Fraction calculator idinisenyo para sa mabilis na pagkalkula ng mga operasyon na may mga fraction, makakatulong ito sa iyong madaling magdagdag, magparami, hatiin o ibawas ang mga fraction.

Ang mga modernong mag-aaral ay nagsisimulang mag-aral ng mga praksyon na nasa ika-5 baitang, at bawat taon ang mga pagsasanay sa kanila ay nagiging mas kumplikado. Ang mga termino at dami ng matematika na natutunan natin sa paaralan ay bihirang kapaki-pakinabang sa atin sa pagtanda. Gayunpaman, ang mga fraction, hindi katulad ng logarithms at degrees, ay karaniwan sa pang-araw-araw na buhay (pagsukat ng distansya, pagtimbang ng mga kalakal, atbp.). Ang aming calculator ay idinisenyo para sa mabilis na operasyon na may mga fraction.

Una, tukuyin natin kung ano ang mga praksyon at kung ano ang mga ito. Ang mga fraction ay ang ratio ng isang numero sa isa pa; ito ay isang numero na binubuo ng isang buong bilang ng mga fraction ng isang yunit.

Mga uri ng fraction:

• Ordinaryo
• Mga desimal
• magkakahalo

Halimbawa ordinaryong fraction:

Ang pinakamataas na halaga ay ang numerator, ang ibaba ay ang denominator. Ipinapakita sa amin ng gitling na ang pinakamataas na numero ay nahahati sa ilalim na numero. Sa halip na katulad na format ng pagsulat, kapag pahalang ang gitling, maaari kang magsulat nang iba. Maaari kang maglagay ng slanted line, halimbawa:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Mga desimal ay ang pinakasikat na uri ng mga fraction. Binubuo ang mga ito ng isang integer na bahagi at isang fractional na bahagi, na pinaghihiwalay ng kuwit.

Halimbawa ng desimal:

0.2 o 6.71 o 0.125

Binubuo ito ng isang integer at isang fractional na bahagi. Upang malaman ang halaga ng fraction na ito, kailangan mong idagdag ang buong numero at ang fraction.

Halimbawa ng mga mixed fraction:

Ang calculator ng fraction sa aming website ay mabilis na nagagawa ang anumang mga operasyong matematika na may mga fraction online:

• Dagdag
• Pagbabawas
• Pagpaparami
• Dibisyon

Upang maisagawa ang pagkalkula, kailangan mong ipasok ang mga numero sa mga patlang at piliin ang aksyon. Para sa mga fraction, kailangan mong punan ang numerator at denominator, maaaring hindi maisulat ang isang integer (kung ordinaryo ang fraction). Huwag kalimutang mag-click sa "equal" na buton.

Maginhawa na ang calculator ay agad na nagbibigay ng isang proseso para sa paglutas ng isang halimbawa na may mga fraction, at hindi lamang isang handa na sagot. Ito ay salamat sa detalyadong solusyon na maaari mong gamitin ang materyal na ito sa paglutas ng mga problema sa paaralan at para sa mas mahusay na mastering ang materyal na sakop.

Kailangan mong kalkulahin ang halimbawa:

Matapos ipasok ang mga tagapagpahiwatig sa mga patlang ng form, nakukuha namin:

Upang gumawa ng independiyenteng pagkalkula, ilagay ang data sa form.

Fraction calculator

Maglagay ng dalawang fraction:

		+ - * :

mga kaugnay na seksyon.

Pagtuturo

Pagbawas sa isang karaniwang denominator.

Hayaang ibigay ang mga praksiyon a/b at c/d.

Ang numerator at denominator ng unang fraction ay pinarami ng LCM / b

Ang numerator at denominator ng pangalawang fraction ay pinarami ng LCM/d

Ang isang halimbawa ay ipinapakita sa figure.

Upang ihambing ang mga fraction, kailangan nilang magkaroon ng isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ihambing ang mga numerator. Halimbawa, 3/4< 4/5, см. .

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction.

Upang mahanap ang kabuuan ng dalawang ordinaryong fraction, dapat silang bawasan sa isang common denominator, at pagkatapos ay idagdag ang mga numerator, ang denominator ay hindi nagbabago. Ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga fraction 1/2 at 1/3 ay ipinapakita sa figure.

Ang pagkakaiba ng mga praksiyon ay matatagpuan sa katulad na paraan, pagkatapos mahanap ang karaniwang denominator, ang mga numerator ng mga praksiyon ay ibinabawas, tingnan ang pigura.

Kapag nagpaparami ng mga ordinaryong fraction, ang mga numerator at denominator ay pinagsama-samang pinarami.

Upang hatiin ang dalawang fraction, kailangan mo ng fraction ng pangalawang fraction, i.e. baguhin ang numerator at denominator nito, at pagkatapos ay i-multiply ang mga resultang fraction.

Mga kaugnay na video

Mga pinagmumulan:

• fractions grade 5 sa pamamagitan ng halimbawa
• Mga pangunahing gawain para sa mga fraction

Module kumakatawan sa ganap na halaga ng expression. Ang mga panaklong ay ginagamit upang magtalaga ng isang module. Ang mga halaga na nakapaloob sa mga ito ay kinuha modulo. Ang solusyon ng module ay upang buksan ang mga panaklong ayon sa ilang mga patakaran at hanapin ang hanay ng mga halaga ng expression. Sa karamihan ng mga kaso, ang isang module ay pinalawak sa paraang ang expression ng submodule ay tumatagal sa isang serye ng mga positibo at negatibong halaga, kabilang ang zero. Batay sa mga katangiang ito ng modyul, ang mga karagdagang equation at hindi pagkakapantay-pantay ng orihinal na expression ay pinagsama-sama at nalulutas.

Pagtuturo

Isulat ang orihinal na equation na may . Para dito, buksan ang module. Isaalang-alang ang bawat pagpapahayag ng submodule. Tukuyin kung anong halaga ng hindi kilalang dami ang kasama dito, ang expression sa modular bracket ay naglalaho.

Upang gawin ito, i-equate ang submodule expression sa zero at hanapin ang resultang equation. Isulat ang mga nahanap na halaga. Sa parehong paraan, tukuyin ang mga halaga ng hindi kilalang variable para sa bawat modulus sa ibinigay na equation.

Gumuhit ng isang linya ng numero at i-plot ang mga nagresultang halaga dito. Ang mga halaga ng variable sa zero module ay magsisilbing mga hadlang sa paglutas ng modular equation.

Sa orihinal na equation, kailangan mong palawakin ang mga modular, baguhin ang sign upang ang mga halaga ng variable ay tumutugma sa mga ipinapakita sa linya ng numero. Lutasin ang resultang equation. Suriin ang nahanap na halaga ng variable laban sa paghihigpit na tinukoy ng module. Kung ang solusyon ay nakakatugon sa kondisyon, ito ay totoo. Ang mga ugat na hindi nakakatugon sa mga paghihigpit ay dapat itapon.

Katulad nito, palawakin ang mga module ng orihinal na expression, isinasaalang-alang ang sign, at kalkulahin ang mga ugat ng resultang equation. Isulat ang lahat ng nakuhang mga ugat na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng hadlang.

Binibigyang-daan ka ng mga fractional na numero na ipahayag ang eksaktong halaga ng isang dami sa iba't ibang paraan. Sa pamamagitan ng mga fraction, maaari mong gawin ang parehong mga pagpapatakbo ng matematika tulad ng sa mga integer: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami, at paghahati. Upang matutunan kung paano magdesisyon mga fraction, kinakailangang tandaan ang ilan sa kanilang mga tampok. Depende sila sa uri mga fraction, ang pagkakaroon ng isang integer na bahagi, isang karaniwang denominator. Ang ilang mga operasyon sa aritmetika pagkatapos ng pagpapatupad ay nangangailangan ng pagbawas ng praksyonal na bahagi ng resulta.

Kakailanganin mong

• - calculator

Pagtuturo

Tingnang mabuti ang mga numero. Kung may mga decimal at iregular sa mga fraction, minsan mas maginhawang magsagawa muna ng mga aksyon gamit ang mga decimal, at pagkatapos ay i-convert ang mga ito sa maling anyo. Maaari mong isalin ang mga fraction sa form na ito sa simula, isulat ang halaga pagkatapos ng decimal point sa numerator at paglalagay ng 10 sa denominator. Kung kinakailangan, bawasan ang fraction sa pamamagitan ng paghahati ng mga numero sa itaas at ibaba ng isang divisor. Ang mga praksiyon kung saan ang buong bahagi ay namumukod-tangi, humahantong sa maling anyo sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa denominator at pagdaragdag ng numerator sa resulta. Ang halagang ito ay magiging bagong numerator mga fraction. Upang kunin ang buong bahagi mula sa una ay hindi tama mga fraction, hatiin ang numerator sa denominator. Isulat ang buong resulta mula sa mga fraction. At ang natitira sa dibisyon ay nagiging bagong numerator, ang denominator mga fraction habang hindi nagbabago. Para sa mga fraction na may bahaging integer, posibleng magsagawa ng mga aksyon nang hiwalay, una para sa integer at pagkatapos ay para sa mga fractional na bahagi. Halimbawa, ang kabuuan ng 1 2/3 at 2 ¾ ay maaaring kalkulahin:
- Pag-convert ng mga fraction sa maling anyo:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Hiwalay na pagbubuo ng integer at fractional na bahagi ng mga termino:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Para sa mga halaga sa ibaba ng linya, hanapin ang karaniwang denominator. Halimbawa, para sa 5/9 at 7/12, ang karaniwang denominador ay magiging 36. Para dito, ang numerator at denominator ng unang mga fraction kailangan mong i-multiply ng 4 (ito ay magiging 28/36), at ang pangalawa - sa pamamagitan ng 3 (ito ay magiging 15/36). Ngayon ay maaari mong gawin ang mga kalkulasyon.

Kung kakalkulahin mo ang kabuuan o pagkakaiba ng mga fraction, isulat muna ang nahanap na common denominator sa ilalim ng linya. Isagawa ang mga kinakailangang aksyon sa pagitan ng mga numerator, at isulat ang resulta sa itaas ng bagong linya mga fraction. Kaya, ang bagong numerator ay ang pagkakaiba o ang kabuuan ng mga numerator ng orihinal na mga fraction.

Upang kalkulahin ang produkto ng mga fraction, i-multiply ang mga numerator ng mga fraction at isulat ang resulta sa lugar ng numerator ng panghuling mga fraction. Gawin ang parehong para sa mga denominador. Kapag hinahati ang isa mga fraction isulat ang isang fraction sa isa, at pagkatapos ay i-multiply ang numerator nito sa denominator ng pangalawa. Kasabay nito, ang denominator ng una mga fraction pinarami nang naaayon sa numerator ng pangalawa. Kasabay nito, isang uri ng pagbaliktad ng pangalawa mga fraction(divider). Ang huling fraction ay magmumula sa mga resulta ng pagpaparami ng mga numerator at denominator ng parehong mga fraction. Madaling matutunan mga fraction, nakasulat sa kondisyon sa anyo ng isang "apat na palapag" mga fraction. Kung maghihiwalay sa dalawa mga fraction, muling isulat ang mga ito gamit ang isang ":" delimiter, at magpatuloy sa normal na paghahati.

Upang makuha ang pangwakas na resulta, bawasan ang resultang fraction sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator sa isang buong numero, ang pinakamalaking posible sa kasong ito. Sa kasong ito, dapat mayroong mga integer na numero sa itaas at ibaba ng linya.

tala

Huwag gumawa ng aritmetika sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Pumili ng isang numero na kapag ang numerator at denominator ng bawat fraction ay pinarami nito, bilang isang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay pantay.

Nakatutulong na payo

Kapag nagsusulat ng mga fractional na numero, ang dibidendo ay nakasulat sa itaas ng linya. Ang dami na ito ay tinutukoy bilang numerator ng isang fraction. Sa ilalim ng linya, nakasulat ang divisor, o denominator, ng fraction. Halimbawa, isa at kalahating kilo ng bigas sa anyo ng isang fraction ay isusulat ng mga sumusunod: 1 ½ kg ng bigas. Kung ang denominator ng isang fraction ay 10, ito ay tinatawag na decimal fraction. Sa kasong ito, ang numerator (dividend) ay nakasulat sa kanan ng buong bahagi na pinaghihiwalay ng kuwit: 1.5 kg ng bigas. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang gayong bahagi ay maaaring palaging isulat sa maling anyo: 1 2/10 kg ng patatas. Upang gawing simple, maaari mong bawasan ang mga halaga ng numerator at denominator sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa isang solong buong numero. Sa halimbawang ito, posible ang paghahati sa 2. Ang resulta ay 1 1/5 kg ng patatas. Siguraduhin na ang mga numerong gagawin mo sa aritmetika ay nasa parehong anyo.

Pagtuturo

Mag-click nang isang beses sa item ng menu na "Ipasok", pagkatapos ay piliin ang item na "Simbolo". Ito ay isa sa mga pinakamadaling paraan upang maisingit mga fraction magtext. Ito ay binubuo ng mga sumusunod. Ang hanay ng mga handa na mga character ay may mga fraction. Karaniwang maliit ang kanilang numero, ngunit kung kailangan mong magsulat ng ½, hindi 1/2 sa teksto, kung gayon ang pagpipiliang ito ang magiging pinakamahusay para sa iyo. Bilang karagdagan, ang bilang ng mga fraction na character ay maaaring depende sa font. Halimbawa, para sa font ng Times New Roman, may kaunting mga fraction kaysa sa parehong Arial. Iba-iba ang mga font upang mahanap ang pinakamahusay pinakamahusay na pagpipilian pagdating sa mga simpleng ekspresyon.

Mag-click sa menu item na "Insert" at piliin ang sub-item na "Object". Makakakita ka ng isang window na may listahan ng mga posibleng bagay na ipasok. Pumili sa kanila ng Microsoft Equation 3.0. Tutulungan ka ng app na ito na mag-type mga fraction. At hindi lang mga fraction, ngunit pati na rin ang mga kumplikadong mathematical expression na naglalaman ng iba't ibang trigonometriko function at iba pang elemento. I-double click ang bagay na ito gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. Makakakita ka ng isang window na naglalaman ng maraming mga simbolo.

Upang mag-print ng isang fraction, piliin ang simbolo na kumakatawan sa isang fraction na may walang laman na numerator at denominator. Mag-click dito nang isang beses gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. May lalabas na karagdagang menu, na tumutukoy sa scheme ng mga fraction. Maaaring may ilang mga pagpipilian. Piliin ang pinaka-angkop para sa iyo at i-click ito nang isang beses gamit ang kaliwang pindutan ng mouse.

Maliit na bahagi- isang anyo ng representasyon ng isang numero sa matematika. Ang slash ay nagpapahiwatig ng operasyon ng paghahati. tagabilang Ang mga fraction ay tinatawag na dibidendo, at denominador- divider. Halimbawa, sa isang fraction, ang numerator ay 5 at ang denominator ay 7.

Tama Ang isang fraction ay tinatawag kung ang modulus ng numerator ay mas malaki kaysa sa modulus ng denominator. Kung tama ang fraction, ang modulus ng value nito ay palaging mas mababa sa 1. Ang lahat ng iba pang fraction ay mali.

Fraction ay tinatawag magkakahalo, kung ito ay nakasulat bilang isang integer at isang fraction. Ito ay kapareho ng kabuuan ng numerong ito at isang fraction:

Pangunahing katangian ng isang fraction

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa,

Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Para magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mo:

1. I-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa
2. I-multiply ang numerator ng pangalawang fraction sa denominator ng una
3. Palitan ang mga denominator ng parehong fraction ng kanilang produkto

Mga aksyon na may mga fraction

Dagdag. Upang magdagdag ng dalawang fraction, kailangan mo

1. Magdagdag ng mga bagong numerator ng parehong mga fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago

Halimbawa:

Pagbabawas. Upang ibawas ang isang fraction mula sa isa pa,

1. Dalhin ang mga fraction sa isang common denominator
2. Ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.

Halimbawa:

Pagpaparami. Upang i-multiply ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator:

Dibisyon. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa:

Ang artikulong ito ay tumatalakay sa mga operasyon sa mga fraction. Ang mga panuntunan para sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati o pagpapalawak ng mga fraction ng anyong A B ay mabubuo at mabibigyang katwiran, kung saan ang A at B ay maaaring mga numero, numeric na expression o mga expression na may mga variable. Sa konklusyon, isasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon na may detalyadong paglalarawan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga numerical na fraction ng isang pangkalahatang anyo

Ang mga numerical fraction ng isang pangkalahatang anyo ay may numerator at denominator, kung saan mayroong mga natural na numero o numerical expression. Kung isasaalang-alang natin ang mga praksiyon gaya ng 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5-2) , 3 4 + 7 8 2 , 3-0 , 8 , 1 2 2 , π 1-2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , pagkatapos ay malinaw na ang numerator at denominator ay maaaring magkaroon ng hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga expression ng ibang plano.

Kahulugan 1

May mga panuntunan kung saan ang mga aksyon ay ginagampanan gamit ang mga ordinaryong fraction. Ito ay angkop din para sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo:

• Kapag ang pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, ang mga numerator lamang ang idinagdag, at ang denominator ay nananatiling pareho, ibig sabihin: a d ± c d \u003d a ± c d, ang mga halaga a, c at d ≠ 0 ay ilang mga numero o numerical expression.
• Kapag nagdaragdag o nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangang bawasan sa isang karaniwan, at pagkatapos ay idagdag o ibawas ang mga resultang fraction na may parehong mga tagapagpahiwatig. Sa literal, ganito ang hitsura nito a b ± c d = a p ± c r s , kung saan ang mga value a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 ay mga tunay na numero, at b p = d r = s. Kapag p = d at r = b, pagkatapos ay a b ± c d = a d ± c d b d.
• Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang isang aksyon ay ginaganap sa mga numerator, pagkatapos nito kasama ang mga denominador, pagkatapos ay makakakuha tayo ng b c d \u003d a c b d, kung saan ang a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ay kumikilos bilang mga tunay na numero.
• Kapag hinahati ang isang fraction sa isang fraction, pinarami namin ang una sa pangalawang reciprocal, iyon ay, pinapalitan namin ang numerator at denominator: a b: c d \u003d a b d c.

Rationale para sa mga patakaran

Kahulugan 2

Mayroong mga sumusunod na mathematical point na dapat mong umasa kapag nagkalkula:

• ang isang fractional bar ay nangangahulugang isang tanda ng paghahati;
• ang paghahati sa isang numero ay itinuturing bilang isang multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito;
• aplikasyon ng pag-aari ng mga aksyon na may totoong mga numero;
• aplikasyon ng pangunahing pag-aari ng isang fraction at mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Sa kanilang tulong, maaari kang gumawa ng mga pagbabago sa form:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Mga halimbawa

Sa nakaraang talata, sinabi tungkol sa mga aksyon na may mga fraction. Ito ay pagkatapos nito na ang fraction ay kailangang gawing simple. Ang paksang ito ay tinalakay nang detalyado sa seksyon sa pag-convert ng mga fraction.

Una, isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Halimbawa 1

Ibinigay ang mga praksiyon 8 2 , 7 at 1 2 , 7 , pagkatapos ay ayon sa tuntunin ay kinakailangang idagdag ang numerator at muling isulat ang denominator.

Desisyon

Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 . Pagkatapos isagawa ang karagdagan, makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Kaya 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Sagot: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

May isa pang paraan upang malutas. Upang magsimula, ang isang paglipat ay ginawa sa anyo ng isang ordinaryong fraction, pagkatapos nito ay nagsasagawa kami ng isang pagpapasimple. Mukhang ganito:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Halimbawa 2

Ibawas natin sa 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fractions ng anyong 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Dahil ibinibigay ang mga pantay na denominador, nangangahulugan ito na kinakalkula natin ang isang fraction na may parehong denominator. Nakukuha namin iyon

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

May mga halimbawa ng pagkalkula ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Ang isang mahalagang punto ay ang pagbawas sa isang karaniwang denominator. Kung wala ito, hindi namin magagawa ang mga karagdagang aksyon na may mga fraction.

Ang proseso ay malayuang nagpapaalala ng pagbawas sa isang karaniwang denominator. Iyon ay, ang isang paghahanap ay ginawa para sa hindi bababa sa karaniwang divisor sa denominator, pagkatapos kung saan ang nawawalang mga kadahilanan ay idinagdag sa mga fraction.

Kung ang mga idinagdag na fraction ay walang karaniwang mga kadahilanan, kung gayon ang kanilang produkto ay maaaring maging isa.

Halimbawa 3

Isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag ng mga praksiyon 2 3 5 + 1 at 1 2 .

Desisyon

Sa kasong ito, ang karaniwang denominador ay ang produkto ng mga denominador. Pagkatapos ay makukuha natin iyon 2 · 3 5 + 1 . Pagkatapos, kapag nagtatakda ng mga karagdagang salik, mayroon tayo na sa unang bahagi ito ay katumbas ng 2, at sa pangalawang 3 5 + 1. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang mga fraction ay binabawasan sa anyo 4 2 3 5 + 1. Ang pangkalahatang cast 1 2 ay magiging 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Idinaragdag namin ang mga resultang fractional expression at makuha iyon

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Sagot: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kapag tayo ay nakikitungo sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay karaniwang hindi ang kaso. Hindi kapaki-pakinabang na kunin ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Una kailangan mong suriin kung mayroong isang numero na mas mababa ang halaga kaysa sa kanilang produkto.

Halimbawa 4

Isaalang-alang ang halimbawa 1 6 2 1 5 at 1 4 2 3 5 kapag ang kanilang produkto ay katumbas ng 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Pagkatapos ay kunin natin ang 12 · 2 3 5 bilang isang karaniwang denominador.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction ng isang pangkalahatang anyo.

Halimbawa 5

Upang gawin ito, kinakailangan upang i-multiply ang 2 + 1 6 at 2 · 5 3 · 2 + 1.

Desisyon

Kasunod ng tuntunin, kinakailangang muling isulat at isulat ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Nakukuha natin na 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kapag ang fraction ay pinarami, ang mga pagbawas ay maaaring gawin upang pasimplehin ito. Pagkatapos 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Gamit ang panuntunan ng paglipat mula sa paghahati hanggang sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang katumbasan, nakukuha natin ang kapalit ng ibinigay. Upang gawin ito, ang numerator at denominator ay baligtad. Tingnan natin ang isang halimbawa:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pagkatapos nito, dapat silang magsagawa ng multiplikasyon at pasimplehin ang resultang fraction. Kung kinakailangan, alisin ang irrationality sa denominator. Nakukuha namin iyon

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Sagot: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Naaangkop ang talatang ito kapag ang isang numero o numerical na expression ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na katumbas ng 1, kung gayon ang operasyon na may ganoong fraction ay itinuturing na isang hiwalay na talata. Halimbawa, ang expression na 1 6 7 4 - 1 3 ay nagpapakita na ang ugat ng 3 ay maaaring palitan ng isa pang 3 1 expression. Kung gayon ang talaang ito ay magmumukhang isang multiplikasyon ng dalawang praksyon ng anyong 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Gumagawa ng isang aksyon na may mga fraction na naglalaman ng mga variable

Ang mga tuntuning tinalakay sa unang artikulo ay naaangkop sa mga operasyong may mga fraction na naglalaman ng mga variable. Isaalang-alang ang panuntunan sa pagbabawas kapag ang mga denominador ay pareho.

Kinakailangang patunayan na ang A , C at D (D na hindi katumbas ng zero) ay maaaring maging anumang mga expression, at ang pagkakapantay-pantay A D ± C D = A ± C D ay katumbas ng saklaw ng mga wastong halaga nito.

Kinakailangang kumuha ng isang hanay ng mga variable ng ODZ. Pagkatapos ay dapat kunin ng A, C, D ang kaukulang mga halaga a 0 , c 0 at d0. Ang pagpapalit ng anyo A D ± C D ay nagreresulta sa pagkakaiba ng anyo a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kung saan, ayon sa tuntunin sa karagdagan, nakakakuha tayo ng formula ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Kung papalitan natin ang expression A ± C D , pagkatapos ay makukuha natin ang parehong fraction ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Mula dito napagpasyahan namin na ang napiling halaga na nakakatugon sa ODZ, A ± C D at A D ± C D ay itinuturing na pantay.

Para sa anumang halaga ng mga variable, ang mga expression na ito ay magiging pantay, ibig sabihin, ang mga ito ay tinatawag na magkaparehong pantay. Nangangahulugan ito na ang expression na ito ay itinuturing na isang mapapatunayang pagkakapantay-pantay ng anyong A D ± C D = A ± C D .

Mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may mga variable

Kapag may parehong denominator, kailangan lamang magdagdag o magbawas ng mga numerator. Ang fraction na ito ay maaaring gawing simple. Minsan kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na magkapareho, ngunit sa unang tingin ay hindi ito kapansin-pansin, dahil ang ilang mga pagbabago ay dapat gawin. Halimbawa, x 2 3 x 1 3 + 1 at x 1 3 + 1 2 o 1 2 sin 2 α at sin a cos a. Kadalasan, kinakailangan ang pagpapasimple ng orihinal na expression upang makita ang parehong mga denominator.

Halimbawa 6

Kalkulahin: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Desisyon

1. Upang makagawa ng kalkulasyon, kailangan mong ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Pagkatapos ay makukuha natin na x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pagkatapos nito, maaari mong buksan ang mga bracket na may pagbabawas ng mga katulad na termino. Nakukuha natin na x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Dahil ang mga denominator ay pareho, nananatili lamang ang pagdaragdag ng mga numerator, na iniiwan ang denominator: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Ang karagdagan ay natapos na. Ito ay makikita na ang fraction ay maaaring mabawasan. Ang numerator nito ay maaaring itiklop gamit ang sum square formula, pagkatapos ay makukuha natin ang (l g x + 2) 2 mula sa mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagkatapos makuha namin iyon
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Ibinigay ang mga fraction ng anyong x - 1 x - 1 + x x + 1 na may magkakaibang denominador. Pagkatapos ng pagbabago, maaari kang magpatuloy sa pagdaragdag.

Isaalang-alang natin ang isang dalawang paraan na solusyon.

Ang unang paraan ay ang denominator ng unang fraction ay napapailalim sa factorization gamit ang mga parisukat, at kasama ang kasunod na pagbawas nito. Nakukuha namin ang isang fraction ng form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Kaya x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Sa kasong ito, kinakailangan upang mapupuksa ang hindi makatwiran sa denominator.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Ang pangalawang paraan ay paramihin ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa x - 1 . Kaya, inaalis natin ang irrationality at magpatuloy sa pagdaragdag ng fraction na may parehong denominator. Pagkatapos

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Sagot: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Sa huling halimbawa, nalaman namin na ang pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay hindi maiiwasan. Upang gawin ito, kailangan mong gawing simple ang mga fraction. Upang magdagdag o magbawas, kailangan mong laging maghanap ng isang karaniwang denominator, na mukhang produkto ng mga denominador na may pagdaragdag ng mga karagdagang kadahilanan sa mga numerator.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang mga halaga ng mga fraction: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Desisyon

1. Ang denominator ay hindi nangangailangan ng anumang kumplikadong mga kalkulasyon, kaya kailangan mong piliin ang kanilang produkto ng form na 3 x 7 + 2 2, pagkatapos ay sa unang fraction x 7 + 2 2 ay pinili bilang isang karagdagang kadahilanan, at 3 sa pangalawa. Kapag nagpaparami, nakakakuha tayo ng fraction ng anyong x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Makikita na ang mga denominator ay ipinakita bilang isang produkto, na nangangahulugan na ang mga karagdagang pagbabago ay hindi kailangan. Ang karaniwang denominator ay magiging produkto ng anyong x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Mula dito x 4 ay isang karagdagang salik sa unang bahagi, at ln (x + 1) sa pangalawa. Pagkatapos ay ibawas namin at makuha:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Makatuwiran ang halimbawang ito kapag nagtatrabaho sa mga denominador ng mga fraction. Kinakailangang ilapat ang mga pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at parisukat ng kabuuan, dahil gagawin nilang posible na maipasa sa isang expression ng anyo 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Ito ay makikita na ang mga fraction ay nabawasan sa isang karaniwang denominator. Nakukuha namin iyon cos x - x cos x + x 2 .

Pagkatapos makuha namin iyon

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Sagot:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction na may mga variable

Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami ng numerator at ang denominator sa denominator. Pagkatapos ay maaari mong ilapat ang reduction property.

Halimbawa 8

Multiply fractions x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Desisyon

Kailangan mong gawin ang pagpaparami. Nakukuha namin iyon

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Ang numero 3 ay inilipat sa unang lugar para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, at maaari mong bawasan ang fraction ng x 2, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang pagpapahayag ng form

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Sagot: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Dibisyon

Ang dibisyon ng mga fraction ay katulad ng multiplication, dahil ang unang fraction ay pinarami ng pangalawang reciprocal. Kung kukunin natin, halimbawa, ang fraction x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at hatiin sa 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, kung gayon maaari itong isulat bilang

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , pagkatapos ay palitan ng produkto ng anyong x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 kasalanan (2 x - x)

Exponentiation

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang aksyon na may mga fraction ng isang pangkalahatang anyo na may exponentiation. Kung mayroong isang degree na may natural na exponent, kung gayon ang aksyon ay itinuturing bilang isang multiplikasyon ng magkaparehong mga fraction. Ngunit inirerekumenda na gumamit ng isang pangkalahatang diskarte batay sa mga katangian ng mga degree. Anumang mga expression na A at C, kung saan ang C ay hindi magkaparehong katumbas ng zero, at anumang real r sa ODZ para sa isang expression ng form A C r, ang pagkakapantay-pantay A C r = A r C r ay totoo. Ang resulta ay isang fraction na itinaas sa isang kapangyarihan. Halimbawa, isaalang-alang:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2-5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga fraction

Ang mga aksyon sa mga fraction ay isinasagawa ayon sa ilang mga patakaran. Sa pagsasagawa, napansin namin na ang isang expression ay maaaring maglaman ng ilang mga fraction o fractional na mga expression. Pagkatapos ito ay kinakailangan upang isagawa ang lahat ng mga aksyon sa isang mahigpit na pagkakasunud-sunod: itaas sa isang kapangyarihan, multiply, hatiin, pagkatapos ay idagdag at ibawas. Kung mayroong mga bracket, ang unang aksyon ay isinasagawa sa kanila.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Desisyon

Dahil mayroon kaming parehong denominator, pagkatapos ay 1 - x cos x at 1 c o s x , ngunit imposibleng ibawas ayon sa panuntunan, una ang mga aksyon sa mga bracket ay ginanap, pagkatapos kung saan ang multiplikasyon, at pagkatapos ay ang karagdagan. Pagkatapos, kapag nagkalkula, nakuha namin iyon

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kapag pinapalitan ang expression sa orihinal, nakukuha natin na 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Kapag nagpaparami ng mga fraction, mayroon tayong: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nang magawa ang lahat ng mga pagpapalit, makakakuha tayo ng 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Ngayon ay kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Nakukuha namin:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Sagot: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Nilalaman ng aralin

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may dalawang uri:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator
2. Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Magsimula tayo sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Halimbawa, idagdag natin ang mga fraction at . Idinaragdag namin ang mga numerator, at iiwan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung magdagdag ka ng pizza sa pizza, makakakuha ka ng pizza:

Halimbawa 2 Magdagdag ng mga fraction at .

Ang sagot ay isang improper fraction. Kung ang katapusan ng gawain ay dumating, pagkatapos ay kaugalian na mapupuksa ang mga hindi wastong fraction. Upang mapupuksa ang isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito. Sa aming kaso, ang bahagi ng integer ay madaling ilalaan - dalawang hinati sa dalawa ay katumbas ng isa:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa dalawang bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza:

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction at .

Muli, idagdag ang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 4 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Ang mga numerator ay dapat idagdag at ang denominator ay iwanang hindi nagbabago:

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza at magdagdag ng higit pang mga pizza, makakakuha ka ng 1 buong pizza at higit pang mga pizza.

Tulad ng nakikita mo, ang pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator ay hindi mahirap. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;

Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Ngayon ay matututunan natin kung paano magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Kapag nagdadagdag ng mga fraction, ang mga denominator ng mga fraction na iyon ay dapat na pareho. Ngunit hindi sila palaging pareho.

Halimbawa, ang mga fraction ay maaaring idagdag dahil mayroon silang parehong denominator.

Ngunit ang mga fraction ay hindi maaaring idagdag nang sabay-sabay, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Mayroong ilang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa parehong denominator. Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang isa sa mga ito, dahil ang natitirang mga pamamaraan ay maaaring mukhang kumplikado para sa isang baguhan.

Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang una (LCM) ng mga denominador ng parehong mga fraction ay hinahanap. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha. Ganoon din ang ginagawa nila sa pangalawang fraction - ang LCM ay hinati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik.

Pagkatapos ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction at

Una sa lahat, nakita namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominator ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito ay 6

LCM (2 at 3) = 6

Ngayon bumalik sa fractions at . Una, hinahati natin ang LCM sa denominator ng unang fraction at makuha ang unang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 6 sa 3, makakakuha tayo ng 2.

Ang resultang numero 2 ay ang unang karagdagang kadahilanan. Isulat namin ito hanggang sa unang bahagi. Upang gawin ito, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng fraction at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction at makuha ang pangalawang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 3.

Ang resultang numero 3 ay ang pangalawang karagdagang kadahilanan. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi. Muli, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng pangalawang bahagi at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:

Ngayon ay handa na tayong magdagdag. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang mga karagdagang kadahilanan:

Tingnan mong mabuti kung ano ang aming narating. Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Kaya nagtatapos ang halimbawa. Upang idagdag ito ay lumalabas.

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza at isa pang ikaanim ng isang pizza:

Ang pagbabawas ng mga fraction sa parehong (karaniwang) denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Dinadala ang mga fraction at sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin ang mga fraction at . Ang dalawang fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza. Ang pagkakaiba lamang ay ang oras na ito ay mahahati sila sa pantay na bahagi (binawasan sa parehong denominator).

Ang unang drawing ay nagpapakita ng fraction (apat na piraso sa anim) at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng fraction (tatlong piraso sa anim). Ang pagsasama-sama ng mga pirasong ito ay makukuha natin (pitong piraso sa anim). Mali ang fraction na ito, kaya na-highlight namin ang bahaging integer dito. Ang resulta ay (isang buong pizza at isa pang ikaanim na pizza).

Tandaan na ipininta namin ang halimbawang ito nang masyadong detalyado. Sa mga institusyong pang-edukasyon ay hindi kaugalian na magsulat sa ganoong detalyadong paraan. Kailangan mong mabilis na mahanap ang LCM ng parehong mga denominator at karagdagang mga kadahilanan sa kanila, pati na rin mabilis na i-multiply ang mga karagdagang kadahilanan na makikita ng iyong mga numerator at denominator. Habang nasa paaralan, kailangan nating isulat ang halimbawang ito tulad ng sumusunod:

Ngunit mayroon ding kabilang panig ng barya. Kung ang mga detalyadong tala ay hindi ginawa sa mga unang yugto ng pag-aaral ng matematika, pagkatapos ay mga tanong ng uri "Saan nagmula ang numerong iyon?", "Bakit ang mga fraction ay biglang nagiging ganap na magkakaibang mga fraction? «.

Upang gawing mas madaling magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, maaari mong gamitin ang sumusunod na sunud-sunod na mga tagubilin:

1. Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction;
2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction;
3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa kanilang mga karagdagang salik;
4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator;
5. Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi nito;

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression .

Gamitin natin ang mga tagubilin sa itaas.

Hakbang 1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng parehong fraction. Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 2, 3 at 4

Hakbang 2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction

Hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 12 sa 2, makuha namin ang 6. Nakuha namin ang unang karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa unang bahagi:

Ngayon, hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hinahati namin ang 12 sa 3, nakukuha namin ang 4. Nakuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 4. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:

Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Nakuha namin ang ikatlong karagdagang salik 3. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:

Hakbang 3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa iyong mga karagdagang salik

Pinaparami namin ang mga numerator at denominator sa aming mga karagdagang salik:

Hakbang 4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. Ito ay nananatiling idagdag ang mga fraction na ito. Magdagdag ng:

Ang karagdagan ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inilipat namin ang natitirang expression sa susunod na linya. Ito ay pinapayagan sa matematika. Kapag ang isang expression ay hindi magkasya sa isang linya, ito ay dinadala sa susunod na linya, at ito ay kinakailangan upang maglagay ng isang pantay na tanda (=) sa dulo ng unang linya at sa simula ng isang bagong linya. Ang equal sign sa pangalawang linya ay nagpapahiwatig na ito ay isang pagpapatuloy ng expression na nasa unang linya.

Hakbang 5. Kung ang sagot ay naging isang hindi tamang bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi dito

Ang aming sagot ay isang improper fraction. Dapat nating isa-isa ang buong bahagi nito. I-highlight namin:

Nakakuha ng sagot

Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator

Mayroong dalawang uri ng pagbabawas ng fraction:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Una, alamin natin kung paano ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression . Upang malutas ang halimbawang ito, kinakailangang ibawas ang numerator ng pangalawang bahagi mula sa numerator ng unang bahagi, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Gawin natin ito:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression.

Muli, mula sa numerator ng unang fraction, ibawas ang numerator ng pangalawang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Mula sa numerator ng unang fraction, kailangan mong ibawas ang mga numerator ng natitirang mga fraction:

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;
2. Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito.

Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring ibawas mula sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may parehong denominator. Ngunit ang isang fraction ay hindi maaaring ibawas sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Ang karaniwang denominator ay matatagpuan ayon sa parehong prinsipyo na ginamit namin kapag nagdaragdag ng mga fraction na may magkakaibang denominator. Una sa lahat, hanapin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha, na nakasulat sa unang fraction. Katulad nito, ang LCM ay nahahati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik, na isinusulat sa pangalawang fraction.

Ang mga fraction ay pagkatapos ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga operasyong ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng isang expression:

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mong dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Una, nakita natin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito ay 12

LCM (3 at 4) = 12

Ngayon bumalik sa fractions at

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makakakuha tayo ng 4. Isinulat namin ang apat sa unang fraction:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Sumulat ng triple sa pangalawang fraction:

Ngayon ay handa na kaming lahat para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Nakakuha ng sagot

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza.

Ito ang detalyadong bersyon ng solusyon. Sa pagiging nasa paaralan, kailangan nating lutasin ang halimbawang ito sa mas maikling paraan. Ang ganitong solusyon ay magiging ganito:

Ang pagbabawas ng mga fraction at sa isang karaniwang denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Ang pagdadala ng mga fraction na ito sa isang common denominator, makukuha natin ang mga fraction at . Ang mga fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza, ngunit sa pagkakataong ito ay hahatiin ang mga ito sa parehong mga fraction (babawasan sa parehong denominator):

Ang unang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (walong piraso sa labindalawa), at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (tatlong piraso sa labindalawa). Sa pamamagitan ng pagputol ng tatlong piraso mula sa walong piraso, makakakuha tayo ng limang piraso sa labindalawa. Inilalarawan ng fraction ang limang pirasong ito.

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito.

Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 10, 3 at 5. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang mga kadahilanan para sa bawat fraction. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng bawat fraction.

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 10. Hatiin ang 30 sa 10, makuha namin ang unang karagdagang kadahilanan 3. Isinulat namin ito sa unang bahagi:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang kadahilanan para sa pangalawang bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 30 sa 3, makuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 10. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang salik para sa ikatlong bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 5. Hatiin ang 30 sa 5, makuha namin ang ikatlong karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:

Ngayon ang lahat ay handa na para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Tapusin natin ang halimbawang ito.

Ang pagpapatuloy ng halimbawa ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inililipat namin ang pagpapatuloy sa susunod na linya. Huwag kalimutan ang tungkol sa equal sign (=) sa bagong linya:

Ang sagot ay naging isang tamang bahagi, at ang lahat ay tila nababagay sa amin, ngunit ito ay masyadong masalimuot at pangit. Dapat nating gawing mas madali. Ano ang maaaring gawin? Maaari mong bawasan ang fraction na ito.

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa (gcd) sa mga numerong 20 at 30.

Kaya, nakita namin ang GCD ng mga numero 20 at 30:

Ngayon ay bumalik tayo sa ating halimbawa at hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa nahanap na GCD, iyon ay, sa pamamagitan ng 10

Nakakuha ng sagot

Pagpaparami ng fraction sa isang numero

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng ibinigay na fraction sa numerong ito, at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa 1. I-multiply ang fraction sa numero 1.

I-multiply ang numerator ng fraction sa numero 1

Ang entry ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahating 1 beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 1 beses, makakakuha ka ng pizza

Mula sa mga batas ng pagpaparami, alam natin na kung ang multiplicand at ang multiplier ay ipinagpalit, kung gayon ang produkto ay hindi magbabago. Kung ang expression ay nakasulat bilang , kung gayon ang produkto ay magiging katumbas pa rin ng . Muli, gumagana ang panuntunan para sa pagpaparami ng integer at fraction:

Ang entry na ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahati ng unit. Halimbawa, kung mayroong 1 buong pizza at kunin namin ang kalahati nito, magkakaroon kami ng pizza:

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng fraction sa 4

Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang quarters 4 na beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 4 na beses, makakakuha ka ng dalawang buong pizza.

At kung ipagpalit natin ang multiplicand at ang multiplier sa mga lugar, makukuha natin ang expression. Katumbas din ito ng 2. Ang ekspresyong ito ay mauunawaan bilang pagkuha ng dalawang pizza mula sa apat na buong pizza:

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang mga fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator. Kung ang sagot ay hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi nito.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression.

Nakakuha ng sagot. Ito ay kanais-nais na bawasan ang fraction na ito. Ang fraction ay maaaring bawasan ng 2. Pagkatapos ang huling solusyon ay kukuha ng sumusunod na anyo:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng isang pizza mula sa kalahati ng isang pizza. Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Paano kumuha ng dalawang-katlo mula sa kalahating ito? Una kailangan mong hatiin ang kalahating ito sa tatlong pantay na bahagi:

At kumuha ng dalawa sa tatlong pirasong ito:

Kukuha tayo ng pizza. Tandaan kung ano ang hitsura ng pizza na nahahati sa tatlong bahagi:

Ang isang slice mula sa pizza na ito at ang dalawang hiwa na kinuha namin ay magkakaroon ng parehong sukat:

Sa ibang salita, nag-uusap kami halos kapareho ng laki ng pizza. Samakatuwid, ang halaga ng expression ay

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Tamang fraction pala ang sagot, pero maganda kung babawasan. Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa greatest common divisor (GCD) ng mga numerong 105 at 450.

Kaya, hanapin natin ang GCD ng mga numerong 105 at 450:

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng aming sagot sa GCD na natagpuan na namin ngayon, iyon ay, sa pamamagitan ng 15

Kinakatawan ang isang integer bilang isang fraction

Anumang buong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Halimbawa, ang numero 5 ay maaaring katawanin bilang . Mula dito, hindi mababago ng lima ang kahulugan nito, dahil ang expression ay nangangahulugang "ang bilang na limang hinati ng isa", at ito, tulad ng alam mo, ay katumbas ng lima:

Baliktarin ang mga numero

Ngayon ay makikilala natin ang isang napaka-kagiliw-giliw na paksa sa matematika. Ito ay tinatawag na "reverse number".

Kahulugan. Baliktarin sa numeroa ay ang bilang na, kapag pinarami nga nagbibigay ng unit.

Palitan natin ang kahulugang ito sa halip na isang variable a numero 5 at subukang basahin ang kahulugan:

Baliktarin sa numero 5 ay ang bilang na, kapag pinarami ng 5 nagbibigay ng unit.

Posible bang makahanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 5, ay nagbibigay ng isa? Kaya mo pala. Katawanin natin ang lima bilang isang fraction:

Pagkatapos ay i-multiply ang fraction na ito sa sarili nito, palitan lamang ang numerator at denominator. Sa madaling salita, i-multiply natin ang fraction sa sarili nito, baligtad lamang:

Ano ang magiging resulta nito? Kung patuloy nating lutasin ang halimbawang ito, makakakuha tayo ng isa:

Nangangahulugan ito na ang kabaligtaran ng numero 5 ay ang numero, dahil kapag ang 5 ay pinarami ng isa, ang isa ay nakuha.

Ang reciprocal ay maaari ding matagpuan para sa anumang iba pang integer.

Maaari mo ring mahanap ang reciprocal para sa anumang iba pang fraction. Upang gawin ito, sapat na upang ibalik ito.

Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang numero

Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Hatiin natin ito ng pantay sa dalawa. Ilang pizza ang makukuha ng bawat isa?

Makikita na pagkatapos hatiin ang kalahati ng pizza, dalawang pantay na piraso ang nakuha, na bawat isa ay bumubuo ng isang pizza. Kaya lahat ay nakakakuha ng pizza.

Ang paghahati ng mga fraction ay ginagawa gamit ang reciprocals. Hinahayaan ka ng mga reciprocal na palitan ang paghahati ng multiplikasyon.

Upang hatiin ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa reciprocal ng divisor.

Gamit ang panuntunang ito, isusulat namin ang paghahati ng aming kalahati ng pizza sa dalawang bahagi.

Kaya, kailangan mong hatiin ang fraction sa numero 2. Dito ang dibidendo ay isang fraction at ang divisor ay 2.

Upang hatiin ang isang fraction sa numero 2, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa reciprocal ng divisor 2. Ang reciprocal ng divisor 2 ay isang fraction. Kaya kailangan mong magparami