Mga polygon. Mga uri ng polygon. Panloob at panlabas na sulok ng convex polygon. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok n-gon (theorem). Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex n-gon (theorem). Mga regular na polygon. Bilog na nakapaligid sa isang regular na polygon (theorem, corollary 1.2)

Ang panloob na anggulo ng isang matambok na polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa tuktok na iyon. Ang panlabas na anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na katabi ng interior angle sa vertex na iyon. panloob na sulok panlabas na sulok

Teorama. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok na polygon ay (n - 2) · 180 o, kung saan ang n ay ang bilang ng mga gilid ng polygon. Given: isang matambok n-gon. Patunayan: α = (n – 2) 180 o Patunay Sa loob ng n-gon, kumuha ng arbitrary point O at ikonekta ito sa lahat ng vertices. Ang polygon ay mahahati sa n triangles na may karaniwang vertex O. Ang kabuuan ng mga anggulo ng bawat tatsulok ay 180 o, samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng triangles ay 180 o n. Ang kabuuan na ito, bilang karagdagan sa kabuuan ng lahat ng mga panloob na anggulo ng polygon, ay kinabibilangan ng kabuuan ng mga anggulo ng mga tatsulok sa tuktok O, katumbas ng 360 o. Kaya, ang kabuuan ng lahat ng mga panloob na anggulo ng polygon ay 180 o n - 360 o \u003d (n - 2) 180 o. Kaya, n \u003d (n - 2) 180 o. Ch.t.d. tungkol sa

Teorama. Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon, na kinuha ng isa sa bawat taluktok, ay hindi nakadepende sa n at katumbas ng 360, kung saan ang n ay ang bilang ng mga gilid ng n-gon. Patunay. Dahil ang panlabas na sulok ng polygon ay katabi ng kaukulang panloob na anggulo, at ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180, kung gayon ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng polygon ay: . Panlabas at panloob na panloob Kaya, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon, na kinuha ng isa sa bawat taluktok, ay hindi nakadepende sa n at katumbas ng 360 o, kung saan ang n ay ang bilang ng mga gilid ng n-gon. Ch.t.d.

Teorama. Ang anumang regular na polygon ay maaaring ma-inscribe ng isang bilog, at higit pa rito, isa lamang. Patunay. Hayaang ang А1,А2,…,А n ay isang regular na polygon, О ang sentro ng circumscribed na bilog. ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, samakatuwid ang taas ng mga tatsulok na ito, na iginuhit mula sa vertex О, ay katumbas din ng ОН1=ОН2=…=ОНn. Samakatuwid, ang bilog na may samakatuwid ang bilog na may sentro O at radius OH1 ay dumadaan sa mga puntong H1, H2, ..., Hn at hinawakan ang mga gilid ng polygon sa mga puntong ito, i.e. ang bilog ay nakasulat sa ibinigay na polygon. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Patunayan natin na mayroon lamang isang naka-inscribe na bilog. Ipagpalagay na may isa pang nakasulat na bilog na may sentro O at radius OA. Pagkatapos ang sentro nito ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng polygon, ibig sabihin, ang puntong O1 ay nasa bawat isa sa mga bisector ng mga anggulo ng polygon, at samakatuwid ay tumutugma sa punto O ng intersection ng mga bisector na ito. Ang radius ng bilog na ito ay katumbas ng distansya mula sa puntong O hanggang sa mga gilid ng polygon, i.e. ay katumbas ng OH1. Napatunayan ang theorem. Corollary 1 Ang isang bilog na nakasulat sa isang regular na polygon ay dumadampi sa mga gilid ng polygon sa kanilang mga midpoint. Corollary 2 Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang regular na polygon ay tumutugma sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa parehong polygon.

Triangle, square, hexagon - ang mga figure na ito ay kilala sa halos lahat. Ngunit hindi alam ng lahat kung ano ang isang regular na polygon. Ngunit ito ay ang lahat ng parehong Regular polygon ay tinatawag na ang isa na may pantay na mga anggulo at gilid. Mayroong maraming mga naturang figure, ngunit lahat sila ay may parehong mga katangian, at ang parehong mga formula ay nalalapat sa kanila.

Mga katangian ng mga regular na polygon

Anumang regular na polygon, ito man ay isang parisukat o isang octagon, ay maaaring isulat sa isang bilog. Ang pangunahing pag-aari na ito ay kadalasang ginagamit kapag gumagawa ng isang pigura. Bilang karagdagan, ang isang bilog ay maaari ding nakasulat sa isang polygon. Sa kasong ito, ang bilang ng mga punto ng contact ay magiging katumbas ng bilang ng mga panig nito. Mahalaga na ang isang bilog na nakasulat sa isang regular na polygon ay magkakaroon ng isang karaniwang sentro kasama nito. Ang mga geometric na figure na ito ay napapailalim sa parehong theorems. Anumang panig ng isang regular na n-gon ay nauugnay sa radius R ng circumscribed na bilog sa paligid nito. Samakatuwid, maaari itong kalkulahin gamit ang sumusunod na formula: a = 2R ∙ sin180°. Sa pamamagitan ng maaari mong mahanap hindi lamang ang mga gilid, ngunit din ang perimeter ng polygon.

Paano mahahanap ang bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon

Ang sinuman ay binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga segment na katumbas ng bawat isa, na, kapag konektado, ay bumubuo ng isang saradong linya. Sa kasong ito, ang lahat ng mga sulok ng nabuong figure ay may parehong halaga. Ang mga polygon ay nahahati sa simple at kumplikado. Kasama sa unang pangkat ang isang tatsulok at isang parisukat. Ang mga kumplikadong polygon ay may mas maraming panig. Kasama rin sa mga ito ang mga figure na hugis bituin. Para sa mga kumplikadong regular na polygon, ang mga gilid ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-inscribe sa kanila sa isang bilog. Bigyan natin ng patunay. Gumuhit ng isang regular na polygon na may arbitrary na bilang ng mga gilid n. Ilarawan ang isang bilog sa paligid nito. Tukuyin ang radius R. Ngayon isipin na ang ilang n-gon ay ibinigay. Kung ang mga punto ng mga anggulo nito ay nasa isang bilog at pantay-pantay sa isa't isa, kung gayon ang mga panig ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Paghahanap ng bilang ng mga gilid ng isang nakasulat na right triangle

Ang isang equilateral triangle ay isang regular na polygon. Ang parehong mga formula ay nalalapat dito bilang sa parisukat at ang n-gon. Ang isang tatsulok ay ituturing na tama kung ito ay may parehong haba ng mga gilid. Sa kasong ito, ang mga anggulo ay 60⁰. Bumuo ng tatsulok na may ibinigay na haba ng gilid a. Alam ang median at taas nito, mahahanap mo ang halaga ng mga gilid nito. Upang gawin ito, gagamitin namin ang paraan ng paghahanap sa pamamagitan ng formula a \u003d x: cosα, kung saan ang x ay ang median o taas. Dahil ang lahat ng panig ng tatsulok ay pantay, nakukuha natin ang a = b = c. Kung gayon ang sumusunod na pahayag ay totoo: a = b = c = x: cosα. Sa katulad na paraan, mahahanap mo ang halaga ng mga gilid sa isang isosceles triangle, ngunit ang x ang ibibigay na taas. Kasabay nito, dapat itong mai-project nang mahigpit sa base ng figure. Kaya, alam ang taas x, nakita namin ang gilid a ng isang isosceles triangle gamit ang formula a \u003d b \u003d x: cosα. Matapos mahanap ang halaga ng a, maaari mong kalkulahin ang haba ng base c. Ilapat natin ang Pythagorean theorem. Hahanapin natin ang halaga ng kalahati ng base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Pagkatapos c = 2xtanα. Sa simpleng paraan, mahahanap mo ang bilang ng mga gilid ng anumang naka-inscribe na polygon.

Kinakalkula ang mga gilid ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog

Tulad ng anumang iba pang nakasulat na regular na polygon, ang isang parisukat ay may pantay na panig at anggulo. Ang parehong mga formula ay nalalapat dito bilang sa tatsulok. Maaari mong kalkulahin ang mga gilid ng isang parisukat gamit ang halaga ng dayagonal. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado. Ito ay kilala na ang dayagonal ay hinahati ang anggulo. Sa una, ang halaga nito ay 90 degrees. Kaya, pagkatapos ng paghahati, dalawa ang nabuo.Ang kanilang mga anggulo sa base ay magiging katumbas ng 45 degrees. Alinsunod dito, ang bawat panig ng parisukat ay magiging pantay, iyon ay: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kung saan ang e ay ang dayagonal ng parisukat, o ang base ng ang tamang tatsulok na nabuo pagkatapos ng paghahati. Hindi ito ang tanging paraan upang mahanap ang mga gilid ng isang parisukat. Isulat natin ang pigurang ito sa isang bilog. Alam ang radius ng bilog na ito R, nakita natin ang gilid ng parisukat. Kakalkulahin namin ito bilang mga sumusunod a4 = R√2. Ang radii ng mga regular na polygon ay kinakalkula ng formula R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kung saan ang a ay ang haba ng gilid.

Paano makalkula ang perimeter ng isang n-gon

Ang perimeter ng isang n-gon ay ang kabuuan ng lahat ng panig nito. Madali itong kalkulahin. Upang gawin ito, kailangan mong malaman ang mga halaga ng lahat ng panig. Para sa ilang uri ng polygons, may mga espesyal na formula. Pinapayagan ka nilang mahanap ang perimeter nang mas mabilis. Ito ay kilala na ang anumang regular na polygon ay may pantay na panig. Samakatuwid, upang makalkula ang perimeter nito, sapat na malaman ang hindi bababa sa isa sa kanila. Ang formula ay depende sa bilang ng mga gilid ng figure. Sa pangkalahatan, ganito ang hitsura nito: P \u003d an, kung saan ang a ay ang halaga ng gilid, at n ang bilang ng mga anggulo. Halimbawa, upang mahanap ang perimeter ng isang regular na octagon na may gilid na 3 cm, kailangan mong i-multiply ito ng 8, iyon ay, P = 3 ∙ 8 = 24 cm Para sa isang hexagon na may gilid na 5 cm, kinakalkula namin tulad ng sumusunod: P = 5 ∙ 6 = 30 cm At kaya para sa bawat polygon.

Paghahanap ng perimeter ng isang paralelogram, parisukat at rhombus

Depende sa kung gaano karaming mga gilid ang isang regular na polygon, ang perimeter nito ay kinakalkula. Ginagawa nitong mas madali ang gawain. Sa katunayan, hindi tulad ng iba pang mga figure, sa kasong ito ay hindi kinakailangan upang hanapin ang lahat ng panig nito, isa lamang ay sapat na. Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, nakita namin ang perimeter ng quadrangles, iyon ay, isang parisukat at isang rhombus. Sa kabila ng katotohanan na ang mga ito ay magkakaibang mga figure, ang formula para sa kanila ay pareho P = 4a, kung saan ang a ay ang gilid. Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kung ang gilid ng isang rhombus o parisukat ay 6 cm, pagkatapos ay makikita natin ang perimeter tulad ng sumusunod: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Ang parallelogram ay may magkabilang panig lamang. Samakatuwid, ang perimeter nito ay matatagpuan gamit ang ibang paraan. Kaya, kailangan nating malaman ang haba a at ang lapad b ng pigura. Pagkatapos ay inilalapat namin ang formula P \u003d (a + c) ∙ 2. Ang isang paralelogram, kung saan ang lahat ng panig at anggulo sa pagitan nila ay pantay, ay tinatawag na rhombus.

Paghahanap ng perimeter ng isang equilateral at right triangle

Ang perimeter ng tama ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula P \u003d 3a, kung saan ang a ay ang haba ng gilid. Kung ito ay hindi kilala, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng median. Sa isang tamang tatsulok, dalawang panig lamang ang pantay. Ang batayan ay matatagpuan sa pamamagitan ng Pythagorean theorem. Matapos malaman ang mga halaga ng lahat ng tatlong panig, kinakalkula namin ang perimeter. Maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng paglalapat ng formula P \u003d a + b + c, kung saan ang a at b ay pantay na panig, at c ang base. Alalahanin na sa isang isosceles triangle a \u003d b \u003d a, samakatuwid, a + b \u003d 2a, pagkatapos ay P \u003d 2a + c. Halimbawa, ang gilid ng isosceles triangle ay 4 cm, hanapin ang base at perimeter nito. Kinakalkula namin ang halaga ng hypotenuse ayon sa Pythagorean theorem c \u003d √a 2 + sa 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 cm. Ngayon ay kinakalkula namin ang perimeter P \u003d 2 ∙ 5 \ + 5. u003d 13.65 cm.

Paano mahanap ang mga anggulo ng isang regular na polygon

Ang isang regular na polygon ay nangyayari sa ating buhay araw-araw, halimbawa, isang ordinaryong parisukat, tatsulok, octagon. Mukhang wala nang mas madali kaysa sa pagbuo ng figure na ito sa iyong sarili. Ngunit ito ay sa unang tingin lamang. Upang makabuo ng anumang n-gon, kailangan mong malaman ang halaga ng mga anggulo nito. Ngunit paano mo sila mahahanap? Kahit na ang mga siyentipiko noong unang panahon ay sinubukang bumuo ng mga regular na polygon. Nahulaan nilang magkasya sila sa mga bilog. At pagkatapos ay ang mga kinakailangang punto ay minarkahan dito, na konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya. Para sa mga simpleng figure, ang problema sa konstruksiyon ay nalutas na. Ang mga formula at theorems ay nakuha. Halimbawa, si Euclid sa kanyang sikat na akda na "The Beginning" ay nakikibahagi sa paglutas ng mga problema para sa 3-, 4-, 5-, 6- at 15-gons. Nakahanap siya ng mga paraan upang mabuo ang mga ito at maghanap ng mga anggulo. Tingnan natin kung paano gawin ito para sa isang 15-gon. Una kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga panloob na anggulo nito. Kinakailangang gamitin ang formula S = 180⁰(n-2). Kaya, binibigyan kami ng 15-gon, na nangangahulugan na ang numero n ay 15. Pinapalitan namin ang data na alam namin sa formula at makuha ang S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Natagpuan namin ang kabuuan ng lahat ng panloob na anggulo ng isang 15-gon. Ngayon kailangan nating makuha ang halaga ng bawat isa sa kanila. Mayroong 15 anggulo sa kabuuan. Ginagawa namin ang pagkalkula ng 2340⁰: 15 = 156⁰. Nangangahulugan ito na ang bawat panloob na anggulo ay 156⁰, ngayon gamit ang isang ruler at isang compass, maaari kang bumuo ng isang regular na 15-gon. Ngunit ano ang tungkol sa mas kumplikadong n-gons? Sa loob ng maraming siglo, ang mga siyentipiko ay nagpupumilit na lutasin ang problemang ito. Natagpuan lamang ito noong ika-18 siglo ni Carl Friedrich Gauss. Nakagawa siya ng 65537-gon. Simula noon, ang problema ay opisyal na itinuturing na ganap na nalutas.

Pagkalkula ng mga anggulo ng n-gons sa radians

Siyempre, may ilang mga paraan upang mahanap ang mga sulok ng mga polygon. Kadalasan sila ay kinakalkula sa mga degree. Ngunit maaari mo ring ipahayag ang mga ito sa mga radian. Paano ito gagawin? Ito ay kinakailangan upang magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, nalaman namin ang bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon, pagkatapos ay ibawas ang 2 mula dito, kaya, nakukuha namin ang halaga: n - 2. I-multiply ang pagkakaiba na natagpuan sa numero n ("pi" \u003d 3.14). Ngayon ay nananatili lamang na hatiin ang nagresultang produkto sa bilang ng mga anggulo sa n-gon. Isaalang-alang ang mga kalkulasyong ito gamit ang halimbawa ng parehong labinlimang panig. Kaya, ang bilang n ay 15. Ilapat natin ang formula S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Siyempre, hindi ito ang tanging paraan upang makalkula ang isang anggulo sa mga radian. Maaari mong hatiin lamang ang laki ng anggulo sa mga degree sa bilang na 57.3. Pagkatapos ng lahat, ang maraming degree na iyon ay katumbas ng isang radian.

Pagkalkula ng halaga ng mga anggulo sa mga degree

Bilang karagdagan sa mga degree at radian, maaari mong subukang hanapin ang halaga ng mga anggulo ng isang regular na polygon sa mga grad. Ginagawa ito sa sumusunod na paraan. Ibawas ang 2 mula sa kabuuang bilang ng mga anggulo, hatiin ang nagresultang pagkakaiba sa bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon. I-multiply namin ang resulta na natagpuan sa pamamagitan ng 200. Sa pamamagitan ng paraan, ang naturang yunit ng pagsukat ng mga anggulo bilang mga degree ay halos hindi ginagamit.

Pagkalkula ng mga panlabas na sulok ng n-gons

Para sa anumang regular na polygon, bilang karagdagan sa panloob, maaari mo ring kalkulahin ang panlabas na anggulo. Ang halaga nito ay matatagpuan sa parehong paraan tulad ng para sa iba pang mga numero. Kaya, upang mahanap ang panlabas na sulok ng isang regular na polygon, kailangan mong malaman ang halaga ng panloob. Dagdag pa, alam natin na ang kabuuan ng dalawang anggulong ito ay palaging 180 degrees. Samakatuwid, ginagawa namin ang mga kalkulasyon tulad ng sumusunod: 180⁰ minus ang halaga ng panloob na anggulo. Natagpuan namin ang pagkakaiba. Ito ay magiging katumbas ng halaga ng anggulo na katabi nito. Halimbawa, ang panloob na sulok ng isang parisukat ay 90 degrees, kaya ang panlabas na anggulo ay magiging 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Tulad ng nakikita natin, hindi mahirap hanapin ito. Ang panlabas na anggulo ay maaaring tumagal ng halaga mula +180⁰ hanggang, ayon sa pagkakabanggit, -180⁰.

Layunin: Kumuha ng formula para sa paghahanap ng kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na polygon;

• imbestigahan ang tanong ng kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang polygon, kinuha ng isa sa bawat tuktok;
• upang bumuo ng isang positibong pagganyak para sa aktibidad na nagbibigay-malay;
• bumuo ng lohikal na pag-iisip;
• bumuo ng pansin, pagmamasid, ang kakayahang pag-aralan ang pagguhit;
• upang mabuo ang kakayahang magamit ang nakuhang kaalaman upang malutas ang mga problema;
• upang paunlarin ang kulturang komunikasyon ng mga mag-aaral.

Sa panahon ng mga klase

Mahusay na siyentipikong Ruso, pagmamalaki ng Lupang Ruso,

Mikhailo Vasilyevich Lomonosov, ay nagsabi: "Ang marahas na gawain ay nagtagumpay sa mga hadlang." Umaasa ako na ngayon sa aralin ang aming gawain sa iyo ay makakatulong sa amin na malampasan ang lahat ng mga hadlang.

1. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman. (Front poll.)

Pagtatanghal. (Mga Slide 2-4)

- Bumuo ng kahulugan ng isang polygon, pangalanan ang mga pangunahing elemento nito.
– Kahulugan ng convex polygon.
- Magbigay ng mga halimbawa ng quadrilaterals na kilala mo, na convex polygons.
Maaari bang ituring ang isang tatsulok na isang convex polygon?
Ano ang panlabas na anggulo ng convex polygon?

2. Paglalahad ng suliranin (output sa paksa ng aralin).

Oral na gawain sa harapan.

Hanapin ang kabuuan ng mga anggulo ng mga ibinigay na polygon (Mga Slide 5-6)

- isang tatsulok; parihaba:
- trapezoid; arbitrary heptagon.

Sa kaso ng kahirapan, ang guro ay nagtatanong:

- Bumuo ng kahulugan ng isang trapezoid.
Pangalanan ang mga base ng isang trapezoid.
- Ano ang masasabi tungkol sa isang pares ng mga anggulo A at D, anong katangian ang mayroon sila?
- Maaari mo pa bang pangalanan ang isang pares ng panloob na one-sided catch sa drawing?
Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga anggulo ng isang heptagon? Ano ang tanong? (Mayroon bang formula para sa paghahanap ng kabuuan ng mga anggulo ng isang arbitraryong polygon?)

Kaya, malinaw na ang ating kaalaman ngayon ay hindi sapat upang malutas ang problemang ito.

Paano natin mabubuo ang paksa ng ating aralin? - Kabuuan ng mga anggulo matambok na polygon.

3. Solusyon Mga problema. Upang masagot ang tanong na ito, gumawa tayo ng kaunting pananaliksik.

Alam na natin ang triangle sum theorem. Maaari ba nating ilapat ito sa anumang paraan?

- Ano ang dapat gawin para dito? (Hatiin ang polygon sa mga tatsulok.)

Paano mahahati ang isang polygon sa mga tatsulok? Pag-isipan ito, talakayin ito at ialok ang iyong pinakamahusay na mga pagpipilian.

Mayroong trabaho sa mga grupo, ang bawat pangkat ay gumagana sa isang hiwalay na computer kung saan naka-install ang program na "Geo Gebra".

Sa pagtatapos ng gawain, ipinapakita ng guro ang mga resulta ng gawain ng mga pangkat sa screen. (Slide 7)

- Suriin natin ang mga iminungkahing opsyon at subukang piliin ang pinakamainam para sa ating pag-aaral.

Tukuyin natin ang pamantayan sa pagpili: ano ang gusto nating makuha bilang resulta ng paghahati? (Ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng mga itinayong tatsulok ay dapat na katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ng polygon.)

- Anong mga opsyon ang maaaring itapon kaagad? Bakit?

(Pagpipilian 1, dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok ay hindi katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ng polygon.)

- Aling opsyon ang pinakaangkop? Bakit? (Pagpipilian 3.)

Paano mo nakuha ang pagpipiliang ito? (Gumuhit kami ng mga diagonal mula sa isang vertex ng polygon

pagguhit	n ay ang bilang ng mga polygon vertices	Bilang ng mga diagonal na iginuhit mula sa isang vertex	Bilang ng mga natanggap na tatsulok
	4
	5
	6
	7
	n

- Subukan nating magtatag ng isang relasyon sa pagitan ng bilang ng mga polygon vertices, ang bilang ng mga diagonal na maaaring makuha mula sa isang vertex at ang bilang ng mga triangles na nakuha.

Ang bawat pangkat ay tumatanggap ng isang talahanayan na dapat nilang kumpletuhin sa panahon ng proseso ng pananaliksik.

Pagkatapos ng talakayan sa mga pangkat, ang mga bata ay bumalangkas ng kanilang mga konklusyon:
mula sa isang vertex ng isang n-gon, n - 3 diagonal ay maaaring iguhit (dahil ang isang dayagonal ay hindi maaaring iguguhit sa napiling vertex mismo at sa dalawang kalapit na mga). Sa kasong ito, makakakuha tayo ng n - 2 triangles.

Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon ay 180 0 (n-2).

- Bumalik tayo sa mga iminungkahing opsyon para sa paghahati ng polygon sa mga tatsulok.

Posible bang gamitin ang variant na iminungkahi sa Figure 4 upang patunayan ang theorem na ito?

Gaano karaming mga tatsulok ang nakuha sa gayong pagkahati? ( P bagay)
Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok at ang kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon? (Sa 360 0)
- Paano mo makalkula ang kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon sa kasong ito?

(180P– 360 = 180n - 180x2 \u003d 180 (n -2)) (Clay 8)

– Natutugunan ba ng variant na iminungkahi sa Figure 2 ang pangunahing kinakailangan na ginawa namin para sa paghahati? (Oo.)

- Bakit hindi ipinapayong gamitin ito upang mahanap ang kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon? (Mas mahirap bilangin ang bilang ng mga nagreresultang tatsulok.)

Buweno, ngayon ay bumalik tayo sa problema na hindi natin malutas sa simula ng aralin.

(Pasalitang binibilang ng mga bata ang kabuuan ng mga anggulo ng heptagon at dalawa pang katulad na pagsasanay.) (Slide 9 at 10)

4. Paglalapat ng nakuhang kaalaman .

Nakakuha kami ng isang formula para sa paghahanap ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok na polygon. Ngayon pag-usapan natin ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng polygon, na kinuha ng isa sa bawat vertex.

Kaya, ang gawain ay: alin ang mas malaki: ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo, kinuha ng isa sa bawat tuktok, para sa isang matambok na hexagon o para sa isang tatsulok? (Slide 11)

Ang mga bata ay gumagawa ng kanilang mga hula. Iminumungkahi ng guro na magsagawa ng pananaliksik upang malutas ang isyung ito.

Ang bawat pangkat ay binibigyan ng isang gawain upang malutas nang nakapag-iisa.

Pangkat 1.

1) Hanapin ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo, na kinuha ng isa sa bawat tuktok, ng isang regular na tatsulok.
2) - Sa isang tatsulok, ang mga halaga ng antas ng mga anggulo kung saan ay ayon sa pagkakabanggit 70 0 , 80 0 at 30 0 .

Pangkat 2

1) Hanapin ang kabuuan ng mga panlabas na sulok, na kinuha ng isa sa bawat vertex, ng parihaba.
2) - Sa isang quadrilateral, ang mga panloob na anggulo kung saan ay ayon sa pagkakabanggit 70 0 , 80 0 at 120 0 at 90 0 .

Pangkat 3.

1) Hanapin ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo, na kinuha ng isa sa bawat vertex, ng isang regular na hexagon.
2) - Sa isang hexagon, ang mga panloob na anggulo kung saan ay 170 0 , 80 0 at 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

Matapos ang pagtatapos ng trabaho, iniulat ng mga bata ang kanilang mga resulta, ipinasok sila ng guro sa isang talahanayan at ipinapakita ang mga ito sa screen. (Slide 12)

Kaya, anong konklusyon ang maaaring makuha mula sa mga nakuhang resulta? (Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo, na kinuha ng isa sa bawat vertex, para sa anumang polygon ay 360 0.)

Ngayon subukan nating patunayan ang katotohanang ito para sa anumang n-gon.

Kung may mga kahirapan, ang patunay na plano ay sama-samang tinatalakay:

1. Italaga ang mga panloob na anggulo ng polygon bilang α, β, γ, atbp.
2. Ipahayag sa pamamagitan ng ipinakilalang notasyon ang mga sukat ng antas ng mga panlabas na anggulo
3. Sumulat ng isang expression para sa paghahanap ng kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang polygon
4. Ibahin ang anyo ng resultang expression, gamitin ang dating nakuhang formula para sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng polygon.

Ang patunay ay nakasulat sa pisara:

(180 - α) + (180 - β) + (180 - γ) + ... = 180 p - (α + β + γ + ...) = 180 p - 180 (p - 2) = 360

5. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal. Pagtugon sa suliranin.

Problema 1. Mayroon bang convex polygon na may ganitong mga panloob na anggulo: 45 0 , 68 0 , 73 0 at 56 0 ? Ipaliwanag ang iyong sagot.

Patunayan natin sa pamamagitan ng kontradiksyon. Kung ang isang matambok na polygon ay may apat na talamak na panloob na mga anggulo, pagkatapos ay mayroong apat na malabo na panlabas na mga anggulo, na nangangahulugan na ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ng polygon ay mas malaki sa 4*90 0 = 360 0 . Mayroon tayong kontradiksyon. Napatunayan na ang assertion.

Ang convex polygon ay may tatlong anggulo na 80 degrees at ang natitira ay 150 degrees. Ilang sulok ang nasa convex polygon?

Bilang: para sa isang convex n-gon, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180°(n – 2) , pagkatapos ay 180(n - 2)=3*80 + x*150, kung saan ang 3 anggulo ng 80 degrees ay ibinibigay sa atin ayon sa kondisyon ng problema, at ang bilang ng iba pang mga anggulo ay hindi pa rin natin alam, na nangangahulugang tayo tukuyin ang kanilang numero sa pamamagitan ng x.

Gayunpaman, mula sa entry sa kaliwang bahagi, natukoy namin ang bilang ng mga sulok ng polygon bilang n, dahil alam namin ang mga halaga ng tatlo sa kanila mula sa kondisyon ng problema, malinaw na ang x=n-3.

Kaya magiging ganito ang equation: 180(n - 2) = 240 + 150(n - 3)

Nalulutas namin ang nagresultang equation

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Sagot: 5 peaks.

6. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, buod natin. Bumuo ng iyong mga tanong para sa mga lalaki mula sa ibang grupo batay sa mga materyales ng aralin ngayon.

Ano sa tingin mo ang pinakamagandang tanong?

Talakayin ang antas ng pakikilahok ng bawat miyembro ng pangkat sa kolektibong gawain, pangalanan ang pinakaaktibo.

Kaninong gawain sa pangkat ang pinakaproduktibo?

7. Takdang-Aralin:

1. Gawain.

Ang isang polygon ay may tatlong mga anggulo ng 113 degrees, at ang natitira ay katumbas ng bawat isa at ang kanilang sukat sa antas ay isang integer. Hanapin ang bilang ng mga vertex ng polygon.

2. aytem 114 pp. 169–171, Pogorelov A.V. "Geometry 7–9".

Video aralin 2: Mga polygon. Pagtugon sa suliranin

Lecture: Polygon. Kabuuan ng mga anggulo ng convex polygon

Mga polygon- ito ang mga figure na nakapaligid sa amin sa lahat ng dako - ito rin ang anyo ng mga pulot-pukyutan kung saan iniimbak ng mga bubuyog ang kanilang pulot, mga istrukturang arkitektura, at marami pang iba.

Gaya ng nabanggit kanina, ang mga polygon ay mga hugis na may higit sa dalawang sulok. Binubuo sila ng isang saradong putol na linya.

Bukod dito, ang mga sulok ng mga polygon ay maaaring panlabas at panloob. Halimbawa, ang bituin ay isang pigura na mayroong 10 sulok, ang ilan ay matambok at ang iba ay malukong:

Mga halimbawa ng convex polygons:

Pakitandaan na ang figure ay nagpapakita ng mga regular na polygon - ito ang mga pinag-aralan nang detalyado sa kurso ng matematika ng paaralan.

Ang anumang polygon ay may parehong bilang ng mga vertices gaya ng bilang ng mga gilid. Tandaan din na ang mga kalapit na vertex ay ang mga may isang karaniwang panig. Halimbawa, ang isang tatsulok ay may lahat ng katabing vertices.

Kung mas maraming anggulo ang isang regular na polygon, mas malaki ang sukat ng kanilang antas. Gayunpaman, ang sukat ng antas ng isang anggulo ng isang matambok na polygon ay hindi maaaring mas malaki sa o katumbas ng 180 degrees.

Upang matukoy ang pangkalahatang sukat ng antas ng isang polygon, dapat mong gamitin ang formula.

Sa ika-8 baitang, sa mga aralin sa geometry sa paaralan, ang mga mag-aaral sa unang pagkakataon ay nakilala ang konsepto ng isang convex polygon. Sa lalong madaling panahon malalaman nila na ang figure na ito ay may isang napaka-kagiliw-giliw na ari-arian. Gaano man ito kakomplikado, ang kabuuan ng lahat ng panloob at panlabas na mga anggulo ng isang matambok na polygon ay tumatagal sa isang mahigpit na tinukoy na halaga. Sa artikulong ito, pinag-uusapan ng isang tutor sa matematika at pisika kung ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na polygon.

Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok na polygon

Paano patunayan ang formula na ito?

Bago magpatuloy sa patunay ng pahayag na ito, naaalala namin kung aling polygon ang tinatawag na convex. Ang polygon ay tinatawag na convex kung ito ay ganap na nakalagay sa isang gilid ng linya na naglalaman ng alinman sa mga gilid nito. Halimbawa, ang ipinapakita sa larawang ito:

Kung ang polygon ay hindi nakakatugon sa ipinahiwatig na kondisyon, kung gayon ito ay tinatawag na non-convex. Halimbawa, tulad nito:

Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok na polygon ay , kung saan ang bilang ng mga gilid ng polygon.

Ang patunay ng katotohanang ito ay batay sa teorama sa kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok, na kilala sa lahat ng mga mag-aaral. Sigurado ako na pamilyar ka sa teorama na ito. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok ay .

Ang ideya ay hatiin ang isang matambok na polygon sa maraming tatsulok. Ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan. Depende sa kung aling paraan ang pipiliin natin, ang ebidensya ay bahagyang naiiba.

1. Hatiin ang convex polygon sa mga tatsulok sa pamamagitan ng lahat ng posibleng diagonal na iginuhit mula sa ilang vertex. Madaling maunawaan na ang ating n-gon ay mahahati sa mga tatsulok:

Bukod dito, ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng lahat ng nagresultang mga tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ng ating n-gon. Pagkatapos ng lahat, ang bawat anggulo sa mga nagresultang tatsulok ay isang bahagyang anggulo sa aming convex polygon. Ibig sabihin, ang kinakailangang halaga ay katumbas ng .

2. Maaari ka ring pumili ng isang punto sa loob ng convex polygon at ikonekta ito sa lahat ng vertices. Pagkatapos ang aming n-gon ay mahahati sa mga tatsulok:

Bukod dito, ang kabuuan ng mga anggulo ng aming polygon sa kasong ito ay magiging katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito minus ang gitnang anggulo, na katumbas ng . Ibig sabihin, ang nais na halaga ay muling katumbas ng .

Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon

Itanong natin ngayon sa ating sarili ang tanong: "Ano ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon?" Ang tanong na ito ay masasagot sa sumusunod na paraan. Ang bawat panlabas na sulok ay katabi ng kaukulang panloob na sulok. Samakatuwid ito ay katumbas ng:

Kung gayon ang kabuuan ng lahat ng panlabas na anggulo ay . Ibig sabihin, ito ay katumbas ng .

Iyon ay isang napaka nakakatawang resulta. Kung isatabi natin nang sunud-sunod ang lahat ng mga panlabas na sulok ng anumang convex n-gon, kung gayon bilang resulta ay eksaktong mapupuno ang buong eroplano.

Ang kawili-wiling katotohanang ito ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod. Bawasan natin nang proporsyonal ang lahat ng panig ng ilang convex polygon hanggang sa magsanib ito sa isang punto. Matapos mangyari ito, ang lahat ng mga panlabas na sulok ay itabi ang isa mula sa isa at sa gayon ay mapupuno ang buong eroplano.

Kawili-wiling katotohanan, hindi ba? At mayroong maraming mga naturang katotohanan sa geometry. Kaya matuto ng geometry, mahal na mga mag-aaral!

Ang materyal sa kung ano ang katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon ay inihanda ni Sergey Valerievich