Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ang operasyong ito ay mas maganda kaysa sa karagdagan-pagbawas! Dahil mas madali. Ipinaaalala ko sa iyo: upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang mga numerator (ito ang magiging numerator ng resulta) at ang mga denominator (ito ang magiging denominator). I.e:

Halimbawa:

Ang lahat ay sobrang simple. At mangyaring huwag maghanap ng isang karaniwang denominator! Hindi mo kailangan dito...

Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-flip pangalawa(ito ay mahalaga!) fraction at i-multiply ang mga ito, i.e.:

Halimbawa:

Kung mahuli ang multiplication o division na may integers at fractions, okay lang. Tulad ng karagdagan, gumawa kami ng isang fraction mula sa isang buong numero na may isang yunit sa denominator - at pumunta! Halimbawa:

Sa mataas na paaralan, madalas mong kailangang harapin ang tatlong-kuwento (o kahit apat na palapag!) na mga praksyon. Halimbawa:

Paano dalhin ang fraction na ito sa isang disenteng anyo? Oo, napakadali! Gumamit ng dibisyon sa pamamagitan ng dalawang puntos:

Ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa pagkakasunud-sunod ng dibisyon! Hindi tulad ng pagpaparami, ito ay napakahalaga dito! Siyempre, hindi natin malito ang 4:2 o 2:4. Ngunit sa isang tatlong-kuwento na bahagi ay madaling magkamali. Pakitandaan, halimbawa:

Sa unang kaso (expression sa kaliwa):

Sa pangalawa (expression sa kanan):

Pakiramdaman ang pagkakaiba? 4 at 1/9!

Ano ang pagkakasunud-sunod ng paghahati? O mga bracket, o (tulad dito) ang haba ng mga pahalang na gitling. Bumuo ng isang mata. At kung walang mga bracket o gitling, tulad ng:

tapos divide-multiply sa pagkakasunud-sunod, kaliwa pakanan!

At isa pang napaka-simple at mahalagang trick. Sa mga pagkilos na may mga antas, ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa iyo! Hatiin natin ang yunit sa anumang fraction, halimbawa, sa 13/15:

Nabaligtad na ang kuha! At lagi itong nangyayari. Kapag hinahati ang 1 sa anumang fraction, ang resulta ay parehong fraction, baligtad lamang.

Iyon lang ang mga aksyon na may mga fraction. Ang bagay ay medyo simple, ngunit nagbibigay ng higit sa sapat na mga error. Tandaan ang praktikal na payo, at magkakaroon ng mas kaunti sa mga ito (mga pagkakamali)!

Mga Praktikal na Tip:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso! Ang mga ito ay hindi karaniwang mga salita, hindi magandang hangarin! Ito ay isang matinding pangangailangan! Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa pagsusulit bilang isang ganap na gawain, na may konsentrasyon at kalinawan. Mas mainam na magsulat ng dalawang dagdag na linya sa isang draft kaysa sa magulo kapag nagkalkula sa iyong ulo.

2. Sa mga halimbawa na may iba't ibang uri ng fraction - pumunta sa ordinaryong fraction.

3. Binabawasan namin ang lahat ng mga fraction hanggang sa huminto.

4. Binabawasan namin ang mga multi-level na fractional na expression sa mga ordinaryong gamit ang paghahati sa pamamagitan ng dalawang puntos (sinusunod namin ang pagkakasunud-sunod ng paghahati!).

5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.

Narito ang mga gawain na kailangan mong tapusin. Ang mga sagot ay ibinibigay pagkatapos ng lahat ng mga gawain. Gamitin ang mga materyales ng paksang ito at praktikal na payo. Tantyahin kung gaano karaming mga halimbawa ang maaari mong malutas nang tama. Unang beses! Nang walang calculator! At gumawa ng tamang konklusyon...

Tandaan ang tamang sagot nakuha mula sa pangalawa (lalo na sa pangatlong) oras - hindi binibilang! Ganyan ang malupit na buhay.

Kaya, solve sa exam mode ! Ito pala ay paghahanda para sa pagsusulit. Nalulutas namin ang isang halimbawa, sinusuri namin, nilulutas namin ang mga sumusunod. Napagpasyahan namin ang lahat - sinuri namin muli mula sa una hanggang sa huli. Tanging pagkatapos tingnan ang mga sagot.

Kalkulahin:

Nagdesisyon ka ba?

Naghahanap ng mga sagot na tumutugma sa iyo. Partikular kong isinulat ang mga ito sa isang gulo, malayo sa tukso, kumbaga ... Narito ang mga ito, ang mga sagot, na isinulat na may semicolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

At ngayon gumawa kami ng mga konklusyon. Kung ang lahat ay gumana - masaya para sa iyo! Ang mga kalkulasyon sa elementarya na may mga fraction ay hindi mo problema! Maaari kang gumawa ng mas seryosong mga bagay. Kung hindi...

Kaya mayroon kang isa sa dalawang problema. O pareho nang sabay-sabay.) Kakulangan ng kaalaman at (o) kawalan ng pansin. Pero ito nalulusaw Mga problema.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

) at ang denominator ng denominator (nakukuha natin ang denominator ng produkto).

Fraction multiplication formula:

Halimbawa:

Bago magpatuloy sa pagpaparami ng mga numerator at denominator, kinakailangang suriin ang posibilidad ng pagbawas ng fraction. Kung pinamamahalaan mong bawasan ang fraction, magiging mas madali para sa iyo na magpatuloy sa paggawa ng mga kalkulasyon.

Dibisyon ng ordinaryong fraction sa fraction.

Dibisyon ng mga fraction na kinasasangkutan ng isang natural na numero.

Hindi ito nakakatakot gaya ng tila. Tulad ng sa kaso ng karagdagan, kino-convert namin ang isang integer sa isang fraction na may isang yunit sa denominator. Halimbawa:

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction (halo-halong):

• i-convert ang mga mixed fraction sa hindi wasto;
• i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction;
• binabawasan namin ang fraction;
• kung nakakakuha tayo ng hindi tamang fraction, iko-convert natin ang improper fraction sa isang mixed.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang mixed fraction sa isa pang mixed fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa anyo ng mga hindi tamang fraction, at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Ang pangalawang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero.

Ito ay mas maginhawang gamitin ang pangalawang paraan ng pagpaparami ng isang ordinaryong fraction sa isang numero.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, kinakailangan na hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na hindi nagbabago.

Mula sa halimbawa sa itaas, malinaw na ang pagpipiliang ito ay mas maginhawang gamitin kapag ang denominator ng isang fraction ay hinati nang walang nalalabi sa isang natural na numero.

Mga multilevel na fraction.

Sa mataas na paaralan, madalas na matatagpuan ang tatlong-kuwento (o higit pa) na mga praksyon. Halimbawa:

Upang dalhin ang isang bahagi sa karaniwang anyo nito, ang paghahati sa pamamagitan ng 2 puntos ay ginagamit:

Tandaan! Kapag naghahati ng mga fraction, ang pagkakasunud-sunod ng paghahati ay napakahalaga. Mag-ingat, madaling malito dito.

Tandaan, Halimbawa:

Kapag hinahati ang isa sa anumang fraction, ang resulta ay magiging parehong fraction, baligtad lamang:

Mga praktikal na tip para sa pagpaparami at paghahati ng mga fraction:

1. Ang pinakamahalagang bagay sa pagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso. Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang maingat at tumpak, puro at malinaw. Mas mainam na isulat ang ilang dagdag na linya sa isang draft kaysa malito sa mga kalkulasyon sa iyong ulo.

2. Sa mga gawaing may iba't ibang uri ng fraction - pumunta sa uri ng ordinaryong fraction.

3. Binabawasan natin ang lahat ng fraction hanggang sa hindi na posible na bawasan.

4. Dinadala namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryong, gamit ang paghahati sa 2 puntos.

5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.

Patuloy kaming nag-aaral ng mga aksyon na may mga ordinaryong fraction. Ngayon nasa spotlight pagpaparami ng mga karaniwang fraction. Sa artikulong ito, magbibigay kami ng isang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, isaalang-alang ang aplikasyon ng panuntunang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa. Tutuon din tayo sa pagpaparami ng ordinaryong fraction sa natural na numero. Sa konklusyon, isaalang-alang kung paano isinasagawa ang pagpaparami ng tatlo o higit pang mga praksyon.

Pag-navigate sa pahina.

Pag-multiply ng common fraction sa common fraction

Magsimula tayo sa mga salita mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga karaniwang fraction: Ang pagpaparami ng fraction sa isang fraction ay nagbibigay ng fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga numerator ng multiplied fractions, at ang denominator ay katumbas ng produkto ng mga denominator.

Iyon ay, ang formula ay tumutugma sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction a / b at c / d.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na naglalarawan ng panuntunan ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction. Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid ng 1 yunit. , habang ang lawak nito ay 1 yunit 2 . Hatiin ang parisukat na ito sa pantay na mga parihaba na may mga gilid na 1/4 na yunit. at 1/8 units. , habang ang orihinal na parisukat ay bubuo ng 4 8 = 32 na parihaba, samakatuwid, ang lugar ng bawat parihaba ay 1/32 ng lugar ng orihinal na parisukat, iyon ay, ito ay katumbas ng 1/32 na mga yunit 2. Ngayon ay ipinta natin ang bahagi ng orihinal na parisukat. Ang lahat ng aming mga aksyon ay makikita sa figure sa ibaba.

Ang mga gilid ng filled rectangle ay 5/8 units. at 3/4 na yunit. , na nangangahulugan na ang lugar nito ay katumbas ng produkto ng mga fraction na 5/8 at 3/4, iyon ay, mga yunit 2. Ngunit ang napunong parihaba ay binubuo ng 15 "maliit" na mga parihaba, kaya ang lawak nito ay 15/32 mga yunit 2 . Kaya naman, . Dahil 5 3=15 at 8 4=32 , ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang , na nagpapatunay sa formula para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction ng form.

Tandaan na sa tulong ng voiced multiplication rule, maaari mong i-multiply ang parehong wasto at hindi wastong mga fraction, at mga fraction na may parehong denominator, at mga fraction na may magkakaibang denominator.

Isipin mo mga halimbawa ng pagpaparami ng mga karaniwang fraction.

I-multiply ang common fraction 7/11 sa common fraction na 9/8.

Ang produkto ng mga numerator ng multiplied na fraction na 7 at 9 ay 63, at ang produkto ng mga denominator ng 11 at 8 ay 88. Kaya, ang pagpaparami ng mga karaniwang fraction na 7/11 at 9/8 ay nagbibigay ng fraction na 63/88.

Narito ang isang buod ng solusyon: .

Hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa pagbawas ng resultang fraction, kung bilang resulta ng multiplikasyon ay nakuha ang reducible fraction, at tungkol sa pagpili ng buong bahagi mula sa hindi tamang fraction.

Multiply fractions 4/15 at 55/6.

Ilapat natin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction: .

Malinaw, ang resultang fraction ay mababawasan (ang tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 10 ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang numerator at denominator ng fraction 220/90 ay may isang karaniwang kadahilanan na 10). Bawasan natin ang fraction na 220/90: GCD(220, 90)=10 at . Ito ay nananatiling piliin ang integer na bahagi mula sa nagresultang hindi wastong bahagi: .

Tandaan na ang pagbabawas ng fraction ay maaaring isagawa bago kalkulahin ang mga produkto ng mga numerator at ang mga produkto ng mga denominator ng mga multiplied na fraction, iyon ay, kapag ang fraction ay may anyo . Para sa numerong ito, ang a, b, c, at d ay pinalitan ng kanilang mga prime factorization, pagkatapos nito ay kinansela ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator.

Upang linawin, bumalik tayo sa nakaraang halimbawa.

Kalkulahin ang produkto ng mga fraction ng form.

Sa pamamagitan ng formula para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, mayroon tayo .

Dahil 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 at 6=2 3 , kung gayon . Ngayon kanselahin namin ang mga karaniwang pangunahing kadahilanan: .

Ito ay nananatili lamang upang kalkulahin ang mga produkto sa numerator at denominator, at pagkatapos ay piliin ang integer na bahagi mula sa hindi wastong bahagi: .

Dapat pansinin na ang multiplikasyon ng mga fraction ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang commutative na pag-aari, iyon ay, ang multiplied na mga fraction ay maaaring mapalitan: .

Pagpaparami ng fraction sa natural na numero

Magsimula tayo sa mga salita mga panuntunan para sa pagpaparami ng karaniwang fraction sa isang natural na numero: Ang pagpaparami ng fraction sa natural na numero ay nagbibigay ng fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng numerator ng multiply fraction sa natural na numero, at ang denominator ay katumbas ng denominator ng multiplied fraction.

Sa tulong ng mga titik, ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang fraction a / b sa isang natural na numero n ay may anyo .

Ang formula ay sumusunod mula sa pormula para sa pagpaparami ng dalawang ordinaryong fraction ng anyo. Sa katunayan, na kumakatawan sa isang natural na numero bilang isang fraction na may denominator na 1, nakukuha namin .

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng fraction sa natural na numero.

I-multiply ang fraction na 2/27 sa 5.

Ang pagpaparami ng numerator 2 sa numerong 5 ay nagbibigay ng 10, samakatuwid, ayon sa tuntunin ng pagpaparami ng isang fraction sa isang natural na numero, ang produkto ng 2/27 ng 5 ay katumbas ng fraction na 10/27.

Ang buong solusyon ay maaaring maginhawang isulat tulad ng sumusunod: .

Kapag nagpaparami ng fraction sa natural na numero, kadalasang kailangang bawasan ang resultang fraction, at kung mali rin ito, irepresenta ito bilang mixed number.

I-multiply ang fraction na 5/12 sa bilang na 8.

Ayon sa formula para sa pagpaparami ng isang fraction sa isang natural na numero, mayroon tayo . Malinaw, ang resultang fraction ay mababawasan (ang tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 2 ay nagpapahiwatig ng isang karaniwang divisor 2 ng numerator at denominator). Bawasan natin ang fraction na 40/12: dahil LCM(40, 12)=4, kung gayon . Ito ay nananatiling piliin ang buong bahagi: .

Narito ang buong solusyon: .

Tandaan na ang pagbabawas ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa numerator at denominator sa pamamagitan ng kanilang mga pagpapalawak sa prime factor. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito:

Sa pagtatapos ng talatang ito, napapansin namin na ang multiplikasyon ng isang fraction sa isang natural na numero ay may commutative property, iyon ay, ang produkto ng isang fraction sa isang natural na numero ay katumbas ng produkto ng natural na bilang na ito sa isang fraction: .

I-multiply ang tatlo o higit pang mga fraction

Ang paraan ng pagtukoy namin sa mga ordinaryong fraction at ang pagpapatakbo ng multiplikasyon sa mga ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang lahat ng mga katangian ng multiplikasyon ng mga natural na numero ay nalalapat sa pagpaparami ng mga fraction.

Ang commutative at associative na mga katangian ng multiplikasyon ay ginagawang posible upang natatanging matukoy pagpaparami ng tatlo o higit pang mga fraction at natural na mga numero. Sa kasong ito, ang lahat ay nangyayari sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagpaparami ng tatlo o higit pang mga natural na numero. Sa partikular, ang mga fraction at natural na mga numero sa produkto ay maaaring muling ayusin para sa kaginhawaan ng pagkalkula, at sa kawalan ng mga bracket na nagpapahiwatig ng pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay isinasagawa, maaari naming ayusin ang mga bracket sa aming sarili sa alinman sa mga pinapayagang paraan.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng ilang fraction at natural na mga numero.

I-multiply ang tatlong karaniwang fraction 1/20, 12/5, 3/7 at 5/8.

Isulat natin ang produkto na kailangan nating kalkulahin . Sa bisa ng tuntunin para sa pagpaparami ng mga fraction, ang nakasulat na produkto ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga numerator ng lahat ng mga fraction, at ang denominator ay ang produkto ng mga denominator: .

Bago kalkulahin ang mga produkto sa numerator at denominator, ipinapayong palitan ang lahat ng mga kadahilanan sa pamamagitan ng kanilang mga pagpapalawak sa mga pangunahing kadahilanan at bawasan (siyempre, maaari mong bawasan ang bahagi pagkatapos ng multiplikasyon, ngunit sa maraming mga kaso nangangailangan ito ng maraming pagsisikap sa pagkalkula): .

.

I-multiply ang limang numero .

Sa produktong ito, maginhawang igrupo ang fraction 7/8 na may numero 8, at ang numero 12 na may fraction na 5/36, ito ay magpapasimple sa mga kalkulasyon, dahil sa ganoong pagpapangkat ay halata ang pagbawas. Meron kami
.

.

Pagpaparami ng mga fraction

Isasaalang-alang natin ang pagpaparami ng mga ordinaryong fraction sa ilang posibleng paraan.

Pagpaparami ng fraction sa fraction

Ito ang pinakasimpleng kaso, kung saan kailangan mong gamitin ang sumusunod mga panuntunan sa pagpaparami ng fraction.

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan:

• i-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction at isulat ang kanilang produkto sa numerator ng bagong fraction;
• multiply ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction at isulat ang kanilang produkto sa denominator ng bagong fraction;

Bago i-multiply ang mga numerator at denominator, suriin kung ang mga praksiyon ay maaaring bawasan. Ang pagbabawas ng mga fraction sa mga kalkulasyon ay lubos na magpapadali sa iyong mga kalkulasyon.

Pagpaparami ng fraction sa natural na numero

Sa fraction multiply sa isang natural na numero kailangan mong i-multiply ang numerator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang denominator ng fraction na hindi nagbabago.

Kung ang resulta ng multiplikasyon ay hindi wastong bahagi, huwag kalimutang gawing halo-halong numero, iyon ay, piliin ang buong bahagi.

Pagpaparami ng magkahalong numero

Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang gawing hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Ang isa pang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero

Minsan sa mga kalkulasyon ay mas maginhawang gumamit ng ibang paraan ng pagpaparami ng ordinaryong fraction sa isang numero.

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, kailangan mong hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na pareho.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, mas maginhawang gamitin ang bersyong ito ng panuntunan kung ang denominator ng fraction ay mahahati nang walang nalalabi sa natural na numero.

Pagpaparami ng magkahalong numero: mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon.

Sa artikulong ito, susuriin natin pagpaparami ng magkahalong numero. Una, ipahayag natin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga pinaghalong numero at isaalang-alang ang aplikasyon ng panuntunang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa. Susunod, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagpaparami ng isang halo-halong numero at isang natural na numero. Sa wakas, matututunan natin kung paano i-multiply ang isang mixed number at isang ordinaryong fraction.

Pag-navigate sa pahina.

Pagpaparami ng magkahalong numero.

Pagpaparami ng magkahalong numero maaaring bawasan sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction. Upang gawin ito, sapat na upang i-convert ang mga magkahalong numero sa hindi wastong mga fraction.

Isulat natin panuntunan ng multiplikasyon para sa magkahalong numero:

• Una, ang mga pinaghalong numero na i-multiply ay dapat mapalitan ng mga hindi tamang fraction;
• Pangalawa, kailangan mong gamitin ang panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunang ito kapag nag-multiply ng mixed number sa mixed number.

Magsagawa ng mixed number multiplication at .

Una, kinakatawan namin ang multiply mixed number bilang mga hindi tamang fraction: at . Ngayon ay maaari nating palitan ang multiplikasyon ng mga magkahalong numero sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction: . Ang paglalapat ng panuntunan ng pagpaparami ng mga praksyon, nakukuha natin . Ang resultang fraction ay irreducible (tingnan ang reducible at irreducible fractions), ngunit ito ay mali (tingnan ang regular at improper fractions), samakatuwid, upang makuha ang panghuling sagot, nananatili itong kunin ang integer na bahagi mula sa hindi tamang fraction: .

Isulat natin ang buong solusyon sa isang linya: .

.

Upang pagsamahin ang mga kasanayan sa pagpaparami ng mga pinaghalong numero, isaalang-alang ang solusyon ng isa pang halimbawa.

Gawin ang multiplikasyon.

Mga nakakatawang numero at katumbas ng mga fraction na 13/5 at 10/9, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos . Sa yugtong ito, oras na para alalahanin ang tungkol sa pagbawas ng fraction: papalitan namin ang lahat ng numero sa fraction ng mga pagpapalawak ng mga ito sa prime factor, at isasagawa namin ang pagbabawas ng parehong mga kadahilanan.

Pagpaparami ng magkahalong numero at natural na numero

Pagkatapos palitan ang pinaghalong numero ng hindi tamang fraction, pagpaparami ng pinaghalong numero at natural na numero ay nabawasan sa pagpaparami ng isang ordinaryong fraction at isang natural na numero.

I-multiply ang pinaghalong numero at ang natural na bilang na 45 .

Ang isang pinaghalong numero ay isang fraction, kung gayon . Palitan natin ang mga numero sa resultang fraction ng kanilang mga pagpapalawak sa mga pangunahing kadahilanan, gumawa ng pagbawas, pagkatapos ay pipiliin natin ang integer na bahagi: .

.

Ang pagpaparami ng pinaghalong numero at isang natural na numero ay kung minsan ay maginhawang ginagawa gamit ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan. Sa kasong ito, ang produkto ng isang pinaghalong numero at isang natural na numero ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng integer na bahagi ng ibinigay na natural na numero at ang fractional na bahagi ng ibinigay na natural na numero, iyon ay, .

Kalkulahin ang produkto.

Pinapalitan namin ang pinaghalong numero ng kabuuan ng integer at fractional na mga bahagi, pagkatapos nito ay ilalapat namin ang distributive property ng multiplication: .

Pagpaparami ng pinaghalong numero at isang karaniwang fraction ito ay pinaka-maginhawa upang bawasan sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, na kumakatawan sa multiply na pinaghalong numero bilang isang hindi tamang fraction.

I-multiply ang mixed number sa common fraction na 4/15.

Ang pagpapalit ng pinaghalong numero ng isang fraction, nakukuha namin .

Pagpaparami ng mga fractional na numero

§ 140. Mga Kahulugan. 1) Ang pagpaparami ng isang fractional na numero sa pamamagitan ng isang integer ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagpaparami ng mga integer, katulad ng: upang i-multiply ang ilang numero (multiplier) sa isang integer (multiplier) ay nangangahulugang gumawa ng kabuuan ng magkaparehong termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplicand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.

Kaya ang pagpaparami ng 5 ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan:
2) Upang i-multiply ang ilang numero (multiplier) sa isang fraction (multiplier) ay nangangahulugang hanapin ang fraction na ito ng multiplicand.

Kaya, ang paghahanap ng isang fraction ng isang naibigay na numero, na isinasaalang-alang namin noon, tatawagin namin ngayon ang multiplication sa isang fraction.

3) Upang i-multiply ang ilang numero (multiplier) sa isang mixed number (factor) ay nangangahulugan na i-multiply muna ang multiplier sa integer ng factor, pagkatapos ay sa fraction ng factor, at idagdag ang mga resulta ng dalawang multiplication na ito nang magkasama.

Halimbawa:

Ang bilang na nakuha pagkatapos ng multiplikasyon ay tinatawag sa lahat ng mga kasong ito trabaho, ibig sabihin, sa parehong paraan tulad ng kapag nagpaparami ng mga integer.

Mula sa mga kahulugang ito ay malinaw na ang multiplikasyon ng mga fractional na numero ay isang aksyon na laging posible at palaging hindi malabo.

§ 141. Kahusayan ng mga kahulugang ito. Upang maunawaan ang kahusayan ng pagpapakilala ng huling dalawang kahulugan ng multiplikasyon sa aritmetika, kunin natin ang sumusunod na problema:

Gawain. Ang tren, na gumagalaw nang pantay-pantay, ay bumibiyahe ng 40 km kada oras; paano malalaman kung ilang kilometro ang bibiyahe ng tren na ito sa isang naibigay na bilang ng oras?

Kung nanatili tayo sa isang kahulugan ng multiplikasyon, na ipinahiwatig sa aritmetika ng mga integer (pagdaragdag ng pantay na mga termino), kung gayon ang ating problema ay magkakaroon ng tatlong magkakaibang solusyon, ibig sabihin:

Kung ang ibinigay na bilang ng mga oras ay isang integer (halimbawa, 5 oras), pagkatapos ay upang malutas ang problema, 40 km ay dapat na i-multiply sa bilang ng mga oras na ito.

Kung ang isang naibigay na bilang ng mga oras ay ipinahayag bilang isang fraction (halimbawa, mga oras), pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang halaga ng fraction na ito mula sa 40 km.

Sa wakas, kung ang ibinigay na bilang ng mga oras ay halo-halong (halimbawa, mga oras), kakailanganing i-multiply ang 40 km sa isang integer na nakapaloob sa pinaghalong numero, at idagdag sa resulta ang isang fraction mula sa 40 km gaya ng nasa halo-halong numero.

Ang mga kahulugan na ibinigay namin ay nagbibigay-daan sa amin na magbigay ng isang pangkalahatang sagot sa lahat ng posibleng sitwasyong ito:

Ang 40 km ay dapat na i-multiply sa ibinigay na bilang ng mga oras, anuman ito.

Kaya, kung ang problema ay ipinakita sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod:

Ang isang tren na gumagalaw ay pare-parehong bumibiyahe v km kada oras. Ilang kilometro ang tatawid ng tren sa loob ng t oras?

pagkatapos, anuman ang mga numerong v at t, maaari nating ipahayag ang isang sagot: ang nais na numero ay ipinahayag ng formula v · t.

Tandaan. Ang paghahanap ng ilang bahagi ng isang naibigay na numero, ayon sa aming kahulugan, ay nangangahulugan ng parehong bagay sa pagpaparami ng ibinigay na numero sa bahaging ito; samakatuwid, halimbawa, upang mahanap ang 5% (i.e. limang daan) ng isang naibigay na numero ay nangangahulugang pareho ng pagpaparami ng ibinigay na numero sa pamamagitan ng o sa; ang paghahanap ng 125% ng isang naibigay na numero ay kapareho ng pagpaparami ng numerong iyon sa pamamagitan ng o sa , atbp.

§ 142. Isang tala tungkol sa kung kailan tumataas ang isang numero at kapag bumababa ito mula sa multiplikasyon.

Mula sa multiplikasyon sa tamang fraction, bumababa ang bilang, at mula sa multiplikasyon sa hindi wastong fraction, tataas ang bilang kung ang hindi wastong fraction na ito ay mas malaki sa isa, at nananatiling hindi nagbabago kung ito ay katumbas ng isa.
Magkomento. Kapag nagpaparami ng mga fractional na numero, pati na rin ang mga integer, ang produkto ay kinukuha ng katumbas ng zero kung alinman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, kaya,.

§ 143. Pinagmulan ng mga tuntunin sa pagpaparami.

1) Pagpaparami ng isang fraction sa isang integer. Hayaang i-multiply ang fraction sa 5. Nangangahulugan ito na tumaas ng 5 beses. Upang madagdagan ang isang fraction ng 5, sapat na upang taasan ang numerator nito o bawasan ang denominator nito ng 5 beses (§ 127).

Kaya:
Panuntunan 1. Upang i-multiply ang isang fraction sa isang integer, dapat mong i-multiply ang numerator sa integer na ito, at iwanan ang denominator na pareho; sa halip, maaari mo ring hatiin ang denominator ng fraction sa ibinigay na integer (kung maaari), at iwanan ang numerator na pareho.

Magkomento. Ang produkto ng isang fraction at ang denominator nito ay katumbas ng numerator nito.

Kaya:
Panuntunan 2. Upang i-multiply ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer sa numerator ng fraction at gawing numerator ang produktong ito, at lagdaan ang denominator ng ibinigay na fraction bilang denominator.
Panuntunan 3. Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa bilang denominator ng produkto.

Magkomento. Ang panuntunang ito ay maaari ding ilapat sa pagpaparami ng isang fraction sa isang integer at isang integer sa isang fraction, kung isasaalang-alang lamang natin ang integer bilang isang fraction na may denominator ng isa. Kaya:

Kaya, ang tatlong panuntunang nakasaad ngayon ay nakapaloob sa isa, na maaaring ipahayag sa pangkalahatang mga termino tulad ng sumusunod:
4) Pagpaparami ng magkahalong numero.

Panuntunan 4. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa mga panuntunan para sa pag-multiply ng mga fraction. Halimbawa:
§ 144. Pagbawas sa multiplikasyon. Kapag nagpaparami ng mga fraction, kung maaari, ang isang paunang pagbawas ay dapat gawin, tulad ng makikita mula sa mga sumusunod na halimbawa:

Ang ganitong pagbabawas ay posible dahil ang halaga ng isang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator ay binabawasan ng parehong bilang ng beses.

§ 145. Pagbabago ng produkto na may pagbabago ng mga salik. Kapag nagbago ang mga salik, ang produkto ng mga fractional na numero ay magbabago sa eksaktong kaparehong paraan tulad ng produkto ng mga integer (§ 53), ibig sabihin: kung tataas (o babawasan) mo ang anumang kadahilanan nang ilang beses, tataas (o bababa ang produkto) sa parehong halaga.

Kaya, kung sa halimbawa:
upang ma-multiply ang ilang mga fraction, kinakailangan na i-multiply ang kanilang mga numerator sa kanilang sarili at ang mga denominator sa kanilang mga sarili at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa ay denominator ng produkto.

Magkomento. Ang panuntunang ito ay maaari ding ilapat sa mga naturang produkto kung saan ang ilang mga salik ng numero ay integer o halo-halong, kung isasaalang-alang lamang natin ang buong numero bilang isang fraction na ang denominator ay isa, at gagawin nating hindi wastong mga fraction ang mga pinaghalong numero. Halimbawa:
§ 147. Mga pangunahing katangian ng multiplikasyon. Ang mga katangian ng multiplikasyon na ipinahiwatig namin para sa mga integer (§ 56, 57, 59) ay kabilang din sa multiplikasyon ng mga fractional na numero. Tukuyin natin ang mga katangiang ito.

1) Ang produkto ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga kadahilanan.

Halimbawa:

Sa katunayan, ayon sa tuntunin ng nakaraang talata, ang unang produkto ay katumbas ng fraction, at ang pangalawa ay katumbas ng fraction. Ngunit ang mga fraction na ito ay pareho, dahil ang kanilang mga termino ay naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga integer na kadahilanan, at ang produkto ng mga integer ay hindi nagbabago kapag ang mga lugar ng mga kadahilanan ay nagbabago.

2) Ang produkto ay hindi magbabago kung ang anumang pangkat ng mga kadahilanan ay papalitan ng kanilang produkto.

Halimbawa:

Ang mga resulta ay pareho.

Mula sa pag-aari na ito ng multiplikasyon, mahihinuha natin ang sumusunod na konklusyon:

upang i-multiply ang isang numero sa isang produkto, maaari mong i-multiply ang numerong ito sa unang kadahilanan, i-multiply ang resultang numero sa pangalawa, at iba pa.

Halimbawa:
3) Ang distributive law ng multiplikasyon (na may kinalaman sa karagdagan). Upang i-multiply ang kabuuan sa ilang numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong ito nang hiwalay at idagdag ang mga resulta.

Ang batas na ito ay ipinaliwanag namin (§ 59) bilang inilapat sa mga buong numero. Ito ay nananatiling totoo nang walang anumang pagbabago para sa mga fractional na numero.

Ipakita natin, sa katunayan, na ang pagkakapantay-pantay

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(ang distributive law of multiplication na may kinalaman sa karagdagan) ay nananatiling totoo kahit na ang mga titik ay nangangahulugan ng mga fractional na numero. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso.

1) Ipagpalagay muna na ang factor m ay isang integer, halimbawa m = 3 (a, b, c ay anumang mga numero). Ayon sa kahulugan ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang integer, maaaring magsulat (limitado para sa pagiging simple sa tatlong termino):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Sa batayan ng nag-uugnay na batas ng karagdagan, maaari nating alisin ang lahat ng mga bracket sa kanang bahagi; paglalapat ng commutative law ng karagdagan, at pagkatapos ay muli ang kumbinasyon ng batas, malinaw na maaari nating muling isulat ang kanang bahagi tulad ng sumusunod:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Samakatuwid, ang batas sa pamamahagi sa kasong ito ay nakumpirma.

Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng natural na numero

Mga Seksyon: Mathematics

T uri ng klase: ONZ (pagtuklas ng bagong kaalaman - ayon sa teknolohiya ng pamamaraan ng aktibidad ng pagtuturo).

1. Magbawas ng mga paraan ng paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero;
2. Upang mabuo ang kakayahang magsagawa ng paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero;
3. Ulitin at pagsama-samahin ang paghahati ng mga fraction;
4. Sanayin ang kakayahang bawasan ang mga fraction, pag-aralan at lutasin ang mga problema.

Materyal ng demo ng kagamitan:

1. Mga gawain para sa pag-update ng kaalaman:

2. Pagsubok (indibidwal) na gawain.

1. Magsagawa ng dibisyon:

2. Isagawa ang paghahati nang hindi ginagawa ang buong hanay ng mga kalkulasyon: .

• Kapag hinahati ang isang fraction sa isang natural na numero, maaari mong i-multiply ang denominator sa numerong ito, at iwanan ang numerator na pareho.

• Kung ang numerator ay nahahati sa isang natural na numero, kung gayon kapag hinahati ang isang fraction sa numerong ito, maaari mong hatiin ang numerator sa numero, at iwanan ang denominator na pareho.

I. Pagganyak (pagpapasya sa sarili) para sa mga aktibidad sa pag-aaral.

1. Ayusin ang aktuwalisasyon ng mga kinakailangan para sa mag-aaral sa bahagi ng mga aktibidad na pang-edukasyon ("kailangan");
2. Ayusin ang mga aktibidad ng mga mag-aaral upang magtatag ng isang temang balangkas ("Kaya ko");
3. Upang lumikha ng mga kondisyon para sa mag-aaral na magkaroon ng panloob na pangangailangan para sa pagsasama sa mga aktibidad na pang-edukasyon ("Gusto ko").

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto I.

Kamusta! Natutuwa akong makita kayong lahat sa math class. Sana mutual.

Guys, anong bagong kaalaman ang nakuha mo sa nakaraang aralin? (Hatiin ang mga fraction).

Tama. Ano ang tumutulong sa iyo na hatiin ang mga fraction? (Panuntunan, mga ari-arian).

Saan natin kailangan ang kaalamang ito? (Sa mga halimbawa, mga equation, mga gawain).

Magaling! Mahusay ang iyong ginawa sa huling aralin. Gusto mo bang tumuklas ng bagong kaalaman sa iyong sarili ngayon? (Oo).

Pagkatapos - pumunta! At ang motto ng aralin ay ang pahayag na "Hindi matututuhan ang matematika sa pamamagitan ng pagmamasid kung paano ito ginagawa ng iyong kapwa!".

II. Aktwalisasyon ng kaalaman at pag-aayos ng isang indibidwal na kahirapan sa isang pagsubok na aksyon.

1. Upang ayusin ang aktuwalisasyon ng mga pinag-aralan na pamamaraan ng pagkilos, sapat na upang makabuo ng bagong kaalaman. Ayusin ang mga pamamaraang ito sa salita (sa pagsasalita) at simbolikong (pamantayan) at gawing pangkalahatan ang mga ito;
2. Ayusin ang aktuwalisasyon ng mga operasyong pangkaisipan at mga prosesong nagbibigay-malay na sapat upang makabuo ng bagong kaalaman;
3. Mag-udyok para sa isang pagsubok na aksyon at ang independiyenteng pagpapatupad at pagbibigay-katwiran nito;
4. Magpakita ng indibidwal na gawain para sa isang pagsubok na aksyon at suriin ito upang matukoy ang bagong nilalamang pang-edukasyon;
5. Ayusin ang pag-aayos ng layuning pang-edukasyon at ang paksa ng aralin;
6. Ayusin ang pagpapatupad ng isang pagsubok na aksyon at pag-aayos ng kahirapan;
7. Ayusin ang pagsusuri ng mga natanggap na tugon at itala ang mga indibidwal na kahirapan sa pagsasagawa ng pagsubok na aksyon o pagbibigay-katwiran dito.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto II.

Sa harap, gamit ang mga tablet (mga indibidwal na board).

1. Paghambingin ang mga expression:

(Ang mga expression na ito ay pantay)

Anong mga kawili-wiling bagay ang napansin mo? (Ang numerator at denominator ng dibidendo, ang numerator at denominator ng divisor sa bawat expression ay tumaas ng parehong bilang ng beses. Kaya, ang mga dibidendo at divisors sa mga expression ay kinakatawan ng mga fraction na katumbas ng bawat isa).

Hanapin ang kahulugan ng expression at isulat ito sa tablet. (2)

Paano isulat ang numerong ito bilang isang fraction?

Paano mo ginawa ang aksyong paghahati? (Bibigkas ng mga bata ang panuntunan, ang guro ay nagsabit ng mga titik sa pisara)

2. Kalkulahin at itala lamang ang mga resulta:

3. Idagdag ang iyong mga resulta at isulat ang iyong sagot. (2)

Ano ang pangalan ng bilang na nakuha sa gawain 3? (Natural)

Sa tingin mo ba maaari mong hatiin ang isang fraction sa isang natural na numero? (Oo, susubukan namin)

Subukan mo ito.

4. Indibidwal (pagsubok) na gawain.

Gawin ang paghahati: (halimbawa a lamang)

Anong tuntunin ang ginamit mo sa paghahati? (Ayon sa tuntunin ng paghahati ng fraction sa fraction)

At ngayon hatiin ang fraction sa isang natural na numero sa mas simpleng paraan, nang hindi ginagawa ang buong chain ng mga kalkulasyon: (halimbawa b). Bibigyan kita ng 3 segundo para dito.

Sino ang hindi nakumpleto ang gawain sa loob ng 3 segundo?

Sino ang gumawa nito? (Walang ganyan)

Bakit? (Hindi namin alam ang daan)

Ano ang nakuha mo? (Kahirapan)

Ano sa tingin mo ang gagawin natin sa klase? (Hatiin ang mga fraction sa mga natural na numero)

Tama, buksan ang iyong mga kuwaderno at isulat ang paksa ng aralin na "Paghahati ng isang fraction sa natural na bilang."

Bakit parang bago ang paksang ito kung alam mo na kung paano hatiin ang mga fraction? (Kailangan ng bagong paraan)

Tama. Ngayon ay magtatatag tayo ng isang pamamaraan na nagpapasimple sa paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero.

III. Pagkilala sa lokasyon at sanhi ng kahirapan.

1. Ayusin ang pagpapanumbalik ng mga nakumpletong operasyon at ayusin (berbal at simbolikong) lugar - hakbang, operasyon, kung saan lumitaw ang kahirapan;
2. Upang ayusin ang ugnayan ng mga aksyon ng mga mag-aaral sa pamamaraan (algorithm) na ginamit at ang pag-aayos sa panlabas na pagsasalita ng sanhi ng kahirapan - ang mga tiyak na kaalaman, kasanayan o kakayahan na hindi sapat upang malutas ang paunang problema ng ganitong uri.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto III.

Anong gawain ang kailangan mong tapusin? (Hatiin ang isang fraction sa isang natural na numero nang hindi ginagawa ang buong hanay ng mga kalkulasyon)

Ano ang naging sanhi ng iyong kahirapan? (Hindi malutas sa maikling panahon sa mabilis na paraan)

Ano ang layunin ng ating aralin? (Maghanap ng mabilis na paraan upang hatiin ang isang fraction sa natural na numero)

Ano ang makakatulong sa iyo? (Alam na ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction)

IV. Konstruksyon ng proyekto ng isang exit mula sa kahirapan.

1. Paglilinaw ng layunin ng proyekto;
2. Pagpili ng paraan (paglilinaw);
3. Kahulugan ng paraan (algorithm);
4. Pagbuo ng isang plano upang makamit ang layunin.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto IV.

Balik tayo sa test case. Sinabi mo ba na hinati mo sa tuntunin ng paghahati ng mga fraction? (Oo)

Upang gawin ito, palitan ang isang natural na numero ng isang fraction? (Oo)

Anong (mga) hakbang sa tingin mo ang maaari mong laktawan?

(Bukas ang chain ng solusyon sa pisara:

Suriin at gumawa ng konklusyon. (Hakbang 1)

Kung walang sagot, ibubuod namin ang mga tanong:

Saan napunta ang natural divisor? (sa denominator)

Nagbago ba ang numerator? (Hindi)

Kaya anong hakbang ang maaaring "alisin"? (Hakbang 1)

• I-multiply ang denominator ng isang fraction sa isang natural na numero.
• Ang numerator ay hindi nagbabago.
• Kumuha kami ng bagong fraction.

V. Pagpapatupad ng itinayong proyekto.

1. Ayusin ang pakikipag-ugnayan sa komunikasyon upang maipatupad ang itinayong proyekto na naglalayong makuha ang nawawalang kaalaman;
2. Ayusin ang pag-aayos ng itinayong paraan ng pagkilos sa pagsasalita at mga palatandaan (sa tulong ng isang pamantayan);
3. Ayusin ang solusyon ng orihinal na problema at itala ang pagtagumpayan ng kahirapan;
4. Ayusin ang paglilinaw ng pangkalahatang katangian ng bagong kaalaman.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto V.

Ngayon patakbuhin ang test case sa bagong paraan nang mabilis.

Nagagawa mo na bang tapusin ang gawain nang mabilis ngayon? (Oo)

Ipaliwanag kung paano mo ito ginawa? (Nagsalita ang mga bata)

Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng bagong kaalaman: ang panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero.

Magaling! Sabihin ito nang magkapares.

Pagkatapos ay nagsasalita ang isang estudyante sa klase. Inaayos namin ang panuntunan-algorithm sa salita at sa anyo ng isang pamantayan sa pisara.

Ngayon ipasok ang mga pagtatalaga ng titik at isulat ang formula para sa aming panuntunan.

Ang mag-aaral ay nagsusulat sa pisara, binibigkas ang panuntunan: kapag hinahati ang isang fraction sa isang natural na numero, maaari mong i-multiply ang denominator sa numerong ito, at iwanan ang numerator na pareho.

(Isinulat ng lahat ang formula sa mga notebook).

At ngayon ay muling pag-aralan ang kadena ng paglutas ng pagsubok na gawain, na binibigyang pansin ang sagot. Anong ginawa nila? (Ang numerator ng fraction 15 ay hinati (binawasan) ng numero 3)

Ano ang numerong ito? (Natural, divisor)

Kaya paano mo pa mahahati ang isang fraction sa isang natural na numero? (Suriin: kung ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa natural na numerong ito, maaari mong hatiin ang numerator sa numerong ito, isulat ang resulta sa numerator ng bagong fraction, at iwanan ang denominator na pareho)

Isulat ang paraang ito sa anyo ng isang pormula. (Isusulat ng estudyante sa pisara ang panuntunan. Isusulat ng lahat ang formula sa mga notebook.)

Bumalik tayo sa unang paraan. Pwede ba kung a:n? (Oo, ito ang pangkalahatang paraan)

At kailan maginhawang gamitin ang pangalawang paraan? (Kapag ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa natural na bilang na walang natitira)

VI. Pangunahing pagsasama sa pagbigkas sa panlabas na pananalita.

1. Upang ayusin ang asimilasyon ng mga bata ng isang bagong paraan ng pagkilos kapag nilutas ang mga tipikal na problema sa kanilang pagbigkas sa panlabas na pagsasalita (harapan, sa mga pares o grupo).

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto VI.

Kalkulahin sa isang bagong paraan:

• No. 363 (a; d) - gumanap sa pisara, binibigkas ang panuntunan.
• No. 363 (d; f) - magkapares na may tseke sa sample.

VII. Independiyenteng trabaho na may self-test ayon sa pamantayan.

1. Upang ayusin ang independiyenteng pagtupad ng mga gawain ng mga mag-aaral para sa isang bagong paraan ng pagkilos;
2. Ayusin ang self-test batay sa paghahambing sa pamantayan;
3. Batay sa mga resulta ng independiyenteng gawain, ayusin ang isang pagmuni-muni sa asimilasyon ng isang bagong paraan ng pagkilos.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto VII.

Kalkulahin sa isang bagong paraan:

Sinusuri ng mga mag-aaral ang pamantayan, tandaan ang kawastuhan ng pagganap. Ang mga sanhi ng mga pagkakamali ay sinusuri at ang mga pagkakamali ay naitama.

Tanong ng guro sa mga estudyanteng nagkamali, ano ang dahilan?

Sa yugtong ito, mahalagang suriin ng bawat mag-aaral ang kanilang gawain.

Bago lutasin ang gawain 8) isaalang-alang ang isang halimbawa mula sa aklat-aralin:

IX. Pagninilay ng mga aktibidad sa pagkatuto sa silid-aralan.

1. Ayusin ang pagsasaayos ng bagong nilalamang natutunan sa aralin;
2. Ayusin ang isang mapanimdim na pagsusuri ng mga aktibidad na pang-edukasyon sa mga tuntunin ng pagtupad sa mga kinakailangan na alam ng mga mag-aaral;
3. Ayusin ang pagtatasa ng mga mag-aaral sa kanilang sariling mga gawain sa aralin;
4. Ayusin ang pagsasaayos ng hindi nalutas na mga paghihirap sa aralin bilang isang direksyon para sa mga aktibidad sa pag-aaral sa hinaharap;
5. Ayusin ang talakayan at pagtatala ng takdang-aralin.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto IX.

Guys, anong bagong kaalaman ang natuklasan mo ngayon? (Natutunan naming hatiin ang isang fraction sa natural na numero sa simpleng paraan)

Bumuo ng pangkalahatang paraan. (Sabi nila)

Sa anong paraan, at sa anong mga kaso maaari mo pa rin itong gamitin? (Sabi nila)

Ano ang bentahe ng bagong pamamaraan?

Naabot na ba natin ang ating layunin sa aralin? (Oo)

Anong kaalaman ang ginamit mo upang makamit ang layunin? (Sabi nila)

Nagtagumpay ka na ba?

Ano ang mga kahirapan?

§ 87. Pagdaragdag ng mga fraction.

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may maraming pagkakatulad sa pagdaragdag ng mga integer. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay isang aksyon na binubuo sa katotohanan na ang ilang ibinigay na mga numero (mga termino) ay pinagsama sa isang numero (kabuuan), na naglalaman ng lahat ng mga yunit at mga fraction ng mga yunit ng mga termino.

Isasaalang-alang namin ang tatlong mga kaso nang magkakasunod:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 1 / 5 + 2 / 5 .

Kunin ang segment AB (Larawan 17), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 5 pantay na bahagi, kung gayon ang bahagi ng AC ng segment na ito ay magiging katumbas ng 1/5 ng segment AB, at ang bahagi ng parehong segment na CD ay magiging katumbas ng 2/5 AB.

Makikita mula sa pagguhit na kung kukunin natin ang segment na AD, kung gayon ito ay magiging katumbas ng 3/5 AB; ngunit ang segment AD ay tiyak na kabuuan ng mga segment na AC at CD. Kaya, maaari tayong sumulat:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Isinasaalang-alang ang mga terminong ito at ang nagresultang halaga, nakikita natin na ang numerator ng kabuuan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numerator ng mga termino, at ang denominator ay nanatiling hindi nagbabago.

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, dapat mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.

Magdagdag tayo ng mga fraction: 3/4 + 3/8 Una kailangan nilang bawasan sa pinakamababang common denominator:

Ang intermediate link 6/8 + 3/8 ay hindi maaaring naisulat; isinulat namin ito dito para sa higit na kalinawan.

Kaya, upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamababang common denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at lagdaan ang common denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa (magsusulat kami ng mga karagdagang salik sa mga katumbas na fraction):

3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

Idagdag natin ang mga numero: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Dalhin muna natin ang mga fractional na bahagi ng ating mga numero sa isang common denominator at muling isulat ang mga ito:

Ngayon idagdag ang integer at fractional na mga bahagi sa pagkakasunud-sunod:

§ 88. Pagbabawas ng mga fraction.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagbabawas ng mga buong numero. Ito ay isang aksyon kung saan, dahil sa kabuuan ng dalawang termino at isa sa mga ito, isa pang termino ang matatagpuan. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso nang magkakasunod:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

13 / 15 - 4 / 15

Kunin natin ang segment na AB (Larawan 18), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 15 pantay na bahagi; pagkatapos ay ang AC na bahagi ng segment na ito ay magiging 1/15 ng AB, at ang AD na bahagi ng parehong segment ay tumutugma sa 13/15 AB. Itabi natin ang isa pang segment na ED, katumbas ng 4/15 AB.

Kailangan nating ibawas ang 4/15 sa 13/15. Sa pagguhit, nangangahulugan ito na ang segment na ED ay dapat ibawas sa segment na AD. Bilang resulta, mananatili ang segment na AE, na 9/15 ng segment AB. Kaya maaari tayong sumulat:

Ang halimbawang ginawa namin ay nagpapakita na ang numerator ng pagkakaiba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga numerator, at ang denominator ay nanatiling pareho.

Samakatuwid, upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator.

2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.

Halimbawa. 3/4 - 5/8

Una, bawasan natin ang mga fraction na ito sa pinakamaliit na common denominator:

Ang intermediate link 6 / 8 - 5 / 8 ay nakasulat dito para sa kalinawan, ngunit maaari itong laktawan sa hinaharap.

Kaya, upang ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamaliit na common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

Halimbawa. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dalhin natin ang mga fractional na bahagi ng minuend at ang subtrahend sa pinakamababang common denominator:

Nagbawas kami ng isang buo sa isang buo at isang fraction sa isang fraction. Ngunit may mga kaso kapag ang fractional na bahagi ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fractional na bahagi ng minuend. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong kumuha ng isang yunit mula sa integer na bahagi ng pinababa, hatiin ito sa mga bahagi kung saan ipinahayag ang fractional na bahagi, at idagdag sa fractional na bahagi ng binawasan. At pagkatapos ang pagbabawas ay isasagawa sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang halimbawa:

§ 89. Pagpaparami ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang multiplikasyon ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.
2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero.
3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction.
5. Pagpaparami ng magkahalong numero.
6. Ang konsepto ng interes.
7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero. Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.

Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay may parehong kahulugan sa pagpaparami ng isang integer sa isang integer. Ang pagpaparami ng fraction (multiplicand) sa isang integer (multiplier) ay nangangahulugan ng pagbubuo ng kabuuan ng magkaparehong termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplicand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.

Kaya, kung kailangan mong i-multiply ang 1/9 sa 7, maaari itong gawin tulad nito:

Madali naming nakuha ang resulta, dahil ang aksyon ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Kaya naman,

Ang pagsasaalang-alang sa pagkilos na ito ay nagpapakita na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay katumbas ng pagtaas ng fraction na ito nang kasing dami ng mga unit sa integer. At dahil ang pagtaas sa fraction ay nakakamit alinman sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator nito

o sa pamamagitan ng pagpapababa ng denominator nito , pagkatapos ay maaari nating i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng integer, o hatiin ang denominator nito, kung posible ang gayong dibisyon.

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong i-multiply ang numerator sa integer na ito at iwanan ang parehong denominator o, kung maaari, hatiin ang denominator sa numerong ito, na iniiwan ang numerator na hindi nagbabago.

Kapag nagpaparami, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero. Mayroong maraming mga problema kung saan kailangan mong hanapin, o kalkulahin, ang isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga gawaing ito at iba pa ay binibigyan nila ang bilang ng ilang mga bagay o yunit ng pagsukat at kailangan mong hanapin ang isang bahagi ng numerong ito, na ipinahiwatig din dito ng isang tiyak na bahagi. Upang mapadali ang pag-unawa, magbibigay muna kami ng mga halimbawa ng gayong mga problema, at pagkatapos ay ipakilala ang paraan ng paglutas ng mga ito.

Gawain 1. Mayroon akong 60 rubles; 1 / 3 nitong perang ginastos ko sa pagbili ng mga libro. Magkano ang halaga ng mga libro?

Gawain 2. Dapat saklawin ng tren ang distansya sa pagitan ng mga lungsod A at B, katumbas ng 300 km. Nasaklaw na niya ang 2/3 ng distansyang iyon. Ilang kilometro ito?

Gawain 3. Mayroong 400 na bahay sa nayon, 3/4 ng mga ito ay ladrilyo, ang iba ay kahoy. Ilang brick house ang mayroon?

Narito ang ilan sa maraming problema na kailangan nating harapin upang makahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga problema para sa paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero.

Solusyon sa problema 1. Mula sa 60 rubles. Gumastos ako ng 1 / 3 sa mga libro; Kaya, upang mahanap ang halaga ng mga libro, kailangan mong hatiin ang numero 60 sa 3:

Problema 2 solusyon. Ang kahulugan ng problema ay kailangan mong makahanap ng 2 / 3 ng 300 km. Kalkulahin ang unang 1/3 ng 300; ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paghahati ng 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (1/3 iyon ng 300).

Upang makahanap ng dalawang-katlo ng 300, kailangan mong i-double ang resultang quotient, iyon ay, i-multiply sa 2:

100 x 2 = 200 (2/3 iyon ng 300).

Solusyon sa problema 3. Dito kailangan mong matukoy ang bilang ng mga brick house, na 3/4 ng 400. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 400,

400: 4 = 100 (1/4 iyon ng 400).

Upang makalkula ang tatlong quarter ng 400, ang resultang quotient ay dapat na triple, iyon ay, i-multiply sa 3:

100 x 3 = 300 (3/4 iyon ng 400).

Batay sa solusyon ng mga problemang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na panuntunan:

Upang mahanap ang halaga ng isang fraction ng isang naibigay na numero, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa denominator ng fraction at i-multiply ang resultang quotient sa numerator nito.

3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.

Mas maaga (§ 26) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng mga integer ay dapat na maunawaan bilang ang pagdaragdag ng magkaparehong mga termino (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Sa talatang ito (talata 1) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino na katumbas ng fraction na ito.

Sa parehong mga kaso, ang multiplikasyon ay binubuo sa paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino.

Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction. Dito ay makikilala natin ang tulad, halimbawa, pagpaparami: 9 2 / 3. Ito ay lubos na halata na ang nakaraang kahulugan ng multiplikasyon ay hindi naaangkop sa kasong ito. Ito ay maliwanag sa katotohanan na hindi natin mapapalitan ang naturang multiplikasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pantay na mga numero.

Dahil dito, kailangan nating magbigay ng bagong kahulugan ng multiplikasyon, ibig sabihin, sa madaling salita, upang masagot ang tanong kung ano ang dapat na maunawaan ng multiplikasyon sa isang fraction, kung paano dapat maunawaan ang pagkilos na ito.

Ang kahulugan ng pagpaparami ng integer sa isang fraction ay malinaw mula sa sumusunod na kahulugan: upang i-multiply ang isang integer (multiplier) sa isang fraction (multiplier) ay nangangahulugan na mahanap ang fraction na ito ng multiplier.

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 9 sa 2/3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 2/3 ng siyam na yunit. Sa nakaraang talata, nalutas ang mga naturang problema; kaya madaling malaman na napupunta tayo sa 6.

Ngunit ngayon ang isang kawili-wili at mahalagang tanong ay lumitaw: bakit ang mga tila magkakaibang mga aksyon tulad ng paghahanap ng kabuuan ng pantay na mga numero at paghahanap ng bahagi ng isang numero ay tinatawag na parehong salitang "multiplikasyon" sa aritmetika?

Nangyayari ito dahil ang nakaraang aksyon (pag-uulit ng numero na may mga termino nang maraming beses) at ang bagong aksyon (paghahanap ng fraction ng isang numero) ay nagbibigay ng sagot sa mga homogenous na tanong. Nangangahulugan ito na nagpapatuloy tayo dito mula sa mga pagsasaalang-alang na ang mga homogenous na tanong o gawain ay nalutas sa pamamagitan ng isa at parehong aksyon.

Upang maunawaan ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (4), i.e. 50 x 4 = 200 (rubles).

Kunin natin ang parehong problema, ngunit sa loob nito ang halaga ng tela ay ipapahayag bilang isang fractional na numero: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 3/4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay kailangan ding lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng metro (3/4).

Maaari mo ring baguhin ang mga numero sa loob nito nang maraming beses nang hindi binabago ang kahulugan ng problema, halimbawa, kumuha ng 9/10 m o 2 3/10 m, atbp.

Dahil ang mga problemang ito ay may parehong nilalaman at naiiba lamang sa mga numero, tinatawag namin ang mga aksyon na ginamit sa paglutas sa kanila ng parehong salita - multiplikasyon.

Paano na-multiply ang isang buong bilang sa isang fraction?

Kunin natin ang mga numerong nakatagpo sa huling problema:

Ayon sa kahulugan, dapat nating hanapin ang 3 / 4 ng 50. Una ay makikita natin ang 1 / 4 ng 50, at pagkatapos ay 3 / 4.

1/4 ng 50 ay 50/4;

3/4 ng 50 ay .

Kaya naman.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 12 5 / 8 = ?

1/8 ng 12 ay 12/8,

Ang 5/8 ng bilang na 12 ay .

Kaya naman,

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer sa numerator ng fraction at gawing numerator ang produktong ito, at lagdaan ang denominator ng ibinigay na fraction bilang denominator.

Isinulat namin ang panuntunang ito gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa pagpaparami ng numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38

Dapat tandaan na bago magsagawa ng multiplikasyon, dapat mong gawin (kung maaari) mga hiwa, Halimbawa:

4. Pagpaparami ng fraction sa fraction. Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay may parehong kahulugan tulad ng pagpaparami ng isang integer sa isang fraction, iyon ay, kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, kailangan mong hanapin ang fraction sa multiplier mula sa unang fraction (multiplier).

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 3/4 sa 1/2 (kalahati) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahati ng 3/4.

Paano mo i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?

Kumuha tayo ng isang halimbawa: 3/4 beses 5/7. Nangangahulugan ito na kailangan mong hanapin ang 5 / 7 mula sa 3 / 4 . Hanapin ang unang 1/7 ng 3/4 at pagkatapos ay 5/7

Ang 1/7 ng 3/4 ay ipapahayag nang ganito:

Ang 5 / 7 na mga numero 3 / 4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:

kaya,

Isa pang halimbawa: 5/8 beses 4/9.

1/9 ng 5/8 ay ,

4/9 bilang 5/8 ay .

kaya,

Mula sa mga halimbawang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawang produkto ang denominator ng produkto.

Ang panuntunang ito ay maaaring isulat sa pangkalahatan tulad ng sumusunod:

Kapag nagpaparami, kinakailangan na gumawa (kung maaari) mga pagbawas. Isaalang-alang ang mga halimbawa:

5. Pagpaparami ng magkahalong numero. Dahil ang mga pinaghalong numero ay madaling mapapalitan ng mga hindi wastong fraction, ang sitwasyong ito ay karaniwang ginagamit kapag nagpaparami ng mga pinaghalong numero. Nangangahulugan ito na sa mga kasong iyon kung saan ang multiplicand, o ang multiplier, o ang parehong mga salik ay ipinahayag bilang halo-halong mga numero, pagkatapos ay papalitan sila ng mga hindi wastong fraction. Multiply, halimbawa, mixed number: 2 1/2 at 3 1/5. Ginagawa namin ang bawat isa sa kanila sa isang hindi wastong fraction at pagkatapos ay i-multiply namin ang mga resultang fraction ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction:

Panuntunan. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction.

Tandaan. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay isang integer, kung gayon ang pagpaparami ay maaaring isagawa batay sa batas ng pamamahagi tulad ng sumusunod:

6. Ang konsepto ng interes. Kapag nilulutas ang mga problema at kapag nagsasagawa ng iba't ibang praktikal na kalkulasyon, ginagamit namin ang lahat ng uri ng mga fraction. Ngunit dapat isaisip ng isang tao na maraming dami ang umamin hindi anuman, ngunit natural na mga subdibisyon para sa kanila. Halimbawa, maaari kang kumuha ng isang daan (1/100) ng isang ruble, ito ay magiging isang sentimos, dalawang daan ay 2 kopecks, tatlong daan ay 3 kopecks. Maaari kang kumuha ng 1/10 ng ruble, ito ay magiging "10 kopecks, o isang dime. Maaari kang kumuha ng isang-kapat ng ruble, i.e. 25 kopecks, kalahating ruble, i.e. 50 kopecks (limampung kopecks). Ngunit sila ay halos don. 't kumuha, halimbawa, 2/7 rubles dahil ang ruble ay hindi nahahati sa ikapitong bahagi.

Ang yunit ng pagsukat para sa timbang, ibig sabihin, ang kilo, ay nagbibigay-daan, una sa lahat, ng mga decimal subdivision, halimbawa, 1/10 kg, o 100 g. At ang mga fraction ng isang kilo bilang 1/6, 1/11, 1/ 13 ay hindi karaniwan.

Sa pangkalahatan ang aming (metric) na mga sukat ay decimal at pinapayagan ang mga decimal subdivision.

Gayunpaman, dapat tandaan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at maginhawa sa isang malawak na iba't ibang mga kaso upang gamitin ang parehong (unipormeng) paraan ng subdividing dami. Ipinakita ng maraming taon ng karanasan na ang gayong mahusay na katwiran na dibisyon ay ang "daan-daang" dibisyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa na nauugnay sa mga pinaka-magkakaibang lugar ng kasanayan ng tao.

1. Ang presyo ng mga aklat ay bumaba ng 12/100 ng nakaraang presyo.

Halimbawa. Ang nakaraang presyo ng libro ay 10 rubles. Bumaba siya ng 1 ruble. 20 kop.

2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa taon sa mga depositor ng 2/100 ng halaga na inilalagay sa mga ipon.

Halimbawa. Ang 500 rubles ay inilalagay sa cash desk, ang kita mula sa halagang ito para sa taon ay 10 rubles.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5/100 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral.

HALIMBAWA 1,200 na estudyante lamang ang nag-aral sa paaralan, 60 sa kanila ang nagtapos sa paaralan.

Ang ikadaan ng isang numero ay tinatawag na porsyento..

Ang salitang "porsiyento" ay hiniram mula sa wikang Latin at ang salitang "sentimo" ay nangangahulugang isang daan. Kasama ng pang-ukol (pro centum), ang salitang ito ay nangangahulugang "para sa isang daan." Ang kahulugan ng pananalitang ito ay sumusunod sa katotohanan na sa una sa sinaunang interes ng Roma ay ang pera na binayaran ng may utang sa nagpapahiram "para sa bawat daan." Ang salitang "sentimo" ay naririnig sa mga pamilyar na salita: centner (isang daang kilo), sentimetro (sabi nila centimeter).

Halimbawa, sa halip na sabihin na ang halaman ay gumawa ng 1/100 ng lahat ng mga produkto na ginawa nito noong nakaraang buwan, sasabihin namin ito: ang halaman ay gumawa ng isang porsyento ng mga pagtanggi noong nakaraang buwan. Sa halip na sabihin: ang halaman ay gumawa ng 4/100 higit pang mga produkto kaysa sa itinatag na plano, sasabihin natin: ang planta ay lumampas sa plano ng 4 na porsyento.

Ang mga halimbawa sa itaas ay maaaring ipahayag nang iba:

1. Bumaba ng 12 porsiyento ang presyo ng mga libro sa nakaraang presyo.

2. Binabayaran ng mga savings bank ang mga nagdedeposito ng 2 porsiyento bawat taon ng halagang inilalagay sa mga ipon.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5 porsiyento ng bilang ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan.

Upang paikliin ang titik, kaugalian na isulat ang% sign sa halip na ang salitang "porsiyento".

Gayunpaman, dapat tandaan na ang % sign ay karaniwang hindi nakasulat sa mga kalkulasyon, maaari itong isulat sa pahayag ng problema at sa huling resulta. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, kailangan mong magsulat ng isang fraction na may denominator na 100 sa halip na isang integer na may icon na ito.

Kailangan mong mapalitan ang isang integer ng tinukoy na icon na may isang fraction na may denominator na 100:

Sa kabaligtaran, kailangan mong masanay sa pagsulat ng isang integer na may ipinahiwatig na icon sa halip na isang fraction na may denominator na 100:

7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero.

Gawain 1. Nakatanggap ang paaralan ng 200 cubic meters. m ng kahoy na panggatong, na may birch na panggatong na accounting para sa 30%. Magkano ang kahoy na birch doon?

Ang kahulugan ng problemang ito ay ang birch na panggatong ay bahagi lamang ng kahoy na panggatong na inihatid sa paaralan, at ang bahaging ito ay ipinahayag bilang isang bahagi ng 30 / 100. Kaya, nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng isang bahagi ng isang numero. Upang malutas ito, dapat nating i-multiply ang 200 sa 30 / 100 (ang mga gawain para sa paghahanap ng fraction ng isang numero ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng numero sa isang fraction.).

Kaya 30% ng 200 ay katumbas ng 60.

Ang fraction na 30 / 100 na nakatagpo sa problemang ito ay maaaring bawasan ng 10. Posibleng maisagawa ang pagbawas na ito sa simula pa lamang; hindi magbabago ang solusyon sa problema.

Gawain 2. Mayroong 300 bata sa iba't ibang edad sa kampo. Ang mga batang may edad na 11 ay 21%, ang mga batang may edad na 12 ay 61% at sa wakas ay 13 taong gulang ay 18%. Ilang bata sa bawat edad ang nasa kampo?

Sa problemang ito, kailangan mong magsagawa ng tatlong mga kalkulasyon, iyon ay, sunud-sunod na hanapin ang bilang ng mga bata 11 taong gulang, pagkatapos ay 12 taong gulang, at sa wakas ay 13 taong gulang.

Kaya, dito ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang bahagi ng isang numero ng tatlong beses. Gawin natin:

1) Ilang bata ang 11 taong gulang?

2) Ilang bata ang 12 taong gulang?

3) Ilang bata ang 13 taong gulang?

Pagkatapos malutas ang problema, ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang mga numero na natagpuan; ang kanilang kabuuan ay dapat na 300:

63 + 183 + 54 = 300

Dapat mo ring bigyang pansin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga porsyento na ibinigay sa kondisyon ng problema ay 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ito ay nagpapahiwatig na ang kabuuang bilang ng mga bata sa kampo ay kinuha bilang 100%.

3 at cha 3. Nakatanggap ang manggagawa ng 1,200 rubles bawat buwan. Sa mga ito, gumastos siya ng 65% sa pagkain, 6% sa isang apartment at heating, 4% sa gas, kuryente at radyo, 10% sa mga pangangailangang pangkultura at 15% ang kanyang naipon. Gaano karaming pera ang ginugol sa mga pangangailangan na ipinahiwatig sa gawain?

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maghanap ng isang bahagi ng bilang na 1,200 5 beses. Gawin natin ito.

1) Magkano ang ginagastos sa pagkain? Sinasabi ng gawain na ang gastos na ito ay 65% ​​ng lahat ng kita, ibig sabihin, 65/100 ng bilang na 1,200. Gawin natin ang pagkalkula:

2) Magkano ang binayaran para sa isang apartment na may heating? Ang pagtatalo tulad ng nauna, nakarating tayo sa sumusunod na kalkulasyon:

3) Magkano ang perang binayaran mo para sa gas, kuryente at radyo?

4) Magkano ang perang ginagastos sa mga pangangailangang pangkultura?

5) Magkano ang naipon ng manggagawa?

Para sa pag-verify, kapaki-pakinabang na idagdag ang mga numerong makikita sa 5 tanong na ito. Ang halaga ay dapat na 1,200 rubles. Ang lahat ng mga kita ay kinukuha bilang 100%, na madaling suriin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema.

Tatlong problema ang nalutas namin. Sa kabila ng katotohanan na ang mga gawaing ito ay tungkol sa iba't ibang bagay (paghahatid ng kahoy na panggatong para sa paaralan, ang bilang ng mga bata na may iba't ibang edad, ang mga gastos ng manggagawa), nalutas ang mga ito sa parehong paraan. Nangyari ito dahil sa lahat ng mga gawain ay kailangang maghanap ng ilang porsyento ng mga ibinigay na numero.

§ 90. Dibisyon ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang paghahati ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer
3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.
4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.

Gaya ng ipinahiwatig sa seksyon ng mga integer, ang paghahati ay ang aksyon na binubuo sa katotohanan na, dahil sa produkto ng dalawang salik (ang dibidendo) at isa sa mga salik na ito (ang divisor), isa pang salik ang natagpuan.

Ang paghahati ng isang integer sa pamamagitan ng isang integer na aming isinasaalang-alang sa departamento ng mga integer. Nakilala namin doon ang dalawang kaso ng paghahati: paghahati nang walang nalalabi, o "buong" (150: 10 = 15), at paghahati na may natitira (100: 9 = 11 at 1 sa natitira). Kaya't maaari nating sabihin na sa larangan ng mga integer, ang eksaktong paghahati ay hindi palaging posible, dahil ang dibidendo ay hindi palaging produkto ng divisor at ng integer. Pagkatapos ng pagpapakilala ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang fraction, maaari naming isaalang-alang ang anumang kaso ng paghahati ng mga integer hangga't maaari (tanging dibisyon sa pamamagitan ng zero ang hindi kasama).

Halimbawa, ang paghahati ng 7 sa 12 ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na ang produkto ay 12 ay magiging 7. Ang numerong ito ay ang fraction na 7/12 dahil 7/12 12 = 7. Isa pang halimbawa: 14: 25 = 14/25 dahil 14/25 25 = 14.

Kaya, upang hatiin ang isang integer sa isang integer, kailangan mong gumawa ng isang fraction, ang numerator nito ay katumbas ng dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer.

Hatiin ang fraction na 6 / 7 sa 3. Ayon sa kahulugan ng paghahati na ibinigay sa itaas, mayroon tayo dito ang produkto (6 / 7) at isa sa mga kadahilanan (3); kinakailangan na makahanap ng pangalawang salik na, kapag pinarami ng 3, ay magbibigay sa ibinigay na produkto ng 6/7. Malinaw, ito ay dapat na tatlong beses na mas maliit kaysa sa produktong ito. Nangangahulugan ito na ang gawaing itinakda sa harap natin ay bawasan ang fraction ng 6/7 ng 3 beses.

Alam na natin na ang pagbabawas ng isang fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapababa ng numerator nito o sa pamamagitan ng pagtaas ng denominator nito. Samakatuwid, maaari kang sumulat:

Sa kasong ito, ang numerator 6 ay nahahati sa 3, kaya ang numerator ay dapat bawasan ng 3 beses.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa: 5 / 8 na hinati sa 2. Dito ang numerator 5 ay hindi nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang denominator ay kailangang i-multiply sa numerong ito:

Batay dito, maaari nating sabihin ang panuntunan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa pamamagitan ng integer na iyon(kung maaari), iiwan ang parehong denominator, o i-multiply ang denominator ng fraction sa numerong ito, na iniiwan ang parehong numerator.

3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 5 sa 1/2, ibig sabihin, humanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 1/2, ay magbibigay sa produkto ng 5. Malinaw, ang bilang na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa 5, dahil ang 1/2 ay isang wastong fraction, at kapag nagpaparami ng isang numero sa isang wastong fraction, ang produkto ay dapat na mas mababa kaysa sa multiplicand. Upang maging mas malinaw, isulat natin ang ating mga aksyon tulad ng sumusunod: 5: 1 / 2 = X , kaya x 1 / 2 \u003d 5.

Kailangan nating makahanap ng ganoong numero X , na, kapag pinarami ng 1/2, ay magbibigay ng 5. Dahil ang pagpaparami ng isang tiyak na numero sa 1/2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 1/2 ng numerong ito, kung gayon, 1/2 ng hindi kilalang numero X ay 5, at ang buong bilang X dalawang beses na mas marami, i.e. 5 2 \u003d 10.

Kaya 5: 1/2 = 5 2 = 10

Suriin natin:

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 6 sa 2 / 3 . Subukan muna nating hanapin ang nais na resulta gamit ang pagguhit (Larawan 19).

Fig.19

Gumuhit ng segment AB, katumbas ng 6 ng ilang unit, at hatiin ang bawat unit sa 3 pantay na bahagi. Sa bawat unit, ang tatlong-katlo (3 / 3) sa buong segment AB ay 6 na beses na mas malaki, i.e. e. 18/3. Kumonekta kami sa tulong ng mga maliliit na bracket 18 nakuha na mga segment ng 2; Magkakaroon lamang ng 9 na mga segment. Nangangahulugan ito na ang fraction na 2/3 ay nakapaloob sa b units ng 9 na beses, o, sa madaling salita, ang fraction na 2/3 ay 9 na beses na mas mababa sa 6 integer units. Kaya naman,

Paano makukuha ang resultang ito nang walang pagguhit gamit lamang ang mga kalkulasyon? Magtatalo tayo bilang mga sumusunod: kinakailangang hatiin ang 6 sa 2 / 3, ibig sabihin, kinakailangang sagutin ang tanong, kung gaano karaming beses ang 2 / 3 ay nakapaloob sa 6. Alamin muna natin: kung gaano karaming beses ang 1 / 3 nakapaloob sa 6? Sa isang buong unit - 3 thirds, at sa 6 units - 6 na beses pa, i.e. 18 thirds; upang mahanap ang numerong ito, dapat nating i-multiply ang 6 sa 3. Kaya, ang 1/3 ay nakapaloob sa b unit ng 18 beses, at ang 2/3 ay nasa b unit hindi 18 beses, ngunit kalahati ng maraming beses, i.e. 18: 2 = 9 Samakatuwid , kapag hinahati ang 6 sa 2 / 3 ginawa namin ang sumusunod:

Mula dito nakuha namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang integer sa isang fraction. Upang hatiin ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na ito sa denominator ng ibinigay na fraction at, gawin itong numerator, hatiin ito sa numerator ng ibinigay na fraction.

Sinusulat namin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38. Tandaan na ang parehong formula ay nakuha doon.

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 3/4 sa 3/8. Ano ang magsasaad ng bilang na makukuha bilang resulta ng paghahati? Sasagutin nito ang tanong kung gaano karaming beses ang fraction 3/8 ay nakapaloob sa fraction 3/4. Upang maunawaan ang isyung ito, gumawa tayo ng pagguhit (Larawan 20).

Kunin ang segment na AB, kunin ito bilang isang yunit, hatiin ito sa 4 pantay na bahagi at markahan ang 3 tulad ng mga bahagi. Ang Segment AC ay magiging katumbas ng 3/4 ng segment AB. Hatiin natin ngayon ang bawat isa sa apat na unang segment sa kalahati, pagkatapos ay ang segment AB ay hahatiin sa 8 pantay na bahagi at ang bawat bahagi ay magiging katumbas ng 1/8 ng segment AB. Ikinonekta namin ang 3 tulad ng mga segment na may mga arko, pagkatapos ang bawat isa sa mga segment na AD at DC ay magiging katumbas ng 3/8 ng segment AB. Ipinapakita ng drawing na ang segment na katumbas ng 3/8 ay nakapaloob sa segment na katumbas ng 3/4 nang eksakto 2 beses; Kaya ang resulta ng dibisyon ay maaaring isulat tulad nito:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 15/16 sa 3/32:

Maaari tayong mangatuwiran nang ganito: kailangan nating maghanap ng numero na, pagkatapos na i-multiply sa 3/32, ay magbibigay ng produkto na katumbas ng 15/16. Isulat natin ang mga kalkulasyon tulad nito:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 hindi kilalang numero X gumawa ng 15/16

1/32 hindi kilalang numero X ay ,

32 / 32 na mga numero X magkasundo .

Kaya naman,

Kaya, upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa ang denominator.

Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.

Kapag hinahati ang mga pinaghalong numero, dapat munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, at pagkatapos ay ang mga resultang fraction ay dapat hatiin ayon sa mga patakaran para sa paghahati ng mga fractional na numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:

Ngayon, hatiin natin:

Kaya, upang hatiin ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay hatiin ayon sa panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.

6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.

Kabilang sa iba't ibang mga gawain sa mga fraction, minsan may mga kung saan ang halaga ng ilang fraction ng isang hindi kilalang numero ay ibinibigay at kinakailangan upang mahanap ang numerong ito. Ang ganitong uri ng problema ay magiging kabaligtaran sa problema ng paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero; mayroong isang numero na ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang ilang bahagi ng numerong ito, dito isang fraction ng isang numero ay ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito mismo. Ang ideyang ito ay magiging mas malinaw kung babaling tayo sa solusyon sa ganitong uri ng problema.

Gawain 1. Sa unang araw, pinakinang ng mga glazier ang 50 bintana, na 1/3 ng lahat ng bintana ng itinayong bahay. Ilang bintana ang nasa bahay na ito?

Desisyon. Sinasabi ng problema na ang 50 glazed windows ay bumubuo sa 1/3 ng lahat ng mga bintana ng bahay, na nangangahulugang mayroong 3 beses na higit pang mga bintana sa kabuuan, i.e.

Ang bahay ay may 150 na bintana.

Gawain 2. Nagbenta ang tindahan ng 1,500 kg ng harina, na 3/8 ng kabuuang stock ng harina sa tindahan. Ano ang unang supply ng harina sa tindahan?

Desisyon. Makikita sa kalagayan ng problema na ang nabentang 1,500 kg ng harina ay bumubuo sa 3/8 ng kabuuang stock; nangangahulugan ito na ang 1/8 ng stock na ito ay magiging 3 beses na mas mababa, ibig sabihin, upang makalkula ito, kailangan mong bawasan ang 1500 ng 3 beses:

1,500: 3 = 500 (1/8 iyon ng stock).

Malinaw, ang buong stock ay magiging 8 beses na mas malaki. Kaya naman,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Ang unang supply ng harina sa tindahan ay 4,000 kg.

Mula sa pagsasaalang-alang ng problemang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin.

Upang mahanap ang isang numero sa isang ibinigay na halaga ng fraction nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa numerator ng fraction at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction.

Nalutas namin ang dalawang problema sa paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito. Ang ganitong mga problema, dahil ito ay lalo na nakikita mula sa huli, ay nalutas sa pamamagitan ng dalawang aksyon: paghahati (kapag ang isang bahagi ay natagpuan) at pagpaparami (kapag ang buong bilang ay natagpuan).

Gayunpaman, pagkatapos nating pag-aralan ang paghahati ng mga fraction, ang mga problema sa itaas ay maaaring malutas sa isang aksyon, katulad: paghahati sa isang fraction.

Halimbawa, ang huling gawain ay maaaring malutas sa isang aksyon tulad nito:

Sa hinaharap, malulutas namin ang problema sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng fraction nito sa isang aksyon - dibisyon.

7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Sa mga gawaing ito, kakailanganin mong maghanap ng numero, alam ang ilang porsyento ng numerong ito.

Gawain 1. Sa simula ng taong ito, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa savings bank. kita mula sa halagang inilagay ko sa ipon noong isang taon. Magkano pera ang inilagay ko sa savings bank? (Ang mga tanggapan ng pera ay nagbibigay sa mga deposito ng 2% ng kita bawat taon.)

Ang kahulugan ng problema ay ang isang tiyak na halaga ng pera ay inilagay ko sa isang savings bank at nakahiga doon sa loob ng isang taon. Pagkaraan ng isang taon, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa kanya. kita, which is 2/100 of the money I put in. Magkano pera ang aking idineposito?

Samakatuwid, ang pag-alam sa bahagi ng perang ito, na ipinahayag sa dalawang paraan (sa rubles at sa mga praksyon), dapat nating hanapin ang kabuuan, na hindi pa alam, halaga. Ito ay isang ordinaryong problema ng paghahanap ng isang numero dahil sa fraction nito. Ang mga sumusunod na gawain ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, 3,000 rubles ang inilagay sa savings bank.

Gawain 2. Sa loob ng dalawang linggo, natupad ng mga mangingisda ang buwanang plano ng 64%, na nakapaghanda ng 512 toneladang isda. Ano ang kanilang plano?

Mula sa kalagayan ng problema, nabatid na natapos ng mga mangingisda ang bahagi ng plano. Ang bahaging ito ay katumbas ng 512 tonelada, na 64% ng plano. Ilang toneladang isda ang kailangang anihin ayon sa plano, hindi natin alam. Ang solusyon sa problema ay binubuo sa paghahanap ng numerong ito.

Ang ganitong mga gawain ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, ayon sa plano, kailangan mong maghanda ng 800 toneladang isda.

Gawain 3. Ang tren ay nagmula sa Riga hanggang Moscow. Nang malagpasan niya ang ika-276 na kilometro, tinanong ng isa sa mga pasahero ang dumaan na konduktor kung gaano na ba katagal ang biyahe nila. Sumagot dito ang konduktor: "Nasakyan na namin ang 30% ng buong paglalakbay." Ano ang distansya mula Riga hanggang Moscow?

Makikita mula sa kondisyon ng problema na ang 30% ng paglalakbay mula Riga hanggang Moscow ay 276 km. Kailangan nating hanapin ang buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito, ibig sabihin, para sa bahaging ito, hanapin ang kabuuan:

§ 91. Mga katumbas na numero. Ang pagpapalit ng dibisyon ng multiplikasyon.

Kunin ang fraction 2/3 at muling ayusin ang numerator sa lugar ng denominator, makakakuha tayo ng 3/2. Nakakuha kami ng isang fraction, ang kapalit ng isang ito.

Upang makakuha ng isang fraction reciprocal ng isang naibigay na isa, kailangan mong ilagay ang numerator nito sa lugar ng denominator, at ang denominator sa lugar ng numerator. Sa ganitong paraan, makakakuha tayo ng fraction na katumbas ng anumang fraction. Halimbawa:

3 / 4 , baligtad 4 / 3 ; 5 / 6 , baligtad 6 / 5

Dalawang fraction na may katangian na ang numerator ng una ay ang denominator ng pangalawa at ang denominator ng una ay ang numerator ng pangalawa ay tinatawag magkabaligtaran.

Ngayon isipin natin kung anong fraction ang magiging reciprocal ng 1/2. Malinaw, ito ay magiging 2 / 1, o 2 lang. Hinahanap ang kapalit nito, nakakuha kami ng isang integer. At ang kasong ito ay hindi nakahiwalay; sa kabaligtaran, para sa lahat ng mga praksiyon na may numerator na 1 (isa), ang mga kapalit ay magiging mga integer, halimbawa:

1 / 3, kabaligtaran 3; 1 / 5, baligtad 5

Dahil, kapag naghahanap ng mga kapalit, nakilala din namin ang mga integer, sa hinaharap hindi namin pag-uusapan ang tungkol sa mga katumbasan, ngunit tungkol sa mga katumbasan.

Alamin natin kung paano isulat ang kapalit ng isang buong numero. Para sa mga fraction, ito ay malulutas nang simple: kailangan mong ilagay ang denominator sa lugar ng numerator. Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang reciprocal ng isang integer, dahil ang anumang integer ay maaaring magkaroon ng denominator ng 1. Kaya ang kapalit ng 7 ay magiging 1 / 7, dahil 7 \u003d 7 / 1; para sa numero 10 ang reverse ay 1/10 dahil 10 = 10/1

Ang ideyang ito ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: ang reciprocal ng isang naibigay na numero ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa ibinigay na numero. Ang pahayag na ito ay totoo hindi lamang para sa mga integer, kundi pati na rin para sa mga fraction. Sa katunayan, kung gusto mong magsulat ng isang numero na katumbas ng bahaging 5/9, maaari nating kunin ang 1 at hatiin ito sa 5/9, i.e.

Ngayon ay ituro natin ang isa ari-arian magkatumbas na mga numero, na magiging kapaki-pakinabang sa atin: ang produkto ng magkabilang katumbas na mga numero ay katumbas ng isa. talaga:

Gamit ang property na ito, makakahanap tayo ng mga kapalit sa sumusunod na paraan. Hanapin natin ang kapalit ng 8.

Tukuyin natin ito ng titik X , pagkatapos ay 8 X = 1, samakatuwid X = 1 / 8 . Maghanap tayo ng isa pang numero, ang kabaligtaran ng 7/12, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng isang titik X , pagkatapos ay 7/12 X = 1, samakatuwid X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .

Ipinakilala namin dito ang konsepto ng reciprocal na mga numero upang bahagyang madagdagan ang impormasyon tungkol sa paghahati ng mga fraction.

Kapag hinati namin ang numero 6 sa 3 / 5, pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod:

Bigyang-pansin ang ekspresyon at ihambing ito sa ibinigay na isa: .

Kung kukuha tayo ng expression nang hiwalay, nang walang koneksyon sa nauna, imposibleng malutas ang tanong kung saan ito nanggaling: mula sa paghahati ng 6 sa 3/5 o mula sa pagpaparami ng 6 sa 5/3. Sa parehong mga kaso ang resulta ay pareho. Kaya masasabi natin na ang paghahati ng isang numero sa isa pa ay maaaring palitan sa pamamagitan ng pagpaparami ng dibidendo sa kapalit ng divisor.

Ang mga halimbawang ibinigay namin sa ibaba ay ganap na nagpapatunay sa konklusyong ito.

Decimal multiplication nagaganap sa tatlong yugto.

Ang mga desimal ay isinusulat sa isang hanay at pinarami bilang mga ordinaryong numero.

Binibilang namin ang bilang ng mga decimal na lugar para sa unang decimal at pangalawa. Idagdag namin ang kanilang numero.

Sa resultang nakuha, binibilang namin mula kanan pakaliwa ang bilang ng mga numero na lumabas sa talata sa itaas at naglalagay ng kuwit.

Paano magparami ng mga decimal

Nagsusulat kami ng mga decimal fraction sa isang column at pinaparami ang mga ito bilang natural na mga numero, hindi pinapansin ang mga kuwit. Iyon ay, isinasaalang-alang namin ang 3.11 bilang 311, at 0.01 bilang 1.

Natanggap 311 . Ngayon binibilang namin ang bilang ng mga palatandaan (digit) pagkatapos ng decimal point para sa parehong mga fraction. Ang unang decimal ay may dalawang digit at ang pangalawa ay may dalawa. Kabuuang bilang ng mga digit pagkatapos ng mga kuwit:

Nagbibilang kami mula kanan hanggang kaliwa ng 4 na character (mga numero) ng resultang numero. Mayroong mas kaunting mga digit sa resulta kaysa sa kailangan mong paghiwalayin gamit ang kuwit. Sa kasong iyon, kailangan mo umalis italaga ang nawawalang bilang ng mga zero.

Kulang kami ng isang digit, kaya isang zero ang ipinatutupad namin sa kaliwa.

Kapag nagpaparami ng anumang decimal fraction sa 10; 100; 1000 atbp. ang decimal point ay gumagalaw sa kanan ng kasing dami ng mga numero na may mga zero pagkatapos ng isa.

• 70.1 10 = 701
• 0.023 100 = 2.3
• 5.6 1000 = 5600

Upang i-multiply ang isang decimal sa 0.1; 0.01; 0.001, atbp., kinakailangang ilipat ang kuwit sa kaliwa sa fraction na ito ng kasing dami ng mga digit dahil may mga zero sa harap ng unit.

Nagbibilang kami ng mga zero integer!

• 12 0.1 = 1.2
• 0.05 0.1 = 0.005
• 1.256 0.01 = 0.012 56

Pagpaparami ng mga fraction

Isasaalang-alang natin ang pagpaparami ng mga ordinaryong fraction sa ilang posibleng paraan.

Pagpaparami ng fraction sa fraction

Ito ang pinakasimpleng kaso, kung saan kailangan mong gamitin ang sumusunod mga panuntunan sa pagpaparami ng fraction.

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan:

• i-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction at isulat ang kanilang produkto sa numerator ng bagong fraction;
• multiply ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction at isulat ang kanilang produkto sa denominator ng bagong fraction;

Bago i-multiply ang mga numerator at denominator, suriin kung ang mga praksiyon ay maaaring bawasan. Ang pagbabawas ng mga fraction sa mga kalkulasyon ay lubos na magpapadali sa iyong mga kalkulasyon.

Pagpaparami ng fraction sa natural na numero

Sa fraction multiply sa isang natural na numero kailangan mong i-multiply ang numerator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang denominator ng fraction na hindi nagbabago.

Kung ang resulta ng multiplikasyon ay hindi wastong bahagi, huwag kalimutang gawing halo-halong numero, iyon ay, piliin ang buong bahagi.

Pagpaparami ng magkahalong numero

Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang gawing hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Ang isa pang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero

Minsan sa mga kalkulasyon ay mas maginhawang gumamit ng ibang paraan ng pagpaparami ng ordinaryong fraction sa isang numero.

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, kailangan mong hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na pareho.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, mas maginhawang gamitin ang bersyong ito ng panuntunan kung ang denominator ng fraction ay mahahati nang walang nalalabi sa natural na numero.

Paano i-multiply ang isang fraction sa isang integer na panuntunan

ako. Upang i-multiply ang isang decimal fraction sa isang natural na numero, kailangan mong i-multiply ito sa numerong ito, hindi papansinin ang kuwit, at sa resultang produkto, paghiwalayin ang kasing dami ng mga digit sa kanan gaya ng pagkatapos ng decimal point sa ibinigay na fraction.

Mga halimbawa. Magsagawa ng multiplikasyon: 1) 1.25 7; 2) 0.345 8; 3) 2.391 14.

Desisyon.

II. Upang i-multiply ang isang decimal fraction sa isa pa, kailangan mong isagawa ang multiplikasyon, hindi papansinin ang mga kuwit, at sa resultang resulta, paghiwalayin ang kasing dami ng mga digit na may kuwit sa kanan tulad ng pagkatapos ng mga kuwit sa parehong mga salik na magkasama.

Mga halimbawa. Magsagawa ng multiplikasyon: 1) 18.2 0.09; 2) 3.2 0.065; 3) 0.54 12.3.

Desisyon.

III. Upang i-multiply ang isang decimal sa 10, 100, 1000, atbp., kailangan mong ilipat ang decimal point sa kanan ng 1, 2, 3, atbp. na mga digit.

Mga halimbawa. Magsagawa ng multiplikasyon: 1) 3.25 10; 2) 0.637 100; 3) 4.307 1000; 4) 2.04 1000; 5) 0.00031 10000.

Desisyon.

IV. Upang i-multiply ang isang decimal sa 0.1; 0.01; 0.001, atbp., kailangan mong ilipat ang kuwit sa kaliwa ng 1, 2, 3, atbp. na mga digit.

Mga halimbawa. Magsagawa ng multiplikasyon: 1) 28.3 0.1; 2) 324.7 0.01; 3) 6.85 0.01; 4) 6179.5 0.001; 5) 92.1 0.0001.

www.mathematics-repetition.com

Pagpaparami ng mga decimal fraction, panuntunan, halimbawa, solusyon.

Bumaling tayo sa pag-aaral ng susunod na aksyon na may mga decimal fraction, ngayon ay komprehensibong isasaalang-alang natin pagpaparami ng mga decimal. Una, talakayin natin ang mga pangkalahatang prinsipyo ng pagpaparami ng mga decimal fraction. Pagkatapos nito, magpatuloy tayo sa pagpaparami ng decimal fraction sa decimal fraction, ipakita kung paano ginaganap ang multiplication ng decimal fraction sa column, isaalang-alang ang mga solusyon ng mga halimbawa. Susunod, susuriin natin ang multiplikasyon ng mga decimal fraction sa pamamagitan ng natural na mga numero, lalo na sa pamamagitan ng 10, 100, atbp. Sa konklusyon, pag-usapan natin ang pagpaparami ng mga decimal fraction sa mga ordinaryong fraction at mixed number.

Sabihin natin kaagad na sa artikulong ito ay pag-uusapan lamang natin ang tungkol sa pagpaparami ng mga positibong decimal fraction (tingnan ang positibo at negatibong mga numero). Ang natitirang mga kaso ay sinusuri sa mga artikulong multiplikasyon ng mga rational na numero at pagpaparami ng tunay na mga numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pangkalahatang mga prinsipyo para sa pagpaparami ng mga decimal

Talakayin natin ang mga pangkalahatang prinsipyo na dapat sundin kapag nagsasagawa ng multiplication na may mga decimal fraction.

Dahil ang mga sumusunod na decimal at walang katapusang periodic fraction ay ang decimal na anyo ng mga karaniwang fraction, ang pagpaparami ng naturang mga decimal ay mahalagang pagpaparami ng mga karaniwang fraction. Sa ibang salita, pagpaparami ng mga huling decimal, pagpaparami ng pinal at panaka-nakang decimal fraction, pati na rin ang pagpaparami ng periodic decimal bumababa sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction pagkatapos i-convert ang mga decimal fraction sa ordinaryo.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng aplikasyon ng tininigan na prinsipyo ng pagpaparami ng mga decimal fraction.

Isagawa ang pagpaparami ng mga decimal na 1.5 at 0.75.

Palitan natin ang multiply decimal fraction ng kaukulang ordinaryong fraction. Dahil 1.5=15/10 at 0.75=75/100, kung gayon. Maaari mong bawasan ang fraction, at pagkatapos ay piliin ang buong bahagi mula sa hindi wastong fraction, at mas maginhawang isulat ang resultang ordinaryong fraction 1 125/1 000 bilang decimal na fraction 1.125.

Dapat tandaan na ito ay maginhawa upang i-multiply ang panghuling decimal fraction sa isang column, pag-uusapan natin ang pamamaraang ito ng pagpaparami ng decimal fraction sa susunod na talata.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagpaparami ng mga periodic decimal fraction.

Kalkulahin ang produkto ng periodic decimals 0,(3) at 2,(36) .

I-convert natin ang mga periodic decimal fraction sa ordinaryong fraction:

Pagkatapos. Maaari mong i-convert ang nagreresultang ordinaryong fraction sa isang decimal fraction:

Kung may mga walang hanggan na di-pana-panahong mga praksiyon sa mga pinarami na decimal na praksiyon, ang lahat ng multiplied na praksiyon, kabilang ang mga may hangganan at pana-panahon, ay dapat na bilugan hanggang sa isang tiyak na digit (tingnan ang pag-ikot ng mga numero), at pagkatapos ay isagawa ang pagpaparami ng mga huling decimal na fraction na nakuha pagkatapos ng pag-ikot.

I-multiply ang mga decimal na 5.382… at 0.2.

Una, ni-round off namin ang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction, maaaring gawin ang rounding sa hundredths, mayroon kaming 5.382 ... ≈5.38. Ang huling decimal fraction na 0.2 ay hindi kailangang bilugan sa hundredths. Kaya, 5.382… 0.2≈5.38 0.2. Ito ay nananatiling kalkulahin ang produkto ng panghuling decimal fraction: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1.076.

Pagpaparami ng mga decimal fraction sa isang column

Ang multiplikasyon ng mga finite decimal fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng isang column, katulad ng multiplication sa column ng natural na mga numero.

Magformulate tayo panuntunan sa pagpaparami para sa mga decimal fraction. Upang i-multiply ang mga decimal fraction sa isang column, kailangan mo:

• hindi papansin ang mga kuwit, magsagawa ng multiplikasyon ayon sa lahat ng mga patakaran ng pagpaparami sa pamamagitan ng isang hanay ng mga natural na numero;
• sa resultang numero, paghiwalayin ang kasing dami ng mga digit sa kanan gamit ang isang decimal point dahil may mga decimal na lugar sa parehong mga salik nang magkasama, at kung walang sapat na mga digit sa produkto, dapat na idagdag ang kinakailangang bilang ng mga zero sa kaliwa.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng mga decimal fraction sa isang column.

I-multiply ang mga decimal na 63.37 at 0.12.

Isagawa natin ang pagpaparami ng mga decimal fraction sa isang column. Una, pinarami namin ang mga numero, hindi pinapansin ang mga kuwit:

Ito ay nananatiling maglagay ng kuwit sa resultang produkto. Kailangan niyang paghiwalayin ang 4 na digit sa kanan, dahil may apat na decimal na lugar sa mga salik (dalawa sa fraction 3.37 at dalawa sa fraction 0.12). May sapat na mga numero doon, kaya hindi mo na kailangang magdagdag ng mga zero sa kaliwa. Tapusin natin ang record:

Bilang resulta, mayroon tayong 3.37 0.12 = 7.6044.

Kalkulahin ang produkto ng mga decimal 3.2601 at 0.0254 .

Ang pagkakaroon ng pagsasagawa ng multiplikasyon sa isang hanay nang hindi isinasaalang-alang ang mga kuwit, nakuha namin ang sumusunod na larawan:

Ngayon sa produkto kailangan mong paghiwalayin ang 8 digit sa kanan gamit ang isang kuwit, dahil ang kabuuang bilang ng mga decimal na lugar ng mga multiplied na fraction ay walong. Ngunit mayroon lamang 7 digit sa produkto, samakatuwid, kailangan mong magtalaga ng maraming mga zero sa kaliwa upang ang 8 digit ay maaaring paghiwalayin ng kuwit. Sa aming kaso, kailangan naming magtalaga ng dalawang zero:

Kinukumpleto nito ang multiplikasyon ng mga decimal fraction sa isang column.

Pagpaparami ng mga decimal sa 0.1, 0.01, atbp.

Kadalasan kailangan mong i-multiply ang mga decimal sa 0.1, 0.01, at iba pa. Samakatuwid, ipinapayong bumalangkas ng panuntunan para sa pagpaparami ng decimal na fraction sa mga numerong ito, na sumusunod sa mga prinsipyo ng pagpaparami ng decimal fraction na tinalakay sa itaas.

Kaya, pagpaparami ng ibinigay na decimal sa 0.1, 0.01, 0.001, at iba pa nagbibigay ng isang fraction na nakuha mula sa orihinal, kung sa entry nito ang kuwit ay inilipat sa kaliwa ng 1, 2, 3 at iba pa na mga digit, ayon sa pagkakabanggit, at kung walang sapat na mga numero upang ilipat ang kuwit, kailangan mo upang idagdag ang kinakailangang bilang ng mga zero sa kaliwa.

Halimbawa, upang i-multiply ang decimal na fraction 54.34 sa 0.1, kailangan mong ilipat ang decimal point sa kaliwa ng 1 digit sa fraction na 54.34, at makuha mo ang fraction na 5.434, iyon ay, 54.34 0.1 \u003d 5.434. Kumuha tayo ng isa pang halimbawa. I-multiply ang decimal fraction 9.3 sa 0.0001. Upang gawin ito, kailangan nating ilipat ang kuwit na 4 na digit sa kaliwa sa multiplied decimal fraction 9.3, ngunit ang talaan ng fraction 9.3 ay hindi naglalaman ng ganoong bilang ng mga character. Samakatuwid, kailangan naming magdagdag ng maraming mga zero sa talaan ng fraction 9.3 sa kaliwa upang madali naming ilipat ang kuwit sa 4 na numero, mayroon kaming 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Tandaan na ang inihayag na panuntunan para sa pagpaparami ng isang decimal na fraction sa pamamagitan ng 0.1, 0.01, ... ay may bisa din para sa mga walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, 0,(18) 0.01=0.00(18) o 93.938… 0.1=9.3938… .

Pagpaparami ng decimal sa natural na numero

Sa kaibuturan nito pagpaparami ng mga decimal sa mga natural na numero ay walang pinagkaiba sa pagpaparami ng decimal sa decimal.

Ito ay pinaka-maginhawa upang i-multiply ang isang finite decimal fraction sa isang natural na numero sa pamamagitan ng isang column, habang dapat mong sundin ang mga panuntunan para sa multiply sa pamamagitan ng column ng decimal fraction na tinalakay sa isa sa mga nakaraang talata.

Kalkulahin ang produkto 15 2.27 .

Isagawa natin ang pagpaparami ng natural na numero sa isang decimal fraction sa isang column:

Kapag nagpaparami ng periodic decimal fraction sa natural na numero, ang periodic fraction ay dapat palitan ng ordinaryong fraction.

I-multiply ang decimal fraction 0,(42) sa natural na numero 22.

Una, i-convert natin ang periodic decimal sa isang common fraction:

Ngayon gawin natin ang multiplikasyon: . Ang resulta ng decimal na ito ay 9,(3) .

At kapag nagpaparami ng walang katapusang non-periodic decimal fraction sa natural na numero, dapat mo muna itong bilugan.

Gawin ang multiplikasyon 4 2.145….

Pag-round up sa hundredths ng orihinal na infinite decimal fraction, darating tayo sa multiplication ng natural na numero at final decimal fraction. Mayroon kaming 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Pagpaparami ng decimal sa 10, 100, ...

Kadalasan kailangan mong i-multiply ang mga decimal fraction sa 10, 100, ... Samakatuwid, ipinapayong pag-isipan nang detalyado ang mga kasong ito.

Bosesan natin panuntunan para sa pagpaparami ng decimal sa 10, 100, 1,000, atbp. Kapag nagpaparami ng decimal na fraction sa 10, 100, ... sa entry nito, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng 1, 2, 3, ... digit, ayon sa pagkakabanggit, at itapon ang mga karagdagang zero sa kaliwa; kung walang sapat na mga digit sa talaan ng multiply fraction upang ilipat ang kuwit, kailangan mong idagdag ang kinakailangang bilang ng mga zero sa kanan.

I-multiply ang decimal 0.0783 sa 100.

Ilipat natin ang fraction na 0.0783 dalawang digit sa kanan sa record, at makakakuha tayo ng 007.83. Ang pag-drop ng dalawang zero sa kaliwa, makuha namin ang decimal na fraction na 7.38. Kaya, 0.0783 100=7.83.

I-multiply ang decimal fraction na 0.02 sa 10,000.

Upang i-multiply ang 0.02 sa 10,000 kailangan nating ilipat ang kuwit na 4 na digit sa kanan. Malinaw, sa talaan ng fraction 0.02 walang sapat na mga digit upang ilipat ang kuwit sa 4 na numero, kaya magdadagdag kami ng ilang mga zero sa kanan upang mailipat ang kuwit. Sa aming halimbawa, sapat na upang magdagdag ng tatlong mga zero, mayroon kaming 0.02000. Pagkatapos ilipat ang kuwit, makuha namin ang entry na 00200.0 . Ang pag-drop ng mga zero sa kaliwa, mayroon kaming numerong 200.0, na katumbas ng natural na bilang na 200, ito ang resulta ng pagpaparami ng decimal na bahagi na 0.02 sa 10,000.

Ang nakasaad na panuntunan ay may bisa din para sa pagpaparami ng walang katapusang decimal fraction sa 10, 100, ... Kapag nagpaparami ng periodic decimal fraction, kailangan mong maging maingat sa panahon ng fraction na resulta ng multiplikasyon.

I-multiply ang periodic decimal 5.32(672) sa 1000 .

Bago ang multiplikasyon, isinusulat namin ang periodic decimal fraction bilang 5.32672672672 ..., ito ay magbibigay-daan sa amin upang maiwasan ang mga pagkakamali. Ngayon, ilipat natin ang kuwit sa kanan ng 3 digit, mayroon tayong 5 326.726726 ... . Kaya, pagkatapos ng multiplikasyon, ang isang periodic decimal fraction ay nakuha 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Kapag nagpaparami ng infinite non-periodic fraction sa 10, 100, ..., kailangan mo munang bilugan ang infinite fraction sa isang tiyak na digit, at pagkatapos ay isagawa ang multiplikasyon.

Pagpaparami ng Decimal sa Common Fraction o Mixed Number

Upang i-multiply ang isang finite decimal fraction o isang infinite periodic decimal fraction sa isang ordinaryong fraction o isang mixed number, kailangan mong katawanin ang decimal fraction bilang isang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay isagawa ang multiplication.

I-multiply ang decimal fraction 0.4 sa pinaghalong numero.

Dahil 0.4=4/10=2/5 at pagkatapos. Ang resultang numero ay maaaring isulat bilang periodic decimal fraction 1.5(3) .

Kapag nagpaparami ng walang katapusang non-periodic decimal fraction sa isang common fraction o mixed number, ang karaniwang fraction o mixed number ay dapat palitan ng decimal fraction, pagkatapos ay bilugan ang multiplied fraction at tapusin ang pagkalkula.

Mula noong 2/3 \u003d 0.6666 ..., pagkatapos. Pagkatapos i-round ang multiplied fractions sa thousandths, dumating tayo sa produkto ng dalawang final decimal fraction na 3.568 at 0.667. Gawin natin ang multiplication sa isang column:

Ang resultang nakuha ay dapat bilugan sa thousandths, dahil ang multiply fractions ay kinuha na may katumpakan ng thousandths, mayroon tayong 2.379856≈2.380.

www.cleversstudents.ru

Pagpaparami ng mga ordinaryong fraction: mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon.

Patuloy kaming nag-aaral ng mga aksyon na may mga ordinaryong fraction. Ngayon nasa spotlight pagpaparami ng mga karaniwang fraction. Sa artikulong ito, magbibigay kami ng isang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, isaalang-alang ang aplikasyon ng panuntunang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa. Tutuon din tayo sa pagpaparami ng ordinaryong fraction sa natural na numero. Sa konklusyon, isaalang-alang kung paano isinasagawa ang pagpaparami ng tatlo o higit pang mga praksyon.

Pag-navigate sa pahina.

Pag-multiply ng common fraction sa common fraction

Magsimula tayo sa mga salita mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga karaniwang fraction: Ang pagpaparami ng fraction sa isang fraction ay nagbibigay ng fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga numerator ng multiplied fractions, at ang denominator ay katumbas ng produkto ng mga denominator.

Iyon ay, ang formula ay tumutugma sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction a / b at c / d.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na naglalarawan ng panuntunan ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction. Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid ng 1 yunit. , habang ang lawak nito ay 1 yunit 2 . Hatiin ang parisukat na ito sa pantay na mga parihaba na may mga gilid na 1/4 na yunit. at 1/8 units. , habang ang orihinal na parisukat ay bubuo ng 4 8 = 32 na parihaba, samakatuwid, ang lugar ng bawat parihaba ay 1/32 ng lugar ng orihinal na parisukat, iyon ay, ito ay katumbas ng 1/32 na mga yunit 2. Ngayon ay ipinta natin ang bahagi ng orihinal na parisukat. Ang lahat ng aming mga aksyon ay makikita sa figure sa ibaba.

Ang mga gilid ng filled rectangle ay 5/8 units. at 3/4 na yunit. , na nangangahulugan na ang lugar nito ay katumbas ng produkto ng mga fraction na 5/8 at 3/4, iyon ay, mga yunit 2. Ngunit ang napunong parihaba ay binubuo ng 15 "maliit" na mga parihaba, kaya ang lawak nito ay 15/32 mga yunit 2 . Kaya naman, . Dahil 5 3=15 at 8 4=32 , ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang , na nagpapatunay sa formula para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction ng form.

Tandaan na sa tulong ng voiced multiplication rule, maaari mong i-multiply ang parehong wasto at hindi wastong mga fraction, at mga fraction na may parehong denominator, at mga fraction na may magkakaibang denominator.

Isipin mo mga halimbawa ng pagpaparami ng mga karaniwang fraction.

I-multiply ang common fraction 7/11 sa common fraction na 9/8.

Ang produkto ng mga numerator ng multiplied na fraction na 7 at 9 ay 63, at ang produkto ng mga denominator ng 11 at 8 ay 88. Kaya, ang pagpaparami ng mga karaniwang fraction na 7/11 at 9/8 ay nagbibigay ng fraction na 63/88.

Narito ang isang buod ng solusyon: .

Hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa pagbawas ng resultang fraction, kung bilang resulta ng multiplikasyon ay nakuha ang reducible fraction, at tungkol sa pagpili ng buong bahagi mula sa hindi tamang fraction.

Multiply fractions 4/15 at 55/6.

Ilapat natin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction: .

Malinaw, ang resultang fraction ay mababawasan (ang tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 10 ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang numerator at denominator ng fraction 220/90 ay may isang karaniwang kadahilanan na 10). Bawasan natin ang fraction na 220/90: GCD(220, 90)=10 at . Ito ay nananatiling piliin ang integer na bahagi mula sa nagresultang hindi wastong bahagi: .

Tandaan na ang pagbabawas ng fraction ay maaaring isagawa bago kalkulahin ang mga produkto ng mga numerator at ang mga produkto ng mga denominator ng mga multiplied na fraction, iyon ay, kapag ang fraction ay may anyo . Para sa numerong ito, ang a, b, c, at d ay pinalitan ng kanilang mga prime factorization, pagkatapos nito ay kinansela ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator.

Upang linawin, bumalik tayo sa nakaraang halimbawa.

Kalkulahin ang produkto ng mga fraction ng form.

Sa pamamagitan ng formula para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, mayroon tayo .

Dahil 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 at 6=2 3 , kung gayon . Ngayon kanselahin namin ang mga karaniwang pangunahing kadahilanan: .

Ito ay nananatili lamang upang kalkulahin ang mga produkto sa numerator at denominator, at pagkatapos ay piliin ang integer na bahagi mula sa hindi wastong bahagi: .

Dapat pansinin na ang multiplikasyon ng mga fraction ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang commutative na pag-aari, iyon ay, ang multiplied na mga fraction ay maaaring mapalitan: .

Pagpaparami ng fraction sa natural na numero

Magsimula tayo sa mga salita mga panuntunan para sa pagpaparami ng karaniwang fraction sa isang natural na numero: Ang pagpaparami ng fraction sa natural na numero ay nagbibigay ng fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng numerator ng multiply fraction sa natural na numero, at ang denominator ay katumbas ng denominator ng multiplied fraction.

Sa tulong ng mga titik, ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang fraction a / b sa isang natural na numero n ay may anyo .

Ang formula ay sumusunod mula sa pormula para sa pagpaparami ng dalawang ordinaryong fraction ng anyo. Sa katunayan, na kumakatawan sa isang natural na numero bilang isang fraction na may denominator na 1, nakukuha namin .

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng fraction sa natural na numero.

I-multiply ang fraction na 2/27 sa 5.

Ang pagpaparami ng numerator 2 sa numerong 5 ay nagbibigay ng 10, samakatuwid, ayon sa tuntunin ng pagpaparami ng isang fraction sa isang natural na numero, ang produkto ng 2/27 ng 5 ay katumbas ng fraction na 10/27.

Ang buong solusyon ay maaaring maginhawang isulat tulad ng sumusunod: .

Kapag nagpaparami ng fraction sa natural na numero, kadalasang kailangang bawasan ang resultang fraction, at kung mali rin ito, irepresenta ito bilang mixed number.

I-multiply ang fraction na 5/12 sa bilang na 8.

Ayon sa formula para sa pagpaparami ng isang fraction sa isang natural na numero, mayroon tayo . Malinaw, ang resultang fraction ay mababawasan (ang tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 2 ay nagpapahiwatig ng isang karaniwang divisor 2 ng numerator at denominator). Bawasan natin ang fraction na 40/12: dahil LCM(40, 12)=4, kung gayon . Ito ay nananatiling piliin ang buong bahagi: .

Narito ang buong solusyon: .

Tandaan na ang pagbabawas ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa numerator at denominator sa pamamagitan ng kanilang mga pagpapalawak sa prime factor. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito:

Sa pagtatapos ng talatang ito, napapansin namin na ang multiplikasyon ng isang fraction sa isang natural na numero ay may commutative property, iyon ay, ang produkto ng isang fraction sa isang natural na numero ay katumbas ng produkto ng natural na bilang na ito sa isang fraction: .

I-multiply ang tatlo o higit pang mga fraction

Ang paraan ng pagtukoy namin sa mga ordinaryong fraction at ang pagpapatakbo ng multiplikasyon sa mga ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang lahat ng mga katangian ng multiplikasyon ng mga natural na numero ay nalalapat sa pagpaparami ng mga fraction.

Ang commutative at associative na mga katangian ng multiplikasyon ay ginagawang posible upang natatanging matukoy pagpaparami ng tatlo o higit pang mga fraction at natural na mga numero. Sa kasong ito, ang lahat ay nangyayari sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagpaparami ng tatlo o higit pang mga natural na numero. Sa partikular, ang mga fraction at natural na mga numero sa produkto ay maaaring muling ayusin para sa kaginhawaan ng pagkalkula, at sa kawalan ng mga bracket na nagpapahiwatig ng pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay isinasagawa, maaari naming ayusin ang mga bracket sa aming sarili sa alinman sa mga pinapayagang paraan.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng ilang fraction at natural na mga numero.

I-multiply ang tatlong karaniwang fraction 1/20, 12/5, 3/7 at 5/8.

Isulat natin ang produkto na kailangan nating kalkulahin . Sa bisa ng tuntunin para sa pagpaparami ng mga fraction, ang nakasulat na produkto ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga numerator ng lahat ng mga fraction, at ang denominator ay ang produkto ng mga denominator: .

Bago kalkulahin ang mga produkto sa numerator at denominator, ipinapayong palitan ang lahat ng mga kadahilanan sa pamamagitan ng kanilang mga pagpapalawak sa mga pangunahing kadahilanan at bawasan (siyempre, maaari mong bawasan ang bahagi pagkatapos ng multiplikasyon, ngunit sa maraming mga kaso nangangailangan ito ng maraming pagsisikap sa pagkalkula): .

.

I-multiply ang limang numero .

Sa produktong ito, maginhawang igrupo ang fraction 7/8 na may numero 8, at ang numero 12 na may fraction na 5/36, ito ay magpapasimple sa mga kalkulasyon, dahil sa ganoong pagpapangkat ay halata ang pagbawas. Meron kami
.

.

www.cleversstudents.ru

Sikat:

• Kapag nag-aaplay sa korte ng distrito Mahal na mga bisita ng site! Kagawaran ng Federal Treasury para sa St. Petersburg (Interdistrict IFTS ng Russia No. 10 para sa St. Petersburg) TIN ng numero ng account ng benepisyaryo ng awtoridad sa buwis NORTH-WEST […]
• Pagkalkula ng tungkulin ng estado para sa pagbawas ng halaga ng alimony Ang mga korte ay sumunod sa sumusunod na posisyon: Ang tungkulin ng estado ay kinakalkula mula sa halaga kung saan ang halaga ng alimony ay nabawasan (mula sa halaga ng paghahabol). Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng tungkulin ng estado sa korte kapag [...]
• Dibisyon ng mga decimal fraction, panuntunan, halimbawa, solusyon. Patuloy kaming nag-aaral ng mga aksyon na may mga decimal fraction, oras na para pag-usapan ang paghahati ng mga decimal fraction. Magsimula tayo sa mga pangkalahatang prinsipyo ng paghahati ng decimal. Mas malayo […]
• Artikulo 333.19 ng Tax Code ng Russian Federation. Mga sukat ng bayad sa estado sa mga kaso na isinasaalang-alang ng Korte Suprema ng Russian Federation, mga korte ng pangkalahatang hurisdiksyon, mga mahistrado ng kapayapaan ST 333.19 ng Tax Code ng Russian Federation. 1. Sa mga kaso sa Korte Suprema […]
• Modelong regulasyon sa komisyon (awtorisadong) para sa social insurance N 556a "Model regulation sa komisyon (awtorisadong) para sa social insurance" APROVED ng Chairman ng Social Insurance Fund ng Russian Federation [...]
• Ang mga detalye para sa pagbabayad ng tungkulin ng estado ng Armed Forces ng Russian Federation, pati na rin ang Arbitration Court ng Moscow at ang Arbitration Court ng Moscow District, ay nagbago ng mga bagong detalye ng bangko para sa pagbabayad ng tungkulin ng estado sa mga kaso na isinasaalang-alang sa Supreme Korte ng Russian Federation, ang Arbitration Court ng lungsod ng Moscow at […]
• Ang isang reservoir sa pagbabarena ay isang bato na may mataas na porosity at permeability, na naglalaman ng mababawi na dami ng langis at gas. Ang mga pangunahing tampok ng pag-uuri ng reservoir ay ang mga kondisyon ng pagsasala at akumulasyon sa [...]
• Ang aming grupo sa VK Kumuha ng diskwento sa pagsasanay. Magmadali upang makakuha ng isang diskwento ng 1000 rubles! Pagpapatala sa isang driving school Punan ang form na ito, makikipag-ugnayan kami sa iyo at aanyayahan ka sa mga klase. Maligayang pagdating! 1. Mga palatandaan ng babala Babala […]