Isipin ang isang eroplano: mga pakpak, katawan ng eruplano, buntot, lahat ng ito magkasama - isang tunay na napakalaking, napakalawak, buong eroplano. At maaari kang gumawa ng isang modelo ng isang eroplano, maliit, ngunit ang lahat ay totoo, ang parehong mga pakpak, atbp, ngunit compact. Gayundin ang modelo ng matematika. May problema sa text, masalimuot, maaari mong tingnan, basahin, ngunit hindi masyadong naiintindihan, at higit pa kaya hindi malinaw kung paano ito malulutas. Ngunit paano kung gumawa tayo ng isang maliit na modelo nito, isang modelo ng matematika, mula sa isang malaking problema sa salita? Ano ang ibig sabihin ng mathematical? Kaya, gamit ang mga alituntunin at batas ng mathematical notation, gawing muli ang teksto sa isang lohikal na tamang representasyon gamit ang mga numero at arithmetic sign. Kaya, Ang mathematical model ay isang representasyon ng isang tunay na sitwasyon gamit ang isang mathematical na wika.
Magsimula tayo sa simple: Ang numero ay mas malaki kaysa sa bilang ni. Kailangan nating isulat ito nang hindi gumagamit ng mga salita, ang wika lamang ng matematika. Kung higit pa sa pamamagitan ng, pagkatapos ay lumalabas na kung ibawas natin, kung gayon ang pagkakaiba ng mga numerong ito ay mananatiling pantay. Yung. o. Nakuha mo ang diwa?
Ngayon ay mas kumplikado, ngayon ay magkakaroon ng isang teksto na dapat mong subukang ipakita sa anyo ng isang modelo ng matematika, hanggang sa mabasa mo kung paano ko ito gagawin, subukan mo ito sa iyong sarili! Mayroong apat na numero: , at. Isang produkto at higit pang mga produkto at dalawang beses.
Anong nangyari?
Sa anyo ng isang modelo ng matematika, magiging ganito ang hitsura:
Yung. ang produkto ay nauugnay sa bilang dalawa sa isa, ngunit maaari itong mas pasimplehin:
Well, sa mga simpleng halimbawa, nakukuha mo ang punto, sa palagay ko. Lumipat tayo sa ganap na mga gawain kung saan ang mga mathematical model na ito ay kailangan ding lutasin! Narito ang gawain.
Modelo ng matematika sa pagsasanay
Gawain 1
Pagkatapos ng ulan, maaaring tumaas ang lebel ng tubig sa balon. Sinusukat ng batang lalaki ang oras ng pagbagsak ng maliliit na bato sa balon at kinakalkula ang distansya sa tubig gamit ang formula, kung saan ang distansya sa metro at ang oras ng pagbagsak sa mga segundo. Bago ang ulan, ang oras para sa pagbagsak ng mga pebbles ay s. Gaano dapat tumaas ang antas ng tubig pagkatapos ng ulan upang ang nasusukat na oras ay magbago sa s? Ipahayag ang iyong sagot sa metro.
Diyos ko! Anong mga formula, anong uri ng balon, ano ang nangyayari, ano ang gagawin? Nabasa ko ba isip mo? Mamahinga, sa mga gawain ng ganitong uri, ang mga kondisyon ay mas kahila-hilakbot, ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay na sa gawaing ito ay interesado ka sa mga formula at relasyon sa pagitan ng mga variable, at kung ano ang ibig sabihin ng lahat ng ito sa karamihan ng mga kaso ay hindi masyadong mahalaga. Ano ang nakikita mong kapaki-pakinabang dito? personal kong nakikita. Ang prinsipyo ng paglutas ng mga problemang ito ay ang mga sumusunod: kukunin mo ang lahat ng kilalang dami at palitan ang mga ito.Ngunit minsan kailangan mong mag-isip!
Kasunod ng aking unang payo, at pinapalitan ang lahat ng mga kilala sa equation, makukuha natin:
Ako ang humalili sa oras ng pangalawa, at natagpuan ang taas na lumipad ang bato bago ang ulan. At ngayon kailangan nating magbilang pagkatapos ng ulan at hanapin ang pagkakaiba!
Ngayon makinig sa pangalawang payo at pag-isipan ito, ang tanong ay naglilinaw, "kung magkano ang antas ng tubig ay dapat tumaas pagkatapos ng ulan upang ang nasusukat na oras ay magbago ng s." Kailangan mong malaman ito kaagad, soooo, pagkatapos ng pag-ulan tumaas ang antas ng tubig, na nangangahulugan na ang oras para sa bato upang mahulog sa antas ng tubig ay mas kaunti, at dito ang ornate na pariralang "upang ang sinusukat na oras ay magbago" ay tumatagal. sa isang tiyak na kahulugan: ang oras ng taglagas ay hindi tumataas, ngunit nababawasan ng tinukoy na mga segundo. Nangangahulugan ito na sa kaso ng isang paghagis pagkatapos ng ulan, kailangan lang nating ibawas ang c mula sa unang oras c, at makuha natin ang equation para sa taas na lilipad ng bato pagkatapos ng ulan:
At sa wakas, upang malaman kung magkano ang antas ng tubig ay dapat tumaas pagkatapos ng ulan, upang ang sinusukat na oras ay nagbabago ng s, kailangan mo lamang na ibawas ang pangalawa mula sa unang taas ng taglagas!
Nakukuha namin ang sagot: bawat metro.
Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado, pinaka-mahalaga, huwag masyadong mag-abala kung saan nagmula ang gayong hindi maintindihan at kung minsan ay kumplikadong equation sa mga kondisyon at kung ano ang ibig sabihin ng lahat ng nasa loob nito, kunin ang aking salita para dito, karamihan sa mga equation na ito ay kinuha mula sa physics, at doon ang gubat ay mas masahol pa kaysa sa algebra. Minsan tila sa akin na ang mga gawaing ito ay naimbento upang takutin ang mag-aaral sa pagsusulit na may kasaganaan ng mga kumplikadong pormula at termino, at sa karamihan ng mga kaso ay nangangailangan sila ng halos walang kaalaman. Maingat lamang na basahin ang kondisyon at palitan ang mga kilalang halaga sa formula!
Narito ang isa pang problema, hindi na sa pisika, ngunit mula sa mundo ng teoryang pang-ekonomiya, bagaman ang kaalaman sa mga agham maliban sa matematika ay muling hindi kinakailangan dito.
Gawain 2
Ang pag-asa ng dami ng demand (mga yunit bawat buwan) para sa mga produkto ng isang monopolyo na negosyo sa presyo (libong rubles) ay ibinibigay ng formula
Ang buwanang kita ng kumpanya (sa libong rubles) ay kinakalkula gamit ang formula. Tukuyin ang pinakamataas na presyo kung saan ang buwanang kita ay hindi bababa sa isang libong rubles. Ibigay ang sagot sa libong rubles.
Hulaan mo kung ano ang gagawin ko ngayon? Oo, sisimulan kong palitan ang nalalaman natin, ngunit, muli, kailangan mo pa ring mag-isip nang kaunti. Pumunta tayo mula sa dulo, kailangan nating hanapin kung saan. Kaya, mayroong, katumbas ng ilan, nahanap natin kung ano pa ang katumbas nito, at ito ay katumbas, at isusulat natin ito. Tulad ng nakikita mo, hindi ako partikular na nag-aalala tungkol sa kahulugan ng lahat ng mga dami na ito, tinitingnan ko lang mula sa mga kondisyon, kung ano ang katumbas ng kung ano, iyon ang kailangan mong gawin. Bumalik tayo sa gawain, mayroon ka na, ngunit tulad ng naaalala mo, mula sa isang equation na may dalawang variable, wala sa mga ito ang mahahanap, ano ang gagawin? Oo, mayroon pa kaming hindi nagamit na butil sa kondisyon. Dito, mayroon nang dalawang equation at dalawang variable, na nangangahulugan na ngayon ang parehong mga variable ay matatagpuan - mahusay!
Kaya mo bang lutasin ang ganitong sistema?
We solve by substitution, naipahayag na natin ito, ibig sabihin ay papalitan natin ito sa unang equation at pasimplehin ito.
Ito ay lumiliko out dito ay tulad ng isang quadratic equation: , solve namin, ang mga ugat ay ganito, . Sa gawain, kinakailangan upang mahanap ang pinakamataas na presyo kung saan matutugunan ang lahat ng mga kundisyon na isinasaalang-alang namin noong pinagsama-sama namin ang system. Oh, iyon pala ang presyo. Cool, kaya nakita namin ang mga presyo: at. Ang pinakamataas na presyo, sasabihin mo? Okay, ang pinakamalaki sa kanila, malinaw naman, isinulat namin ito bilang tugon. Well, mahirap ba? Sa tingin ko ay hindi, at hindi mo na kailangang pag-aralan ito nang labis!
At narito ang isang nakakatakot na pisika para sa iyo, o sa halip, isa pang problema:
Gawain 3
Upang matukoy ang epektibong temperatura ng mga bituin, ginagamit ang batas ng Stefan-Boltzmann, ayon sa kung saan, kung saan ang nagniningning na kapangyarihan ng bituin, ay pare-pareho, ay ang ibabaw na lugar ng bituin, at ang temperatura. Ito ay kilala na ang ibabaw na lugar ng isang tiyak na bituin ay pantay, at ang kapangyarihan ng radiation nito ay katumbas ng W. Hanapin ang temperatura ng bituin na ito sa degrees Kelvin.
Saan malinaw? Oo, sinasabi ng kondisyon kung ano ang katumbas ng ano. Noong nakaraan, inirerekumenda ko na ang lahat ng hindi alam ay agad na palitan, ngunit narito ito ay mas mahusay na ipahayag muna ang hindi kilalang hinahanap. Tingnan kung gaano kasimple ang lahat: mayroong isang pormula at kilala sila sa loob nito, at (ito ang letrang Griyego na "sigma". Sa pangkalahatan, mahilig ang mga pisiko sa mga titik ng Griyego, masanay na ito). Hindi alam ang temperatura. Ipahayag natin ito sa anyo ng isang pormula. Paano ito gagawin, sana alam mo? Ang ganitong mga takdang-aralin para sa GIA sa grade 9 ay karaniwang nagbibigay ng:
Ngayon ay nananatili itong palitan ang mga numero sa halip na mga titik sa kanang bahagi at pasimplehin:
Narito ang sagot: degrees Kelvin! At napakasamang gawain iyon!
Patuloy kaming nagpapahirap sa mga problema sa pisika.
Gawain 4
Ang taas sa ibabaw ng lupa ng bola na itinapon ay nagbabago ayon sa batas, kung saan ang taas sa metro, ay ang oras sa mga segundo na lumipas mula noong ihagis. Ilang segundo ang bola sa taas na hindi bababa sa tatlong metro?
Iyon ay ang lahat ng mga equation, ngunit narito ito ay kinakailangan upang matukoy kung magkano ang bola ay nasa taas na hindi bababa sa tatlong metro, na nangangahulugang sa taas. Ano ang gagawin natin? Hindi pagkakapantay-pantay, oo! Mayroon kaming isang function na naglalarawan kung paano lumilipad ang bola, kung saan eksakto ang parehong taas sa metro, kailangan namin ang taas. ibig sabihin
At ngayon malulutas mo lang ang hindi pagkakapantay-pantay, ang pinakamahalaga, huwag kalimutang baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa higit pa o katumbas ng mas kaunti o katumbas kapag pinarami mo ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang minus sa harap.
Narito ang mga ugat, bumubuo kami ng mga agwat para sa hindi pagkakapantay-pantay:
Interesado kami sa agwat kung saan ang sign ay minus, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng mga negatibong halaga doon, ito ay mula sa parehong kasama. At ngayon binubuksan namin ang utak at nag-iisip nang mabuti: para sa hindi pagkakapantay-pantay, gumamit kami ng isang equation na naglalarawan sa paglipad ng bola, kahit papaano ay lumilipad ito kasama ang isang parabola, i.e. ito ay umaalis, umabot sa isang rurok at bumagsak, paano maiintindihan kung gaano katagal ito sa taas na hindi bababa sa metro? Nakakita kami ng 2 turning point, i.e. ang sandali kapag ito ay tumataas sa itaas ng mga metro at ang sandali kapag ito ay umabot sa parehong marka habang bumabagsak, ang dalawang puntong ito ay ipinahayag sa aming anyo sa anyo ng oras, i.e. alam namin kung anong segundo ng flight ito pumasok sa zone ng interes sa amin (sa itaas ng mga metro) at kung saan ito umalis dito (nahulog sa ibaba ng marka ng metro). Ilang segundo siya sa zone na ito? Ito ay lohikal na kumuha tayo ng oras ng paglabas mula sa zone at ibawas mula dito ang oras ng pagpasok sa zone na ito. Alinsunod dito: - napakarami niyang nasa zone sa itaas ng metro, ito ang sagot.
Napakaswerte mo na karamihan sa mga halimbawa sa paksang ito ay maaaring kunin mula sa kategorya ng mga problema sa pisika, kaya't mahuli ang isa pa, ito na ang pangwakas, kaya itulak ang iyong sarili, kakaunti na lang ang natitira!
Gawain 5
Para sa isang elemento ng pag-init ng isang tiyak na aparato, ang pag-asa sa temperatura sa oras ng pagpapatakbo ay nakuha sa eksperimento:
Nasaan ang oras sa minuto. Ito ay kilala na sa isang temperatura ng elemento ng pag-init sa itaas ng aparato ay maaaring lumala, kaya dapat itong patayin. Hanapin ang maximum na oras pagkatapos ng pagsisimula ng trabaho upang i-off ang device. Ipahayag ang iyong sagot sa ilang minuto.
Kumilos kami ayon sa isang maayos na pamamaraan, lahat ng ibinigay, isinulat muna namin:
Ngayon ay kinukuha namin ang formula at itinutumbas ito sa halaga ng temperatura kung saan ang aparato ay maaaring magpainit hangga't maaari hanggang sa masunog ito, iyon ay:
Ngayon pinapalitan namin ang mga numero sa halip na mga titik kung saan kilala ang mga ito:
Tulad ng nakikita mo, ang temperatura sa panahon ng pagpapatakbo ng aparato ay inilarawan ng isang parisukat na equation, na nangangahulugang ito ay ipinamamahagi kasama ang isang parabola, i.e. ang aparato ay umiinit sa isang tiyak na temperatura, at pagkatapos ay lumalamig. Nakatanggap kami ng mga sagot at, samakatuwid, sa panahon at sa ilang minuto ng pag-init, ang temperatura ay kritikal, ngunit sa pagitan ng at minuto ay mas mataas pa ito kaysa sa limitasyon!
Kaya, kailangan mong i-off ang device pagkatapos ng isang minuto.
MGA MODELONG MATHEMATICAL. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Kadalasan, ang mga modelo ng matematika ay ginagamit sa pisika: pagkatapos ng lahat, malamang na kailangan mong kabisaduhin ang dose-dosenang mga pisikal na formula. At ang formula ay ang mathematical na representasyon ng sitwasyon.
Sa OGE at sa Unified State Examination mayroong mga gawain sa paksang ito. Sa USE (profile) ito ang gawain bilang 11 (dating B12). Sa OGE - gawain bilang 20.
Ang scheme ng solusyon ay halata:
1) Mula sa teksto ng kondisyon, kinakailangan na "ihiwalay" ang kapaki-pakinabang na impormasyon - kung ano ang isinulat namin sa mga problema sa pisika sa ilalim ng salitang "Ibinigay". Ang kapaki-pakinabang na impormasyong ito ay:
- Formula
- Mga kilalang pisikal na dami.
Iyon ay, ang bawat titik mula sa formula ay dapat magtalaga ng isang tiyak na numero.
2) Kunin ang lahat ng kilalang dami at palitan ang mga ito sa formula. Ang hindi kilalang halaga ay nananatili bilang isang titik. Ngayon ay kailangan mo lamang lutasin ang equation (karaniwan ay medyo simple), at handa na ang sagot.
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Naisip mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...
Para saan?
Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?
PUNO ANG IYONG KAMAY, PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.
Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.
At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
- I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
- I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - Bumili ng isang aklat-aralin - 899 rubles
Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.
Sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin!
Mga modelo ng matematika
Matematikal na modelo - tinatayang opipaglalarawan ng bagay ng pagmomolde, ipinahayag gamitschyu mathematical symbolism.
Lumitaw ang mga modelo ng matematika kasama ng matematika maraming siglo na ang nakalilipas. Ang isang malaking impetus sa pag-unlad ng matematikal na pagmomolde ay ibinigay ng hitsura ng mga computer. Ang paggamit ng mga computer ay naging posible upang pag-aralan at isabuhay ang maraming mga modelong matematikal na dati ay hindi pa pumayag sa analytical na pananaliksik. Computer-implemented mathematicalmodelo ng langit tinawag modelo ng matematika sa computer, a pagsasagawa ng mga naka-target na kalkulasyon gamit ang isang modelo ng computer tinawag eksperimento sa computational.
Mga yugto ng computer mathematical mopagtanggal ipinapakita sa figure. Unayugto - kahulugan ng mga layunin sa pagmomolde. Maaaring magkaiba ang mga layuning ito:
- kailangan ang isang modelo upang maunawaan kung paano gumagana ang isang partikular na bagay, ano ang istraktura nito, mga pangunahing katangian, mga batas ng pag-unlad at pakikipag-ugnayan
sa labas ng mundo (pag-unawa); - kailangan ang isang modelo upang matutunan kung paano pamahalaan ang isang bagay (o proseso) at matukoy ang mga pinakamahusay na paraan upang pamahalaan para sa mga ibinigay na layunin at pamantayan (pamamahala);
- kailangan ang modelo upang mahulaan ang direkta at hindi direktang kahihinatnan ng pagpapatupad ng mga tinukoy na pamamaraan at anyo ng epekto sa bagay (pagtataya).
Isang halimbawa mula sa isang ganap na naiibang lugar: mapayapang nabubuhay kasama ang mga matatag na bilang ng mga populasyon ng dalawang species ng mga indibidwal na may isang karaniwang base ng pagkain, "biglang" nagsimulang kapansin-pansing baguhin ang kanilang mga numero. At dito pinapayagan ng mathematical modeling (na may tiyak na antas ng katiyakan) na itatag ang dahilan (o hindi bababa sa upang pabulaanan ang isang tiyak na hypothesis).
Ang pagbuo ng konsepto ng pamamahala ng bagay ay isa pang posibleng layunin ng pagmomolde. Aling mode ng paglipad ng sasakyang panghimpapawid ang dapat piliin upang maging ligtas ang paglipad at higit na kapaki-pakinabang sa ekonomiya? Paano mag-iskedyul ng daan-daang uri ng trabaho sa pagtatayo ng isang malaking pasilidad upang matapos ito sa lalong madaling panahon? Maraming ganitong mga problema ang sistematikong lumitaw sa harap ng mga ekonomista, taga-disenyo, at mga siyentipiko.
Sa wakas, ang paghula sa mga kahihinatnan ng ilang mga epekto sa isang bagay ay maaaring maging isang medyo simpleng bagay sa mga simpleng pisikal na sistema, at lubhang kumplikado - sa gilid ng pagiging posible - sa biological, pang-ekonomiya, panlipunang mga sistema. Kung medyo madaling sagutin ang tanong tungkol sa pagbabago sa mode ng pagpapalaganap ng init sa isang manipis na baras na may mga pagbabago sa bumubuo ng haluang metal nito, kung gayon ito ay hindi maihahambing na mas mahirap na subaybayan (hulaan) ang kapaligiran at klimatiko na mga kahihinatnan ng pagtatayo ng isang malaking hydroelectric power station o ang panlipunang kahihinatnan ng mga pagbabago sa batas sa buwis. Marahil, dito rin, ang mga pamamaraan sa pagmomolde ng matematika ay magbibigay ng mas makabuluhang tulong sa hinaharap.
Ikalawang yugto: kahulugan ng mga parameter ng input at output ng modelo; paghahati ng mga parameter ng input ayon sa antas ng kahalagahan ng epekto ng kanilang mga pagbabago sa output. Ang prosesong ito ay tinatawag na ranggo, o dibisyon ayon sa ranggo (tingnan sa ibaba). "Formalisation at pagmomodelo").
Ikatlong yugto: pagbuo ng isang mathematical model. Sa yugtong ito, mayroong transisyon mula sa abstract na pagbabalangkas ng modelo patungo sa isang pagbabalangkas na mayroong tiyak na representasyong matematikal. Ang isang mathematical model ay mga equation, mga sistema ng mga equation, mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, mga differential equation o mga sistema ng mga naturang equation, atbp.
Ikaapat na yugto: pagpili ng paraan para sa pag-aaral ng modelo ng matematika. Kadalasan, ang mga numerical na pamamaraan ay ginagamit dito, na nagpapahiram sa kanilang sarili nang maayos sa programming. Bilang isang patakaran, maraming mga pamamaraan ang angkop para sa paglutas ng parehong problema, naiiba sa katumpakan, katatagan, atbp. Ang tagumpay ng buong proseso ng pagmomodelo ay madalas na nakasalalay sa tamang pagpili ng paraan.
Ikalimang yugto: ang pagbuo ng isang algorithm, ang compilation at debugging ng isang computer program ay isang proseso na mahirap gawing pormal. Sa mga programming language, mas gusto ng maraming propesyonal para sa pagmomolde ng matematika ang FORTRAN: dahil sa tradisyon, at dahil sa hindi maunahang kahusayan ng mga compiler (para sa computational work) at pagkakaroon ng napakalaking, maingat na pag-debug at na-optimize na mga aklatan ng mga karaniwang programa ng mga pamamaraan sa matematika na nakasulat sa ito. Ang mga wika tulad ng PASCAL, BASIC, C ay ginagamit din, depende sa likas na katangian ng gawain at mga hilig ng programmer.
Ikaanim na yugto: pagsubok ng programa. Ang pagpapatakbo ng programa ay nasubok sa isang pagsubok na problema na may alam na sagot. Ito ay simula pa lamang ng isang pagsubok na pamamaraan na mahirap ilarawan sa isang pormal na kumpletong paraan. Karaniwan, nagtatapos ang pagsubok kapag ang gumagamit, ayon sa kanyang mga propesyonal na katangian, ay isinasaalang-alang na tama ang programa.
Ikapitong yugto: aktwal na eksperimento sa computational, kung saan nagiging malinaw kung ang modelo ay tumutugma sa isang tunay na bagay (proseso). Ang modelo ay sapat na sapat sa tunay na proseso kung ang ilang mga katangian ng proseso na nakuha sa isang computer ay nag-tutugma sa mga eksperimentong nakuha na mga katangian na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Kung ang modelo ay hindi tumutugma sa tunay na proseso, babalik tayo sa isa sa mga nakaraang yugto.
Pag-uuri ng mga modelo ng matematika
Ang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay maaaring batay sa iba't ibang mga prinsipyo. Posibleng pag-uri-uriin ang mga modelo ayon sa mga sangay ng agham (mga modelo ng matematika sa pisika, biology, sosyolohiya, atbp.). Ito ay maaaring uriin ayon sa inilapat na mathematical apparatus (mga modelo batay sa paggamit ng mga ordinaryong differential equation, partial differential equation, stochastic method, discrete algebraic transformations, atbp.). Sa wakas, kung magpapatuloy tayo mula sa mga pangkalahatang gawain ng pagmomodelo sa iba't ibang mga agham, anuman ang kagamitan sa matematika, ang sumusunod na pag-uuri ay pinaka natural:
- deskriptibo (naglalarawan) mga modelo;
- mga modelo ng pag-optimize;
- mga modelo ng multicriteria;
- mga modelo ng laro.
Ipaliwanag natin ito gamit ang mga halimbawa.
Descriptive (descriptive) na mga modelo. Halimbawa, ang mga simulation ng galaw ng isang kometa na sumalakay sa solar system ay ginawa upang mahulaan ang landas ng paglipad nito, ang distansyang dadaanan nito mula sa Earth, at iba pa. Sa kasong ito, ang mga layunin ng pagmomolde ay naglalarawan, dahil walang paraan upang maimpluwensyahan ang paggalaw ng kometa, upang baguhin ang isang bagay sa loob nito.
Mga Modelo sa Pag-optimize ay ginagamit upang ilarawan ang mga prosesong maaaring maimpluwensyahan sa pagtatangkang makamit ang isang partikular na layunin. Sa kasong ito, ang modelo ay may kasamang isa o higit pang mga parameter na maaaring maimpluwensyahan. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabago ng thermal rehimen sa isang kamalig, ang isa ay maaaring magtakda ng isang layunin na pumili ng gayong rehimen upang makamit ang pinakamataas na pangangalaga ng butil, i.e. i-optimize ang proseso ng imbakan.
Mga modelong multicriteria. Kadalasan ito ay kinakailangan upang i-optimize ang proseso sa ilang mga parameter sa parehong oras, at ang mga layunin ay maaaring maging lubhang kasalungat. Halimbawa, ang pag-alam sa mga presyo ng pagkain at ang pangangailangan ng isang tao para sa pagkain, kinakailangan upang ayusin ang mga pagkain para sa malalaking grupo ng mga tao (sa hukbo, kampo ng tag-init ng mga bata, atbp.) Sa physiologically tama at, sa parehong oras, nang mura hangga't maaari. Malinaw na ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma; kapag nagmomodelo, maraming pamantayan ang gagamitin, kung saan dapat maghanap ng balanse.
Mga modelo ng laro maaaring nauugnay hindi lamang sa mga laro sa kompyuter, kundi pati na rin sa mga seryosong bagay. Halimbawa, bago ang isang labanan, sa pagkakaroon ng hindi kumpletong impormasyon tungkol sa kalabang hukbo, ang isang kumander ay dapat bumuo ng isang plano: sa anong pagkakasunud-sunod upang dalhin ang ilang mga yunit sa labanan, atbp., na isinasaalang-alang ang posibleng reaksyon ng kaaway. Mayroong isang espesyal na seksyon ng modernong matematika - teorya ng laro - na nag-aaral ng mga paraan ng paggawa ng desisyon sa ilalim ng mga kondisyon ng hindi kumpletong impormasyon.
Sa kursong paaralan ng computer science, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng paunang ideya ng computer mathematical modelling bilang bahagi ng pangunahing kurso. Sa mataas na paaralan, ang pagmomodelo ng matematika ay maaaring malalim na pag-aralan sa isang pangkalahatang kurso sa edukasyon para sa mga klase sa pisika at matematika, gayundin sa loob ng isang espesyal na elective na kurso.
Ang mga pangunahing paraan ng pagtuturo ng computer mathematical modeling sa mataas na paaralan ay mga lektura, laboratoryo at mga klase ng kredito. Karaniwan, ang gawain sa paglikha at paghahanda para sa pag-aaral ng bawat bagong modelo ay tumatagal ng 3-4 na mga aralin. Sa kurso ng pagtatanghal ng materyal, ang mga gawain ay itinakda, na sa hinaharap ay dapat malutas ng mga mag-aaral sa kanilang sarili, sa pangkalahatang mga termino, ang mga paraan upang malutas ang mga ito ay nakabalangkas. Ang mga tanong ay nabuo, ang mga sagot na dapat makuha kapag nagsasagawa ng mga gawain. Ang karagdagang literatura ay ipinahiwatig, na nagbibigay-daan sa pagkuha ng pantulong na impormasyon para sa mas matagumpay na pagkumpleto ng mga gawain.
Ang anyo ng pag-aayos ng mga klase sa pag-aaral ng bagong materyal ay karaniwang isang panayam. Matapos ang pagkumpleto ng talakayan ng susunod na modelo mga mag-aaral mayroon sa kanilang pagtatapon ng kinakailangang teoretikal na impormasyon at isang hanay ng mga gawain para sa karagdagang trabaho. Bilang paghahanda para sa gawain, pinipili ng mga mag-aaral ang naaangkop na paraan ng solusyon, gamit ang ilang kilalang pribadong solusyon, sinubukan nila ang binuo na programa. Sa kaso ng mga posibleng kahirapan sa pagganap ng mga gawain, ang konsultasyon ay ibinibigay, ang isang panukala ay ginawa upang ayusin ang mga seksyong ito nang mas detalyado sa panitikan.
Ang pinaka-nauugnay sa praktikal na bahagi ng pagtuturo ng computer modeling ay ang paraan ng mga proyekto. Ang gawain ay binuo para sa mag-aaral sa anyo ng isang proyektong pang-edukasyon at isinasagawa sa maraming mga aralin, at ang pangunahing porma ng organisasyon sa kasong ito ay ang gawaing laboratoryo ng computer. Ang pag-aaral na magmodelo gamit ang pamamaraan ng proyekto sa pag-aaral ay maaaring ipatupad sa iba't ibang antas. Ang una ay isang pahayag ng problema ng proseso ng pagpapatupad ng proyekto, na pinamumunuan ng guro. Ang pangalawa ay ang pagpapatupad ng proyekto ng mga mag-aaral sa ilalim ng gabay ng isang guro. Ang pangatlo ay ang independiyenteng pagpapatupad ng mga mag-aaral ng isang proyekto sa pananaliksik na pang-edukasyon.
Ang mga resulta ng trabaho ay dapat iharap sa numerical form, sa anyo ng mga graph, diagram. Kung maaari, ang proseso ay ipinakita sa screen ng computer sa dinamika. Sa pagkumpleto ng mga kalkulasyon at pagtanggap ng mga resulta, ang mga ito ay nasuri, kumpara sa mga kilalang katotohanan mula sa teorya, ang pagiging maaasahan ay nakumpirma at isang makabuluhang interpretasyon ay isinasagawa, na kasunod na makikita sa isang nakasulat na ulat.
Kung ang mga resulta ay nasiyahan ang mag-aaral at ang guro, pagkatapos ay ang trabaho binibilang natapos, at ang huling yugto nito ay ang paghahanda ng isang ulat. Kasama sa ulat ang maikling teoretikal na impormasyon sa paksang pinag-aaralan, isang matematikal na pagbabalangkas ng problema, isang solusyon sa algorithm at ang pagbibigay-katwiran nito, isang computer program, ang mga resulta ng programa, pagsusuri ng mga resulta at konklusyon, isang listahan ng mga sanggunian.
Kapag ang lahat ng mga ulat ay nailabas na, sa sesyon ng pagsusulit, ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga maikling ulat sa gawaing ginawa, ipagtanggol ang kanilang proyekto. Ito ay isang epektibong paraan ng pag-uulat ng pangkat ng proyekto sa klase, kabilang ang pagtatakda ng problema, pagbuo ng isang pormal na modelo, pagpili ng mga pamamaraan para sa pagtatrabaho sa modelo, pagpapatupad ng modelo sa isang computer, pagtatrabaho sa natapos na modelo, pagbibigay-kahulugan sa mga resulta, pagtataya. Bilang resulta, ang mga mag-aaral ay maaaring makakuha ng dalawang grado: ang una ay para sa elaborasyon ng proyekto at ang tagumpay ng pagtatanggol nito, ang pangalawa ay para sa programa, ang pinakamainam ng algorithm, interface, atbp. Ang mga mag-aaral ay tumatanggap din ng mga marka sa kurso ng mga survey sa teorya.
Ang isang mahalagang tanong ay kung anong uri ng mga tool ang gagamitin sa kursong informatics ng paaralan para sa mathematical modeling? Ang pagpapatupad ng computer ng mga modelo ay maaaring isagawa:
- gamit ang isang spreadsheet (karaniwan ay MS Excel);
- sa pamamagitan ng paglikha ng mga programa sa tradisyonal na mga wika ng programming (Pascal, BASIC, atbp.), pati na rin sa kanilang mga modernong bersyon (Delphi, Visual
Basic para sa Application, atbp.); - gamit ang mga espesyal na pakete ng software para sa paglutas ng mga problema sa matematika (MathCAD, atbp.).
Sa antas ng elementarya, ang unang lunas ay lumilitaw na ang ginustong isa. Gayunpaman, sa mataas na paaralan, kapag ang programming, kasama ang pagmomodelo, ay isang pangunahing paksa ng computer science, ito ay kanais-nais na isama ito bilang isang tool sa pagmomodelo. Sa proseso ng programming, ang mga detalye ng mga pamamaraan sa matematika ay magagamit sa mga mag-aaral; bukod pa rito, napipilitan lang silang makabisado ang mga ito, at ito ay nag-aambag din sa edukasyong matematika. Tulad ng para sa paggamit ng mga espesyal na pakete ng software, ito ay angkop sa isang profile na kurso sa agham sa computer bilang karagdagan sa iba pang mga tool.
Mag-ehersisyo :
- Balangkasin ang mga pangunahing konsepto.
Sa artikulong dinala sa iyong pansin, nag-aalok kami ng mga halimbawa ng mga modelo ng matematika. Bilang karagdagan, bibigyan namin ng pansin ang mga yugto ng paglikha ng mga modelo at pag-aralan ang ilan sa mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika.
Ang isa pang isyu sa amin ay ang mga modelo ng matematika sa ekonomiya, mga halimbawa kung saan isasaalang-alang namin ang isang kahulugan sa ibang pagkakataon. Iminumungkahi naming simulan ang aming pag-uusap sa mismong konsepto ng "modelo", sa madaling sabi isaalang-alang ang kanilang pag-uuri at magpatuloy sa aming mga pangunahing katanungan.
Ang konsepto ng "modelo"
Madalas nating marinig ang salitang "modelo". Ano ito? Ang terminong ito ay may maraming mga kahulugan, narito ang tatlo lamang sa kanila:
- isang tiyak na bagay na nilikha upang tumanggap at mag-imbak ng impormasyon, na sumasalamin sa ilang mga katangian o katangian, at iba pa, ng orihinal ng bagay na ito (ang tiyak na bagay na ito ay maaaring ipahayag sa iba't ibang anyo: mental, paglalarawan gamit ang mga palatandaan, at iba pa);
- nangangahulugan din ang isang modelo ng pagpapakita ng anumang partikular na sitwasyon, buhay o pamamahala;
- ang isang maliit na kopya ng isang bagay ay maaaring magsilbi bilang isang modelo (ginawa sila para sa isang mas detalyadong pag-aaral at pagsusuri, dahil ang modelo ay sumasalamin sa istraktura at mga relasyon).
Batay sa lahat ng sinabi kanina, maaari tayong gumuhit ng isang maliit na konklusyon: pinapayagan ka ng modelo na pag-aralan nang detalyado ang isang kumplikadong sistema o bagay.
Ang lahat ng mga modelo ay maaaring maiuri ayon sa isang bilang ng mga pamantayan:
- sa pamamagitan ng lugar ng paggamit (pang-edukasyon, pang-eksperimento, pang-agham at teknikal, paglalaro, simulation);
- sa pamamagitan ng dinamika (static at dynamic);
- sa pamamagitan ng sangay ng kaalaman (pisikal, kemikal, heograpikal, historikal, sosyolohikal, pang-ekonomiya, matematika);
- ayon sa paraan ng paglalahad (materyal at informational).
Ang mga modelo ng impormasyon, sa turn, ay nahahati sa sign at verbal. At iconic - sa computer at hindi computer. Ngayon ay lumipat tayo sa isang detalyadong pagsasaalang-alang ng mga halimbawa ng isang modelo ng matematika.
Matematikal na modelo
Tulad ng maaari mong hulaan, ang isang modelo ng matematika ay nagpapakita ng ilang mga tampok ng isang bagay o kababalaghan gamit ang mga espesyal na simbolo ng matematika. Ang matematika ay kailangan upang maging modelo ng mga batas ng mundo sa sarili nitong partikular na wika.
Ang pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ay nagmula medyo matagal na ang nakalipas, libu-libong taon na ang nakalilipas, kasama ang pagdating ng agham na ito. Gayunpaman, ang impetus para sa pagbuo ng paraan ng pagmomolde na ito ay ibinigay ng hitsura ng mga computer (electronic computer).
Ngayon ay lumipat tayo sa pag-uuri. Maaari rin itong isagawa ayon sa ilang mga palatandaan. Ang mga ito ay ipinakita sa talahanayan sa ibaba.
Iminumungkahi naming ihinto at tingnang mabuti ang huling pag-uuri, dahil sinasalamin nito ang mga pangkalahatang pattern ng pagmomodelo at ang mga layunin ng mga modelong ginagawa.
Mga Deskriptibong Modelo
Sa kabanatang ito, ipinapanukala naming pag-isipan nang mas detalyado ang mga deskriptibong modelo ng matematika. Upang maging malinaw ang lahat, isang halimbawa ang ibibigay.
Upang magsimula, ang view na ito ay maaaring tawaging naglalarawan. Ito ay dahil sa katotohanan na gumagawa lang kami ng mga kalkulasyon at pagtataya, ngunit hindi namin maimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan sa anumang paraan.
Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang mapaglarawang modelo ng matematika ay ang pagkalkula ng landas ng paglipad, bilis, distansya mula sa Earth ng isang kometa na sumalakay sa kalawakan ng ating solar system. Ang modelong ito ay naglalarawan, dahil ang lahat ng mga resulta na nakuha ay maaari lamang magbigay ng babala sa amin ng ilang uri ng panganib. Sa kasamaang palad, hindi namin maimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan. Gayunpaman, batay sa mga kalkulasyon na nakuha, posible na gumawa ng anumang mga hakbang upang mapanatili ang buhay sa Earth.
Mga Modelo sa Pag-optimize
Ngayon ay magsasalita tayo nang kaunti tungkol sa mga modelong pang-ekonomiya at matematika, ang mga halimbawa nito ay maaaring iba't ibang sitwasyon. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga modelo na makakatulong upang mahanap ang tamang sagot sa ilang mga kundisyon. Dapat silang magkaroon ng ilang mga parameter. Upang gawing napakalinaw, isaalang-alang ang isang halimbawa mula sa bahaging agraryo.
Mayroon kaming kamalig, ngunit napakabilis na nasisira ang butil. Sa kasong ito, kailangan nating piliin ang tamang rehimen ng temperatura at i-optimize ang proseso ng imbakan.
Kaya, maaari nating tukuyin ang konsepto ng "modelo ng pag-optimize". Sa isang matematikal na kahulugan, ito ay isang sistema ng mga equation (parehong linear at hindi), ang solusyon na tumutulong upang mahanap ang pinakamainam na solusyon sa isang partikular na sitwasyong pang-ekonomiya. Isinasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng isang modelo ng matematika (pag-optimize), ngunit nais kong magdagdag ng isa pang bagay: ang ganitong uri ay kabilang sa klase ng matinding mga problema, nakakatulong silang ilarawan ang paggana ng sistemang pang-ekonomiya.
Napansin namin ang isa pang nuance: ang mga modelo ay maaaring maging ibang kalikasan (tingnan ang talahanayan sa ibaba).
Mga modelong multicriteria
Ngayon ay inaanyayahan ka naming pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa modelo ng matematika ng multiobjective optimization. Bago iyon, nagbigay kami ng isang halimbawa ng isang mathematical model para sa pag-optimize ng isang proseso ayon sa alinmang criterion, ngunit paano kung marami sa kanila?
Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang multicriteria na gawain ay ang organisasyon ng wasto, malusog at kasabay na matipid na nutrisyon ng malalaking grupo ng mga tao. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa hukbo, mga kantina ng paaralan, mga kampo ng tag-init, mga ospital at iba pa.
Anong pamantayan ang ibinigay sa atin sa gawaing ito?
- Ang pagkain ay dapat na malusog.
- Ang mga gastos sa pagkain ay dapat panatilihin sa pinakamababa.
Tulad ng nakikita mo, ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma sa lahat. Nangangahulugan ito na kapag nilulutas ang isang problema, kailangang hanapin ang pinakamainam na solusyon, isang balanse sa pagitan ng dalawang pamantayan.
Mga modelo ng laro
Sa pagsasalita tungkol sa mga modelo ng laro, kinakailangang maunawaan ang konsepto ng "teorya ng laro". Sa madaling salita, ang mga modelong ito ay sumasalamin sa mga modelo ng matematika ng mga tunay na salungatan. Ito ay nagkakahalaga lamang na maunawaan na, hindi tulad ng isang tunay na salungatan, ang isang modelo ng matematika ng laro ay may sariling mga tiyak na panuntunan.
Ngayon ay magbibigay ako ng isang minimum na impormasyon mula sa teorya ng laro, na makakatulong sa iyong maunawaan kung ano ang isang modelo ng laro. At kaya, sa modelo mayroong kinakailangang mga partido (dalawa o higit pa), na karaniwang tinatawag na mga manlalaro.
Ang lahat ng mga modelo ay may ilang mga katangian.
Ang modelo ng laro ay maaaring ipares o maramihan. Kung mayroon kaming dalawang paksa, kung gayon ang salungatan ay ipinares, kung higit pa - maramihang. Ang isang antagonistic na laro ay maaari ding makilala, ito ay tinatawag ding zero-sum game. Ito ay isang modelo kung saan ang pakinabang ng isa sa mga kalahok ay katumbas ng pagkawala ng isa pa.
mga modelo ng simulation
Sa seksyong ito, tututuon natin ang simulation mathematical models. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay:
- modelo ng dynamics ng bilang ng mga microorganism;
- modelo ng molecular motion, at iba pa.
Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga modelo na mas malapit hangga't maaari sa mga totoong proseso. Sa pangkalahatan, ginagaya nila ang anumang pagpapakita sa kalikasan. Sa unang kaso, halimbawa, maaari nating imodelo ang dinamika ng bilang ng mga langgam sa isang kolonya. Sa kasong ito, maaari mong obserbahan ang kapalaran ng bawat indibidwal. Sa kasong ito, ang paglalarawan sa matematika ay bihirang ginagamit, mas madalas mayroong nakasulat na mga kondisyon:
- pagkatapos ng limang araw, nangingitlog ang babae;
- pagkaraan ng dalawampung araw ay namatay ang langgam, at iba pa.
Kaya, ay ginagamit upang ilarawan ang isang malaking sistema. Ang konklusyon sa matematika ay ang pagproseso ng natanggap na data ng istatistika.
Mga kinakailangan
Napakahalagang malaman na mayroong ilang mga kinakailangan para sa ganitong uri ng modelo, bukod sa kung saan ay ang mga ibinigay sa talahanayan sa ibaba.
Kagalingan sa maraming bagay | Nagbibigay-daan sa iyo ang property na ito na gumamit ng parehong modelo kapag naglalarawan ng mga pangkat ng mga bagay na may parehong uri. Mahalagang tandaan na ang mga unibersal na modelo ng matematika ay ganap na independyente sa pisikal na katangian ng bagay na pinag-aaralan. |
Kasapatan | Narito ito ay mahalagang maunawaan na ang ari-arian na ito ay nagbibigay-daan sa pinaka tamang pagpaparami ng mga tunay na proseso. Sa mga problema sa pagpapatakbo, ang pag-aari na ito ng pagmomolde ng matematika ay napakahalaga. Ang isang halimbawa ng isang modelo ay ang proseso ng pag-optimize ng paggamit ng isang sistema ng gas. Sa kasong ito, ang mga kinakalkula at aktwal na mga tagapagpahiwatig ay inihambing, bilang isang resulta, ang kawastuhan ng pinagsama-samang modelo ay nasuri. |
Katumpakan | Ang kinakailangang ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaisa ng mga halaga na nakukuha namin kapag kinakalkula ang modelo ng matematika at ang mga parameter ng input ng aming tunay na bagay |
ekonomiya | Ang pangangailangan ng ekonomiya para sa anumang modelo ng matematika ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga gastos sa pagpapatupad. Kung ang gawain sa modelo ay isinasagawa nang manu-mano, pagkatapos ay kinakailangan upang kalkulahin kung gaano karaming oras ang aabutin upang malutas ang isang problema gamit ang mathematical model na ito. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa disenyo na tinutulungan ng computer, kung gayon ang mga tagapagpahiwatig ng oras at memorya ng computer ay kinakalkula |
Mga hakbang sa pagmomodelo
Sa kabuuan, kaugalian na makilala ang apat na yugto sa pagmomolde ng matematika.
- Pagbubuo ng mga batas na nag-uugnay sa mga bahagi ng modelo.
- Pag-aaral ng mga problema sa matematika.
- Paghanap ng pagkakataon ng praktikal at teoretikal na mga resulta.
- Pagsusuri at modernisasyon ng modelo.
Modelong pang-ekonomiya at matematika
Sa seksyong ito, maikling i-highlight natin ang isyu. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay maaaring:
- pagbuo ng isang programa sa produksyon para sa produksyon ng mga produktong karne, na tinitiyak ang pinakamataas na kita ng produksyon;
- pag-maximize ng tubo ng organisasyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng pinakamainam na bilang ng mga mesa at upuan na gagawin sa isang pabrika ng muwebles, at iba pa.
Ang economic-mathematical model ay nagpapakita ng economic abstraction, na ipinahayag gamit ang mathematical terms at signs.
Modelo ng matematika sa computer
Ang mga halimbawa ng isang computer mathematical model ay:
- mga gawaing haydrolika gamit ang mga flowchart, diagram, talahanayan, at iba pa;
- mga problema sa solidong mekanika, at iba pa.
Ang modelo ng computer ay isang imahe ng isang bagay o sistema, na ipinakita bilang:
- mga talahanayan;
- block diagram;
- mga diagram;
- graphics, at iba pa.
Kasabay nito, ang modelong ito ay sumasalamin sa istraktura at mga pagkakaugnay ng system.
Pagbuo ng modelong pang-ekonomiya at matematika
Napag-usapan na natin kung ano ang modelong pang-ekonomiya-matematika. Ang isang halimbawa ng paglutas ng problema ay isasaalang-alang ngayon. Kailangan nating pag-aralan ang programa ng produksyon upang matukoy ang reserba para sa pagtaas ng kita na may pagbabago sa assortment.
Hindi namin ganap na isasaalang-alang ang problema, ngunit bumuo lamang ng isang modelong pang-ekonomiya at matematika. Ang pamantayan ng aming gawain ay ang pag-maximize ng kita. Pagkatapos ang function ay may form na: Л=р1*х1+р2*х2… tending to the maximum. Sa modelong ito, ang p ay ang tubo sa bawat yunit, x ay ang bilang ng mga yunit na ginawa. Dagdag pa, batay sa itinayong modelo, kinakailangan na gumawa ng mga kalkulasyon at buod.
Isang halimbawa ng pagbuo ng isang simpleng modelo ng matematika
Gawain. Bumalik ang mangingisda dala ang sumusunod na huli:
- 8 isda - mga naninirahan sa hilagang dagat;
- 20% ng catch - ang mga naninirahan sa katimugang dagat;
- wala ni isang isda ang natagpuan mula sa lokal na ilog.
Ilang isda ang nabili niya sa tindahan?
Kaya, ang isang halimbawa ng pagbuo ng isang modelo ng matematika ng problemang ito ay ang mga sumusunod. Tinutukoy namin ang kabuuang bilang ng mga isda bilang x. Kasunod ng kundisyon, 0.2x ang bilang ng mga isda na naninirahan sa southern latitude. Ngayon ay pinagsama namin ang lahat ng magagamit na impormasyon at kumuha ng isang matematikal na modelo ng problema: x=0.2x+8. Nalutas namin ang equation at nakuha ang sagot sa pangunahing tanong: bumili siya ng 10 isda sa tindahan.
Ang batayan para sa paglutas ng mga problemang pang-ekonomiya ay mga modelo ng matematika.
Ang pagguhit ng isang modelo ng matematika ay kinabibilangan ng:matematikal na modelo Ang problema ay isang hanay ng mga mathematical na relasyon na naglalarawan sa kakanyahan ng problema.
- pagpili ng variable ng gawain
- pagbuo ng isang sistema ng mga paghihigpit
- pagpili ng layunin ng function
Mga variable ng gawain ay tinatawag na mga dami X1, X2, Xn, na ganap na nagpapakilala sa proseso ng ekonomiya. Karaniwan ang mga ito ay nakasulat bilang isang vector: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
Ang sistema ng mga paghihigpit Ang mga gawain ay isang hanay ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalarawan sa limitadong mga mapagkukunan sa problemang isinasaalang-alang.
target na function Ang gawain ay tinatawag na isang function ng mga variable ng gawain na nagpapakilala sa kalidad ng gawain at ang sukdulan nito ay kinakailangang matagpuan.
Sa pangkalahatan, ang isang linear na problema sa programming ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Ang entry na ito ay nangangahulugan ng sumusunod: hanapin ang extremum ng layunin function (1) at ang kaukulang mga variable X=(X 1 , X 2 ,...,X n) sa kondisyon na ang mga variable na ito ay nakakatugon sa sistema ng mga hadlang (2) at hindi -negatibiti kundisyon (3) .
Katanggap-tanggap na Solusyon(plano) ng isang linear na problema sa programming ay anumang n-dimensional na vector X=(X 1 , X 2 ,...,X n) na nakakatugon sa sistema ng mga hadlang at hindi negatibong kondisyon.
Ang hanay ng mga magagawang solusyon (mga plano) ng problema ay nabuo hanay ng mga magagawang solusyon(ODR).
Ang pinakamainam na solusyon(plano) ng isang linear programming problema ay tulad ng isang magagawa solusyon (plano) ng problema, kung saan ang layunin function na umabot sa isang extremum.
Isang halimbawa ng pag-compile ng isang mathematical model
Ang gawain ng paggamit ng mga mapagkukunan (hilaw na materyales)
Kundisyon: Para sa paggawa ng n uri ng produkto, m uri ng mapagkukunan ang ginagamit. Gumawa ng mathematical model.
kilala:
- b i (i = 1,2,3,...,m) ay ang mga reserba ng bawat i-th na uri ng mapagkukunan;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) ay ang mga gastos ng bawat i-th na uri ng mapagkukunan para sa produksyon ng isang unit volume ng ang j-th na uri ng produkto;
- Ang c j (j = 1,2,3,...,n) ay ang tubo mula sa pagbebenta ng dami ng yunit ng j-th na uri ng produkto.
Kinakailangan na gumuhit ng isang plano para sa paggawa ng mga produkto na nagbibigay ng pinakamataas na kita na may ibinigay na mga paghihigpit sa mga mapagkukunan (hilaw na materyales).
Desisyon:
Ipinakilala namin ang isang vector ng mga variable X=(X 1 , X 2 ,...,X n), kung saan ang x j (j = 1,2,...,n) ay ang dami ng produksyon ng j-th na uri ng produkto.
Ang mga gastos ng i-th na uri ng mapagkukunan para sa produksyon ng isang naibigay na dami x j ng mga produkto ay katumbas ng isang ij x j , samakatuwid, ang paghihigpit sa paggamit ng mga mapagkukunan para sa produksyon ng lahat ng uri ng mga produkto ay may anyo:
Ang tubo mula sa pagbebenta ng j-th na uri ng produkto ay katumbas ng c j x j , kaya ang layunin ng function ay katumbas ng:
Sagot- Ang mathematical model ay ganito ang hitsura:
Canonical form ng isang linear programming problem
Sa pangkalahatang kaso, ang isang linear na problema sa programming ay isinulat sa paraang ang parehong mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay mga hadlang, at ang mga variable ay maaaring maging hindi negatibo o arbitraryong nagbabago.
Sa kaso kapag ang lahat ng mga hadlang ay mga equation at ang lahat ng mga variable ay nakakatugon sa hindi negatibong kondisyon, ang problema sa linear programming ay tinatawag kanonikal.
Maaari itong katawanin sa coordinate, vector at matrix notation.
Ang canonical linear programming problem sa coordinate notation ay may anyo:
Ang canonical linear programming problem sa matrix notation ay may anyo:
- Ang A ay ang matrix ng mga coefficient ng sistema ng mga equation
- Ang X ay isang column matrix ng mga variable ng gawain
- Ang Ao ay ang matrix-column ng mga tamang bahagi ng constraint system
Kadalasan, ginagamit ang mga problema sa linear programming, na tinatawag na mga simetriko, na sa matrix notation ay may anyo:
Pagbawas ng isang pangkalahatang problema sa linear programming sa canonical form
Sa karamihan ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa linear programming, ipinapalagay na ang sistema ng mga hadlang ay binubuo ng mga equation at natural na kondisyon para sa hindi negatibong mga variable. Gayunpaman, kapag nag-iipon ng mga modelo ng mga problemang pang-ekonomiya, ang mga hadlang ay pangunahing nabuo sa anyo ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kaya kinakailangan upang lumipat mula sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng mga equation.
Ito ay maaaring gawin tulad nito:Kumuha ng linear inequality a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b at idagdag sa kaliwang bahagi nito ang ilang value x n+1 upang ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging equality a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+a n x n +x n+1 =b. Bukod dito, ang value na ito x n+1 ay hindi negatibo.
Isaalang-alang natin ang lahat ng may isang halimbawa.
Halimbawa 26.1Bawasan ang linear programming problem sa canonical form:
Desisyon:
Lumipat tayo sa problema ng paghahanap ng maximum ng layunin ng function.
Upang gawin ito, binabago namin ang mga palatandaan ng mga coefficient ng layunin ng function.
Upang i-convert ang pangalawa at pangatlong hindi pagkakapantay-pantay ng constraint system sa mga equation, ipinakilala namin ang mga di-negatibong karagdagang variable x 4 x 5 (ang operasyong ito ay minarkahan ng titik D sa mathematical model).
Ang variable na x 4 ay ipinasok sa kaliwang bahagi ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay na may tanda na "+", dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyong "≤".
Ang variable na x 5 ay ipinasok sa kaliwang bahagi ng ikatlong hindi pagkakapantay-pantay na may "-" sign, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyong "≥".
Ang mga variable na x 4 x 5 ay ipinasok sa layunin na function na may isang koepisyent. katumbas ng zero.
Isinulat namin ang problema sa canonical form.
Halimbawa 1.5.1.
Hayaang gumawa ang ilang rehiyong pang-ekonomiya ng ilang (n) uri ng mga produkto na eksklusibo sa sarili nitong at para lamang sa populasyon ng rehiyong ito. Ipinapalagay na ang teknolohikal na proseso ay nagawa, at ang pangangailangan ng populasyon para sa mga kalakal na ito ay pinag-aralan. Kinakailangan upang matukoy ang taunang dami ng output ng mga produkto, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang dami na ito ay dapat magbigay ng parehong pangwakas at pang-industriya na pagkonsumo.
Gumawa tayo ng mathematical model ng problemang ito. Ayon sa kondisyon nito, ang mga sumusunod ay ibinigay: mga uri ng mga produkto, demand para sa kanila at ang teknolohikal na proseso; hanapin ang dami ng output para sa bawat uri ng produkto.
Tukuyin natin ang mga kilalang dami:
c i- kahilingan ng publiko para sa i-ika-produkto ( i=1,...,n); a ij- dami i-ika-produktong kinakailangan upang makagawa ng isang yunit ng ika-j na produkto gamit ang teknolohiyang ito ( i=1,...,n ; j=1,...,n);
X i - dami ng output i-ika-produkto ( i=1,...,n); kabuuan kasama =(c 1 ,..., c n ) ay tinatawag na demand vector, ang mga numero a ij– mga teknolohikal na coefficient, at ang set X =(X 1 ,..., X n ) ay ang release vector.
Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, ang vector X ay nahahati sa dalawang bahagi: para sa panghuling pagkonsumo (vector kasama ) at pagpaparami (vector x-s ). Kalkulahin ang bahaging iyon ng vector X na napupunta sa pagpaparami. Ayon sa aming mga pagtatalaga para sa produksyon X j dami ng j-th na produkto napupunta a ij · X j dami i-ika-produkto.
Pagkatapos ang kabuuan a i1 · X 1 +...+ a sa · X n nagpapakita ng halaga i-th na produkto, na kailangan para sa buong output X =(X 1 ,..., X n ).
Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon ng:
Ang pagpapalawak ng pangangatwiran na ito sa lahat ng uri ng mga produkto, nakarating kami sa gustong modelo:
Paglutas ng sistemang ito ng n linear equation na may kinalaman sa X 1 ,...,X n at hanapin ang kinakailangang output vector.
Upang maisulat ang modelong ito sa isang mas compact (vector) na anyo, ipinakilala namin ang notasyon:
parisukat ( 
) -matrix PERO tinatawag na matrix ng teknolohiya. Madaling suriin na ang aming modelo ay isusulat na tulad nito: x-s=Ah o
(1.6)
Nakuha namin ang klasikong modelo " Input - Output ”, ang may-akda kung saan ay ang sikat na Amerikanong ekonomista na si V. Leontiev.
Halimbawa 1.5.2.
Ang isang oil refinery ay may dalawang grado ng langis: grade PERO sa halagang 10 units, grade AT- 15 mga yunit. Kapag nagpoproseso ng langis, dalawang materyales ang nakuha: gasolina (tinukoy namin B) at langis ng gasolina ( M). Mayroong tatlong mga pagpipilian para sa teknolohiya ng pagproseso:
ako: 1 unit PERO+ 2 unit AT nagbibigay ng 3 yunit. B+ 2 unit M
II: 2 yunit PERO+ 1 unit AT nagbibigay ng 1 unit. B+ 5 mga yunit M
III: 2 yunit PERO+ 2 unit AT nagbibigay ng 1 unit. B+ 2 unit M
Ang presyo ng gasolina ay $10 kada yunit, ang gasolina ay $1 kada yunit.
Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pinaka-kapaki-pakinabang na kumbinasyon ng mga teknolohikal na proseso para sa pagproseso ng magagamit na halaga ng langis.
Bago ang pagmomodelo, linawin namin ang mga sumusunod na punto. Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na ang "kakayahang kumita" ng teknolohikal na proseso para sa halaman ay dapat na maunawaan sa kahulugan ng pagkuha ng pinakamataas na kita mula sa pagbebenta ng mga natapos na produkto nito (gasolina at langis ng gasolina). Kaugnay nito, malinaw na ang "pagpipilian (paggawa) ng desisyon" ng halaman ay upang matukoy kung aling teknolohiya at kung gaano karaming beses ilalapat. Malinaw, maraming ganoong posibilidad.
Tukuyin natin ang hindi kilalang dami:
X i- dami ng paggamit i-ang proseso ng teknolohiya (i=1,2,3). Iba pang mga parameter ng modelo (mga reserba ng mga marka ng langis, mga presyo ng gasolina at langis ng gasolina) kilala.
Ngayon ang isang tiyak na desisyon ng halaman ay nabawasan sa pagpili ng isang vector X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , kung saan ang kita ng planta ay katumbas ng (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dollars. Dito, 32 dollars ang natanggap na kita mula sa isang aplikasyon ng unang teknolohikal na proseso (10 dollars 3 units. B+ $1 2 unit M= $32). Ang mga coefficient 15 at 12 ay may magkatulad na kahulugan para sa pangalawa at pangatlong teknolohikal na proseso, ayon sa pagkakabanggit. Ang accounting para sa reserba ng langis ay humahantong sa mga sumusunod na kondisyon:
para sa iba't-ibang PERO:
para sa iba't-ibang AT:,
kung saan sa unang hindi pagkakapantay-pantay ang mga coefficient 1, 2, 2 ay ang mga rate ng pagkonsumo ng grade A na langis para sa isang beses na aplikasyon ng mga teknolohikal na proseso ako,II,III ayon sa pagkakabanggit. Ang mga coefficient ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay may katulad na kahulugan para sa grade B na langis.
Ang modelo ng matematika sa kabuuan ay may anyo:
Maghanap ng isang vector x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) upang i-maximize
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
kapag natugunan ang mga kondisyon:
Ang pinaikling anyo ng entry na ito ay ang mga sumusunod:
sa ilalim ng mga paghihigpit
(1.7)
Nakuha namin ang tinatawag na linear programming problem.
Ang modelo (1.7.) ay isang halimbawa ng modelo ng pag-optimize ng isang deterministikong uri (na may mahusay na tinukoy na mga elemento).
Halimbawa 1.5.3.
Kailangang matukoy ng mamumuhunan ang pinakamahusay na hanay ng mga stock, mga bono at iba pang mga mahalagang papel upang bilhin ang mga ito para sa isang tiyak na halaga upang makakuha ng isang tiyak na tubo na may kaunting panganib sa kanyang sarili. Return sa bawat dolyar na namuhunan sa isang seguridad j-ika-uri, na nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang tagapagpahiwatig: inaasahang kita at aktwal na kita. Para sa isang mamumuhunan, ito ay kanais-nais na ang inaasahang tubo sa bawat dolyar ng mga pamumuhunan para sa buong hanay ng mga mahalagang papel ay hindi mas mababa sa isang ibinigay na halaga b.
Tandaan na para sa tamang pagmomodelo ng problemang ito, ang isang mathematician ay nangangailangan ng ilang pangunahing kaalaman sa larangan ng portfolio theory of securities.
Tukuyin natin ang mga kilalang parameter ng problema:
n- ang bilang ng mga uri ng mga securities; a j– aktwal na kita (random na numero) mula sa ika-j na uri ng seguridad; 
ay ang inaasahang tubo mula sa j ika-isang uri ng seguridad.
Tukuyin ang hindi kilalang dami :
y j - mga pondong inilalaan para sa pagbili ng mga securities ng uri j.
Sa aming notasyon, ang kabuuang halaga na namuhunan ay ipinahayag bilang 
. Upang gawing simple ang modelo, ipinakilala namin ang mga bagong dami
.
kaya, X i- ito ang bahagi ng lahat ng mga pondong inilaan para sa pagbili ng mga securities ng uri j.
Malinaw na 
Makikita mula sa kondisyon ng problema na ang layunin ng mamumuhunan ay makamit ang isang tiyak na antas ng kita na may kaunting panganib. Sa esensya, ang panganib ay isang sukatan ng paglihis ng aktwal na kita mula sa inaasahan. Samakatuwid, maaari itong makilala sa covariance ng kita para sa mga securities ng uri i at uri j. Narito ang M ay ang pagtatalaga ng inaasahan sa matematika.
Ang modelo ng matematika ng orihinal na problema ay may anyo:
sa ilalim ng mga paghihigpit
,
,
,
. (1.8)
Nakuha namin ang kilalang modelo ng Markowitz para sa pag-optimize ng istraktura ng isang portfolio ng mga seguridad.
Ang modelo (1.8.) ay isang halimbawa ng modelo ng pag-optimize ng isang stochastic na uri (na may mga elemento ng randomness).
Halimbawa 1.5.4.
Sa batayan ng isang organisasyong pangkalakalan, mayroong mga n uri ng isa sa mga produkto ng pinakamababang assortment. Isa lamang sa mga uri ng produktong ito ang dapat maihatid sa tindahan. Kinakailangang piliin ang uri ng mga kalakal na ipinapayong dalhin sa tindahan. Kung ang uri ng produkto j ay in demand, pagkatapos ay ang tindahan ay makikinabang mula sa pagbebenta nito R j, kung ito ay hindi in demand - isang pagkawala q j .
Bago ang pagmomodelo, tatalakayin natin ang ilang pangunahing mga punto. Sa problemang ito, ang gumagawa ng desisyon (DM) ay ang tindahan. Gayunpaman, ang kinalabasan (pagkuha ng pinakamataas na kita) ay nakasalalay hindi lamang sa kanyang desisyon, kundi pati na rin sa kung ang mga na-import na kalakal ay hihingin, ibig sabihin, kung sila ay bibilhin ng populasyon (ipinapalagay na sa ilang kadahilanan ay ginagawa ng tindahan. hindi magkaroon ng pagkakataong pag-aralan ang pangangailangan ng populasyon). Samakatuwid, ang populasyon ay maaaring ituring bilang ang pangalawang gumagawa ng desisyon, pagpili ng uri ng mga kalakal ayon sa kanilang mga kagustuhan. Ang pinakamasamang "desisyon" ng populasyon para sa tindahan ay: "ang mga na-import na kalakal ay hindi hinihiling." Kaya, upang isaalang-alang ang lahat ng uri ng mga sitwasyon, kailangang isaalang-alang ng tindahan ang populasyon bilang "kalaban" nito (kondisyon), na hinahabol ang kabaligtaran na layunin - upang mabawasan ang kita ng tindahan.
Kaya, mayroon kaming problema sa pagpapasya sa dalawang kalahok na humahabol sa magkasalungat na layunin. Linawin natin na ang tindahan ay pipili ng isa sa mga uri ng mga kalakal na ibinebenta (may mga n solusyon), at ang populasyon ay pipili ng isa sa mga uri ng mga kalakal na may pinakamalaking demand ( n mga pagpipilian sa solusyon).
Upang mag-compile ng isang modelo ng matematika, gumuhit kami ng isang talahanayan na may n mga linya at n mga hanay (kabuuan n 2 cell) at sumang-ayon na ang mga hilera ay tumutugma sa pagpili ng tindahan, at ang mga hanay ay tumutugma sa pagpili ng populasyon. Tapos yung hawla (i, j) tumutugma sa sitwasyon kung kailan pinili ng tindahan i-ika-uri ng mga kalakal ( i-ika-linya), at pinipili ng populasyon j-ika-uri ng mga kalakal ( j- ika-kolum). Sa bawat cell, nagsusulat kami ng isang numerical na pagtatasa (kita o pagkawala) ng kaukulang sitwasyon mula sa punto ng view ng tindahan:
Numero q i nakasulat na may minus upang ipakita ang pagkawala ng tindahan; sa bawat sitwasyon, ang "kabayaran" ng populasyon ay (kondisyon) katumbas ng "kabayaran" ng tindahan, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.
Ang isang pinaikling view ng modelong ito ay ang mga sumusunod:
(1.9)
Nakuha namin ang tinatawag na matrix game. Ang modelo (1.9.) ay isang halimbawa ng mga modelo ng paggawa ng desisyon sa laro.
