Teorya:

Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit ang mga sumusunod na patakaran:

1. Anumang termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi
hindi pagkakapantay-pantay sa isa pa na may kabaligtaran na tanda, habang ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

2. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin ng isa
at ang parehong positibong numero nang hindi binabago ang inequality sign.

3. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin ng isa
at ang parehong negatibong numero, habang binabago ang inequality sign sa
kabaligtaran.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay − 8 x + 11< − 3 x − 4
Desisyon.

1. Ilipat ang miyembro − 3 x sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang termino 11 - sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, habang binabago ang mga palatandaan sa tapat ng y − 3 x at sa 11 .
Pagkatapos makuha namin

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Hatiin ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay − 5 x< − 15 sa isang negatibong numero − 5 , habang ang inequality sign < , ay magbabago sa > , ibig sabihin. lilipat tayo sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan.
Nakukuha namin:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > −15 : (−5)

x > 3

x > 3 ay ang solusyon ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.

Bigyang-pansin!

Mayroong dalawang mga pagpipilian para sa pagsulat ng isang solusyon: x > 3 o bilang isang hanay ng numero.

Minarkahan namin ang hanay ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa totoong linya at isulat ang sagot bilang isang numerical interval.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Sagot: x > 3 o x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebraic inequalities.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ng mas mataas na antas.

Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay pangunahing nakasalalay sa kung aling klase nabibilang ang mga pag-andar na bumubuo sa hindi pagkakapantay-pantay.

1. ako. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat, iyon ay, mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

palakol 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, maaari mong:

1. I-factor ang square trinomial, ibig sabihin, isulat ang hindi pagkakapantay-pantay bilang

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Ilagay ang mga ugat ng polynomial sa linya ng numero. Hinahati ng mga ugat ang hanay ng mga tunay na numero sa mga pagitan, sa bawat isa kung saan ang kaukulang quadratic function ay magiging pare-pareho ang tanda.
2. Tukuyin ang tanda ng a (x - x 1) (x - x 2) sa bawat puwang at isulat ang sagot.

Kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon para sa D<0 и a>Ang 0 ay isang square trinomial para sa alinmang x ay positibo.

• Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. x 2 + x - 6 > 0.

Pagfactoring ng square trinomial (x + 3) (x - 2) > 0

Sagot: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinmang x maliban sa x = 6.

Sagot: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Dito D< 0, a = 1 >0. Ang square trinomial ay positibo para sa lahat ng x.

Sagot: x О Ø.

Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Sagot:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Sagot:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Sagot:
5. Para sa anong mga halaga ng a ang hindi pagkakapantay-pantay

x² - ax > humahawak para sa anumang x? Sagot:

1. II. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ng mas mataas na antas, iyon ay, hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Ang polynomial ng pinakamataas na antas ay dapat na isasaalang-alang, iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na nakasulat sa anyo

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

Markahan sa linya ng numero ang mga punto kung saan nawawala ang polynomial.

Tukuyin ang mga palatandaan ng polynomial sa bawat pagitan.

1) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1)(x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Kaya x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Sagot: (0; 1) (2; 3).

2) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Sa totoong axis, markahan ang mga punto kung saan nawawala ang polynomial. Ito ay x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½.

Sa puntong x \u003d - ½, walang pagbabago sa senyales, dahil ang binomial (2x + 1) ay itinaas sa pantay na kapangyarihan, iyon ay, ang expression (2x + 1) 4 ay hindi nagbabago ng tanda kapag dumadaan sa punto x \u003d - ½.

Sagot: (-∞; -2) (½; 1).

3) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na hanay

Ang solusyon sa (1) ay x (-∞; -2) (3; +∞). Ang solusyon (2) ay x = 0, x = -2, x = 3. Pagsasama-sama ng mga nakuhang solusyon, makuha natin ang x н (-∞; -2] (0) (0) .

Sa pamamagitan ng pagkakaroon ng kasanayan sa pagtatrabaho sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga solusyon ay maaaring maisulat nang maikli nang walang paliwanag. Sa kasong ito, ang unang linear na hindi pagkakapantay-pantay ay unang isinulat, at sa ibaba ay ang mga katumbas na hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa bawat hakbang ng solusyon:
3x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

Sagot:

x≤−4 o (−∞, −4] .

Halimbawa.

Ilista ang lahat ng solusyon ng linear inequality −2.7 z>0 .

Desisyon.

Dito ang coefficient a na may variable na z ay −2.7. At ang coefficient b ay wala sa isang tahasang anyo, iyon ay, ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang unang hakbang ng algorithm para sa paglutas ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable ay hindi kailangang isagawa, dahil ang paglipat ng zero mula sa kaliwang bahagi hanggang sa kanan ay hindi nagbabago sa anyo ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Ito ay nananatiling hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng −2.7, pag-alala na baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang −2.7 ay isang negatibong numero. Meron kami (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) , at higit pa z<0 .

At ngayon sa madaling sabi:
−2.7 z>0 ;
z<0 .

Sagot:

z<0 или (−∞, 0) .

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay .

Desisyon.

Kailangan nating lutasin ang isang linear inequality na may coefficient a para sa variable x na katumbas ng −5 at may coefficient b kung saan ang fraction ay tumutugma sa −15/22. Kumilos kami ayon sa isang kilalang pamamaraan: inilipat muna namin ang −15/22 sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, pagkatapos nito ay hinahati namin ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero −5, habang binabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

Ang huling paglipat sa kanang bahagi ay gumagamit , pagkatapos ay pinaandar .

Sagot:

Ngayon ay lumipat tayo sa kaso kapag a=0 . Ang prinsipyo ng paglutas ng linear inequality a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Ano ito batay sa? Napakasimple: sa kahulugan ng isang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay. paano? Oo, narito ito: kahit na anong halaga ng variable x ang ating palitan sa orihinal na linear inequality, nakakakuha tayo ng numerical inequality ng form b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Bumuo tayo ng pangangatwiran sa itaas sa anyo algorithm para sa paglutas ng mga linear inequalities 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Isaalang-alang ang numerical inequality b<0 (≤, >, ≥) at
• kung ito ay totoo, kung gayon ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay anumang numero;
• kung ito ay mali, kung gayon ang orihinal na linear inequality ay walang mga solusyon.

Ngayon tingnan natin ito sa mga halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x+7>0 .

Desisyon.

Para sa anumang halaga ng variable x, ang linear inequality 0 x+7>0 ay nagiging isang numerical inequality 7>0 . Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, samakatuwid, ang anumang numero ay isang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot:

ang solusyon ay anumang numero o (−∞, +∞) .

Halimbawa.

Ang linear inequality ba ay may mga solusyon na 0 x−12.7≥0 .

Desisyon.

Kung papalitan natin ang anumang numero sa halip na ang variable na x, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magiging isang numerical inequality −12.7≥0, na hindi tama. At nangangahulugan ito na walang numero ang solusyon sa linear inequality 0 x−12.7≥0 .

Sagot:

hindi, hindi.

Upang tapusin ang subsection na ito, susuriin namin ang mga solusyon ng dalawang linear na hindi pagkakapantay-pantay, na pareho ng mga coefficient ay katumbas ng zero.

Halimbawa.

Alin sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay 0 x+0>0 at 0 x+0≥0 ang walang mga solusyon, at alin ang may walang katapusang maraming solusyon?

Desisyon.

Kung papalitan natin ang anumang numero sa halip na ang variable na x, ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo 0>0 , at ang pangalawa - 0≥0 . Ang una ay mali, at ang pangalawa ay tama. Samakatuwid, ang linear inequality 0 x+0>0 ay walang mga solusyon, at ang inequality 0 x+0≥0 ay may walang katapusang maraming solusyon, ibig sabihin, ang solusyon nito ay anumang numero.

Sagot:

ang hindi pagkakapantay-pantay na 0 x+0>0 ay walang mga solusyon, at ang hindi pagkakapantay-pantay na 0 x+0≥0 ay may walang katapusang maraming solusyon.

paraan ng pagitan

Sa pangkalahatan, ang paraan ng agwat ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan pagkatapos ng paksa ng paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable. Ngunit ang paraan ng agwat ay nagbibigay-daan sa paglutas ng iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay, kabilang ang mga linear. Samakatuwid, pag-isipan natin ito.

Napansin namin kaagad na ipinapayong gamitin ang paraan ng agwat para sa paglutas ng mga linear inequalities na may non-zero coefficient para sa variable na x. Kung hindi, ang konklusyon tungkol sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay mas mabilis at mas maginhawang gawin sa paraang tinalakay sa dulo ng nakaraang talata.

Ang paraan ng pagitan ay nagpapahiwatig

• pagpapakilala ng isang function na naaayon sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, sa aming kaso - linear function y=a x+b ,
• paghahanap ng mga zero nito, na naghahati sa domain ng kahulugan sa mga pagitan,
• pagpapasiya ng mga palatandaan na may mga halaga ng pag-andar sa mga agwat na ito, batay sa kung saan ang isang konklusyon ay ginawa tungkol sa solusyon ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Kunin natin ang mga sandaling ito algorithm, na nagpapakita kung paano lutasin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay a x+b<0 (≤, >, ≥) sa a≠0 sa pamamagitan ng paraan ng pagitan:

• Ang mga zero ng function na y=a x+b ay matatagpuan, kung saan ang isang x+b=0 ay nalulutas. Tulad ng alam mo, para sa a≠0 mayroon itong isang ugat, na tinutukoy namin x 0 .
• Ito ay binuo, at isang punto na may coordinate x 0 ay inilalarawan dito. Bukod dito, kung ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay malulutas (na may sign< или >), pagkatapos ang puntong ito ay ginawang butas (na may isang walang laman na sentro), at kung ito ay hindi mahigpit (na may sign na ≤ o ≥), pagkatapos ay isang regular na punto ang inilalagay. Hinahati ng puntong ito ang linya ng coordinate sa dalawang pagitan (−∞, x 0) at (x 0 , +∞) .
• Ang mga palatandaan ng function na y=a·x+b sa mga pagitan na ito ay tinutukoy. Upang gawin ito, ang halaga ng pagpapaandar na ito ay kinakalkula sa anumang punto ng agwat (−∞, x 0) , at ang tanda ng halagang ito ay ang nais na tanda sa pagitan (−∞, x 0) . Katulad nito, ang sign sa pagitan (x 0 , +∞) ay kasabay ng sign ng halaga ng function na y=a·x+b sa anumang punto ng interval na ito. Ngunit magagawa mo nang wala ang mga kalkulasyong ito, at gumawa ng mga konklusyon tungkol sa mga palatandaan mula sa halaga ng koepisyent a: kung a>0, pagkatapos ay sa mga pagitan (−∞, x 0) at (x 0, +∞) magkakaroon ng mga palatandaan - at +, ayon sa pagkakabanggit, at kung a >0 , kung gayon + at −.
• Kung ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may > o ≥ na mga palatandaan ay nalutas, pagkatapos ay ang pagpisa ay inilalagay sa ibabaw ng puwang na may plus na tanda, at kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga palatandaan ay malulutas.< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng linear inequality sa pamamagitan ng interval method.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay −3 x+12>0 .

Desisyon.

Sa sandaling pag-aralan namin ang paraan ng mga agwat, pagkatapos ay gagamitin namin ito. Ayon sa algorithm, una nating mahanap ang ugat ng equation −3 x+12=0 , −3 x=−12 , x=4 . Susunod, inilalarawan namin ang linya ng coordinate at minarkahan ito ng isang punto na may coordinate 4, at ginagawa namin ang puntong ito na pinutol, dahil malulutas namin ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay:

Ngayon ay tinutukoy namin ang mga palatandaan sa mga pagitan. Upang matukoy ang tanda sa pagitan (−∞, 4), maaari mong kalkulahin ang halaga ng function na y=−3 x+12 , halimbawa, para sa x=3 . Mayroon kaming −3 3+12=3>0 , na nangangahulugan na ang + sign ay nasa pagitan na ito. Upang matukoy ang sign sa isa pang pagitan (4, +∞), maaari mong kalkulahin ang halaga ng function na y=−3 x+12 , halimbawa, sa puntong x=5 . Mayroon tayong −3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa > sign, gumuhit kami ng isang hatch sa ibabaw ng puwang na may + sign, ang pagguhit ay nasa anyo

Batay sa nagresultang imahe, napagpasyahan namin na ang nais na solusyon ay (−∞, 4) o sa ibang notasyon x<4 .

Sagot:

(−∞, 4) o x<4 .

Graphically

Ito ay kapaki-pakinabang na magkaroon ng isang ideya ng geometric na interpretasyon ng paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable. Upang makuha ito, isaalang-alang natin ang apat na linear na hindi pagkakapantay-pantay na may parehong kaliwang bahagi: 0.5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 at 0.5 x−1≥0 , ang kanilang mga solusyon ay ayon sa pagkakabanggit x<2 , x≤2 , x>2 at x≥2 , at gumuhit din ng graph ng isang linear function y=0.5 x−1 .

Madaling makita iyon

• solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay 0.5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 0.5 x−1≤0 ay ang pagitan kung saan ang graph ng function na y=0.5 x−1 ay nasa ibaba ng Ox axis o nag-tutugma dito (sa madaling salita, hindi sa itaas ng abscissa axis),
• gayundin, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 0.5 x−1>0 ay ang pagitan kung saan ang graph ng function ay nasa itaas ng Ox axis (ang bahaging ito ng graph ay ipinapakita sa pula),
• at ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 0.5 x−1≥0 ay ang pagitan kung saan ang graph ng function ay mas mataas o tumutugma sa x-axis.

Graphical na paraan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, sa partikular na mga linear, at nagpapahiwatig ng paghahanap ng mga pagitan kung saan ang graph ng function na naaayon sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa itaas, sa ibaba, hindi mas mababa o hindi mas mataas kaysa sa graph ng function na naaayon sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso ng linear inequality, ang function na naaayon sa kaliwang bahagi ay y=a x+b , at ang kanang bahagi ay y=0 , na kasabay ng Ox axis.

Dahil sa impormasyon sa itaas, madali itong bumalangkas algorithm para sa paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko:

• Ang isang graph ng function na y=a x+b ay binuo (maaari mong eskematiko) at
• kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x+b≤0, tinutukoy ang pagitan kung saan mas mababa ang graph o tumutugma sa axis na Ox ,
• kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x+b>0, tinutukoy ang pagitan kung saan ang graph ay nasa itaas ng axis ng Ox,
• kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x+b≥0, tinutukoy ang pagitan kung saan mas mataas ang graph o tumutugma sa axis na Ox .

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay graphically.

Desisyon.

Bumuo tayo ng sketch ng isang graph ng isang linear function . Ito ay isang tuwid na linya na bumababa dahil ang koepisyent sa x ay negatibo. Kailangan din natin ang coordinate ng punto ng intersection nito sa abscissa axis, ito ang ugat ng equation , na katumbas ng . Para sa aming mga layunin, hindi na namin kailangang iguhit ang Oy axis. Kaya ang aming schematic drawing ay magiging ganito

Dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa > sign, interesado kami sa pagitan kung saan ang graph ng function ay nasa itaas ng Ox axis. Para sa kalinawan, i-highlight namin ang bahaging ito ng graph sa pula, at upang madaling matukoy ang agwat na tumutugma sa bahaging ito, i-highlight namin sa pula ang bahagi ng coordinate plane kung saan matatagpuan ang napiling bahagi ng graph, bilang sa figure sa ibaba:

Ang agwat ng interes sa amin ay isang bahagi ng axis ng Ox, na lumabas na naka-highlight sa pula. Malinaw na ito ay isang bukas na sinag ng numero . Ito ang nais na solusyon. Tandaan na kung nilulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay hindi sa > sign, ngunit sa hindi mahigpit na inequality sign ≥, kailangan nating idagdag sa sagot, dahil sa puntong ito ang graph ng function. coincides with the Ox axis .y=0·x+7 , which is the same as y=7 , defines a straight line on the coordinate plane parallel to the Ox axis and lying above it. Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

At ang graph ng function na y=0 x+0 , na kapareho ng y=0 , ay isang tuwid na linya na tumutugma sa axis Ox . Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 0 x+0≥0 ay ang set ng lahat ng tunay na numero.

Sagot:

ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon nito ay anumang tunay na numero.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Ang isang malaking bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa tulong ng mga katumbas na pagbabagong-anyo ay maaaring mapalitan ng isang katumbas na linear inequality, sa madaling salita, nabawasan sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay bumababa sa linear.

Sa paaralan, halos kasabay ng solusyon ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, isinasaalang-alang din nila ang mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa mga linear. Ang mga ito ay mga espesyal na kaso. integer inequalities, ibig sabihin, sa kanilang kaliwa at kanang bahagi ay may mga integer na expression na kumakatawan sa o linear binomials, o na-convert sa kanila ni at . Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng ilang halimbawa ng mga hindi pagkakapantay-pantay: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x , .

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na kapareho ng anyo sa mga nakasaad sa itaas ay maaaring palaging bawasan sa mga linear. Magagawa ito sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket, pagdadala ng mga katulad na termino, muling pagsasaayos ng mga termino at paglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda.

Halimbawa, upang bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay 5−2 x>0 sa isang linear, sapat na upang muling ayusin ang mga termino sa kaliwang bahagi nito, mayroon tayong −2 x+5>0 . Upang bawasan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay 7 (x−1)+3≤4 x−2+x sa isang linear, kailangan namin ng kaunti pang trabaho: sa kaliwang bahagi binubuksan namin ang mga bracket 7 x−7+3≤4 x− 2+x , pagkatapos ay dinadala namin ang mga katulad na termino sa parehong bahagi 7 x−4≤5 x−2 , pagkatapos ay ililipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi sa kaliwa 7 x−4−5 x+2≤0 , sa wakas ay ibibigay namin tulad ng mga termino sa kaliwang bahagi 2 ·x−2≤0 . Katulad nito, ang ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring bawasan sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Dahil ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring palaging bawasan sa mga linear, ang ilang mga may-akda ay tinatawag din silang linear. Gayunpaman, isasaalang-alang namin ang mga ito bilang linear.

Ngayon ay nagiging malinaw na kung bakit ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang kasama ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. At ang prinsipyo ng kanilang solusyon ay ganap na pareho: sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, maaari silang mabawasan sa elementarya na hindi pagkakapantay-pantay, na siyang mga nais na solusyon.

Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri, maaari mo munang bawasan ito sa isang linear, at pagkatapos ay lutasin ang linear na hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ngunit ito ay mas makatwiran at mas maginhawang gawin ito:

• pagkatapos buksan ang mga bracket, kolektahin ang lahat ng mga termino na may variable sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at lahat ng mga numero sa kanan,
• at pagkatapos ay magdagdag ng mga katulad na termino,
• at pagkatapos, hatiin ang parehong bahagi ng nakuhang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng koepisyent sa x (kung, siyempre, iba ito sa zero). Ito ang magbibigay ng sagot.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

Desisyon.

Una, binubuksan namin ang mga bracket, bilang isang resulta ay nakarating kami sa hindi pagkakapantay-pantay 5 x+15+x≤6 x−18+1 . Ngayon ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino: 6 x+15≤6 x−17 . Pagkatapos ay inilipat namin ang mga termino mula sa kaliwang bahagi, nakakakuha kami ng 6 x+15−6 x+17≤0 , at muling nagdadala ng mga katulad na termino (na humahantong sa amin sa linear inequality 0 x+32≤0 ) at mayroon kaming 32≤0 . Kaya't dumating kami sa isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero, kung saan napagpasyahan namin na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

Sagot:

walang solusyon.

Sa konklusyon, tandaan namin na maraming iba pang mga hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, o sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na isinasaalang-alang sa itaas. Halimbawa, ang solusyon exponential inequality Ang 5 2 x−1 ≥1 ay bumababa sa paglutas ng linear inequality 2 x−1≥0 . Ngunit pag-uusapan natin ito kapag pinag-aaralan natin ang mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ng kaukulang anyo.

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. Baitang 9 Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ika-13 ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 11. Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2nd ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Una, ilang lyrics para madama ang problema na nalulutas ng paraan ng interval. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

(x − 5)(x + 3) > 0

Ano ang mga pagpipilian? Ang unang bagay na naiisip para sa karamihan ng mga mag-aaral ay ang mga panuntunang "plus times plus makes plus" at "minus times minus makes plus." Samakatuwid, sapat na upang isaalang-alang ang kaso kapag ang parehong mga bracket ay positibo: x − 5 > 0 at x + 3 > 0. Pagkatapos ay isaalang-alang din namin ang kaso kapag ang parehong mga bracket ay negatibo: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mas matatandaan ng mas advanced na mga mag-aaral (marahil) na sa kaliwa ay isang quadratic function na ang graph ay isang parabola. Bukod dito, ang parabola na ito ay nag-intersect sa OX axis sa mga puntong x = 5 at x = −3. Para sa karagdagang trabaho, kailangan mong buksan ang mga bracket. Meron kami:

x 2 − 2x − 15 > 0

Ngayon ay malinaw na ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, dahil coefficient a = 1 > 0. Subukan nating gumuhit ng diagram ng parabola na ito:

Ang function ay mas malaki kaysa sa zero kung saan ito pumasa sa itaas ng OX axis. Sa aming kaso, ito ang mga pagitan (−∞ −3) at (5; +∞) - ito ang sagot.

Pakitandaan na eksaktong ipinapakita ang larawan function diagram, hindi ang kanyang iskedyul. Dahil para sa isang tunay na graph, kailangan mong kalkulahin ang mga coordinate, kalkulahin ang mga offset at iba pang crap, na hindi na namin kailangan ngayon.

Bakit hindi epektibo ang mga pamamaraang ito?

Kaya, isinasaalang-alang namin ang dalawang solusyon sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Pareho pala silang napakahirap. Ang unang desisyon ay lumitaw - isipin lamang ito! ay isang hanay ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangalawang solusyon ay hindi rin napakadali: kailangan mong tandaan ang parabola graph at isang grupo ng iba pang maliliit na katotohanan.

Ito ay isang napakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay. Mayroon lamang itong 2 multiplier. Ngayon isipin na hindi magkakaroon ng 2 multiplier, ngunit hindi bababa sa 4. Halimbawa:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Paano malulutas ang gayong hindi pagkakapantay-pantay? Dumaan sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga kalamangan at kahinaan? Oo, matutulog tayo nang mas mabilis kaysa makahanap tayo ng solusyon. Hindi rin opsyon ang pagguhit ng graph, dahil hindi malinaw kung paano kumikilos ang naturang function sa coordinate plane.

Para sa gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan ang isang espesyal na algorithm ng solusyon, na isasaalang-alang natin ngayon.

Ano ang paraan ng pagitan

Ang paraan ng agwat ay isang espesyal na algorithm na idinisenyo upang malutas ang mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x) > 0 at f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Lutasin ang equation f (x) \u003d 0. Kaya, sa halip na isang hindi pagkakapantay-pantay, nakakakuha tayo ng isang equation na mas madaling lutasin;
2. Markahan ang lahat ng nakuhang ugat sa linya ng coordinate. Kaya, ang tuwid na linya ay mahahati sa ilang mga pagitan;
3. Alamin ang sign (plus o minus) ng function na f (x) sa pinakakanang pagitan. Upang gawin ito, sapat na upang palitan sa f (x) ang anumang numero na nasa kanan ng lahat ng minarkahang ugat;
4. Markahan ang mga marka sa iba pang mga pagitan. Upang gawin ito, sapat na tandaan na kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda.

Iyon lang! Pagkatapos nito, nananatili lamang na isulat ang mga agwat na interesado sa amin. Ang mga ito ay minarkahan ng “+” sign kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong f (x) > 0, o isang “−” sign kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong f (x)< 0.

Sa unang tingin, maaaring mukhang ang paraan ng pagitan ay isang uri ng lata. Ngunit sa pagsasagawa, ang lahat ay magiging napaka-simple. Kailangan ng kaunting pagsasanay - at magiging malinaw ang lahat. Tingnan ang mga halimbawa at tingnan para sa iyong sarili:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

(x − 2)(x + 7)< 0

Nagtatrabaho kami sa paraan ng mga agwat. Hakbang 1: Palitan ang hindi pagkakapantay-pantay ng isang equation at lutasin ito:

(x − 2)(x + 7) = 0

Ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga salik ay katumbas ng zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

May dalawang ugat. Pumunta sa hakbang 2: markahan ang mga ugat na ito sa linya ng coordinate. Meron kami:

Ngayon hakbang 3: nakita namin ang sign ng function sa pinakakanang pagitan (sa kanan ng minarkahang punto x = 2). Upang gawin ito, kailangan mong kumuha ng anumang numero na mas malaki kaysa sa numerong x = 2. Halimbawa, kunin natin ang x = 3 (ngunit walang sinuman ang nagbabawal sa pagkuha ng x = 4, x = 10, at kahit na x = 10,000). Nakukuha namin:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Nakukuha namin ang f (3) = 10 > 0, kaya naglalagay kami ng plus sign sa pinakakanang pagitan.

Dumaan kami sa huling punto - kinakailangang tandaan ang mga palatandaan sa natitirang mga agwat. Tandaan na kapag dumadaan sa bawat ugat, dapat magbago ang tanda. Halimbawa, sa kanan ng root x = 2 ay may plus (natitiyak namin ito sa nakaraang hakbang), kaya dapat mayroong minus sa kaliwa.

Ang minus na ito ay umaabot sa buong pagitan (−7; 2), kaya may minus sa kanan ng root x = −7. Samakatuwid, mayroong plus sa kaliwa ng root x = −7. Ito ay nananatiling markahan ang mga palatandaang ito sa coordinate axis. Meron kami:

Bumalik tayo sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, na mukhang:

(x − 2)(x + 7)< 0

Kaya ang function ay dapat na mas mababa sa zero. Nangangahulugan ito na kami ay interesado sa minus sign, na nangyayari lamang sa isang pagitan: (−7; 2). Ito ang magiging sagot.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Hakbang 1: I-equate ang kaliwang bahagi sa zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Tandaan: ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Iyon ang dahilan kung bakit may karapatan tayong ipantay sa zero ang bawat indibidwal na bracket.

Hakbang 2: markahan ang lahat ng mga ugat sa linya ng coordinate:

Hakbang 3: alamin ang palatandaan ng pinakakanang puwang. Kinukuha namin ang anumang numero na mas malaki kaysa sa x = 1. Halimbawa, maaari naming kunin ang x = 10. Mayroon kaming:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Hakbang 4: Ilagay ang natitirang mga palatandaan. Tandaan na kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda. Bilang resulta, ang aming larawan ay magiging ganito:

Iyon lang. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot. Tingnan muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Ito ay isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ito ang sagot.

Isang tala tungkol sa mga palatandaan ng pag-andar

Ipinapakita ng pagsasanay na ang pinakamalaking paghihirap sa paraan ng agwat ay lumitaw sa huling dalawang hakbang, i.e. kapag naglalagay ng mga palatandaan. Maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang malito: kung anong mga numero ang kukunin at kung saan maglalagay ng mga palatandaan.

Upang tuluyang maunawaan ang paraan ng agwat, isaalang-alang ang dalawang pangungusap kung saan ito binuo:

1. Ang isang tuluy-tuloy na function ay nagbabago ng sign lamang sa mga punto kung saan ito ay katumbas ng zero. Ang ganitong mga punto ay pinuputol ang coordinate axis sa mga piraso, kung saan hindi nagbabago ang tanda ng function. Iyon ang dahilan kung bakit nilulutas namin ang equation f (x) \u003d 0 at markahan ang mga natagpuang ugat sa isang tuwid na linya. Ang mga numerong natagpuan ay ang "hangganan" na mga punto na naghihiwalay sa mga plus mula sa mga minus.
2. Upang malaman ang tanda ng isang function sa anumang agwat, sapat na upang palitan ang anumang numero mula sa agwat na ito sa function. Halimbawa, para sa pagitan (−5; 6) maaari nating kunin ang x = −4, x = 0, x = 4 at kahit x = 1.29374 kung gusto natin. Bakit ito mahalaga? Oo, dahil maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang mag-alinlangan. Tulad ng, paano kung para sa x = −4 makakakuha tayo ng plus, at para sa x = 0 makakakuha tayo ng minus? Walang mangyayaring ganyan. Ang lahat ng mga punto sa parehong pagitan ay nagbibigay ng parehong tanda. Tandaan mo ito.

Iyon lang ang kailangan mong malaman tungkol sa paraan ng agwat. Siyempre, binuwag namin ito sa pinakasimpleng anyo nito. Mayroong mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay - hindi mahigpit, fractional at may paulit-ulit na mga ugat. Para sa kanila, maaari mo ring ilapat ang paraan ng pagitan, ngunit ito ay isang paksa para sa isang hiwalay na malaking aralin.

Ngayon gusto kong pag-aralan ang isang advanced na trick na lubos na nagpapasimple sa paraan ng agwat. Mas tiyak, ang pagpapasimple ay nakakaapekto lamang sa ikatlong hakbang - ang pagkalkula ng sign sa pinakakanang bahagi ng linya. Para sa ilang kadahilanan, ang pamamaraan na ito ay hindi gaganapin sa mga paaralan (kahit na walang nagpaliwanag nito sa akin). Ngunit walang kabuluhan - sa katunayan, ang algorithm na ito ay napaka-simple.

Kaya, ang tanda ng function ay nasa kanang bahagi ng numerical axis. Ang piraso na ito ay may anyo (a; +∞), kung saan ang a ang pinakamalaking ugat ng equation na f (x) = 0. Upang hindi masira ang ating utak, isaalang-alang ang isang partikular na halimbawa:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Mayroon kaming 3 ugat. Inilista namin ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod: x = −2, x = 1 at x = 7. Malinaw, ang pinakamalaking ugat ay x = 7.

Para sa mga mas madaling mangatuwiran nang grapiko, markahan ko ang mga ugat na ito sa linya ng coordinate. Tignan natin kung ano ang mangyayari:

Kinakailangang hanapin ang sign ng function na f (x) sa pinakakanang pagitan, i.e. sa (7; +∞). Ngunit tulad ng nabanggit na natin, upang matukoy ang tanda, maaari kang kumuha ng anumang numero mula sa pagitan na ito. Halimbawa, maaari mong kunin ang x = 8, x = 150, atbp. At ngayon - ang parehong pamamaraan na hindi itinuro sa mga paaralan: kunin natin ang infinity bilang isang numero. Mas tiyak, plus infinity, ibig sabihin. +∞.

"Bato ka ba? Paano mo mapapalitan ang infinity sa isang function? marahil, tanong mo. Ngunit isipin ito: hindi natin kailangan ang halaga ng mismong function, kailangan lang natin ang sign. Samakatuwid, halimbawa, ang mga halaga ng f (x) = −1 at f (x) = −938 740 576 215 ay nangangahulugan ng parehong bagay: ang function ay negatibo sa pagitan na ito. Samakatuwid, ang kailangan lang sa iyo ay hanapin ang senyales na nangyayari sa infinity, at hindi ang halaga ng function.

Sa katunayan, ang pagpapalit ng infinity ay napakasimple. Bumalik tayo sa ating function:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Isipin na ang x ay isang napakalaking numero. Isang bilyon o kahit isang trilyon. Ngayon tingnan natin kung ano ang nangyayari sa bawat panaklong.

Unang bracket: (x − 1). Ano ang mangyayari kung ibawas mo ang isa sa isang bilyon? Ang resulta ay isang numerong hindi gaanong naiiba sa isang bilyon, at ang bilang na ito ay magiging positibo. Katulad din sa pangalawang bracket: (2 + x). Kung magdadagdag tayo ng isang bilyon sa dalawa, makakakuha tayo ng isang bilyon sa kopecks - ito ay isang positibong numero. Panghuli, ang ikatlong bracket: (7 − x ). Dito magkakaroon ng minus isang bilyon, kung saan ang isang kahabag-habag na piraso sa anyo ng pito ay "nanganganga". Yung. ang resultang numero ay hindi gaanong mag-iiba mula sa minus isang bilyon - ito ay magiging negatibo.

Ito ay nananatiling hanapin ang tanda ng buong gawain. Dahil mayroon kaming plus sa mga unang bracket, at isang minus sa huling bracket, nakukuha namin ang sumusunod na construction:

(+) · (+) · (−) = (−)

Ang huling tanda ay minus! Hindi mahalaga kung ano ang halaga ng mismong function. Ang pangunahing bagay ay ang halaga na ito ay negatibo, i.e. sa pinakakanang agwat ay may minus sign. Ito ay nananatiling upang makumpleto ang ika-apat na hakbang ng paraan ng agwat: ayusin ang lahat ng mga palatandaan. Meron kami:

Ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mukhang:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Samakatuwid, interesado kami sa mga agwat na minarkahan ng minus sign. Isinulat namin ang sagot:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Iyan ang buong trick na gusto kong sabihin. Sa konklusyon, mayroong isa pang hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan gamit ang infinity. Upang biswal na paikliin ang solusyon, hindi ako magsusulat ng mga numero ng hakbang at mga detalyadong komento. Isusulat ko lamang kung ano ang talagang kailangang isulat kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Pinapalitan namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng isang equation at lutasin ito:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Minarkahan namin ang lahat ng tatlong ugat sa linya ng coordinate (kaagad na may mga palatandaan):

Mayroong plus sa kanang bahagi ng coordinate axis, dahil ang pag-andar ay mukhang:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

At kung papalitan natin ang infinity (halimbawa, isang bilyon), makakakuha tayo ng tatlong positibong bracket. Dahil ang orihinal na expression ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kami ay interesado lamang sa mga plus. Ito ay nananatiling isulat ang sagot:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Ano "square inequality"? Hindi tanong!) Kung kukunin mo anuman quadratic equation at baguhin ang sign sa loob nito "=" (katumbas) sa anumang icon ng hindi pagkakapantay-pantay ( > ≥ < ≤ ≠ ), nakakakuha tayo ng quadratic inequality. Halimbawa:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Well, nakuha mo ang ideya ...)

Sadya kong iniugnay ang mga equation at inequalities dito. Ang katotohanan ay ang unang hakbang sa paglutas anuman parisukat na hindi pagkakapantay-pantay - lutasin ang equation kung saan ginawa ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Para sa kadahilanang ito - ang kawalan ng kakayahan upang malutas ang mga quadratic equation ay awtomatikong humahantong sa isang kumpletong kabiguan sa hindi pagkakapantay-pantay. Malinaw ba ang pahiwatig?) Kung mayroon man, tingnan kung paano lutasin ang anumang mga quadratic equation. Detalyadong lahat doon. At sa araling ito ay haharapin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na handa para sa solusyon ay may anyo: kaliwa - square trinomial palakol 2 +bx+c, sa kanan - zero. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring maging anumang bagay. Narito ang unang dalawang halimbawa ay handa sa isang desisyon. Ang ikatlong halimbawa ay kailangan pa ring ihanda.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Matapos matanggap ang paunang impormasyon tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga variable, bumaling tayo sa tanong ng kanilang solusyon. Suriin natin ang solusyon ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable at lahat ng mga pamamaraan para sa kanilang paglutas gamit ang mga algorithm at mga halimbawa. Tanging mga linear equation na may isang variable ang isasaalang-alang.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang linear inequality?

Una kailangan mong tukuyin ang isang linear equation at alamin ang karaniwang anyo nito at kung paano ito maiiba sa iba. Mula sa kurso sa paaralan mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay ay walang pangunahing pagkakaiba, kaya maraming mga kahulugan ang dapat gamitin.

Kahulugan 1

Linear inequality na may isang variable Ang x ay isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong a x + b > 0 kapag ginamit ang anumang inequality sign sa halip na >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Kahulugan 2

Mga hindi pagkakapantay-pantay a x< c или a · x >c , na ang x ay isang variable at a at c ilang mga numero, ay tinatawag linear inequalities na may isang variable.

Dahil walang sinabi kung ang koepisyent ay maaaring katumbas ng 0 , kung gayon ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na 0 x > c at 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ang kanilang mga pagkakaiba ay:

• notasyon a · x + b > 0 sa una, at a · x > c – sa pangalawa;
• admissibility ng zero coefficient a , a ≠ 0 - sa una, at a = 0 - sa pangalawa.

Ito ay pinaniniwalaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay a x + b > 0 at a x > c ay katumbas, dahil ang mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na 0 · x + 5 > 0 ay hahantong sa katotohanang kakailanganin itong lutasin, at ang kaso a = 0 ay hindi gagana.

Kahulugan 3

Itinuturing na ang mga linear inequalities sa isang variable x ay mga inequalities ng form isang x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 at a x + b ≥ 0, kung saan ang a at b ay mga tunay na numero. Sa halip na x, maaaring mayroong ordinaryong numero.

Batay sa panuntunan, mayroon tayong 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 ay tinatawag na linear.

Paano malutas ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang paggamit ng mga katumbas na pagbabagong-anyo upang mahanap ang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay x< p (≤ , >, ≥), p bilang ilang numero, para sa isang ≠ 0 , at sa anyong a< p (≤ , >, ≥) para sa a = 0 .

Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable, maaari mong ilapat ang paraan ng agwat o ipakita ito sa graphic na paraan. Anuman sa mga ito ay maaaring gamitin sa paghihiwalay.

Paggamit ng katumbas na pagbabago

Upang malutas ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong a x + b< 0 (≤ , >, ≥), kinakailangang maglapat ng mga katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang koepisyent ay maaaring zero o hindi. Isaalang-alang natin ang parehong mga kaso. Upang linawin, kinakailangan na sumunod sa isang pamamaraan na binubuo ng 3 puntos: ang kakanyahan ng proseso, ang algorithm, ang solusyon mismo.

Kahulugan 4

Algorithm para sa paglutas ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay isang x + b< 0 (≤ , >, ≥) para sa isang ≠ 0

• ang numero b ay ililipat sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na may kabaligtaran na tanda, na magbibigay-daan sa amin na makarating sa katumbas na a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay hahatiin sa isang numerong hindi katumbas ng 0. Bukod dito, kapag ang isang ay positibo, ang tanda ay nananatili, kapag ang isang ay negatibo, ito ay nagbabago sa kabaligtaran.

Isaalang-alang ang aplikasyon ng algorithm na ito sa paglutas ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong 3 · x + 12 ≤ 0 .

Desisyon

Ang linear inequality na ito ay may a = 3 at b = 12 . Kaya, ang coefficient a ng x ay hindi katumbas ng zero. Ilapat natin ang mga algorithm sa itaas at lutasin.

Kinakailangang ilipat ang terminong 12 sa isa pang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na may pagbabago ng tanda sa harap nito. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyo 3 · x ≤ − 12 . Kinakailangan na hatiin ang parehong bahagi sa 3. Ang tanda ay hindi magbabago dahil ang 3 ay isang positibong numero. Nakukuha natin iyon (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , na magbibigay ng resulta x ≤ − 4 .

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong x ≤ − 4 ay katumbas. Ibig sabihin, ang solusyon para sa 3 x + 12 ≤ 0 ay anumang tunay na numero na mas mababa sa o katumbas ng 4 . Ang sagot ay isinulat bilang isang hindi pagkakapantay-pantay x ≤ − 4 , o isang numerical interval ng form (− ∞ , − 4 ] .

Ang buong algorithm na inilarawan sa itaas ay nakasulat bilang mga sumusunod:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Sagot: x ≤ − 4 o (− ∞ , − 4 ] .

Halimbawa 2

Ipahiwatig ang lahat ng magagamit na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay − 2 , 7 · z > 0 .

Desisyon

Mula sa kundisyon makikita natin na ang coefficient a at z ay katumbas ng - 2, 7, at b ay tahasang wala o katumbas ng zero. Hindi mo magagamit ang unang hakbang ng algorithm, ngunit agad na pumunta sa pangalawa.

Hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng numero - 2, 7. Dahil negatibo ang numero, kailangang baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran. Ibig sabihin, nakukuha natin iyon (− 2 , 7 z): (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Isinulat namin ang buong algorithm sa isang maikling anyo:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Sagot: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Halimbawa 3

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Desisyon

Ayon sa kondisyon, nakikita natin na kinakailangan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay sa koepisyent a para sa variable na x, na katumbas ng - 5, na may koepisyent b, na tumutugma sa fraction - 15 22 . Kinakailangang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay kasunod ng algorithm, iyon ay: ilipat - 15 22 sa ibang bahagi na may kabaligtaran na tanda, hatiin ang parehong bahagi ng - 5, baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Sa huling paglipat, para sa kanang bahagi, ang panuntunan para sa paghahati ng isang numero na may iba't ibang mga palatandaan ay ginagamit 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, pagkatapos nito ay hinati namin ang ordinaryong bahagi ng isang natural na numero - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Sagot: x ≥ - 3 22 at [ - 3 22 + ∞) .

Isaalang-alang ang kaso kapag a = 0. Linear na pagpapahayag ng anyong a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Ang lahat ay batay sa kahulugan ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay. Para sa anumang halaga ng x, nakakakuha tayo ng numerical inequality ng form b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Isinasaalang-alang namin ang lahat ng mga paghatol sa anyo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga linear inequalities 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Kahulugan 5

Hindi pagkakapantay-pantay ng numero ng anyo b< 0 (≤ , >, ≥) ay totoo, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may solusyon para sa anumang halaga, at mali kapag ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

Halimbawa 4

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 0 · x + 7 > 0 .

Desisyon

Ang linear inequality 0 · x + 7 > 0 na ito ay maaaring tumagal ng anumang halaga x . Pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form 7 > 0 . Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay itinuturing na totoo, kaya ang anumang numero ay maaaring maging solusyon nito.

Sagot: pagitan (− ∞ , + ∞) .

Halimbawa 5

Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Desisyon

Ang pagpapalit sa variable na x para sa anumang numero, nakuha natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyong − 12 , 7 ≥ 0 . Ito ay hindi tama. Ibig sabihin, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 ay walang mga solusyon.

Sagot: walang solusyon.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga linear inequalities, kung saan ang parehong coefficient ay katumbas ng zero.

Halimbawa 6

Tukuyin ang hindi malulutas na hindi pagkakapantay-pantay mula sa 0 · x + 0 > 0 at 0 · x + 0 ≥ 0 .

Desisyon

Kapag pinapalitan ang anumang numero sa halip na x, nakakakuha tayo ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong 0 > 0 at 0 ≥ 0 . Ang una ay hindi tama. Nangangahulugan ito na ang 0 x + 0 > 0 ay walang mga solusyon, at ang 0 x + 0 ≥ 0 ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, iyon ay, anumang numero.

Sagot: ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x + 0 > 0 ay walang mga solusyon, at 0 x + 0 ≥ 0 ay may mga solusyon.

Ang pamamaraang ito ay isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan ng matematika. Ang paraan ng pagitan ay may kakayahang lutasin ang iba't ibang uri ng hindi pagkakapantay-pantay, kabilang ang mga linear.

Ang paraan ng pagitan ay ginagamit para sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay kapag ang halaga ng coefficient x ay hindi katumbas ng 0 . Kung hindi, kailangan mong kalkulahin gamit ang ibang paraan.

Kahulugan 6

Ang pamamaraan ng spacing ay:

• pagpapakilala ng function na y = a x + b ;
• maghanap ng mga zero upang hatiin ang domain ng kahulugan sa mga pagitan;
• pagpapasiya ng mga palatandaan para sa konsepto ng mga ito sa mga pagitan.

Bumuo tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation a x + b< 0 (≤ , >, ≥) para sa isang ≠ 0 gamit ang interval method:

• paghahanap ng mga zero ng function na y = a · x + b upang malutas ang isang equation ng form na a · x + b = 0 . Kung ang isang ≠ 0, kung gayon ang solusyon ay ang tanging ugat na kukuha ng pagtatalaga x 0;
• pagbuo ng isang linya ng coordinate na may imahe ng isang punto na may isang coordinate x 0, na may isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang punto ay ipinahiwatig ng isang punched out, na may isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ito ay may kulay;
• pagpapasiya ng mga palatandaan ng function y = a x + b sa mga pagitan, para dito kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga punto sa pagitan;
• ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na may > o ≥ na mga palatandaan sa linya ng coordinate, ang pagpisa ay idinagdag sa itaas ng positibong puwang,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng linear inequality gamit ang interval method.

Halimbawa 6

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay − 3 · x + 12 > 0 .

Desisyon

Ito ay sumusunod mula sa algorithm na kailangan mo munang hanapin ang ugat ng equation − 3 · x + 12 = 0 . Nakukuha natin na − 3 · x = − 12 , x = 4 . Kinakailangang ilarawan ang linya ng coordinate, kung saan minarkahan namin ang punto 4. Ito ay mabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Isaalang-alang ang pagguhit sa ibaba.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga palatandaan sa mga pagitan. Upang matukoy ito sa pagitan (− ∞ , 4) , kinakailangang kalkulahin ang function na y = − 3 · x + 12 para sa x = 3 . Mula dito nakukuha natin na − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Ang tanda sa pagitan ay positibo.

Tinutukoy namin ang tanda mula sa pagitan (4, + ∞), pagkatapos ay pinapalitan namin ang halaga x \u003d 5. Mayroon tayong − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Ginagawa namin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang sign > , at ang pagpisa ay isinasagawa sa positibong puwang. Isaalang-alang ang pagguhit sa ibaba.

Makikita mula sa pagguhit na ang nais na solusyon ay may anyo (− ∞ , 4) o x< 4 .

Sagot: (− ∞ , 4) o x< 4 .

Upang maunawaan kung paano kumakatawan sa graphical, kinakailangang isaalang-alang ang 4 na linear na hindi pagkakapantay-pantay bilang isang halimbawa: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 at 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Ang kanilang mga solusyon ay magiging x< 2 , x ≤ 2 , x >2 at x ≥ 2 . Upang gawin ito, gumuhit ng graph ng linear function na y = 0 , 5 · x − 1 sa ibaba.

Malinaw na

Kahulugan 7

• solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ang solusyon 0 , 5 x − 1 ≤ 0 ay ang pagitan kung saan ang function na y = 0 , 5 x − 1 ay nasa ibaba ng 0 x o nagtutugma;
• ang solusyon 0 , 5 x − 1 > 0 ay itinuturing na ang pagitan, kung saan ang function ay matatagpuan sa itaas ng O x;
• ang solusyon 0 , 5 x − 1 ≥ 0 ay ang pagitan kung saan ang graph ay mas mataas sa O x o nagtutugma.

Ang kahulugan ng graphical na solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang paghahanap ng mga gaps, na dapat ilarawan sa graph. Sa kasong ito, nakuha namin na ang kaliwang bahagi ay may y \u003d a x + b, at ang kanang bahagi ay may y \u003d 0, at ito ay tumutugma sa Tungkol sa x.

Kahulugan 8

Ang pag-plot ng function na y = a x + b ay ginaganap:

• habang nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• habang nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x + b ≤ 0, ang pagitan ay tinutukoy kung saan ang graph ay ipinapakita sa ibaba ng O x axis o nag-tutugma;
• habang nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x + b > 0, tinutukoy ang pagitan, kung saan ipinapakita ang graph sa itaas ng O x;
• habang nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x + b ≥ 0, tinutukoy ang pagitan kung saan ang graph ay nasa itaas ng O x o nag-tutugma.

Halimbawa 7

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay - 5 · x - 3 > 0 gamit ang graph.

Desisyon

Ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang graph ng isang linear function - 5 · x - 3 > 0 . Ang linyang ito ay bumababa dahil ang koepisyent ng x ay negatibo. Upang matukoy ang mga coordinate ng punto ng intersection nito sa O x - 5 · x - 3 > 0, nakuha namin ang halaga - 3 5 . I-graph natin ito.

Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na may sign >, pagkatapos ay kailangan mong bigyang-pansin ang pagitan sa itaas ng O x. I-highlight namin ang kinakailangang bahagi ng eroplano sa pula at makuha iyon

Ang kinakailangang puwang ay ang bahaging O x ng pulang kulay. Kaya, ang open number ray - ∞ , - 3 5 ang magiging solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay. Kung, sa pamamagitan ng kondisyon, mayroon silang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang halaga ng punto - 3 5 ay magiging solusyon din sa hindi pagkakapantay-pantay. At magkakasabay sa O x.

Sagot: - ∞ , - 3 5 o x< - 3 5 .

Ang graphical na solusyon ay ginagamit kapag ang kaliwang bahagi ay tumutugma sa function na y = 0 x + b , iyon ay, y = b . Kung gayon ang linya ay magiging parallel sa O x o magkakasabay sa b \u003d 0. Ang mga kasong ito ay nagpapakita na ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring walang mga solusyon, o anumang numero ay maaaring maging isang solusyon.

Halimbawa 8

Tukuyin mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Desisyon

Ang representasyong y = 0 x + 7 ay y = 7 , pagkatapos ay bibigyan ng coordinate plane na may tuwid na linya na kahanay ng O x at sa itaas ng O x. Kaya 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Ang graph ng function na y \u003d 0 x + 0 ay itinuturing na y \u003d 0, iyon ay, ang linya ay tumutugma sa O x. Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay 0 · x + 0 ≥ 0 ay may maraming solusyon.

Sagot: ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay may solusyon para sa anumang halaga ng x .

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring bawasan sa solusyon ng isang linear equation, na tinatawag na linear inequalities.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan, dahil sila ay isang espesyal na kaso ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, na humantong sa pagbubukas ng mga bracket at pagbabawas ng mga katulad na termino. Halimbawa, isaalang-alang na 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5-2 x + 1 > 2 7 x .

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ibinigay sa itaas ay palaging binabawasan sa anyo ng isang linear equation. Pagkatapos nito, ang mga bracket ay binuksan at ang mga katulad na termino ay ibinigay, inilipat mula sa iba't ibang bahagi, binabago ang sign sa kabaligtaran.

Kapag binabawasan ang hindi pagkakapantay-pantay 5 − 2 x > 0 sa isang linear, kinakatawan namin ito sa paraang mayroon itong anyo − 2 x + 5 > 0 , at upang bawasan ang pangalawa, nakukuha namin ang 7 (x − 1). ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Kinakailangang buksan ang mga bracket, magdala ng mga katulad na termino, ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi at magdala ng mga katulad na termino. Mukhang ganito:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Dinadala nito ang solusyon sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay itinuturing na linear, dahil mayroon silang parehong prinsipyo ng solusyon, pagkatapos nito ay posible na bawasan ang mga ito sa elementarya na hindi pagkakapantay-pantay.

Upang malutas ang ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri, kinakailangan na bawasan ito sa isang linear. Dapat itong gawin tulad nito:

Kahulugan 9

• bukas na mga bracket;
• mangolekta ng mga variable sa kaliwa, at mga numero sa kanan;
• magdala ng katulad na mga tuntunin;
• hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng koepisyent ng x .

Halimbawa 9

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Desisyon

Pinapalawak namin ang mga bracket, pagkatapos ay nakakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay ng form 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, mayroon tayong 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Pagkatapos ilipat ang mga termino mula sa kaliwa papunta sa kanan, makuha natin na 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Samakatuwid, mayroon itong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo 32 ≤ 0 mula sa resulta na nakuha sa pagkalkula 0 · x + 32 ≤ 0 . Ito ay makikita na ang hindi pagkakapantay-pantay ay mali, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay na ibinigay ng kondisyon ay walang mga solusyon.

Sagot: walang solusyon.

Kapansin-pansin na maraming mga hindi pagkakapantay-pantay ng ibang uri, na maaaring bawasan sa isang linear o isang hindi pagkakapantay-pantay ng uri na ipinakita sa itaas. Halimbawa, 5 2 x − 1 ≥ 1 ay isang exponential equation na bumababa sa isang linear na solusyon 2 · x − 1 ≥ 0 . Ang mga kasong ito ay isasaalang-alang kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter