Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang solusyon ng mga hindi kumpletong quadratic equation.
Ngunit una, ulitin natin kung anong mga equation ang tinatawag na quadratic. Ang isang equation ng form na ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan ang x ay isang variable, at ang mga coefficients a, b at c ay ilang mga numero, at isang ≠ 0, ay tinatawag parisukat. Tulad ng nakikita natin, ang koepisyent sa x 2 ay hindi katumbas ng zero, at samakatuwid ang mga coefficient sa x o ang libreng termino ay maaaring katumbas ng zero, sa kasong ito makakakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation.
May tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:
1) Kung b \u003d 0, c ≠ 0, pagkatapos ay ax 2 + c \u003d 0;
2) Kung b ≠ 0, c \u003d 0, pagkatapos ay ax 2 + bx \u003d 0;
3) Kung b \u003d 0, c \u003d 0, pagkatapos ay ax 2 \u003d 0.
- Tingnan natin kung paano nila nalutas mga equation ng anyong ax 2 + c = 0.
Upang malutas ang equation, inilipat namin ang libreng termino mula sa kanang bahagi ng equation, nakukuha namin
ax 2 = ‒s. Dahil ang isang ≠ 0, pagkatapos ay hatiin namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng a, pagkatapos x 2 \u003d -c / a.
Kung ‒с/а > 0, ang equation ay may dalawang ugat
x = ±√(–c/a) .
Kung ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Subukan nating unawain gamit ang mga halimbawa kung paano lutasin ang mga naturang equation.
Halimbawa 1. Lutasin ang equation na 2x 2 - 32 = 0.
Sagot: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.
Halimbawa 2. Lutasin ang equation na 2x 2 + 8 = 0.
Sagot: Ang equation ay walang mga solusyon.
- Tingnan natin kung paano nila nalutas mga equation ng anyong ax 2 + bx = 0.
Upang malutas ang equation na ax 2 + bx \u003d 0, nabubulok namin ito sa mga kadahilanan, iyon ay, kinukuha namin ang x sa mga bracket, nakukuha namin ang x (ax + b) \u003d 0. Ang produkto ay zero kung hindi bababa sa isa sa mga ang mga kadahilanan ay zero. Pagkatapos ay alinman sa х = 0 o ах + b = 0. Ang paglutas ng equation na ах + b = 0, makuha namin ang ах = – b, kung saan х = – b/a. Ang isang equation ng form na ax 2 + bx \u003d 0 ay palaging may dalawang ugat x 1 \u003d 0 at x 2 \u003d - b / a. Tingnan kung ano ang hitsura ng solusyon ng mga equation ng ganitong uri sa diagram. 
Pagsamahin natin ang ating kaalaman sa isang partikular na halimbawa.
Halimbawa 3. Lutasin ang equation na 3x 2 - 12x = 0.
x(3x - 12) = 0
x \u003d 0 o 3x - 12 \u003d 0
Sagot: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Mga equation ng ikatlong uri ax 2 = 0 nalutas nang napakasimple.
Kung ax 2 \u003d 0, pagkatapos ay x 2 \u003d 0. Ang equation ay may dalawang pantay na ugat x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.
Para sa kalinawan, isaalang-alang ang diagram. 
Kapag nilulutas ang Halimbawa 4, sisiguraduhin namin na ang mga equation ng ganitong uri ay malulutas nang napakasimple.
Halimbawa 4 Lutasin ang equation na 7x 2 = 0.
Sagot: x 1, 2 = 0.
Hindi laging malinaw kung anong uri ng hindi kumpletong quadratic equation ang kailangan nating lutasin. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 5 lutasin ang equation
I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng isang common denominator, iyon ay, sa pamamagitan ng 30
Mag cut tayo
5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.
Buksan natin ang mga bracket
25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.
Narito ang mga katulad
Ilipat natin ang 99 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, palitan ang sign sa kabaligtaran
Sagot: walang ugat.
Nasuri namin kung paano nalulutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation. Sana ngayon ay hindi ka na mahihirapan sa mga ganitong gawain. Mag-ingat kapag tinutukoy ang uri ng isang hindi kumpletong quadratic equation, pagkatapos ay magtatagumpay ka.
Kung mayroon kang anumang mga katanungan sa paksang ito, mag-sign up para sa aking mga aralin, sabay nating malulutas ang mga problema.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.
Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).
Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:
Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.
Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Magpasya
Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation
Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.
Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ay ilang numero, at \(a \neq 0 \).
Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.
Sa bawat isa sa mga equation ng form na ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.
Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.
Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.
Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.
Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.
Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong parisukat na equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.
Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.
Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation
Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficient ng mga hindi alam at ang libreng termino ay nonzero.
Nilulutas namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.
Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0
Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)
Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)
Ito ay malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nag-solve ng quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.
Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.
Yung. Ang theorem ni Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Sa modernong lipunan, ang kakayahang gumana sa mga equation na naglalaman ng isang squared variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga missile. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng iba't ibang mga katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan, ay natutukoy. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga parisukat na equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na mga pangyayari. Maaaring kailanganin ang mga ito sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapang pampalakasan, sa mga tindahan kapag namimili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.
Hatiin natin ang expression sa mga component factor
Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na halaga ng antas ng variable na nilalaman ng ibinigay na expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic equation.
Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ekspresyong ito, gaano man ang hitsura nila, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ng expression ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na squared kasama ang coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang square na may coefficient nito) at c (libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay walang isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, kung saan ang halaga ng mga variable ay hindi mahirap hanapin, ay dapat isaalang-alang muna.
Kung ang expression ay mukhang may dalawang termino sa kanang bahagi ng expression, mas tiyak na ax 2 at bx, ito ay pinakamadaling mahanap ang x sa pamamagitan ng bracketing ng variable. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Dagdag pa, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Sinasabi ng panuntunan na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.
Halimbawa
x=0 o 8x - 3 = 0
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.
Maaaring ilarawan ng mga equation ng ganitong uri ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto, na kinuha bilang pinagmulan. Narito ang mathematical notation ay kumukuha ng sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, pag-equate sa kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, malalaman mo ang oras na lumipas mula sa sandaling tumaas ang katawan hanggang sa sandaling bumagsak ito, pati na rin ang maraming iba pang dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.
Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon
Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ng ganitong uri.
X2 - 33x + 200 = 0
Kumpleto na ang square trinomial na ito. Una, binabago namin ang expression at nabubulok ito sa mga kadahilanan. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.
Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng ikatlo at ikaapat na order.
Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).
Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -isa; 3.
I-extract ang square root
Ang isa pang kaso ng isang hindi kumpletong equation ng pangalawang order ay isang expression na nakasulat sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahagi ng ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inililipat sa kanang bahagi, at pagkatapos nito, ang square root ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito ay karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay ang mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng terminong c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumabas na negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.
Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.
Pagkalkula ng lugar ng lupa
Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw noong sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga malalayong panahon ay higit sa lahat dahil sa pangangailangan na matukoy ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa na may pinakamalaking katumpakan.
Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation na pinagsama-sama sa batayan ng mga problema ng ganitong uri.
Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na piraso ng lupa, ang haba nito ay 16 metro na higit sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site, kung alam na ang lugar nito ay 612 m 2.
Pagbaba sa negosyo, sa una ay gagawin natin ang kinakailangang equation. Tukuyin natin ang lapad ng seksyon bilang x, kung gayon ang haba nito ay magiging (x + 16). Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang nakasulat na ang lugar ay tinutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.
Ang solusyon ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay ganoon lang, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Kahit na ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang produkto ng mga ito ay hindi 0 sa lahat, kaya iba pang mga pamamaraan ang ginagamit dito.
diskriminasyon
Una sa lahat, gagawin namin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon ang hitsura ng expression na ito ay magiging ganito: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng isang expression sa form na naaayon sa naunang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c= -612.
Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa scheme: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary value na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga nais na halaga sa second-order equation, tinutukoy nito ang bilang ng mga posibleng opsyon. Kung sakaling D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula
Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.
Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang opsyon sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang laki ng land plot ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, na nangangahulugang ang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m. Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18+16=34, at ang perimeter 2(34+ 18) = 104 (m 2).
Mga halimbawa at gawain
Ipinagpapatuloy namin ang pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng isang pagbabagong-anyo, iyon ay, makuha natin ang anyo ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at i-equate ito sa zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Ang pagkakaroon ng pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula namin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawang 1.
2) Ngayon ay magbubunyag tayo ng mga bugtong ng ibang uri.
Alamin natin kung may mga ugat x 2 - 4x + 5 = 1 dito sa lahat? Upang makakuha ng kumpletong sagot, dinadala namin ang polynomial sa kaukulang pamilyar na anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawang ito, hindi kinakailangan upang malutas ang quadratic equation, dahil ang kakanyahan ng problema ay wala sa lahat dito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang theorem ni Vieta. Ipinangalan ito sa isang lalaking nanirahan sa ika-16 na siglo ng France at nagkaroon ng napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.
Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.
Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.
3x2 + 21x - 54 = 0
Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:
x 2 + 7x - 18 = 0
Gamit ang Vieta theorem, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Sa paggawa ng tseke, titiyakin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang magkasya sa expression.
Graph at Equation ng isang Parabola
Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na dati. Ngayon tingnan natin ang ilang mathematical puzzle nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawan na uri ay maaaring maipakita nang biswal. Ang gayong pag-asa, na iginuhit sa anyo ng isang graph, ay tinatawag na isang parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung a>0, mataas ang mga ito hanggang sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Ang mga visual na representasyon ng mga function ay nakakatulong upang malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphic. At ang halaga ng x variable ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na ibinigay lamang x 0 = -b / 2a. At, pinapalitan ang nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng parabola vertex na kabilang sa y-axis.
Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may abscissa axis
Mayroong maraming mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang y 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Mula sa graph ng isang parabola, maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Totoo rin ang kabaligtaran. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng visual na representasyon ng isang quadratic function, maaari mong itumbas ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling mag-plot.
Mula sa kasaysayan
Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw, hindi lamang ang mga kalkulasyon ng matematika at tinukoy ang lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa magagandang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.
Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang pagdating ng ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, ang mga matematikong Mesopotamia ay walang ideya tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties ng mga kilala ng sinumang mag-aaral sa ating panahon.
Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, kinuha ng pantas mula sa India, Baudhayama, ang solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Kristo. Totoo, ang mga pangalawang-order na equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang gawain ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.
paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. - 2016. - Hindi. 6.1. - S. 17-20..02.2019).
Ang aming proyekto ay nakatuon sa mga paraan ng paglutas ng mga quadratic equation. Ang layunin ng proyekto: upang matutunan kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraan na hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat ng posibleng paraan upang malutas ang mga quadratic equation at matutunan kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at ipakilala ang mga kaklase sa mga pamamaraang ito.
Ano ang "quadratic equation"?
Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.
Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.
- a ay tinatawag na unang koepisyent;
- b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
- c - libreng miyembro.
At sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?
Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala noon pang 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang nahanap na sinaunang Babylonian clay tablets, na may petsa sa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay ang pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga uri ng quadratic equation.
Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang degree sa sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at earthworks ng isang militar na kalikasan, pati na rin ang pag-unlad ng astronomy at matematika mismo.
Ang tuntunin para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga tekstong Babylonian, ay talagang kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na nakasaad sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo B.C. ginamit ang square complement method upang malutas ang mga equation na may mga positibong ugat. Mga 300 B.C. Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa isang equation na may mga negatibong ugat sa anyo ng isang algebraic formula ay isang Indian scientist. Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).
Binalangkas ni Brahmagupta ang isang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:
ax2 + bx = c, a>0
Sa equation na ito, ang mga coefficient ay maaaring negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay esensyal na tumutugma sa atin.
Sa India, karaniwan ang mga pampublikong kompetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema. Sa isa sa mga lumang aklat ng India, ang mga sumusunod ay sinabi tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian sa mga pampublikong pagpupulong, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga gawain ay kadalasang binibihisan sa anyong patula.
Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang klasipikasyon ng mga linear at quadratic na equation ang ibinigay. Ang may-akda ay naglista ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:
1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 = bx.
2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 = c.
3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang", ibig sabihin, ax2 = c.
4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 + c = bx.
5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 + bx = c.
6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat", ibig sabihin, bx + c == ax2.
Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi banggitin ang katotohanan na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, ang Al-Khwarizmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero. solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na gawain, hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang mga kumpletong quadratic equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.
Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europe ay unang inilarawan sa "Book of the Abacus", na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.
Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansang Europeo. Maraming mga gawain mula sa aklat na ito ang inilipat sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form x2 + bx = c kasama ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga sign at coefficient b, c, ay nabuo sa Europe noong 1544. M. Stiefel.
Ang Vieta ay may pangkalahatang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation, ngunit ang Vieta ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Italyano mathematician Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Lamang sa siglo XVII. salamat sa trabaho Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay nasa modernong anyo.
Isaalang-alang ang ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation.
Mga karaniwang paraan upang malutas ang mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:
- Factorization ng kaliwang bahagi ng equation.
- Buong parisukat na paraan ng pagpili.
- Solusyon ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng formula.
- Graphical na solusyon ng isang quadratic equation.
- Solusyon ng mga equation gamit ang Vieta's theorem.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang solusyon ng pinababa at hindi pinababang mga quadratic na equation gamit ang Vieta theorem.
Alalahanin na upang malutas ang ibinigay na mga quadratic equation, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto nito ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.
Halimbawa.x 2 -5x+6=0
Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.
Sagot: x 1 =2, x 2 =3.
Ngunit maaari mong gamitin ang paraang ito para sa mga equation na may unang koepisyent na hindi katumbas ng isa.
Halimbawa.3x 2 +2x-5=0
Kinukuha namin ang unang coefficient at i-multiply ito sa libreng term: x 2 +2x-15=0
Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay - 15, at ang kabuuan ay - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hinahati namin ang nakuha na mga ugat sa unang koepisyent.
Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng "transfer".
Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.
Ang pagpaparami ng parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation na y 2 + by + ac = 0, na katumbas ng ibinigay. Nahanap natin ang mga ugat nito sa 1 at sa 2 gamit ang Vieta theorem.
Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.
Sa pamamaraang ito, ang koepisyent a ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, samakatuwid ito ay tinatawag na "paglipat" na paraan. Ang paraang ito ay ginagamit kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang Vieta's theorem at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.
Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.
"Ilipat" natin ang koepisyent 2 sa libreng termino at gawin ang kapalit na makuha natin ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.
Ayon sa inverse theorem ni Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.
7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.
Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.
1. Kung a + b + c \u003d 0 (i.e., ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon x 1 \u003d 1.
2. Kung a - b + c \u003d 0, o b \u003d a + c, pagkatapos ay x 1 \u003d - 1.
Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Dahil a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.
Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0
kasi a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132
Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.
8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.
Fig 1. Nomogram
Ito ay isang luma at kasalukuyang nakalimutang paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p. 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
Talahanayan XXII. Nomogram para sa Paglutas ng Equation z2 + pz + q = 0. Binibigyang-daan ng nomogram na ito, nang hindi nilulutas ang quadratic equation, na matukoy ang mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito.
Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):
Ipagpalagay OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN at CDF nakukuha natin ang proporsyon
kung saan, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapagaan, ang equation ay sumusunod z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang label ng anumang punto sa curved scale.
kanin. 2 Paglutas ng isang quadratic equation gamit ang isang nomogram
Mga halimbawa.
1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat na z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0
Sagot: 8.0; 1.0.
2) Lutasin ang equation gamit ang nomogram
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.
Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.
Sagot: 4; 0.5.
9. Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Halimbawa.X 2 + 10x = 39.
Sa orihinal, ang problemang ito ay nabuo tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."
Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid, ang lugar ng beach ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay pupunan sa isang bagong parisukat ABCD, pagkumpleto ng apat na pantay na mga parisukat sa mga sulok, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25
kanin. 3 Graphical na paraan upang malutas ang equation x 2 + 10x = 39
Ang lugar S ng parisukat ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4∙2.5x = 10x) at apat na nakalakip na parisukat (6.25∙4 = 25), i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numero 39, nakuha namin na S \u003d 39 + 25 \u003d 64, na nagpapahiwatig na ang gilid ng parisukat ABCD, i.e. segment AB \u003d 8. Para sa nais na bahagi x ng orihinal na parisukat, nakukuha namin
10. Solusyon ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.
Ang teorama ni Bezout. Ang natitira pagkatapos hatiin ang polynomial P(x) sa binomial x - α ay katumbas ng P(α) (iyon ay, ang halaga ng P(x) sa x = α).
Kung ang bilang na α ay ang ugat ng polynomial P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α nang walang natitira.
Halimbawa.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.
Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at makatwiran na lutasin ang mga quadratic equation ay kailangan lamang para sa paglutas ng mas kumplikadong mga equation, halimbawa, fractional rational equation, equation ng mas mataas na kapangyarihan, biquadratic equation, at sa high school na trigonometric, exponential at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aralan ang lahat ng mga pamamaraan na natagpuan para sa paglutas ng mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang mga kaklase, bilang karagdagan sa mga karaniwang pamamaraan, upang malutas sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng pag-aari ng mga coefficient (7), dahil mas madaling ma-access ang mga ito para sa pag-unawa. .
Panitikan:
- Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
- Algebra grade 8: textbook para sa grade 8. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Enlightenment, 2015
- https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Isang gabay para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Enlightenment, 1964.
Basta. Ayon sa mga formula at malinaw na simpleng panuntunan. Sa unang yugto
kinakailangang dalhin ang ibinigay na equation sa karaniwang anyo, i.e. sa view:
Kung ang equation ay naibigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo na kailangang gawin ang unang yugto. Ang pinakamahalagang bagay ay tama
tukuyin ang lahat ng mga coefficient a, b at c.
Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon . Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, kami
gamitin lamang a, b at c. Yung. mga posibilidad mula sa quadratic equation. Maingat lang ipasok
mga halaga a, b at c sa formula na ito at bilangin. Palitan ng kanilang palatandaan!
Halimbawa, sa equation:
a =1; b = 3; c = -4.
Palitan ang mga halaga at isulat:
Halimbawa halos malutas:
Ito ang sagot.
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng mga halaga a, b at kasama. Sa halip, may kapalit
negatibong mga halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito nagse-save ang detalyadong formula
na may mga tiyak na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin ito!
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:
Dito a = -6; b = -5; c = -1
Ipininta namin ang lahat nang detalyado, maingat, nang walang nawawalang anuman sa lahat ng mga palatandaan at bracket:
Kadalasan ang mga quadratic equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:
Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali.
Unang pagtanggap. Wag kang tamad dati paglutas ng isang quadratic equation dalhin ito sa karaniwang anyo.
Anong ibig sabihin nito?
Ipagpalagay, pagkatapos ng anumang mga pagbabagong-anyo, makukuha mo ang sumusunod na equation:
Huwag magmadali upang isulat ang pormula ng mga ugat! Halos tiyak na paghaluin mo ang mga posibilidad a, b at c.
Buuin nang tama ang halimbawa. Una, x squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay isang libreng miyembro. Ganito:
Tanggalin ang minus. paano? Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:
At ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at kumpletuhin ang halimbawa.
Magpasya sa iyong sarili. Dapat kang magtapos sa mga ugat 2 at -1.
Pangalawang pagtanggap. Suriin ang iyong mga ugat! Sa pamamagitan ng Ang teorama ni Vieta.
Upang malutas ang ibinigay na quadratic equation, i.e. kung ang coefficient
x2+bx+c=0,
pagkataposx 1 x 2 =c
x1 +x2 =−b
Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:
x 2 +bx+c=0,
hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng a:
→ 
→
saan x 1 at x 2 - mga ugat ng equation.
Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! Paramihin
equation para sa isang common denominator.
Konklusyon. Mga Praktikal na Tip:
1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.
2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat
mga equation para sa -1.
3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa katumbas na
salik.
4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient para dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng
