20. Multilevel na pag-aaral ng polyhedral angle, katangian ng flat angle ng trihedral angle at polyhedral angle.

Isang pangunahing antas ng:

Atanasyan

Isinasaalang-alang lamang ang anggulo ng dihedral.

Pogorelov

Isinasaalang-alang muna ang anggulo ng dihedral at pagkatapos ay agad na trihedral at polyhedral.

Isaalang-alang ang tatlong sinag a, b, c, na nagmumula sa isang punto at nakahiga sa parehong eroplano. Ang trihedral angle (abc) ay isang figure na binubuo ng tatlong flat angle (ab), (bc) at (ac) (Fig. 400). Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga mukha ng isang trihedral na anggulo, at ang kanilang mga gilid ay tinatawag na mga gilid. Ang karaniwang vertex ng mga flat angle ay tinatawag na vertex ng isang trihedral angle. Ang mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga mukha ng isang trihedral na anggulo ay tinatawag na dihedral na mga anggulo ng isang trihedral angle.

Ang konsepto ng isang polyhedral angle ay ipinakilala nang katulad (Fig. 401).

fig. 400 at fig. 401

P antas ng profile(A.D. Aleksndrov, A.L. Verner, V.I. Ryzhikh):

Ang pag-iwan sa kahulugan at pag-aaral ng mga di-makatwirang mga anggulo ng polyhedral sa § 31, isasaalang-alang natin ngayon ang pinakasimpleng mga ito - ang mga trihedral na anggulo. Kung sa stereometry ang mga anggulo ng dihedral ay maaaring ituring na mga analogue ng mga anggulo ng eroplano, kung gayon ang mga anggulo ng trihedral ay maaaring ituring bilang mga analogue ng mga tatsulok ng eroplano, at sa mga sumusunod na talata ay makikita natin kung paano sila natural na nauugnay sa mga spherical triangle.

Maaari kang bumuo (at samakatuwid ay constructively tukuyin) ang isang trihedral anggulo tulad ng sumusunod. Kumuha tayo ng anumang tatlong sinag a, b, c, na may isang karaniwang pinagmulan O at hindi nakahiga sa parehong eroplano (Larawan 150). Ang mga sinag na ito ay ang mga gilid ng tatlong matambok na anggulo ng eroplano: anggulo α na may mga gilid b, c, anggulo β na may mga gilid a, c, at anggulo γ na may mga gilid a, b. Ang pagsasama ng tatlong anggulong ito α, β, γ ay tinatawag na trihedral angle Oabc (o, sa madaling salita, ang trihedral angle O). Ang mga sinag a, b, c ay tinatawag na mga gilid ng trihedral na anggulo na Oabc, at ang mga anggulo ng eroplano na α, β, γ ay tinatawag na mga mukha nito. Ang puntong O ay tinatawag na vertex ng trihedral angle.

Tandaan 3. Posibleng tukuyin ang isang trihedral na anggulo na may hindi matambok na mukha (Larawan 151), ngunit hindi namin isasaalang-alang ang mga ganitong trihedral na anggulo.

Para sa bawat isa sa mga gilid ng isang trihedral na anggulo, tinutukoy ang isang kaukulang dihedral na anggulo, kung saan ang gilid nito ay naglalaman ng katumbas na gilid ng trihedral na anggulo, at kung saan ang mga mukha ay naglalaman ng mga mukha ng trihedral na anggulo na katabi ng gilid na ito.

Ang mga halaga ng mga dihedral na anggulo ng trihedral na anggulo Oabc sa mga gilid a, b, c ay ilalarawan ayon sa pagkakabanggit ng a^, b^, c^ (mga takip nang direkta sa itaas ng mga titik).

Tatlong mukha α, β, γ ng trihedral angle Oabc at tatlo sa mga dihedral na anggulo nito sa mga gilid a, b, c, pati na rin ang mga value na α, β, γ at a^, b^, c^ ay magiging tinatawag na mga elemento ng trihedral angle. (Tandaan na ang mga elemento ng isang patag na tatsulok ay ang mga gilid nito at ang mga anggulo nito.)

Ang aming gawain ay upang ipahayag ang ilang mga elemento ng isang trihedral na anggulo sa mga tuntunin ng iba pang mga elemento nito, ibig sabihin, upang bumuo ng isang "trigonometry" ng mga trihedral na anggulo.

1) Magsimula tayo sa derivation ng isang analogue ng cosine theorem. Una, isaalang-alang ang tulad ng isang trihedral na anggulo Oabc, na may hindi bababa sa dalawang mukha, halimbawa, ang α at β ay mga talamak na anggulo. Kumuha ng isang punto C sa gilid nito c at iguhit mula dito sa mga mukha α at β ang mga patayo CB at CA sa gilid c hanggang sa magsalubong ang mga ito sa mga gilid a at b sa mga puntong A at B (Larawan 152). Ipinapahayag namin ang distansya AB mula sa mga tatsulok na OAB at CAB gamit ang cosine theorem.

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) at AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ.

Ang pagbabawas ng unang pagkakapantay-pantay mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c ^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1). kasi ang mga tatsulok na OSV at OSA ay hugis-parihaba, pagkatapos ay AC 2 -AC 2 \u003d OS 2 at OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

Samakatuwid, mula sa (1) at (2) sumusunod na ang OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

mga.

Pero
,
,
,
. Kaya

(3) ay isang analogue ng cosine theorem para sa trihedral na mga anggulo formula ng cosine.

Parehong mga mukha α at β ay malabo anggulo.

Ang isa sa mga anggulo na α at β, halimbawa α, ay talamak, at ang isa ay β-obtuse.

Hindi bababa sa 1 sa mga anggulo na α o β ang tama.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng trihedral katulad ng mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Ngunit may pagkakaiba: halimbawa, ang dalawang trihedral na anggulo ay pantay-pantay kung ang kanilang dihedral na mga anggulo ay magkapareho. Alalahanin na ang dalawang tatsulok ng eroplano na ang mga katumbas na anggulo ay magkapareho ay magkatulad. At para sa mga anggulo ng trihedral, ang isang katulad na kondisyon ay humahantong hindi sa pagkakatulad, ngunit sa pagkakapantay-pantay.

Ang mga anggulo ng trihedral ay may kapansin-pansin ari-arian na tinatawag na duality. Kung sa anumang theorem sa trihedral angle Oabc ay pinapalitan natin ang mga dami a, b, c ng π-α, π-β, π-γ at, sa kabaligtaran, palitan ang α, β, γ ng π-a^, π-b^ , π -c^, pagkatapos ay muli nating makuha ang tamang pahayag tungkol sa trihedral na mga anggulo, na dalawahan sa orihinal na teorama. Totoo, kung ang naturang kapalit ay ginawa sa sine theorem, muli tayong dumating sa sine theorem (ito ay dalawahan sa sarili nito). Ngunit kung gagawin natin ito sa cosine theorem (3), makakakuha tayo ng bagong formula

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Magiging malinaw kung bakit nagaganap ang gayong duality kung, para sa isang trihedral na anggulo, gagawa tayo ng dalawahang trihedral na anggulo nito, ang mga gilid nito ay patayo sa mga mukha ng orihinal na anggulo (tingnan ang Sec. 33.3 at Fig. 356).

Ang ilan sa mga pinakasimpleng ibabaw ay polyhedral na mga anggulo. Binubuo ang mga ito ng mga ordinaryong anggulo (madalas na nating tatawagin ang mga ganitong anggulo na flat angle), tulad ng isang saradong putol na linya ay binubuo ng mga segment. Ibig sabihin, ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay:

Ang isang polyhedral angle ay isang pigura na nabuo sa pamamagitan ng mga patag na anggulo upang ang mga sumusunod na kondisyon ay matugunan:

1) Walang dalawang anggulo ang may karaniwang mga punto maliban sa kanilang karaniwang vertex o buong panig.

2) Ang bawat isa sa mga anggulong ito ay may magkaparehong panig sa isa at isa lamang sa mga ganoong anggulo.

3) Mula sa bawat sulok hanggang sa bawat isa, maaari kang pumunta sa mga sulok na may mga karaniwang panig.

4) Walang dalawang anggulo na may karaniwang panig na nasa parehong eroplano (Larawan 324).

Sa ilalim ng kondisyong ito, ang mga anggulo ng eroplano na bumubuo ng isang polyhedral na anggulo ay tinatawag na mga mukha nito, at ang kanilang mga gilid ay tinatawag na mga gilid nito.

Ang isang dihedral na anggulo ay umaangkop din sa kahulugang ito. Binubuo ito ng dalawang binuong patag na sulok. Anumang punto sa gilid nito ay maituturing na vertex nito, at hinahati ng puntong ito ang gilid sa dalawang gilid na nagtatagpo sa vertex. Ngunit dahil sa kawalan ng katiyakan na ito sa posisyon ng vertex, ang anggulo ng dihedral ay hindi kasama sa bilang ng mga anggulo ng polyhedral.

P

ang konsepto ng isang polyhedral angle ay mahalaga, sa partikular, sa pag-aaral ng polyhedra - sa teorya ng polyhedra. Ang istraktura ng isang polyhedron ay nailalarawan sa pamamagitan ng kung ano ang mga mukha na binubuo nito at kung paano sila nagtatagpo sa mga vertices, iyon ay, kung anong mga polyhedral na anggulo ang naroroon.

Isaalang-alang ang polyhedral na mga anggulo ng iba't ibang polyhedra.

Tandaan na ang mga mukha ng polyhedral corners ay maaari ding maging non-convex corners.

№1 Petsa05.09.14

Paksang Geometry

Klase 11

Paksa ng aralin: Ang konsepto ng isang polyhedral angle. tatsulok na anggulo.

Layunin ng Aralin:

ipakilala ang mga konsepto: "trihedral angles", "polyhedral angles", "polyhedron";

upang ipaalam sa mga mag-aaral ang mga elemento ng trihedral at polyhedral na mga anggulo, isang polyhedron, pati na rin ang mga kahulugan ng isang convex polyhedral angle at ang mga katangian ng mga flat na anggulo ng isang polyhedral angle;

upang ipagpatuloy ang gawain sa pagbuo ng mga spatial na representasyon at spatial na imahinasyon, pati na rin ang lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal

SA PANAHON NG MGA KLASE

1. Organisasyon sandali.

Pagbati sa mga mag-aaral, pagsuri sa kahandaan ng klase para sa aralin, pag-aayos ng atensyon ng mga mag-aaral, paglalahad ng mga pangkalahatang layunin ng aralin at plano nito.

2. Pagbuo ng mga bagong konsepto at pamamaraan ng pagkilos.

Mga Gawain: Upang matiyak ang persepsyon, pag-unawa at pagsasaulo ng pinag-aralan na materyal ng mga mag-aaral. Upang matiyak na makabisado ng mga mag-aaral ang pamamaraan para sa muling paggawa ng pinag-aralan na materyal, upang maisulong ang pilosopikal na pag-unawa sa mga konsepto, batas, tuntunin, pormula na sinisimilasyon. Upang maitaguyod ang kawastuhan at kamalayan ng pinag-aralan na materyal ng mga mag-aaral, upang matukoy ang mga puwang sa pangunahing pag-unawa, upang magsagawa ng pagwawasto. Upang matiyak na maiugnay ng mga mag-aaral ang kanilang pansariling karanasan sa mga palatandaan ng kaalamang siyentipiko.

Hayaang magbigay ng tatlong sinaga, b ats s karaniwang panimulang puntoO (Larawan 1.1). Ang tatlong sinag na ito ay hindi kinakailangang nasa parehong eroplano. Sa figure 1.2, ang mga sinagb atkasama humiga sa isang eroplanoR, isang sinaga ay hindi nakahiga sa eroplanong ito.

Sinaga, b atkasama Tinutukoy ng mga pares ang tatlong flat angle na nakikilala sa pamamagitan ng mga arko (Larawan 1.3).

Isaalang-alang ang isang figure na binubuo ng tatlong anggulo na ipinahiwatig sa itaas at ang bahagi ng espasyo na nakatali ng mga flat angle na ito. Ang spatial figure na ito ay tinatawag natrihedral na anggulo (Larawan 2).

Sinaga, b at kasama ang tinawagmga gilid ng isang trihedral na anggulo, at ang mga sulok: = AOC, = AOB,

= BOC , nililimitahan ang trihedral na anggulo, - nitomga mukha. Nabubuo ang mga sulok na itotrihedral na ibabaw. DotO tinawagvertex ng isang trihedral na anggulo. Ang isang trihedral na anggulo ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: OABC

Ang pagkakaroon ng maingat na pagsusuri sa lahat ng mga polyhedral na anggulo na ipinapakita sa Figure 3, maaari nating tapusin na ang bawat isa sa mga polyhedral na anggulo ay may parehong bilang ng mga gilid at mukha:

4 na mukha at isang vertex;

ang limang panig na sulok ay may 5 gilid, 5 mukha at isang tuktok;

• 
  ang isang hexagonal na sulok ay may 6 na gilid, 6 na mukha at isang vertex, atbp.

Ang mga anggulo ng polyhedral ay matambok at hindi matambok.

Isipin na kumuha kami ng apat na sinag na may karaniwang pinagmulan, tulad ng sa Figure 4. Sa kasong ito, nakuha naminnon-convex polyhedral angle.

Kahulugan 1. Ang polyhedral angle ay tinatawag na convex angle,Kung siyanakahiga sa isang gilid ng eroplano ng bawat mukha nito.

Sa madaling salita, ang isang matambok na polyhedral angle ay maaaring palaging ilagay ng alinman sa mga mukha nito sa ilang eroplano. Makikita mo na sa kaso na ipinapakita sa Figure 4, hindi ito laging posible. Ang anggulo ng tetrahedral na ipinapakita sa Figure 4 ay non-convex.

Tandaan na sa aming tutorial, kung sasabihin namin ang "polyhedral angle", ibig sabihin namin na ito ay matambok. Kung ang itinuturing na polyhedral angle ay hindi matambok, ito ay tatalakayin nang hiwalay.

Mga Property ng Plane Corners ng Polyhedral Corner

Teorama 1.Ang bawat patag na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa sa kabuuan ng iba pang dalawang patag na anggulo.

Teorama 2.Ang kabuuan ng mga halaga ng lahat ng mga anggulo ng eroplano ng isang matambok na polyhedral na anggulo ay mas mababa sa 360°.

3. Paglalapat. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

Mga Layunin: Upang matiyak na ang mga mag-aaral ay ginagamit ang kaalaman at mga pamamaraan ng pagkilos na kailangan nila para sa SW, upang lumikha ng mga kondisyon para sa mga mag-aaral na matukoy ang mga indibidwal na paraan ng pagsasabuhay ng kanilang natutunan.

6. Yugto ng impormasyon tungkol sa takdang-aralin.

Layunin: Upang matiyak na nauunawaan ng mga mag-aaral ang layunin, nilalaman at pamamaraan ng paggawa ng takdang-aralin.

§1(1.1, 1.2) p. 4, blg. 9.

7. Pagbubuod ng aralin.

Layunin: Magbigay ng isang husay na pagtatasa ng gawain ng klase at indibidwal na mga mag-aaral.

8. Yugto ng pagninilay.

Mga Gawain: Upang simulan ang pagmumuni-muni ng mga mag-aaral sa sariling pagtatasa ng kanilang mga gawain. Upang matiyak na matututunan ng mga mag-aaral ang mga prinsipyo ng regulasyon sa sarili at pakikipagtulungan.

Pag-uusap sa:

Ano ang nakita mong kawili-wili sa aralin?

Ano ang hindi malinaw?

Ano ang dapat bigyang pansin ng guro sa susunod na aralin?

Paano mo ire-rate ang iyong trabaho sa klase?

trihedral na anggulo

tatsulok na anggulo.

trihedral na anggulo- ito ay isang bahagi ng espasyo na napapaligiran ng tatlong patag na sulok na may karaniwang vertex at magkapares na magkabilang panig na hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang karaniwang vertex O ng mga anggulong ito ay tinatawag na vertex ng trihedral angle. Ang mga gilid ng mga sulok ay tinatawag na mga gilid, ang mga patag na sulok sa tuktok ng isang trihedral na anggulo ay tinatawag na mga mukha nito. Ang bawat isa sa tatlong pares ng mga mukha ng isang trihedral na anggulo ay bumubuo ng isang dihedral na anggulo (nalilimitahan ng isang ikatlong mukha na hindi kasama sa pares; kung kinakailangan, ang paghihigpit na ito ay natural na tinanggal, na nagreresulta sa mga kinakailangang kalahating eroplano na bumubuo sa buong dihedral anggulo nang walang paghihigpit). Kung ilalagay mo ang vertex ng isang trihedral na anggulo sa gitna ng isang globo, ang isang spherical na tatsulok na hangganan nito ay nabuo sa ibabaw nito, ang mga gilid nito ay katumbas ng mga anggulo ng eroplano ng trihedral na anggulo, at ang mga anggulo sa mga dihedral na anggulo nito. .

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok para sa isang trihedral na anggulo

Ang bawat patag na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa sa kabuuan ng dalawa pang flat na anggulo nito.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang trihedral na anggulo

Ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa sa 360 degrees.

Patunay

Hayaang ang OABC ay isang ibinigay na anggulong trihedral. Isaalang-alang ang isang trihedral angle na may vertex A na nabuo ng mga mukha ABO, ACO at angle BAC. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Katulad nito, para sa natitirang mga anggulo ng trihedral na may mga vertex B at C:

Ang pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito at isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok na ABC ay 180°, nakukuha natin

Kaya naman:

Cosine theorem para sa isang trihedral angle

Unang cosine theorem para sa isang trihedral angle

Pangalawang cosine theorem para sa isang trihedral angle
kung saan ang α, β, γ ay mga anggulo ng eroplano, ang A, B, C ay mga dihedral na anggulo na binubuo ng mga eroplano ng mga anggulo β at γ, α at γ, α at β.

Patunay ng Second Cosine Theorem para sa isang trihedral angle

Hayaang ang OABC ay isang ibinigay na anggulong trihedral. Ibagsak natin ang mga patayo mula sa panloob na punto ng trihedral na anggulo sa mga mukha nito at kumuha ng bagong polar trihedral na anggulo (dalawahan sa ibinigay). Ang mga flat na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay umaakma sa dihedral na mga anggulo ng isa pa, at ang mga dihedral na anggulo ng isang anggulo ay umaakma sa flat na anggulo ng isa pa hanggang 180 degrees. Yung. ang mga anggulo ng eroplano ng polar angle ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng: 180 - A; 180 - B; 180 - C, at dihedral - 180 - α; 180-β; 180-γ

Isulat natin ang unang cosine theorem para dito

at pagkatapos ng mga pagpapasimple ay nakukuha natin:

Sine theorem para sa isang trihedral na anggulo

Kung saan ang α, β, γ ay ang mga anggulo ng eroplano ng trihedral na anggulo; A, B, C - kabaligtaran ng mga anggulo ng dihedral.

Tingnan din

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Trihedral angle" sa iba pang mga diksyunaryo:

Bahagi ng espasyo na napapalibutan ng isang walang katapusang triangular na pyramid (tingnan ang fig.). Ang mga mukha ng pyramid na ito ay tinatawag na mga mukha ng T. u., ang tuktok nito ay ang tuktok ng T. u. Ang mga tadyang ay nabuo ... ... Great Soviet Encyclopedia

trihedral na anggulo- Isang spatial figure na nabuo ng tatlong sinag na nagmumula sa isang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano. Mga paksa sa engineering sa pangkalahatan… Handbook ng Teknikal na Tagasalin

Tingnan ang solid anggulo. * * * TRIHEDRAL ANGLE TRIHEDRAL ANGLE, tingnan ang Solid na anggulo (tingnan ang Solid angle) … encyclopedic Dictionary encyclopedic Dictionary

Isang bahagi ng espasyo na napapaligiran ng isang tiyak na kuyog ng alimusod. ibabaw (Larawan 1); sa partikular, ang mga anggulo ng trihedral (Larawan 2) at polyhedral (Larawan 3) ay may hangganan. tatlo at higit pa mga patag na mukha na nagtatagpo sa tuktok ng T. at. Ang halaga ng T. sa. ay katumbas ng kaugnayan ... ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

trihedral- ay, ay. 1) May tatlong mukha. Triangular na file. T s bayonet. 2) matematika. Nabuo sa pamamagitan ng intersection ng tatlong mukha na dumadaan sa isang punto. Trihedral / nny angle ... Diksyunaryo ng maraming expression

Isang right-angled spherical triangle na may hypotenuse c, legs a at b at right angle C. Ang spherical Pythagorean theorem ay isang theorem na nagtatatag ng relasyon sa pagitan ng mga gilid ng isang rectangular ... Wikipedia

Sa isang karaniwang vertex at magkapares na mga karaniwang panig na hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang karaniwang vertex O ng mga anggulong ito ay tinatawag na vertex ng trihedral angle. Ang mga gilid ng mga sulok ay tinatawag na mga gilid, ang mga patag na sulok sa tuktok ng isang trihedral na anggulo ay tinatawag na mga mukha nito. Ang bawat isa sa tatlong pares ng mga mukha ng isang trihedral na anggulo ay bumubuo ng isang dihedral na anggulo (nalilimitahan ng isang ikatlong mukha na hindi kasama sa pares; kung kinakailangan, ang paghihigpit na ito ay natural na inalis, na nagreresulta sa mga kinakailangang kalahating eroplano na bumubuo sa buong dihedral anggulo nang walang paghihigpit). Kung ilalagay natin ang vertex ng isang trihedral na anggulo sa gitna ng isang globo, ang isang spherical triangle na nakatali nito ay nabuo sa ibabaw nito, ang mga gilid nito ay katumbas ng mga anggulo ng eroplano ng trihedral na anggulo, at ang mga anggulo sa mga dihedral na anggulo nito. .

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok para sa isang trihedral na anggulo

Ang bawat patag na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa sa kabuuan ng dalawa pang flat na anggulo nito.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang trihedral na anggulo

Ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa sa 360 degrees.

Patunay

Hayaang ang OABC ay isang ibinigay na anggulo ng trihedral (tingnan ang Fig. 1). Isaalang-alang ang isang trihedral angle na may vertex A na nabuo ng mga mukha ABO, ACO at angle BAC. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Katulad nito, para sa natitirang mga anggulo ng trihedral na may mga vertex B at C:

Ang pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito at isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok na ABC ay 180°, nakukuha natin

Kaya naman:

Cosine theorem para sa isang trihedral angle

Hayaang magbigay ng trihedral na anggulo (tingnan ang Fig. 2), α, β, γ - ang mga flat na anggulo nito, A, B, C - dihedral angle na binubuo ng mga eroplano ng mga anggulo β at γ, α at γ, α at β.

Ang unang cosine theorem para sa isang trihedral na anggulo: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (A)$

Ang pangalawang cosine theorem para sa isang trihedral na anggulo: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

Patunay ng Second Cosine Theorem para sa Trihedral Angle

Hayaang ang OABC ay isang ibinigay na anggulong trihedral. Ibagsak natin ang mga patayo mula sa panloob na punto ng trihedral na anggulo sa mga mukha nito at kumuha ng bagong polar trihedral na anggulo (dalawahan sa ibinigay). Ang mga flat na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay umaakma sa dihedral na mga anggulo ng isa pa, at ang mga dihedral na anggulo ng isang anggulo ay umaakma sa flat na anggulo ng isa pa hanggang 180 degrees. Iyon ay, ang mga anggulo ng eroplano ng polar angle ay ayon sa pagkakabanggit pantay: 180 - A; 180 - B; 180 - C, at dihedral - 180 - α; 180-β; 180-γ

Isulat natin ang unang cosine theorem para dito

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

at pagkatapos ng mga pagpapasimple ay nakukuha natin:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

Sine theorem para sa isang trihedral na anggulo

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, kung saan ang α, β, γ ay ang mga anggulo ng eroplano ng trihedral na anggulo; A, B, C - kabaligtaran ng mga anggulo ng dihedral (tingnan ang Fig. 2).

Tingnan din

Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Trihedral angle"

Isang sipi na nagpapakita ng trihedral na anggulo

- Itanim mo. Umupo ka, honey, maupo ka. Isuot mo ang iyong kapote, Antonov.
Si Juncker ay si Rostov. Hinawakan niya ang isa pang kamay, namumutla, at ang pang-ibabang panga niya ay nanginginig sa nilalagnat na panginginig. Inilagay nila siya sa Matvevna, sa mismong baril kung saan inihiga ang patay na opisyal. May dugo sa may linyang kapote, kung saan nadumihan ang pantalon at kamay ni Rostov.
- Ano, nasugatan ka ba, mahal ko? - sabi ni Tushin, papalapit sa baril kung saan nakaupo si Rostov.
- Hindi, nabigla sa shell.
- Bakit may dugo sa kama? tanong ni Tushin.
"Ito ay isang opisyal, ang iyong karangalan, siya ay dumudugo," sagot ng sundalong artilerya, pinunasan ang dugo gamit ang manggas ng kanyang kapote at parang humihingi ng paumanhin para sa karumihan kung saan matatagpuan ang baril.
Sapilitan, sa tulong ng infantry, kinuha nila ang mga baril sa bundok, at nang makarating sa nayon ng Guntersdorf, huminto sila. Napakadilim na sa sampung hakbang ay imposibleng makilala ang mga uniporme ng mga sundalo, at nagsimulang humupa ang labanan. Biglang, malapit sa kanang bahagi, muling narinig ang mga sigawan at putok ng baril. Mula sa mga kuha na nagniningning sa dilim. Ito ang huling pag-atake ng mga Pranses, na sinagot ng mga sundalo na nanirahan sa mga bahay ng nayon. Muling nagmadali ang lahat palabas ng nayon, ngunit hindi makagalaw ang mga baril ni Tushin, at ang mga gunner, si Tushin at ang kadete, ay tahimik na nagkatinginan, naghihintay sa kanilang kapalaran. Ang labanan ay nagsimulang humina, at ang mga animated na sundalo ay bumuhos mula sa isang gilid ng kalye.
- Tsel, Petrov? tanong ng isa.
- Tanong ni kuya ang init. Ngayon ay hindi na sila babalik, sabi ng isa pa.
- Walang makita. Paano nila ito pinirito sa kanila! hindi dapat makita; kadiliman, mga kapatid. may inumin ba?
Ang mga Pranses ay tinanggihan sa huling pagkakataon. At muli, sa ganap na kadiliman, ang mga baril ni Tushin, na parang napapalibutan ng isang frame ng umuungal na infantry, ay lumipat sa isang lugar pasulong.
Sa dilim, para bang isang di-nakikita, madilim na ilog ang umaagos, lahat sa isang direksyon, umuungol ng mga bulong, boses at tunog ng mga paa at gulong. Sa pangkalahatang dagundong, dahil sa lahat ng iba pang mga tunog, ang mga daing at boses ng mga sugatan sa dilim ng gabi ay pinakamalinaw sa lahat. Ang kanilang mga daing ay tila pinupuno ang lahat ng kadiliman na nakapaligid sa mga tropa. Ang kanilang mga daing at ang dilim ng gabing iyon ay iisa. Maya-maya pa ay nagkagulo na sa umaandar na mga tao. May sumakay kasama ang isang retinue sa isang puting kabayo at may sinabi habang nagmamaneho. Ano ang sinabi mo? Saan na? Manatili, ano? Salamat ha? - Ang mga sakim na tanong ay narinig mula sa lahat ng panig, at ang buong gumagalaw na masa ay nagsimulang magdiin sa sarili nito (malinaw na ang mga nasa harap ay tumigil), at isang bulung-bulungan ang kumalat na ito ay iniutos na huminto. Huminto ang lahat habang naglalakad, sa gitna ng maputik na kalsada.
Lumiwanag ang mga ilaw at lumakas ang boses. Si Kapitan Tushin, na nagbigay ng mga utos sa kumpanya, ay nagpadala ng isa sa mga sundalo upang maghanap ng isang dressing station o isang doktor para sa kadete, at umupo sa tabi ng apoy na inilatag sa kalsada ng mga sundalo. Kinaladkad din ni Rostov ang sarili sa apoy. Nilagnat na nanginginig sa sakit, lamig at basa ang buo niyang katawan. Hindi mapigilan ang tulog niya, ngunit hindi siya makatulog dahil sa sobrang sakit ng kanyang pananakit at wala sa posisyong braso. Ipinikit niya ang kanyang mga mata, o tumingin sa apoy, na para sa kanya ay mapusok na pula, pagkatapos ay sa nakayuko, mahinang pigura ni Tushin, na nakaupo sa tabi niya sa istilong Turkish. Ang malaki, mabait at matalinong mga mata ni Tushin ay nakatutok sa kanya na may simpatiya at habag. Nakita niya na gusto ni Tushin nang buong puso at hindi siya matutulungan sa anumang paraan.

Isaalang-alang natin ang tatlong sinag a, b, c, na nagmumula sa parehong punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang trihedral angle (abc) ay isang figure na binubuo ng "tatlong flat angle (ab), (bc) at (ac) (Fig. 2). Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga mukha ng trihedral angle, at ang kanilang mga gilid ay mga gilid, ang karaniwang vertex ng mga patag na anggulo ay tinatawag Ang dihedral na mga anggulo na nabuo ng mga mukha ng isang trihedral na anggulo ay tinatawag na dihedral angles ng isang trihedral angle.

Ang konsepto ng isang polyhedral angle ay tinukoy nang katulad (Larawan 3).

Polyhedron

Sa stereometry, ang mga figure sa kalawakan, na tinatawag na mga katawan, ay pinag-aaralan. Biswal, ang isang (geometric) na katawan ay dapat isipin bilang isang bahagi ng espasyo na inookupahan ng isang pisikal na katawan at nakatali ng isang ibabaw.

Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga flat polygons (Larawan 4). Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay nasa isang gilid ng eroplano ng bawat flat polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng convex polyhedron ay tinatawag na mukha. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertices ay tinatawag na mga vertices ng polyhedron.

Ipaliwanag natin kung ano ang sinabi sa halimbawa ng isang pamilyar na kubo (Larawan 5). Ang kubo ay isang convex polyhedron. Ang ibabaw nito ay binubuo ng anim na parisukat: ABCD, BEFC, .... Sila ang mga mukha nito. Ang mga gilid ng kubo ay ang mga gilid ng mga parisukat na ito: AB, BC, BE,.... Ang mga vertices ng cube ay ang vertices ng mga parisukat: A, B, C, D, E, .... Ang cube ay may anim na mukha, labindalawang gilid at walong vertices.

Ang pinakasimpleng polyhedra - prisms at pyramids, na magiging pangunahing bagay ng aming pag-aaral - magbibigay kami ng mga kahulugan na, sa esensya, ay hindi gumagamit ng konsepto ng isang katawan. Ang mga ito ay tutukuyin bilang mga geometric na figure na may indikasyon ng lahat ng mga punto ng espasyo na kabilang sa kanila. Ang konsepto ng isang geometric na katawan at ang ibabaw nito sa pangkalahatang kaso ay ibibigay sa ibang pagkakataon.