Tulad ng nabanggit kanina, mga halimbawa ng mga pamamahagi ng posibilidad tuluy-tuloy na random variable Ang X ay:
- pare-parehong pamamahagi ng probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable;
- exponential probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable;
- normal na pamamahagi mga probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable.
Ibigay natin ang konsepto ng uniporme at exponential distribution laws, probability formula at numerical na katangian ng mga itinuturing na function.
| Tagapagpahiwatig | Random na pamamahagi ng batas | Ang exponential na batas ng pamamahagi |
|---|---|---|
| Kahulugan | Uniform ang tawag ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na ang density ay nananatiling pare-pareho sa pagitan at may anyo | Ang isang exponential (exponential) ay tinatawag ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na inilalarawan ng isang density na may anyo |
 kung saan ang λ ay isang pare-parehong positibong halaga |
||
| function ng pamamahagi |  |
 |
| Probability pagtama sa pagitan |  |
 |
| Inaasahang halaga |  |
|
| Pagpapakalat |  |
|
| Karaniwang lihis |  |
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga uniporme at exponential na batas ng pamamahagi"
Gawain 1.
Ang mga bus ay tumatakbo nang mahigpit ayon sa iskedyul. Interval ng paggalaw 7 min. Hanapin: (a) ang posibilidad na ang isang pasahero na huminto ay maghihintay sa susunod na bus nang wala pang dalawang minuto; b) ang posibilidad na ang isang pasahero na papalapit sa hintuan ay maghihintay sa susunod na bus nang hindi bababa sa tatlong minuto; c) ang mathematical na inaasahan at ang standard deviation ng random variable X - ang oras ng paghihintay ng pasahero.
Desisyon. 1. Sa kondisyon ng problema, isang tuluy-tuloy na random na variable X=(oras ng paghihintay ng pasahero) pantay na ipinamahagi sa pagitan ng pagdating ng dalawang bus. Ang haba ng pagitan ng pamamahagi ng random variable X ay katumbas ng b-a=7, kung saan a=0, b=7.
2. Ang oras ng paghihintay ay mas mababa sa dalawang minuto kung ang random na halaga ng X ay nasa pagitan (5;7). Ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Ang oras ng paghihintay ay hindi bababa sa tatlong minuto (iyon ay, mula tatlo hanggang pitong minuto) kung ang random na halaga ng X ay bumaba sa pagitan (0; 4). Ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Pag-asa sa matematika ng tuluy-tuloy, pantay na ibinahagi na random na variable X - ang oras ng paghihintay ng pasahero, makikita natin sa pamamagitan ng formula: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.
5. Ang karaniwang paglihis ng tuluy-tuloy, pantay na ipinamahagi na random variable X - ang oras ng paghihintay ng pasahero, makikita natin sa pamamagitan ng formula: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.
Gawain 2.
Ang exponential distribution ay ibinibigay para sa x ≥ 0 sa pamamagitan ng density f(x) = 5e – 5x. Kinakailangan: a) magsulat ng isang expression para sa distribution function; b) hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay nahuhulog sa pagitan (1; 4); c) hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X ≥ 2; d) kalkulahin ang M(X), D(X), σ(X).
Desisyon. 1. Dahil, sa kondisyon, exponential distribution , pagkatapos ay mula sa formula para sa probability distribution density ng random variable X makuha natin ang λ = 5. Pagkatapos ang distribution function ay magmumukhang:
2. Ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit na X ay nahuhulog sa pagitan (1; 4) ay makikita ng formula:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit na X ≥ 2 ay makikita ng formula: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Nahanap namin ang exponential distribution:
- mathematical expectation ayon sa formula M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2;
- pagpapakalat ayon sa formula D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04;
- standard deviation ayon sa formula σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.
Ang isyung ito ay matagal nang pinag-aralan nang detalyado, at ang pamamaraan ng mga polar coordinates, na iminungkahi nina George Box, Mervyn Muller at George Marsaglia noong 1958, ay pinaka-malawak na ginamit. Binibigyang-daan ka ng pamamaraang ito na makakuha ng isang pares ng mga independiyenteng karaniwang ipinamamahagi na mga random na variable na may mean 0 at variance 1 tulad ng sumusunod:
Kung saan ang Z 0 at Z 1 ay ang nais na mga halaga, ang s \u003d u 2 + v 2, at u at v ay mga random na variable na pantay na ipinamamahagi sa segment (-1, 1), pinili sa paraang ang kundisyon 0< s < 1.
Maraming gumagamit ng mga formula na ito nang hindi nag-iisip, at marami ang hindi naghihinala sa kanilang pag-iral, dahil gumagamit sila ng mga handa na pagpapatupad. Ngunit may mga taong may mga tanong: “Saan nanggaling ang pormula na ito? At bakit nakakakuha ka ng isang pares ng mga halaga nang sabay-sabay? Sa mga sumusunod, susubukan kong magbigay ng malinaw na sagot sa mga tanong na ito.
Upang magsimula sa, hayaan mo akong ipaalala sa iyo kung ano ang probability density, ang distribution function ng isang random variable at ang inverse function ay. Ipagpalagay na mayroong ilang random na variable, ang pamamahagi nito ay ibinibigay ng density function na f(x), na mayroong sumusunod na anyo:
Nangangahulugan ito na ang posibilidad na ang halaga ng random na variable na ito ay nasa pagitan (A, B) ay katumbas ng lugar ng may kulay na lugar. At bilang kinahinatnan, ang lugar ng buong shaded area ay dapat na katumbas ng pagkakaisa, dahil sa anumang kaso ang halaga ng random variable ay mahuhulog sa domain ng function f.
Ang distribution function ng isang random variable ay isang integral ng density function. At sa kasong ito, ang tinatayang anyo nito ay ang mga sumusunod:
Narito ang kahulugan ay ang halaga ng random na variable ay magiging mas mababa sa A na may posibilidad na B. At bilang resulta, ang function ay hindi kailanman bumababa, at ang mga halaga nito ay nasa pagitan .
Ang inverse function ay isang function na nagbabalik ng argumento ng orihinal na function kung ipapasa mo dito ang value ng orihinal na function. Halimbawa, para sa function na x 2 ang inverse ay ang root extraction function, para sa sin (x) ito ay arcsin (x), atbp.
Dahil ang karamihan sa mga pseudo-random na mga generator ng numero ay nagbibigay lamang ng isang pare-parehong pamamahagi sa output, kadalasan ay kinakailangan na i-convert ito sa isa pa. Sa kasong ito, sa isang normal na Gaussian:
Ang batayan ng lahat ng mga pamamaraan para sa pagbabago ng isang pare-parehong pamamahagi sa anumang iba pang pamamahagi ay ang inverse transformation method. Gumagana ito bilang mga sumusunod. Nahanap ang isang function na kabaligtaran sa function ng kinakailangang distribusyon, at isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa segment (0, 1) ay ipinapasa dito bilang isang argumento. Sa output, nakakakuha kami ng isang halaga na may kinakailangang pamamahagi. Para sa kalinawan, narito ang sumusunod na larawan.
Kaya, ang isang pare-parehong segment ay, kumbaga, pinahiran alinsunod sa bagong pamamahagi, na ipino-project sa isa pang axis sa pamamagitan ng isang inverse function. Ngunit ang problema ay ang integral ng density ng pamamahagi ng Gaussian ay hindi madaling kalkulahin, kaya ang mga siyentipiko sa itaas ay kailangang mandaya.
Mayroong chi-squared distribution (Pearson distribution), na siyang distribusyon ng kabuuan ng mga parisukat ng k independent normal random variables. At sa kaso kapag k = 2, ang distribusyon na ito ay exponential.
Nangangahulugan ito na kung ang isang punto sa isang rectangular coordinate system ay may random na X at Y na mga coordinate na ipinamamahagi nang normal, pagkatapos ay pagkatapos na i-convert ang mga coordinate na ito sa polar system (r, θ), ang parisukat ng radius (ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto) ay ibabahagi nang exponentially, dahil ang parisukat ng radius ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate (ayon sa batas ng Pythagorean). Ang density ng pamamahagi ng mga naturang punto sa eroplano ay magiging ganito:
Dahil ito ay pantay sa lahat ng direksyon, ang anggulo θ ay magkakaroon ng pare-parehong distribusyon sa hanay mula 0 hanggang 2π. Totoo rin ang kabaligtaran: kung tutukuyin mo ang isang punto sa polar coordinate system gamit ang dalawang independiyenteng random na mga variable (ang anggulo na ibinahagi nang pantay at ang radius ay ipinamamahagi nang exponential), kung gayon ang mga parihaba na coordinate ng puntong ito ay magiging independiyenteng normal na mga random na variable. At ang exponential distribution mula sa uniform distribution ay mas madaling makuha, gamit ang parehong inverse transformation method. Ito ang kakanyahan ng Box-Muller polar method.
Ngayon kunin natin ang mga formula.
(1)
Upang makakuha ng r at θ, kinakailangan na makabuo ng dalawang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa segment (0, 1) (tawagin natin silang u at v), ang distribusyon ng isa na kung saan (sabihin nating v) ay dapat i-convert sa exponential sa makuha ang radius. Ang exponential distribution function ay ganito ang hitsura:
Ang inverse function nito:
Dahil simetriko ang pare-parehong pamamahagi, gagana ang pagbabagong katulad sa function
Ito ay sumusunod mula sa chi-square distribution formula na λ = 0.5. Pinapalitan namin ang λ, v sa function na ito at makuha ang parisukat ng radius, at pagkatapos ay ang radius mismo:
Nakukuha namin ang anggulo sa pamamagitan ng pag-stretch ng segment ng unit sa 2π:
Ngayon ay pinapalitan natin ang r at θ sa mga formula (1) at makuha ang:
(2)
Ang mga formula na ito ay handa nang gamitin. Ang X at Y ay magiging independyente at normal na namamahagi na may pagkakaiba-iba ng 1 at isang mean na 0. Upang makakuha ng distribusyon na may iba pang mga katangian, sapat na upang i-multiply ang resulta ng function sa pamamagitan ng standard deviation at idagdag ang mean.
Ngunit posible na mapupuksa ang mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng pagtukoy sa anggulo na hindi direkta, ngunit hindi direkta sa pamamagitan ng mga parihabang coordinate ng isang random na punto sa isang bilog. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga coordinate na ito, posibleng kalkulahin ang haba ng radius vector, at pagkatapos ay hanapin ang cosine at sine sa pamamagitan ng paghahati ng x at y nito, ayon sa pagkakabanggit. Paano at bakit ito gumagana?
Pinipili namin ang isang random na punto mula sa pantay na ipinamamahagi sa bilog ng unit radius at ipahiwatig ang parisukat ng haba ng radius vector ng puntong ito sa pamamagitan ng titik s:
Ang pagpili ay ginawa sa pamamagitan ng pagtatalaga ng random na x at y rectangular coordinates na pantay na ibinahagi sa pagitan (-1, 1), at pagtatapon ng mga puntos na hindi kabilang sa bilog, pati na rin ang gitnang punto kung saan ang anggulo ng radius vector ay hindi tinukoy. Ibig sabihin, ang kondisyon 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Nakukuha namin ang mga formula, tulad ng sa simula ng artikulo. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang pagtanggi sa mga puntos na hindi kasama sa bilog. Iyon ay, gamit lamang ang 78.5% ng nabuong mga random na variable. Sa mas lumang mga computer, ang kakulangan ng trigonometric function ay isang malaking kalamangan. Ngayon, kapag ang isang pagtuturo ng processor ay sabay-sabay na kinakalkula ang sine at cosine sa isang iglap, sa tingin ko ang mga pamamaraang ito ay maaari pa ring makipagkumpitensya.
Sa personal, mayroon akong dalawa pang tanong:
- Bakit pantay-pantay ang halaga ng s?
- Bakit exponentially distributed ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang normal na random variable?
Kung ang isang katulad na pagbabago ay ginawa para sa isang normal na random na variable, ang density ng function ng parisukat nito ay magiging katulad ng isang hyperbola. At ang pagdaragdag ng dalawang parisukat ng mga normal na random na variable ay isa nang mas kumplikadong proseso na nauugnay sa dobleng pagsasama. At ang katotohanan na ang resulta ay isang exponential distribution, personal, nananatili para sa akin na suriin ito sa isang praktikal na paraan o tanggapin ito bilang isang axiom. At para sa mga interesado, iminumungkahi ko na pamilyar ka sa paksa nang mas malapit, na kumukuha ng kaalaman mula sa mga aklat na ito:
- Wentzel E.S. Teorya ng posibilidad
- Knut D.E. Ang Sining ng Programming Tomo 2
Sa konklusyon, magbibigay ako ng isang halimbawa ng pagpapatupad ng isang normal na ibinahagi na generator ng random na numero sa JavaScript:
Function Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) habang (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // lumikha ng isang bagay a = g.next(); // bumuo ng isang pares ng mga halaga at kunin ang una b = g.next(); // kunin ang pangalawang c = g.next(); // bumuo muli ng isang pares ng mga halaga at makuha ang una
Opsyonal ang mga parameter ng mean (pang-mathematical na inaasahan) at dev (standard deviation). Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ang logarithm ay natural.
Ang isang pamamahagi ay itinuturing na pare-pareho kung ang lahat ng mga halaga ng isang random na variable (sa rehiyon ng pagkakaroon nito, halimbawa, sa pagitan) ay pantay na posibilidad. Ang distribution function para sa naturang random variable ay may anyo:
Densidad ng pamamahagi: 
1
kanin. Mga graph ng distribution function (kaliwa) at distribution density (kanan).
Unipormeng pamamahagi - konsepto at uri. Pag-uuri at mga tampok ng kategoryang "Pamamahagi ng uniporme" 2017, 2018.
Basic discrete distributions of random variables Depinisyon 1. Random variable Х, kumukuha ng values 1, 2, …, n, ay may pare-parehong distribution kung Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n . Obvious naman yun. Isaalang-alang ang sumusunod na problema. May N bola sa isang urn, kung saan ang M ay puti... .
Mga batas ng distribusyon ng tuluy-tuloy na random na variable Depinisyon 5. Ang tuluy-tuloy na random variable X, na kumukuha ng halaga sa pagitan , ay may pare-parehong distribusyon kung ang density ng distribution ay may anyo. (1) Madaling i-verify na, . Kung random variable... .
Ang isang pamamahagi ay itinuturing na pare-pareho kung ang lahat ng mga halaga ng isang random na variable (sa rehiyon ng pagkakaroon nito, halimbawa, sa pagitan ) ay pantay na posibilidad. Ang distribution function para sa naturang random variable ay may anyo: Distribution density: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Mga batas sa normal na pamamahagi Uniform, exponential at Ang probability density function ng unipormeng batas ay: (10.17) kung saan ang a at b ay binibigyan ng mga numero, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Ang pare-parehong pamamahagi ng probabilidad ay ang pinakasimple at maaaring maging discrete o tuloy-tuloy. Ang isang discrete uniform distribution ay isang distribution kung saan ang probabilidad ng bawat isa sa mga value ng CB ay pareho, iyon ay: kung saan ang N ay ang numero ... .
Depinisyon 16. Ang tuluy-tuloy na random variable ay may pare-parehong distribusyon sa pagitan, kung sa segment na ito ang distribution density ng random variable na ito ay pare-pareho, at sa labas ito ay katumbas ng zero, iyon ay (45) Ang density graph para sa isang pare-parehong distribution ay ipinakita...
Bilang isang halimbawa ng isang tuluy-tuloy na random na variable, isaalang-alang ang isang random na variable X na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (a; b). Sinasabi namin na ang random variable X pantay na ipinamahagi sa pagitan (a; b), kung ang density ng pamamahagi nito ay hindi pare-pareho sa pagitan na ito:
Mula sa kondisyon ng normalisasyon, tinutukoy namin ang halaga ng pare-pareho c . Ang lugar sa ilalim ng curve ng density ng pamamahagi ay dapat na katumbas ng isa, ngunit sa aming kaso ito ay ang lugar ng isang rektanggulo na may base (b - α) at isang taas c (Fig. 1). 
kanin. 1 Unipormeng density ng pamamahagi
Mula dito nakita natin ang halaga ng pare-parehong c: 
Kaya, ang density ng isang pare-parehong ibinahagi na random na variable ay katumbas ng 
Hanapin natin ngayon ang distribution function sa pamamagitan ng formula:
1) para sa 
2) para sa
3) para sa 0+1+0=1.
kaya, 
Ang distribution function ay tuloy-tuloy at hindi bumababa (Fig. 2). 
kanin. 2 Pamamahagi ng function ng isang pare-parehong ipinamahagi na random variable
Hanapin natin mathematical expectation ng isang pare-parehong naipamahagi na random variable ayon sa formula:
Pagkakaiba-iba ng pamamahagi ay kinakalkula ng formula at katumbas ng
Halimbawa #1. Ang halaga ng paghahati ng sukat ng instrumento sa pagsukat ay 0.2. Ang mga pagbabasa ng instrumento ay bilugan sa pinakamalapit na buong dibisyon. Hanapin ang posibilidad na magkaroon ng pagkakamali sa panahon ng pagbabasa: a) mas mababa sa 0.04; b) malaki 0.02
Desisyon. Ang error sa rounding ay isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan sa pagitan ng mga katabing integer division. Isaalang-alang ang pagitan (0; 0.2) bilang isang dibisyon (Fig. a). Ang pag-ikot ay maaaring isagawa kapwa patungo sa kaliwang hangganan - 0, at patungo sa kanan - 0.2, na nangangahulugan na ang isang error na mas mababa sa o katumbas ng 0.04 ay maaaring gawin nang dalawang beses, na dapat isaalang-alang kapag kinakalkula ang posibilidad: 
P = 0.2 + 0.2 = 0.4
Para sa pangalawang kaso, ang halaga ng error ay maaari ding lumampas sa 0.02 sa parehong mga hangganan ng dibisyon, iyon ay, maaari itong maging mas malaki sa 0.02 o mas mababa sa 0.18. 
Pagkatapos ang posibilidad ng isang error tulad nito:
Halimbawa #2. Ipinapalagay na ang katatagan ng sitwasyong pang-ekonomiya sa bansa (ang kawalan ng mga digmaan, natural na sakuna, atbp.) sa nakalipas na 50 taon ay maaaring hatulan ng likas na katangian ng pamamahagi ng populasyon ayon sa edad: sa isang kalmadong sitwasyon, dapat ay uniporme. Bilang resulta ng pag-aaral, ang mga sumusunod na datos ay nakuha para sa isa sa mga bansa.
Mayroon bang anumang dahilan upang maniwala na nagkaroon ng hindi matatag na sitwasyon sa bansa?Isinasagawa namin ang desisyon gamit ang calculator Hypothesis testing. Talahanayan para sa pagkalkula ng mga tagapagpahiwatig.
| Mga grupo | Gitnang pagitan, x i | Dami, fi | x i * f i | Pinagsama-samang dalas, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Dalas, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
weighted average
Mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba.
Mga Rate ng Ganap na Pagkakaiba-iba.
Ang saklaw ng pagkakaiba-iba ay ang pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na mga halaga ng katangian ng pangunahing serye.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Pagpapakalat- nailalarawan ang sukat ng pagkalat sa paligid ng average na halaga nito (sukat ng dispersion, ibig sabihin, paglihis mula sa mean).
Karaniwang lihis.
Ang bawat halaga ng serye ay naiiba sa average na halaga ng 43 nang hindi hihigit sa 23.92
Pagsubok ng mga hypotheses tungkol sa uri ng pamamahagi.
4. Pagsubok sa hypothesis tungkol sa pare-parehong pamamahagi pangkalahatang populasyon.
Upang masubukan ang hypothesis tungkol sa pare-parehong pamamahagi ng X, i.e. ayon sa batas: f(x) = 1/(b-a) sa pagitan (a,b)
kailangan:
1. Tantyahin ang mga parameter a at b - ang mga dulo ng agwat kung saan ang mga posibleng halaga ng X ay naobserbahan, ayon sa mga formula (ang * sign ay nagpapahiwatig ng mga pagtatantya ng mga parameter):
2. Hanapin ang probability density ng tinantyang distribusyon f(x) = 1/(b * - a *)
3. Maghanap ng mga theoretical frequency:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Ihambing ang empirical at theoretical frequency gamit ang Pearson's test, sa pag-aakalang ang bilang ng mga degree ng kalayaan k = s-3, kung saan ang s ay ang bilang ng mga unang sampling interval; kung, gayunpaman, isang kumbinasyon ng mga maliliit na frequency, at samakatuwid ang mga agwat mismo, ay ginawa, kung gayon ang s ay ang bilang ng mga agwat na natitira pagkatapos ng kumbinasyon.
Desisyon:
1. Hanapin ang mga pagtatantya ng mga parameter a * at b * ng pare-parehong pamamahagi gamit ang mga formula:
2. Hanapin ang density ng ipinapalagay na pare-parehong pamamahagi:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Hanapin ang theoretical frequency:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
Ang natitirang n s ay magiging pantay:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Kabuuan | 1 | 0.0532 |
Samakatuwid, ang kritikal na rehiyon para sa istatistikang ito ay palaging nasa kanang kamay: , kung sa segment na ito ang probability distribution density ng random variable ay pare-pareho, ibig sabihin, kung ang differential distribution function f(x) ay may sumusunod na anyo:
Ang pamamahagi na ito ay tinatawag minsan batas ng pare-parehong density. Tungkol sa isang dami na may pare-parehong pamamahagi sa isang partikular na segment, sasabihin namin na ito ay ibinahagi nang pantay sa segment na ito.
Hanapin ang halaga ng pare-pareho c. Dahil ang lugar na nakatali sa kurba ng pamamahagi at axis oh katumbas ng 1, kung gayon
saan kasama=1/(b-a).
Ngayon ang function f(x)maaaring katawanin bilang
Buuin natin ang function ng pamamahagi
F(x ), kung saan makikita natin ang expression F (x ) sa pagitan [ a , b]:
Ang mga graph ng mga function na f (x) at F (x) ay ganito ang hitsura:
Maghanap tayo ng mga numerical na katangian.
Gamit ang formula para sa pagkalkula ng mathematical na inaasahan ng NSW, mayroon kaming:
Kaya, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa pagitan [a , b] ay sumasabay sa gitna ng segment na ito.
Hanapin ang pagkakaiba ng isang pare-parehong ipinamamahagi na random na variable:
mula sa kung saan agad itong sumusunod na ang karaniwang paglihis:
Hanapin natin ngayon ang posibilidad na ang halaga ng isang random na variable na may pare-parehong distribusyon ay bumaba sa pagitan(a , b ), ganap na kabilang sa segment [a,b
]:
|
|
Sa geometriko, ang posibilidad na ito ay ang lugar ng may kulay na parihaba. Numero a at
btinawag mga parameter ng pamamahagi at natatanging tukuyin ang isang pare-parehong pamamahagi.Halimbawa1. Ang mga bus ng isang partikular na ruta ay tumatakbo nang mahigpit ayon sa iskedyul. Ang pagitan ng paggalaw ay 5 minuto. Hanapin ang posibilidad na ang pasahero ay lumapit sa hintuan ng bus. Maghihintay para sa susunod na bus nang wala pang 3 minuto.
Desisyon:
ST - ang oras ng paghihintay ng bus ay may pare-parehong pamamahagi. Kung gayon ang nais na posibilidad ay magiging katumbas ng:
Halimbawa2. Tinatayang sinusukat ang gilid ng cube x. At
Isinasaalang-alang ang gilid ng kubo bilang isang random na variable na ibinahagi nang pantay sa pagitan (
a,b), hanapin ang mathematical expectation at variance ng volume ng cube.Desisyon:
Ang dami ng kubo ay isang random na variable na tinutukoy ng expression Y \u003d X 3. Kung gayon ang inaasahan sa matematika ay:
pagpapakalat:
Online na serbisyo:
