggaan, ang bar at ang frame ay nagsasagawa ng mga pana-panahong paggalaw. 1) Hanapin ang bilis ng bar kaagad pagkatapos ng unang banggaan sa frame.) Hanapin ang oscillation period ng frame. 1) v = L ;) T = π Problema. (MIPT, 1997) Ang isang maliit na bola ng masa na may positibong singil q ay nakasabit sa isang mahabang hindi mapapahaba na sinulid malapit sa isang malaking non-conductive plate na P (tingnan ang figure). Tukuyin ang panahon ng maliliit na oscillations ng bola kapag may negatibong charge na may surface density σ sa plato, kung alam na sa kawalan ng charge na ito ang period of oscillations ng bola ay katumbas ng T 0. Isaalang-alang ang acceleration ng gravity na ibibigay at katumbas ng g. T = T0 1+ σg ε 0 g Problema 3. (MIPT, 1997) Ang isang manipis na pader na silindro na may makinis na panloob na ibabaw ay hindi gumagalaw sa isang pahalang na matatagpuan na non-conductive plate P (tingnan ang figure). Ang mga sukat ng plato (sa pahalang na eroplano) ay mas malaki kaysa sa mga sukat ng silindro. Alam na ang ratio ng oscillation period ng isang maliit na negatibong sisingilin na bola sa loob ng cylinder sa isang tiyak na positibong density ng surface charges σ x ng plate sa oscillation period sa σ = 0 ay katumbas ng T x /T 0 = α . tukuyin ang σ x, isinasaalang-alang ang ratio α, ball charge q, ang masa nito, at gravitational acceleration g gaya ng ibinigay. σx = ε 0(1 α)g α q Problema 4. (“Sukupin ang Sparrow Hills!”, 015,) Ang patayong siko ng isang makinis na tubo ng pare-parehong cross section na nakabaluktot sa tamang anggulo ay puno ng likido na maaaring itinuturing na halos perpekto. Ang taas ng siko na ito ay katumbas ng L (at ito ay kapansin-pansing mas malaki kaysa sa nakahalang dimensyon ng tubo), at ang pagsasalin nito sa isang pahalang na siko ay hindi pinahihintulutan dahil sa ilaw na plug na hindi gumagalaw. Sa ilang mga punto, ang tapon ay malumanay na pinakawalan. Gaano katagal bago lumabas ang cork sa tubo? Ang haba ng pahalang na siko ay 3L/, binabalewala ang pag-igting sa ibabaw. t = π+1 L g 5

6 Gawain 5. (“Conquer the Sparrow Hills!”, 014,) Sa sistemang ipinapakita sa figure, ang masa ng mga load ay katumbas ng 1 at, ang higpit ng spring, ang mga bloke, ang thread at ang spring ay walang timbang, ang mga bloke ay umiikot nang walang alitan, ang thread ay hindi dumudulas sa mga bloke. Sa posisyon ng balanse, ang tagsibol ay nakaunat. Ang load 1 ay inilipat mula sa equilibrium na posisyon pababa ng isang distansya s, pagkatapos kung saan ang mga load ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations. Hanapin ang pinakamataas na bilis ng vibrating mass. v1 = s, v = v1/ ibinigay na s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Gawain 9. (MFO, 016, 11) Ang figure ay nagpapakita ng isang mekanikal na sistema kung saan ang isang walang timbang na inextensible na sinulid ay inihahagis sa isang walang timbang na bloke na may pahalang na axis na nakakabit sa kisame. Naka-attach sa mga dulo ng thread ay maliliit na masa at. Ang load ay namamalagi sa isang pahalang na suporta. Nakakabitin ang kargada. Ang pangalawang katulad na load ay nakakabit sa load sa pamamagitan ng isang walang timbang na ideal spring na may higpit, na matatagpuan patayo at may maliit na haba L 0. Sa paunang sandali, ang tagsibol ay hindi deformed, at ang pangalawang pagkarga ay namamalagi sa parehong suporta bilang ang pagkarga. Ang distansya mula sa tuktok na load hanggang sa bloke ay katumbas ng l 0. Ang mga libreng seksyon ng thread na hindi nakahiga sa pulley ng bloke ay patayo. Sa oras na t = 0, ang suporta ay nawawala (ito ay mabilis na inalis pababa). Pagkaraan ng isang oras τ pagkatapos noon, ang isa sa mga pabigat ay humipo sa bloke. Ano ang kargamento na ito? Sa anong halaga ng l 0 ang pinakamataas na oras τ? Ano ang pinakamataas na halaga ng τ? Cargo; τax = π 3 4 para sa l 0 = g 7

IV Yakovlev Mga materyales sa physics MathUs.ru Elastic na pakikipag-ugnayan Sa panahon ng nababanat na pakikipag-ugnayan ng mga katawan, lalo na, sa panahon ng nababanat na epekto, walang mga pagbabago sa kanilang panloob na estado; panloob na enerhiya ng katawan

IV Yakovlev Mga materyales sa pisika MathUs.ru Mga kinematikong relasyon sa dinamika Sa ilang mga problema ng dinamika, kasama ang mga batas ni Newton, kinakailangan ang mga di-maliit na ugnayan sa pagitan ng mga acceleration ng mga katawan

IV Yakovlev Mga materyales sa physics MathUs.ru Elastic na pakikipag-ugnayan Sa panahon ng elastic na interaksyon ng mga katawan (lalo na, sa panahon ng elastic impact) walang mga pagbabago sa kanilang panloob na estado; panloob na enerhiya

IV Yakovlev Mga materyales sa physics MathUs.ru Equation ng harmonic oscillations Equation ng oscillations. Ang 2 ẍ + ω 2 x = 0 ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng batas sa pagtitipid ng enerhiya na may kinalaman sa oras. Ipakita natin ito sa pinakasimpleng

Dalawang bangka, kasama ang mga kargamento, ay may masa M at M. Ang mga bangka ay papunta sa isa't isa sa magkatulad na mga kurso. Kapag ang mga bangka ay magkatapat, ang isang bag ay sabay-sabay na inililipat mula sa bawat bangka patungo sa kabaligtaran.

IV Yakovlev Physics materials MathUs.ru Bound bodies Problema 1. Dalawang katawan ng mass m at 2m ay konektado sa pamamagitan ng isang liwanag na hindi mapalawak na sinulid at nakahiga sa isang makinis na pahalang na ibabaw (isang katawan ng mass m ay matatagpuan sa kaliwa).

I. V. Yakovlev Mga materyales sa physics MathUs.ru Inelastic na pakikipag-ugnayan Ang mga halimbawa ng hindi elastikong pakikipag-ugnayan ay ang pagtagos ng isang bar sa pamamagitan ng isang bala o isang ganap na hindi elastikong epekto (pagkatapos nito ay gumagalaw ang mga katawan bilang isang solong

Distance training bituru PHYSICS Artikulo 8 Mechanical oscillatory systems Teoretikal na materyal Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa oscillatory motion ng mga katawan sa pamamagitan ng oscillatory motion

C1.1. Dalawang magkaparehong bar na konektado ng isang light spring rest sa isang makinis na pahalang na ibabaw ng mesa. Sa sandaling t = 0, ang kanang bloke ay magsisimulang gumalaw upang sa oras na makuha ng x ang huling bilis

I. V. Yakovlev Physics materials MathUs.ru Elastic force Problem 1. (MOSH, 2018, 10) Isang katawan na may mass na m = 2 kg ang nakapatong sa isang spring na may higpit na k = 100 N/m na nakakabit sa kisame (tingnan ang Fig. ). Nagsisimula sa kanya

1.2.1. Inertial reference system. Ang unang batas ni Newton. Prinsipyo ng relativity 28(C1) ni Galileo.1. Isang pasahero ng bus sa hintuan ng bus ang nagtali ng isang light balloon na puno ng

1 Kinematics 1 Ang materyal na punto ay gumagalaw sa kahabaan ng axis ng x upang ang coordinate ng oras ng punto ay x(0) B Hanapin ang x (t) V x Sa unang sandali Ang materyal na punto ay gumagalaw kasama ang x axis upang ang ax A x Sa inisyal

IV Yakovlev Mga materyales sa physics MathUs.ru Mga sistemang hindi konserbatibo Ang mekanikal na enerhiya E = K + W ay hindi natipid sa isang hindi konserbatibong sistema. Kung, halimbawa, ang mga puwersa ng friction ay kumikilos sa mga katawan ng system, kung gayon

216 taon Class 9 Ticket 9-1 1 Dalawang load ng masa m at matatagpuan sa isang makinis na pahalang na mesa ay konektado sa pamamagitan ng isang thread at konektado sa isang load ng mass 3m sa pamamagitan ng isa pang thread na itinapon sa isang walang timbang na bloke (tingnan ang Fig.) Sa pamamagitan ng friction

Mga gawain para sa gawain sa pagkalkula (EnMI) sa mechanics 2013/14 1. Kinematics 1. Ang isang bato ay inihagis nang patayo pataas mula sa taas na 10 m na may paunang bilis na 8 m/s. Sumulat ng equation ng paggalaw sa tatlong bersyon sa pamamagitan ng paglalagay

7 .. Ang isang manipis na homogenous rod na may mass na m at haba L ay maaaring paikutin sa isang nakapirming horizontal axis O na dumadaan sa itaas na dulo ng rod. Naka-attach sa ibabang dulo ng baras ay ang dulo ng isang pahalang

Pangkat 12-EUN Pagpipilian 1. 5.49. 1. Ang isang katawan na may mass na 313 kg ay gumagalaw nang pare-pareho kapag nagpepreno. Bumababa ang bilis nito mula 17 m/s hanggang 2 m/s sa loob ng 42 segundo. Hanapin ang lakas ng pagpepreno. 2. Bumaba ng kotse

Aralin 7 Mga batas sa konserbasyon Gawain 1 Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng pagbabago sa bilis ng dalawang nakikipag-ugnayan na cart na may magkaibang masa (ang isang cart ay humahabol at itulak ang isa pa). Anong impormasyon tungkol sa mga cart

2. DYNAMICS OF TRANSLATIONAL MOTION 134. Isang pare-parehong puwersa F = 10-2 N ang kumikilos sa katawan. Ang katawan ay gumagalaw nang may acceleration a = 0.5 m/s 2. Hanapin ang masa ng katawan. 135. Isang katawan na ang masa ay 250 g ay gumagalaw nang may pagbilis

ДЗ2015(2)2.2(5) 1. Ang isang bigat na nakakabit sa dingding sa pamamagitan ng isang spring ay nakahiga sa isang magaspang na ibabaw. Ang tagsibol ay hindi deformed. Kung ang pagkarga ay hinila sa layo na L at pinakawalan, ito ay titigil sa orihinal nitong posisyon,

Mga ipinagpaliban na gawain (88) Isang bola na inihagis nang patayo paitaas na may bilis na υ, pagkaraan ng ilang oras, ay nahulog sa ibabaw ng Earth. Aling graph ang tumutugma sa pag-asa ng projection ng bilis sa x-axis sa oras ng paggalaw?

Pahina 1 ng 9 04/11/2016 21:29 Ang isang napakalaking board ay pivotally suspendido mula sa kisame sa isang light rod. Isang bola ng plasticine na tumitimbang ng 0.2 kg ang tumama sa tabla sa bilis na 10 m/s at dumikit dito. bilis ng bola kanina

Ang ikalawang huling) yugto ng akademikong kumpetisyon ng Olympiad para sa mga mag-aaral na "Step into the Future" sa pangkalahatang edukasyon na paksa na "Physics" Spring, Ika-6 na Pagpipilian 5 PROBLEMA Isang katawan na gumagalaw nang pare-pareho sa

Ticket N 5 Ticket N 4 Tanong N 1 Dalawang bar na may masa m 1 \u003d 10.0 kg at m 2 \u003d 8.0 kg, na konektado sa pamamagitan ng isang liwanag na hindi mapapahaba na sinulid, i-slide kasama ang isang hilig na eroplano na may isang anggulo ng pagkahilig \u003d 30. Tukuyin ang acceleration ng system.

Year 16 Class 1 Ticket 1-1 1. Dalawang load ng masa at 5, na matatagpuan sa isang makinis na pahalang na mesa, ay konektado sa pamamagitan ng isang thread at konektado sa load sa pamamagitan ng isang mass ng isa pang thread na itinapon sa isang walang timbang na bloke (tingnan ang figure). alitan

"OSCILLATIONS AND WAVES" INDIVIDUAL TASK 1. Opsyon 1. 1. Sa anong bahagi ng haba dapat bawasan ang haba ng mathematical pendulum upang ang panahon ng mga oscillations nito sa taas na 10 km ay katumbas ng period nito mga oscillations

Ang ikalawang huling) yugto ng akademikong kumpetisyon ng Olympiad para sa mga mag-aaral na "Step into the Future" sa pangkalahatang edukasyon na paksa na "Physics" Spring, 6 na taon Pagpipilian 3 PROBLEMA Isang katawan na gumagalaw nang pare-pareho sa

Thematic diagnostic work bilang paghahanda para sa pagsusulit sa PHYSICS sa paksang "Mechanics" December 18, 2014 Grade 10 Option PHI00103 (90 minuto) District. Lungsod (bayan). Apelyido ng Klase ng Paaralan. Pangalan.

Problema ng mag-aaral na libro izprtalru 6 Dynamics ng rectilinear motion Ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto (pangalawang batas ni Newton) para sa isang katawan ng pare-pareho ang masa sa inertial reference frame ay may anyo

Ang pangalawang (panghuling) yugto ng akademikong kumpetisyon ng Olympiad para sa mga mag-aaral na "Step into the Future" sa pangkalahatang paksa ng edukasyon na "Physics" Spring, 6 y

Ang batas ng pagbabago ng radius-vector r ng isang particle ay kilala: r (t) b t. Narito ang t ay oras, isang positibong pare-pareho, b ay isang vector, pare-pareho sa magnitude at direksyon. Hanapin ang landas na tinahak ng particle mula noon

1. Isang bola na inihagis nang patayo pataas na may bilis na υ ay nahulog sa ibabaw ng Earth pagkaraan ng ilang oras. Aling graph ang tumutugma sa pag-asa ng projection ng bilis sa x-axis sa oras ng paggalaw? Ang OX axis ay nakadirekta

Physics. Baitang 9 Pagsasanay "Inertia. Mga batas ni Newton. Mga puwersa sa mekanika» 1 Inertia. Mga batas ni Newton. Forces in mechanics Opsyon 1 1 Ang isang metal bar ay sinuspinde mula sa isang bukal at ganap na inilulubog sa isang sisidlan na may tubig, na

MECHANICS Kirillov A.M., guro ng gymnasium 44, Sochi (http://kirillandrey72.narod.ru/) ., Khoruzhy V.D.

Ticket N 5 Ticket N 4 Tanong N 1 Ang isang pahalang na puwersa ay nagsisimulang kumilos sa isang katawan na may mass na m 2.0 kg, ang modulus na depende sa linearly sa oras: F t, kung saan 0.7 N / s. Friction coefficient k 0.1. Tukuyin ang sandali

Solusyon sa mga problema "Mga mekanikal na oscillations Sa mga harmonic oscillations ng isang spring pendulum, ang coordinate ng load ay nagbabago sa paglipas ng panahon t, tulad ng ipinapakita sa figure. Ang period T at ang amplitude ng oscillations A ay pantay

Ticket N 5 Ticket N 4 Tanong N 1 Isang manipis na baras ng mass M 0 = 1 kg at haba l = 60 cm ay nakahiga sa makinis na pahalang na ibabaw. Ang baras ay maaaring malayang umiikot sa paligid ng isang nakapirming vertical axis na dumadaan

IV Yakovlev Mga Materyales sa physics MathUs.ru Enerhiya ng mga singil Kung ang punto ay nagsingil 1 at nasa layo na r mula sa isa't isa, kung gayon ang potensyal na enerhiya ng kanilang pakikipag-ugnayan ay katumbas ng W = k 1. r Potensyal na enerhiya

I. V. Yakovlev Mga materyales sa physics MathUs.ru Mga Nilalaman Friction force 1 All-Russian Olympiad para sa mga mag-aaral sa physics......................... 1 2 Moscow Physics Olympiad ...... ............... 3 3 MIPT

Mga Gawain A22 sa physics 1. Kung ang isang load ay sinuspinde mula sa isang magaan na elastic spring, kung gayon ang spring, na nasa equilibrium, ay iuunat ng 10 cm. Ano ang magiging panahon ng libreng oscillations ng load na ito,

Physics. Baitang 11. Pagsasanay "Mga pwersa sa kalikasan" 1 Mga puwersa sa kalikasan Mga gawain para sa pagsasanay 1 Ang tubig na tumitimbang ng 1.5 kg ay ibinubuhos sa isang sisidlan na may hugis ng pinutol na kono (tingnan ang figure). Ang lugar ng ilalim ng sisidlan ay 100 cm 2,

Mga opsyon para sa takdang-aralin HARMONIC OSCILLATIONS AND WAVES Opsyon 1. 1. Ang Figure a ay nagpapakita ng graph ng oscillatory motion. Oscillation equation x = Asin(ωt + α o). Tukuyin ang paunang yugto. x O t

IV Yakovlev Materials on Physics MathUs.ru Inclined Plane Problema 1. Ang isang bloke ng masa ay inilalagay sa isang makinis na inclined na eroplano na may anggulo ng hilig at inilabas. Hanapin ang acceleration ng bar at ang puwersa na ginagawa ng bar

C1.1. Matapos ang pagtulak, ang yelo ay gumulong sa isang hukay na may makinis na mga dingding, kung saan maaari itong gumalaw halos nang walang alitan. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng dependence ng enerhiya ng pakikipag-ugnayan ng isang ice floe sa Earth sa

Mga gawain para sa malayang gawain ng mga mag-aaral Modyul 6 "Mechanical vibrations"... 3 Paksa 1. Kinematics of harmonic vibrations... 3 Paksa 2. Addition of vibrations... 8 Paksa 3. Dynamics of harmonic vibrations...

IV Yakovlev Materials on Physics MathUs.ru Pag-ikot ng matibay na katawan Problema 1. (MIPT, 2003)

Kontrolin ang mga gawain sa paksang "DYNAMICS" 1 (A) Isang parachutist na tumitimbang ng 65 kg ang bumaba gamit ang isang bukas na parasyut. Ano ang puwersa ng air resistance F c sa kaso ng isang steady skydiver's speed? Ano ang resulta

DZ 3.3 (01) 1. Ang punto ay gumagawa ng mga harmonic oscillations sa isang tuwid na linya sa pagitan ng mga posisyon A at B. Alam na ang maximum na bilis nito ay V m \u003d 10 m / s, hanapin ang average na bilis nito sa daan mula A hanggang B. 2 Sa yugto

Pagsasanay sa distansya Abituru PHYSICS Artikulo Mga batas ni Newton Teoretikal na materyal Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga gawain ng paglalapat ng mga batas ni Newton

Ticket N 10 Ticket N 9 Tanong N 1 Ang gyroscope ay nauuna sa paligid ng lower fulcrum. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng gyroscope ay I \u003d 0.2 kg m 2, ang angular na bilis ng pag-ikot ay 0 \u003d 1000 s -1, ang mass m \u003d 20 kg, ang sentro ng masa ay

MGA PROBLEMA PARA SA INDIBIDWAL NA TRABAHO 3 1. Ang isang homogenous na disk na may radius na 40 cm ay nag-o-oscillate tungkol sa isang pahalang na axis na dumadaan sa isang suspension point na tumutugma sa isa sa generatrix ng ibabaw ng disk.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema Halimbawa 1 Ang isang walang timbang na hindi mapalawak na sinulid ay inihahagis sa isang bloke na umiikot sa paligid ng isang pahalang na axis (Larawan 1a), hanggang sa mga dulo nito ay tumitimbang 1 at

6.1. Ang isang homogenous na silindro ng mass M at radius R ay maaaring umikot nang walang friction sa paligid ng isang pahalang na axis. Ang isang thread ay sugat sa paligid ng silindro, sa dulo kung saan ang isang load ng mass m ay nakakabit. Hanapin ang dependence ng kinetic energy

I. V. Yakovlev Materials on physics MathUs.ru Olympiad "Phystech" sa physics Grade 11, online stage, 2013/14 1. Isang bato na itinapon mula sa bubong ng isang kamalig na halos patayo pataas na may bilis na 15 m/s ay nahulog sa lupa

I. V. Yakovlev Physics materials MathUs.ru Mga konserbatibong sistema Ang isang sistema ng mga katawan ay tinatawag na konserbatibo kung ang batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya ay nasiyahan para dito: K + W = const, kung saan ang K ay kinetic

Baitang 10. Round 1 1. Gawain 1 Kung ang isang bar na tumitimbang ng 0.5 kg ay idiniin sa isang magaspang na patayong pader na may puwersang 15 N na nakadirekta nang pahalang, pagkatapos ito ay dumudulas nang pantay-pantay. Sa kung ano ang gagawin ng modulo acceleration

1.2.1. Inertial reference system. Ang unang batas ni Newton. Prinsipyo ng relativity ni Galileo 27.1. Itinali ng isang pasahero ng bus sa hintuan ng bus ang isang light balloon na puno ng helium sa hawakan ng upuan sa pamamagitan ng isang sinulid.

Statics Levers 1. Ang dalawang tasa ay balanse sa hindi pantay na sukat. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ng baso ay l. Ang isang masa ng tubig m ay kinuha mula sa isang baso at ibinuhos sa pangalawa. Kung sa parehong oras ang suporta sa balanse ay inilipat

Gawain #1 Pagsubok sa paksang "Mga mekanikal na panginginig ng boses" Ang coordinate ng isang oscillating body ay nagbabago ayon sa batas X=5ˑcos(/2)t (m). Ano ang dalas ng oscillation? Ang lahat ng mga dami ay ipinahayag sa mga yunit ng SI. 1) 2 Hz. 2) 1/2

Aralin 3. Mga pangunahing prinsipyo ng dinamika. Forces: gravity, reactions, elasticity Option 3 ... Maraming pwersa ang kumikilos sa isang katawan na may mass na 0 kg, ang resulta nito ay pare-pareho at katumbas ng 5 N. Relative to the inertial

1 opsyon A1. Ang sistema ay binubuo ng dalawang katawan a at b. Sa figure, ang mga arrow sa isang naibigay na sukat ay nagpapahiwatig ng momenta ng mga katawan na ito. 1) 2.0 kg m/s 2) 3.6 kg m/s 3) 7.2 kg m/s 4) 10.0 kg m/s A2. Ang isang tao ng mass m ay tumatalon

1 Salpok. Ang batas ng konserbasyon ng momentum 1. Anong formula ang maaaring gamitin sa pagkalkula ng momentum ng isang katawan? 1) p m) p ma 3) p m 4) p Ft. Ano ang pagbabago sa momentum ng katawan? 1) pagbabago sa bilis ng katawan) ang salpok ng puwersang kumikilos

Dynamic 008. Ang puwersa na nangyayari sa pagitan ng drive belt at ng pulley kapag ito ay gumagalaw ay ang puwersa A) ng pag-igting. B) sliding friction. C) rolling friction. D) pagkalastiko. E) static friction .. Ang resulta ng tatlo

Pagkalkula at graphic na gawain sa mechanics Gawain 1. 1 Ang pag-asa ng acceleration sa oras para sa ilang paggalaw ng katawan ay ipinapakita sa fig. Tukuyin ang average na bilis ng lupa para sa unang 8 s. bilis ng pagsisimula

Pagpipilian 1 1. Anong gawain A ang kailangang gawin upang iunat ang x=1 mm isang bakal na baras na may haba l=1 m at isang cross-sectional area na S katumbas ng 1 cm 2? 2. Dalawang bukal na may katigasan k 1 =0.3 kN/m at k 2

Mga batas sa konserbasyon Ang momentum ng isang katawan (materyal point) ay isang pisikal na dami ng vector na katumbas ng produkto ng masa ng katawan at ang bilis nito. p = m υ [p] = kg m/s p υ Ang salpok ng puwersa ay isang pisikal na dami ng vector,

Ang cosine sa solusyon ng equation (21.2) ay nagmumungkahi na ang harmonic motion ay may kinalaman sa circular motion. Ang paghahambing na ito, siyempre, ay artipisyal, dahil sa isang linear na paggalaw ay wala kahit saan upang makakuha ng isang bilog: ang timbang ay gumagalaw nang mahigpit pataas at pababa. Maaari nating bigyang-katwiran ang ating sarili sa pamamagitan ng katotohanan na nalutas na natin ang equation ng harmonic motion noong pinag-aralan natin ang mekanika ng paggalaw sa isang bilog. Kung ang isang particle ay gumagalaw sa isang bilog sa isang pare-pareho ang bilis, ang radius vector mula sa gitna ng bilog hanggang sa particle ay umiikot sa isang anggulo na ang magnitude ay proporsyonal sa oras. Tukuyin natin ang anggulong ito (Larawan 21.2). Pagkatapos . Ito ay kilala na ang acceleration at itinuro sa gitna. Ang mga coordinate ng gumagalaw na punto sa isang naibigay na sandali ay

Ano ang masasabi tungkol sa acceleration? Ano ang -component ng acceleration? Ang halagang ito ay mahahanap na puro geometrically: ito ay katumbas ng acceleration value na pinarami ng cosine ng projection angle; Bago ang resultang expression, dapat kang maglagay ng minus sign, dahil ang acceleration ay nakadirekta patungo sa gitna:

Sa madaling salita, kapag ang isang particle ay gumagalaw sa isang bilog, ang pahalang na bahagi ng paggalaw ay may acceleration na proporsyonal sa pahalang na displacement mula sa gitna. Siyempre, alam natin ang mga solusyon para sa kaso ng circular motion: . Ang equation (21.7) ay hindi naglalaman ng radius ng bilog; ito ay pareho kapag gumagalaw kasama ang anumang bilog na may parehong .

Fig. 21.2. Isang particle na gumagalaw sa isang bilog sa isang pare-pareho ang bilis.

Kaya, mayroong ilang mga dahilan kung bakit dapat nating asahan na ang pagpapalihis ng bigat sa spring ay magiging proporsyonal at ang paggalaw ay magmumukhang parang sinusundan natin ang -coordinate ng isang particle na gumagalaw sa isang bilog na may angular velocity . Maaari mong suriin ito sa pamamagitan ng pagse-set up ng isang eksperimento upang ipakita na ang paggalaw ng isang timbang pataas at pababa sa isang spring ay eksaktong tumutugma sa paggalaw ng isang punto sa isang bilog. Sa FIG. 21.3 Ang liwanag ng isang arc lamp ay nagpapalabas sa screen ng mga anino ng isang karayom ​​na nakaipit sa isang umiikot na disk at isang patayong nanginginig na timbang na gumagalaw nang magkatabi. Kung gagawin mong mag-oscillate ang timbang sa oras at mula sa tamang lugar, at pagkatapos ay maingat na piliin ang bilis ng paggalaw ng disk upang ang mga frequency ng kanilang mga paggalaw ay nag-tutugma, ang mga anino sa screen ay eksaktong susunod sa isa't isa. Narito ang isa pang paraan upang matiyak na, sa pamamagitan ng paghahanap ng isang numerical na solusyon, kami ay halos malapit na sa cosine.

Fig. 21.3. Pagpapakita ng pagkakapareho ng simpleng harmonic motion at unipormeng pabilog na paggalaw.

Dito maaari itong bigyang-diin na dahil ang matematika ng pare-parehong paggalaw kasama ang isang bilog ay halos kapareho sa matematika ng oscillatory motion pataas at pababa, ang pagsusuri ng oscillatory motions ay lubos na pinasimple kung ang paggalaw na ito ay kinakatawan bilang isang projection ng paggalaw sa isang bilog. . Sa madaling salita, maaari nating dagdagan ang equation (21.2), na tila isang ganap na kalabisan na equation para sa at isaalang-alang ang parehong mga equation nang magkasama. Kapag nagawa ito, babawasan natin ang mga one-dimensional na oscillations sa circular motion, na magliligtas sa atin mula sa paglutas ng isang differential equation. Maaari kang gumawa ng isa pang trick - ipakilala ang mga kumplikadong numero, ngunit higit pa sa iyon sa susunod na kabanata.

Ang cosine sa solusyon ng equation (21.2) ay nagmumungkahi na ang harmonic motion ay may kinalaman sa circular motion. Ang paghahambing na ito, siyempre, ay artipisyal, dahil sa isang linear na paggalaw ay wala kahit saan upang makakuha ng isang bilog: ang timbang ay gumagalaw nang mahigpit pataas at pababa. Maaari nating bigyang-katwiran ang ating sarili sa pamamagitan ng katotohanan na nalutas na natin ang equation ng harmonic motion noong pinag-aralan natin ang mekanika ng paggalaw sa isang bilog. Kung ang isang particle ay gumagalaw kasama ang isang bilog na may pare-pareho ang bilis v, ang radius vector mula sa gitna ng bilog hanggang sa particle ay umiikot sa isang anggulo, ang halaga nito ay proporsyonal sa oras. Tukuyin natin ang anggulong ito θ=vt/R (Fig. 21.2). Pagkatapos dQθ/dt=ω 0 =v/R. Ito ay kilala na ang acceleration a=v 2 /R = ω 2 0 R at nakadirekta patungo sa gitna. Ang mga coordinate ng gumagalaw na punto sa isang naibigay na sandali ay
x = R cos θ, y = R sin θ.

Ano ang masasabi tungkol sa acceleration? Ano ang x-component ng acceleration, d 2 x/dt 2 ? Ang halagang ito ay mahahanap na puro geometrically: ito ay katumbas ng acceleration value na pinarami ng cosine ng projection angle; Bago ang resultang expression, dapat kang maglagay ng minus sign, dahil ang acceleration ay nakadirekta patungo sa gitna:

Sa madaling salita, kapag ang isang particle ay gumagalaw sa isang bilog, ang pahalang na bahagi ng paggalaw ay may acceleration na proporsyonal sa pahalang na displacement mula sa gitna. Siyempre, alam natin ang mga solusyon para sa kaso ng circular motion: x=R cos ω 0 t. Ang equation (21.7) ay hindi naglalaman ng radius ng bilog; ito ay pareho kapag gumagalaw sa anumang bilog para sa parehong ω 0 . Kaya, may ilang mga dahilan kung bakit dapat nating asahan na ang pagpapalihis ng bigat sa spring ay magiging proporsyonal sa cos ω 0 t at ang paggalaw ay magmumukhang parang sinusundan natin ang x-coordinate ng isang particle na gumagalaw sa isang bilog na may isang angular velocity ω 0 . Maaari mong suriin ito sa pamamagitan ng pag-set up ng isang eksperimento upang ipakita na ang paggalaw ng bigat pataas at pababa sa spring ay eksaktong tumutugma sa paggalaw ng punto sa kahabaan ng bilog. Sa FIG. 21.3 Ang liwanag ng isang arc lamp ay nagpapalabas sa screen ng mga anino ng isang karayom ​​na nakaipit sa isang umiikot na disk at isang patayong nanginginig na timbang na gumagalaw nang magkatabi. Kung gagawin mong mag-oscillate ang timbang sa oras at mula sa tamang lugar, at pagkatapos ay maingat na piliin ang bilis ng paggalaw ng disk upang ang mga frequency ng kanilang mga paggalaw ay nag-tutugma, ang mga anino sa screen ay eksaktong susunod sa isa't isa. Narito ang isa pang paraan upang matiyak na, sa pamamagitan ng paghahanap ng isang numerical na solusyon, kami ay halos malapit na sa cosine.

Dito maaari itong bigyang-diin na dahil ang matematika ng pare-parehong paggalaw kasama ang isang bilog ay halos kapareho sa matematika ng oscillatory motion pataas at pababa, ang pagsusuri ng oscillatory motions ay lubos na pinasimple kung ang paggalaw na ito ay kinakatawan bilang isang projection ng paggalaw sa isang bilog. . Sa madaling salita, maaari nating dagdagan ang equation (21.2), na tila isang ganap na kalabisan na equation para sa y, at isaalang-alang ang parehong mga equation nang magkasama. Kapag nagawa ito, babawasan natin ang mga one-dimensional na oscillations sa circular motion, na magliligtas sa atin mula sa paglutas ng isang differential equation. Ang isa pang trick na maaari mong gawin ay ang pagpasok ng mga kumplikadong numero, ngunit higit pa sa iyon sa susunod na kabanata.