Sa mga surface ng 2nd order, ang mag-aaral ay madalas na nagkikita sa unang taon. Sa una, ang mga gawain sa paksang ito ay maaaring mukhang simple, ngunit habang nag-aaral ka ng mas mataas na matematika at lumalalim sa pang-agham na bahagi, sa wakas ay maaari mong ihinto ang pag-orient sa iyong sarili sa kung ano ang nangyayari. Upang maiwasang mangyari ito, ito ay kinakailangan hindi lamang sa kabisaduhin, ngunit upang maunawaan kung paano ito o ang ibabaw na iyon ay nakuha, kung paano ang pagbabago ng mga coefficient ay nakakaapekto dito at ang lokasyon nito na may kaugnayan sa orihinal na sistema ng coordinate, at kung paano makahanap ng isang bagong sistema (isa kung saan ang sentro nito ay tumutugma sa mga coordinate ng pinagmulan, ngunit parallel sa isa sa mga coordinate axes). Magsimula tayo sa simula pa lang.

Kahulugan

Ang surface ng 2nd order ay isang GMT, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa pangkalahatang equation ng sumusunod na form:

Ito ay malinaw na ang bawat punto na kabilang sa ibabaw ay dapat na may tatlong mga coordinate sa ilang itinalagang batayan. Bagaman sa ilang mga kaso ang locus ng mga punto ay maaaring bumagsak, halimbawa, sa isang eroplano. Nangangahulugan lamang ito na ang isa sa mga coordinate ay pare-pareho at katumbas ng zero sa buong hanay ng mga tinatanggap na halaga.

Ang buong pininturahan na anyo ng pagkakapantay-pantay na binanggit sa itaas ay ganito ang hitsura:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - ilang mga constant, x, y, z - mga variable na tumutugma sa mga coordinate ng affine ng ilang punto. Kasabay nito, hindi bababa sa isa sa mga pare-pareho ang mga kadahilanan ay hindi dapat katumbas ng zero, iyon ay, walang anumang punto ang tumutugma sa equation.

Sa napakaraming karamihan ng mga halimbawa, maraming mga numerical na salik ay pareho pa rin ng zero, at ang equation ay lubos na pinasimple. Sa pagsasagawa, ang pagtukoy kung ang isang punto ay kabilang sa isang ibabaw ay hindi mahirap (ito ay sapat na upang palitan ang mga coordinate nito sa equation at suriin kung ang pagkakakilanlan ay sinusunod). Ang pangunahing punto sa naturang gawain ay ang pagbabawas ng huli sa canonical form.

Ang equation na nakasulat sa itaas ay tumutukoy sa anumang (lahat ng nakalista sa ibaba) na mga ibabaw ng ika-2 order. Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa sa ibaba.

Mga uri ng mga ibabaw ng 2nd order

Ang mga equation ng second-order surface ay naiiba lamang sa mga halaga ng coefficients A nm . Mula sa pangkalahatang pananaw, para sa ilang mga halaga ng mga constant, ang iba't ibang mga ibabaw ay maaaring makuha, na inuri bilang mga sumusunod:

1. Mga silindro.
2. Uri ng Elliptical.
3. uri ng hyperbolic.
4. Uri ng korteng kono.
5. parabolic type.
6. Mga eroplano.

Ang bawat isa sa mga nakalistang uri ay may natural at haka-haka na anyo: sa haka-haka na anyo, ang locus ng mga tunay na punto ay bumababa sa isang mas simpleng pigura, o wala nang buo.

mga silindro

Ito ang pinakasimpleng uri, dahil ang isang medyo kumplikadong kurba ay namamalagi lamang sa base, na kumikilos bilang isang gabay. Ang mga generator ay mga tuwid na linya na patayo sa eroplano kung saan nakahiga ang base.

Ang graph ay nagpapakita ng isang circular cylinder, isang espesyal na case ng isang elliptical cylinder. Sa XY plane, ang projection nito ay magiging isang ellipse (sa aming kaso, isang bilog) - isang gabay, at sa XZ - isang parihaba - dahil ang mga generator ay parallel sa Z axis. Upang makuha ito mula sa pangkalahatang equation, kailangan mo upang bigyan ang mga coefficient ng mga sumusunod na halaga:

Sa halip na mga karaniwang pagtatalaga x, y, z, x na may serial number ang ginagamit - hindi ito mahalaga.

Sa katunayan, ang 1/a 2 at ang iba pang mga constant na ipinahiwatig dito ay ang parehong mga coefficient na ipinahiwatig sa pangkalahatang equation, ngunit kaugalian na isulat ang mga ito sa form na ito - ito ang canonical na representasyon. Sa mga sumusunod, ang gayong notasyon lamang ang gagamitin.

Ito ay kung paano tinukoy ang isang hyperbolic cylinder. Ang pamamaraan ay pareho - ang hyperbole ang magiging gabay.

Ang isang parabolic cylinder ay tinukoy sa isang bahagyang naiibang paraan: ang canonical form nito ay may kasamang coefficient p, na tinatawag na isang parameter. Sa katunayan, ang koepisyent ay katumbas ng q=2p, ngunit kaugalian na hatiin ito sa dalawang salik na ipinakita.

May isa pang uri ng silindro: haka-haka. Walang tunay na punto ang nabibilang sa gayong silindro. Ito ay inilarawan sa pamamagitan ng equation ng isang elliptical cylinder, ngunit sa halip na pagkakaisa ito ay -1.

Uri ng Elliptical

Ang ellipsoid ay maaaring iunat kasama ang isa sa mga axes (kasama ito ay nakasalalay sa mga halaga ng mga constants a, b, c, na ipinahiwatig sa itaas; malinaw na ang isang mas malaking koepisyent ay tumutugma sa mas malaking axis).

Mayroon ding isang haka-haka na ellipsoid - sa kondisyon na ang kabuuan ng mga coordinate na pinarami ng mga coefficient ay -1:

Hyperboloids

Kapag lumitaw ang isang minus sa isa sa mga constant, ang ellipsoid equation ay nagiging equation ng isang one-sheet na hyperboloid. Dapat itong maunawaan na ang minus na ito ay hindi kailangang matatagpuan sa harap ng x 3 coordinate! Tinutukoy lamang nito kung alin sa mga axes ang magiging axis ng pag-ikot ng hyperboloid (o kahanay nito, dahil kapag lumitaw ang mga karagdagang termino sa parisukat (halimbawa, (x-2) 2), ang gitna ng figure ay nagbabago, bilang isang resulta, ang ibabaw ay gumagalaw parallel sa mga coordinate axes). Nalalapat ito sa lahat ng surface ng 2nd order.

Bilang karagdagan, dapat na maunawaan ng isa na ang mga equation ay ipinakita sa canonical form at maaari silang baguhin sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng mga constants (na may sign na napanatili!); habang ang kanilang anyo (hyperboloid, cone, at iba pa) ay mananatiling pareho.

Ang nasabing equation ay ibinigay na ng isang dalawang-sheet na hyperboloid.

korteng kono ibabaw

Walang unit sa cone equation - equality to zero.

Tanging isang bounded conical surface ay tinatawag na cone. Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita na, sa katunayan, magkakaroon ng dalawang tinatawag na cone sa tsart.

Mahalagang tala: sa lahat ng itinuturing na canonical equation, ang mga constant ay ipinapalagay na positibo bilang default. Kung hindi, ang tanda ay maaaring makaapekto sa huling tsart.

Ang mga coordinate na eroplano ay nagiging mga eroplano ng simetrya ng kono, ang sentro ng simetrya ay matatagpuan sa pinanggalingan.

Sa imaginary cone equation, may mga plus lamang; mayroon itong isang tunay na punto.

Paraboloids

Ang mga ibabaw ng 2nd order sa espasyo ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga hugis kahit na may mga katulad na equation. Halimbawa, mayroong dalawang uri ng paraboloids.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Ang isang elliptical paraboloid, kapag ang Z axis ay patayo sa drawing, ay ipapakita sa isang ellipse.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Hyperbolic paraboloid: Ang mga seksyon na may mga eroplanong parallel sa ZY ay gagawa ng mga parabola, at ang mga seksyon na may mga eroplanong parallel sa XY ay gagawa ng mga hyperbolas.

Mga eroplanong interseksyon

May mga kaso kapag ang mga ibabaw ng 2nd order ay bumagsak sa isang eroplano. Ang mga eroplanong ito ay maaaring ayusin sa iba't ibang paraan.

Una isaalang-alang ang mga intersecting na eroplano:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Ang pagbabagong ito ng canonical equation ay nagreresulta sa dalawang intersecting planes (haka-haka!); lahat ng tunay na punto ay nasa axis ng coordinate na wala sa equation (sa canonical - ang Z axis).

Parallel na eroplano

Sa pagkakaroon ng isang coordinate lamang, ang mga ibabaw ng 2nd order ay bumagsak sa isang pares ng parallel na eroplano. Tandaan, ang anumang iba pang variable ay maaaring pumalit sa Y; pagkatapos ay ang mga eroplanong parallel sa iba pang mga palakol ay makukuha.

Sa kasong ito, sila ay nagiging haka-haka.

Nagkataon na Eroplano

Sa gayong simpleng equation, ang isang pares ng mga eroplano ay bumababa sa isa - sila ay nag-tutugma.

Huwag kalimutan na sa kaso ng isang three-dimensional na batayan, ang equation sa itaas ay hindi tumutukoy sa linyang y=0! Wala itong dalawang iba pang mga variable, ngunit nangangahulugan lamang iyon na ang kanilang halaga ay pare-pareho at katumbas ng zero.

Gusali

Ang isa sa pinakamahirap na gawain para sa isang mag-aaral ay ang pagtatayo ng mga ibabaw ng 2nd order. Ito ay mas mahirap na lumipat mula sa isang coordinate system patungo sa isa pa, dahil ang mga anggulo ng curve na may paggalang sa mga axes at ang offset ng sentro. Ulitin natin kung paano sunud-sunod na matukoy ang hinaharap na pagtingin sa pagguhit sa paraang analitikal.

Upang makabuo ng 2nd order surface, kailangan mo:

• dalhin ang equation sa canonical form;
• matukoy ang uri ng ibabaw sa ilalim ng pag-aaral;
• construct batay sa mga halaga ng coefficients.

Ang lahat ng mga uri na isinasaalang-alang ay nakalista sa ibaba:

Upang pagsamahin, inilalarawan namin nang detalyado ang isang halimbawa ng ganitong uri ng gawain.

Mga halimbawa

Sabihin nating mayroon tayong equation:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Dalhin natin ito sa canonical form. Iisa-isa natin ang buong mga parisukat, ibig sabihin, inaayos natin ang mga magagamit na termino sa paraang ito ang pagpapalawak ng parisukat ng kabuuan o pagkakaiba. Halimbawa: kung (a+1) 2 =a 2 +2a+1, pagkatapos ay isang 2 +2a+1=(a+1) 2 . Isasagawa namin ang pangalawang operasyon. Sa kasong ito, hindi kinakailangan na buksan ang mga bracket, dahil ito ay magpapalubha lamang sa mga kalkulasyon, ngunit kinakailangan na kunin ang karaniwang kadahilanan 6 (sa mga bracket na may buong parisukat ng Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Ang variable na z ay nangyayari sa kasong ito isang beses lamang - maaari itong iwanang hindi nagalaw sa ngayon.

Sinusuri namin ang equation sa yugtong ito: lahat ng hindi alam ay nauunahan ng plus sign; kapag hinati sa anim, isa ang nananatili. Samakatuwid, mayroon kaming isang equation na tumutukoy sa isang ellipsoid.

Tandaan na ang 144 ay nai-factor sa 150-6, pagkatapos kung saan ang -6 ay inilipat sa kanan. Bakit kailangang gawin ito sa ganitong paraan? Malinaw na ang pinakamalaking divisor sa halimbawang ito ay 6, samakatuwid, upang ang isang yunit ay manatili sa kanan pagkatapos na hatiin ito, kinakailangan na "ipagpaliban" ang eksaktong 6 mula sa 144 (ang pagkakaroon ng isang libreng miyembro, isang pare-pareho na hindi pinarami sa hindi alam).

Hatiin ang lahat ng anim at makuha ang canonical equation ng ellipsoid:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Sa dating ginamit na pag-uuri ng mga ibabaw ng ika-2 order, ang isang partikular na kaso ay isinasaalang-alang kapag ang sentro ng figure ay nasa pinagmulan ng mga coordinate. Sa halimbawang ito, ito ay offset.

Ipinapalagay namin na ang bawat bracket na may mga hindi alam ay isang bagong variable. Iyon ay: a=x-1, b=y+5, c=z. Sa bagong mga coordinate, ang sentro ng ellipsoid ay tumutugma sa punto (0,0,0), samakatuwid, a=b=c=0, kung saan: x=1, y=-5, z=0. Sa mga unang coordinate, ang gitna ng figure ay nasa punto (1,-5,0).

Ang ellipsoid ay bubuuin ng dalawang ellipse: ang una sa XY plane at ang pangalawa sa XZ plane (o YZ - hindi mahalaga). Ang mga coefficient kung saan hinahati ang mga variable ay naka-squad sa canonical equation. Samakatuwid, sa halimbawa sa itaas, magiging mas tama na hatiin sa ugat ng dalawa, isa at ugat ng tatlo.

Ang minor axis ng unang ellipse, parallel sa Y axis, ay dalawa. Ang pangunahing axis na kahanay sa x-axis ay dalawang ugat ng dalawa. Ang menor de edad na axis ng pangalawang ellipse, parallel sa Y axis, ay nananatiling pareho - ito ay katumbas ng dalawa. At ang pangunahing axis, parallel sa Z axis, ay katumbas ng dalawang ugat ng tatlo.

Gamit ang data na nakuha mula sa orihinal na equation sa pamamagitan ng pag-convert sa canonical form, maaari tayong gumuhit ng isang ellipsoid.

Summing up

Ang paksang saklaw sa artikulong ito ay medyo malawak, ngunit, sa katunayan, tulad ng nakikita mo ngayon, hindi masyadong kumplikado. Ang pag-unlad nito, sa katunayan, ay nagtatapos sa sandaling kabisaduhin mo ang mga pangalan at equation ng mga ibabaw (at, siyempre, kung ano ang hitsura nila). Sa halimbawa sa itaas, isinasaalang-alang namin nang detalyado ang bawat hakbang, ngunit ang pagdadala ng equation sa canonical form ay nangangailangan ng kaunting kaalaman sa mas mataas na matematika at hindi dapat magdulot ng anumang kahirapan para sa mag-aaral.

Ang pagsusuri ng hinaharap na iskedyul ayon sa umiiral na pagkakapantay-pantay ay isa nang mas mahirap na gawain. Ngunit para sa matagumpay na solusyon nito, sapat na upang maunawaan kung paano itinayo ang mga katumbas na second-order curves - mga ellipse, parabola, at iba pa.

Ang mga kaso ng pagkabulok ay isang mas simpleng seksyon. Dahil sa kawalan ng ilang mga variable, hindi lamang ang mga kalkulasyon ay pinasimple, tulad ng nabanggit kanina, kundi pati na rin ang konstruksiyon mismo.

Sa sandaling maaari mong kumpiyansa na pangalanan ang lahat ng mga uri ng mga ibabaw, pag-iba-ibahin ang mga constant, gawing isa o ibang figure ang graph, ang paksa ay magiging mastered.

Tagumpay sa pag-aaral!

Pangunahing teoretikal na impormasyon

Cylindrical na ibabaw o simple lang silindro tinatawag na anumang ibabaw na maaaring makuha sa pamamagitan ng paglipat ng isang tuwid na linya, paglipat parallel sa ilang vector at sa lahat ng oras na intersecting sa isang naibigay na linya, na tinatawag na gabay. Ang gumagalaw na linya ay tinatawag generatrix.

Tapered na ibabaw o simple lang kono tinatawag na ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto, na tinatawag na tuktok ng kono, at gumagalaw sa kurba na ito. Ang gumagalaw na linya ay tinatawag generatrix ng kono, at ang kurba kung saan dumadausdos ang generatrix, - gabay.

Ang pag-ikot ng figure sa paligid ng isang tuwid na linya (axis of rotation) ay isang paggalaw kung saan ang bawat punto ng figure
naglalarawan ng isang bilog na nakasentro sa axis ng pag-ikot, na nakahiga sa isang eroplano na patayo sa axis ng pag-ikot.

Ang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang linya tungkol sa isang axis ay tinatawag ibabaw ng rebolusyon.

Canonical equation ng second-order surface

Ang isang pangalawang-order na ibabaw ay ibinibigay sa hugis-parihaba na mga coordinate ng isang pangalawang-degree na equation

(7.1)

Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga coordinate (sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga axes at parallel na pagsasalin), ang equation (7.1) ay nabawasan sa canonical form. Sa kaso kapag walang mga termino na may produkto ng mga coordinate sa equation (7.1), ang equation na ito ay ang pagpili ng buong parisukat sa pamamagitan ng ,,at ang parallel na pagsasalin ng mga coordinate axes ay binabawasan sa canonical form sa parehong paraan tulad ng ginawa para sa second-order lines (tingnan ang Pag-aaral ng pangkalahatang equation ng isang second-order line). Ang mga second-order na ibabaw at ang kanilang mga canonical equation ay ipinakita sa Talahanayan. 3.

Ang hugis at pag-aayos ng mga second-order na ibabaw ay karaniwang pinag-aaralan ng paraan ng parallel na mga seksyon. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakasalalay sa katotohanan na ang ibabaw ay intersected ng ilang mga eroplano na kahanay sa mga coordinate na eroplano. Ang hugis at mga parameter ng nakuha na mga seksyon ay ginagawang posible upang matukoy ang hugis ng ibabaw mismo.

mesa 3

Hyperboloid: single-cavity, bicameral,
Paraboloid: elliptical, hyperbolic,

elliptical, hyperbolic, parabolic,

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Suliranin 7.1. Sumulat ng isang equation para sa isang globo na ang radius ay , at ang sentro ay nasa punto
.

Desisyon. Ang sphere ay isang hanay ng mga punto na may parehong distansya mula sa gitna. Samakatuwid, nagsasaad ng
di-makatwirang mga coordinate ng punto
mga globo at pagpapahayag sa pamamagitan ng mga ito ng pagkakapantay-pantay
, Magkakaroon

Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay, makuha natin ang nais na canonical equation ng globo:

Kung ang sentro ng globo ay inilalagay sa pinanggalingan, kung gayon ang equation ng globo ay may mas simpleng anyo:

.

Sagot.
.

Suliranin 7.2. Sumulat ng equation para sa conical surface na may vertex sa pinanggalingan at isang gabay

(7.1)

Desisyon. Canonical equation ng mga generator sa pamamagitan ng isang punto
at punto
gabay, may form

(7.2)

Ibukod ,,mula sa mga equation (7.1) at (7.2). Upang gawin ito, sa mga equation (7.2) pinapalitan namin sa at tukuyin at :

;

Pagpapalit sa mga halagang ito at sa unang equation ng system (7.1), magkakaroon tayo ng:

o

Ang resultang equation ay tumutukoy sa isang kono ng pangalawang pagkakasunud-sunod (tingnan ang Talahanayan 3)

Suliranin 7.3.

Desisyon. Ang ibabaw na ito ay isang hyperbolic cylinder na may mga generator na kahanay sa axis
Sa katunayan, ang equation na ito ay hindi naglalaman , at ang cylinder guide ay hyperbola

na may sentro ng simetrya sa punto
at isang tunay na axis na parallel sa axis
.

Suliranin 7.4. Galugarin at buuin ang ibabaw na ibinigay ng equation

Desisyon. I-intersect ang ibabaw gamit ang isang eroplano
. Bilang resulta, mayroon tayo

saan
. Ito ang equation ng isang parabola sa eroplano

Seksyon ng isang ibinigay na ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplano
may parabola

Seksyon ng eroplano
mayroong isang pares ng mga intersecting na linya:

Seksyon ayon sa mga eroplano na parallel sa eroplano
, may mga hyperbola:

Sa
ang tunay na axis ng hyperbola ay parallel sa axis
, sa
mga palakol
. Ang iniimbestigahan na ibabaw ay isang hyperbolic paraboloid (na nauugnay sa hugis, ang ibabaw ay tinatawag na "saddle").

Magkomento. Ang isang kawili-wiling pag-aari ng isang hyperbolic paraboloid ay ang pagkakaroon ng mga tuwid na linya na nakahiga kasama ang lahat ng kanilang mga punto sa ibabaw nito. Ang mga ganitong linya ay tinatawag rectilinear generators ng isang hyperbolic paraboloid. Dalawang rectilinear generator ang dumadaan sa bawat punto ng hyperbolic paraboloid.

Suliranin 7.5. Aling ibabaw ang tumutukoy sa equation

Desisyon. Upang bawasan ang equation na ito sa canonical form, iisa-isa namin ang buong mga parisukat ng mga variable ,,:

Ang paghahambing ng nagresultang equation sa mga tabular (tingnan ang Talahanayan 3), nakita natin na ito ang equation ng isang one-sheet na hyperboloid, na ang gitna nito ay inililipat sa punto.
Sa pamamagitan ng parallel transfer ng coordinate system ayon sa mga formula

dinadala namin ang equation sa canonical form:

Magkomento. Ang isang one-sheet na hyperboloid, tulad ng isang hyperbolic, ay may dalawang pamilya ng mga rectilinear generator.

Ang nilalaman ng artikulo

CONIC SECTIONS, mga kurba ng eroplano, na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa isang kanang pabilog na kono na may isang eroplano na hindi dumaan sa tuktok nito (Larawan 1). Mula sa punto ng view ng analytical geometry, ang conic section ay ang locus ng mga puntos na nakakatugon sa isang second-order equation. Maliban sa mga degenerate na kaso na tinalakay sa huling seksyon, ang mga conic na seksyon ay mga ellipse, hyperbola, o parabola.

Ang mga conic na seksyon ay madalas na matatagpuan sa kalikasan at teknolohiya. Halimbawa, ang mga orbit ng mga planeta na umiikot sa Araw ay mga ellipse. Ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse, kung saan ang major axis ay katumbas ng minor. Ang isang parabolic mirror ay may pag-aari na ang lahat ng mga sinag ng insidente na kahanay sa axis nito ay nagtatagpo sa isang punto (focus). Ginagamit ito sa karamihan ng mga sumasalamin na teleskopyo gamit ang mga parabolic mirror, gayundin sa mga radar antenna at mga espesyal na mikropono na may mga parabolic reflector. Ang isang sinag ng parallel ray ay nagmumula sa isang pinagmumulan ng liwanag na nakalagay sa pokus ng isang parabolic reflector. Samakatuwid, ang mga parabolic na salamin ay ginagamit sa makapangyarihang mga spotlight at mga headlight ng kotse. Ang hyperbola ay isang graph ng maraming mahahalagang pisikal na relasyon, tulad ng batas ni Boyle (na nag-uugnay sa presyon at dami ng ideal na gas) at batas ng Ohm, na tumutukoy sa electric current bilang isang function ng resistensya sa pare-parehong boltahe.

MAAGANG KASAYSAYAN

Ang nakatuklas ng mga conic section ay si Menechmus (4th century BC), isang estudyante ni Plato at guro ni Alexander the Great. Gumamit si Menechmus ng parabola at isosceles hyperbola upang malutas ang problema ng pagdodoble ng isang cube.

Mga Treatises sa conic section na isinulat nina Aristaeus at Euclid sa pagtatapos ng ika-4 na siglo. BC, ay nawala, ngunit ang mga materyales mula sa kanila ay kasama sa sikat Mga seksyon ng conic Apollonius ng Perga (c. 260-170 BC), na nakaligtas hanggang sa ating panahon. Inabandona ni Apollonius ang pangangailangan na ang secant plane ng generatrix ng cone ay patayo at, sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng anggulo ng pagkahilig nito, nakuha ang lahat ng conic section mula sa isang circular cone, tuwid o hilig. Utang din namin kay Apollonius ang mga modernong pangalan ng mga kurba - ellipse, parabola at hyperbola.

Sa kanyang mga konstruksyon, gumamit si Apollonius ng dalawang-sheet na pabilog na kono (tulad ng sa Fig. 1), kaya sa unang pagkakataon ay naging malinaw na ang hyperbola ay isang curve na may dalawang sanga. Mula noong panahon ni Apollonius, ang mga conic na seksyon ay nahahati sa tatlong uri, depende sa pagkahilig ng cutting plane sa generatrix ng cone. Ellipse (Larawan 1, a) ay nabuo kapag ang cutting plane ay nagsalubong sa lahat ng mga generatrix ng kono sa mga punto ng isa sa kanyang lukab; parabola (Larawan 1, b) - kapag ang cutting plane ay parallel sa isa sa mga tangent na eroplano ng kono; hyperbole (Larawan 1, sa) - kapag ang cutting plane ay nag-intersect sa parehong cavity ng cone.

KONSTRUKSYON NG CONIC SECTIONS

Habang pinag-aaralan ang mga conic section bilang intersection ng mga eroplano at cone, itinuturing din ng mga sinaunang Greek mathematician ang mga ito bilang mga trajectory ng mga punto sa isang eroplano. Napag-alaman na ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos, ang kabuuan ng mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho; parabola - bilang isang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto at isang naibigay na linya; hyperbola - bilang isang locus ng mga puntos, ang pagkakaiba sa mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho.

Ang mga kahulugang ito ng mga conic na seksyon bilang mga kurba ng eroplano ay nagmumungkahi din ng isang paraan upang gawin ang mga ito gamit ang isang nakaunat na sinulid.

Ellipse.

Kung ang mga dulo ng isang thread ng isang naibigay na haba ay naayos sa mga punto F 1 at F 2 (Larawan 2), pagkatapos ay ang curve na inilarawan sa dulo ng isang lapis na dumudulas sa isang mahigpit na nakaunat na sinulid ay may hugis ng isang tambilugan. puntos F 1 at F 2 ay tinatawag na foci ng ellipse, at ang mga segment V 1 V 2 at v 1 v 2 sa pagitan ng mga punto ng intersection ng ellipse na may mga coordinate axes - ang major at minor axes. Kung ang mga puntos F 1 at F 2 nag-tutugma, pagkatapos ay ang ellipse ay nagiging bilog.

Hyperbola.

Kapag gumagawa ng hyperbola, isang punto P, ang dulo ng isang lapis, ay naayos sa isang sinulid na malayang dumudulas kasama ang mga peg na naka-install sa mga punto F 1 at F 2 tulad ng ipinapakita sa fig. 3, a. Ang mga distansya ay pinili upang ang segment PF 2 ay mas mahaba kaysa sa segment PF 1 sa isang nakapirming halaga na mas mababa sa distansya F 1 F 2. Sa kasong ito, ang isang dulo ng thread ay dumadaan sa ilalim ng peg F 1 at ang magkabilang dulo ng thread ay dumaan sa peg F 2. (Ang dulo ng lapis ay hindi dapat dumulas sa sinulid, kaya kailangan mong ayusin ito sa pamamagitan ng paggawa ng isang maliit na loop sa sinulid at paglalagay ng dulo dito.) Isang sangay ng hyperbola ( PV 1 Q) gumuhit kami, tinitiyak na ang sinulid ay nananatiling mahigpit sa lahat ng oras, at hinihila ang magkabilang dulo ng sinulid pababa lampas sa punto F 2 , at kapag ang punto P ay nasa ibaba ng linya F 1 F 2, hinahawakan ang sinulid sa magkabilang dulo at maingat na ibinababa (i.e. binitawan) ito. Ang pangalawang sangay ng hyperbola ( Pў V 2 Qў) gumuhit kami, na binago dati ang mga tungkulin ng mga peg F 1 at F 2 .

Ang mga sanga ng hyperbola ay lumalapit sa dalawang tuwid na linya na nagsalubong sa pagitan ng mga sanga. Ang mga linyang ito, na tinatawag na asymptotes ng hyperbola, ay itinayo tulad ng ipinapakita sa Fig. 3, b. Ang mga slope ng mga linyang ito ay ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), saan v 1 v 2 - isang segment ng bisector ng anggulo sa pagitan ng mga asymptotes, patayo sa segment F 1 F 2; segment ng linya v 1 v 2 ay tinatawag na conjugate axis ng hyperbola, at ang segment V 1 V 2 - ang nakahalang axis nito. Kaya ang mga asymptotes ay ang mga diagonal ng isang parihaba na may mga gilid na dumadaan sa apat na puntos v 1 , v 2 , V 1 , V 2 parallel sa mga axes. Upang mabuo ang parihaba na ito, kailangan mong tukuyin ang lokasyon ng mga punto v 1 at v 2. Sila ay nasa parehong distansya, katumbas ng

mula sa punto ng intersection ng mga axes O. Ang formula na ito ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang tamang tatsulok na may mga binti Ov 1 at V 2 O at hypotenuse F 2 O.

Kung ang mga asymptotes ng hyperbola ay magkaparehong patayo, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Dalawang hyperbola na may mga karaniwang asymptotes, ngunit may muling inayos na transverse at conjugate axes, ay tinatawag na mutually conjugate.

Parabola.

Ang foci ng ellipse at hyperbola ay kilala ni Apollonius, ngunit ang pokus ng parabola, tila, ay unang itinatag ni Pappus (ika-2 kalahati ng ika-3 siglo), na tinukoy ang curve na ito bilang ang locus ng mga puntos na katumbas ng isang punto ( focus) at isang ibinigay na tuwid na linya, na tinatawag na direktor. Ang pagtatayo ng isang parabola gamit ang isang nakaunat na sinulid, batay sa kahulugan ng Pappus, ay iminungkahi ni Isidore ng Miletus (ika-6 na siglo). Iposisyon ang ruler upang ang gilid nito ay tumutugma sa directrix LLў (Larawan 4), at ikabit ang binti sa gilid na ito AC pagguhit ng tatsulok ABC. Inaayos namin ang isang dulo ng thread na may haba AB sa taas B tatsulok at ang isa ay nasa pokus ng parabola F. Hinila ang sinulid gamit ang dulo ng lapis, pindutin ang dulo sa isang variable na punto P sa libreng skate AB pagguhit ng tatsulok. Habang gumagalaw ang tatsulok kasama ang ruler, ang punto P ilalarawan ang arko ng isang parabola na may pokus F at punong guro LLў, dahil ang kabuuang haba ng thread ay katumbas ng AB, ang segment ng thread ay katabi ng libreng binti ng tatsulok, at samakatuwid ang natitirang bahagi ng thread PF dapat na katumbas ng natitirang bahagi ng binti AB, ibig sabihin. PA. Intersection point V Ang parabola na may axis ay tinatawag na vertex ng parabola, isang tuwid na linya na dumadaan F at V, ay ang axis ng parabola. Kung ang isang tuwid na linya na patayo sa axis ay iginuhit sa pamamagitan ng focus, kung gayon ang segment ng tuwid na linyang ito na pinutol ng parabola ay tinatawag na focal parameter. Para sa isang ellipse at isang hyperbola, ang focal parameter ay parehong tinukoy.

MGA KATANGIAN NG CONIC SECTIONS

Mga kahulugan ng Pappus.

Ang pagtatatag ng pokus ng parabola ay humantong kay Pappus sa ideya ng pagbibigay ng alternatibong kahulugan ng mga conic na seksyon sa pangkalahatan. Hayaan F ay isang ibinigay na punto (focus), at L ay isang binigay na tuwid na linya (directrix) na hindi dumadaan F, at D F at D L– distansya mula sa gumagalaw na punto P upang ituon F at mga direktor L ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, tulad ng ipinakita ni Papp, ang mga conic na seksyon ay tinukoy bilang locus ng mga puntos P, kung saan ang ratio D F/D L ay isang di-negatibong pare-pareho. Ang ratio na ito ay tinatawag na eccentricity e korteng kono na seksyon. Sa e e > 1 ay isang hyperbola; sa e= 1 ay isang parabola. Kung ang F namamalagi sa L, pagkatapos ang locus ay may anyo ng mga linya (totoo o haka-haka), na mga degenerate conic na seksyon.

Ang kapansin-pansing simetrya ng ellipse at ang hyperbola ay nagpapahiwatig na ang bawat isa sa mga kurba na ito ay may dalawang directrix at dalawang foci, at ang pangyayaring ito ay humantong kay Kepler noong 1604 sa ideya na ang parabola ay mayroon ding pangalawang pokus at pangalawang directrix - isang punto sa kawalang-hanggan at tuwid. Katulad nito, ang bilog ay maaaring ituring bilang isang ellipse, na ang foci ay tumutugma sa gitna, at ang mga directrix ay nasa infinity. Eccentricity e sa kasong ito ay zero.

Ang disenyo ni Dandelin.

Ang mga focus at directrix ng isang conic section ay malinaw na maipapakita gamit ang mga sphere na nakasulat sa isang cone at tinatawag na Dandelin spheres (balls) bilang parangal sa Belgian mathematician at engineer na si J. Dandelin (1794–1847), na nagmungkahi ng sumusunod na konstruksyon. Hayaang mabuo ang conic section sa pamamagitan ng intersection ng ilang eroplano p na may dalawang-cavity right circular cone na may tugatog sa isang punto O. Isulat natin ang dalawang sphere sa kono na ito S 1 at S 2 na humipo sa eroplano p sa mga punto F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit. Kung ang conic section ay isang ellipse (Fig. 5, a), pagkatapos ang parehong mga globo ay nasa loob ng parehong lukab: isang globo ay matatagpuan sa itaas ng eroplano p at ang iba sa ibaba nito. Ang bawat generatrix ng cone ay humahawak sa parehong mga sphere, at ang locus ng mga punto ng contact ay may anyo ng dalawang bilog C 1 at C 2 na matatagpuan sa parallel planes p 1 at p 2. Hayaan P ay isang arbitrary na punto sa isang conic na seksyon. Magdrawing tayo ng tuwid PF 1 , PF 2 at pahabain ang linya PO. Ang mga linyang ito ay padaplis sa mga sphere sa mga punto F 1 , F 2 at R 1 , R 2. Dahil ang lahat ng mga tangent na iginuhit sa globo mula sa isang punto ay pantay, kung gayon PF 1 = PR 1 at PF 2 = PR 2. Kaya naman, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Mula sa mga eroplano p 1 at p 2 parallel, segment R 1 R 2 ay pare-pareho ang haba. Kaya, ang halaga PR 1 + PR 2 ay pareho para sa lahat ng mga posisyon ng punto P, at punto P nabibilang sa locus ng mga punto kung saan ang kabuuan ng mga distansya mula sa P dati F 1 at F 2 ay pare-pareho. Samakatuwid, ang mga puntos F 1 at F 2 - foci ng elliptical section. Bilang karagdagan, maaari itong ipakita na ang mga linya kung saan ang eroplano p tumatawid sa eroplano p 1 at p 2 , ay mga directrix ng itinayong ellipse. Kung ang p tumatawid sa parehong mga lukab ng kono (Larawan 5, b), pagkatapos ay dalawang Dandelin sphere ang nakahiga sa magkabilang panig ng eroplano p, isang globo sa bawat lukab ng kono. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan PF 1 at PF 2 ay pare-pareho, at ang locus ng mga puntos P ay may anyo ng hyperbola na may foci F 1 at F 2 at tuwid na linya - mga linya ng intersection p kasama p 1 at p 2 - bilang mga direktor. Kung ang conic section ay isang parabola, tulad ng ipinapakita sa Fig. 5, sa, pagkatapos ay isang Dandelin sphere lamang ang maaaring isulat sa kono.

Iba pang mga ari-arian.

Ang mga katangian ng mga conic na seksyon ay talagang hindi mauubos, at alinman sa mga ito ay maaaring kunin bilang mapagpasyahan. mahalagang lugar sa Pagpupulong sa matematika Pappa (c. 300), geometries Descartes (1637) at Mga simula Ang Newton (1687) ay nag-aalala sa problema ng locus of points na may kinalaman sa apat na linya. Kung apat na tuwid na linya ang ibinigay sa eroplano L 1 , L 2 , L 3 at L 4 (dalawa sa mga ito ay maaaring tumugma) at isang tuldok P ay tulad na ang produkto ng mga distansya mula sa P dati L 1 at L Ang 2 ay proporsyonal sa produkto ng mga distansya mula sa P dati L 3 at L 4 , pagkatapos ay ang locus ng mga puntos P ay isang conic na seksyon. Maling paniniwalang nabigo sina Apollonius at Pappus na lutasin ang problema ng locus of points na may paggalang sa apat na linya, si Descartes, upang makakuha ng solusyon at gawing pangkalahatan ito, ay lumikha ng analytic geometry.

ANALYTICAL APPROACH

Algebraic na pag-uuri.

Sa mga terminong algebraic, ang mga conic na seksyon ay maaaring tukuyin bilang mga kurba ng eroplano na ang mga coordinate ng Cartesian ay nakakatugon sa isang equation ng pangalawang degree. Sa madaling salita, ang equation ng lahat ng conic na seksyon ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo bilang

kung saan hindi lahat ng coefficients A, B at C ay katumbas ng zero. Sa tulong ng parallel na pagsasalin at pag-ikot ng mga palakol, ang equation (1) ay maaaring bawasan sa anyo

palakol 2 + sa pamamagitan ng 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Ang unang equation ay nakuha mula sa equation (1) na may B 2 № AC, ang pangalawa - sa B 2 = AC. Ang mga conic na seksyon na ang mga equation ay nabawasan sa unang anyo ay tinatawag na sentral. Conic na mga seksyon na ibinigay ng mga equation ng pangalawang uri na may q No. 0, ay tinatawag na non-central. Sa loob ng dalawang kategoryang ito, mayroong siyam na iba't ibang uri ng conic section, depende sa mga palatandaan ng coefficients.

2831) i a, b at c magkaroon ng parehong tanda, pagkatapos ay walang mga tunay na punto na ang mga coordinate ay makakatugon sa equation. Ang nasabing isang conic na seksyon ay tinatawag na isang imaginary ellipse (o isang haka-haka na bilog kung a = b).

2) Kung a at b magkaroon ng isang tanda, at c- kabaligtaran, pagkatapos ay ang conic section ay isang ellipse (Fig. 1, a); sa a = b- bilog (Larawan 6, b).

3) Kung a at b may iba't ibang mga palatandaan, kung gayon ang seksyon ng conic ay isang hyperbola (Larawan 1, sa).

4) Kung a at b may iba't ibang palatandaan at c= 0, pagkatapos ay ang conic section ay binubuo ng dalawang intersecting straight lines (Fig. 6, a).

5) Kung a at b magkaroon ng isang tanda at c= 0, pagkatapos ay mayroon lamang isang tunay na punto sa curve na nakakatugon sa equation, at ang conic na seksyon ay dalawang haka-haka na intersecting na linya. Sa kasong ito, ang isa ay nagsasalita din ng isang ellipse na kinontrata sa isang punto o, kung a = b, kinontrata sa isang punto ng isang bilog (Larawan 6, b).

6) Kung alinman a, o b ay katumbas ng zero, at ang natitirang mga coefficient ay may iba't ibang mga palatandaan, pagkatapos ay ang conic na seksyon ay binubuo ng dalawang parallel na linya.

7) Kung alinman a, o b ay katumbas ng zero, at ang natitirang mga coefficient ay may parehong tanda, pagkatapos ay walang tunay na punto na nakakatugon sa equation. Sa kasong ito, ang conic section ay sinasabing binubuo ng dalawang haka-haka na parallel na linya.

8) Kung c= 0, at alinman a, o b ay katumbas din ng zero, pagkatapos ay ang conic na seksyon ay binubuo ng dalawang tunay na magkatugmang linya. (Hindi tinukoy ng equation ang anumang conic section sa a = b= 0, dahil sa kasong ito ang orihinal na equation (1) ay wala sa pangalawang degree.)

9) Ang mga equation ng pangalawang uri ay tumutukoy sa mga parabola kung p at q ay iba sa zero. Kung ang p Hindi. 0, at q= 0, nakukuha natin ang curve mula sa aytem 8. Kung, sa kabilang banda, p= 0, kung gayon ang equation ay hindi tumutukoy sa anumang conic na seksyon, dahil ang orihinal na equation (1) ay wala sa pangalawang degree.

Derivation ng mga equation ng conic sections.

Ang anumang conic na seksyon ay maaari ding tukuyin bilang isang kurba kung saan ang isang eroplano ay nag-intersect sa isang parisukat na ibabaw, i.e. na may ibabaw na ibinigay ng equation ng ikalawang antas f (x, y, z) = 0. Tila, ang mga conic na seksyon ay unang nakilala sa form na ito, at ang kanilang mga pangalan ( tingnan sa ibaba) ay nauugnay sa katotohanan na nakuha ang mga ito sa pamamagitan ng pagtawid sa eroplano gamit ang kono z 2 = x 2 + y 2. Hayaan A B C D- ang base ng isang kanang pabilog na kono (Larawan 7) na may tamang anggulo sa itaas V. Hayaan ang eroplano FDC bumabagtas sa generatrix VB sa punto F, ang base ay nasa isang tuwid na linya CD at ang ibabaw ng kono - kasama ang kurba DFPC, saan P ay anumang punto sa kurba. Gumuhit sa gitna ng segment CD- punto E- direkta EF at diameter AB. Sa pamamagitan ng tuldok P gumuhit ng isang eroplano na parallel sa base ng kono, intersecting ang kono sa isang bilog RPS at direktang EF sa punto Q. Pagkatapos QF at QP maaaring kunin, ayon sa pagkakabanggit, para sa abscissa x at ordinate y puntos P. Ang resultang curve ay isang parabola.

Ang konstruksiyon na ipinapakita sa fig. 7 ay maaaring gamitin upang kunin ang mga pangkalahatang equation para sa mga conic na seksyon. Ang parisukat ng haba ng isang segment ng isang patayo, na naibalik mula sa anumang punto ng diameter hanggang sa intersection ng bilog, ay palaging katumbas ng produkto ng mga haba ng mga segment ng diameter. Kaya

y 2 = RQ H QS.

Para sa isang parabola, isang segment RQ ay may pare-parehong haba (dahil para sa anumang posisyon ng punto P ito ay katumbas ng segment AE), at ang haba ng segment QS proporsyonal x(mula sa relasyon QS/EB = QF/F.E.). Kaya naman sinusunod iyon

saan a ay isang pare-parehong koepisyent. Numero a nagpapahayag ng haba ng focal parameter ng parabola.

Kung ang anggulo sa tuktok ng kono ay talamak, pagkatapos ay ang segment RQ hindi katumbas ng hiwa AE; ngunit ang ratio y 2 = RQ H QS ay katumbas ng isang equation ng form

saan a at b ay mga constant, o, pagkatapos ilipat ang mga axes, sa equation

na equation ng isang ellipse. Mga intersection point ng ellipse na may axis x (x = a at x = –a) at ang mga punto ng intersection ng ellipse sa axis y (y = b at y = –b) tukuyin ang major at minor axes, ayon sa pagkakabanggit. Kung ang anggulo sa vertex ng kono ay mapurol, kung gayon ang kurba ng intersection ng kono at ang eroplano ay may anyo ng isang hyperbola, at ang equation ay kumukuha ng sumusunod na anyo:

o, pagkatapos ilipat ang mga palakol,

Sa kasong ito, ang mga punto ng intersection sa axis x, na ibinigay ng kaugnayan x 2 = a 2, tukuyin ang transverse axis, at ang mga punto ng intersection sa axis y, na ibinigay ng kaugnayan y 2 = –b 2 tukuyin ang mating axis. Kung pare-pareho a at b sa equation (4a) ay pantay, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga palakol, ang equation nito ay nabawasan sa anyo

xy = k.

Ngayon mula sa mga equation (3), (2) at (4) ay mauunawaan natin ang kahulugan ng mga pangalang ibinigay ni Apollonius sa tatlong pangunahing conic na seksyon. Ang mga terminong "ellipse", "parabola" at "hyperbola" ay nagmula sa mga salitang Griyego na nangangahulugang "kakulangan", "kapantay" at "superior". Mula sa mga equation (3), (2) at (4) ay malinaw na para sa isang ellipse y 2 b 2 / a) x, para sa parabola y 2 = (a) x at para sa hyperbole y 2 > (2b 2 /a) x. Sa bawat kaso, ang value na nakapaloob sa mga bracket ay katumbas ng focal parameter ng curve.

Itinuring mismo ni Apollonius ang tatlong pangkalahatang uri ng mga conic na seksyon (mga uri 2, 3, at 9 na nakalista sa itaas), ngunit ang kanyang diskarte ay nagbibigay-daan para sa isang generalization na nagpapahintulot sa isa na isaalang-alang ang lahat ng tunay na second-order curves. Kung ang cutting plane ay pinili parallel sa circular base ng kono, pagkatapos ay ang seksyon ay magiging isang bilog. Kung ang cutting plane ay may isang karaniwang punto lamang na may cone, ang vertex nito, kung gayon ang isang seksyon ng uri 5 ay makukuha; kung naglalaman ito ng isang vertex at isang padaplis sa kono, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang seksyon ng uri 8 (Larawan 6, b); kung ang cutting plane ay naglalaman ng dalawang generators ng cone, pagkatapos ay isang uri 4 curve ay nakuha sa seksyon (Larawan 6, a); kapag ang vertex ay inilipat sa infinity, ang kono ay nagiging isang silindro, at kung ang eroplano ay naglalaman ng dalawang generator, pagkatapos ay isang seksyon ng uri 6 ay nakuha.

Kung titingnan mula sa isang pahilig na anggulo, ang isang bilog ay mukhang isang ellipse. Ang ugnayan sa pagitan ng bilog at ng ellipse, na kilala ni Archimedes, ay nagiging halata kung ang bilog X 2 + Y 2 = a 2 gamit ang pagpapalit X = x, Y = (a/b) y i-convert sa isang ellipse na ibinigay ng equation (3a). pagbabago X = x, Y = (ai/b) y, saan i 2 = –1, ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang equation ng bilog sa anyo (4a). Ipinapakita nito na ang isang hyperbola ay maaaring tingnan bilang isang ellipse na may isang haka-haka na menor na axis, o, sa kabaligtaran, ang isang ellipse ay maaaring tingnan bilang isang hyperbola na may isang haka-haka na conjugate axis.

Relasyon sa pagitan ng mga ordinate ng isang bilog x 2 + y 2 = a 2 at ellipse ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 ay direktang humahantong sa formula ng Archimedes A = p ab para sa lugar ng ellipse. Alam ni Kepler ang tinatayang formula p(a + b) para sa perimeter ng isang ellipse malapit sa isang bilog, ngunit ang eksaktong expression ay nakuha lamang noong ika-18 siglo. pagkatapos ng pagpapakilala ng mga elliptic integral. Tulad ng ipinakita ni Archimedes, ang lugar ng isang parabolic segment ay apat na katlo ng lugar ng isang inscribed triangle, ngunit ang haba ng arc ng isang parabola ay maaari lamang kalkulahin pagkatapos, noong ika-17 siglo. naimbento ang differential calculus.

PROJECTIVE APPROACH

Ang projective geometry ay malapit na nauugnay sa pagbuo ng pananaw. Kung gumuhit ka ng isang bilog sa isang transparent na sheet ng papel at ilagay ito sa ilalim ng isang light source, pagkatapos ay ang bilog na ito ay ipapakita sa eroplano sa ibaba. Sa kasong ito, kung ang pinagmumulan ng liwanag ay matatagpuan nang direkta sa itaas ng gitna ng bilog, at ang eroplano at ang transparent na sheet ay parallel, kung gayon ang projection ay magiging bilog din (Larawan 8). Ang posisyon ng pinagmumulan ng liwanag ay tinatawag na puntong naglalaho. Ito ay minarkahan ng titik V. Kung ang V matatagpuan hindi sa itaas ng gitna ng bilog, o kung ang eroplano ay hindi parallel sa sheet ng papel, pagkatapos ay ang projection ng bilog ay tumatagal ng anyo ng isang ellipse. Sa isang mas malaking pagkahilig ng eroplano, ang pangunahing axis ng ellipse (ang projection ng bilog) ay humahaba, at ang ellipse ay unti-unting nagiging parabola; sa isang eroplanong parallel sa isang tuwid na linya VP, ang projection ay parang parabola; na may mas malaking hilig, ang projection ay nasa anyo ng isa sa mga sangay ng hyperbola.

Ang bawat punto sa orihinal na bilog ay tumutugma sa ilang punto sa projection. Kung ang projection ay may anyo ng isang parabola o hyperbola, pagkatapos ay sinasabi nila na ang punto ay tumutugma sa punto P, ay nasa infinity o nasa infinity.

Tulad ng nakita natin, na may angkop na pagpipilian ng mga nawawalang punto, ang isang bilog ay maaaring i-project sa mga ellipse ng iba't ibang laki at may iba't ibang mga eccentricities, at ang mga haba ng mga pangunahing axes ay hindi direktang nauugnay sa diameter ng inaasahang bilog. Samakatuwid, ang projective geometry ay hindi nakikitungo sa mga distansya o haba sa bawat isa, ang gawain nito ay pag-aralan ang ratio ng mga haba na napanatili sa ilalim ng projection. Ang kaugnayang ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na konstruksyon. sa anumang punto P eroplano gumuhit kami ng dalawang tangents sa anumang bilog at ikonekta ang mga punto ng contact na may isang tuwid na linya p. Hayaang dumaan ang isa pang linya sa punto P, nag-intersect sa bilog sa mga punto C 1 at C 2 , ngunit ang tuwid na linya p- sa punto Q(Larawan 9). Pinatunayan iyon ng planimetry PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Ang minus sign ay nangyayari dahil ang direksyon ng segment QC 1 sa tapat ng mga direksyon ng iba pang mga segment.) Sa madaling salita, ang mga puntos P at Q hatiin ang segment C 1 C 2 panlabas at panloob sa parehong paggalang; sinasabi din nila na ang harmonic ratio ng apat na mga segment ay - 1. Kung ang bilog ay inaasahang maging isang conic na seksyon at ang parehong mga pagtatalaga ay pinananatili para sa kaukulang mga puntos, kung gayon ang harmonic ratio ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) ay mananatiling pantay - 1. Punto P tinatawag ang poste ng linya p na may paggalang sa isang conic na seksyon, at isang tuwid na linya p- polar point P may kinalaman sa conic section.

Kapag tuldok P lumalapit sa isang conic na seksyon, ang polar ay may posibilidad na kunin ang posisyon ng isang padaplis; kung punto P namamalagi sa conic section, pagkatapos ang polar nito ay tumutugma sa tangent sa conic section sa punto P. Kung punto P na matatagpuan sa loob ng conic section, kung gayon ang polar nito ay maaaring itayo bilang mga sumusunod. Dumaan tayo sa punto P anumang tuwid na linya na bumabagtas sa isang conic na seksyon sa dalawang punto; gumuhit ng mga tangent sa seksyon ng conic sa mga punto ng intersection; ipagpalagay na ang mga tangent na ito ay nagsalubong sa isang punto P isa. Dumaan tayo sa punto P isa pang tuwid na linya na nagsa-intersect sa conic section sa dalawa pang punto; ipagpalagay na ang mga tangent sa conic na seksyon sa mga bagong puntong ito ay nagsalubong sa punto P 2 (Larawan 10). Linya na dumadaan sa mga punto P 1 at P 2 , at mayroong gustong polar p. Kung punto P papalapit sa gitna O central conic section, pagkatapos ay ang polar p gumagalaw palayo sa O. Kapag tuldok P sumasabay sa O, pagkatapos ang polar nito ay magiging infinity, o ideal, diretso sa eroplano.

MGA ESPESYAL NA GUSALI

Ang partikular na interes ng mga astronomo ay ang sumusunod na simpleng pagbuo ng mga punto ng isang ellipse gamit ang isang compass at straightedge. Hayaang dumaan ang isang arbitrary na linya sa isang punto O(Larawan 11, a), bumalandra sa mga punto Q at R dalawang concentric na bilog na nakasentro sa isang punto O at radii b at a, saan b a. Dumaan tayo sa punto Q pahalang na linya, at R- isang patayong linya, at tukuyin ang kanilang intersection point P P kapag diretsong umiikot OQR sa paligid ng tuldok O ay magiging isang ellipse. Iniksyon f sa pagitan ng linya OQR at ang pangunahing axis ay tinatawag na sira-sira anggulo, at ang itinayong ellipse ay maginhawang tinukoy ng mga parametric na equation x = a cos f, y = b kasalanan f. Hindi kasama ang parameter f, nakukuha namin ang equation (3a).

Para sa isang hyperbola, ang konstruksiyon ay halos magkapareho. Arbitrary na linya na dumadaan sa isang punto O, nag-intersect sa isa sa dalawang bilog sa isang punto R(Larawan 11, b). Sa punto R isang bilog at sa dulong punto S pahalang na diameter ng isa pang bilog, gumuhit kami ng mga tangent na intersecting OS sa punto T at O- sa punto Q. Hayaang dumaan ang patayong linya sa punto T, at isang pahalang na linya na dumadaan sa punto Q, bumalandra sa isang punto P. Tapos yung locus of points P kapag iniikot ang segment O sa paligid O magkakaroon ng hyperbola na ibibigay ng mga parametric equation x = a sec f, y = b tg f, saan f- sira-sira anggulo. Ang mga equation na ito ay nakuha ng French mathematician na si A. Legendre (1752–1833). Sa pamamagitan ng pagbubukod ng parameter f, nakakakuha tayo ng equation (4a).

Ang isang ellipse, gaya ng binanggit ni N. Copernicus (1473-1543), ay maaaring itayo gamit ang isang epicyclic movement. Kung ang isang bilog ay gumulong nang hindi dumudulas sa loob ng isa pang bilog na dalawang beses ang lapad, pagkatapos ay ang bawat punto P, hindi nakahiga sa isang mas maliit na bilog, ngunit naayos na nauugnay dito, ay maglalarawan ng isang ellipse. Kung punto P ay nasa mas maliit na bilog, pagkatapos ang trajectory ng puntong ito ay isang degenerate case ng isang ellipse - ang diameter ng mas malaking bilog. Ang isang mas simpleng pagtatayo ng isang ellipse ay iminungkahi ni Proclus noong ika-5 siglo. Kung matatapos A at B segment ng tuwid na linya AB ng isang ibinigay na haba ng slide kasama ang dalawang nakapirming intersecting na tuwid na linya (halimbawa, kasama ang mga coordinate axes), pagkatapos ay ang bawat panloob na punto P ang segment ay maglalarawan ng isang ellipse; ang Dutch mathematician na si F. van Schoten (1615–1660) ay nagpakita na ang anumang punto sa eroplano ng mga intersecting na linya, na naayos na may kaugnayan sa sliding segment, ay maglalarawan din ng isang ellipse.

B. Pascal (1623–1662) sa edad na 16 ay bumalangkas ng sikat na ngayon na teorama ni Pascal, na nagsasabing: tatlong punto ng intersection ng magkabilang panig ng isang heksagono na nakasulat sa alinmang conic section ay nasa isang tuwid na linya. Nakakuha si Pascal ng higit sa 400 corollaries mula sa theorem na ito.

Mga ibabaw ng pangalawang order ay mga ibabaw na sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng mga algebraic equation ng pangalawang degree.

1. Ellipsoid.

Ang ellipsoid ay isang ibabaw na, sa ilang hugis-parihaba na coordinate system, ay tinukoy ng equation:

Ang equation (1) ay tinatawag ang canonical equation ng ellipsoid.

Itakda ang geometric na view ng ellipsoid. Upang gawin ito, isaalang-alang ang mga seksyon ng ibinigay na ellipsoid ng mga eroplano na kahanay sa eroplano Oxy. Ang bawat isa sa mga eroplanong ito ay tinukoy ng isang equation ng form z=h, saan h- anumang numero, at ang linya na nakuha sa seksyon ay tinutukoy ng dalawang equation

(2)

Pag-aralan natin ang mga equation (2) para sa iba't ibang halaga h .

> c(c>0), pagkatapos ay ang mga equation (2) ay tumutukoy din sa isang haka-haka na ellipse, ibig sabihin, mga intersection point ng eroplano z=h na may ibinigay na ellipsoid ay hindi umiiral. , pagkatapos at ang linya (2) ay bumababa sa mga puntos (0; 0; + c) at (0; 0; - c) (hinahawakan ng mga eroplano ang ellipsoid). , kung gayon ang mga equation (2) ay maaaring katawanin bilang

kung saan ito sumusunod na ang eroplano z=h nag-intersect sa ellipsoid kasama ang isang ellipse na may mga semiax

at . Habang bumababa ang mga halaga, at tumataas at umabot sa kanilang pinakamataas na halaga sa , ibig sabihin, sa cross section ng ellipsoid ng coordinate plane Oxy ito pala ang pinakamalaking ellipse na may mga semiax at .

Ang isang katulad na larawan ay nakuha kapag ang ibinigay na ibabaw ay intersected sa pamamagitan ng mga eroplano parallel sa coordinate eroplano Oxz at Oyz.

Kaya, ginagawang posible ng isinasaalang-alang na mga seksyon na ilarawan ang ellipsoid bilang isang saradong hugis-itlog na ibabaw (Larawan 156). Dami a, b, c tinawag mga axle shaft ellipsoid. Kailan a=b=c ellipsoid ay spheroika.

2. Isang-band hyperboloid.

Ang one-strip hyperboloid ay isang surface na, sa ilang rectangular coordinate system, ay tinukoy ng equation (3)

Ang equation (3) ay tinatawag na canonical equation ng isang one-band hyperboloid.

Itakda ang uri ng ibabaw (3). Upang gawin ito, isaalang-alang ang seksyon sa pamamagitan ng mga coordinate planes nito Oxy (y=0)atOx(x=0). Nakukuha namin, ayon sa pagkakabanggit, ang mga equation

at

Ngayon isaalang-alang ang mga seksyon ng ibinigay na hyperboloid sa pamamagitan ng mga eroplanong z=h parallel sa coordinate plane Oxy. Ang linya na nakuha sa seksyon ay tinutukoy ng mga equation

o (4)

mula sa kung saan ito ay sumusunod na ang eroplano z=h intersects ang hyperboloid kasama ang isang ellipse na may semiaxes

at ,

maabot ang kanilang pinakamababang halaga sa h=0, i.e. sa seksyon ng hyperboloid na ito, ang coordinate axis na Oxy ay gumagawa ng pinakamaliit na ellipse na may mga semi-axes na a*=a at b*=b. Sa walang katapusang pagtaas

ang mga dami ng a* at b* ay tumataas nang walang hanggan.

Kaya, ginagawang posible ng mga isinasaalang-alang na seksyon na ilarawan ang isang one-strip na hyperboloid bilang isang walang katapusang tubo, na walang katapusan na lumalawak habang lumalayo ito (sa magkabilang panig) mula sa eroplano ng Oxy.

Ang mga dami ng a, b, c ay tinatawag na semi-axes ng isang one-strip hyperboloid.

3. Dalawang-sheet na hyperboloid.

Ang dalawang-sheet na hyperboloid ay isang ibabaw na, sa ilang hugis-parihaba na coordinate system, ay tinukoy ng equation

Ang equation (5) ay tinatawag na canonical equation ng isang dalawang-sheet na hyperboloid.

Itatag natin ang geometrical na anyo ng ibabaw (5). Upang gawin ito, isaalang-alang ang mga seksyon nito sa pamamagitan ng mga coordinate plane na Oxy at Oyz. Nakukuha namin, ayon sa pagkakabanggit, ang mga equation

at

mula sa kung saan sumusunod na ang mga hyperbola ay nakuha sa mga seksyon.

Ngayon isaalang-alang ang mga seksyon ng ibinigay na hyperboloid ng mga eroplanong z=h parallel sa coordinate plane na Oxy. Ang linya na nakuha sa seksyon ay tinutukoy ng mga equation

o (6)

mula sa kung saan ito ay sumusunod na

>c (c>0) ang eroplanong z=h ay nag-intersect sa hyperboloid kasama ang isang ellipse na may mga semi-axes at . Habang tumataas ang halaga, tumataas din ang a* at b*. Ang mga equation (6) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos lamang: (0; 0; + c) at (0; 0; - c) (ang mga eroplano ay humipo sa ibinigay na ibabaw). ang mga equation (6) ay tumutukoy sa isang haka-haka na ellipse, i.e. walang mga intersection point ng z=h plane na may ibinigay na hyperboloid.

Ang dami a, b at c ay tinatawag na semi-axes ng dalawang-sheet na hyperboloid.

4. Elliptical paraboloid.

Ang isang elliptic paraboloid ay isang ibabaw na, sa ilang hugis-parihaba na coordinate system, ay tinukoy ng equation

(7)

kung saan ang p>0 at q>0.

Ang equation (7) ay tinatawag na canonical equation ng isang elliptic paraboloid.

Isaalang-alang ang mga seksyon ng ibinigay na ibabaw ng mga coordinate plane na Oxy at Oyz. Nakukuha namin, ayon sa pagkakabanggit, ang mga equation

at

mula sa kung saan ito ay sumusunod na sa mga seksyon, parabolas ay nakuha, simetriko tungkol sa Oz axis, na may vertices sa pinanggalingan. (walo)

mula sa kung saan ito ay sumusunod na para sa . Habang tumataas ang h, tumataas din ang a at b; para sa h=0 ang ellipse ay bumababa sa isang punto (ang eroplanong z=0 ay humipo sa ibinigay na hyperboloid). Para sa h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Kaya, ang mga isinasaalang-alang na mga seksyon ay ginagawang posible upang ilarawan ang isang elliptical paraboloid sa anyo ng isang walang katapusan na matambok na mangkok.

Ang punto (0;0;0) ay tinatawag na vertex ng paraboloid; ang mga numerong p at q ay ang mga parameter nito.

Sa kaso ng p=q, ang equation (8) ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa Oz axis, i.e. Ang isang elliptical paraboloid ay maaaring tingnan bilang isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parabola sa paligid ng axis nito (paraboloid ng rebolusyon).

5. Hyperbolic paraboloid.

Ang hyperbolic paraboloid ay isang surface na, sa ilang rectangular coordinate system, ay tinukoy ng equation

(9)

Sa pagkakaiba na sa halip na mga "flat" na mga graph, isasaalang-alang namin ang pinakakaraniwang mga spatial na ibabaw, at matutunan din kung paano tama ang pagbuo ng mga ito sa pamamagitan ng kamay. Matagal na akong naghahanap ng mga tool sa software para sa pagbuo ng mga 3D na guhit at nakakita ako ng ilang magagandang aplikasyon, ngunit sa kabila ng lahat ng kadalian ng paggamit, ang mga programang ito ay hindi malulutas nang maayos ang isang mahalagang praktikal na isyu. Ang katotohanan ay na sa nakikinita na makasaysayang hinaharap, ang mga mag-aaral ay armado pa rin ng isang ruler na may lapis, at kahit na may mataas na kalidad na "machine" na pagguhit, marami ang hindi mailipat ito nang tama sa checkered na papel. Samakatuwid, sa manwal ng pagsasanay, ang espesyal na pansin ay binabayaran sa pamamaraan ng manu-manong konstruksyon, at isang mahalagang bahagi ng mga guhit sa pahina ay isang produktong gawa sa kamay.

Paano naiiba ang sangguniang materyal na ito sa mga analogue?

Ang pagkakaroon ng disenteng praktikal na karanasan, alam na alam ko kung aling mga ibabaw ang pinakamadalas na tinatalakay sa mga tunay na problema ng mas mataas na matematika, at umaasa ako na ang artikulong ito ay makakatulong sa iyo na mabilis na mapunan ang iyong mga bagahe ng may-katuturang kaalaman at inilapat na mga kasanayan, na 90-95% na mga kaso dapat sapat na.

Ano ang kailangan mong malaman ngayon?

Ang pinaka elementarya:

Una, kailangan mong kayanin bumuo ng tama spatial na Cartesian coordinate system (tingnan ang simula ng artikulo Mga graph at katangian ng mga function) .

Ano ang mapapala mo pagkatapos basahin ang artikulong ito?

Bote Matapos ma-master ang mga materyales ng aralin, matututunan mo kung paano mabilis na matukoy ang uri ng ibabaw sa pamamagitan ng pag-andar at / o equation nito, isipin kung paano ito matatagpuan sa espasyo, at, siyempre, gumawa ng mga guhit. Okay lang kung hindi lahat ay akma sa iyong ulo mula sa 1st reading - maaari mong palaging bumalik sa anumang talata kung kinakailangan sa ibang pagkakataon.

Ang impormasyon ay nasa kapangyarihan ng lahat - upang makabisado ito, hindi mo kailangan ng anumang super-kaalaman, espesyal na artistikong talento at spatial na pananaw.

Magsimula na!

Sa pagsasagawa, ang spatial na ibabaw ay karaniwang ibinibigay function ng dalawang variable o isang equation ng form (ang pare-pareho ng kanang bahagi ay kadalasang katumbas ng zero o isa). Ang unang pagtatalaga ay mas tipikal para sa mathematical analysis, ang pangalawa - para sa analytical geometry. Ang equation, sa esensya, ay implicitly na ibinigay function ng 2 variable, na sa mga tipikal na kaso ay madaling maibaba sa anyo . Ipinaaalala ko sa iyo ang pinakasimpleng halimbawa c :

–equation ng eroplano mabait.

ay ang function ng eroplano sa tahasan .

Magsimula tayo dito:

Mga Common Plane Equation

Ang mga tipikal na opsyon para sa pag-aayos ng mga eroplano sa isang rectangular coordinate system ay tinalakay nang detalyado sa pinakadulo simula ng artikulo. Equation ng eroplano. Gayunpaman, muli nating tatalakayin ang mga equation na napakahalaga para sa pagsasanay.

Una sa lahat, kailangan mong ganap na makilala ang mga equation ng mga eroplano na parallel sa mga coordinate na eroplano. Ang mga fragment ng eroplano ay karaniwang inilalarawan bilang mga parihaba, na sa huling dalawang kaso ay parang mga paralelogram. Bilang default, maaari kang pumili ng anumang mga sukat (sa loob ng makatwirang mga limitasyon, siyempre), habang ito ay kanais-nais na ang punto kung saan ang coordinate axis ay "tumugos" sa eroplano ay ang sentro ng simetrya:


Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga coordinate axes sa ilang mga lugar ay dapat na itinatanghal na may tuldok na linya, ngunit upang maiwasan ang pagkalito, pababayaan natin ang nuance na ito.

– (kaliwang drawing) ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kalahating espasyo na pinakamalayo mula sa amin, hindi kasama ang eroplano mismo;

– (katamtamang pagguhit) ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa tamang kalahating espasyo, kabilang ang eroplano;

– (kanang pagguhit) ang isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang "layer" na matatagpuan sa pagitan ng mga eroplano , kabilang ang parehong mga eroplano.

Para sa pag-eehersisyo sa sarili:

Halimbawa 1

Gumuhit ng isang katawan na nakatali ng mga eroplano
Bumuo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa ibinigay na katawan.

Ang isang matandang kakilala ay dapat lumabas mula sa ilalim ng pamumuno ng iyong lapis kuboid. Huwag kalimutan na ang hindi nakikitang mga gilid at mukha ay dapat na iguguhit na may tuldok na linya. Natapos ang pagguhit sa pagtatapos ng aralin.

Walang anuman, HUWAG PAbayaan mga gawain sa pag-aaral, kahit na tila napakasimple. Kung hindi, maaaring lumabas na napalampas nila ito nang isang beses, nakaligtaan ito ng dalawang beses, at pagkatapos ay gumugol ng isang oras sa paggiling ng isang three-dimensional na pagguhit sa ilang totoong halimbawa. Bilang karagdagan, ang gawaing mekanikal ay makakatulong upang matutunan ang materyal nang mas mahusay at bumuo ng katalinuhan! Ito ay hindi sinasadya na sa kindergarten at elementarya ang mga bata ay puno ng pagguhit, pagmomodelo, mga taga-disenyo at iba pang mga gawain para sa pinong mga kasanayan sa motor ng mga daliri. Patawarin mo ako sa digression, ngunit ang aking dalawang notebook sa developmental psychology ay hindi dapat mawala =)

Sa kondisyon na tatawagin namin ang sumusunod na pangkat ng mga eroplano na "direktang proporsyon" - ito ang mga eroplano na dumadaan sa mga coordinate axes:

2) ang equation ng form ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis;

3) ang equation ng form ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis.

Bagama't halata ang pormal na tanda (aling variable ang nawawala sa equation - dumadaan ang eroplano sa axis na iyon), palaging kapaki-pakinabang na maunawaan ang kakanyahan ng mga kaganapang nagaganap:

Halimbawa 2

Gumawa ng Eroplano

Ano ang pinakamahusay na paraan upang bumuo? Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm:

Una, muling isinulat namin ang equation sa anyo , kung saan malinaw na makikita na ang "y" ay maaaring tumagal anuman mga halaga. Inaayos namin ang halaga , iyon ay, isasaalang-alang namin ang coordinate plane . Itinakda ang mga equation spatial na linya nakahiga sa ibinigay na coordinate plane. Iguhit natin ang linyang ito sa pagguhit. Ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan, kaya upang maitayo ito, sapat na upang makahanap ng isang punto. Hayaan . Magtabi ng isang punto at gumuhit ng isang linya.

Ngayon bumalik sa equation ng eroplano. Dahil ang "y" ay tumatagal anuman mga halaga, pagkatapos ay ang tuwid na linya na itinayo sa eroplano ay patuloy na "ginagaya" sa kaliwa at sa kanan. Ito ay kung paano nabuo ang aming eroplano, na dumadaan sa axis. Upang makumpleto ang pagguhit, sa kaliwa at sa kanan ng tuwid na linya ay nagtabi kami ng dalawang magkatulad na linya at "isara" ang simbolikong paralelogram na may mga nakahalang pahalang na mga segment:

Dahil ang kundisyon ay hindi nagpataw ng karagdagang mga paghihigpit, ang fragment ng eroplano ay maaaring ilarawan nang bahagyang mas maliit o bahagyang mas malaki.

Muli, inuulit namin ang kahulugan ng spatial linear inequality gamit ang halimbawa. Paano matukoy ang kalahating espasyo na tinukoy nito? Kumuha tayo ng isang punto hindi pag-aari eroplano, halimbawa, isang punto mula sa kalahating espasyo na pinakamalapit sa amin at palitan ang mga coordinate nito sa hindi pagkakapantay-pantay:

Natanggap tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa mas mababa (na may paggalang sa eroplano ) kalahating espasyo, habang ang eroplano mismo ay hindi kasama sa solusyon.

Halimbawa 3

Gumawa ng mga Eroplano
a) ;
b) .

Ito ay mga gawain para sa pagtatayo ng sarili, sa kaso ng kahirapan, gumamit ng katulad na pangangatwiran. Maikling tagubilin at mga guhit sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang mga eroplanong parallel sa axis ay pangkaraniwan. Ang isang espesyal na kaso, kapag ang eroplano ay dumaan sa axis, ay nasa talata "b" lamang, at ngayon ay susuriin natin ang isang mas pangkalahatang problema:

Halimbawa 4

Gumawa ng Eroplano

Desisyon: ang variable na "z" ay hindi tahasang lumahok sa equation, na nangangahulugan na ang eroplano ay parallel sa applicate na axis. Gamitin natin ang parehong pamamaraan tulad ng sa mga nakaraang halimbawa.

Isulat muli natin ang equation ng eroplano sa anyo mula sa kung saan ito ay malinaw na ang "Z" ay maaaring tumagal anuman mga halaga. Ayusin natin ito at sa "katutubong" eroplano ay gumuhit ng karaniwang "flat" na tuwid na linya. Upang maitayo ito, maginhawang kumuha ng mga reference point.

Dahil ang "Z" ay tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ay ang itinayong tuwid na linya ay patuloy na "nagpaparami" pataas at pababa, sa gayon ay bumubuo ng nais na eroplano . Maingat na gumuhit ng paralelogram na may makatwirang laki:

handa na.

Equation ng isang eroplano sa mga segment

Ang pinakamahalagang inilapat na iba't. Kung ang lahat posibilidad pangkalahatang equation ng eroplano iba sa zero, pagkatapos ay maaari itong katawanin bilang , na tinatawag na equation ng eroplano sa mga segment. Malinaw, ang eroplano ay nag-intersect sa mga coordinate axes sa mga punto , at ang malaking bentahe ng naturang equation ay ang kadalian ng pagguhit:

Halimbawa 5

Gumawa ng Eroplano

Desisyon: una, binubuo namin ang equation ng eroplano sa mga segment. Itapon ang libreng termino sa kanan at hatiin ang parehong bahagi ng 12:

Hindi, hindi ito isang typo at lahat ng bagay ay nangyayari sa kalawakan! Sinusuri namin ang iminungkahing ibabaw sa pamamagitan ng parehong paraan na ginamit kamakailan para sa mga eroplano. Muli naming isinusulat ang equation sa form , kung saan sumusunod na ang "Z" ay tumatagal anuman mga halaga. Nag-aayos kami at gumagawa ng isang ellipse sa eroplano. Dahil ang "Z" ay tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ay ang itinayong ellipse ay patuloy na "ginagaya" pataas at pababa. Ito ay madaling maunawaan na ang ibabaw walang katapusan:

Ang ibabaw na ito ay tinatawag na elliptical cylinder. Ang isang ellipse (sa anumang taas) ay tinatawag gabay cylinder, at parallel lines na dumadaan sa bawat punto ng ellipse ay tinatawag pagbuo silindro (na literal na bumubuo nito). axis ay axis ng simetrya ibabaw (ngunit hindi bahagi nito!).

Ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa isang ibinigay na ibabaw ay kinakailangang matugunan ang equation .

Spatial ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa "loob" ng walang katapusang "pipe", kabilang ang cylindrical na ibabaw mismo, at, nang naaayon, ang kabaligtaran na hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa hanay ng mga puntos sa labas ng silindro.

Sa mga praktikal na problema, ang pinakasikat na kaso ay kung kailan gabay ang silindro ay bilog:

Halimbawa 8

Buuin ang ibabaw na ibinigay ng equation

Imposibleng ilarawan ang isang walang katapusang "pipe", samakatuwid ang sining ay limitado, bilang panuntunan, sa "pagputol".

Una, ito ay maginhawa upang bumuo ng isang bilog ng radius sa eroplano, at pagkatapos ay isang pares ng higit pang mga bilog sa itaas at sa ibaba. Ang mga nagresultang bilog ( mga gabay silindro) na maayos na konektado sa pamamagitan ng apat na parallel na tuwid na linya ( pagbuo silindro):

Huwag kalimutang gumamit ng mga tuldok na linya para sa mga hindi nakikitang linya.

Ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa isang ibinigay na silindro ay nakakatugon sa equation . Ang mga coordinate ng anumang punto na nakahiga nang mahigpit sa loob ng "pipe" ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay , at ang hindi pagkakapantay-pantay tumutukoy sa isang hanay ng mga punto ng panlabas na bahagi. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, inirerekumenda kong isaalang-alang ang ilang partikular na mga punto sa espasyo at tingnan para sa iyong sarili.

Halimbawa 9

Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang projection nito sa isang eroplano

Muli naming isinusulat ang equation sa form mula sa kung saan ito ay sumusunod na "x" tumatagal anuman mga halaga. Ayusin natin at iguhit sa eroplano bilog– nakasentro sa pinanggalingan, unit radius. Dahil ang "x" ay patuloy na tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ang itinayong bilog ay bubuo ng isang pabilog na silindro na may axis ng symmetry . Gumuhit ng isa pang bilog gabay cylinder) at maingat na ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya ( pagbuo silindro). Sa ilang mga lugar, lumabas ang mga overlay, ngunit kung ano ang gagawin, tulad ng isang slope:

Sa pagkakataong ito nilimitahan ko ang aking sarili sa isang piraso ng silindro sa puwang at hindi ito sinasadya. Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang ilarawan lamang ang isang maliit na fragment ng ibabaw.

Dito, sa pamamagitan ng paraan, ito ay naging 6 na generatrice - dalawang karagdagang tuwid na linya "isara" ang ibabaw mula sa kaliwang itaas at kanang ibabang sulok.

Ngayon ay haharapin natin ang projection ng silindro sa eroplano. Maraming mga mambabasa ang nauunawaan kung ano ang isang projection, ngunit, gayunpaman, gumastos tayo ng isa pang limang minutong pisikal na edukasyon. Mangyaring tumayo at ikiling ang iyong ulo sa ibabaw ng drawing upang ang dulo ng axis ay mukhang patayo sa iyong noo. Kung ano ang hitsura ng silindro mula sa anggulong ito ay ang projection nito sa eroplano. Ngunit ito ay tila isang walang katapusang strip, na nakapaloob sa pagitan ng mga tuwid na linya, kabilang ang mga tuwid na linya mismo. Ang projection na ito ay eksakto domain functions (itaas na "gutter" ng silindro), (ibabang "gutter").

Sa pamamagitan ng paraan, linawin natin ang sitwasyon gamit ang mga projection sa iba pang mga coordinate na eroplano. Hayaang sumikat ang mga sinag ng araw sa silindro mula sa gilid ng dulo at sa kahabaan ng axis. Ang anino (projection) ng isang silindro papunta sa isang eroplano ay isang katulad na walang katapusan na strip - isang bahagi ng eroplano na nakatali ng mga tuwid na linya ( - anuman), kabilang ang mga tuwid na linya mismo.

Ngunit ang projection sa eroplano ay medyo naiiba. Kung titingnan mo ang silindro mula sa dulo ng axis, pagkatapos ay ipapakita ito sa isang bilog ng unit radius kung saan sinimulan namin ang pagtatayo.

Halimbawa 10

Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang mga projection nito sa mga coordinate na eroplano

Ito ay isang gawain para sa malayang desisyon. Kung ang kondisyon ay hindi masyadong malinaw, parisukat ang magkabilang panig at pag-aralan ang resulta; alamin kung anong bahagi ng silindro ang tinukoy ng function. Gamitin ang construction technique na paulit-ulit na ginamit sa itaas. Maikling solusyon, pagguhit at komento sa pagtatapos ng aralin.

Ang elliptical at iba pang mga cylindrical na ibabaw ay maaaring i-offset kaugnay sa mga coordinate axes, halimbawa:

(sa pamilyar na batayan ng isang artikulo tungkol sa 2nd order lines) - isang silindro ng unit radius na may linya ng simetrya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa axis. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang mga naturang cylinder ay bihira, at ito ay ganap na hindi kapani-paniwala na matugunan ang isang cylindrical na ibabaw na "pahilig" na may paggalang sa mga coordinate axes.

Parabolic cylinders

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, gabay tulad ng isang silindro ay parabola.

Halimbawa 11

Bumuo ng ibabaw at hanapin ang mga projection nito sa mga coordinate planes.

Hindi mapaglabanan ang halimbawang ito =)

Desisyon: Sinusundan namin ang matapang na landas. Isulat muli natin ang equation sa anyo , kung saan sumusunod na ang "Z" ay maaaring kumuha ng anumang halaga. Ayusin natin at bumuo ng isang ordinaryong parabola sa eroplano, na dati ay minarkahan ang mga walang kuwentang reference point. Dahil ang "Z" ay tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ang ginawang parabola ay patuloy na "ginagaya" pataas at pababa hanggang sa infinity. Isinasantabi namin ang parehong parabola, sabihin nating, sa taas (sa eroplano) at maingat na ikinonekta ang mga ito sa mga parallel na linya ( mga generator ng silindro):

pinaalala ko kapaki-pakinabang na pamamaraan: kung sa una ay walang tiwala sa kalidad ng pagguhit, pagkatapos ay mas mahusay na iguhit muna ang mga linya nang manipis at manipis na may lapis. Pagkatapos ay sinusuri namin ang kalidad ng sketch, alamin ang mga lugar kung saan nakatago ang ibabaw mula sa aming mga mata, at pagkatapos lamang namin ilapat ang presyon sa stylus.

Mga projection.

1) Ang projection ng isang silindro sa isang eroplano ay isang parabola. Dapat tandaan na sa kasong ito imposibleng pag-usapan mga domain ng isang function ng dalawang variable- sa kadahilanang ang equation ng silindro ay hindi mababawasan sa functional form .

2) Ang projection ng silindro papunta sa eroplano ay isang kalahating eroplano, kabilang ang axis

3) At, sa wakas, ang projection ng silindro sa eroplano ay ang buong eroplano.

Halimbawa 12

Bumuo ng parabolic cylinders:

a) , paghigpitan ang ating sarili sa isang fragment ng ibabaw sa malapit sa kalahating espasyo;

b) sa pagitan

Sa kaso ng mga paghihirap, hindi kami nagmamadali at nakikipagtalo sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga naunang halimbawa, sa kabutihang palad, ang teknolohiya ay lubusang nagawa. Hindi kritikal kung ang mga ibabaw ay lumalabas na medyo malamya - mahalaga na tama na ipakita ang pangunahing larawan. Ako mismo ay hindi partikular na nag-abala sa kagandahan ng mga linya, kung nakakuha ako ng isang matitiis na pagguhit na "C grade", kadalasan ay hindi ko ito muling ginagawa. Sa sample na solusyon, sa pamamagitan ng paraan, isa pang pamamaraan ang ginamit upang mapabuti ang kalidad ng pagguhit ;-)

Mga hyperbolic na silindro

mga gabay ang mga cylinder ay hyperbolas. Ang ganitong uri ng ibabaw, ayon sa aking mga obserbasyon, ay mas bihira kaysa sa mga naunang uri, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang solong eskematiko na pagguhit ng isang hyperbolic cylinder:

Ang prinsipyo ng pangangatwiran dito ay eksaktong pareho - ang karaniwan hyperbole ng paaralan mula sa eroplano ay patuloy na "nagpaparami" pataas at pababa hanggang sa infinity.

Ang itinuturing na mga cylinder ay nabibilang sa tinatawag na ibabaw ng 2nd order, at ngayon ay patuloy tayong makikilala sa iba pang mga kinatawan ng pangkat na ito:

Ellipsoid. Sphere at bola

Ang canonical equation ng isang ellipsoid sa isang rectangular coordinate system ay may anyo , nasaan ang mga positibong numero ( mga axle shaft ellipsoid), na sa pangkalahatang kaso magkaiba. Ang isang ellipsoid ay tinatawag ibabaw, at katawan napapaligiran ng ibabaw na ito. Ang katawan, gaya ng nahulaan ng marami, ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay at ang mga coordinate ng anumang panloob na punto (pati na rin ang anumang ibabaw na punto) ay kinakailangang masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ang disenyo ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes at coordinate planes:

Ang pinagmulan ng salitang "ellipsoid" ay halata din: kung ang ibabaw ay "pinutol" ng mga coordinate na eroplano, kung gayon sa mga seksyon ay magkakaroon ng tatlong magkakaibang (sa pangkalahatang kaso)