NUMERICAL SEQUENCS VI

§ l48. Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Hanggang ngayon, kung pag-uusapan ang mga kabuuan, palagi naming ipinapalagay na ang bilang ng mga termino sa mga kabuuan na ito ay may hangganan (halimbawa, 2, 15, 1000, atbp.). Ngunit kapag nilulutas ang ilang mga problema (lalo na ang mas mataas na matematika), kailangang harapin ang mga kabuuan ng walang katapusang bilang ng mga termino

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Ano ang mga halagang ito? A-prioryo ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino a 1 , a 2 , ..., a n , ... ay tinatawag na limitasyon ng kabuuan S n una P mga numero kung kailan P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limitasyon (2), siyempre, maaaring umiiral o hindi. Alinsunod dito, ang kabuuan (1) ay sinasabing umiiral o hindi umiiral.

Paano malalaman kung ang kabuuan (1) ay umiiral sa bawat partikular na kaso? Ang isang pangkalahatang solusyon sa tanong na ito ay higit pa sa saklaw ng aming programa. Gayunpaman, mayroong isang mahalagang espesyal na kaso na dapat nating isaalang-alang ngayon. Pag-uusapan natin ang tungkol sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Hayaan a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Nangangahulugan ito na | q |< 1. Сумма первых P ang mga miyembro ng pag-unlad na ito ay katumbas ng

Mula sa mga pangunahing teorema sa mga limitasyon ng mga variable (tingnan ang § 136) makuha natin ang:

Ngunit 1 = 1, a q n = 0. Samakatuwid

Kaya, ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay katumbas ng unang termino ng pag-unlad na ito na hinati ng isang bawas sa denominator ng pag-unlad na ito.

1) Ang kabuuan ng geometric progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ay

at ang kabuuan ng isang geometric progression ay 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... katumbas

2) Isang simpleng periodic fraction na 0.454545 ... naging ordinaryo.

Upang malutas ang problemang ito, kinakatawan namin ang fraction na ito bilang isang walang katapusang kabuuan:

Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang unang termino kung saan ay 45/100, at ang denominator ay 1/100. Kaya

Sa paraang inilarawan, ang pangkalahatang tuntunin para sa pag-convert ng mga simpleng periodic fraction sa ordinaryong fraction ay maaari ding makuha (tingnan ang Kabanata II, § 38):

Upang i-convert ang isang simpleng periodic fraction sa isang ordinaryo, kailangan mong magpatuloy tulad ng sumusunod: ilagay ang panahon ng decimal fraction sa numerator, at sa denominator - isang numero na binubuo ng nines na kinuha nang maraming beses hangga't mayroong mga digit sa period ng decimal fraction.

3) Mixed periodic fraction 0.58333 .... nagiging ordinaryong fraction.

Katawanin natin ang fraction na ito bilang isang walang katapusang kabuuan:

Sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, ang lahat ng mga termino, simula sa 3/1000, ay bumubuo ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang unang termino kung saan ay 3/1000, at ang denominator ay 1/10. Kaya

Sa paraang inilarawan, ang pangkalahatang tuntunin para sa pagbabago ng mga pinaghalong periodic fraction sa ordinaryong mga fraction ay maaari ding makuha (tingnan ang Kabanata II, § 38). Hindi namin sinasadyang isama ito dito. Hindi na kailangang isaulo ang masalimuot na tuntuning ito. Higit na kapaki-pakinabang na malaman na ang anumang halo-halong periodic fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad at ilang numero. At ang formula

para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, dapat isa, siyempre, tandaan.

Bilang ehersisyo, inaanyayahan ka namin, bilang karagdagan sa mga problema No. 995-1000 sa ibaba, na muling bumaling sa problema No. 301 § 38.

Mga ehersisyo

995. Ano ang tinatawag na kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad?

996. Maghanap ng mga kabuuan ng walang katapusang pagbaba ng mga geometric na pag-unlad:

997. Para sa anong halaga X pag-unlad

ay walang katapusan na bumababa? Hanapin ang kabuuan ng naturang pag-unlad.

998. Sa isang equilateral triangle na may gilid a ang isang bagong tatsulok ay nakasulat sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga midpoint ng mga gilid nito; isang bagong tatsulok ang nakasulat sa tatsulok na ito sa parehong paraan, at iba pa ang ad infinitum.

a) ang kabuuan ng mga perimeter ng lahat ng mga tatsulok na ito;

b) ang kabuuan ng kanilang mga lugar.

999. Sa isang parisukat na may gilid a ang isang bagong parisukat ay nakasulat sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga midpoint ng mga gilid nito; ang isang parisukat ay nakasulat sa parisukat na ito sa parehong paraan, at iba pa ang ad infinitum. Hanapin ang kabuuan ng mga perimeter ng lahat ng mga parisukat na ito at ang kabuuan ng kanilang mga lugar.

1000. Gumawa ng walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, na ang kabuuan nito ay katumbas ng 25 / 4, at ang kabuuan ng mga parisukat ng mga termino nito ay katumbas ng 625 / 24.

Ang geometric progression ay isang numerical sequence, ang unang termino ay non-zero, at ang bawat susunod na term ay katumbas ng nakaraang term na pina-multiply sa parehong non-zero na numero.

Ang konsepto ng geometric progression

Ang geometric progression ay tinutukoy ng b1,b2,b3, …, bn, … .

Ang ratio ng anumang termino ng geometric error sa nakaraang termino nito ay katumbas ng parehong numero, iyon ay, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ito ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan ng isang arithmetic progression. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad. Karaniwan ang denominator ng isang geometric na pag-unlad ay tinutukoy ng titik q.

Ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad para sa |q|<1

Ang isang paraan upang magtakda ng geometric na pag-unlad ay ang itakda ang unang termino nito b1 at ang denominator ng geometric error q. Halimbawa, b1=4, q=-2. Ang dalawang kundisyong ito ay nagbibigay ng geometric na pag-unlad ng 4, -8, 16, -32, … .

Kung ang q>0 (q ay hindi katumbas ng 1), kung gayon ang pag-unlad ay isang monotonic sequence. Halimbawa, ang sequence, 2, 4,8,16,32, ... ay isang monotonically increase sequence (b1=2, q=2).

Kung ang denominator q=1 sa geometric error, ang lahat ng miyembro ng geometric progression ay magiging pantay sa isa't isa. Sa ganitong mga kaso, ang pag-unlad ay sinasabing isang pare-parehong pagkakasunud-sunod.

Upang ang numerical sequence (bn) ay maging isang geometric progression, kinakailangan na ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay ang geometric na mean ng mga kalapit na miyembro. Iyon ay, kinakailangan upang matupad ang sumusunod na equation
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para sa anumang n>0, kung saan nabibilang ang n sa hanay ng mga natural na numero N.

Ngayon ilagay natin ang (Xn) - isang geometric progression. Ang denominator ng geometric progression q, na may |q|∞).
Kung tinutukoy natin ngayon ng S ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad, kung gayon ang sumusunod na pormula ay mananatili:
S=x1/(1-q).

Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa:

Hanapin ang kabuuan ng isang infinite geometric progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Upang mahanap ang S, ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng arithmetic. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Kung bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang numerical sequence ay isang function ng isang natural na argumento.

Numero a 1 tinawag ang unang miyembro ng sequence , numero a 2 — ang pangalawang miyembro ng sequence , numero a 3 — pangatlo atbp. Numero isang n tinawag nth miyembro ng sequence , at ang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkalapit na miyembro isang n at isang n +1 pagkakasunud-sunod ng miyembro isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), a isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, dapat kang tumukoy ng isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay sa nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyong matukoy ang isang miyembro ng sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

ang pagkakasunod-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 at -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng sequence, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

kung a 1 = 1 , a isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong miyembro ng numerical sequence ay itinakda tulad ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas at walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Prime number sequence:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag humihina , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ay isang pataas na pagkakasunod-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ay isang pababang pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression tinatawag ang isang sequence, ang bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at naunang mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression.

Upang magtakda ng pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang tukuyin ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n -th miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k + a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika na ito na pantay na may pagitan dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng arithmetic, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, bilang

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n ang mga miyembro ng isang arithmetic progression ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga extreme terms sa bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung ito ay kinakailangan upang sum ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n atS n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonikong sequence. kung saan:

• kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

geometric na pag-unlad tinatawag ang isang sequence, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na termino ng geometric na pag-unlad na ito sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Upang magtakda ng isang geometric na pag-unlad, sapat na upang tukuyin ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n -th term ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng isang geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang sequence na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang paninindigan. ◄

Tandaan na n ika ka termino ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang anumang nakaraang termino b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang geometric na progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , bilang

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng geometric progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= n.b. 1

Tandaan na kung kailangan nating isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n at S n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• Ang isang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang geometric progression ay sign-alternating: ang odd-numbered terms nito ay may kaparehong sign sa unang term nito, at even-numbered terms ay may kabaligtaran na sign. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay tinatawag na infinite geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa sa 1 , ibig sabihin

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Ito ay akma sa kaso

1 < q< 0 .

Sa ganoong denominator, ang sequence ay sign-alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang numero kung saan ang kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang numerong ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , pagkatapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ay isang geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ay isang geometric progression na may denominator q , pagkatapos

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . ay isang geometric progression na may denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Ang ilang mga problema ng pisika at matematika ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng serye ng numero. Ang dalawang pinakasimpleng pagkakasunud-sunod ng numero na itinuturo sa mga paaralan ay algebraic at geometric. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin nang mas detalyado ang tanong kung paano mahahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng isang geometric na bumababa.

geometric na pag-unlad

Ang mga salitang ito ay nangangahulugang isang serye ng mga tunay na numero, ang mga elementong a i na kung saan ay nagbibigay-kasiyahan sa pagpapahayag:

Narito ang i ay ang bilang ng elemento sa serye, ang r ay isang pare-parehong numero, na tinatawag na denominator.

Ang kahulugan na ito ay nagpapakita na, alam ang anumang termino ng pag-unlad at ang denominator nito, posibleng ibalik ang buong serye ng mga numero. Halimbawa, kung ang ika-10 elemento ay kilala, pagkatapos ay hatiin ito sa pamamagitan ng r, makuha natin ang ika-9 na elemento, pagkatapos ay hahatiin itong muli, makuha natin ang ika-8 at iba pa. Ang mga simpleng argumentong ito ay nagbibigay-daan sa amin na magsulat ng isang expression na wasto para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang:

Ang isang halimbawa ng progression na may denominator na 2 ay:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Kung ang denominator ay -2, ang isang ganap na magkakaibang serye ay nakuha:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Ang isang geometric na pag-unlad ay mas mabilis kaysa sa isang algebraic, iyon ay, ang mga termino nito ay mabilis na tumataas at mabilis na bumababa.

Ang kabuuan ng i miyembro ng progression

Upang malutas ang mga praktikal na problema, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuan ng ilang mga elemento ng itinuturing na numerical sequence. Para sa kasong ito, wasto ang sumusunod na formula:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Makikita na upang kalkulahin ang kabuuan ng mga terminong i, kailangan mong malaman ang dalawang numero lamang: a 1 at r, na lohikal, dahil natatanging tinutukoy nila ang buong pagkakasunud-sunod.

Pababang pagkakasunod-sunod at ang kabuuan ng mga termino nito

Ngayon isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso. Ipagpalagay namin na ang ganap na halaga ng denominator r ay hindi lalampas sa isa, ibig sabihin, -1

Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay kawili-wiling isaalang-alang dahil ang walang katapusang kabuuan ng mga termino nito ay may posibilidad sa isang may hangganang tunay na numero.

Kunin natin ang sum formula Madali itong gawin kung isusulat natin ang expression para sa S i na ibinigay sa nakaraang talata. Meron kami:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Isaalang-alang ang kaso kapag i->∞. Dahil ang modulus ng denominator ay mas mababa sa 1, kung gayon ang pagtaas nito sa isang walang katapusang kapangyarihan ay magbibigay ng zero. Maaari itong ma-verify gamit ang halimbawa r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Bilang resulta, ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ng pagbaba ay magkakaroon ng anyo:

Ang formula na ito ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang kalkulahin ang mga lugar ng mga numero. Ginagamit din ito sa paglutas ng kabalintunaan ni Zeno ng Elea na may isang pagong at Achilles.

Malinaw, kung isasaalang-alang ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng isang geometric na pagtaas (r>1), ay hahantong sa resulta na S ∞ = +∞.

Ang problema sa paghahanap ng unang termino ng pag-unlad

Ipapakita namin kung paano dapat ilapat ang mga formula sa itaas gamit ang halimbawa ng paglutas ng problema. Ito ay kilala na ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ay 11. Bukod dito, ang ika-7 termino nito ay 6 na beses na mas mababa kaysa sa ikatlong termino. Ano ang unang elemento para sa serye ng numerong ito?

Una, isulat natin ang dalawang expression para sa pagtukoy ng ika-7 at ika-3 elemento. Nakukuha namin ang:

Ang paghahati ng unang expression sa pangalawa, at pagpapahayag ng denominator, mayroon tayong:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

Dahil ang ratio ng ikapito at pangatlong termino ay ibinigay sa kondisyon ng problema, maaari nating palitan ito at hanapin ang r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

Kinakalkula namin ang r na may katumpakan ng limang makabuluhang digit pagkatapos ng decimal point. Dahil ang resultang halaga ay mas mababa sa isa, nangangahulugan ito na ang pag-unlad ay bumababa, na nagbibigay-katwiran sa paggamit ng formula para sa walang katapusang kabuuan nito. Isinulat namin ang expression para sa unang termino sa mga tuntunin ng kabuuan S ∞ :

Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga sa formula na ito at makuha ang sagot:

isang 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

Ang sikat na kabalintunaan ni Zeno sa mabilis na Achilles at mabagal na pagong

Si Zeno ng Elea ay isang tanyag na pilosopong Griyego na nabuhay noong ika-5 siglo BC. e. Ang isang bilang ng mga apogee o kabalintunaan nito ay umabot sa kasalukuyang panahon, kung saan ang problema ng walang katapusang malaki at walang katapusan na maliit sa matematika ay nabuo.

Isa sa mga kilalang kabalintunaan ni Zeno ay ang kompetisyon sa pagitan ni Achilles at ng pagong. Naniniwala si Zeno na kung bibigyan ni Achilles ng kalamangan ang pagong sa malayo, hindi niya ito maaabutan. Halimbawa, hayaang tumakbo si Achilles ng 10 beses na mas mabilis kaysa sa gumagapang na hayop, na, halimbawa, ay nasa unahan niya ng 100 metro. Kapag ang mandirigma ay tumakbo ng 100 metro, ang pagong ay gumagapang pabalik ng 10. Tumatakbo muli ng 10 metro, makikita ni Achilles na ang pagong ay gumapang pa ng 1 metro. Maaari kang makipagtalo nang walang katiyakan, ang distansya sa pagitan ng mga kakumpitensya ay talagang bababa, ngunit ang pagong ay palaging nasa harap.

Pinangunahan niya si Zeno sa konklusyon na ang paggalaw ay hindi umiiral, at ang lahat ng nakapaligid na paggalaw ng mga bagay ay isang ilusyon. Siyempre, mali ang sinaunang pilosopong Griyego.

Ang solusyon sa kabalintunaan ay nakasalalay sa katotohanan na ang isang walang katapusang kabuuan ng patuloy na bumababa na mga segment ay may posibilidad sa isang may hangganang bilang. Sa kaso sa itaas, para sa layo na nilakbay ni Achilles, nakukuha natin ang:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad, nakukuha natin:

S ∞ \u003d 100 / (1-0.1) ≈ 111.111 metro

Makikita sa resultang ito na aabutan ni Achilles ang pagong kapag gumapang lamang ito ng 11.111 metro.

Ang mga sinaunang Griyego ay hindi alam kung paano gumawa ng walang katapusang dami sa matematika. Gayunpaman, malulutas ang kabalintunaan na ito kung bibigyan natin ng pansin hindi ang walang katapusang bilang ng mga puwang na dapat pagtagumpayan ni Achilles, ngunit sa limitadong bilang ng mga hakbang na kailangan ng mananakbo upang makamit ang layunin.

Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad, iyon ay, ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng q beses. (Aming ipagpalagay na q ≠ 1, kung hindi, ang lahat ay masyadong walang halaga). Madaling makita na ang pangkalahatang pormula ng ika-na miyembro ng geometric progression ay b n = b 1 q n – 1 ; ang mga termino na may mga numerong b n at b m ay naiiba sa pamamagitan ng q n – m beses.

Nasa sinaunang Egypt, alam nila hindi lamang ang aritmetika, kundi pati na rin ang geometric na pag-unlad. Narito, halimbawa, ang isang gawain mula sa Rhind papyrus: “Pitong mukha ay may pitong pusa; bawat pusa ay kumakain ng pitong daga, bawat daga ay kumakain ng pitong uhay ng mais, bawat tainga ay maaaring tumubo ng pitong takal ng barley. Gaano kalaki ang mga numero sa seryeng ito at ang kanilang kabuuan?

kanin. 1. Sinaunang Egyptian geometric progression problema

Ang gawaing ito ay inulit ng maraming beses na may iba't ibang mga pagkakaiba-iba sa iba pang mga tao sa ibang mga oras. Halimbawa, sa nakasulat sa XIII na siglo. Ang "Aklat ng abacus" ni Leonardo ng Pisa (Fibonacci) ay may problema kung saan 7 matandang babae ang lumilitaw patungo sa Roma (malinaw na mga pilgrim), bawat isa ay may 7 mules, bawat isa ay may 7 bag, bawat isa ay naglalaman ng 7 tinapay, bawat isa ay may 7 kutsilyo, bawat isa ay nasa 7 kaluban. Ang problema ay nagtatanong kung gaano karaming mga item ang mayroon.

Ang kabuuan ng unang n miyembro ng geometric progression S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ang formula na ito ay maaaring patunayan, halimbawa, tulad ng sumusunod: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Idagdag natin ang numerong b 1 q n sa S n at makuha ang:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Kaya S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), at makuha namin ang kinakailangang formula.

Nasa isa na sa mga clay tablet ng Ancient Babylon, na itinayo noong ika-6 na siglo. BC e., ay naglalaman ng kabuuan na 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Totoo, tulad ng sa ilang iba pang kaso, hindi natin alam kung saan nalaman ng mga Babylonia ang katotohanang ito. .

Ang mabilis na paglaki ng geometric na pag-unlad sa isang bilang ng mga kultura, sa partikular, sa India, ay paulit-ulit na ginagamit bilang isang visual na simbolo ng kalawakan ng uniberso. Sa kilalang alamat tungkol sa hitsura ng chess, binibigyan ng pinuno ang kanilang imbentor ng pagkakataon na pumili ng isang gantimpala sa kanyang sarili, at humingi siya ng ganoong bilang ng mga butil ng trigo na makukuha kung ang isa ay inilagay sa unang cell ng chessboard. , dalawa sa pangalawa, apat sa ikatlo, walo sa ikaapat, at iba pa, sa bawat oras na ang bilang ay nadoble. Naisip ni Vladyka na ito ay, sa pinakamaraming, ilang sako, ngunit siya ay nagkamali. Madaling makita na para sa lahat ng 64 na parisukat ng chessboard ang imbentor ay dapat na nakatanggap ng (2 64 - 1) butil, na ipinahayag bilang isang 20-digit na numero; kahit na ang buong ibabaw ng Earth ay nahasik, aabutin ng hindi bababa sa 8 taon upang mangolekta ng kinakailangang bilang ng mga butil. Ang alamat na ito kung minsan ay binibigyang kahulugan bilang isang sanggunian sa halos walang limitasyong mga posibilidad na nakatago sa laro ng chess.

Ang katotohanan na ang numerong ito ay talagang 20-digit ay madaling makita:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (isang mas tumpak na pagkalkula ay nagbibigay ng 1.84 10 19). Ngunit iniisip ko kung maaari mong malaman kung anong digit ang nagtatapos sa numerong ito?

Ang isang geometric na pag-unlad ay tumataas kung ang denominator ay mas malaki sa 1 sa ganap na halaga, o bumababa kung ito ay mas mababa sa isa. Sa huling kaso, ang bilang na q n ay maaaring maging arbitraryong maliit para sa sapat na malaking n. Bagama't hindi inaasahang mabilis ang pagtaas ng exponential, ang pagbaba ng exponential ay mabilis ding bumababa.

Ang mas malaki n, mas mahina ang numero q n ay naiiba mula sa zero, at mas malapit ang kabuuan ng n mga miyembro ng geometric progression S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) sa numero S \u003d b 1 / (1 - q) . (Kaya ang dahilan, halimbawa, F. Viet). Ang bilang na S ay tinatawag na kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Gayunpaman, sa loob ng maraming siglo ang tanong kung ano ang kahulugan ng kabuuan ng LAHAT ng geometriko na pag-unlad, kasama ang walang katapusang bilang ng mga termino, ay hindi sapat na malinaw sa mga mathematician.

Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay makikita, halimbawa, sa aporias ni Zeno na "Nakakagat" at "Achilles at ang pagong". Sa unang kaso, malinaw na ipinakita na ang buong kalsada (ipagpalagay na ang haba 1) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga segment 1/2, 1/4, 1/8, atbp. Siyempre, ganito ito mula sa punto ng view ng mga ideya tungkol sa finite sum infinite geometric progression. At gayon pa man - paano ito magiging?

kanin. 2. Pag-unlad na may salik na 1/2

Sa aporia tungkol kay Achilles, ang sitwasyon ay medyo mas kumplikado, dahil dito ang denominator ng pag-unlad ay hindi katumbas ng 1/2, ngunit sa ibang numero. Hayaan, halimbawa, tumakbo si Achilles sa bilis v, ang pagong ay gumagalaw sa bilis u, at ang unang distansya sa pagitan nila ay l. Tatakbo si Achilles sa distansyang ito sa oras na l / v , ang pagong ay lilipat ng layo na lu / v sa panahong ito. Kapag tinakbo ni Achilles ang segment na ito, ang distansya sa pagitan niya at ng pagong ay magiging katumbas ng l (u / v) 2, atbp. Lumalabas na ang paghabol sa pagong ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad sa una. term l at ang denominator u / v. Ang kabuuan na ito - ang segment na sa kalaunan ay tatakbo ni Achilles sa meeting point kasama ang pagong - ay katumbas ng l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ngunit, muli, kung paano dapat bigyang-kahulugan ang resulta na ito at kung bakit ito ay may anumang kahulugan, ay hindi masyadong malinaw sa loob ng mahabang panahon.

kanin. 3. Geometric progression na may coefficient 2/3

Ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad ay ginamit ni Archimedes kapag tinutukoy ang lugar ng isang segment ng isang parabola. Hayaang ang ibinigay na segment ng parabola ay ma-delimited ng chord AB at hayaan ang padaplis sa punto D ng parabola ay parallel sa AB. Hayaang C ang midpoint ng AB , E ang midpoint ng AC , F ang midpoint ng CB . Gumuhit ng mga linya parallel sa DC sa pamamagitan ng mga puntos A , E , F , B ; hayaan ang padaplis na iguguhit sa punto D , ang mga linyang ito ay magsalubong sa mga puntong K , L , M , N . Gumuhit din tayo ng mga segment na AD at DB. Hayaang magsalubong ang linyang EL sa linyang AD sa puntong G, at ang parabola sa puntong H; Ang linya ng FM ay nag-intersect sa linya ng DB sa puntong Q, at ang parabola sa puntong R. Ayon sa pangkalahatang teorya ng mga conic na seksyon, ang DC ay ang diameter ng isang parabola (iyon ay, isang segment na kahanay sa axis nito); ito at ang tangent sa punto D ay maaaring magsilbi bilang coordinate axes x at y, kung saan ang parabola equation ay nakasulat bilang y 2 \u003d 2px (x ay ang distansya mula sa D hanggang sa anumang punto ng isang ibinigay na diameter, y ang haba ng isang segment parallel sa isang binigay na tangent mula sa puntong ito ng diameter hanggang sa ilang punto sa parabola mismo).

Sa bisa ng parabola equation, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , at dahil DK = 2DL , pagkatapos KA = 4LH . Dahil KA = 2LG , LH = HG . Ang lugar ng segment na ADB ng parabola ay katumbas ng lugar ng tatsulok na ΔADB at ang mga lugar ng mga segment na pinagsama ng AHD at DRB. Kaugnay nito, ang lugar ng segment ng AHD ay katulad na katumbas ng lugar ng tatsulok na AHD at ang natitirang mga segment na AH at HD, na ang bawat isa ay maaaring maisagawa ang parehong operasyon - hatiin sa isang tatsulok (Δ) at ang dalawang natitirang mga segment (), atbp.:

Ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok ΔALD (mayroon silang isang karaniwang base AD, at ang taas ay naiiba ng 2 beses), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ​ang tatsulok ΔAKD, at samakatuwid ay kalahati ng lugar ng tatsulok ΔACD. Kaya, ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔACD. Gayundin, ang lugar ng tatsulok ΔDRB ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔDFB. Kaya, ang mga lugar ng triangles ∆AHD at ∆DRB, na pinagsama, ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng triangle ∆ADB. Ang pag-uulit sa operasyong ito bilang inilapat sa mga segment na AH , HD , DR at RB ay pipili din ng mga tatsulok mula sa kanila, ang lugar kung saan, kapag pinagsama-sama, ay magiging 4 na beses na mas mababa kaysa sa lugar ng mga tatsulok ΔAHD at ΔDRB , pinagsama-sama, at samakatuwid ay 16 beses na mas kaunti, kaysa sa lugar ng tatsulok ΔADB . atbp:

Kaya, pinatunayan ni Archimedes na "bawat segment na nakapaloob sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang parabola ay apat na katlo ng isang tatsulok, na may parehong base at pantay na taas."