Ang silindro ay isang geometric na katawan na napapalibutan ng dalawang magkatulad na eroplano at isang cylindrical na ibabaw. Sa artikulo, pag-uusapan natin kung paano hanapin ang lugar ng isang silindro at, gamit ang formula, malulutas namin ang ilang mga problema halimbawa.
Ang isang silindro ay may tatlong ibabaw: isang itaas, isang ibaba, at isang gilid na ibabaw.
Ang itaas at ibaba ng silindro ay mga bilog at madaling makilala.
Ito ay kilala na ang lugar ng isang bilog ay katumbas ng πr 2 . Samakatuwid, ang formula para sa lugar ng dalawang bilog (itaas at ibaba ng silindro) ay magmumukhang πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Ang pangatlo, gilid na ibabaw ng silindro, ay ang hubog na dingding ng silindro. Upang mas mahusay na kumatawan sa ibabaw na ito, subukan nating baguhin ito upang makakuha ng isang makikilalang hugis. Isipin na ang isang silindro ay isang ordinaryong lata na walang takip sa itaas at ibaba. Gumawa tayo ng isang patayong paghiwa sa dingding sa gilid mula sa itaas hanggang sa ibaba ng garapon (Hakbang 1 sa figure) at subukang buksan (ituwid) ang resultang figure hangga't maaari (Hakbang 2).
Matapos ang buong pagsisiwalat ng resultang garapon, makikita natin ang isang pamilyar na pigura (Hakbang 3), ito ay isang parihaba. Ang lugar ng isang rektanggulo ay madaling kalkulahin. Ngunit bago iyon, bumalik tayo sandali sa orihinal na silindro. Ang vertex ng orihinal na silindro ay isang bilog, at alam natin na ang circumference ng isang bilog ay kinakalkula ng formula: L = 2πr. Ito ay minarkahan ng pula sa figure.
Kapag ang gilid ng dingding ng silindro ay ganap na pinalawak, nakikita natin na ang circumference ay nagiging haba ng nagresultang parihaba. Ang mga gilid ng parihaba na ito ay ang circumference (L = 2πr) at ang taas ng cylinder (h). Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga gilid nito - S = haba x lapad = L x h = 2πr x h = 2πrh. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng lateral surface area ng isang silindro.
Ang formula para sa lugar ng lateral surface ng isang silindro
S gilid = 2prh
Buong ibabaw na lugar ng isang silindro
Sa wakas, kung isasama namin ang lugar ng lahat ng tatlong mga ibabaw, makukuha namin ang formula para sa kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro. Ang ibabaw na lugar ng silindro ay katumbas ng lugar ng tuktok ng silindro + ang lugar ng base ng silindro + ang lugar ng gilid na ibabaw ng silindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Minsan ang expression na ito ay isinulat ng magkaparehong formula 2πr (r + h).
Ang formula para sa kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r ay ang radius ng silindro, h ay ang taas ng silindro
Mga halimbawa ng pagkalkula ng ibabaw na lugar ng isang silindro
Upang maunawaan ang mga formula sa itaas, subukan nating kalkulahin ang ibabaw na lugar ng isang silindro gamit ang mga halimbawa.
1. Ang radius ng base ng cylinder ay 2, ang taas ay 3. Tukuyin ang lugar ng side surface ng cylinder.
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay kinakalkula ng formula: S side. = 2prh
S gilid = 2 * 3.14 * 2 * 3
S gilid = 6.28 * 6
S gilid = 37.68
Ang lateral surface area ng cylinder ay 37.68.
2. Paano mahahanap ang surface area ng isang silindro kung ang taas ay 4 at ang radius ay 6?
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay kinakalkula ng formula: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4
S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24
Ang silindro (nagmula sa wikang Griyego, mula sa mga salitang "skating rink", "roller") ay isang geometric na katawan na nakatali sa labas ng isang ibabaw na tinatawag na cylindrical surface at dalawang eroplano. Ang mga eroplanong ito ay bumalandra sa ibabaw ng pigura at kahanay sa bawat isa.
Ang isang cylindrical na ibabaw ay isang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng isang tuwid na linya sa espasyo. Ang mga paggalaw na ito ay tulad na ang napiling punto ng tuwid na linyang ito ay gumagalaw sa isang flat-type na curve. Ang ganitong tuwid na linya ay tinatawag na generatrix, at ang isang hubog na linya ay tinatawag na gabay.
Ang silindro ay binubuo ng isang pares ng mga base at isang lateral cylindrical na ibabaw. Ang mga silindro ay may ilang uri:
1. Pabilog, tuwid na silindro. Para sa gayong silindro, ang base at ang gabay ay patayo sa generatrix, at mayroon
2. Nakahilig na silindro. Mayroon siyang anggulo sa pagitan ng linya ng pagbuo at ang base ay hindi tuwid.
3. Isang silindro na may ibang hugis. Hyperbolic, elliptical, parabolic at iba pa.
Ang lugar ng isang silindro, pati na rin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng anumang silindro, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng mga base ng figure na ito at ang lugar ng lateral surface.
Ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang lugar ng isang silindro para sa isang pabilog, tuwid na silindro ay:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Ang lugar ng lateral surface ay medyo mas mahirap hanapin kaysa sa lugar ng buong silindro; ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng haba ng generatrix sa perimeter ng seksyon na nabuo ng eroplano na patayo sa generatrix.
Ang data ng silindro para sa isang pabilog, tuwid na silindro ay kinikilala ng pagbuo ng bagay na ito.
Ang development ay isang parihaba na may taas h at haba P, na katumbas ng perimeter ng base.
Sinusunod nito na ang lateral area ng cylinder ay katumbas ng lugar ng sweep at maaaring kalkulahin gamit ang formula na ito:
Kung kukuha tayo ng isang pabilog, tuwid na silindro, kung gayon para dito:
P = 2p R, at Sb = 2p Rh.
Kung ang silindro ay hilig, kung gayon ang lateral surface area ay dapat na katumbas ng produkto ng haba ng generatrix nito at ang perimeter ng seksyon, na patayo sa generatrix na ito.
Sa kasamaang palad, walang simpleng formula para sa pagpapahayag ng lateral surface area ng isang inclined cylinder sa mga tuntunin ng taas nito at mga base parameter nito.
Upang makalkula ang isang silindro, kailangan mong malaman ang ilang mga katotohanan. Kung ang isang seksyon na may eroplano nito ay nagsalubong sa mga base, kung gayon ang naturang seksyon ay palaging isang parihaba. Ngunit ang mga parihaba na ito ay magkakaiba, depende sa posisyon ng seksyon. Ang isa sa mga gilid ng seksyon ng axial ng figure, na patayo sa mga base, ay katumbas ng taas, at ang isa ay katumbas ng diameter ng base ng silindro. At ang lugar ng naturang seksyon, ayon sa pagkakabanggit, ay katumbas ng produkto ng isang gilid ng parihaba sa pamamagitan ng isa, patayo sa una, o ang produkto ng taas ng figure na ito sa diameter ng base nito.
Kung ang seksyon ay patayo sa mga base ng figure, ngunit hindi dumadaan sa axis ng pag-ikot, kung gayon ang lugar ng seksyong ito ay magiging katumbas ng produkto ng taas ng cylinder na ito at isang tiyak na chord. Upang makakuha ng chord, kailangan mong bumuo ng isang bilog sa base ng silindro, gumuhit ng radius at itabi dito ang distansya kung saan matatagpuan ang seksyon. At mula sa puntong ito kailangan mong gumuhit ng mga patayo sa radius mula sa intersection sa bilog. Ang mga intersection point ay konektado sa gitna. At ang base ng tatsulok ay ang ninanais, na hinahanap para sa mga tunog tulad nito: "Ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang binti ay katumbas ng hypotenuse squared":
C2 = A2 + B2.
Kung ang seksyon ay hindi nakakaapekto sa base ng silindro, at ang silindro mismo ay pabilog at tuwid, kung gayon ang lugar ng seksyong ito ay matatagpuan bilang ang lugar ng bilog.
Ang lugar ng isang bilog ay:
S env. = 2p R2.
Upang mahanap ang R, kailangan mong hatiin ang haba nito C sa 2p:
R = C \ 2n, kung saan ang n ay pi, isang mathematical constant na kinakalkula upang gumana sa data ng bilog at katumbas ng 3.14.
Mayroong isang malaking bilang ng mga problema na nauugnay sa silindro. Sa kanila, kailangan mong hanapin ang radius at taas ng katawan o ang uri ng seksyon nito. Dagdag pa, kung minsan kailangan mong kalkulahin ang lugar ng isang silindro at ang dami nito.
Anong katawan ang isang silindro?
Sa kurso ng kurikulum ng paaralan, ang isang pabilog, iyon ay, isang silindro na tulad sa base, ay pinag-aralan. Ngunit nakikilala din nila ang elliptical na hitsura ng figure na ito. Mula sa pangalan ay malinaw na ang base nito ay magiging isang ellipse o oval.
Ang silindro ay may dalawang base. Ang mga ito ay pantay-pantay sa bawat isa at konektado sa pamamagitan ng mga segment na pinagsasama ang kaukulang mga punto ng mga base. Ang mga ito ay tinatawag na cylinder generators. Ang lahat ng mga generator ay parallel sa bawat isa at pantay. Binubuo nila ang lateral surface ng katawan.
Sa pangkalahatan, ang isang silindro ay isang hilig na katawan. Kung ang mga generator ay gumawa ng isang tamang anggulo sa mga base, pagkatapos ay nagsasalita na sila ng isang tuwid na pigura.
Kapansin-pansin, ang isang pabilog na silindro ay isang katawan ng rebolusyon. Ito ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba sa paligid ng isa sa mga gilid nito.
Ang mga pangunahing elemento ng silindro
Ang mga pangunahing elemento ng silindro ay ang mga sumusunod.
- taas. Ito ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng mga base ng silindro. Kung ito ay tuwid, pagkatapos ay ang taas ay nag-tutugma sa generatrix.
- Radius. Kasabay ng maaaring isagawa sa base.
- Aksis. Ito ay isang tuwid na linya na naglalaman ng mga sentro ng parehong base. Ang axis ay palaging parallel sa lahat ng generators. Sa isang kanang silindro, ito ay patayo sa mga base.
- Seksyon ng axial. Ito ay nabuo kapag ang silindro ay nag-intersect sa eroplano na naglalaman ng axis.
- Tangent na eroplano. Dumadaan ito sa isa sa mga generator at patayo sa seksyon ng axial, na iginuhit sa generatrix na ito.
Paano nauugnay ang isang silindro sa isang prisma na nakasulat dito o nakabilog malapit dito?
Minsan may mga problema kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng isang silindro, habang ang ilang mga elemento ng prisma na nauugnay dito ay kilala. Paano nauugnay ang mga figure na ito?
Kung ang isang prisma ay nakasulat sa isang silindro, kung gayon ang mga base nito ay pantay na mga polygon. Bukod dito, ang mga ito ay nakasulat sa kaukulang mga base ng silindro. Ang mga gilid na gilid ng prisma ay nag-tutugma sa mga generator.
Ang inilarawan na prisma ay may mga regular na polygon sa mga base nito. Inilalarawan ang mga ito malapit sa mga bilog ng silindro, na siyang mga base nito. Ang mga eroplano na naglalaman ng mga mukha ng prisma ay humahawak sa silindro sa kahabaan ng mga generator.
Sa lugar ng lateral surface at base para sa isang tamang pabilog na silindro
Kung buksan mo ang gilid na ibabaw, makakakuha ka ng isang parihaba. Ang mga gilid nito ay magkakasabay sa generatrix at ang circumference ng base. Samakatuwid, ang lateral area ng cylinder ay magiging katumbas ng produkto ng dalawang dami na ito. Kung isusulat mo ang formula, makukuha mo ang sumusunod:
S side \u003d l * n,
kung saan ang n ay ang generatrix, ang l ay ang circumference.
Bukod dito, ang huling parameter ay kinakalkula ng formula:
l = 2 π*r,
dito r ay ang radius ng bilog, π ay ang bilang na "pi", katumbas ng 3.14.
Dahil ang base ay isang bilog, ang lugar nito ay kinakalkula gamit ang sumusunod na expression:
S pangunahing \u003d π * r 2.
Sa lugar ng buong ibabaw ng isang kanang pabilog na silindro
Dahil ito ay nabuo ng dalawang base at isang lateral surface, ang tatlong dami na ito ay dapat idagdag. Iyon ay, ang kabuuang lugar ng silindro ay kakalkulahin ng formula:
S palapag = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Madalas itong nakasulat sa ibang anyo:
S palapag = 2 π * r (n + r).
Sa mga lugar ng isang inclined circular cylinder
Tulad ng para sa mga base, ang lahat ng mga formula ay pareho, dahil sila ay mga bilog pa rin. Ngunit ang ibabaw ng gilid ay hindi na nagbibigay ng isang parihaba.
Upang kalkulahin ang bahagi ng ibabaw ng gilid ng isang hilig na silindro, kakailanganin mong i-multiply ang mga halaga ng generatrix at ang perimeter ng seksyon, na magiging patayo sa napiling generatrix.
Mukhang ganito ang formula:
S side \u003d x * P,
kung saan ang x ay ang haba ng generatrix ng silindro, ang P ay ang perimeter ng seksyon.
Ang cross section, sa pamamagitan ng paraan, ay mas mahusay na pumili ng tulad na ito ay bumubuo ng isang ellipse. Pagkatapos ang mga kalkulasyon ng perimeter nito ay magiging simple. Ang haba ng ellipse ay kinakalkula gamit ang isang formula na nagbibigay ng tinatayang sagot. Ngunit kadalasan ay sapat na ito para sa mga gawain ng kurso sa paaralan:
l \u003d π * (a + b),
kung saan ang "a" at "b" ay ang mga semiax ng ellipse, iyon ay, ang mga distansya mula sa gitna hanggang sa pinakamalapit at pinakamalayong mga punto nito.
Ang lugar ng buong ibabaw ay dapat kalkulahin gamit ang sumusunod na expression:
S palapag = 2 π * r 2 + x * R.
Ano ang ilang mga seksyon ng isang kanang pabilog na silindro?
Kapag ang seksyon ay dumaan sa axis, ang lugar nito ay tinutukoy bilang produkto ng generatrix at ang diameter ng base. Ito ay dahil mayroon itong anyo ng isang parihaba, ang mga gilid nito ay nag-tutugma sa mga itinalagang elemento.
Upang mahanap ang cross-sectional area ng isang cylinder na parallel sa axial one, kakailanganin mo rin ng formula para sa isang rectangle. Sa sitwasyong ito, ang isa sa mga gilid nito ay magkakasabay pa rin sa taas, at ang isa pa ay magiging katumbas ng chord ng base. Ang huli ay nag-tutugma sa linya ng seksyon sa kahabaan ng base.
Kapag ang seksyon ay patayo sa axis, ito ay mukhang isang bilog. Bukod dito, ang lugar nito ay kapareho ng sa base ng figure.
Posible ring mag-intersect sa ilang anggulo sa axis. Pagkatapos sa seksyon ay nakuha ang isang hugis-itlog o bahagi nito.
Mga halimbawa ng gawain
Gawain bilang 1. Ang isang tuwid na silindro ay ibinigay, ang base area na kung saan ay 12.56 cm 2 . Kinakailangang kalkulahin ang kabuuang lugar ng silindro kung ang taas nito ay 3 cm.
Desisyon. Kinakailangang gamitin ang formula para sa kabuuang lugar ng isang pabilog na kanang silindro. Ngunit kulang ito ng data, lalo na ang radius ng base. Ngunit ang lugar ng bilog ay kilala. Mula dito ay madaling kalkulahin ang radius.
Ito ay lumalabas na katumbas ng square root ng quotient, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng base area sa pi. Ang paghahati ng 12.56 sa 3.14 ay 4. Ang square root ng 4 ay 2. Samakatuwid, ang radius ay magkakaroon ng ganitong halaga.
Sagot: S floor \u003d 50.24 cm 2.
Gawain bilang 2. Ang isang silindro na may radius na 5 cm ay pinutol ng isang eroplanong parallel sa axis. Ang distansya mula sa seksyon hanggang sa axis ay 3 cm. Ang taas ng silindro ay 4 cm. Kinakailangan upang mahanap ang lugar ng seksyon.
Desisyon. Ang hugis ng seksyon ay hugis-parihaba. Ang isa sa mga gilid nito ay tumutugma sa taas ng silindro, at ang isa ay katumbas ng chord. Kung ang unang halaga ay kilala, pagkatapos ay ang pangalawa ay dapat mahanap.
Upang gawin ito, kailangan mong gumawa ng karagdagang konstruksiyon. Sa base gumuhit kami ng dalawang segment. Pareho silang magsisimula sa gitna ng bilog. Ang una ay magtatapos sa gitna ng chord at katumbas ng kilalang distansya sa axis. Ang pangalawa ay nasa dulo ng chord.
Makakakuha ka ng tamang tatsulok. Ang hypotenuse at isa sa mga binti ay kilala sa loob nito. Ang hypotenuse ay kapareho ng radius. Ang pangalawang binti ay katumbas ng kalahati ng chord. Ang hindi kilalang binti, na pinarami ng 2, ay magbibigay ng kinakailangang haba ng chord. Kalkulahin natin ang halaga nito.
Upang mahanap ang hindi kilalang binti, kailangan mong i-square ang hypotenuse at ang kilalang binti, ibawas ang pangalawa mula sa una at kunin ang square root. Ang mga parisukat ay 25 at 9. Ang kanilang pagkakaiba ay 16. Pagkatapos kunin ang square root, 4 ang nananatili. Ito ang nais na binti.
Ang chord ay magiging katumbas ng 4 * 2 = 8 (cm). Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang cross-sectional area: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).
Sagot: S sec ay 32 cm 2.
Gawain bilang 3. Kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng seksyon ng axial ng silindro. Ito ay kilala na ang isang kubo na may gilid na 10 cm ay nakasulat dito.
Desisyon. Ang axial section ng cylinder ay tumutugma sa isang parihaba na dumadaan sa apat na vertices ng kubo at naglalaman ng mga diagonal ng mga base nito. Ang gilid ng kubo ay ang generatrix ng silindro, at ang dayagonal ng base ay tumutugma sa diameter. Ang produkto ng dalawang dami na ito ay magbibigay ng lugar na kailangan mong malaman sa problema.
Upang mahanap ang diameter, kakailanganin mong gamitin ang kaalaman na ang base ng kubo ay isang parisukat, at ang dayagonal nito ay bumubuo ng isang equilateral right triangle. Ang hypotenuse nito ay ang kinakailangang dayagonal ng figure.
Upang makalkula ito, kailangan mo ang formula ng Pythagorean theorem. Kailangan mong parisukat ang gilid ng kubo, i-multiply ito sa 2 at kunin ang square root. Sampu hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay isang daan. Ang multiplied sa 2 ay dalawang daan. Ang square root ng 200 ay 10√2.
Ang seksyon ay muling isang parihaba na may mga gilid 10 at 10√2. Ang lugar nito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga halagang ito.
Sagot. S seg \u003d 100√2 cm 2.
Ang Stereometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga hugis sa kalawakan. Ang mga pangunahing figure sa kalawakan ay isang punto, isang linya at isang eroplano. Sa stereometry, lumilitaw ang isang bagong uri ng mutual arrangement ng mga linya: skew lines. Ito ay isa sa ilang mga makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng solid geometry at planimetry, dahil sa maraming mga kaso ang mga problema sa stereometry ay nalulutas sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa iba't ibang mga eroplano kung saan ang mga batas ng planimetric ay nasiyahan.
Sa kalikasan sa paligid natin, maraming mga bagay na pisikal na modelo ng pigurang ito. Halimbawa, maraming mga bahagi ng makina ang nasa anyo ng isang silindro o ilang kumbinasyon ng mga ito, at ang maringal na mga haligi ng mga templo at katedral, na ginawa sa anyo ng mga cylinder, ay nagbibigay-diin sa kanilang pagkakaisa at kagandahan.
Griyego − kyulindros. sinaunang termino. Sa pang-araw-araw na buhay - isang papyrus scroll, isang roller, isang skating rink (pandiwa - twist, roll).
Sa Euclid, ang isang silindro ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba. Para sa Cavalieri - sa pamamagitan ng paggalaw ng generatrix (na may di-makatwirang gabay - "silindro").
Ang layunin ng sanaysay na ito ay isaalang-alang ang isang geometric na katawan - isang silindro.
Upang makamit ang layuning ito, dapat isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain:
− magbigay ng mga kahulugan ng isang silindro;
- isaalang-alang ang mga elemento ng silindro;
− upang pag-aralan ang mga katangian ng silindro;
- isaalang-alang ang mga uri ng seksyon ng silindro;
- makuha ang formula para sa lugar ng isang silindro;
− makuha ang formula para sa dami ng isang silindro;
− lutasin ang mga problema gamit ang isang silindro.
1.1. Kahulugan ng silindro
Isaalang-alang ang ilang linya (curve, putol na linya o magkahalong linya) l nakahiga sa ilang eroplano α at ilang tuwid na linya S na nagsa-intersecting sa eroplanong ito. Sa lahat ng mga punto ng ibinigay na linya l gumuhit kami ng mga linya parallel sa linya S; ang surface α na nabuo ng mga tuwid na linyang ito ay tinatawag na cylindrical surface. Ang linya l ay tinatawag na gabay ng ibabaw na ito, ang mga linya s 1 , s 2 , s 3 ,... ay ang mga generator nito.
Kung ang gabay ay isang putol na linya, kung gayon ang tulad ng isang cylindrical na ibabaw ay binubuo ng isang serye ng mga flat strip na nakapaloob sa pagitan ng mga pares ng parallel na linya, at tinatawag na isang prismatic surface. Ang mga generatrice na dumadaan sa mga vertices ng gabay na polyline ay tinatawag na mga gilid ng prismatic surface, ang mga flat strip sa pagitan ng mga ito ay tinatawag na mga mukha nito.
Kung pinutol namin ang anumang cylindrical na ibabaw na may isang arbitrary na eroplano na hindi parallel sa mga generator nito, pagkatapos ay makakakuha kami ng isang linya na maaari ding kunin bilang isang gabay para sa ibabaw na ito. Kabilang sa mga gabay, ang isa ay nakatayo, na nakuha mula sa seksyon ng ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplano na patayo sa mga generator ng ibabaw. Ang nasabing seksyon ay tinatawag na isang normal na seksyon, at ang kaukulang gabay ay tinatawag na isang normal na gabay.
Kung ang gabay ay isang saradong (matambok) na linya (sirang linya o kurba), kung gayon ang katumbas na ibabaw ay tinatawag na sarado (matambok) na prismatic o cylindrical na ibabaw. Sa mga cylindrical na ibabaw, ang pinakasimple ay may normal na bilog na gabay. I-dissect natin ang isang closed convex prismatic surface sa pamamagitan ng dalawang eroplanong parallel sa isa't isa, ngunit hindi parallel sa generators.
Sa mga seksyon nakakakuha kami ng convex polygons. Ngayon ang bahagi ng prismatic surface na nakapaloob sa pagitan ng mga eroplanong α at α", at ang dalawang polygonal plate na nabuo sa mga eroplanong ito, ay nililimitahan ang katawan, na tinatawag na prismatic body - ang prisma.
Ang isang cylindrical body - ang isang silindro ay tinukoy na katulad ng isang prisma:
Ang silindro ay isang katawan na nakatali sa gilid ng isang saradong (matambok) na cylindrical na ibabaw, at mula sa mga dulo ng dalawang flat parallel na base. Ang parehong mga base ng silindro ay pantay, at ang lahat ng mga generator ng silindro ay pantay din sa bawat isa, i.e. mga segment na bumubuo ng isang cylindrical na ibabaw sa pagitan ng mga eroplano ng mga base.
Ang isang silindro (mas tiyak, isang pabilog na silindro) ay isang geometric na katawan, na binubuo ng dalawang bilog na hindi nakahiga sa parehong eroplano at pinagsama sa pamamagitan ng parallel na paglipat, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga bilog na ito (Fig. 1) .
Ang mga bilog ay tinatawag na mga base ng silindro, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang mga punto ng mga bilog ng mga bilog ay tinatawag na mga generator ng silindro.
Dahil ang parallel na pagsasalin ay paggalaw, ang mga base ng silindro ay pantay.
Dahil sa panahon ng parallel na pagsasalin ang eroplano ay pumasa sa isang parallel na eroplano (o sa sarili nito), kung gayon ang mga base ng silindro ay namamalagi sa parallel na eroplano.
Dahil, sa panahon ng parallel na pagsasalin, ang mga punto ay inilipat kasama ang parallel (o coinciding) na mga linya sa parehong distansya, kung gayon ang mga generator ng cylinder ay parallel at pantay.
Ang ibabaw ng isang silindro ay binubuo ng mga base at isang gilid na ibabaw. Ang lateral surface ay binubuo ng mga generator.
Ang isang silindro ay tinatawag na tuwid kung ang mga generator nito ay patayo sa mga eroplano ng mga base.
Ang isang tuwid na silindro ay maaaring makita bilang isang geometric na katawan na naglalarawan ng isang parihaba habang ito ay umiikot sa gilid bilang isang axis (Larawan 2).
kanin. 2 − Tuwid na silindro
Sa mga sumusunod, isasaalang-alang lamang natin ang isang tuwid na silindro, na tinatawag itong simpleng silindro para sa kaiklian.
Ang radius ng isang silindro ay ang radius ng base nito. Ang taas ng isang silindro ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito. Ang axis ng isang silindro ay isang tuwid na linya na dumadaan sa mga sentro ng mga base. Ito ay parallel sa mga generator.
Ang isang silindro ay tinatawag na equilateral kung ang taas nito ay katumbas ng diameter ng base nito.
Kung ang mga base ng silindro ay patag (at samakatuwid ang mga eroplanong naglalaman ng mga ito ay parallel), kung gayon ang silindro ay sinasabing nakatayo sa isang eroplano. Kung ang mga base ng isang silindro na nakatayo sa isang eroplano ay patayo sa generatrix, kung gayon ang silindro ay tinatawag na tuwid.
Sa partikular, kung ang base ng isang silindro na nakatayo sa isang eroplano ay isang bilog, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang pabilog (bilog) na silindro; kung isang ellipse, pagkatapos ay elliptical.
1. 3. Mga seksyon ng silindro
Ang seksyon ng silindro sa pamamagitan ng isang eroplanong parallel sa axis nito ay isang parihaba (Larawan 3, a). Dalawa sa mga gilid nito ay mga generatrice ng silindro, at ang iba pang dalawa ay parallel chords ng mga base.
a) 
b)
sa) G)
kanin. 3 - Mga seksyon ng silindro
Sa partikular, ang rektanggulo ay ang axial section. Ito ay isang seksyon ng silindro sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa axis nito (Larawan 3, b).
Ang seksyon ng silindro sa pamamagitan ng isang eroplano na kahanay sa base ay isang bilog (Larawan 3, c).
Ang cross section ng cylinder na may eroplanong hindi parallel sa base at ang axis nito ay isang oval (Fig. 3d).
Theorem 1. Ang isang eroplanong parallel sa eroplano ng base ng cylinder ay nag-intersect sa lateral surface nito kasama ang isang bilog na katumbas ng circumference ng base.
Patunay. Hayaang ang β ay isang eroplanong parallel sa eroplano ng base ng silindro. Parallel transfer sa direksyon ng axis ng cylinder, na pinagsasama ang plane β sa plane ng base ng cylinder, pinagsasama ang seksyon ng side surface ng plane β sa circumference ng base. Napatunayan na ang theorem.
Ang lugar ng lateral surface ng cylinder.
Ang lugar ng gilid na ibabaw ng silindro ay itinuturing na limitasyon kung saan ang lugar ng gilid na ibabaw ng isang regular na prisma na nakasulat sa silindro ay may posibilidad kapag ang bilang ng mga gilid ng base ng prisma na ito ay tumataas nang walang katiyakan.
Theorem 2. Ang lugar ng lateral surface ng cylinder ay katumbas ng produkto ng circumference ng base nito at ang taas (S side.c = 2πRH, kung saan ang R ay ang radius ng base ng cylinder, H ay ang taas ng silindro).
PERO) 
b) 
kanin. 4 - Ang lugar ng lateral surface ng cylinder
Patunay.
Hayaang ang P n at H, ayon sa pagkakabanggit, ay ang perimeter ng base at ang taas ng isang regular na n-gonal prism na nakasulat sa isang silindro (Larawan 4, a). Pagkatapos ang lugar ng lateral surface ng prism na ito ay S side.c − P n H. Ipagpalagay natin na ang bilang ng mga gilid ng polygon na nakasulat sa base ay lumalaki nang walang katiyakan (Fig. 4, b). Pagkatapos ang perimeter P n ay may gawi sa circumference C = 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng base ng silindro, at ang taas H ay hindi nagbabago. Kaya, ang lugar ng lateral surface ng prism ay may posibilidad na limitahan ang 2πRH, ibig sabihin, ang lugar ng lateral surface ng cylinder ay katumbas ng S side.c = 2πRH. Napatunayan na ang theorem.
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng silindro.
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral surface at ang dalawang base. Ang lugar ng bawat base ng cylinder ay katumbas ng πR 2, samakatuwid, ang lugar ng buong ibabaw ng cylinder S na puno ay kinakalkula ng formula S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
kanin. 5 − Buong lugar sa ibabaw ng silindro
Kung ang gilid na ibabaw ng silindro ay pinutol kasama ang generatrix FT (Larawan 5, a) at nabuksan upang ang lahat ng mga generatrix ay nasa parehong eroplano, kung gayon bilang isang resulta ay nakakakuha tayo ng isang rektanggulo FTT1F1, na tinatawag na pagbuo ng gilid na ibabaw ng silindro. Ang gilid na FF1 ng rektanggulo ay isang pag-unlad ng circumference ng base ng silindro, samakatuwid, FF1=2πR, at ang gilid na FT nito ay katumbas ng generatrix ng silindro, ibig sabihin, FT = H (Larawan 5, b). Kaya, ang lugar na FT∙FF1=2πRH ng pag-unlad ng silindro ay katumbas ng lugar ng lateral surface nito.
1.5. Dami ng silindro
Kung ang geometric na katawan ay simple, iyon ay, maaari itong hatiin sa isang may hangganan na bilang ng mga triangular na pyramids, kung gayon ang dami nito ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng mga pyramids na ito. Para sa isang arbitrary na katawan, ang volume ay tinukoy bilang mga sumusunod.
Ang isang ibinigay na katawan ay may volume V kung mayroong mga simpleng katawan na naglalaman nito at mga simpleng katawan na nakapaloob dito na may mga volume na medyo naiiba mula sa V ayon sa gusto.
Ilapat natin ang kahulugang ito sa paghahanap ng volume ng isang silindro na may base radius R at taas H.
Kapag nakuha ang formula para sa lugar ng isang bilog, dalawang n-gons (isa na naglalaman ng isang bilog, ang isa ay nasa isang bilog) ay itinayo upang ang kanilang mga lugar na may walang limitasyong pagtaas sa n ay lumalapit sa lugar ng isang bilog walang katiyakan. Bumuo tayo ng gayong mga polygon para sa bilog sa base ng silindro. Hayaang ang P ay isang polygon na naglalaman ng isang bilog, at ang P" ay isang polygon na nakapaloob sa isang bilog (Larawan 6).
kanin. 7 - Silindro na may isang prisma na inilarawan at nakasulat dito
Bumuo tayo ng dalawang tuwid na prisma na may mga base P at P "at taas H, pantay na taas silindro. Ang unang prisma ay naglalaman ng silindro at ang pangalawang prisma ay nakapaloob sa silindro. Dahil sa isang walang limitasyong pagtaas sa n, ang mga lugar ng mga base ng mga prisma ay lumalapit sa lugar ng base ng silindro S, ang kanilang mga volume ay lumalapit sa SH nang walang katiyakan. Ayon sa kahulugan, ang dami ng isang silindro
V = SH = πR 2 H.
Kaya, ang dami ng isang silindro ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.
Gawain 1.
Ang axial section ng isang silindro ay isang parisukat na ang lugar ay Q.
Hanapin ang lugar ng base ng silindro.
Ibinigay: cylinder, square - axial section ng cylinder, S square = Q.
Hanapin: S pangunahing cyl.
Ang gilid ng parisukat ay . Ito ay katumbas ng diameter ng base. Kaya ang lugar ng base ay 
.
Sagot: S pangunahing cyl. =
Gawain 2.
Ang isang regular na hexagonal prism ay nakasulat sa isang silindro. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng side face nito at ng axis ng cylinder kung ang radius ng base ay katumbas ng taas ng cylinder.
Ibinigay: isang silindro, isang regular na hexagonal prism na nakasulat sa isang silindro, ang radius ng base = ang taas ng silindro.
Hanapin: ang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng gilid na mukha nito at ng axis ng silindro.
Solusyon: Ang mga gilid na mukha ng prisma ay mga parisukat, dahil ang gilid ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng radius.
Ang mga gilid ng prism ay kahanay sa axis ng silindro, kaya ang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng mukha at ng axis ng silindro ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng dayagonal at gilid ng gilid. At ang anggulong ito ay 45 °, dahil ang mga mukha ay mga parisukat.
Sagot: ang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng gilid na mukha nito at ng axis ng silindro = 45°.
Gawain 3.
Ang taas ng silindro ay 6 cm, ang radius ng base ay 5 cm.
Hanapin ang lugar ng isang seksyon na iginuhit parallel sa axis ng cylinder sa layo na 4 cm mula dito.
Ibinigay: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Hanapin: S sec.
S sec. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Triangle OKM - isosceles (OK = OM = R = 5 cm),
tatsulok Ang OEK ay isang tamang tatsulok.
Mula sa OEK triangle, ayon sa Pythagorean theorem:
KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,
S sec. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.
Ang layunin ng sanaysay na ito ay natupad, tulad ng isang geometric na katawan bilang isang silindro ay isinasaalang-alang.
Ang mga sumusunod na gawain ay isinasaalang-alang:
− ang kahulugan ng isang silindro ay ibinigay;
− mga elemento ng silindro ay isinasaalang-alang;
− pinag-aralan ang mga katangian ng silindro;
− ang mga uri ng seksyon ng silindro ay isinasaalang-alang;
− ang formula para sa lugar ng isang silindro ay nagmula;
− ang formula para sa dami ng isang silindro ay hinango;
− Ang mga problema ay nalulutas sa paggamit ng isang silindro.
1. Pogorelov A. V. Geometry: Isang aklat-aralin para sa mga baitang 10 - 11 ng mga institusyong pang-edukasyon, 1995.
2. Beskin L.N. Stereometry. Handbook para sa mga guro sa sekondaryang paaralan, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometry: Textbook para sa mga baitang 10-11 ng mga institusyong pang-edukasyon, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometry: aklat-aralin para sa mga baitang 10-11 ng mga institusyong pang-edukasyon, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: Grades 10 - 11: Textbook at problem book, 2000.
Ito ay isang geometric na katawan na napapalibutan ng dalawang parallel na eroplano at isang cylindrical na ibabaw.
Ang silindro ay binubuo ng isang gilid na ibabaw at dalawang base. Ang formula para sa ibabaw na lugar ng isang silindro ay may kasamang isang hiwalay na pagkalkula ng lugar ng mga base at ang lateral na ibabaw. Dahil ang mga base sa silindro ay pantay, ang kabuuang lugar nito ay kakalkulahin ng formula:
Isasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang silindro pagkatapos naming malaman ang lahat ng kinakailangang mga formula. Una kailangan namin ang formula para sa lugar ng base ng isang silindro. Dahil ang base ng silindro ay isang bilog, kailangan nating mag-aplay: 
Naaalala namin na ang mga kalkulasyong ito ay gumagamit ng pare-parehong numero Π = 3.1415926, na kinakalkula bilang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito. Ang numerong ito ay isang mathematical constant. Isasaalang-alang din namin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng base ng isang silindro sa ibang pagkakataon.
Silindro side surface area
Ang formula para sa lugar ng lateral surface ng isang silindro ay ang produkto ng haba ng base at taas nito:
Ngayon isaalang-alang ang isang problema kung saan kailangan nating kalkulahin ang kabuuang lugar ng isang silindro. Sa isang ibinigay na figure, ang taas ay h = 4 cm, r = 2 cm. Hanapin natin ang kabuuang lugar ng silindro.
Una, kalkulahin natin ang lugar ng mga base:
Ngayon isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang silindro. Kapag pinalawak, ito ay isang parihaba. Ang lugar nito ay kinakalkula gamit ang formula sa itaas. Palitan ang lahat ng data dito:
Ang kabuuang lugar ng isang bilog ay ang kabuuan ng dalawang beses ang lugar ng base at gilid:
Kaya, gamit ang mga formula para sa lugar ng mga base at ang lateral surface ng figure, nahanap namin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng silindro.
Ang axial section ng cylinder ay isang rectangle kung saan ang mga gilid ay katumbas ng taas at diameter ng cylinder.
Ang formula para sa lugar ng seksyon ng axial ng isang silindro ay nagmula sa formula ng pagkalkula:
