Function at mga paraan upang itakda ito.

Upang magtakda ng isang function ay nangangahulugang magtatag ng isang panuntunan (batas) sa tulong ng kung saan, ayon sa ibinigay na mga halaga ng independiyenteng variable, dapat isa mahanap ang kaukulang mga halaga ng function. Tingnan natin ang ilang mga paraan upang tukuyin ang mga function.

tabular na paraan. Medyo karaniwan, ito ay binubuo sa pagtatakda ng isang talahanayan ng mga indibidwal na halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy sa isang function ay ginagamit kapag ang domain ng function ay isang discrete finite set.

Gamit ang tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function, posible na humigit-kumulang na kalkulahin ang mga halaga ng function na hindi nakapaloob sa talahanayan, na naaayon sa mga intermediate na halaga ng argumento. Upang gawin ito, gamitin ang paraan ng interpolation.

Ang mga bentahe ng tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function ay ginagawang posible upang matukoy ang ilang partikular na halaga nang sabay-sabay, nang walang karagdagang mga sukat o kalkulasyon. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, hindi ganap na tinukoy ng talahanayan ang function, ngunit para lamang sa ilang mga halaga ng argumento at hindi nagbibigay ng visual na representasyon ng likas na katangian ng pagbabago sa function depende sa pagbabago sa argumento.

Graphic na paraan. Ang graph ng function na y = f(x) ay ang set ng lahat ng mga punto sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ibinigay na equation.

Ang graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay hindi palaging ginagawang posible upang tumpak na matukoy ang mga numerical na halaga ng argumento. Gayunpaman, ito ay may isang mahusay na kalamangan sa iba pang mga pamamaraan - visibility. Sa engineering at physics, ang isang graphical na paraan ng pagtatakda ng isang function ay kadalasang ginagamit, at isang graph ang tanging paraan na magagamit para dito.

Upang ang graphical na pagtatalaga ng isang function ay medyo tama mula sa isang mathematical point of view, ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang eksaktong geometric na konstruksyon ng graph, na kung saan, kadalasan, ay ibinibigay ng isang equation. Ito ay humahantong sa sumusunod na paraan ng pagtukoy ng isang function.

paraan ng pagsusuri. Kadalasan, ang batas na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang argumento at isang function ay tinukoy sa pamamagitan ng mga formula. Ang ganitong paraan ng pagtukoy sa isang function ay tinatawag na analytical.

Ginagawang posible ng pamamaraang ito para sa bawat numerical value ng argumentong x na mahanap ang katumbas na numerical value ng function na y nang eksakto o may ilang katumpakan.

Kung ang relasyon sa pagitan ng x at y ay ibinibigay ng isang pormula na niresolba nang may kinalaman sa y, ibig sabihin. ay may anyo na y = f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function ng x ay ibinibigay nang tahasan.

Kung ang mga halaga ng x at y ay nauugnay sa ilang equation ng form na F(x,y) = 0, i.e. ang formula ay hindi pinahihintulutan na may paggalang sa y, na nangangahulugan na ang function na y = f(x) ay tuwirang tinukoy.

Ang isang function ay maaaring tukuyin ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng lugar ng gawain nito.

Ang analytical na paraan ay ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang mga function. Ang pagiging compact, conciseness, ang kakayahang kalkulahin ang halaga ng isang function para sa isang di-makatwirang halaga ng argument mula sa domain ng kahulugan, ang kakayahang ilapat ang apparatus ng mathematical analysis sa isang naibigay na function ay ang pangunahing bentahe ng analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function. Kabilang sa mga disadvantage ang kawalan ng visibility, na nabayaran ng kakayahang bumuo ng isang graph at ang pangangailangang magsagawa ng minsan napakahirap na mga kalkulasyon.

pasalitang paraan. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa katotohanan na ang functional dependence ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa 1: ang function na E(x) ay ang integer na bahagi ng numerong x. Sa pangkalahatan, ang E(x) = [x] ay tumutukoy sa pinakamalaking integer na hindi lalampas sa x. Sa madaling salita, kung x = r + q, kung saan ang r ay isang integer (maaaring negatibo) at ang q ay kabilang sa pagitan = r. Ang function na E(x) = [x] ay pare-pareho sa pagitan = r.

Halimbawa 2: function y = (x) - fractional na bahagi ng isang numero. Mas tiyak, y =(x) = x - [x], kung saan ang [x] ay ang integer na bahagi ng numerong x. Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x. Kung ang x ay isang arbitrary na numero, pagkatapos ay kinakatawan ito bilang x = r + q (r = [x]), kung saan ang r ay isang integer at ang q ay nasa pagitan . = 2[" class="link_thumb"> 7 Ang isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f(x)x;x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. = 2 = 47 [-0.23] = - 1 x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notation [x]. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0.23] \u003d - 1 "\u003e x, x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng ang numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: Isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f (x) x; x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero.D (f) = (-;+), E (f) = Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, gamitin ang notasyon [ x ].= 2 ["> title="Ang isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f(x)x;x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. = 2["> !}

Sa lahat ng mga pamamaraan sa itaas ng pagtatakda ng isang function, ang analytical na pamamaraan ay nagbibigay ng pinakamalaking pagkakataon para sa paggamit ng apparatus ng mathematical analysis, at ang graphic na paraan ay may pinakamalaking kalinawan. Iyon ang dahilan kung bakit ang mathematical analysis ay batay sa isang malalim na synthesis ng analytical at geometric na pamamaraan. Ang pag-aaral ng mga function na ibinigay nang analytical ay mas madali at nagiging malinaw kung isasaalang-alang natin ang mga graph ng mga function na ito nang magkatulad.

X y=x

Mahusay na mathematician - Dirichlet In propesor sa Berlin, mula 1855 Göttingen University. Ang mga pangunahing gawa sa teorya ng numero at pagsusuri sa matematika. Sa larangan ng mathematical analysis, si Dirichlet sa unang pagkakataon ay tumpak na bumalangkas at pinag-aralan ang konsepto ng conditional convergence ng isang serye, nagtatag ng isang criterion para sa convergence ng isang serye (ang tinatawag na Dirichlet criterion, 1862), at (1829) ay nagbigay isang mahigpit na patunay ng posibilidad ng pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier na may hangganan na bilang ng maxima at minima. Ang mga makabuluhang gawa ng Dirichlet ay nakatuon sa mechanics at mathematical physics (prinsipyo ni Dirichlet sa teorya ng harmonic function). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () German mathematician, foreign corresponding member. Petersburg Academy of Sciences (c), miyembro ng Royal Society of London (1855), Parisian Academy of Sciences (1854), Berlin Academy of Sciences. Pinatunayan ni Dirichlet ang isang teorama sa pagkakaroon ng isang walang katapusang malaking bilang ng mga prime sa anumang pag-unlad ng aritmetika ng mga integer, ang unang termino at ang pagkakaiba nito ay mga numero ng coprime at pinag-aralan (1837) ang batas ng pamamahagi ng mga prime sa mga pag-unlad ng aritmetika, na may kaugnayan sa na ipinakilala niya ang functional series ng isang espesyal na anyo ( tinatawag na Dirichlet series).

Analytical na kahulugan ng isang function

Function na %%y = f(x), x \in X%% na ibinigay sa isang tahasang analitikal na paraan, kung may ibinigay na formula na tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbong matematikal na dapat gawin gamit ang argumentong %%x%% upang makuha ang value na %%f(x)%% ng function na ito.

Halimbawa

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Kaya, halimbawa, sa physics, na may pantay na pinabilis na rectilinear motion, ang bilis ng isang katawan ay tinutukoy ng formula t%% ay nakasulat bilang: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Piecewise Defined Function

Minsan ang function na isinasaalang-alang ay maaaring tukuyin ng ilang mga formula na gumagana sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito, kung saan nagbabago ang argument ng function. Halimbawa: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Ang mga function ng ganitong uri ay tinatawag minsan bumubuo o pira-piraso. Ang isang halimbawa ng naturang function ay %%y = |x|%%

Saklaw ng pag-andar

Kung ang function ay tinukoy sa isang tahasang analytical na paraan gamit ang isang formula, ngunit ang saklaw ng function sa anyo ng isang set na %%D%% ay hindi tinukoy, pagkatapos ay sa pamamagitan ng %%D%% palagi nating ibig sabihin ang set ng mga halaga ng argumentong %%x%% kung saan may katuturan ang formula na ito . Kaya para sa function na %%y = x^2%%, ang domain ng kahulugan ay ang set na %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, dahil ang argumento %%x% % ay maaaring tumagal ng anumang mga halaga sa linya ng numero. At para sa function na %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, ang domain ng definition ay ang set ng mga values ​​​​%%x%% na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay %%1 - x^2 > 0%%, m .e. %%D = (-1, 1)%%.

Mga Benepisyo ng Explicit Analytic Function Definition

Tandaan na ang tahasang analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay medyo compact (ang formula, bilang panuntunan, ay tumatagal ng maliit na espasyo), madaling kopyahin (ang formula ay madaling isulat), at pinaka-angkop sa pagsasagawa ng mga mathematical na operasyon at pagbabago sa mga function.

Ang ilan sa mga operasyong ito - algebraic (pagdaragdag, pagpaparami, atbp.) - ay kilala sa kursong matematika ng paaralan, ang iba (pagkita ng kaibhan, pagsasama) ay pag-aaralan sa hinaharap. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi palaging malinaw, dahil ang likas na katangian ng pag-asa ng function sa argumento ay hindi palaging malinaw, at kung minsan ang mga masalimuot na kalkulasyon ay kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function (kung kinakailangan).

Implicit na detalye ng function

Ang function na %%y = f(x)%% ay tinukoy sa isang implicit analytical na paraan, kung ang ugnayang $$F(x,y) = 0 ay ibinigay, ~~~~~~~~~~(1)$$ inuugnay ang mga halaga ng function na %%y%% at ang argumento %% x%%. Kung bibigyan ng mga halaga ng argumento, pagkatapos ay upang mahanap ang halaga ng %%y%% na tumutugma sa isang partikular na halaga ng %%x%%, kinakailangan upang malutas ang equation na %%(1)%% na may paggalang sa %%y%% sa partikular na halagang iyon ng %%x%%.

Dahil sa halagang %%x%%, ang equation na %%(1)%% ay maaaring walang solusyon o higit sa isang solusyon. Sa unang kaso, ang tinukoy na halaga na %%x%% ay wala sa saklaw ng implicit na function, at sa pangalawang kaso ito ay tumutukoy multivalued function, na mayroong higit sa isang halaga para sa isang ibinigay na halaga ng argumento.

Tandaan na kung ang equation na %%(1)%% ay maaaring tahasang malulutas nang may kinalaman sa %%y = f(x)%%, pagkatapos ay makukuha natin ang parehong function, ngunit natukoy na sa isang tahasang analytical na paraan. Kaya, ang equation na %%x + y^5 - 1 = 0%%

at ang pagkakapantay-pantay na %%y = \sqrt(1 - x)%% ay tumutukoy sa parehong function.

Kahulugan ng parametric function

Kapag hindi direktang binigay ang dependence ng %%y%% sa %%x%%, ngunit sa halip ay ibinibigay ang dependences ng parehong variable %%x%% at %%y%% sa ilang ikatlong auxiliary variable %%t%% sa anyo

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$nag-uusap sila parametric ang paraan ng pagtatakda ng function;

pagkatapos ay ang auxiliary variable na %%t%% ay tinatawag na isang parameter.

Kung posibleng ibukod ang parameter na %%t%% mula sa mga equation na %%(2)%%, mapupunta sila sa isang function na ibinigay ng tahasan o implicit na analytical dependence na %%y%% sa %%x%% . Halimbawa, mula sa mga ugnayang $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ maliban para sa parameter na % %t%% nakukuha natin ang dependence %%y = 2 x + 2%%, na nagtatakda ng tuwid na linya sa %%xOy%% plane.

Graphical na paraan

Isang halimbawa ng isang graphical na kahulugan ng isang function

Ang mga halimbawa sa itaas ay nagpapakita na ang analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay tumutugma sa nito graphic na larawan, na maaaring ituring bilang isang maginhawa at visual na anyo ng paglalarawan ng isang function. Minsan ginagamit graphic na paraan pagtukoy sa isang function kapag ang dependence ng %%y%% sa %%x%% ay ibinigay ng isang linya sa %%xOy%% plane. Gayunpaman, para sa lahat ng kalinawan nito, nawawala ito sa katumpakan, dahil ang mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function ay maaaring makuha mula sa graph lamang ng humigit-kumulang. Ang resultang error ay depende sa sukat at katumpakan ng pagsukat ng abscissa at ordinate ng mga indibidwal na punto ng graph. Sa hinaharap, itatalaga namin ang papel ng graph ng function upang ilarawan lamang ang pag-uugali ng function, at samakatuwid ay paghihigpitan namin ang aming sarili sa pagbuo ng mga "sketch" ng mga graph na sumasalamin sa mga pangunahing tampok ng mga function.

Tabular na paraan

Tandaan tabular na paraan mga pagtatalaga ng function, kapag ang ilang mga halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar ay inilagay sa isang talahanayan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay kung paano binuo ang mga kilalang talahanayan ng trigonometriko function, mga talahanayan ng logarithms, atbp. Sa anyo ng isang talahanayan, ang ugnayan sa pagitan ng mga dami na sinusukat sa mga eksperimentong pag-aaral, mga obserbasyon, at mga pagsusulit ay karaniwang ipinakita.

Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang imposibilidad ng direktang pagtukoy ng mga halaga ng pag-andar para sa mga halaga ng argumento na hindi kasama sa talahanayan. Kung may kumpiyansa na ang mga halaga ng argumento na hindi ipinakita sa talahanayan ay nabibilang sa domain ng itinuturing na pag-andar, kung gayon ang kaukulang mga halaga ng pag-andar ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang gamit ang interpolation at extrapolation.

Halimbawa

Algorithmic at verbal na paraan ng pagtukoy ng mga function

Maaaring itakda ang function algorithmic(o programmatic) sa paraang malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng computer.

Sa wakas, maaari itong mapansin naglalarawan(o pasalita) isang paraan ng pagtukoy ng isang function, kapag ang panuntunan para sa pagtutugma ng mga halaga ng function sa mga halaga ng argumento ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa, ang function na %%[x] = m~\forall (x \in . Gayunpaman, at mahalagang bigyang-diin na, habang umuunlad ang aming impormasyon sa pagsusuri, ang iba pang mga operasyon ay idaragdag sa kanilang numero, una sa lahat, ang sipi sa limitasyon, kung saan ang mambabasa ay pamilyar na mula sa Kabanata I.

Kaya, ang buong nilalaman ng terminong "analytical expression" o "formula" ay unti-unti lamang ihahayag.

2° Ang pangalawang pangungusap ay nauugnay sa domain ng kahulugan ng isang function sa pamamagitan ng analytic expression o formula.

Ang bawat analytic na expression na naglalaman ng argumentong x ay may natural na saklaw: ito ay ang hanay ng lahat ng mga halagang iyon ng x kung saan ito ay nagpapanatili ng isang kahulugan, ibig sabihin, ay may isang mahusay na tinukoy, may hangganan, tunay na halaga. Ipaliwanag natin ito sa mga simpleng halimbawa.

Kaya, para sa isang expression, ang nasabing lugar ay ang buong hanay ng mga tunay na numero. Para sa isang expression, ang lugar na ito ay mababawasan sa isang saradong pagitan kung saan ang halaga nito ay hindi na magiging totoo. Sa kabaligtaran, ang expression ay kailangang magsama ng isang bukas na puwang bilang natural na saklaw nito, dahil sa mga dulo ang denominator nito ay nagiging 0. Minsan ang hanay ng mga halaga kung saan ang expression ay nagpapanatili ng kahulugan ay binubuo ng mga nakakalat na puwang: para sa mga ito ay magkakaroon gaps para sa - gaps, atbp.

Bilang pangwakas na halimbawa, isaalang-alang ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad

Kung gayon, tulad ng alam natin, umiiral ang limitasyong ito at may halagang . Para sa , ang limitasyon ay maaaring pantay o wala talaga. Kaya, para sa analytic expression sa itaas, ang natural na saklaw ay ang bukas na pagitan

Sa susunod na presentasyon, kailangan nating isaalang-alang ang parehong mas kumplikado at mas pangkalahatang analytic na mga expression, at higit sa isang beses nating pag-aaralan ang mga katangian ng mga function na ibinigay ng isang katulad na expression sa buong rehiyon kung saan ito ay nagpapanatili ng kahulugan, ibig sabihin, ang pag-aaral ng analytic apparatus mismo.

Gayunpaman, posible rin ang isa pang estado ng mga pangyayari, kung saan itinuturing namin na kinakailangan upang maakit ang pansin ng mambabasa nang maaga. Isipin natin na ang ilang partikular na tanong, kung saan ang variable na x ay esensyal na limitado sa hanay ng X, na humantong sa pagsasaalang-alang ng isang function na umaamin ng analytic expression. Bagama't maaaring mangyari na ang ekspresyong ito ay may katuturan sa labas ng rehiyon X, siyempre, imposibleng lumampas dito. Dito ang analytical expression ay gumaganap ng isang subordinate, auxiliary na papel.

Halimbawa, kung, kung sinisiyasat ang malayang pagbagsak ng isang mabigat na punto mula sa taas sa ibabaw ng lupa, gagamitin natin ang formula

Ito ay magiging walang katotohanan na isaalang-alang ang mga negatibong halaga ng t o mga halaga na mas malaki kaysa sa, dahil madaling makita, sa , ang punto ay mahuhulog na sa lupa. At ito ay sa kabila ng katotohanan na ang mismong ekspresyon ay nagpapanatili ng kahulugan nito para sa lahat ng tunay.

3° Maaaring mangyari na ang isang function ay hindi tinukoy ng parehong formula para sa lahat ng mga halaga ng argumento, ngunit para sa ilan sa pamamagitan ng isang formula at para sa iba ng isa pa. Ang isang halimbawa ng naturang function sa pagitan ay ang function na tinukoy ng sumusunod na tatlong formula:

at sa wakas kung .

Binanggit din namin ang Dirichlet function (P. G. Lejeune-Dinchlet), na tinukoy bilang sumusunod:

Sa wakas, kasama ang Kronecker (L. Kroneckcf) isasaalang-alang natin ang function, na tinawag niyang "signum" at tinutukoy ng