DEGREE NA MAY RASYONAL NA INDICATOR,

KAPANGYARIHAN IV

§ 79. Pagkuha ng mga ugat mula sa isang gawa at isang quotient

Teorama 1. ugat P Ang kapangyarihan ng produkto ng mga positibong numero ay katumbas ng produkto ng mga ugat P -ika antas ng mga kadahilanan, iyon ay, kapag a > 0, b > 0 at natural P

n √ab = n √a n √b . (1)

Patunay. Alalahanin na ang ugat P ika kapangyarihan ng isang positibong numero ab mayroong isang positibong numero P -ika na antas na katumbas ng ab . Samakatuwid, ang pagpapatunay ng pagkakapantay-pantay (1) ay kapareho ng pagpapatunay ng pagkakapantay-pantay

(n √a n √b ) n = ab .

Sa pamamagitan ng pag-aari ng antas ng produkto

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Ngunit sa kahulugan ng ugat P ika-degree ( n √a ) n = a , (n √b ) n = b .

Kaya ( n √a n √b ) n = ab . Napatunayan na ang theorem.

Pangangailangan a > 0, b > 0 ay mahalaga lamang para sa kahit na P , dahil para sa negatibo a at b at kahit na P mga ugat n √a at n √b hindi tinukoy. Kung P kakaiba, kung gayon ang formula (1) ay wasto para sa alinman a at b (parehong positibo at negatibo).

Mga halimbawa: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Ang formula (1) ay kapaki-pakinabang kapag kinakalkula ang mga ugat, kapag ang root expression ay kinakatawan bilang isang produkto ng eksaktong mga parisukat. Halimbawa,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Napatunayan namin ang Theorem 1 para sa kaso kapag ang radical sign sa kaliwang bahagi ng formula (1) ay produkto ng dalawang positibong numero. Sa katunayan, ang teorama na ito ay totoo para sa anumang bilang ng mga positibong salik, iyon ay, para sa anumang natural k > 2:

Bunga. Kapag binabasa ang pagkakakilanlang ito mula kanan pakaliwa, makukuha natin ang sumusunod na panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat na may parehong mga exponent;

Upang i-multiply ang mga ugat na may parehong mga exponent, sapat na upang i-multiply ang mga expression ng ugat, na iniiwan ang exponent ng root na pareho.

Halimbawa, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Teorama 2. ugat P ika kapangyarihan ng isang fraction na ang numerator at denominator ay positibong mga numero ay katumbas ng quotient ng paghahati ng ugat ng parehong degree mula sa numerator sa ugat ng parehong degree mula sa denominator, ibig sabihin, kapag a > 0 at b > 0

(2)

Upang patunayan ang pagkakapantay-pantay (2) ay nangangahulugang ipakita iyon

Ayon sa tuntunin ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan at pagtukoy sa ugat n ang antas na mayroon tayo:

Kaya ang teorama ay napatunayan.

Pangangailangan a > 0 at b > 0 ay mahalaga lamang para sa kahit na P . Kung P kakaiba, kung gayon ang formula (2) ay totoo din para sa mga negatibong halaga a at b .

Bunga. Pagbabasa ng pagkakakilanlan mula kanan pakaliwa, nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan para sa paghahati ng mga ugat na may parehong exponent:

Upang hatiin ang mga ugat na may parehong mga exponent, sapat na upang hatiin ang mga expression ng ugat, na iniiwan ang exponent ng ugat na pareho.

Halimbawa,

Mga ehersisyo

554. Saan sa patunay ng Theorem 1 ginamit natin ang katotohanan na a at b positibo?

Bakit may kakaiba P Ang formula (1) ay totoo rin para sa mga negatibong numero a at b ?

Sa anong halaga X tama ang data ng pagkakapantay-pantay (No. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Kalkulahin:

a) √ 173 2 - 52 2 ; sa) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. Sa isang tamang tatsulok, ang hypotenuse ay 205 cm, at ang isa sa mga binti ay 84 cm. Hanapin ang kabilang binti.

563. Ilang beses:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - kahit anong numero. 558. X > 0. 559. X > a . 560. X - kahit anong numero. 563. a) Tatlong beses.

Sa seksyong ito, isasaalang-alang natin ang arithmetic square roots.

Sa kaso ng isang literal na radikal na pagpapahayag, ipagpalagay natin na ang mga titik na nasa ilalim ng root sign ay tumutukoy sa mga hindi negatibong numero.

1. Ang ugat ng produkto.

Isaalang-alang natin ang gayong halimbawa.

Sa kabilang banda, tandaan na ang numero 2601 ay produkto ng dalawang salik, kung saan ang ugat ay madaling makuha:

Kunin ang square root ng bawat factor at i-multiply ang mga ugat na ito:

Nakuha namin ang parehong mga resulta kapag kinuha namin ang ugat mula sa produkto sa ilalim ng ugat, at kapag kinuha namin ang ugat mula sa bawat kadahilanan nang hiwalay at pinarami ang mga resulta.

Sa maraming mga kaso, ang pangalawang paraan upang mahanap ang resulta ay mas madali, dahil kailangan mong kunin ang ugat ng mas maliliit na numero.

Theorem 1. Upang kunin ang square root ng produkto, maaari mong kunin ito mula sa bawat kadahilanan nang hiwalay at i-multiply ang mga resulta.

Patunayan natin ang theorem para sa tatlong mga kadahilanan, iyon ay, patunayan natin ang bisa ng pagkakapantay-pantay:

Isasagawa namin ang patunay sa pamamagitan ng direktang pag-verify, batay sa kahulugan ng arithmetic root. Sabihin nating kailangan nating patunayan ang pagkakapantay-pantay:

(Ang A at B ay mga di-negatibong numero). Sa pamamagitan ng kahulugan ng square root, nangangahulugan ito na

Samakatuwid, ito ay sapat na upang kuwadrado ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na pinatutunayan at siguraduhin na ang root expression ng kaliwang bahagi ay nakuha.

Ilapat natin ang pangangatwiran na ito sa patunay ng pagkakapantay-pantay (1). I-square natin ang kanang bahagi; ngunit ang produkto ay nasa kanang bahagi, at upang parisukat ang produkto, sapat na upang kuwadrado ang bawat kadahilanan at i-multiply ang mga resulta (tingnan ang § 40);

Ito ay naging isang radikal na ekspresyon, nakatayo sa kaliwang bahagi. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (1) ay totoo.

Napatunayan namin ang teorama para sa tatlong mga kadahilanan. Ngunit ang pangangatwiran ay mananatiling pareho kung mayroong 4 at iba pa na mga kadahilanan sa ilalim ng ugat. Ang teorama ay totoo para sa anumang bilang ng mga kadahilanan.

Ang resulta ay madaling matagpuan sa bibig.

2. Ang ugat ng fraction.

Compute

Pagsusulit.

Sa kabila,

Patunayan natin ang teorama.

Theorem 2. Upang kunin ang ugat ng isang fraction, maaari mong kunin ang ugat nang hiwalay sa numerator at denominator at hatiin ang unang resulta sa pangalawa.

Kinakailangang patunayan ang bisa ng pagkakapantay-pantay:

Para sa patunay, inilalapat namin ang pamamaraan kung saan napatunayan ang nakaraang teorama.

I-square natin ang kanang bahagi. Magkakaroon:

Nakuha namin ang radikal na ekspresyon sa kaliwang bahagi. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (2) ay totoo.

Kaya napatunayan namin ang mga sumusunod na pagkakakilanlan:

at bumalangkas ng kaukulang mga panuntunan para sa pagkuha ng square root mula sa produkto at sa quotient. Minsan kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, kinakailangang ilapat ang mga pagkakakilanlan na ito, binabasa ang mga ito "mula kanan pakaliwa".

Sa muling pagsasaayos ng kaliwa at kanang bahagi, muli naming isinusulat ang mga napatunayang pagkakakilanlan tulad ng sumusunod:

Upang i-multiply ang mga ugat, maaari mong i-multiply ang mga radikal na expression at kunin ang ugat mula sa produkto.

Upang paghiwalayin ang mga ugat, maaari mong hatiin ang mga radikal na expression at kunin ang ugat mula sa quotient.

3. Ang ugat ng antas.

Compute

Sa artikulong ito, susuriin natin ang pangunahing mga katangian ng ugat. Magsimula tayo sa mga katangian ng arithmetic square root, ibigay ang kanilang mga formulation at magbigay ng mga patunay. Pagkatapos nito, haharapin natin ang mga katangian ng arithmetic root ng nth degree.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng square root

Sa seksyong ito, haharapin natin ang sumusunod na pangunahing katangian ng arithmetic square root:

Sa bawat nakasulat na pagkakapantay-pantay, ang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring palitan, halimbawa, ang pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang . Sa ganitong "reverse" form, ang mga katangian ng arithmetic square root ay inilapat kapag pagpapasimple ng mga expression kasingdalas ng nasa "direktang" form.

Ang patunay ng unang dalawang katangian ay batay sa kahulugan ng arithmetic square root at sa . At upang bigyang-katwiran ang huling pag-aari ng arithmetic square root, kailangan mong tandaan.

Kaya magsimula tayo sa patunay ng ari-arian ng arithmetic square root ng produkto ng dalawang di-negatibong numero: . Upang gawin ito, ayon sa kahulugan ng arithmetic square root, ito ay sapat na upang ipakita na ito ay isang hindi negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng a b . Gawin natin. Ang halaga ng expression ay hindi negatibo bilang produkto ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng antas ng produkto ng dalawang numero ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay , at dahil sa pamamagitan ng kahulugan ng arithmetic square root at , pagkatapos .

Sa katulad na paraan, napatunayan na ang arithmetic square root ng product ng k non-negative factor a 1 , a 2 , …, a k ay katumbas ng produkto ng arithmetic square roots ng mga salik na ito. Talaga, . Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ito na .

Narito ang ilang halimbawa: at .

Ngayon patunayan natin ari-arian ng arithmetic square root ng isang quotient: . Ang pag-aari ng natural na power quotient ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay , a , habang mayroong hindi negatibong numero. Ito ang patunay.

Halimbawa, at .

Oras na para i-disassemble katangian ng arithmetic square root ng square ng isang numero, sa anyo ng pagkakapantay-pantay ito ay nakasulat bilang . Upang patunayan ito, isaalang-alang ang dalawang kaso: para sa a≥0 at para sa a<0 .

Malinaw na para sa a≥0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Madali ring makita iyon para sa a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 at (−a) 2 =a 2 . kaya, , na dapat patunayan.

Narito ang ilang halimbawa: at .

Ang pag-aari ng square root na pinatunayan lang ay nagpapahintulot sa amin na bigyang-katwiran ang sumusunod na resulta, kung saan ang a ay anumang tunay na numero, at m ay anuman. Sa katunayan, pinapayagan tayo ng exponentiation property na palitan ang degree a 2 m ng expression (a m) 2 , pagkatapos .

Halimbawa, at .

Mga katangian ng nth root

Ilista muna natin ang pangunahing katangian ng nth ugat:

Ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto kung ang kaliwa at kanang bahagi ay ipinagpapalit sa kanila. Sa form na ito, madalas ding ginagamit ang mga ito, pangunahin kapag pinapasimple at binabago ang mga expression.

Ang patunay ng lahat ng tininigan na katangian ng ugat ay batay sa kahulugan ng arithmetic root ng nth degree, sa mga katangian ng degree at sa kahulugan ng module ng numero. Patunayan natin sila sa pagkakasunud-sunod ng priority.

Magsimula tayo sa patunay katangian ng ika-n ugat ng isang produkto . Para sa di-negatibong a at b, ang halaga ng expression ay hindi rin negatibo, tulad ng produkto ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng produkto ng mga likas na kapangyarihan ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay . Sa pamamagitan ng kahulugan ng arithmetic root ng ika-n degree at, samakatuwid, . Pinatutunayan nito ang itinuturing na pag-aari ng ugat.

Ang pag-aari na ito ay napatunayang katulad para sa produkto ng k mga kadahilanan: para sa mga hindi negatibong numero a 1 , a 2 , …, a n at .

Narito ang mga halimbawa ng paggamit ng property ng root ng ika-n degree ng produkto: at .

Patunayan natin root property ng quotient. Para sa a≥0 at b>0, ang kundisyon ay nasiyahan, at .

Ipakita natin ang mga halimbawa: at .

Mag move on na kami. Patunayan natin ari-arian ng nth root ng isang numero sa kapangyarihan ng n. Ibig sabihin, papatunayan natin iyan para sa anumang tunay at natural na m . Para sa a≥0 mayroon tayo at , na nagpapatunay sa pagkakapantay-pantay , at sa pagkakapantay-pantay malinaw naman. Para sa<0 имеем и (ang huling transition ay may bisa dahil sa power property na may pantay na exponent), na nagpapatunay ng pagkakapantay-pantay , at ay totoo dahil sa ang katunayan na kapag pinag-uusapan ang ugat ng isang kakaibang antas, kinuha namin para sa anumang di-negatibong numero c .

Narito ang mga halimbawa ng paggamit ng parsed root property: at .

Nagpapatuloy kami sa patunay ng pag-aari ng ugat mula sa ugat. Ipagpalit natin ang kanan at kaliwang bahagi, ibig sabihin, patunayan natin ang bisa ng pagkakapantay-pantay , na mangangahulugan ng bisa ng orihinal na pagkakapantay-pantay. Para sa isang hindi negatibong numero a, ang parisukat na ugat ng form ay isang hindi negatibong numero. Ang pag-alala sa pag-aari ng pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, at gamit ang kahulugan ng ugat, maaari tayong sumulat ng isang kadena ng pagkakapantay-pantay ng anyo . Ito ay nagpapatunay sa itinuturing na pag-aari ng isang ugat mula sa isang ugat.

Ang pag-aari ng isang ugat mula sa isang ugat mula sa isang ugat ay napatunayang katulad, at iba pa. Talaga, .

Halimbawa, at .

Patunayan natin ang mga sumusunod pag-aari ng pagbabawas ng root exponent. Upang gawin ito, sa bisa ng kahulugan ng ugat, sapat na upang ipakita na mayroong isang hindi negatibong numero na, kapag itinaas sa kapangyarihan ng n m, ay katumbas ng isang m . Gawin natin. Malinaw na kung ang numero a ay hindi negatibo, kung gayon ang n-ika ugat ng numero a ay isang hindi negatibong numero. Kung saan , na kumukumpleto sa patunay.

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng parsed root property: .

Patunayan natin ang sumusunod na katangian, ang ari-arian ng ugat ng antas ng anyo . Malinaw na para sa a≥0 ang degree ay isang hindi negatibong numero. Bukod dito, ang ika-n na kapangyarihan nito ay katumbas ng isang m , sa katunayan, . Pinatutunayan nito ang itinuturing na pag-aari ng degree.

Halimbawa, .

Mag-move on na tayo. Patunayan natin na para sa anumang positibong numero a at b kung saan ang kundisyon a , ibig sabihin, a≥b . At ito ay sumasalungat sa kondisyon a

Halimbawa, ibinibigay namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay .

Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huling pag-aari ng nth root. Patunayan muna natin ang unang bahagi ng property na ito, ibig sabihin, patunayan natin iyon para sa m>n at 0 . Pagkatapos, dahil sa mga katangian ng isang degree na may natural na exponent, ang hindi pagkakapantay-pantay , ibig sabihin, a n ≤ a m . At ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay para sa m>n at 0

Katulad nito, sa pamamagitan ng kontradiksyon, napatunayan na para sa m>n at a>1 ang kondisyon ay nasiyahan.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng napatunayang pag-aari ng ugat sa mga kongkretong numero. Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay at totoo.

Bibliograpiya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Impormasyon sa paksa: Ipakilala ang square root theorem para sa mga fraction. Pagsasama-sama ng kaalaman na nakuha ng mga mag-aaral sa mga paksang: "Arithmetic square root", "Square root of a degree", "Square root of a product". Pagpapalakas ng kakayahan sa mabilisang pagbilang.

Aktibidad-komunikasyon: pag-unlad at pagbuo ng mga kasanayan ng mga mag-aaral ng lohikal na pag-iisip, tama at karampatang pagsasalita, mabilis na reaksyon.

Nakatuon sa halaga: pukawin ang interes ng mga mag-aaral sa pag-aaral ng paksang ito at sa paksang ito. Ang kakayahang ilapat ang nakuha na kaalaman sa mga praktikal na aktibidad at sa iba pang mga paksa.

1. Ulitin ang kahulugan ng arithmetic square root.

2. Ulitin ang square root theorem mula sa degree.

3. Ulitin ang square root theorem mula sa produkto.

4. Paunlarin ang mga kasanayan sa pagbibilang sa bibig.

5. Ihanda ang mga mag-aaral na pag-aralan ang paksang “square root of a fraction” at upang makabisado ang materyal ng geometry.

6. Sabihin ang tungkol sa kasaysayan ng pinagmulan ng arithmetic root.

Mga materyales at kagamitan sa didactic: mapa ng aralin ng didactic (Appendix 1), pisara, tisa, mga card para sa mga indibidwal na gawain (isinasaalang-alang ang mga indibidwal na kakayahan ng mga mag-aaral), mga card para sa pagbibilang ng bibig, mga card para sa independiyenteng gawain.

Sa panahon ng mga klase:

1. Sandali ng organisasyon: isulat ang paksa ng aralin, itakda ang layunin at layunin ng aralin (para sa mga mag-aaral).

Paksang aralin: Ang square root ng isang fraction.

Ang layunin ng aralin: ngayon sa aralin ay uulitin natin ang kahulugan ng arithmetic square root, ang theorem sa square root ng degree at ang square root ng produkto. At kilalanin natin ang theorem sa square root ng isang fraction.

Layunin ng aralin:

1) ulitin sa tulong ng mental na pagbibilang ng mga kahulugan ng square root at theorems sa square root ng degree at produkto;

2) sa panahon ng oral count, ang ilang mga lalaki ay kukumpleto ng mga gawain sa mga card;

3) pagpapaliwanag ng bagong materyal;

4) makasaysayang sanggunian;

5) pagganap ng mga gawain ng independiyenteng trabaho (sa anyo ng isang pagsubok).

2. Pangharap na survey:

1) pasalitang pagbibilang: kunin ang square root ng mga sumusunod na expression:

a) gamit ang kahulugan ng square root, kalkulahin:;;; ;

b) mga halaga ng talahanayan: ; ;;;;; ;

c) ang square root ng produkto ;;;;

d) ang square root ng degree;;;;; ;

e) alisin ang karaniwang salik sa mga bracket:;; ;.

2) indibidwal na gawain sa mga card: Annex 2.

3. Suriin ang D/Z:

4. Paliwanag ng bagong materyal:

Sumulat ng isang gawain para sa mga estudyante sa pisara ayon sa mga opsyon na “kalkulahin ang square root ng isang fraction”:

Opsyon 1: =

Opsyon 2: =

Kung natapos ng mga lalaki ang unang gawain: tanungin kung paano nila ito ginawa?

Pagpipilian 1: ipinakita sa anyo ng isang parisukat at natanggap. Gumawa ng konklusyon.

Pagpipilian 2: ipinakita ang numerator at denominator gamit ang kahulugan ng degree sa form at natanggap.

Magbigay ng higit pang mga halimbawa, halimbawa, kalkulahin ang square root ng isang fraction; ; .

Gumuhit ng pagkakatulad sa literal na anyo:

Ipasok ang teorama.

Teorama. Kung ang a ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0, ang c ay mas malaki sa 0, kung gayon ang ugat ng fraction na a / b ay katumbas ng fraction sa numerator kung saan ang ugat ng a at ang denominator ay ang ugat ng b, i.e. Ang ugat ng isang fraction ay katumbas ng ugat ng numerator na hinati sa ugat ng denominator.

Patunayan natin na 1) ang ugat ng isang hinati sa ugat ng c ay mas malaki sa o katumbas ng 0

Patunay. 1) Dahil ang ugat ng a ay mas malaki sa o katumbas ng 0 at ang ugat ng c ay mas malaki sa 0 kung gayon ang ugat ng isang hinati sa ugat ng c ay mas malaki sa o katumbas ng 0.

2)

5. Pagsasama-sama ng bagong materyal: mula sa aklat-aralin ng Sh. A. Alimov: No. 362 (1.3); 363 (2.3); 364 (2.4); №365 (2.3)

6. Sanggunian sa kasaysayan.

Ang arithmetic root ay nagmula sa salitang Latin na radix - ugat, radicalis - ugat

Simula noong ika-13 siglo, ang Italyano at iba pang European mathematician ay tinukoy ang salitang-ugat na may salitang Latin na radix (pinaikling r). Noong 1525, sa aklat ni H. Rudolph "Mabilis at magandang pagbibilang sa tulong ng mahusay na mga panuntunan ng algebra, karaniwang tinatawag na Koss", lumitaw ang pagtatalaga V para sa square root; ang cube root ay tinukoy na VVV. Noong 1626, ipinakilala ng Dutch mathematician na si A. Girard ang mga designasyon na V, VV, VVV, atbp., na sa lalong madaling panahon ay pinalitan ng sign r, habang ang isang pahalang na linya ay inilagay sa itaas ng radikal na expression. Ang modernong pagtatalaga ng ugat ay unang lumitaw sa aklat na Geometry ni René Descartes, na inilathala noong 1637.

8. Takdang-Aralin: Blg. 362 (2.4); 363 (1.4); 364 (1.3); №365 (1.4)

Ang square root ng a ay isang numero na ang square ay a. Halimbawa, ang mga numero -5 at 5 ay ang mga square root ng numero 25. Iyon ay, ang mga ugat ng equation x^2=25 ay ang square roots ng numero 25. Ngayon ay kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho kasama ang square root operation: pag-aralan ang mga pangunahing katangian nito.

Ang square root ng produkto

√(a*b)=√a*√b

Ang square root ng produkto ng dalawang di-negatibong numero ay katumbas ng produkto ng square roots ng mga numerong ito. Halimbawa, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Mahalagang maunawaan na ang pag-aari na ito ay nalalapat din sa kaso kapag ang radikal na expression ay produkto ng tatlo, apat, atbp. di-negatibong multiplier.

Minsan may isa pang pagbabalangkas ng ari-arian na ito. Kung ang a at b ay mga di-negatibong numero, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay mayroong: √(a*b) =√a*√b. Walang ganap na pagkakaiba sa pagitan nila, maaari mong gamitin ang alinman sa isa o ang iba pang mga salita (alin ang mas maginhawang tandaan).

Ang square root ng isang fraction

Kung a>=0 at b>0, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

√(a/b)=√a/√b.

Halimbawa, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ang ari-arian na ito ay mayroon ding ibang pormulasyon, sa palagay ko, mas maginhawang tandaan.
Ang square root ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Kapansin-pansin na ang mga formula na ito ay gumagana mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan hanggang kaliwa. Ibig sabihin, kung kinakailangan, maaari nating katawanin ang produkto ng mga ugat bilang ugat ng produkto. Ganoon din sa pangalawang ari-arian.

Tulad ng nakikita mo, ang mga katangiang ito ay napaka-maginhawa, at nais kong magkaroon ng parehong mga katangian para sa pagdaragdag at pagbabawas:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ngunit sa kasamaang-palad ang gayong mga pag-aari ay parisukat walang ugat, at iba pa hindi maaaring gawin sa mga kalkulasyon..