Sa anong halaga ng parameter ang isang ugat ng equation

mas malaki sa 1 at ang isa ay mas mababa sa 1?

Isaalang-alang ang function -

Layunin:

• Ang pag-aaral ng lahat ng posibleng tampok ng lokasyon ng mga ugat ng isang parisukat na trinomial na may kaugnayan sa isang partikular na punto at nauugnay sa isang partikular na segment batay sa mga katangian ng isang parisukat na function at mga graphical na interpretasyon.
• Paglalapat ng mga pinag-aralan na katangian sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema na may isang parameter.

Mga gawain:

• Upang pag-aralan ang iba't ibang paraan ng paglutas ng mga problema batay sa pag-aaral ng lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan.
• Patunayan ang lahat ng posibleng mga tampok ng lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial, bumuo ng mga teoretikal na rekomendasyon para sa paglutas ng mga hindi pamantayang problema sa isang parameter.
• Master ang isang bilang ng mga teknikal at intelektwal na mga kasanayan sa matematika, alamin kung paano gamitin ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

Hypothesis:

Ang paggamit ng graphical na paraan sa mga di-tradisyonal na problema na may parameter ay nagpapasimple sa mga kalkulasyon sa matematika at isang makatwirang paraan upang malutas.

pagkatapos at pagkatapos lamang:

1. Ang parehong mga ugat ay mas mababa sa A,

2. Ang mga ugat ay nasa magkabilang panig ng bilang A,

pagkatapos at pagkatapos lamang:

• pagkatapos at pagkatapos lamang:

pagkatapos at pagkatapos lamang:

3. Ang parehong mga ugat ay mas malaki kaysa sa bilang A, iyon ay

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan mayroong isang ugat ng equation

mas malaki sa 1 at ang isa ay mas mababa sa 1.

Para sa kung anong mga halaga ng parameter ang equation

may dalawang magkaibang ugat ng parehong tanda?

-6

-2

3

a

1. Ang parehong mga ugat ay nasa pagitan ng mga punto A at B, i.e.

pagkatapos at pagkatapos lamang:

2. Ang mga ugat ay namamalagi sa magkabilang panig ng segment

pagkatapos at pagkatapos lamang:

3. Ang isang ugat ay nasa labas ng segment, at ang isa pa dito, iyon ay

pagkatapos at pagkatapos lamang:

Galugarin ang Equation

sa pamamagitan ng bilang ng mga ugat depende sa parameter.

ang equation ay walang mga solusyon.

may isang solusyon.

Galugarin ang Equation

sa bilang ng mga ugat sa

depende sa parameter.

Kung ang isang ugat ay nasa isang segment, at ang isa sa kaliwa nito.

Kung ang isang ugat ay nasa isang segment, at ang isa sa kanan nito.

ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat.

sa ilalim ng kung saan

Ang equation ay may tatlong magkakaibang ugat.

Sagot: kailan

sa ilalim ng kung saan

ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawa

iba't ibang ugat.

Ang equation ay may apat na magkakaibang ugat.

Ang pinakamakapangyarihang tool para sa paglutas ng mga kumplikadong problema sa mga parameter ay ang teorem ng Vieta. Ngunit dito kailangan mong maging lubhang matulungin sa mga salita.

Ang dalawang teorema na ito (direkta at kabaligtaran)

Teorama Vieta

Kung ang equation ay may mga ugat at ; pagkatapos ay nasiyahan ang pagkakapantay-pantay.

Mga tampok ng theorem:

Una . Ang teorama ay totoo lamang para sa equation at hindi totoo para sa

Sa huling kaso, kailangan mo munang hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng non-zero coefficient a sa x 2, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta theorem.

Pangalawa. Upang magamit ang mga resulta ng teorama, kinakailangan na magkaroon ng katotohanan ng pagkakaroon ng mga ugat ng mga equation, i.e. huwag kalimutang ipataw ang kundisyon D>0

Reverse

Ang teorama ni Vieta

Kung mayroong mga arbitrary na numero at pagkatapos ay sila ang mga ugat ng equation

Napakahalagang tala, pinapadali ang paglutas ng problema: ang inverse theorem mga garantiya ang pagkakaroon ng mga ugat sa equation, na nagpapahintulot sa iyo na huwag gulo sa discriminant. Awtomatiko itong hindi negatibo sa kasong ito.

	Mga kondisyon para sa mga ugat	Katumbas na kondisyon sa mga coefficient a, b, c, at ang discriminant D
	Umiiral ang mga ugat (at naiiba)
	Ang mga ugat ay umiiral at pantay
	Umiiral ang mga ugat at
	Umiiral ang mga ugat at
	Ang mga ugat ay umiiral at naiiba
	Umiiral ang mga ugat, ang isang ugat ay zero at ang isa ay >0

isa). Itakda sa kung anong mga halaga ng parameter ang equation

Walang mga ugat.

Kung ang equation ay walang mga ugat, kung gayon ito ay kinakailangan at sapat na ang discriminant

ay may iba't ibang positibong ugat.

Dahil may mga ugat, kung gayon kung pareho silang positibo, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula ng Vieta, pagkatapos ay para sa equation na ito

⟹

May iba't ibang negatibong ugat

May mga ugat ng iba't ibang tanda

May magkatugmang mga ugat

2). Sa anong mga halaga ng parameter a parehong ugat ng quadratic equation magiging positibo?

Desisyon.

Dahil ang ibinigay na equation ay quadratic, kung gayon ang parehong mga ugat nito (pantay o magkaiba) ay magiging positibo kung ang discriminant ay hindi negatibo, at ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay positibo, iyon ay

bilang, at sa pamamagitan ng teorama ni Vieta,

Pagkatapos ay nakakakuha tayo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

3). Hanapin ang lahat ng value ng parameter a ay hindi positibo.

Dahil ang ibinigay na equation ay parisukat, kung gayon . Ang parehong mga ugat nito (magkapantay o magkaiba) ay magiging negatibo o katumbas ng zero kung ang discriminant ay hindi negatibo, ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo o katumbas ng zero, at ang produkto ng mga ugat ay hindi negatibo, iyon ay

at sa pamamagitan ng teorama ni Vieta

pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

saan

4). Sa anong mga halaga ng parameter a katumbas ng 22.5?

Una, mag-aalok kami ng isang "solusyon", na kailangan naming matugunan nang higit sa isang beses.

sa abot ng pagkatapos makuha namin ang "Sagot" Gayunpaman, kasama ang nahanap na halaga a Ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

Sa solusyon na ito, nakatagpo kami ng isa sa mga "pinakatanyag" na mga error na nauugnay sa aplikasyon ng Vieta theorem:

pag-usapan ang tungkol sa mga ugat nang hindi muna alam kung mayroon o wala.

Kaya, sa halimbawang ito, una sa lahat, ito ay kinakailangan upang maitatag lamang kapag ang orihinal na equation ay may mga ugat. Pagkatapos lamang ay maaaring bumaling ang isa sa mga kalkulasyon sa itaas.

Sagot: Ganyan a ay wala.

5). Ang mga ugat ng equation ay ganoon Tukuyin

Desisyon. Ayon sa teorama ni Vieta I-square natin ang magkabilang bahagi ng unang pagkakapantay-pantay Kung isasaalang-alang iyon at makuha natin o Ipinapakita ng pagsuri na ang mga halaga ay nakakatugon sa orihinal na equation.

Sagot:

6) Sa anong halaga ng parameter a ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation kumukuha ng pinakamaliit na halaga:

Hanapin ang discriminant ng equation na ito. Mayroon kaming Narito ito ay mahalaga na hindi gumawa ng isang maling konklusyon na ang equation ay may dalawang ugat para sa alinman a. ito ay talagang may dalawang ugat para sa alinman ngunit tinatanggap a, ibig sabihin. sa sa

Gamit ang Vieta theorem, sumulat kami

Kaya, upang makakuha ng sagot, nananatili itong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng quadratic function

sa set

Mula noong at sa pagkatapos ang function sa tinukoy na hanay ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa punto

Mga gawain para sa malayang solusyon

isa). Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation

hindi negatibo

2). Kalkulahin ang halaga ng expression , kung saan ang mga ugat ng equation

3). Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang kabuuan ng mga parisukat ng mga tunay na ugat ng equation higit sa 6.

Sagot:

4). Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ax 2 -4x + a \u003d 0 ay mayroong:

a) positibong mga ugat

b) negatibong mga ugat

Ang lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic function na may kaugnayan sa

binigay na puntos.

Para sa mga naturang problema, ang sumusunod na pagbabalangkas ay tipikal: para sa kung anong mga halaga ng parameter ang mga ugat (isang ugat lamang) ay mas malaki (mas kaunti, hindi hihigit, walang mas kaunti) ng isang naibigay na numero A; ang mga ugat ay matatagpuan sa pagitan ng mga numero A at B; ang mga ugat ay hindi nabibilang sa pagitan na may mga dulo sa mga puntong A at B, atbp.

Kapag nilulutas ang mga problemang nauugnay sa isang square trinomial

kadalasan kailangan nating harapin ang mga sumusunod na karaniwang sitwasyon (na ating bubuuin sa anyo ng isang "tanong at sagot".

Tanong 1. Hayaang magbigay ng numero (1) parehong ugat nito at higit pa mga. ?

Sagot. Coefficients ng isang square trinomial (7) dapat matugunan ang mga kondisyon

saan - abscissa ng tuktok ng parabola.

Ang bisa ng sinabi ay sumusunod mula sa Fig. 1, na hiwalay na nagpapakita ng mga kaso at Tandaan na ang dalawang kundisyon at hindi pa rin sapat para sa mga ugat ng at upang maging mas malaki. Ang 1 dash ay nagpapakita ng isang parabola na nakakatugon sa dalawang kundisyong ito, ngunit ang mga ugat nito ay mas maliit. Gayunpaman, kung idaragdag natin sa ipinahiwatig na dalawang kundisyon na ang abscissa ng vertex ng parabola ay mas malaki, kung gayon ang mga ugat ay magiging mas malaki kaysa sa

Tanong 2. Hayaang magbigay ng numero Sa ilalim ng anong mga kondisyon sa mga coefficient ng isang square trinomial (1) ang mga ugat nito at humiga sa magkabilang panig ng mga. ?

Sagot. square trinomial coefficients (1) ay dapat matugunan ang kondisyon

Ang bisa ng sinabi ay sumusunod mula sa Fig. 2, kung saan ang mga kaso at ipinakita nang hiwalay. Tandaan na ginagarantiyahan ng ipinahiwatig na kundisyon ang pagkakaroon ng dalawang magkaibang ugat at isang parisukat na trinomial (1).

Tanong 3. Sa ilalim ng anong mga kondisyon sa mga coefficient ng isang square trinomial (1) mga ugat nito at ay naiiba at isa lamang sa mga ito ang nasa ibinigay na pagitan

Sagot. Coefficients ng isang square trinomial (1) dapat matugunan ang kondisyon

Tanong 4. Sa ilalim ng anong mga kondisyon sa mga coefficient ng isang square trinomial (1) ang hanay ng mga ugat nito ay hindi walang laman at ang lahat ng mga ugat nito at humiga sa ibinigay na pagitan mga.

Sagot. Ang mga coefficient ng square trinomial (1) ay dapat matugunan ang mga kundisyon

Upang malutas ang mga naturang problema, kapaki-pakinabang na magtrabaho kasama ang talahanayan sa ibaba.

Mga ugat na polynomial

.

Impormasyon ng may-akda

Stukalova Nadezhda Vasilievna

Lugar ng trabaho, posisyon:

MBOU secondary school №15, guro sa matematika

Rehiyon ng Tambov

Mga katangian ng aralin (mga klase)

Antas ng edukasyon:

Pangalawang (kumpleto) pangkalahatang edukasyon

Ang target na madla:

Mag-aaral (mag-aaral)

Ang target na madla:

Guro (guro)

(mga) klase:

(mga) item:

Algebra

(mga) item:

Mathematics

Layunin ng aralin:

Uri ng aralin:

Pinagsamang aralin

Mga mag-aaral sa klase (audience):

Mga ginamit na aklat-aralin at mga tutorial:

A. G. Mordkovich, algebra, grade 9, textbook, 2011

A. G. Mordkovich, algebra, klase 9, libro ng problema, 2011

S.A. Teleyakovsky, algebra grade 9, aklat-aralin, 2009

Ginamit na metodolohikal na panitikan:

Miroshin, V.V. Paglutas ng mga problema sa mga parameter: Teorya at kasanayan / V.V. Miroshin.- M.: Pagsusulit, 2009.

L. V Kuznetsova Koleksyon ng mga gawain para sa pagsusulit

Mga gamit na gamit:

Computer, projector ng pelikula

Maikling Paglalarawan:

Banghay-aralin: 1. Sandali ng organisasyon. 2. Generalization at systematization ng kaalaman (tandaan ang kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial sa isang tunay na linya). 3. Paglutas ng mga problema sa mga parameter (magtrabaho sa mga pangkat). 4. Malayang gawain na may kasunod na pag-verify. 5. Pagbubuod. 6. Takdang-Aralin.

Buod ng aralin

Naaayon sa paksa

"Lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial

depende sa mga halaga ng parameter"

guro ng matematika na si Stukalova N.V. MBOU sekondaryang paaralan №15

Michurinsk - lungsod ng agham ng Russian Federation 2011

Layunin ng aralin:

Upang bumuo ng mga praktikal na kasanayan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga gawain na may mga parameter;

Ihanda ang mga mag-aaral para sa matagumpay na pagpasa ng GIA sa matematika;

Upang bumuo ng pananaliksik at nagbibigay-malay na aktibidad ng mga mag-aaral;

Upang bumuo ng isang interes sa matematika;

Paunlarin ang mga kasanayan sa matematika ng mga mag-aaral.

Plano ng aralin:

1. Organisasyon sandali.

2. Generalization at systematization ng kaalaman (tandaan ang kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial sa isang tunay na linya).

3. Paglutas ng mga problema sa mga parameter (magtrabaho sa mga pangkat).

4. Malayang gawain na may kasunod na pag-verify.

5. Pagbubuod.

6. Takdang-Aralin.

Sa panahon ng mga klase.

1. Oras ng pag-aayos.

Ipinapaalam ng guro ang paksa ng aralin, nagtatakda ng mga layunin at layunin para sa mga mag-aaral, nag-uulat ng plano ng aralin.

Ang mga gawain na may mga parameter ay nagdudulot ng malaking kahirapan. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang solusyon ng naturang mga problema ay nangangailangan ng hindi lamang kaalaman sa mga katangian ng mga function at equation, ang kakayahang magsagawa ng algebraic transformations, ngunit din ng isang mataas na lohikal na kultura at mahusay na diskarte sa pananaliksik.

Ang aming aralin ay nakatuon sa paglutas ng mga problema sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial sa isang tunay na linya.

2. Generalization at systematization ng kaalaman:

Alalahanin ang kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa pagtupad sa iba't ibang mga kinakailangan para sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic equation na may kaugnayan sa mga ibinigay na puntos o pagitan.

Pagkatapos sumagot ng mga mag-aaral, ipinapakita ang mga slide na may tamang sagot.

1. Ang lokasyon ng mga ugat sa magkabilang panig ng ibinigay sa linya ng numero

puntos.

kundisyon x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. Ang lokasyon ng mga ugat sa magkabilang panig ng isang partikular na segment.

Upang ang mga ugat ng quadratic equation sa isang ≠ 0 ay masiyahan

kundisyon x 1< m, х 2 < n, где m

mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

3. Ang lokasyon ng mga ugat sa isang gilid ng ibinigay na isa sa linya ng numero

Mga tuldok.

Upang ang mga ugat ng quadratic equation sa isang ≠ 0 ay masiyahan

kalagayan m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

ito ay kinakailangan at sapat upang masiyahan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Kung sa kaliwa ng puntong x = m, ito ay kinakailangan at sapat upang maisagawa

mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

4. Pag-aari ng mga ugat sa isang naibigay na pagitan.

interval (m;n), ito ay kinakailangan at sapat upang maisagawa ang system

hindi pagkakapantay-pantay

5. Pag-aari ng mga ugat sa isang ibinigay na segment.

Upang mapabilang ang mga ugat ng quadratic equation para sa isang ≠ 0

interval , ito ay kinakailangan at sapat upang maisagawa ang system

hindi pagkakapantay-pantay

3. Paglutas ng mga problema sa mga parameter.

Ang mga mag-aaral ay nahahati sa 4 na pangkat. Sa bawat pangkat ay may mga bata na mas matagumpay sa algebra. Bawat pangkat ay magsisimulang lutasin ang suliranin na tumutugma sa bilang ng kanilang pangkat. Matapos talakayin ang progreso ng paglutas ng problema, isang kinatawan mula sa bawat grupo ang pumunta sa pisara at gumuhit ng solusyon sa problema ng kanilang grupo, at ipaliwanag ang solusyon nito (sa mga folding board). Sa oras na ito, dapat malutas ng mga lalaki ang mga problema ng isa pang grupo (maaari kang makakuha ng payo mula sa guro).

Gawain bilang 1.

Sa anong mga halaga ng parameter a isang ugat ng equation (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + +11 - 3a \u003d \u003d 0 ay mas malaki sa 1, ang isa pang ugat ay mas mababa sa 1?

Desisyon.

Ang graph ng function na y \u003d f (x), kung saan f (x) \u003d (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x ++ 11 - 3a, na may

a ≠ - 7/12 ay isang parabola na ang mga sanga para sa isang > - 7/12 ay nakadirekta paitaas, para sa isang< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра a masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Gawain #2.

Hanapin ang mga halaga ng parameter a kung saan ang mga ugat ng equation (1 + a) x 2 - 3ax + 4a \u003d 0 ay mas malaki kaysa sa 1.

Desisyon.

Kapag a≠-1, ang ibinigay na equation ay quadratic at D= -a(7a+16). Nakukuha namin ang system , kung saan -16/7≤а≤ -1.

Ang mga halaga ng parameter kung saan ang mga ugat ng equation na ito para sa isang ≠ - 1 ay higit sa 1 ay nabibilang sa pagitan [-16/7; -isa).

Kapag ang isang \u003d -1, ang ibinigay na equation ay may anyo na 3x - 4 \u003d 0 at ang tanging ugat

Sagot: [-16/7; -isa]

Gawain #3.

Sa anong mga halaga ng parameter k ang mga ugat ng equation (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

nabibilang sa pagitan (0;1)?

Desisyon.

Para sa k≠2, ang nais na mga halaga ng parameter ay dapat matugunan ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Saan ang D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x sa \u003d k / (k-2).

Walang solusyon ang sistemang ito.

Para sa k = 2, ang ibinigay na equation ay may anyo -4x+1 = 0, ang tanging ugat nito

x = ¼, na kabilang sa pagitan (0;1).

Gawain #4.

Sa anong mga halaga ng a ang parehong mga ugat ng equation x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 ay matatagpuan sa segment?

Ang mga nais na halaga ay dapat masiyahan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

kung saan D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x sa \u003d a.

Ang tanging solusyon ng system ay ang halaga, a = 4.

4. Malayang gawain (kontrol - pagsasanay).

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa mga grupo, nagsasagawa ng parehong pagpipilian, dahil ang materyal ay napaka kumplikado at hindi lahat ay maaaring gawin ito.

No. 1. Sa anong mga halaga ng parameter a ang parehong mga ugat ng equation x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 nabibilang sa pagitan (-2; 4)?

No. 2. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng k kung saan mayroong isang ugat ng equation

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 ay mas mababa sa 1 at ang isa pang ugat ay mas malaki sa 2.

No. 3. Sa anong mga halaga ng a ang numero 1 sa pagitan ng mga ugat ng square trinomial x 2 + (a + 1) x - a 2?

Sa pagtatapos ng oras, ang mga sagot ay ipinapakita. Isinasagawa ang self-checking ng independiyenteng trabaho.

5. Buod ng aralin. Tapusin ang alok.

"Ngayon sa klase..."

"Naaalala ko..."

"Gusto kong tandaan ...".

Sinusuri ng guro ang buong kurso ng aralin at ang mga pangunahing punto nito, sinusuri ang mga aktibidad ng bawat mag-aaral sa aralin.

6. Takdang aralin

(mula sa koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa GIA sa grade 9, may-akda L. V. Kuznetsova)

4. Lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial depende sa parameter

Kadalasan may mga problema sa mga parameter kung saan kinakailangan upang matukoy ang lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial sa totoong axis. Batay sa mga pangunahing probisyon at notasyon ng nakaraang talata, isaalang-alang ang mga sumusunod na kaso:

1. Hayaang magbigay ng square trinomial, kung saan
at tuldok m sa ehe baka. Tapos parehong kabayo
square trinomial
ay mahigpit na magiging mas mababa m

o

Ang geometric na paglalarawan ay ipinapakita sa Figures 3.1 at 3.2.

2. Hayaang magbigay ng square trinomial, kung saan at isang punto m sa ehe baka. Hindi pagkakapantay-pantay
humahawak lamang kung at kung ang mga numero a at
ay may iba't ibang mga palatandaan, iyon ay
(Larawan 4.1 at 4.2.)

3. Hayaang magbigay ng isang parisukat na trinomial, kung saan at ang punto m sa ehe baka. Tapos parehong kabayo
ang square trinomial ay magiging mas malaki m kung at kung matutugunan lamang ang mga sumusunod na kondisyon:

o

Ang isang geometric na paglalarawan ay ipinapakita sa Mga Figure 5.1 at 5.2.

4. Hayaang magbigay ng square trinomial, kung saan at ang pagitan (m, M) Pagkatapos ang parehong mga ugat ng square trinomial ay nabibilang sa ipinahiwatig na agwat kung at kung ang mga sumusunod na kundisyon ay nasiyahan lamang:

o

Ang geometric na paglalarawan ay ipinapakita sa Figures 6.1 at 6.2.

5. Hayaang magbigay ng square trinomial, kung saan , ang mga ugat at segment nito
. Ang segment ay nasa pagitan
kung at kung matutugunan lamang ang mga sumusunod na kondisyon:

Ang geometric na paglalarawan ay ipinapakita sa Figures 7.1 at 7.2.

Halimbawa.Hanapin ang lahat ng value ng parametera, para sa bawat isa kung saan ang parehong mga ugat ng equation
higit sa -2.

Desisyon. Ito ay tinukoy sa kondisyon ng gawain. Na ang equation ay may dalawang ugat, kaya . Ang sitwasyong isinasaalang-alang ay inilarawan ng kaso 3 at ipinapakita sa Figure 5.1. at 5.2.

Hanapin natin,
,

Isinasaalang-alang ang lahat ng ito, isinulat namin ang hanay ng dalawang sistema:

o

Ang paglutas ng dalawang sistemang ito, nakukuha namin .

Sagot. Para sa bawat halaga ng parameter a mula sa gap, ang parehong mga ugat ng equation ay mas malaki kaysa sa -2.

Halimbawa.Sa anong mga halaga ng parameterahindi pagkakapantay-pantay
ginanap para sa alinman
?

Desisyon. Kung ang set X ay ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, kung gayon ang kondisyon ng problema ay nangangahulugan na ang pagitan
dapat nasa loob ng set X, ibig sabihin

.

Isaalang-alang ang lahat ng posibleng mga halaga ng parameter a.

1.Kung a=0, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng anyo
, at ang solusyon nito ay ang pagitan
. Sa kasong ito, ang kundisyon ay natutugunan at a=0 ay ang solusyon sa problema.

2.Kung
, pagkatapos ay ang graph ng kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang parisukat na trinomial, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas. Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakasalalay sa tanda ng .

Isaalang-alang ang kaso kung kailan
. Pagkatapos, upang manatili ang hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat, kinakailangan na ang mga ugat ng square trinomial ay mas mababa sa -1, iyon ay:

o

Ang paglutas ng sistemang ito, nakukuha natin
.

Kung ang
, pagkatapos ay ang parabola ay nasa itaas ng axis Ox, at ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging anumang numero mula sa hanay ng mga tunay na numero, kasama ang pagitan . Maghanap tayo ng ganyan a mula sa kondisyon:

o

Ang paglutas ng sistemang ito, nakukuha natin
.

3.Kung
, pagkatapos ay sa
ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang interval , na hindi maaaring isama ang interval , at kung
ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay walang mga solusyon.

Pinagsasama-sama ang lahat ng nahanap na halaga a, nakuha namin ang sagot.

Sagot. Para sa anumang halaga ng parameter mula sa pagitan
ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak sa alinmang .

Halimbawa.Para sa anong mga halaga ng parameter a ang hanay ng mga halaga ng function ay naglalaman ng segment
?

Desisyon. 1. Kung
, pagkatapos

a) sa a = 1 function ang kukuha ng form y = 2, at ang hanay ng mga halaga nito ay binubuo ng isang solong punto 2 at hindi naglalaman ng segment;

b) kailan a =-1 function ang kukuha ng form y = -2 x+2 . Ang hanay ng mga kahulugan nito
naglalaman ng isang segment, kaya a =-1 ang solusyon sa problema.

2.Kung
, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa tuktok ng parabola
:

,
.

Ang hanay ng mga halaga ng function ay isang agwat
, na naglalaman ng segment
kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

.

3. Kung
, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa tuktok ng parabola
. Ang hanay ng mga halaga ng function ay isang agwat
, na naglalaman ng segment kung matutugunan ang mga sumusunod na kundisyon:

Ang paglutas ng sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha natin
.

Pagsasama-sama ng mga solusyon, nakukuha namin
.

Sagot. Sa
ang hanay ng mga halaga ng function ay naglalaman ng segment .

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Nang hindi kinakalkula ang mga ugat ng quadratic equation
, Hanapin

a)
, b)
, sa)

2. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng function

a)
, b)
, sa)
, G)

3. Lutasin ang mga equation

a)
, b)

4. Sa anong mga halaga ng parameter a parehong ugat ng equation
humiga sa pagitan (-5, 4)?

5. Sa anong mga halaga ng parameter a ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa lahat ng mga halaga x?

6. Sa anong mga halaga ng parameter a pinakamaliit na halaga ng pag-andar

Sa segment
ay -1?

7. Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation
may ugat?

Karpova Irina Viktorovna

PROGRAM AT EDUCATIONAL MATERIALS OF THE ELECTIVE COURSE in mathematics for students of grades 8-9 "Elements of the theory of probability and mathematical statistics"

Paliwanag na tala

Sa kasalukuyan, ang pagiging pangkalahatan ng probabilistic-statistical na mga batas ay nagiging malinaw; sila ay naging batayan para sa paglalarawan ng siyentipikong larawan ng mundo. Ang modernong pisika, kimika, biology, demograpiya, lingguwistika, pilosopiya, ang buong kumplikado ng mga agham na sosyo-ekonomiko ay umuunlad sa probabilistikong istatistikal na batayan.

Ang isang bata sa kanyang buhay araw-araw ay nakatagpo ng mga probabilistikong sitwasyon. Ang hanay ng mga isyu na may kaugnayan sa pag-unawa sa kaugnayan sa pagitan ng mga konsepto ng posibilidad at pagiging maaasahan, ang problema sa pagpili ng pinakamahusay sa ilang mga solusyon, pagtatasa ng antas ng panganib at mga pagkakataon ng tagumpay - lahat ng ito ay nasa saklaw ng mga tunay na interes ng pagbuo at pagpapaunlad ng sarili ng indibidwal.

Ginagawa ng lahat ng nasa itaas na gawing pamilyar ang bata sa mga pattern ng probabilistic-statistical.

Layunin ng kurso: upang ipaalam sa mga mag-aaral ang ilang teoretikal at probabilistikong mga pattern at istatistikal na pamamaraan ng pagproseso ng data.

Mga layunin ng kurso

Upang ipaalam sa mga mag-aaral ang batayang konseptwal na kagamitan ng teorya ng posibilidad.

Matuto upang matukoy ang posibilidad ng mga kaganapan sa klasikal na pamamaraan ng pagsusulit.

Upang makilala ang mga pamamaraan ng pangunahing pagproseso ng istatistikal na data.

Mga kinakailangan para sa antas ng pag-master ng nilalaman ng kurso

Bilang resulta ng pagkabisado sa programa ng kurso, ang mga mag-aaral ay dapat alam:

mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad: pagsubok, resulta ng pagsubok, espasyo ng elementarya na mga kaganapan, random, maaasahan, imposibleng mga kaganapan, magkasanib at hindi magkatugma na mga kaganapan;

mga kondisyon ng pamamaraan ng klasikal na pagsubok at pagpapasiya ng posibilidad ng isang kaganapan sa pamamaraan ng klasikal na pagsubok;

pagtukoy sa kamag-anak na dalas ng paglitaw ng kaganapan at ang istatistikal na posibilidad;

pagpapasiya ng serye ng variation at ang mga pangunahing katangiang numero nito.

Sa panahon ng kurso, ang mga mag-aaral ay dapat kumuha kasanayan:

matukoy ang lahat ng posibleng resulta ng pagsusulit, ang pagiging tugma at hindi pagkakatugma ng mga kaganapan;

malutas ang teoretikal at probabilistikong mga problema para sa pagkalkula ng posibilidad sa klasikal na pamamaraan ng pagsusulit;

kalkulahin ang relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan;

gumawa ng istatistikal na pamamahagi ng sample at kalkulahin ang mga numerical na katangian nito.

Kasama sa programa ang pagpapaunlad ng mga mag-aaral kasanayan:

paggamit ng mga umiiral na algorithm at, kung kinakailangan, ang kanilang malikhaing pagproseso sa mga partikular na kondisyon ng problema;

malayang paglutas ng problema;

gamitin sa paglutas ng mga problema ng mga pangkalahatang iskema na naglalaman ng mga pangunahing kahulugan at pormula.

Saklaw ng kurso: ang kursong inaalok ay 20 oras

Pagpaplanong pampakay

	Mga Paksa ng Aralin	Bilang ng oras
	Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
	Klasikong pamamaraan ng pagsubok. Pagpapasiya ng probabilidad sa classical test scheme.
	Ang dalas ay ganap at kamag-anak.
	Istatistikong kahulugan ng posibilidad.
	Pangkalahatan at sample na populasyon.
	Statistical distribution ng sample.
	Mga de-numerong katangian ng distribusyon ng istatistika.
	Pagtatantya at pagtataya ng istatistika.

Manu-manong teksto

Gustung-gusto ng maraming tao ang matematika para sa mga walang hanggang katotohanan nito: ang dalawang beses dalawa ay palaging apat, ang kabuuan ng mga numero ay pantay, at ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito. Sa anumang problema na nalutas mo sa klase sa matematika, lahat ay nakakuha ng parehong sagot - kailangan mo lang na hindi magkamali sa solusyon.

Ang totoong buhay ay hindi gaanong simple at hindi malabo. Imposibleng mahulaan nang maaga ang mga kinalabasan ng maraming phenomena, gaano man kakumpleto ang impormasyon natin tungkol sa mga ito. Imposible, halimbawa, na tiyaking masasabi kung saang bahagi ang itinapon na barya, kung kailan babagsak ang unang snow sa susunod na taon, o kung gaano karaming tao sa lungsod ang gustong tumawag sa telepono sa loob ng susunod na oras. Ang mga ganitong hindi inaasahang pangyayari ay tinatawag random.

Gayunpaman, ang kaso ay mayroon ding sariling mga batas, na nagsisimulang magpakita ng kanilang mga sarili sa paulit-ulit na pag-uulit ng mga random na phenomena. Kung ihagis mo ang isang barya ng 1000 beses, kung gayon ang "agila" ay mahuhulog nang halos kalahati ng oras, na hindi masasabi tungkol sa dalawa o kahit sampung paghahagis. Pansinin ang salitang "humigit-kumulang" - hindi isinasaad ng batas na ang bilang ng "mga agila" ay magiging eksaktong 500 o mahuhulog sa pagitan ng 490 at 510. magaganap ang pangyayari.. Ang ganitong mga regularidad ay pinag-aaralan ng isang espesyal na sangay ng matematika - teorya ng posibilidad.

Ang teorya ng probabilidad ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa ating pang-araw-araw na buhay. Nagbibigay ito ng kapansin-pansing pagkakataong magtatag ng maraming probabilistikong batas sa empirikal na paraan, paulit-ulit na inuulit ang mga random na eksperimento. Ang mga materyales para sa mga eksperimentong ito ay kadalasang isang ordinaryong barya, isang dice, isang set ng mga domino, isang roulette wheel, at kahit isang deck ng mga baraha. Ang bawat isa sa mga item na ito, sa isang paraan o iba pa, ay konektado sa mga laro. Ang katotohanan ay ang kaso dito ay lumilitaw sa pinakadalisay nitong anyo, at ang mga unang probabilistikong problema ay nauugnay sa pagtatasa ng mga pagkakataon ng mga manlalaro na manalo.

Ang modernong teorya ng probabilidad ay lumayo sa mga laro ng pagkakataon bilang geometry mula sa mga problema sa pamamahala ng lupa, ngunit ang kanilang mga props ay pa rin ang pinakasimpleng at pinaka-maaasahang mapagkukunan ng pagkakataon. Sa pamamagitan ng pagsasanay gamit ang isang roulette wheel at isang die, matututunan mo kung paano kalkulahin ang posibilidad ng mga random na kaganapan sa totoong buhay na mga sitwasyon, na magbibigay-daan sa iyo upang masuri ang iyong mga pagkakataon na magtagumpay, subukan ang mga hypotheses, at gumawa ng mga desisyon hindi lamang sa mga laro at lottery.

Ang mga istatistika ng matematika ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga pamamaraan para sa pagkolekta, pag-systematize at pagproseso ng mga resulta ng mga obserbasyon ng mass random phenomena upang makilala ang mga umiiral na pattern.

Sa isang kahulugan, ang mga problema ng mga istatistika ng matematika ay kabaligtaran sa mga problema ng teorya ng posibilidad: nakikitungo lamang sa mga eksperimento na nakuha na mga halaga ng mga random na variable, ang mga istatistika ay naglalayong isulong at subukan ang mga hypotheses tungkol sa pamamahagi ng mga random na variable na ito at suriin ang mga parameter ng kanilang pamamahagi.

1. Random na mga kaganapan. Paano ihambing ang mga kaganapan?

Tulad ng anumang iba pang sangay ng matematika, ang probability theory ay may sarili nitong konseptuwal na kagamitan, na ginagamit sa pagbabalangkas ng mga kahulugan, pagpapatunay ng mga teorema, at pagkuha ng mga pormula. Isaalang-alang natin ang mga konsepto na gagamitin natin sa karagdagang paglalahad ng teorya.

Pagsubok- pagpapatupad ng isang hanay ng mga kondisyon.

Kinalabasan ng pagsusulit (elementarya na kaganapan)– anumang resulta na maaaring mangyari sa panahon ng pagsusulit.

Mga halimbawa.

1) Pagsubok:

Mga resulta ng pagsubok:ω 1 - isang punto ang lumitaw sa itaas na mukha ng kubo;

ω 2 – dalawang puntos ang lumitaw sa tuktok na mukha ng kubo;

ω 3 – tatlong puntos ang lumitaw sa tuktok na mukha ng kubo;

ω 4 – apat na puntos ang lumitaw sa tuktok na mukha ng kubo;

ω 5 – limang puntos ang lumitaw sa tuktok na mukha ng kubo;

ω 6 - anim na puntos ang lumitaw sa tuktok na mukha ng kubo.

Sa kabuuan, posible ang 6 na resulta ng pagsusulit (o 6 na elementarya na kaganapan).

2) Pagsubok: ang mag-aaral ay kumukuha ng pagsusulit.

Mga resulta ng pagsubok:ω 1 - nakatanggap ang mag-aaral ng deuce;

ω 2 - nakatanggap ang mag-aaral ng tatlo;

ω 3 - nakatanggap ang mag-aaral ng apat;

ω 4 - nakatanggap ng lima ang mag-aaral.

Sa kabuuan, posible ang 4 na resulta ng pagsusulit (o 4 na elementarya na kaganapan).

Magkomento. Ang notasyong ω ay ang karaniwang notasyon para sa isang elementarya na kaganapan, sa mga sumusunod ay gagamitin natin ang notasyong ito.

Tatawagin natin ang mga resulta ng pagsusulit na ito pare-parehong posible kung ang mga resulta ng pagsubok ay may parehong pagkakataon na lumitaw.

Puwang ng mga kaganapan sa elementarya- ang set ng lahat ng elementarya na kaganapan (mga resulta ng pagsubok) na maaaring lumabas sa panahon ng pagsusulit.

Sa mga halimbawang isinaalang-alang namin sa itaas, ang mga puwang ng mga elementarya na kaganapan ng mga pagsubok na ito ay aktwal na inilarawan.

Magkomento. Ang bilang ng mga puntos sa espasyo ng mga elementary event (PES), i.e. ang bilang ng mga kaganapan sa elementarya ay ilalarawan ng titik n.

Isaalang-alang natin ang pangunahing konsepto, na gagamitin natin sa mga sumusunod.

Kahulugan 1.1.Ang isang kaganapan ay isang koleksyon ng isang tiyak na bilang ng mga puntos ng TEC.

Sa hinaharap, tutukuyin namin ang mga kaganapan sa malalaking titik na Latin: A, B, C.

Kahulugan 1.2.Ang isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari sa panahon ng isang pagsubok ay tinatawag na isang random na kaganapan.

Sa pagbili ng tiket sa lottery, maaari tayong manalo o hindi; sa mga susunod na halalan, ang naghaharing partido ay maaaring manalo o hindi; sa aralin maaari kang tawagin sa pisara, o hindi sila matawag, atbp. Ang mga ito ay lahat ng mga halimbawa ng mga random na kaganapan na, sa ilalim ng parehong mga kundisyon, ay maaaring o hindi maaaring mangyari sa panahon ng isang pagsubok.

Magkomento. Anumang elementarya na kaganapan ay isa ring random na kaganapan.

Kahulugan 1.3.Ang isang kaganapan na nangyayari para sa anumang resulta ng isang pagsubok ay tinatawag na isang tiyak na kaganapan.

Kahulugan 1.4.Ang isang kaganapan na hindi maaaring mangyari sa ilalim ng anumang kinalabasan ng pagsubok ay tinatawag na isang imposibleng kaganapan.

Halimbawa.

1) Pagsubok: isang dice ang inihagis.

Kaganapan A: isang pantay na bilang ng mga puntos ang nahulog sa tuktok na mukha ng mamatay;

Kaganapan B: sa tuktok na bahagi ng die, isang bilang ng mga puntos ang nahulog, isang maramihang ng 3;

Kaganapan C: 7 puntos ang nahulog sa tuktok na mukha ng mamatay;

Kaganapan D: ang bilang ng mga puntos na mas mababa sa 7 ay nahulog sa tuktok na mukha ng mamatay.

Mga kaganapan PERO at AT maaaring mangyari o hindi sa panahon ng pagsubok, kaya ito ay mga random na kaganapan.

Kaganapan Sa hindi maaaring mangyari, kaya ito ay isang imposibleng kaganapan.

Kaganapan D nangyayari sa anumang kinalabasan ng pagsubok, kung gayon ito ay isang mapagkakatiwalaang kaganapan.

Sinabi namin na ang mga random na kaganapan sa ilalim ng parehong mga kondisyon ay maaaring mangyari o hindi. Kasabay nito, ang ilang mga random na kaganapan ay may mas maraming pagkakataon na mangyari (na nangangahulugan na ang mga ito ay mas malamang - mas malapit sa maaasahan), habang ang iba ay may mas kaunting mga pagkakataon (sila ay mas malamang - mas malapit sa imposible). Samakatuwid, bilang unang pagtataya, posibleng tukuyin ang probabilidad bilang antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Malinaw na mas madalas na magaganap ang mas malamang na mga kaganapan kaysa sa mga hindi gaanong posibleng mangyari. Kaya maaari mong ihambing ang mga probabilidad sa pamamagitan ng dalas kung saan nangyari ang mga kaganapan.

Subukan nating ilagay ang mga sumusunod na kaganapan sa isang espesyal na sukat ng posibilidad sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng posibilidad ng kanilang paglitaw.

Kaganapan A: sa susunod na taon ang unang snow sa Khabarovsk ay babagsak sa Linggo;

Kaganapan B: ang sanwits na nahulog mula sa mesa ay nahulog butter-side down;

Kaganapan C: kapag naghagis ng dice, 6 na puntos ang mahuhulog;

Kaganapan D: kapag naghahagis ng dice, isang pantay na bilang ng mga puntos ang mahuhulog;

Kaganapan E: kapag naghagis ng dice, 7 puntos ang nahulog;

Kaganapan F: Kapag ang isang dice ay pinagsama, isang bilang ng mga puntos na mas mababa sa 7 ay lalabas.

Kaya, sa panimulang punto ng aming sukat, maglalagay kami ng mga imposibleng kaganapan, dahil ang antas ng posibilidad ng kanilang paglitaw (probability) ay halos katumbas ng 0. Kaya, ito ay magiging isang kaganapan E. Sa dulong punto ng aming sukat, naglalagay kami ng mga mapagkakatiwalaang kaganapan - F. Ang lahat ng iba pang mga kaganapan ay random, subukan nating ayusin ang mga ito sa sukat sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng antas ng kanilang paglitaw. Para magawa ito, dapat nating malaman kung alin sa kanila ang mas malamang at alin ang mas malamang. Magsimula tayo sa kaganapan D: Kapag gumulong kami ng dice, ang bawat isa sa 6 na mukha ay may pantay na pagkakataon na mapunta sa itaas. Isang kahit na bilang ng mga puntos - sa tatlong mukha ng kubo, sa iba pang tatlong - kakaiba. Kaya eksaktong kalahati ng pagkakataon (3 sa 6) na ang kaganapan D mangyayari. Samakatuwid, inilalagay namin ang kaganapan D sa gitna ng aming sukat.

Sa kaganapan Sa isang pagkakataon lamang sa 6 habang mayroon ang kaganapan D- tatlong pagkakataon sa 6 (tulad ng nalaman namin). Kaya Sa mas malamang at matatagpuan sa sukat sa kaliwa ng kaganapan D.

Kaganapan PERO kahit na mas malamang kaysa sa Sa, dahil mayroong 7 araw sa mga linggo at sa alinman sa mga ito ang unang snow ay maaaring bumagsak na may pantay na posibilidad, kaya ang kaganapan ay may PERO isang pagkakataon sa 7. Pangyayari PERO, sa gayon, ay mas matatagpuan sa kaliwa kaysa sa kaganapan Sa.

Ang pinakamahirap na bagay na ilagay sa sukat ay isang kaganapan AT. Dito imposibleng tumpak na kalkulahin ang mga pagkakataon, ngunit maaari kang tumawag sa karanasan sa buhay upang tumulong: ang isang sandwich ay bumagsak sa sahig na may mantikilya nang mas madalas (mayroong kahit isang "batas ng sandwich"), kaya ang kaganapan AT mas malamang kaysa sa D, kaya sa sukat ay inilalagay namin ito sa kanan kaysa D. Kaya, nakukuha namin ang sukat:

E A C D B F

imposibleng random tiyak

Ang constructed probability scale ay hindi masyadong totoo - wala itong mga numerical marks, divisions. Kami ay nahaharap sa gawain ng pag-aaral kung paano kalkulahin ang antas ng posibilidad ng paglitaw (probability) ng isang kaganapan.

Quadratic equation na may mga parameter

(Methodological development para sa mga mag-aaral sa grade 9-11)

guro sa matematika ng pinakamataas na kategorya ng kwalipikasyon,

Deputy Director para sa UVR

Megion 2013

Paunang salita

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Paglalapat ng Vieta theorem

Ang gawaing siyentipiko sa paglutas ng mga problema sa mga parameter at sa partikular na paglutas ng mga quadratic equation na may mga parameter ay propaedeutics gawaing pananaliksik ng mga mag-aaral. Sa USE sa matematika (madalas na mga gawain C5), GIA (mga gawain ng bahagi 2) at sa mga pagsusulit sa pasukan, higit sa lahat ay mayroong dalawang uri ng mga gawain na may mga parameter. Una: "Para sa bawat halaga ng parameter, hanapin ang lahat ng solusyon sa ilang equation o hindi pagkakapantay-pantay." Pangalawa: "Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang ilang mga kundisyon ay nasiyahan para sa isang naibigay na equation o hindi pagkakapantay-pantay." Alinsunod dito, ang mga sagot sa dalawang uri ng mga problemang ito ay naiiba sa esensya. Sa sagot sa problema ng unang uri, ang lahat ng posibleng mga halaga ng parameter ay nakalista, at ang mga solusyon sa equation ay isinulat para sa bawat isa sa mga halagang ito. Sa sagot sa problema ng pangalawang uri, ang lahat ng mga halaga ng parameter ay ipinahiwatig kung saan natutugunan ang mga kundisyon na tinukoy sa problema.

Tulad ng alam mo, napakakaunting pansin ang binabayaran sa paglutas ng mga problema sa mga parameter sa paaralan. Samakatuwid, ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay palaging nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral; mahirap asahan na ang mga mag-aaral na ang pagsasanay ay hindi kasama ang "parametric therapy" ay matagumpay na makayanan ang mga ganoong gawain sa mahirap na kapaligiran ng isang mapagkumpitensyang pagsusuri, samakatuwid, ang mga mag-aaral ay dapat na partikular na maghanda para sa "tagpuan ng mga parameter". Nakikita ng maraming estudyante ang parameter bilang isang "regular" na numero. Sa katunayan, sa ilang mga problema ang parameter ay maaaring ituring na isang pare-parehong halaga, ngunit ang pare-parehong halaga na ito ay tumatagal sa hindi kilalang mga halaga. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang problema para sa lahat ng posibleng halaga ng pare-parehong ito. Sa iba pang mga problema, maaaring maging maginhawa upang artipisyal na ideklara ang isa sa mga hindi alam bilang isang parameter.

Ang mga gawain na may mga parameter ay may diagnostic at prognostic na halaga - sa tulong ng mga gawain na may mga parameter, maaari mong suriin ang kaalaman sa mga pangunahing seksyon ng matematika ng paaralan, ang antas ng matematika at lohikal na pag-iisip, ang mga paunang kasanayan ng mga aktibidad sa pananaliksik, at pinaka-mahalaga, nangangako. mga pagkakataon para sa matagumpay na pag-master ng kursong matematika ng isang naibigay na unibersidad.

Ang pagsusuri sa mga opsyon sa PAGGAMIT sa matematika at mga pagsusulit sa pasukan sa iba't ibang unibersidad ay nagpapakita na ang karamihan sa mga iminungkahing gawain na may mga parameter ay nauugnay sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial. Ang pagiging pangunahing isa sa kurso sa matematika ng paaralan, ang quadratic function ay bumubuo ng isang malawak na klase ng mga problema sa mga parameter, magkakaibang anyo at nilalaman, ngunit pinagsama ng isang karaniwang ideya - ang mga katangian ng quadratic function ay ang batayan para sa kanilang solusyon. Kapag nilulutas ang mga naturang problema, inirerekumenda na magtrabaho kasama ang tatlong uri ng mga modelo:

1. verbal model - isang pandiwang paglalarawan ng gawain;

2. geometric na modelo - isang sketch ng isang graph ng isang quadratic function;

3. analytical model - isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, na naglalarawan sa geometric na modelo.

Ang manual ay naglalaman ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial (kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic function na may kaugnayan sa mga ibinigay na puntos), ang aplikasyon ng Vieta's theorem sa solusyon ng mga quadratic equation na may mga parameter. Ang mga detalyadong solusyon ng 15 mga problema sa mga rekomendasyong pamamaraan ay ibinigay. Ang layunin ng manwal na ito ay tulungan ang nagtapos at guro ng matematika sa paghahanda para sa pagpasa ng Unified State Examination at State Academic Examination sa matematika, at ang entrance exam sa unibersidad sa anyo ng pagsusulit o sa tradisyonal na anyo.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - namamalagi sa kanan ng linya x = n (kondisyon xb>n) ;

3. ang parabola ay bumalandra sa linyang x = n sa isang puntong nasa itaas na kalahating eroplano para sa a>0 at sa isang puntong nasa ibabang kalahating eroplano para sa isang<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Teorama 10. Quadratic equation x2 + p1x + q1 = 0 at x2 + p2x + q2 = 0,

na ang mga diskriminasyon ay hindi negatibo ay may hindi bababa sa isang karaniwang ugat kung at kung lamang (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Patunay.

Hayaang f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, at ang mga numerong x1, x2 ay ang mga ugat ng equation f1(x) = 0. Upang ang mga equation ay f1(x) ) = 0 at f2(x) = 0 ay may hindi bababa sa isang karaniwang ugat, ito ay kinakailangan at sapat na ang f1(x)∙f2(x) = 0, ibig sabihin, na (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Kinakatawan namin ang huling pagkakapantay-pantay sa anyo

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Dahil ang x12 + p1x1 + q1 = 0 at x22 + p1x2 + q1 = 0, nakukuha namin

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, i.e.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Sa pamamagitan ng Vieta theorem x1 +x2 = - p1 at x1x2 =q1; kaya naman,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, o

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), na dapat patunayan.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Quadratic equation palakol 2 + bx + c = 0

1) ay may dalawang tunay na positibong ugat kung at kung ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan nang sabay-sabay:

;

2) ay may dalawang tunay na negatibong ugat kung at kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan nang sabay-sabay:

;

3) ay may dalawang tunay na ugat ng magkakaibang mga palatandaan kung at kung ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan nang sabay-sabay:

;

4) ay may dalawang tunay na ugat ng parehong tanda kung

Puna 1. Kung ang coefficient sa X 2 ay naglalaman ng isang parameter, ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang kaso kapag ito vanishes.

Puna 2. Kung ang discriminant ng isang quadratic equation ay isang perpektong parisukat, kung gayon sa una ay mas maginhawang maghanap ng mga tahasang expression para sa mga ugat nito.

Pangungusap 3. Kung ang isang equation na naglalaman ng ilang mga hindi alam ay parisukat na may paggalang sa isa sa mga ito, kung gayon ang susi sa paglutas ng problema ay madalas na ang pag-aaral ng discriminant nito.

Nagpapakita kami ng isang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga problema na may kaugnayan sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomialf(x) = palakol2 + bx + c:

1. Pag-aaral ng kaso a = o (kung ang unang koepisyent ay nakasalalay sa mga parameter).

2. Paghahanap ng discriminant D sa kaso a≠0.

3. Kung ang D ay ang buong parisukat ng ilang mga expression, pagkatapos ay ang paghahanap ng mga ugat x1, x2 at subordinating ang mga kondisyon ng problema.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema para sa paghahanda para sa GIA at sa Unified State Examination sa matematika

Halimbawa 1 Lutasin ang equation ( a - 2)x 2 – 2palakol + 2a – 3 = 0.

Desisyon. Isaalang-alang ang dalawang kaso: a = 2 at a ≠ 2. sa unang kaso, ang orihinal na equation ay nasa anyo - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Para sa isang \u003d 1 o isang \u003d 6, ang discriminant ay zero at ang quadratic equation ay may isang ugat: , ibig sabihin, para sa isang \u003d 1 makuha namin ang ugat , at para sa a = 6 - ang ugat.

Sa 1< a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">ang equation ay walang mga ugat; para sa a = 1 ang equation ay may isang ugat X= -1; sa ang equation ay may dalawang ugat ; sa a= 2 ang equation ay may iisang ugat ; sa a= 6 ang equation ay may iisang ugat .

Halimbawa 2 Sa anong halaga ng parameter a ang equation ( a - 2)X 2 + (4 – 2a)X+ 3 = 0 ay may isang ugat?

Desisyon . Kung ang a= 2, pagkatapos ang equation ay magiging linear∙ X+ 3 = 0; na walang ugat.

Kung ang a≠ 2, kung gayon ang equation ay parisukat at may iisang ugat na may zero discriminant D.

D= 0 sa a 1 = 2 at a 2 = 5. Kahulugan a= 2 ay hindi kasama, dahil ito ay sumasalungat sa kondisyon na ang orihinal na equation ay parisukat.

Sagot : a = 5.

4.

(a - 1)X 2 + (2a + 3)X + a Ang + 2 = 0 ay may mga ugat ng parehong tanda?

Desisyon. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang itinuturing na equation ay quadratic, nangangahulugan ito na a≠ 1. Malinaw, ang kondisyon ng problema ay nagpapahiwatig din ng pagkakaroon ng mga ugat ng quadratic equation, na nangangahulugan na ang discriminant ay hindi negatibo.

D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.

Dahil, sa pamamagitan ng kondisyon, ang mga ugat ay dapat na may parehong tanda, kung gayon X 1∙X 2 > 0, i.e..png" width="149" height="21 src=">. Napapailalim sa mga kundisyon D≥ 0 at a≠ 1 nakukuha namin https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Halimbawa 3 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a kung saan ang equation na x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 ay may dalawang positibong ugat.

Desisyon. Mula sa Vieta theorem, upang ang parehong mga ugat x1 at x2 ng equation na ito ay maging positibo, kinakailangan at sapat na ang discriminant ng square trinomial x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) ay hindi- negatibo, at ang produkto x1 ∙ x2 at ang kabuuan x1 + x2 ay positibo. Nakukuha namin na ang lahat ay nagbibigay-kasiyahan sa sistema

At sila lang ang mga solusyon sa problema. Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema

Ang solusyon kung saan, at samakatuwid ang problema mismo, ay lahat ng mga numero mula sa pagitan )