ay ibinigay, sa madaling salita, kilala, kung para sa bawat halaga ng posibleng bilang ng mga argumento posible na malaman ang kaukulang halaga ng function. Ang pinakakaraniwang tatlo paraan ng pagtukoy ng function: tabular, graphic, analytical, mayroon ding verbal at recursive na pamamaraan.

1. Tabular na paraan ang pinakalaganap (mga talahanayan ng logarithms, square roots), ang pangunahing bentahe nito ay ang posibilidad na makakuha ng isang numerical na halaga ng function, ang mga disadvantages ay ang talahanayan ay maaaring mahirap basahin at kung minsan ay hindi naglalaman ng mga intermediate na halaga ng argumento .

Halimbawa:

x
y

Pangangatwiran X kinukuha ang mga halagang tinukoy sa talahanayan, at sa tinukoy ayon sa argumentong ito X.

2. Grapikong paraan binubuo sa pagguhit ng isang linya (graph), kung saan ang mga abscissas ay kumakatawan sa mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay kumakatawan sa kaukulang mga halaga ng pag-andar. Kadalasan, para sa kalinawan, ang mga kaliskis sa mga palakol ay kinukuha nang iba.

Halimbawa: para mahanap ang schedule sa, na tumutugma sa x = 2.5 ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang patayo sa axis X sa marka 2,5 . Ang marka ay maaaring tumpak na gawin sa isang pinuno. Pagkatapos ay makikita natin iyon sa X = 2,5 sa katumbas 7,5 , ngunit kung kailangan nating hanapin ang halaga sa sa X katumbas ng 2,76 , kung gayon ang graphical na paraan ng pagtatakda ng function ay hindi magiging tumpak, dahil Hindi pinapayagan ng ruler ang ganitong tumpak na pagsukat.

Ang mga bentahe ng pamamaraang ito ng pagtatakda ng mga function ay nasa kadalian at integridad ng pang-unawa, sa pagpapatuloy ng pagbabago ng argumento; ang kawalan ay ang pagbaba sa antas ng katumpakan at ang kahirapan sa pagkuha ng mga tumpak na halaga.

3. Paraan ng analitikal binubuo sa pagtukoy ng isang function sa pamamagitan ng isa o higit pang mga formula. Ang pangunahing bentahe ng pamamaraang ito ay ang mataas na katumpakan ng pagtukoy sa pag-andar ng argumento ng interes, at ang kawalan ay ang oras na ginugol sa karagdagang mga operasyon sa matematika.

Halimbawa:

Maaaring tukuyin ang function gamit ang mathematical formula y=x2, saka kung X katumbas 2 , pagkatapos sa katumbas 4, nagtatayo kami X sa isang parisukat.

4. pasalitang paraan binubuo sa pagtukoy ng function sa simpleng wika, i.e. mga salita. Sa kasong ito, kinakailangan na magbigay ng input, mga halaga ng output at ang pagsusulatan sa pagitan nila.

Halimbawa:

Maaari mong pasalitang tukuyin ang isang function (gawain) na tinatanggap bilang isang natural na argumento X na may katumbas na halaga ng kabuuan ng mga digit na bumubuo sa halaga sa. Ipaliwanag: kung X katumbas 4 , pagkatapos sa katumbas 4 , at kung X katumbas 358 , pagkatapos sa ay katumbas ng kabuuan 3 + 5 + 8 , ibig sabihin. 16 . Karagdagang katulad.

5. Recursive na paraan ay binubuo sa pagtukoy ng isang function sa pamamagitan ng sarili nito, habang mga halaga ng function ay tinukoy sa mga tuntunin ng iba pang mga halaga nito. Ang paraan ng pagtukoy ng isang function ay ginagamit sa pagtukoy ng mga set at serye.

Halimbawa:

Kapag naagnas Mga numero ng Euler ibinigay ng function:

Ang pagdadaglat nito ay ibinigay sa ibaba:

Sa direktang pagkalkula, ang walang katapusang recursion ay nangyayari, ngunit maaari itong mapatunayan na ang halaga f(n) sa pagtaas n may kaugaliang pagkakaisa (samakatuwid, sa kabila ng kawalang-hanggan ng serye , ang halaga Mga numero ng Euler tiyak). Para sa isang tinatayang pagkalkula ng halaga e sapat na upang artipisyal na limitahan ang lalim ng recursion sa ilang paunang natukoy na numero at, kapag naabot ito, gamitin ito sa halip f(n) yunit.

Ano ang ibig sabihin ng mga salita "set function"? Ibig nilang sabihin: ipaliwanag sa lahat, tungkol sa kung ano tiyak na pag-andar ay nagsasalita. Bukod dito, ipaliwanag nang malinaw at hindi malabo!

Paano ko magagawa iyon? paano magtakda ng isang function?

Maaari kang magsulat ng isang formula. Maaari kang gumuhit ng isang graph. Maaari kang gumawa ng isang mesa. Anumang paraan ay ilang panuntunan kung saan maaari mong malaman ang halaga ng player para sa x value na aming pinili. Yung. "itakda ang function", ibig sabihin nito - upang ipakita ang batas, ang panuntunan ayon sa kung saan ang x ay nagiging isang y.

Kadalasan, sa iba't ibang gawain ay mayroong handa na mga function. Binibigyan nila tayo nakatakda na. Magpasya para sa iyong sarili, ngunit magpasya.) Ngunit ... Kadalasan, ang mga mag-aaral (at mga mag-aaral) ay nagtatrabaho sa mga formula. Nasasanay na sila, naiintindihan mo... Nasasanay na sila na anumang elementarya na tanong na may kaugnayan sa ibang paraan ng pagtukoy ng function ay agad na nakakainis sa isang tao...)

Upang maiwasan ang mga ganitong kaso, makatuwirang maunawaan ang iba't ibang paraan ng pagtukoy ng mga function. At, siyempre, ilapat ang kaalamang ito sa mga "mapanlinlang" na tanong. Ito ay sapat na simple. Kung alam mo kung ano ang isang function...)

Pumunta?)

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function.

Ang pinaka maraming nalalaman at makapangyarihang paraan. Tinukoy ang function na analytical, ito ang function na ibinigay mga formula. Sa totoo lang, ito ang buong paliwanag.) Pamilyar sa lahat (gusto kong maniwala!)) mga function, halimbawa: y=2x o y=x2 atbp. atbp. ay ibinigay nang analitikal.

Sa pamamagitan ng paraan, hindi lahat ng formula ay maaaring tukuyin ang isang function. Hindi lahat ng formula ay sumusunod sa mahigpit na kondisyon ng kahulugan ng function. Namely - para sa bawat x mayroon lamang isa laro. Halimbawa, sa formula y = ±x, para sa isa mga halaga x=2, ito ay lumiliko dalawa y value: +2 at -2. Imposibleng tukuyin ang isang pinahahalagahang function gamit ang formula na ito. At sa mga multivalued function sa seksyong ito ng matematika, sa mathematical analysis, hindi sila gumagana, bilang panuntunan.

Bakit maganda ang analytical na paraan ng pagtukoy sa isang function? Ang katotohanan na kung mayroon kang isang formula - alam mo ang tungkol sa pag-andar lahat! Maaari kang gumawa ng isang mesa. Bumuo ng isang graph. I-explore ang feature na ito nang buo. Hulaan nang eksakto kung saan at paano gagana ang function na ito. Ang lahat ng mathematical analysis ay nakasalalay sa pamamaraang ito ng pagtukoy ng mga function. Sabihin nating napakahirap kunin ang derivative ng isang table...)

Ang analytical na pamamaraan ay medyo pamilyar at hindi lumilikha ng mga problema. Maliban marahil sa ilang uri ng pamamaraang ito na nararanasan ng mga mag-aaral. Pinag-uusapan ko ang tungkol sa parametric at implicit na pagtatalaga ng mga function.) Ngunit ang mga naturang function ay nasa isang espesyal na aralin.

Lumipat tayo sa hindi gaanong pamilyar na mga paraan ng pagtukoy ng isang function.

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pamamaraang ito ay isang simpleng plato. Sa talahanayang ito, ang bawat x ay tumutugma sa ( ay nakahanay) ilang halaga ng manlalaro. Ang unang linya ay naglalaman ng mga halaga ng argumento. Ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga katumbas na halaga ng function, halimbawa:

Talahanayan 1.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	5	2	- 4	- 1	6	5

Mangyaring bigyang-pansin! Sa halimbawang ito, ang y ay nakasalalay sa x kahit papaano. Sinadya ko ito.) Walang pattern. Ayos lang, mangyayari. Ibig sabihin, eksakto Itinakda ko ang partikular na function na ito. Eksakto Nag-set up ako ng panuntunan kung saan ang x ay nagiging y.

Maaaring i-compile isa pa isang plato na may pattern. Itatakda ang plato na ito isa pa function, halimbawa:

Talahanayan 2.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	- 6	- 2	0	4	6	8

Nahuli mo ba ang pattern? Dito, ang lahat ng mga halaga ng y ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng x sa dalawa. Narito ang unang "mapanlinlang" na tanong: maituturing bang function ang tinukoy na function gamit ang Table 2 y = 2x? Mag-isip sandali, ang sagot ay nasa ibaba, sa isang graphical na paraan. Napakalinaw doon.)

Ano ang mabuti tabular na paraan ng pagtatakda ng isang function? Oo, wala kang kailangang bilangin. Ang lahat ay nakalkula na at nakasulat sa talahanayan.) At wala nang mas mabuti. Hindi namin alam ang halaga ng function para sa x, na wala sa mesa. Sa pamamaraang ito, ang gayong mga halaga ng x ay simple ay wala. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang palatandaan sa nakakalito na tanong.) Hindi namin malaman kung paano kumikilos ang function sa labas ng talahanayan. Wala tayong magagawa. Oo, at ang kakayahang makita sa pamamaraang ito ay nag-iiwan ng maraming nais ... Para sa kalinawan, ang isang graphical na pamamaraan ay mabuti.

Graphical na paraan upang tukuyin ang isang function.

Sa pamamaraang ito, ang function ay kinakatawan ng isang graph. Ang argumento (x) ay naka-plot kasama ang abscissa, at ang halaga ng function (y) ay naka-plot kasama ang ordinate. Ayon sa iskedyul, maaari ka ring pumili ng anuman X at hanapin ang katumbas na halaga sa. Ang iskedyul ay maaaring maging anuman, ngunit... hindi anuman.) Gumagana lamang kami sa mga function na may iisang halaga. Ang kahulugan ng naturang function ay malinaw na nagsasaad ng: bawat isa X ay nakahanay ang nag-iisa sa. Isa isa, hindi dalawa, o tatlo... Halimbawa, tingnan natin ang circle graph:

Ang isang bilog ay parang bilog... Bakit hindi ito dapat maging isang graph ng isang function? At hanapin natin kung aling y ang tumutugma sa halaga ng x, halimbawa, 6? Inilipat namin ang cursor sa ibabaw ng tsart (o pindutin ang larawan sa tablet), at ... nakita namin na ang X na ito ay tumutugma sa dalawa mga halaga ng manlalaro: y=2 at y=6.

Dalawa at anim! Samakatuwid, ang gayong graph ay hindi magiging isang graphic na pagtatalaga ng isang function. Sa isa x accounted para sa dalawa laro. Ang graph na ito ay hindi tumutugma sa kahulugan ng function.

Ngunit kung matutugunan ang kundisyon ng pagiging natatangi, ang graph ay maaaring maging anumang bagay. Halimbawa:

Ang napaka-krivulina na ito - at mayroong batas kung saan maaari mong isalin ang x sa isang y. Hindi malabo. Gusto naming malaman ang halaga ng function para sa x = 4, Halimbawa. Kailangan nating hanapin ang apat sa x-axis at tingnan kung aling y ang tumutugma sa x na ito. I-hover ang mouse sa figure at makita na ang halaga ng function sa para sa x=4 katumbas ng lima. Hindi natin alam kung anong formula ang ibinibigay ng naturang pagbabago ng X sa Y. Hindi kailangan. Ang lahat ay nakatakda sa iskedyul.

Ngayon ay maaari tayong bumalik sa "mapanlinlang" na tanong tungkol sa y=2x. I-plot natin ang function na ito. Nandiyan siya:

Siyempre, kapag iginuhit ang graph na ito, hindi kami kumuha ng walang katapusang bilang ng mga halaga X. Kumuha kami ng ilang halaga, binilang y, gumawa ng plato - at tapos ka na! Ang pinaka marunong bumasa at sumulat sa pangkalahatan ay kumuha lamang ng dalawang halaga ng X! At tama nga. Para sa isang tuwid na linya, hindi mo na kailangan pa. Bakit dagdag trabaho?

Ngunit tayo alam ng eksakto ano ang maaaring maging x sinuman. Buo, fractional, negatibo... Kahit ano. Ito ay ayon sa formula y=2x ito ay nakikita. Samakatuwid, matapang naming ikinonekta ang mga punto sa graph gamit ang isang solidong linya.

Kung ang function ay ibinigay sa amin ng Table 2, pagkatapos ay kailangan naming kumuha ng mga x-values mula lang sa mesa. Para sa ibang mga Xs ​​(at Ys) ay hindi ibinigay sa amin, at walang kahit saan upang dalhin ang mga ito. Walang, mga halagang ito, sa function na ito. Lalabas ang schedule mula sa mga puntos. Itinuturo namin ang mouse sa larawan at tingnan ang graph ng function na ibinigay ng Talahanayan 2. Hindi ko isinulat ang mga halaga ng x-y sa mga palakol, malalaman mo ba ito, pumunta, sa pamamagitan ng mga cell?)

Narito ang sagot sa mapanlinlang na tanong. Function na ibinigay ng Table 2 at function y=2x - iba-iba.

Ang graphical na paraan ay mabuti para sa kalinawan nito. Makikita mo kaagad kung paano kumikilos ang function kung saan ito tumataas. kung saan ito bumababa. Mula sa graph, maaari mong agad na malaman ang ilang mahahalagang katangian ng function. At sa paksang may derivative, mga gawain na may mga graph - sa lahat ng oras!

Sa pangkalahatan, ang analytical at graphical na mga paraan ng pagtukoy ng isang function ay magkakasabay. Ang paggawa sa formula ay nakakatulong sa pagbuo ng isang graph. At ang graph ay madalas na nagmumungkahi ng mga solusyon na hindi mo mapapansin sa formula ... Magkaibigan tayo sa mga graph.)

Halos sinumang mag-aaral ang nakakaalam ng tatlong paraan para tukuyin ang isang function na kakatapos lang naming saklaw. Ngunit sa tanong na: "At ang pang-apat!?" - nagyeyelo nang husto.)

May ganoong paraan.

Verbal na paglalarawan ng function.

Oo Oo! Ang isang function ay maaaring medyo malinaw na tinukoy sa mga salita. Ang mahusay at makapangyarihang wikang Ruso ay may kakayahang magkano!) Halimbawa, ang function y=2x maaaring ibigay ang sumusunod na pandiwang paglalarawan: ang bawat tunay na halaga ng argumentong x ay itinalaga ang dobleng halaga nito. Ganito! Nakatakda ang panuntunan, nakatakda ang function.

Bukod dito, posible na tukuyin ang isang function sa salita, na kung saan ay lubhang mahirap, kung hindi imposible, upang tukuyin sa pamamagitan ng isang formula. Halimbawa: ang bawat halaga ng natural na argumentong x ay itinalaga ang kabuuan ng mga digit na bumubuo sa halaga ng x. Halimbawa, kung x=3, pagkatapos y=3. Kung ang x=257, pagkatapos y=2+5+7=14. atbp. Mahirap isulat ito sa isang formula. Ngunit ang mesa ay madaling gawin. At bumuo ng isang tsart. Sa pamamagitan ng paraan, ang iskedyul ay naging nakakatawa ...) Subukan ito.

Ang paraan ng pandiwang paglalarawan ay isang medyo kakaibang pamamaraan. Pero minsan nangyayari. Dito ko ito dinala para bigyan ka ng kumpiyansa sa mga hindi inaasahang at hindi karaniwang sitwasyon. Kailangan mo lang maunawaan ang kahulugan ng mga salita "set ng function..." Narito ang kahulugan:

Kung may batas ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan X at sa ibig sabihin may function. Anong batas, sa anong anyo ito ay ipinahayag - sa pamamagitan ng isang pormula, isang tableta, isang graph, mga salita, mga kanta, mga sayaw - ay hindi nagbabago sa kakanyahan ng bagay. Ang batas na ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang katumbas na halaga ng y sa pamamagitan ng halaga ng x. Lahat.

Ngayon ay ilalapat natin ang malalim na kaalamang ito sa ilang di-karaniwang gawain.) Gaya ng ipinangako sa simula ng aralin.

Ehersisyo 1:

Ang function na y = f(x) ay ibinibigay sa Talahanayan 1:

Talahanayan 1.

Hanapin ang halaga ng function na p(4) kung p(x)= f(x) - g(x)

Kung hindi mo maisip kung ano ang sa lahat - basahin ang nakaraang aralin "Ano ang isang function?" Doon, napakalinaw na nakasulat tungkol sa mga naturang titik at bracket.) At kung malito ka lang ng tabular form, aalamin namin ito dito.

Malinaw sa nakaraang aralin na kung, p(x) = f(x) - g(x), pagkatapos p(4) = f(4) - g(4). Mga liham f at g ibig sabihin ang mga patakaran ayon sa kung saan ang bawat X ay itinalaga ng sarili nitong Y. Para sa bawat titik ( f at g) - sariling tuntunin. Na ibinigay ng kaukulang talahanayan.

Halaga ng function f(4) tinutukoy mula sa Talahanayan 1. Ito ay magiging 5. Ang halaga ng function g(4) tinutukoy ng Talahanayan 2. Ito ay magiging 8. Ang pinakamahirap na natitira.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Ito ang tamang sagot.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay f(x) > 2

Ayan yun! Ito ay kinakailangan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, na (sa karaniwang anyo) ay napakatalino na wala! Ito ay nananatiling alinman sa umalis sa gawain, o i-on ang ulo. Pinipili namin ang pangalawa at magtalo.)

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay? Nangangahulugan ito na hanapin ang lahat ng mga halaga ng x kung saan nasiyahan ang kundisyong ibinigay sa amin f(x) > 2. Yung. lahat ng mga halaga ng function ( sa) ay dapat na higit sa dalawa. At mayroon tayong bawat y sa chart... At mayroong higit sa dalawa, at mas kaunti... At tayo, para sa kalinawan, gumuhit ng linya sa dalawang ito! Inilipat namin ang cursor sa ibabaw ng larawan at nakikita ang hangganang ito.

Sa mahigpit na pagsasalita, ang hangganan na ito ay ang graph ng function y=2, ngunit hindi iyon ang punto. Mahalaga na ngayon sa graph ay napakalinaw na nakikita kung saan, sa anong x, mga halaga ng function, i.e. y, higit sa dalawa. Mas marami sila X > 3. Sa X > 3 ang aming buong function ay pumasa mas mataas mga hangganan y=2. Iyan ang buong solusyon. Ngunit napakaaga pa para siraan ang iyong ulo!) Kailangan pa nating isulat ang sagot ...

Ipinapakita ng graph na ang aming function ay hindi umaabot sa kaliwa at kanan hanggang sa infinity. Ang mga punto sa dulo ng graph ay nagsasalita tungkol dito. Ang function ay nagtatapos doon. Samakatuwid, sa aming hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ng x na lumalampas sa mga limitasyon ng function ay walang kahulugan. Para sa pag-andar ng mga x na ito ay wala. At kami, sa katunayan, lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa function ...

Ang tamang sagot ay:

3 < X ≤ 6

O, sa ibang anyo:

X ∈ (3; 6]

Ngayon ang lahat ay tulad ng nararapat. Ang triple ay hindi kasama sa sagot, dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. At ang anim ay lumiliko, dahil at ang function sa anim ay umiiral, at ang hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon ay nasiyahan. Matagumpay nating nalutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay na (sa karaniwang anyo nito) ay hindi umiiral...

Ito ay kung paano nakakatipid ang ilang kaalaman at elementarya sa mga hindi karaniwang kaso.)

Maaaring tukuyin ang mga function sa iba't ibang paraan. Gayunpaman, ang sumusunod na tatlong paraan ng pagtukoy ng mga function ay pinakakaraniwan: analytical, tabular, at graphical.

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function. Gamit ang analytical na paraan ng setting, ang function ay tinukoy gamit ang isang analytical expression, iyon ay, gamit ang isang formula na nagpapahiwatig kung anong mga operasyon ang dapat gawin sa halaga ng argumento upang makuha ang kaukulang halaga ng function.

Sa Seksyon 2 at 3, nakilala na namin ang mga function na tinukoy sa tulong ng mga formula, ibig sabihin, analytically. Kasabay nito, sa talata 2 para sa function, ang domain ng kahulugan ) ay itinatag batay sa geometric na pagsasaalang-alang, at para sa function, ang domain ng pagtatalaga ay ipinahiwatig sa kondisyon. Sa Seksyon 3, para sa function, ang domain ng kahulugan ay tinukoy din ayon sa kundisyon. Gayunpaman, kadalasan ang isang function ay tinukoy lamang sa tulong ng isang analytical expression (formula), nang walang anumang karagdagang kundisyon. Sa ganitong mga kaso, sa pamamagitan ng domain ng isang function, ang ibig naming sabihin ay ang hanay ng lahat ng mga halaga ng argument na kung saan ang expression na ito ay may katuturan at humahantong sa aktwal na mga halaga ng function.

Halimbawa 1. Hanapin ang saklaw ng isang function

Desisyon. Ang function ay tinukoy lamang ng isang formula, ang saklaw nito ay hindi tinukoy, at walang mga karagdagang kundisyon. Samakatuwid, sa ilalim ng domain ng function na ito, dapat nating maunawaan ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng argumento kung saan ang expression ay may mga tunay na halaga. Para dito dapat mayroong . Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, dumating tayo sa konklusyon na ang domain ng function na ito ay ang segment [-1.1].

Halimbawa 2. Hanapin ang saklaw ng isang function.

Desisyon. Ang domain ng kahulugan, malinaw naman, ay binubuo ng dalawang walang katapusang pagitan, dahil ang expression ay hindi at may katuturan kapag ang a ay tinukoy para sa lahat ng iba pang mga halaga.

Madali na ngayong makikita ng mambabasa para sa kanyang sarili na para sa isang function, ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, at para sa isang function, isang walang katapusang pagitan.

Dapat tandaan na imposibleng makilala ang isang function at isang formula kung saan tinukoy ang function na ito. Gamit ang parehong formula, maaari mong tukuyin ang iba't ibang mga function. Sa katunayan, sa Seksyon 2 ay itinuring namin ang isang function na may domain ng kahulugan, sa Seksyon 3 isang graph ang ginawa para sa isang function na may domain ng kahulugan . At, sa wakas, isinaalang-alang namin ang isang function na tinukoy lamang ng isang formula nang walang anumang karagdagang kundisyon. Ang saklaw ng function na ito ay ang buong axis ng numero. Magkaiba ang tatlong function na ito dahil magkaiba sila ng saklaw. Ngunit itinakda ang mga ito gamit ang parehong formula.

Posible rin ang reverse case, kapag ang isang function sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito ay ibinigay ng iba't ibang mga formula. Halimbawa, isaalang-alang ang isang function na tinukoy para sa lahat ng mga hindi negatibong halaga tulad ng sumusunod: para sa i.e.

Ang function na ito ay tinukoy ng dalawang analytic na expression na kumikilos sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito. Ang graph ng function na ito ay ipinapakita sa Fig. labing-walo.

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function. Kapag ang isang function ay tinukoy sa isang talahanayan, ang isang talahanayan ay nilikha kung saan ang isang bilang ng mga halaga ng argumento at kaukulang mga halaga ng function ay ipinahiwatig. Ang mga talahanayan ng logarithmic, mga talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko at marami pang iba ay malawak na kilala. Kadalasan kinakailangan na gumamit ng mga talahanayan ng mga halaga ng pag-andar na nakuha nang direkta mula sa karanasan. Ang sumusunod na talahanayan ay nagpapakita ng mga resistivity ng tanso na nakuha mula sa karanasan (sa cm - sentimetro) sa iba't ibang temperatura t (sa degrees):

Graphical na paraan upang tukuyin ang isang function. Kapag ang isang graphical na gawain ay ibinigay, ang graph ng function ay ibinigay, at ang mga halaga nito na tumutugma sa ilang mga halaga ng argumento ay direktang matatagpuan mula sa graph na ito. Sa maraming kaso, ang mga naturang graph ay iginuhit gamit ang mga self-recording device.

Ang mga pangunahing paraan ng pagtukoy ng mga function ay ibinigay: tahasang analytical; pagitan; parametric; implicit; pagtukoy ng isang function gamit ang isang serye; tabular; graphic. Mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pamamaraang ito

Mayroong mga sumusunod na paraan upang tukuyin ang function na y = f (x):

1. Isang tahasang analitikal na pamamaraan gamit ang isang formula ng anyong y = f (x).
2. Pagitan.
3. Parametric: x = x (t), y = y(t).
4. Implicit, bilang isang solusyon sa equation F (x, y) = 0.
5. Sa anyo ng isang serye na binubuo ng mga kilalang function.
6. Tabular.
7. Graphic.

Tiyak na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa tahasang paraan, ang halaga ng function ay tinutukoy ng formula, na ang equation na y = f (x). Sa kaliwang bahagi ng equation na ito ay ang dependent variable y, at sa kanang bahagi ay isang expression na binubuo ng independent variable x, constant, alam na mga function, at mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, at paghahati. Ang mga kilalang function ay elementarya na pag-andar at mga espesyal na pag-andar, ang mga halaga nito ay maaaring kalkulahin gamit ang teknolohiya ng computer.

Narito ang ilang mga halimbawa ng tahasang pagtukoy sa isang function na may isang independent variable x at isang dependent variable y :
;
;
.

Interval na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa paraan ng pagitan ng pagtatakda ng isang function, ang domain ng kahulugan ay nahahati sa ilang mga pagitan, at ang function ay tinukoy nang hiwalay para sa bawat pagitan.

Narito ang ilang mga halimbawa ng paraan ng pagitan ng pagtukoy ng isang function:

Parametric na paraan ng pagtukoy ng isang function

Sa parametric na pamamaraan, isang bagong variable ang ipinakilala, na tinatawag na isang parameter. Susunod, ang mga halaga ng x at y ay itinakda bilang mga function ng parameter, gamit ang tahasang paraan ng pagtatakda:
(1)

Narito ang mga halimbawa ng parametric na paraan ng pagtukoy ng function gamit ang t parameter:

Ang bentahe ng parametric na pamamaraan ay ang parehong function ay maaaring tukuyin sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan. Halimbawa, ang isang function ay maaaring tukuyin tulad nito:

At ito ay posible tulad nito:

Ang ganitong kalayaan sa pagpili, sa ilang mga kaso, ay nagbibigay-daan sa iyo na ilapat ang paraang ito upang malutas ang mga equation (tingnan ang "Differential equation na hindi naglalaman ng isa sa mga variable"). Ang kakanyahan ng aplikasyon ay pinapalitan natin ang dalawang function at sa halip na ang mga variable na x at y sa equation. Pagkatapos ay itinakda namin ang isa sa mga ito sa aming sariling paghuhusga, upang ang isa ay matukoy mula sa resultang equation.

Gayundin, ang pamamaraang ito ay ginagamit upang gawing simple ang mga kalkulasyon. Halimbawa, ang pag-asa ng mga coordinate ng mga punto ng isang ellipse na may mga semiax a at b ay maaaring kinakatawan tulad ng sumusunod:
.
Sa isang parametric form, ang dependence na ito ay maaaring bigyan ng mas simpleng anyo:
.

Ang mga equation (1) ay hindi lamang ang paraan upang parametric na tukuyin ang isang function. Maaari kang magpasok ng hindi isa, ngunit ilang mga parameter sa pamamagitan ng pag-uugnay sa mga ito sa mga karagdagang equation. Halimbawa, maaari kang magpasok ng dalawang parameter at . Pagkatapos ang kahulugan ng function ay magiging ganito:

Narito ang isang karagdagang equation na nauugnay sa mga parameter. Kung ang bilang ng mga parameter ay n , dapat mayroong n - 1 karagdagang mga equation.

Ang isang halimbawa ng paggamit ng maramihang mga parameter ay itinakda sa pahina ng Jacobi Differential Equation. Doon, hinahanap ang solusyon sa sumusunod na anyo:
(2) .
Ang resulta ay isang sistema ng mga equation. Upang malutas ito, ipinakilala ang ikaapat na parameter t. Pagkatapos malutas ang sistema, tatlong equation ang nakuha na nauugnay sa apat na parameter at .

Implicit na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa implicit na paraan, ang halaga ng function ay tinutukoy mula sa solusyon ng equation.

Halimbawa, ang equation para sa isang ellipse ay:
(3) .
Ito ay isang simpleng equation. Kung isasaalang-alang lamang natin ang itaas na bahagi ng ellipse, , kung gayon maaari nating ipahayag ang variable na y bilang isang function ng x sa isang tahasang paraan:
(4) .
Ngunit kahit na posible na bawasan ang (3) sa isang tahasang paraan ng pagtukoy sa function (4), ang huling formula ay hindi palaging maginhawang gamitin. Halimbawa, upang mahanap ang derivative , madaling pag-iba-ibahin ang equation (3) sa halip na (4):
;
.

Pagtatakda ng isang function sa malapit

Ang isang napakahalagang paraan upang tukuyin ang isang function ay ang representasyon ng hilera binubuo ng mga kilalang function. Pinapayagan ka ng pamamaraang ito na galugarin ang pag-andar sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng matematika at kalkulahin ang mga halaga nito para sa mga inilapat na problema.

Ang pinakakaraniwang representasyon ay ang pagtukoy ng isang function gamit ang isang power series. Sa kasong ito, ginagamit ang isang bilang ng mga function ng kapangyarihan:
.
Ginagamit din ang isang serye na may mga negatibong exponent:
.
Halimbawa, ang function ng sine ay may sumusunod na pagpapalawak:
(5) .
Ang ganitong mga pagpapalawak ay malawakang ginagamit sa teknolohiya ng computer upang makalkula ang mga halaga ng mga pag-andar, dahil pinapayagan nila ang isa na bawasan ang mga kalkulasyon sa mga pagpapatakbo ng aritmetika.

Bilang isang paglalarawan, kalkulahin natin ang halaga ng sine na 30° gamit ang pagpapalawak (5).
I-convert ang mga degree sa radians:
.
Palitan sa (5):



.

Sa matematika, kasama ng power series, malawakang ginagamit ang mga pagpapalawak sa trigonometric series sa mga function at , gayundin sa iba pang espesyal na function. Sa tulong ng serye, ang isa ay maaaring gumawa ng tinatayang mga kalkulasyon ng mga integral, equation (differential, integral, sa mga partial derivatives) at siyasatin ang kanilang mga solusyon.

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function

Sa tabular na paraan ng pagtatakda ng isang function mayroon kaming isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng independiyenteng variable x at ang kaukulang mga halaga ng dependent variable y. Ang mga independiyente at umaasa na mga variable ay maaaring may magkaibang mga pagtatalaga, ngunit ginagamit namin ang x at y dito. Upang matukoy ang halaga ng isang function para sa isang ibinigay na halaga ng x , ginagamit namin ang talahanayan upang mahanap ang halaga ng x na pinakamalapit sa aming halaga. Pagkatapos nito, tinutukoy namin ang kaukulang halaga ng dependent variable y .

Para sa isang mas tumpak na kahulugan ng halaga ng function, isinasaalang-alang namin na ang function sa pagitan ng dalawang katabing halaga ng x ay linear, iyon ay, mayroon itong sumusunod na anyo:
.
Narito ang mga halaga ng function na natagpuan mula sa talahanayan, na may kaukulang mga halaga ng mga argumento .
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kailangan nating hanapin ang halaga ng function sa . Mula sa talahanayan makikita natin:
.
Pagkatapos

.
Eksaktong halaga:
.
Mula sa halimbawang ito, makikita na ang paggamit ng linear approximation ay humantong sa pagtaas ng katumpakan sa pagtukoy ng halaga ng function.

Ang paraan ng tabular ay ginagamit sa mga inilapat na agham. Bago ang pagbuo ng teknolohiya ng computer, malawak itong ginagamit sa engineering at iba pang mga kalkulasyon. Ngayon ang tabular na paraan ay ginagamit sa mga istatistika at pang-eksperimentong agham upang mangolekta at magsuri ng pang-eksperimentong data.

Graphical na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa graphical na paraan, ang halaga ng function ay tinutukoy mula sa graph, kasama ang abscissa axis kung saan ang mga halaga ng independent variable ay naka-plot, at kasama ang ordinate axis - ang dependent variable.

Ang graphical na paraan ay nagbibigay ng visual na representasyon ng pag-uugali ng function. Ang mga resulta ng pag-aaral ng isang function ay madalas na inilalarawan ng graph nito. Mula sa graph, matutukoy mo ang tinatayang halaga ng function. Binibigyang-daan ka nitong gamitin ang graphical na pamamaraan sa mga agham na inilapat at engineering.

Ang konsepto ng isang function Mga paraan ng pagtukoy ng isang function Mga halimbawa ng mga function Analytical na kahulugan ng isang function Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function Limitasyon ng isang function sa isang punto Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function Limit theorems Pagkakakaiba ng isang limitasyon Boundedness ng isang function na may isang limit Pagpasa sa isang limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Limitasyon ng isang function sa infinity Infinitesimal functions Mga katangian ng infinitesimal function

Ang konsepto ng isang function ay basic at orihinal, tulad ng konsepto ng isang set. Hayaang ang X ay ilang hanay ng mga totoong numerong x. Kung ang isang tiyak na tunay na numero y ay itinalaga sa bawat x ∈ X ayon sa ilang batas, pagkatapos ay sinasabi nila na ang isang function ay ibinibigay sa set X at isulat. Ang function na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinatawag na numerical one. Sa kasong ito, ang set X ay tinatawag na domain ng kahulugan ng function, at ang independiyenteng variable na x ay tinatawag na argumento. Upang ipahiwatig ang pag-andar, kung minsan ang simbolo lamang ang ginagamit, na nagsasaad ng batas ng pagsusulatan, ibig sabihin, sa halip na f (x) n at jester, simpleng /. Kaya, ang function ay ibinibigay kung 1) ang domain ng kahulugan ay tinukoy 2) ang panuntunan /, na nagtatalaga sa bawat halaga a: € X isang tiyak na numero y \u003d / (x) - ang halaga ng function na naaayon sa halagang ito ng argumento x. Ang mga function / at g ay tinatawag na pantay-pantay kung ang kanilang mga domain ng kahulugan ay nag-tutugma at ang pagkakapantay-pantay na f(x) = g(x) ay totoo para sa anumang halaga ng argumentong x mula sa kanilang karaniwang domain. Kaya, ang mga function y ay hindi pantay; sila ay pantay lamang sa pagitan [O, I]. Mga halimbawa ng function. 1. Ang sequence (o„) ay isang function ng isang integer argument, na tinukoy sa set ng mga natural na numero, na ang f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Function y = n? (basahin ang "en-factorial"). Ibinigay sa hanay ng mga natural na numero: ang bawat natural na numero n ay nauugnay sa produkto ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang n kasama: bukod dito, 0! = 1. Ang tanda ng pagtatalaga ay nagmula sa salitang Latin na signum - isang tanda. Ang function na ito ay tinukoy sa buong linya ng numero; ang hanay ng mga halaga nito ay binubuo ng tatlong numero -1.0, I (Fig. 1). y = |x), kung saan ang (x) ay tumutukoy sa integer na bahagi ng isang tunay na numerong x, ibig sabihin. [x| - ang pinakamalaking integer na hindi lalampas Ito ay nabasa: - ang laro ay katumbas ng antie x ”(fr. entier). Ang function na ito ay nakatakda sa buong axis ng numero, at ang hanay ng lahat ng mga halaga nito ay binubuo ng mga integer (Larawan 2). Mga Paraan ng Pagtukoy sa isang Function Analytical Pagtukoy ng isang Function Ang isang function na y = f(x) ay sinasabing tinukoy nang analytical kung ito ay tinukoy gamit ang isang formula na nagpapahiwatig kung anong mga operasyon ang dapat gawin sa bawat halaga ng x upang makuha ang katumbas na halaga ng y. Halimbawa, ang pag-andar ay ibinigay nang analitikal. Sa kasong ito, ang domain ng function (kung hindi ito tinukoy nang maaga) ay nauunawaan bilang ang hanay ng lahat ng tunay na halaga ng argumento x, kung saan ang analytical expression na tumutukoy sa function ay tumatagal lamang ng tunay at pangwakas na mga halaga. Sa ganitong kahulugan, ang domain ng isang function ay tinatawag ding domain of existence nito. Para sa function, ang domain ng definition ay ang segment. Para sa function na y - sin x, ang domain ng definition ay ang buong numerical axis. Tandaan na hindi lahat ng formula ay tumutukoy sa isang function. Halimbawa, hindi tinukoy ng formula ang anumang function, dahil walang isang tunay na halaga ng x kung saan ang parehong mga ugat na nakasulat sa itaas ay magkakaroon ng mga tunay na halaga. Maaaring magmukhang kumplikado ang analytical assignment ng isang function. Sa partikular, ang isang function ay maaaring tukuyin ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito. Halimbawa, maaaring tukuyin ang isang function tulad nito: 1.2. Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function Ang function na y = f(x) ay tinatawag na specified graphically kung ang schedule nito ay tinukoy, i.e. isang hanay ng mga puntos (xy/(x)) sa xOy plane, ang abscissas kung saan nabibilang sa domain ng kahulugan ng function, at ang mga ordinates ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function (Fig. 4). Hindi para sa bawat function, ang graph nito ay maaaring ilarawan sa figure. Halimbawa, ang function na Dirichlet kung ang x ay makatwiran, kung ang x ay hindi makatwiran, ZX \o, ay hindi pinapayagan ang gayong representasyon. Ang function na R(x) ay ibinibigay sa buong numerical axis, at ang hanay ng mga halaga nito ay binubuo ng dalawang numero 0 at 1. 1.3. Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function Ang isang function ay sinasabing tinukoy na tabular kung ang isang talahanayan ay ibinigay na naglalaman ng mga numerical na halaga ng function para sa ilang mga halaga ng argumento. Kapag ang isang function ay tinukoy sa isang talahanayan, ang domain ng kahulugan nito ay binubuo lamang ng mga halaga x\t x2i..., xn na nakalista sa talahanayan. §2. Limitasyon ng isang function sa isang punto Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay sentro sa mathematical analysis. Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang kapitbahayan Q ng puntong xq, maliban, marahil, para sa mismong extension (Cauchy) na punto. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x0 kung para sa anumang numero e > 0, na maaaring maliit lamang, mayroong isang numero.<5 > 0, na para sa lahat ng iGH.i^ x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Konsepto ng isang function Mga paraan ng pagtukoy sa isang function Mga halimbawa ng mga function Analytical na kahulugan ng isang function Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function Limitasyon ng isang function sa isang punto Tabular na paraan ng pagtukoy sa isang function limit theorem uniqueness ng isang limitasyon boundedness ng isang function na may limitasyon sa transition sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Limitasyon ng isang function sa infinity Infinitesimal functions Properties ng infinitesimal functions Notation: Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugan na ito ay ipinahayag bilang mga sumusunod. Mga halimbawa. 1. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto, ipakita na ang Function ay tinukoy sa lahat ng dako, kasama ang puntong zo = 1: /(1) = 5. Kunin ang alinman. Upang ang hindi pagkakapantay-pantay |(2x + 3) - 5| naganap, ito ay kinakailangan upang matupad ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay Samakatuwid, kung kukuha tayo ay magkakaroon tayo. Nangangahulugan ito na ang numero 5 ay ang limitasyon ng function: sa punto 2. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang function, ipakita na ang function ay hindi tinukoy sa puntong xo = 2. Isaalang-alang ang /(x) sa ilang lugar ng ang point-Xq = 2, halimbawa, sa interval ( 1, 5) na hindi naglalaman ng point x = 0, kung saan hindi rin tinukoy ang function /(x). Kumuha ng arbitrary na numero c > 0 at ibahin ang anyo ng expression |/(x) - 2| para sa x f 2 bilang mga sumusunod Para sa x b (1, 5) nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay Mula dito ay malinaw na kung kukuha tayo ng 6 \u003d c, kung gayon para sa lahat ng x € (1.5) na napapailalim sa kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging totoo Nangangahulugan ito na ang numero A - 2 ay ang limitasyon ng isang ibinigay na function sa isang punto Magbigay tayo ng geometric na paliwanag ng konsepto ng limitasyon ng isang function sa isang punto, na tumutukoy sa graph nito (Larawan 5). Para sa x, ang mga halaga ng function /(x) ay tinutukoy ng mga ordinate ng mga punto ng curve M \ M, para sa x > ho - ng mga ordinate ng mga punto ng curve MM2. Ang halaga /(x0) ay tinutukoy ng ordinate ng point N. Ang graph ng function na ito ay makukuha kung kukunin natin ang "good" curve M\MMg at papalitan ang point M(x0, A) sa curve ng point jV. Ipakita natin na sa puntong x0 ang function /(x) ay may limitasyon na katumbas ng bilang A (ang ordinate ng punto M). Kunin ang alinmang (arbitraryong maliit) na numero e > 0. Markahan sa mga Oy axis point na may mga ordinate A, A - e, A + e. Tukuyin sa pamamagitan ng P at Q ang mga punto ng intersection ng graph ng function na y \u003d / (x ) na may mga linyang y \u003d A - enu = A + e. Hayaang ang abscissas ng mga puntong ito ay x0 - hx0 + hi, ayon sa pagkakabanggit (ht > 0, /12 > 0). Makikita mula sa figure na para sa anumang x Φ x0 mula sa pagitan (x0 - h\, x0 + hi) ang halaga ng function na f(x) ay nasa pagitan. para sa lahat ng x ⩽ x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Itinakda namin Pagkatapos ang pagitan ay mapapaloob sa pagitan at, samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay o, na kung saan ay masisiyahan din para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon Ito ay nagpapatunay na Kaya, ang function y \u003d f (x) ay may limitasyon A sa puntong x0 kung, gaano man kaliit ang e-strip sa pagitan ng mga linyang y = A-eny = A + e, mayroong "5 > 0, na para sa lahat x mula sa punctured neighborhood ng point x0 ng point ng graph ng function ay nasa loob ng ipinahiwatig na e-band. Puna 1. Ang dami b ay depende sa e: 6 = 6(e). Puna 2. Sa kahulugan ng limitasyon ng isang function sa puntong Xq, ang puntong x0 mismo ay hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kaya, ang halaga ng function sa Ho ns point ay hindi nakakaapekto sa limitasyon ng function sa puntong iyon. Bukod dito, ang pag-andar ay maaaring hindi matukoy sa puntong Xq. Samakatuwid, ang dalawang pag-andar na pantay-pantay sa isang kapitbahayan ng puntong Xq, hindi kasama, marahil, ang puntong x0 mismo (maaaring magkaiba sila ng mga halaga dito, maaaring hindi matukoy ang isa sa kanila o pareho nang magkasama), ay may parehong limitasyon. para sa x - Xq, o pareho ay walang limitasyon. Mula dito, sa partikular, sumusunod na upang mahanap ang limitasyon ng isang fraction sa puntong xo, ito ay lehitimong bawasan ang fraction na ito sa pamamagitan ng pantay na mga expression na nawawala sa x = Xq. Halimbawa 1. Hanapin Ang function /(x) = j para sa lahat ng x Ф 0 ay katumbas ng isa, at sa puntong x = 0 ito ay hindi tinukoy. Ang pagpapalit ng f(x) ng function na g(x) = 1 na katumbas nito sa x 0, nakuha natin ang konsepto ng isang function Mga paraan ng pagtukoy ng function Mga halimbawa ng function Analytical na kahulugan ng isang function Graphical na paraan ng pagtukoy ng function Limit ng isang function sa isang punto Tabular na paraan ng pagtukoy sa isang function Limit theorems Pagkakakaiba ng isang limitasyon Boundedness ng isang function na may limitasyon na paglipat sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Limit ng isang function sa infinity Walang katapusan na maliliit na function Mga katangian ng walang katapusan na maliliit na function x = 0 limit katumbas ng zero: lim q(x) = 0 (ipakita ito!). Samakatuwid, lim /(x) = 0. Problema. Bumalangkas sa tulong ng mga hindi pagkakapantay-pantay (sa wika ng e -6), na nangangahulugang Hayaang tukuyin ang function /(n) sa ilang kapitbahayan Π ng puntong x0, maliban, marahil, ang puntong x0 mismo. Kahulugan (Heine). Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function /(x) sa puntong x0, kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (xn) ng mga halaga ng argumento x 6 P, zn / x0) na nagtatagpo sa puntong x0, ang kaukulang pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function (/(xn)) ay nagtatagpo sa numero A. Maginhawang gamitin ang kahulugan sa itaas kapag kinakailangan upang itatag na ang function na f(x) ay walang limitasyon sa puntong x0. Upang gawin ito, sapat na upang makahanap ng ilang sequence (/(xn)) na walang limitasyon, o upang ipahiwatig ang dalawang sequence (/(xn)) at (/(x "n)) na may magkaibang limitasyon. Let us ipakita, halimbawa, na ang function na iiya / (x) = sin j (Fig. 7), na tinukoy sa lahat ng dako, maliban sa POINT X = O, Fig. 7 ay walang limitasyon sa puntong x = 0. Isaalang-alang ang dalawa mga sequence (nagku-converge sa puntong x = 0. Ang mga katumbas na sequence na value ng function /(x) ay nagtatagpo sa iba't ibang limitasyon: ang sequence (sinnTr) ay nagtatagpo sa zero, at ang sequence (sin(5 +) ay nagtatagpo sa isa. Nangangahulugan ito na ang function na f(x) = sin j sa puntong x = 0 ay walang limitasyon. Magkomento. Ang parehong kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto (kahulugan ni Cauchy at kahulugan ni Heine) ay katumbas. §3. Theorems on limits Theorem 1 (natatangi ng limitasyon). Kung ang function na f(x) ay may limitasyon sa xo, ang limitasyon na ito ay natatangi. A Let lim f(x) = A. Ipakita natin na walang numero B φ A ang maaaring maging limit x-x0 ng function na f(x) sa puntong x0. Ang katotohanan na ang lim /(x) φ Sa tulong ng mga lohikal na simbolo XO ay nabalangkas tulad ng sumusunod: Gamit ang hindi pagkakapantay-pantay na nakuha natin, Kunin ang e = > 0. Dahil ang lim /(x) = A, para sa napiling e > 0 mayroong 6 > 0 tulad na Mula sa kaugnayan (1) para sa mga ipinahiwatig na halaga ng x mayroon tayo Kaya, ito ay natagpuan na, gaano man kaliit, mayroong x Φ xQ, tulad na at sa parehong oras ^ e .Kaya ang Depinisyon. Ang isang function /(x) ay sinasabing bounded sa isang neighborhood ng point x0 kung may mga numerong M > 0 at 6 > 0 na ang Theorem 2 (boundedness ng isang function na may limitasyon). Kung ang function na f(x) ay tinukoy sa isang kapitbahayan ng puntong x0 at may hangganan na limitasyon sa puntong x0, kung gayon ito ay nakatali sa ilang kapitbahayan ng puntong ito. m Let Then para sa anumang halimbawa, para sa e = 1, mayroong 6 > 0 na para sa lahat ng x φ x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging totoo Napapansin na lagi nating nakukuha ang Let. Pagkatapos sa bawat punto x ng pagitan na mayroon tayo Nangangahulugan ito, ayon sa kahulugan, na ang function na f(x) ay nakatali sa isang kapitbahayan. Halimbawa, ang function na /(x) = sin ay nakatali sa isang kapitbahayan ng punto ngunit walang limitasyon sa puntong x = 0. Bumuo tayo ng dalawa pang theorems, ang geometric na kahulugan nito ay medyo malinaw. Theorem 3 (pagpasa sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay). Kung /(x) ⩽ ip(x) para sa lahat ng x sa ilang kapitbahayan ng puntong x0, maliban marahil sa mismong puntong x0, at bawat isa sa mga function /(x) at ip(x) sa puntong x0 ay may limitasyon , pagkatapos ay Tandaan na ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay para sa mga function ay hindi nangangahulugang nagpapahiwatig ng isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay para sa kanilang mga limitasyon. Kung umiiral ang mga limitasyong ito, maaari lamang nating igiit na Kaya, halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay habang ay totoo para sa mga function.Theorem 4 (limit ng intermediate function). Kung para sa lahat ng x sa ilang kapitbahayan ng puntong Xq, maliban, marahil, ang mismong puntong x0 (Larawan 9), at ang mga function na f(x) at ip(x) sa puntong xo ay may parehong limitasyon A, kung gayon ang function na f (x) sa puntong x0 ay may limitasyon na katumbas ng parehong halaga ng A. § ​​4. Limitasyon ng isang function sa infinity Hayaang tukuyin ang function /(x) alinman sa buong real axis o hindi bababa sa para sa lahat x ay nakakatugon sa kondisyon jx| > K para sa ilang K > 0. Kahulugan. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) dahil ang x ay may posibilidad na infinity, at isinusulat nila kung para sa alinmang e > 0 mayroong isang numero na jV > 0 na para sa lahat ng x ay nakakatugon sa kondisyon |x| > X, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Ang pagpapalit ng kundisyon sa kahulugang ito nang naaayon, nakakakuha tayo ng mga kahulugan Mula sa mga kahulugang ito ay sumusunod na kung at kung magkasabay Ang katotohanang iyon, geometrically ay nangangahulugan ng sumusunod: gaano man kaliit ang e-strip sa pagitan ng mga linya y \ u003d A- euy \u003d A + e, mayroong isang tuwid na linya x = N > 0 na sa kanan ay dinala ang graph ng function na y = /(x) ay ganap na nakapaloob sa ipinahiwatig na e-strip (Fig. 10 ). Sa kasong ito, sinasabi nila na para sa x + oo ang graph ng function na y \u003d / (x) asymptotically ay lumalapit sa tuwid na linya y \u003d A. Halimbawa, Ang function / (x) \u003d jtjj- ay tinukoy sa kabuuan totoong axis at isang fraction na ang numerator ay pare-pareho , at ang denominator ay tumataas nang walang katiyakan bilang |x| +oo. Natural na asahan na ang lim /(x)=0. Ipakita natin. М Kunin ang alinmang e > 0, napapailalim sa kondisyon Para maganap ang kaugnayan, ang hindi pagkakapantay-pantay c o dapat masiyahan, na kapareho ng kung saan kaya. kung kukuha tayo magkakaroon tayo. Nangangahulugan ito na ang numero ay ang limitasyon ng function na ito sa Tandaan na ang radical expression ay para lamang sa t ^ 1. Sa kaso kung kailan, ang hindi pagkakapantay-pantay c ay awtomatikong nasiyahan para sa lahat. Ang graph ng isang even function na y = - asymptotically ay lumalapit sa tuwid na linya Bumuo gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang §5. Walang Hanggan na Maliit na Function Hayaang tukuyin ang function na a(x) sa ilang kapitbahayan ng puntong x0, maliban sa posibleng mismong puntong x0. Kahulugan. Ang function na a(x) ay tinatawag na isang infinitesimal function (pinaikling b.m.f.) dahil ang x ay may posibilidad na xo kung sa loob ng uniqueness ng limitasyon ang boundedness ng isang function na may limitasyon na paglipat sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay Ang limitasyon ng isang function sa infinity Infinitesimal functions Mga katangian ng infinitesimal functions Halimbawa, ang function na a(x) = x - 1 ay b. m. f. sa x 1, dahil lim (x-l) \u003d 0. Ang graph ng function na y \u003d x-1 1-1 ay ipinapakita sa fig. II. Sa pangkalahatan, ang function na a(x)=x-x0 ay ang pinakasimpleng halimbawa ng b. m. f. sa x-»ho. Isinasaalang-alang ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto, ang kahulugan ng b. m. f. mabubuo ng ganito. Kahulugan. Ang isang function na a(x) ay sinasabing napakaliit para sa x - * xo kung para sa alinmang t > 0 ay mayroong ganoong "5 > 0 na para sa lahat ng x na nakakatugon sa kundisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoong mga pag-andar sa Definition. Ang function na a(x) ay tinatawag na infinitesimal na maliit para sa x -» oo, kung ang function na a(x) ay tinatawag na infinitesimal, ayon sa pagkakabanggit, para sa o para Halimbawa, ang function ay infinitesimal para sa x -» oo, dahil lim j = 0. Ang function na a(x ) = e~x ay isang walang katapusang maliit na function bilang x -* + oo, dahil sa mga sumusunod, isasaalang-alang natin, bilang panuntunan, ang lahat ng mga konsepto at theorems na may kaugnayan sa mga limitasyon ng mga function na may kaugnayan lamang sa kaso ng limitasyon ng isang function sa isang punto, na iniiwan ang mambabasa na bumalangkas ng kaukulang mga konsepto para sa kanyang sarili at patunayan ang mga katulad na theorems ng mga araw na kaso kapag Properties of infinitesimal functions Theorem 5. Kung a(x) at P(x) - b. m. f. para sa x - * xo, kung gayon ang kanilang kabuuan na a(x) + P(x) ay isang b.m din. f. sa x -» ho. 4 Kunin ang alinmang e > 0. Dahil ang a(x) ay isang b.m.f. para sa x -* xo, pagkatapos ay mayroong "51 > 0 na para sa lahat ng x Φ xo na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Sa pamamagitan ng kundisyon P(x) din b.m.f. para sa x ho, kaya mayroong tulad na para sa lahat ng χ φ ho na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Itakda natin ang 6 = min(«5j, 62). Pagkatapos para sa lahat ng x Ф ho na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon, ang mga hindi pagkakapantay-pantay (1) at (2) ay magiging magkasabay na totoo. Samakatuwid Nangangahulugan ito na ang kabuuan ng a(x) +/3(x) ay isang b.m.f. para sa xxq. Magkomento. Ang theorem ay nananatiling wasto para sa kabuuan ng anumang may hangganang bilang ng mga function, b. m. at x zo. Theorem 6 (produkto ng isang b.m.f. ng isang bounded function). Kung ang function na a(x) ay b. m. f. para sa x -* x0, at ang function na f(x) ay nakatali sa isang kapitbahayan ng puntong Xo, kung gayon ang produkto a(x)/(x) ay 6. m. f. para sa x -» x0. Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang function na f(x) ay nakatali sa isang kapitbahayan ng puntong x0. Nangangahulugan ito na mayroong mga numerong 0 at M > 0 na kunin natin ang alinmang e > 0. Dahil, ayon sa kundisyon, mayroong 62 > 0 na para sa lahat ng x φ x0 na nakakatugon sa kondisyon |x - xol, ang hindi pagkakapantay-pantay ay maging totoo Itakda natin ang i ng lahat ng x f x0 na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon |x - x0|, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay magkakasabay na totoo Samakatuwid Nangangahulugan ito na ang produktong a(x)/(x) ay b. m.f. may Halimbawa. Ang function na y \u003d xsin - (Fig. 12) ay maaaring ituring bilang produkto ng mga function a (ar) \u003d x at f (x) \u003d sin j. Ang function na a(a) ay b. m. f. para sa x - 0, at ang function na f)