mekanikal na sistema

Mechanical system - isang hanay ng mga materyal na puntos:- gumagalaw ayon sa mga batas ng klasikal na mekanika; at - pakikipag-ugnayan sa isa't isa at sa mga katawan na hindi kasama sa set na ito.

Timbang

Ang masa ay nagpapakita ng sarili sa kalikasan sa maraming paraan.

Passive gravitational mass nagpapakita kung anong puwersa ang nakikipag-ugnayan ang katawan sa mga panlabas na patlang ng gravitational - sa katunayan, ang masa na ito ay ang batayan para sa pagsukat ng masa sa pamamagitan ng pagtimbang sa modernong metrology.

Aktibong gravitational mass nagpapakita kung anong uri ng gravitational field ang nilikha mismo ng katawan na ito - lumilitaw ang mga gravitational mass sa batas ng unibersal na grabitasyon.

inertial mass nagpapakilala sa pagkawalang-kilos ng mga katawan at lumilitaw sa isa sa mga pormulasyon ng ikalawang batas ni Newton. Kung ang isang di-makatwirang puwersa sa sistema ng sangguniang vinertial ay pantay na nagpapabilis ng iba't ibang mga hindi gumagalaw na katawan sa una, ang mga katawan na ito ay itinalaga ng parehong inertial na masa.

Ang gravitational at inertial mass ay pantay-pantay sa isa't isa (na may mataas na katumpakan - mga 10 −13 - sa eksperimento, at sa karamihan ng mga pisikal na teorya, kabilang ang lahat ng nakumpirma sa eksperimento - eksakto), samakatuwid, sa kaso kapag hindi natin pinag-uusapan ang tungkol sa "bago physics" , pag-usapan lang ang tungkol sa misa, nang hindi tinukoy kung alin ang ibig nilang sabihin.

Sa klasikal na mekanika ang masa ng sistema ng mga katawan ay katumbas ng ang kabuuan ng masa ng mga bumubuo nitong katawan. Sa relativistic mechanics, ang masa ay hindi isang additive na pisikal na dami, iyon ay, ang masa ng isang sistema ay karaniwang hindi katumbas ng kabuuan ng mga masa ng mga bahagi, ngunit kasama ang nagbubuklod na enerhiya at depende sa likas na katangian ng paggalaw ng mga particle na may kaugnayan. sa isa't-isa

Sentro ng masa - ( sa mechanics) isang geometric point na nagpapakilala sa paggalaw ng isang katawan o isang sistema ng mga particle sa kabuuan. Ito ay hindi magkapareho sa konsepto ng sentro ng grabidad (bagaman madalas pareho).

Ang posisyon ng sentro ng masa (sentro ng pagkawalang-galaw) ng isang sistema ng mga punto ng materyal sa klasikal na mekanika ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

kung saan ang radius-vector ng sentro ng masa, ay ang radius-vector i-ika-punto ng sistema, -masa i-ang punto.

Para sa kaso ng tuluy-tuloy na pamamahagi ng masa:

kung saan ang kabuuang masa ng system, ay ang lakas ng tunog, ay ang density. Ang sentro ng masa ay nagpapakilala sa pamamahagi ng masa sa isang katawan o isang sistema ng mga particle.

Maaari itong ipakita na kung ang sistema ay hindi binubuo ng mga materyal na puntos, ngunit ng mga pinahabang katawan na may masa , kung gayon ang radius vector ng sentro ng masa ng naturang sistema ay nauugnay sa mga radius vector ng mga sentro ng masa sa pamamagitan ng kaugnayan ng katawan :

Sa madaling salita, sa kaso ng mga pinahabang katawan, ang isang formula ay wasto, na sa istraktura nito ay tumutugma sa ginamit para sa mga materyal na puntos.

Sa mechanics!!!

Ang konsepto ng sentro ng masa ay malawakang ginagamit sa mekanika at pisika.

Ang paggalaw ng isang matibay na katawan ay maaaring ituring bilang isang superposisyon ng paggalaw ng sentro ng masa at ang paikot na paggalaw ng katawan sa paligid ng sentro ng masa nito. Sa kasong ito, ang sentro ng masa ay gumagalaw sa parehong paraan tulad ng isang katawan na may parehong masa, ngunit walang katapusang maliit ang laki (materyal na punto) ay lilipat. Ang huli ay nangangahulugan, sa partikular, na ang lahat ng mga batas ni Newton ay naaangkop upang ilarawan ang mosyon na ito. Sa maraming mga kaso, maaaring balewalain ng isa ang mga sukat at hugis ng katawan sa kabuuan at isaalang-alang lamang ang paggalaw ng sentro ng masa nito.

Madalas na maginhawang isaalang-alang ang paggalaw ng isang saradong sistema sa isang frame ng sanggunian na nauugnay sa sentro ng masa. Ang nasabing sistema ng sanggunian ay tinatawag na sentro ng sistema ng masa (C-system), o ang sentro ng sistema ng pagkawalang-galaw. Sa loob nito, ang kabuuang momentum ng isang saradong sistema ay palaging nananatiling katumbas ng zero, na nagpapahintulot sa amin na gawing simple ang mga equation ng paggalaw nito.

Mga Sentro ng Mass of Homogeneous Figures

May gitna ang segment.

Para sa mga polygon (parehong solid flat figure at wireframe):

Ang paralelogram ay ang intersection point ng mga diagonal.

Ang tatsulok ay may punto ng intersection ng mga median ( sentroid).

Ang isang regular na polygon ay may center rotation symmetry.

Ang kalahating bilog ay may punto na naghahati sa patayo na radius sa isang ratio na 4:3π mula sa gitna ng bilog.

Dami ng paggalaw = momentum

Ang momentum ng system (momentum ng system).

Momentum (momentum ng katawan) ay isang vector na pisikal na dami na katumbas ng produkto ng masa ng katawan at ang bilis nito:

Ang momentum (momentum) ay isa sa mga pinakapangunahing katangian ng paggalaw ng isang katawan o sistema ng mga katawan.

Isinulat namin ang batas ng Newton II sa ibang anyo, na isinasaalang-alang na ang acceleration Pagkatapos, samakatuwid,

Ang produkto ng puwersa at ang oras ng pagkilos nito ay katumbas ng pagtaas ng momentum ng katawan (Larawan 1):

Nasaan ang salpok ng puwersa, na nagpapakita na ang resulta ng pagkilos ng puwersa ay nakasalalay hindi lamang sa halaga nito, kundi pati na rin sa tagal ng pagkilos nito.

Fig.1

Ang dami ng paggalaw ng system (impulse) ay ang dami ng vector na katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng mga halaga ng paggalaw (impulses) ng lahat ng mga punto ng system(fig.2):

Makikita mula sa pagguhit na, anuman ang mga bilis ng mga punto ng system (maliban kung ang mga bilis na ito ay magkatulad), ang vector ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga at maging katumbas ng zero kapag ang polygon ay binuo mula sa nagsasara ang mga vector. Dahil dito, imposibleng ganap na hatulan ang likas na katangian ng paggalaw ng sistema sa pamamagitan ng magnitude nito.

Fig.2

Maghanap tayo ng isang formula sa tulong kung saan mas madaling kalkulahin ang halaga, pati na rin upang maunawaan ang kahulugan nito.

Mula sa pagkakapantay-pantay

sinusundan iyon

Ang pagkuha ng time derivative ng parehong bahagi, nakukuha namin

Mula dito makikita natin iyan

ang dami ng paggalaw (momentum) ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito . Ang resultang ito ay lalong maginhawang gamitin kapag kinakalkula ang momentum ng mga matibay na katawan.

Makikita mula sa pormula na kung ang katawan (o sistema) ay gumagalaw sa paraang ang sentro ng masa ay nananatiling nakatigil, kung gayon ang momentum ng katawan ay zero. Halimbawa, ang momentum ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis na dumadaan sa gitna ng masa nito ay magiging zero.

Kung ang paggalaw ng katawan ay kumplikado, kung gayon ang halaga ay hindi mailalarawan ang paikot na bahagi ng paggalaw sa paligid ng sentro ng masa. Halimbawa, para sa isang gumulong na gulong, gaano man ang pag-ikot ng gulong sa paligid ng sentro ng masa nito Sa.

kaya, ang dami ng paggalaw ay nagpapakilala lamang sa translational motion ng system. Sa kaso ng kumplikadong paggalaw, ang dami ay nagpapakilala lamang sa pagsasalin na bahagi ng paggalaw ng system kasama ang sentro ng masa.

Ang pangunahing punto ng stv dv izheniya (momentum) ng system.

Ang pangunahing sandali ng momentum (o angular momentum) ng system na nauugnay sa isang partikular na sentro O ay tinatawag na isang dami na katumbas ng geometric na kabuuan ng mga sandali ng mga dami ng paggalaw ng lahat ng mga punto ng sistema na may kaugnayan sa sentrong ito.

Katulad nito, ang mga sandali ng dami ng paggalaw ng system na nauugnay sa mga coordinate axes ay tinutukoy:

Sa kasong ito, ang mga ito ay sabay-sabay na mga projection ng vector papunta sa mga coordinate axes.

Kung paanong ang momentum ng isang sistema ay isang katangian ng translational motion nito, ang pangunahing sandali ng momentum ng system ay isang katangian ng rotational motion ng system.

Fig.6

Upang maunawaan ang mekanikal na kahulugan ng dami L 0 at may mga kinakailangang formula para sa paglutas ng mga problema, kinakalkula namin ang angular momentum ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis (Larawan 6). Sa kasong ito, gaya ng dati, ang kahulugan ng vector bumaba sa pagtukoy sa mga projection nito.

Hanapin muna natin ang pinakamahalagang formula para sa mga aplikasyon, na tumutukoy sa dami L z , ibig sabihin. angular momentum ng isang umiikot na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot.

Para sa anumang punto ng katawan na nasa layo mula sa axis ng pag-ikot, ang bilis. Samakatuwid, para sa puntong ito. Pagkatapos para sa buong katawan, na kinuha ang karaniwang kadahilanan ω sa labas ng bracket, nakuha namin

Ang halaga sa mga bracket ay ang moment of inertia ng katawan tungkol sa axis z. Sa wakas nakahanap na kami

kaya, ang kinetic moment ng isang umiikot na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot ay katumbas ng produkto ng moment of inertia ng katawan tungkol sa axis na ito sa pamamagitan ng angular velocity ng katawan.

Kung ang sistema ay binubuo ng ilang mga katawan na umiikot sa parehong axis, kung gayon, malinaw naman, magkakaroon

Madaling makita ang pagkakatulad sa pagitan ng mga formula at: ang dami ng paggalaw ay katumbas ng produkto ng masa (ang halaga na nagpapakilala sa pagkawalang-kilos ng katawan sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin) at ang bilis; ang kinetic moment ay katumbas ng produkto ng moment of inertia (isang value na nagpapakilala sa inertia ng katawan sa panahon ng rotational motion) sa pamamagitan ng angular velocity.

Isaalang-alang muli ang parehong sistema ng mga materyal na puntos. Buuin natin ang radius vector ayon sa sumusunod na panuntunan:

saan ang radius vector ng materyal na punto ng system, at ang masa nito.

Tinutukoy ng radius vector ang posisyon sa espasyo sentro ng pagkawalang-galaw (gitna ng masa) mga sistema.

Hindi naman kinakailangan na ang ilang materyal na punto ay nasa gitna ng masa ng sistema.

Halimbawa. Hanapin natin ang sentro ng masa ng isang sistema na binubuo ng dalawang maliliit na bola - mga punto ng materyal na konektado ng isang walang timbang na baras (Larawan 3.29). Ang sistemang ito ng mga katawan ay tinatawag na dumbbells.

kanin. 3.29. Sentro ng mass dumbbell

Mula sa fig. malinaw na yan

Ang pagpapalit sa mga pagkakapantay-pantay na ito ng expression para sa radius vector ng sentro ng masa

Ito ay sumusunod na ang sentro ng masa ay namamalagi sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga sentro ng mga bola. Mga distansya l 1 at l 2 sa pagitan ng mga bola at ang sentro ng masa ay pantay ayon sa pagkakabanggit

Ang sentro ng masa ay mas malapit sa bola, ang masa nito ay mas malaki, tulad ng makikita mula sa kaugnayan:

Tukuyin natin ang bilis kung saan gumagalaw ang sentro ng pagkawalang-galaw ng system. Pag-iba-ibahin natin ang parehong bahagi na may paggalang sa oras:

Ang numerator ng nagresultang expression sa kanang bahagi ay naglalaman ng kabuuan ng mga impulses ng lahat ng mga punto, iyon ay, ang impulse ng system. Ang denominator ay ang kabuuang masa ng system

Nalaman namin na ang bilis ng sentro ng pagkawalang-kilos ay nauugnay sa momentum ng system at ang kabuuang masa nito sa pamamagitan ng parehong relasyon na wasto para sa isang materyal na punto:

Video 3.11. Ang paggalaw ng sentro ng masa ng dalawang magkatulad na cart na konektado ng isang spring.

Ang sentro ng masa ng isang saradong sistema ay palaging gumagalaw sa isang pare-pareho ang bilis, dahil ang momentum ng naturang sistema ay natipid.

Kung pinag-iiba natin ngayon ang expression para sa momentum ng system na may kinalaman sa oras at isinasaalang-alang na ang derivative ng momentum ng system ay ang resulta ng mga panlabas na pwersa, pagkatapos ay makukuha natin. equation ng paggalaw ng sentro ng masa ng system sa pangkalahatan:

Malinaw na

Ang sentro ng masa ng system ay gumagalaw nang eksakto sa parehong paraan tulad ng isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng lahat ng mga particle ng system ay gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng vector sum ng lahat ng mga panlabas na pwersa na inilapat sa system.

Kung mayroong isang sistema ng mga materyal na punto, ang panloob na lokasyon at paggalaw na kung saan ay hindi interesado sa amin, may karapatan kaming isaalang-alang ito bilang isang materyal na punto na may mga coordinate ng radius vector ng sentro ng pagkawalang-galaw at isang masa na katumbas ng ang kabuuan ng masa ng mga materyal na punto ng system.

Kung iuugnay natin sa sentro ng masa ng isang saradong sistema ng mga materyal na punto (mga partikulo) isang sistema ng sanggunian (ito ay tinatawag na sentro ng sistema ng grabidad), kung gayon ang kabuuang momentum ng lahat ng mga particle sa naturang sistema ay magiging katumbas ng zero. Kaya, sa gitna ng mass system, ang saradong sistema ng mga particle sa kabuuan ay nasa pahinga, at mayroon lamang paggalaw ng mga particle na may kaugnayan sa sentro ng masa. Samakatuwid, ang mga katangian ng mga panloob na proseso na nagaganap sa isang saradong sistema ay malinaw na inihayag.

Sa kaso kapag ang sistema ay isang katawan na may tuluy-tuloy na pamamahagi ng masa, ang kahulugan ng sentro ng masa ay nananatiling mahalagang pareho. Pinapalibutan natin ang isang di-makatwirang punto sa ating katawan na may maliit na volume. Ang masa na nilalaman sa volume na ito ay katumbas ng , kung saan ang density ng sangkap ng katawan, na maaaring hindi pare-pareho sa dami nito. Ang kabuuan ng lahat ng naturang elementarya ay pinalitan na ngayon ng isang integral sa buong volume ng katawan, upang para sa posisyon ng sentro ng masa ng katawan ang expression ay nakuha.

Kung ang sangkap ng katawan ay homogenous, ang density nito ay pare-pareho, at maaari itong alisin mula sa ilalim ng integral sign, upang ito ay mabawasan sa numerator at denominator. Pagkatapos ang expression para sa radius vector ng sentro ng masa ng katawan ay tumatagal ng anyo

saan ang volume ng katawan.

At sa kaso ng tuluy-tuloy na pamamahagi ng masa, totoo ang pahayag na

Ang sentro ng masa ng isang matibay na katawan ay gumagalaw sa parehong paraan tulad ng isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng katawan ay gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng vector sum ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa katawan.

Halimbawa. Kung ang projectile ay sumabog sa ilang punto sa parabolic trajectory nito, ang mga fragment ay lumilipad sa iba't ibang mga trajectory, ngunit ang sentro ng masa nito ay patuloy na gumagalaw sa parabola.

Mayroong maraming iba't ibang mga istraktura at istruktura, kung titingnan kung alin, ang isang tao ay nagtataka kung paano sila nagpapanatili ng balanse. Marahil ang pinakasikat sa kanila ay ang sikat na Leaning Tower ng Pisa, na itinayo noong 1360 at pinanatili ang hindi sinasadyang dalisdis nito. Bakit pinapanatili ng Leaning Tower ng Pisa ang balanse nito? Simple lang ang sikreto. Ang patayong projection ng sentro ng masa ng tore ay nasa base nito. Ito ay totoo para sa anumang iba pang gusali. Bilang karagdagan, kung ang isang bagay ay nasuspinde mula sa isang punto na tumutugma sa sentro ng masa, kung gayon ang nasuspinde na bagay ay mananatiling balanse. Posible rin na mag-ipon ng mga istraktura ng pinaka-kakaibang hugis mula sa iba't ibang mga bagay, na magiging balanse kung ang lokasyon ng sentro ng masa ay tama na kinakalkula. Subukan nating malaman kung paano makalkula ang mga coordinate ng sentro ng masa ng iba't ibang mga flat figure.

Ipagpalagay natin na nagpasya kang gumawa ng garland ng Bagong Taon na binubuo ng iba't ibang mga hugis, kabilang ang hugis ng isang arrow. Una kailangan mong gupitin ang isang isosceles triangle mula sa makapal na papel na may pattern ng Bagong Taon. Pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng isang ginupit, din sa anyo ng isang isosceles triangle, upang ang sentro ng masa ng nagresultang figure ay nasa punto AT(tingnan ang larawan). Hanapin natin ang mga coordinate x c at yc ang sentro ng mass ng figure na ito sa isang rectangular coordinate system yOx.

Ang posisyon ng sentro ng masa ng mga flat figure ay kilala: ang sentro ng masa ng isang tatsulok ay nasa punto ng intersection ng mga median nito, ang sentro ng mass ng isang parihaba ay nasa punto ng intersection ng mga diagonal nito, ang gitna ng ang masa ng isang bilog ay tumutugma sa gitna nito. Mula sa tatsulok ACD- isosceles, kung gayon, batay sa simetrya nito na may paggalang sa isang tuwid na linya OA, kasunod niyan x c = 0.

Upang makalkula ang mga coordinate yc gamitin natin ang sumusunod na formula:

saan S ∆ACD at SΔBCD- mga lugar ng tatsulok ACD at BCD, a y c 1 at y c 2 ay ang mga coordinate ng kanilang mga sentro ng masa, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos:

Isinasaalang-alang na ang sentro ng masa ay dapat na nasa punto B, nakukuha natin:

|OB | = ½ |OA |. Iyon ang punto B- gitna ng segment |OA|.

Ayon sa iminungkahing pamamaraan, iminumungkahi namin na lutasin mo ang problema:

Kalkulahin ang mga coordinate ng sentro ng masa ng isang bilog na radius R na may cut circle radius r(tingnan ang larawan). Tukuyin kung ano ang dapat na ratio ng radii R at r upang ang sentro ng masa ng pigura ay nasa punto B. Pag-aralan ang resulta.

Pagtuturo

Dapat itong isipin na ang posisyon ng sentro ng masa ay direktang nakasalalay sa kung paano ipinamamahagi ang masa nito sa dami ng katawan. Ang sentro ng masa ay maaaring wala sa katawan mismo, ang isang halimbawa ng naturang bagay ay isang homogenous na singsing, kung saan ang sentro ng masa ay matatagpuan sa geometric center nito. I.e - . Sa mga kalkulasyon, ang sentro ng masa ay maaaring ituring bilang isang matematikal na punto kung saan ang buong masa ng katawan ay puro.

Dito R.ts.m. ay ang radius vector ng sentro ng masa, ang mi ay ang masa ng i-th point, ang ri ay ang radius-vector ng i-th point ng system. Sa pagsasagawa, sa maraming mga kaso madaling mahanap ang sentro ng masa kung ang bagay ay may isang tiyak na mahigpit na geometric na hugis. Halimbawa, para sa isang homogenous rod, ito ay eksakto sa gitna. Para sa isang paralelogram, ito ay nasa intersection ng mga diagonal, para sa isang tatsulok ito ay isang punto, at para sa isang regular na polygon, ang sentro ng masa ay nasa gitna ng rotational symmetry.

Para sa mas kumplikadong mga katawan, ang gawain sa pagkalkula ay nagiging mas kumplikado, sa kasong ito kinakailangan upang masira ang bagay sa mga homogenous na volume. Para sa bawat isa sa kanila nang hiwalay, ang mga sentro ng masa, pagkatapos kung saan ang mga nahanap na halaga ay pinapalitan sa kaukulang mga formula at ang pangwakas na halaga ay matatagpuan.

Sa pagsasagawa, ang pangangailangan upang matukoy ang sentro ng masa (sentro ng grabidad) ay karaniwang nauugnay sa gawaing disenyo. Halimbawa, kapag nagdidisenyo ng isang barko, mahalagang tiyakin ang katatagan nito. Kung ang sentro ng grabidad ay masyadong mataas, maaari itong tumaob. Paano makalkula ang kinakailangang parameter para sa isang kumplikadong bagay bilang isang barko? Upang gawin ito, ang mga sentro ng grabidad ng mga indibidwal na elemento at pagtitipon nito ay matatagpuan, pagkatapos kung saan ang mga nahanap na halaga ay idinagdag na isinasaalang-alang ang kanilang lokasyon. Kapag nagdidisenyo, kadalasang sinusubukan nilang ilagay ang sentro ng grabidad nang mas mababa hangga't maaari, kaya ang pinakamabigat na mga yunit ay matatagpuan sa pinakailalim.

Mga pinagmumulan:

• Sentro ng misa
• Paglutas ng mga problema sa pisika

Ang sentro ng masa ay ang pinakamahalagang geometriko at teknikal na katangian ng katawan. Nang walang pagkalkula ng mga coordinate nito, imposibleng isipin ang pagdidisenyo sa mechanical engineering, paglutas ng mga problema sa konstruksiyon at arkitektura. Ang eksaktong pagpapasiya ng mga coordinate ng sentro ng masa ay ginawa gamit ang integral calculus.

Pagtuturo

Dapat kang palaging magsimula mula sa, unti-unting lumipat sa mas kumplikadong mga sitwasyon. Magpatuloy mula sa katotohanan na ang sentro ng masa ng isang tuluy-tuloy na flat figure D, kung saan ang ρ ay pare-pareho at pantay na ipinamamahagi sa loob ng mga limitasyon nito, ay dapat matukoy. Ang argumentong x ay napupunta mula a hanggang b, y mula c hanggang d. Hatiin ang figure na may grid ng patayo (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) at pahalang na linya (y=y(j-1), y=xj ( j=1, 2,…,m)) sa mga elementarya na parihaba na may mga base ∆хi=xi-x(i-1) at taas ∆yj=yj-y(j-1) (tingnan ang Fig. 1). Sa kasong ito, hanapin ang gitna ng elementarya na segment ∆хi bilang ξi=(1/2), at ang taas ∆yj bilang ηj=(1/2). Dahil ang density ay ipinamamahagi nang pantay-pantay, ang sentro ng masa ng isang elementarya na parihaba ay magkakasabay sa geometric na sentro nito. Iyon ay Хцi=ξi, Yцi=ηj.

Ang mass M ng isang flat figure (kung ito ay hindi kilala), kalkulahin bilang isang produkto ng lugar. Palitan ang elementarya ng ds=∆хi∆yj=dxdy. Kinakatawan ang ∆mij bilang dM=ρdS=ρdxdy at kunin ang masa nito gamit ang formula na ipinapakita sa figure. 2a. Sa maliit na pagdaragdag, isaalang-alang na ang ∆mij ay puro sa isang materyal na punto na may mga coordinate Хцi=ξi, Yцi=ηj. Ito ay kilala mula sa mga problema na ang bawat coordinate ng sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay katumbas ng isang fraction, ang numerator kung saan ay ang kabuuan ng static na mga sandali ng masa mν na nauugnay sa kaukulang axis, at katumbas ng kabuuan ng mga masa na ito. Ang static na sandali ng mass mν, na nauugnay sa 0x axis ay yν*mν, at nauugnay sa 0y xν*mν.

Ilapat ito sa sitwasyong isinasaalang-alang at kunin ang tinatayang halaga ng mga static na sandali na Jx at Jy sa anyo Ang mga kabuuan na kasama sa huling expression ay integral. Pumunta sa mga limitasyon mula sa kanila sa ∆хν→0 ∆yν→0 at isulat ang mga huling (tingnan ang Fig. 2b). Hanapin ang mga coordinate ng sentro ng masa sa pamamagitan ng paghahati ng kaukulang statistical moment sa kabuuang masa ng figure M.

Ang pamamaraan para sa pagkuha ng mga coordinate ng sentro ng masa ng spatial figure na G ay naiiba lamang sa mga triple integral na lumitaw, at ang mga static na sandali ay itinuturing na nauugnay sa mga coordinate na eroplano. Hindi natin dapat kalimutan na ang density ay hindi palaging pare-pareho, iyon ay, ρ(x,y,z)≠const. Samakatuwid, ang pangwakas at pinaka-pangkalahatan ay may anyo (tingnan ang Fig. 3).

Mga pinagmumulan:

• Piskunov N.S. Differential at integral calculus. T.2., M.: 1976, 576 p., may sakit.

Ang batas ng unibersal na grabitasyon, na natuklasan ni Newton noong 1666 at inilathala noong 1687, ay nagsasaad na ang lahat ng mga katawan na may masa ay umaakit sa isa't isa. Ang pormulasyon ng matematika ay nagbibigay-daan hindi lamang upang maitaguyod ang mismong katotohanan ng magkaparehong atraksyon ng mga katawan, kundi pati na rin upang masukat ang lakas nito.

Pagtuturo

Bago pa man si Newton, marami ang nag-isip tungkol sa pagkakaroon ng unibersal na grabitasyon. Sa simula pa lang ay halata na sa kanila na ang atraksyon sa pagitan ng alinmang dalawang katawan ay dapat depende sa kanilang masa at humina sa distansya. Si Johannes Kepler, na unang inilarawan ang mga elliptical orbit ng solar system, ay naniniwala na ang araw ay umaakit sa isang puwersa na inversely proportional sa distansya.

Sa wakas, ang batas ng unibersal na grabitasyon ay nabuo tulad ng sumusunod: anumang dalawang katawan na may masa ay magkaugnay, at ang puwersa ng kanilang pagkahumaling ay katumbas ng

F = G* ((m1*m2)/R^2),

kung saan m1 at m2 - masa ng mga katawan, R - distansya, G - gravitational pare-pareho.

Kung ang katawan na nakikilahok sa gravity ay may humigit-kumulang na spherical na hugis, kung gayon ang distansya ng R ay dapat masukat hindi mula sa ibabaw nito, ngunit mula sa gitna ng masa. Ang isang materyal na punto na may parehong masa, na matatagpuan nang eksakto sa gitna, ay bubuo ng eksaktong parehong kaakit-akit na puwersa.

Sa partikular, nangangahulugan ito na, halimbawa, kapag kinakalkula ang puwersa kung saan umaakit ang Earth sa isang taong nakatayo dito, ang distansya ng R ay hindi katumbas ng zero, ngunit sa radius. Sa katunayan, ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng sentro ng Earth at ng sentro ng grabidad ng isang tao, ngunit ang pagkakaibang ito ay maaaring mapabayaan nang walang pagkawala ng katumpakan.

Ang gravity attraction ay palaging magkapareho: hindi lamang ang Earth ay umaakit sa isang tao, ngunit, sa turn, umaakit sa Earth. Dahil sa malaking pagkakaiba sa pagitan ng masa ng isang tao sa planeta, ito ay hindi mahahalata. Katulad nito, kapag kinakalkula ang mga trajectory ng mga sasakyan sa kalawakan, ang katotohanan na ang spacecraft ay umaakit ng mga planeta at kometa sa sarili nito ay kadalasang napapabayaan.

Gayunpaman, kung ang masa ng mga bagay na nakikipag-ugnayan ay maihahambing, kung gayon ang kanilang kapwa pagkahumaling ay magiging kapansin-pansin sa lahat ng mga kalahok. Halimbawa, mula sa punto ng view ng pisika ay hindi masyadong tama na sabihin na ang Buwan ay umiikot sa Earth. Sa katotohanan, ang Buwan at Lupa ay umiikot sa isang karaniwang sentro ng masa. Dahil ang ating planeta ay mas malaki kaysa sa natural nito, ang sentrong ito ay matatagpuan sa loob nito, ngunit hindi pa rin tumutugma sa mismong sentro ng Earth.

Mga kaugnay na video

Mga pinagmumulan:

• Cool physics para sa mausisa - ang batas ng unibersal na grabitasyon

Ang matematika at pisika ay marahil ang pinakakahanga-hangang agham na magagamit ng tao. Inilalarawan ang mundo sa mga tuntunin ng medyo tiyak at makalkulang mga batas, ang mga siyentipiko ay maaaring "sa dulo ng isang panulat" makakuha ng mga halaga na, sa unang tingin, ay tila imposibleng sukatin.

Pagtuturo

Ang isa sa mga pangunahing batas ng pisika ay ang batas ng grabidad. Sinasabi nito na ang lahat ng mga katawan ay naaakit sa isa't isa na may puwersa na katumbas ng F=G*m1*m2/r^2. Sa kasong ito, ang G ay isang tiyak na pare-pareho (ito ay direktang ipahiwatig sa panahon ng pagkalkula), ang m1 at m2 ay ang mga masa ng mga katawan, at ang r ay ang distansya sa pagitan nila.

misa Maaaring kalkulahin ang mga lupain batay sa eksperimento. Gamit ang isang pendulum at isang stopwatch, maaari mong kalkulahin ang free fall acceleration g (ang hakbang ay aalisin bilang hindi nauugnay), katumbas ng 10 m / s ^ 2. Ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang F ay maaaring katawanin bilang m*a. Samakatuwid, para sa isang katawan na naaakit sa Earth: m2*a2=G*m1*m2/r^2, kung saan ang m2 ay ang masa ng katawan, ang m1 ay ang masa ng Earth, a2=g. Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagbawas ng m2 sa parehong bahagi, paglipat ng m1 sa kaliwa, at a2 sa kanan), ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo: m1=(ar)^2/G. Ang pagpapalit ng halaga ay nagbibigay ng m1=6*10^27

Ang pagkalkula ng masa ng Buwan ay batay sa panuntunan: mula sa mga katawan hanggang sa sentro ng masa ng sistema ay inversely proporsyonal sa masa ng mga katawan. Ito ay kilala na ang Earth at ang Buwan ay umiikot sa isang tiyak na punto (Cm), at ang mga distansya mula sa mga sentro hanggang sa puntong ito ay 1/81.3. Samakatuwid, Ml \u003d Mz / 81.3 \u003d 7.35 * 10 ^ 25.

Ang mga karagdagang kalkulasyon ay batay sa ika-3 batas ng Keppler, ayon sa kung saan (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, kung saan ang T ay ang panahon ng rebolusyon ng isang celestial katawan sa paligid araw, L ay ang distansya sa huli, M1, M2 at Mc ay ang mga masa ng dalawang celestial body at , ayon sa pagkakabanggit. Pag-compile ng mga equation para sa dalawang system (+ moon - / earth - moon), makikita mo na ang isang bahagi ng equation ay naging karaniwan, na nangangahulugan na ang pangalawa ay maaaring itumbas.

Ang formula ng pagkalkula sa pinaka-pangkalahatang anyo ay Lz^3/(Tz^2*(Mc+Mz)=Ll^3/(Tl^2*(Mz+Ml). calculus o praktikal na paraan ay ginagamit upang kalkulahin ang L. Pagkatapos pinapasimple at pinapalitan ang mga kinakailangang halaga, ang equation ay kukuha ng anyo: Ms / Ms + Ml \u003d 329.390. Kaya, Ms \u003d 3.3 * 10^33.

Ang kinetic energy ay ang enerhiya ng isang mekanikal na sistema, na nakasalalay sa bilis ng paggalaw ng bawat punto nito. Sa madaling salita, ang kinetic energy ay ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuang enerhiya at ang natitirang enerhiya ng system na isinasaalang-alang, na bahagi ng kabuuang enerhiya ng system na dahil sa paggalaw. Ang kinetic energy ay nahahati sa enerhiya translational at rotational motion. Ang SI unit para sa kinetic energy ay ang Joule.

Pagtuturo

Sa kaso ng translational motion, ang lahat ng mga punto ng system (katawan) ay may parehong bilis ng paggalaw, na katumbas ng bilis ng paggalaw ng sentro ng masa ng katawan. Sa kasong ito, ang kinetic system na Tpost ay katumbas ng:
Tpost = ? (mk Vс2)/2,
kung saan ang mk ay ang masa ng katawan, ang Vс ay ang sentro ng masa. Kaya, sa isang translational body, ang kinetic energy ay katumbas ng produkto ng masa ng katawan at ang parisukat ng bilis ng sentro ng masa, na hinati ng dalawa. Sa kasong ito, ang halaga ng kinetic ay hindi nakasalalay sa paggalaw.

Sa pagsasanay sa engineering, nangyayari na kinakailangan upang kalkulahin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang kumplikadong flat figure na binubuo ng mga simpleng elemento kung saan ang lokasyon ng sentro ng grabidad ay kilala. Ang gawaing ito ay bahagi ng gawain ng pagtukoy...

Mga geometric na katangian ng pinagsama-samang mga cross section ng mga beam at rod. Kadalasan ang mga naturang katanungan ay nahaharap sa mga inhinyero ng disenyo ng pagsuntok ay namatay kapag tinutukoy ang mga coordinate ng sentro ng presyon, mga nag-develop ng mga scheme ng pag-load para sa iba't ibang mga sasakyan kapag naglalagay ng mga load, mga taga-disenyo ng pagbuo ng mga istrukturang metal kapag pumipili ng mga seksyon ng mga elemento at, siyempre, mga mag-aaral kapag nag-aaral. ang mga disiplina na "Theoretical Mechanics" at "Strength of Materials".

Library ng mga elementary figure.

Para sa simetriko na mga figure ng eroplano, ang sentro ng grabidad ay tumutugma sa sentro ng mahusay na proporsyon. Ang simetriko na pangkat ng mga elementarya na bagay ay kinabibilangan ng: isang bilog, isang parihaba (kabilang ang isang parisukat), isang paralelogram (kabilang ang isang rhombus), isang regular na polygon.

Sa sampung figure na ipinapakita sa figure sa itaas, dalawa lang ang basic. Iyon ay, gamit ang mga tatsulok at sektor ng mga bilog, maaari mong pagsamahin ang halos anumang pigura ng praktikal na interes. Ang anumang mga arbitrary na kurba ay maaaring hatiin sa mga seksyon at palitan ng mga arko ng mga bilog.

Ang natitirang walong numero ay ang pinakakaraniwan, kaya naman sila ay isinama sa ganitong uri ng aklatan. Sa aming pag-uuri, ang mga elementong ito ay hindi basic. Ang isang parihaba, isang paralelogram at isang trapezoid ay maaaring binubuo ng dalawang tatsulok. Ang hexagon ay ang kabuuan ng apat na tatsulok. Ang segment ng bilog ay ang pagkakaiba sa pagitan ng sektor ng bilog at ng tatsulok. Ang annular sector ng bilog ay ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang sektor. Ang bilog ay isang sektor ng bilog na may anggulo α=2*π=360˚. Ang kalahating bilog ay, ayon sa pagkakabanggit, isang sektor ng isang bilog na may anggulo α=π=180˚.

Pagkalkula sa Excel ng mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang tambalang pigura.

Palaging mas madaling magpadala at makakita ng impormasyon sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng isang halimbawa kaysa pag-aralan ang isyu sa mga teoretikal na kalkulasyon. Isaalang-alang ang solusyon sa problemang "Paano mahahanap ang sentro ng grabidad?" sa halimbawa ng isang tambalang pigura na ipinapakita sa pigura sa ibaba ng tekstong ito.

Ang compound section ay isang parihaba (na may mga sukat a1 =80 mm, b1 \u003d 40 mm), kung saan idinagdag ang isang isosceles triangle sa kaliwang itaas (na may sukat ng base a2 =24 mm at taas h2 \u003d 42 mm) at mula sa kung saan pinutol ang isang kalahating bilog mula sa kanang tuktok (nakasentro sa punto na may mga coordinate x03 =50 mm at y03 =40 mm, radius r3 =26 mm).

Upang matulungan kang magsagawa ng pagkalkula, isasama namin ang programa MS Excel o programa Oo Calc . Anuman sa kanila ay madaling makayanan ang aming gawain!

Sa mga cell na may dilaw ang pagpuno ay magagawa pantulong na paunang mga kalkulasyon .

Sa mga cell na may mapusyaw na dilaw na punan, binibilang namin ang mga resulta.

Asul ang font ay paunang datos .

Itim ang font ay nasa pagitan mga resulta ng pagkalkula .

Pula ang font ay pangwakas mga resulta ng pagkalkula .

Sinimulan naming lutasin ang problema - nagsisimula kaming maghanap para sa mga coordinate ng sentro ng grabidad ng seksyon.

Paunang data:

1. Ang mga pangalan ng elementarya na mga figure na bumubuo sa composite section ay ilalagay nang naaayon

sa cell D3: Parihaba

sa cell E3: Tatsulok

sa cell F3: kalahating bilog

2. Gamit ang "Library of elementary figures" na ipinakita sa artikulong ito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga sentro ng gravity ng mga elemento ng composite section xci at yci sa mm na may kaugnayan sa arbitraryong piniling mga palakol 0x at 0y at isulat

sa cell D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

sa cell D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

sa cell E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

sa cell E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

sa cell F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

sa cell F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Kalkulahin ang lugar ng mga elemento F 1 , F 2 , F3 sa mm2, gamit muli ang mga formula mula sa seksyong "Library of elementary figures"

sa cell D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

sa cell E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

sa cell F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Ang lugar ng ikatlong elemento - ang kalahating bilog - ay negatibo dahil ang cutout na ito ay isang walang laman na espasyo!

Pagkalkula ng mga coordinate ng sentro ng grabidad:

4. Tukuyin ang kabuuang lugar ng panghuling figure F0 sa mm2

sa pinagsamang cell D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Kalkulahin ang mga static na sandali ng composite figure Sx at Sy sa mm3 na nauugnay sa mga napiling axes 0x at 0y

sa pinagsamang cell D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

sa pinagsamang cell D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. At sa wakas, kinakalkula namin ang mga coordinate ng center of gravity ng composite section Xc at Yc sa mm sa napiling coordinate system 0x - 0y

sa pinagsamang cell D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

sa pinagsamang cell D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Ang gawain ay nalutas, ang pagkalkula sa Excel ay nakumpleto - ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng seksyon, na pinagsama-sama gamit ang tatlong simpleng elemento, ay natagpuan!

Konklusyon.

Ang halimbawa sa artikulo ay pinili upang maging napaka-simple upang gawing mas madaling maunawaan ang pamamaraan para sa pagkalkula ng sentro ng grabidad ng isang kumplikadong seksyon. Ang pamamaraan ay nakasalalay sa katotohanan na ang anumang kumplikadong pigura ay dapat na hatiin sa mga simpleng elemento na may mga kilalang lokasyon ng mga sentro ng grabidad at ang mga huling kalkulasyon ay dapat gawin para sa buong seksyon.

Kung ang seksyon ay binubuo ng mga pinagsamang profile - mga sulok at mga channel, hindi na kailangang hatiin ang mga ito sa mga parihaba at mga parisukat na may gupit na pabilog na "π / 2" - mga sektor. Ang mga coordinate ng mga sentro ng grabidad ng mga profile na ito ay ibinibigay sa mga talahanayan ng GOST, iyon ay, ang parehong sulok at ang channel ay magiging mga pangunahing elemento ng elementarya sa iyong mga kalkulasyon ng mga composite na seksyon (walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa mga I-beam, mga tubo , mga bar at hexagons - ito ay mga sentral na simetriko na seksyon).

Ang lokasyon ng coordinate axes sa posisyon ng sentro ng grabidad ng pigura, siyempre, ay hindi nakakaapekto! Samakatuwid, pumili ng coordinate system na nagpapasimple sa iyong mga kalkulasyon. Kung, halimbawa, pinaikot ko ang coordinate system 45˚ clockwise sa aming halimbawa, pagkatapos ay ang pagkalkula ng mga coordinate ng mga sentro ng grabidad ng isang parihaba, tatsulok, at kalahating bilog ay magiging isa pang hiwalay at masalimuot na hakbang sa pagkalkula na hindi mo magagawa " sa iyong ulo”.

Ang file ng pagkalkula ng Excel na ipinakita sa ibaba ay hindi isang programa sa kasong ito. Sa halip, ito ay isang sketch ng isang calculator, isang algorithm, isang template na sumusunod sa bawat kaso. lumikha ng sarili mong sequence ng mga formula para sa mga cell na may maliwanag na dilaw na fill.

Kaya, ngayon alam mo na kung paano hanapin ang sentro ng grabidad ng anumang seksyon! Ang kumpletong kalkulasyon ng lahat ng geometric na katangian ng arbitrary na kumplikadong composite na mga seksyon ay isasaalang-alang sa isa sa mga susunod na artikulo sa "" heading. Sundan ang balita sa blog.

Para sa tumatanggap impormasyon tungkol sa pagpapalabas ng mga bagong artikulo at para sa pag-download ng mga gumaganang file ng program Hinihiling ko sa iyo na mag-subscribe sa mga anunsyo sa window na matatagpuan sa dulo ng artikulo o sa window sa tuktok ng pahina.

Matapos ipasok ang iyong email address at i-click ang pindutang "Tumanggap ng mga anunsyo ng artikulo". HUWAG KALIMUTAN KUMPIRMAHIN ANG SUBSCRIPTION sa pamamagitan ng pag-click sa link sa isang liham na agad na darating sa iyo sa tinukoy na mail (minsan - sa folder « Spam » )!

Ang ilang mga salita tungkol sa isang baso, isang barya at dalawang tinidor, na inilalarawan sa "ilustrasyon ng icon" sa pinakadulo simula ng artikulo. Marami sa inyo ang tiyak na pamilyar sa "panlilinlang" na ito na pumukaw ng mga hinahangaang tingin mula sa mga bata at hindi pa nakakatanda. Ang paksa ng artikulong ito ay ang sentro ng grabidad. Siya at ang fulcrum, naglalaro sa ating kamalayan at karanasan, niloloko lang ang ating isipan!

Ang center of gravity ng "forks + coin" system ay palaging matatagpuan sa nakapirming distansya patayo pababa mula sa gilid ng barya, na siya namang fulcrum. Ito ay isang posisyon ng matatag na ekwilibriyo! Kung kalugin mo ang mga tinidor, agad na nagiging halata na ang sistema ay nagsusumikap na kunin ang dating matatag na posisyon nito! Isipin ang isang pendulum - ang anchor point (= ang punto ng suporta ng barya sa gilid ng salamin), ang rod-axis ng pendulum (= sa aming kaso, ang axis ay virtual, dahil ang masa ng dalawang tinidor ay pinaghihiwalay sa iba't ibang direksyon ng espasyo) at ang bigat sa ilalim ng axis (= ang sentro ng grabidad ng buong sistema ng "tinidor" + coin"). Kung sinimulan mong ilihis ang pendulum mula sa patayo sa anumang direksyon (pasulong, paatras, kaliwa, kanan), pagkatapos ay hindi maiiwasang babalik ito sa orihinal na posisyon nito sa ilalim ng impluwensya ng grabidad. matatag na estado ng ekwilibriyo(Gayundin ang nangyayari sa ating mga tinidor at barya)!

Sino ang hindi naiintindihan, ngunit nais na maunawaan - alamin ito sa iyong sarili. Napaka-interesante na "maabot" ang iyong sarili! Idaragdag ko na ang parehong prinsipyo ng paggamit ng isang matatag na balanse ay ipinatupad din sa laruang Roly-Get Up. Tanging ang sentro ng grabidad ng laruang ito ay matatagpuan sa itaas ng fulcrum, ngunit sa ibaba ng gitna ng hemisphere ng sumusuportang ibabaw.

Ang iyong mga komento ay palaging malugod na tinatanggap, mahal na mga mambabasa!

magtanong, PAGGALANG gawa ng may-akda, i-download ang file PAGKATAPOS MAGSUBSCRIPTION para sa mga anunsyo ng artikulo.