Ang isang function ay isang batas ayon sa kung saan ang numero x mula sa isang naibigay na set X ay nauugnay sa isang numero lamang y, isinulat nila, habang ang x ay tinatawag na argumento ng function, ang y ay tinatawag na halaga ng function.
Mayroong iba't ibang mga paraan upang tukuyin ang mga function.

1. Paraan ng pagsusuri.
Paraan ng analitikal ay ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang isang function.
Binubuo ito sa katotohanan na ang function ay ibinibigay ng isang formula na nagtatatag kung anong mga operasyon ang dapat gawin sa x upang mahanap ang y. Halimbawa .
Isaalang-alang ang unang halimbawa - . Dito ang halaga ng x = 1 ay tumutugma sa , ang halaga ng x = 3 ay tumutugma, atbp.
Maaaring tukuyin ang isang function sa iba't ibang bahagi ng set X sa pamamagitan ng iba't ibang function.
Halimbawa:

Sa lahat ng naunang ibinigay na mga halimbawa ng analytical na paraan ng pagtatakda, ang function ay tahasang itinakda. Iyon ay, ang variable na y ay nasa kanan, at ang formula sa x variable ay nasa kanan. Gayunpaman, sa analytical na paraan ng pagtatakda, ang function ay maaaring itakda nang tahasan.
Halimbawa . Dito, kung bibigyan natin ang x ng isang halaga, pagkatapos ay upang mahanap ang halaga ng y (ang halaga ng function), dapat nating lutasin ang equation. Halimbawa, para sa unang ibinigay na function sa x = 3, malulutas natin ang equation:
. Iyon ay, ang halaga ng function sa x = 3 ay -4/3.
Gamit ang analytical na paraan ng setting, ang function ay maaaring itakda sa parametrically - ito ay kapag ang x at y ay ipinahayag sa pamamagitan ng ilang parameter t. Halimbawa,

Dito, sa t = 2, x = 2, y = 4. Ibig sabihin, ang halaga ng function sa x = 2 ay 4.
2. Grapikong paraan.
Gamit ang graphical na pamamaraan, ang isang rectangular coordinate system ay ipinakilala at isang set ng mga puntos na may mga coordinate (x, y) ay ipinapakita sa coordinate system na ito. Kung saan . Halimbawa:
3. Berbal na paraan.
Tinukoy ang function gamit ang verbal formulation. Ang isang klasikong halimbawa ay ang Dirichlet function.
“Ang function ay 1 kung ang x ay isang rational na numero; ang function ay 0 kung ang x ay isang hindi makatwirang numero.
4. Paraan ng tabular.
Ang tabular na paraan ay pinaka-maginhawa kapag ang set X ay may hangganan. Sa pamamaraang ito, ang isang talahanayan ay pinagsama-sama kung saan ang bawat elemento mula sa hanay ng X ay itinalaga ang numerong Y.
Halimbawa.

Ang mga pangunahing paraan ng pagtukoy ng mga function ay ibinigay: tahasang analytical; pagitan; parametric; implicit; pagtukoy ng isang function gamit ang isang serye; tabular; graphic. Mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pamamaraang ito

Mayroong mga sumusunod na paraan upang tukuyin ang function na y = f (x):

1. Isang tahasang analitikal na pamamaraan gamit ang isang formula ng anyong y = f (x).
2. Pagitan.
3. Parametric: x = x (t), y = y(t).
4. Implicit, bilang isang solusyon sa equation F (x, y) = 0.
5. Sa anyo ng isang serye na binubuo ng mga kilalang function.
6. Tabular.
7. Graphic.

Tiyak na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa tahasang paraan, ang halaga ng function ay tinutukoy ng formula, na ang equation na y = f (x). Sa kaliwang bahagi ng equation na ito ay ang dependent variable y, at sa kanang bahagi ay isang expression na binubuo ng independent variable x, constant, alam na mga function, at mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, at paghahati. Ang mga kilalang pag-andar ay mga elementarya na pag-andar at mga espesyal na pag-andar, ang mga halaga nito ay maaaring kalkulahin gamit ang teknolohiya ng computer.

Narito ang ilang mga halimbawa ng tahasang pagtukoy sa isang function na may isang independent variable x at isang dependent variable y :
;
;
.

Interval na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa paraan ng pagitan ng pagtatakda ng isang function, ang domain ng kahulugan ay nahahati sa ilang mga pagitan, at ang function ay tinukoy nang hiwalay para sa bawat pagitan.

Narito ang ilang mga halimbawa ng paraan ng pagitan ng pagtukoy ng isang function:

Parametric na paraan ng pagtukoy ng isang function

Sa parametric na pamamaraan, isang bagong variable ang ipinakilala, na tinatawag na isang parameter. Susunod, ang mga halaga ng x at y ay itinakda bilang mga function ng parameter, gamit ang tahasang paraan ng pagtatakda:
(1)

Narito ang mga halimbawa ng parametric na paraan ng pagtukoy ng function gamit ang t parameter:

Ang bentahe ng parametric na pamamaraan ay ang parehong function ay maaaring tukuyin sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan. Halimbawa, ang isang function ay maaaring tukuyin tulad nito:

At ito ay posible tulad nito:

Ang ganitong kalayaan sa pagpili, sa ilang mga kaso, ay nagbibigay-daan sa iyo na ilapat ang paraang ito upang malutas ang mga equation (tingnan ang "Differential equation na hindi naglalaman ng isa sa mga variable"). Ang kakanyahan ng aplikasyon ay pinapalitan natin ang dalawang function at sa halip na ang mga variable na x at y sa equation. Pagkatapos ay itinakda namin ang isa sa mga ito sa aming sariling paghuhusga, upang ang isa ay matukoy mula sa resultang equation.

Gayundin, ang pamamaraang ito ay ginagamit upang gawing simple ang mga kalkulasyon. Halimbawa, ang pag-asa ng mga coordinate ng mga punto ng isang ellipse na may mga semiax a at b ay maaaring kinakatawan tulad ng sumusunod:
.
Sa isang parametric form, ang dependence na ito ay maaaring bigyan ng mas simpleng anyo:
.

Ang mga equation (1) ay hindi lamang ang paraan upang parametric na tukuyin ang isang function. Maaari kang magpasok ng hindi isa, ngunit ilang mga parameter sa pamamagitan ng pag-uugnay sa mga ito sa mga karagdagang equation. Halimbawa, maaari kang magpasok ng dalawang parameter at . Pagkatapos ang kahulugan ng function ay magiging ganito:

Narito ang isang karagdagang equation na nauugnay sa mga parameter. Kung ang bilang ng mga parameter ay n , dapat mayroong n - 1 karagdagang mga equation.

Ang isang halimbawa ng paggamit ng maramihang mga parameter ay itinakda sa pahina ng Jacobi Differential Equation. Doon, hinahanap ang solusyon sa sumusunod na anyo:
(2) .
Ang resulta ay isang sistema ng mga equation. Upang malutas ito, ipinakilala ang ikaapat na parameter t. Pagkatapos malutas ang sistema, tatlong equation ang nakuha na nauugnay sa apat na parameter at .

Implicit na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa implicit na paraan, ang halaga ng function ay tinutukoy mula sa solusyon ng equation.

Halimbawa, ang equation para sa isang ellipse ay:
(3) .
Ito ay isang simpleng equation. Kung isasaalang-alang lamang natin ang itaas na bahagi ng ellipse, , kung gayon maaari nating ipahayag ang variable na y bilang isang function ng x sa isang tahasang paraan:
(4) .
Ngunit kahit na posible na bawasan ang (3) sa isang tahasang paraan ng pagtukoy sa function (4), ang huling formula ay hindi palaging maginhawang gamitin. Halimbawa, upang mahanap ang derivative , madaling pag-iba-ibahin ang equation (3) sa halip na (4):
;
.

Pagtatakda ng isang function sa malapit

Ang isang napakahalagang paraan upang tukuyin ang isang function ay ang representasyon ng hilera binubuo ng mga kilalang function. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang galugarin ang pag-andar sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng matematika at kalkulahin ang mga halaga nito para sa mga inilapat na problema.

Ang pinakakaraniwang representasyon ay ang pagtukoy ng isang function gamit ang isang power series. Sa kasong ito, ginagamit ang isang bilang ng mga function ng kapangyarihan:
.
Ginagamit din ang isang serye na may mga negatibong exponent:
.
Halimbawa, ang function ng sine ay may sumusunod na pagpapalawak:
(5) .
Ang ganitong mga pagpapalawak ay malawakang ginagamit sa pag-compute upang kalkulahin ang mga halaga ng mga pag-andar, dahil pinapayagan nila ang isa na bawasan ang mga kalkulasyon sa mga pagpapatakbo ng aritmetika.

Bilang isang paglalarawan, kalkulahin natin ang halaga ng sine na 30° gamit ang pagpapalawak (5).
I-convert ang mga degree sa radians:
.
Palitan sa (5):



.

Sa matematika, kasama ng mga serye ng kapangyarihan, malawakang ginagamit ang mga pagpapalawak sa seryeng trigonometriko sa mga function at , gayundin sa iba pang mga espesyal na function. Sa tulong ng serye, ang isa ay maaaring gumawa ng tinatayang mga kalkulasyon ng mga integral, equation (differential, integral, sa mga partial derivatives) at siyasatin ang kanilang mga solusyon.

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function

Sa tabular na paraan ng pagtatakda ng isang function mayroon kaming isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng independiyenteng variable x at ang kaukulang mga halaga ng dependent variable y. Ang mga independiyente at umaasa na mga variable ay maaaring may magkaibang mga pagtatalaga, ngunit ginagamit namin ang x at y dito. Upang matukoy ang halaga ng isang function para sa isang ibinigay na halaga ng x , ginagamit namin ang talahanayan upang mahanap ang halaga ng x na pinakamalapit sa aming halaga. Pagkatapos nito, tinutukoy namin ang kaukulang halaga ng dependent variable y .

Para sa isang mas tumpak na kahulugan ng halaga ng function, isinasaalang-alang namin na ang function sa pagitan ng dalawang katabing halaga ng x ay linear, iyon ay, mayroon itong sumusunod na anyo:
.
Narito ang mga halaga ng function na natagpuan mula sa talahanayan, na may kaukulang mga halaga ng mga argumento .
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kailangan nating hanapin ang halaga ng function sa . Mula sa talahanayan makikita natin:
.
Pagkatapos

.
Eksaktong halaga:
.
Mula sa halimbawang ito, makikita na ang paggamit ng linear approximation ay humantong sa pagtaas ng katumpakan sa pagtukoy ng halaga ng function.

Ang paraan ng tabular ay ginagamit sa mga inilapat na agham. Bago ang pagbuo ng teknolohiya ng computer, malawak itong ginagamit sa engineering at iba pang mga kalkulasyon. Ngayon ang tabular na paraan ay ginagamit sa mga istatistika at pang-eksperimentong agham upang mangolekta at magsuri ng pang-eksperimentong data.

Graphical na paraan upang tukuyin ang isang function

Sa graphical na paraan, ang halaga ng function ay tinutukoy mula sa graph, kasama ang abscissa axis kung saan ang mga halaga ng independent variable ay naka-plot, at kasama ang ordinate axis - ang dependent variable.

Ang graphical na paraan ay nagbibigay ng visual na representasyon ng pag-uugali ng function. Ang mga resulta ng pag-aaral ng isang function ay madalas na inilalarawan ng graph nito. Mula sa graph, matutukoy mo ang tinatayang halaga ng function. Binibigyang-daan ka nitong gamitin ang graphical na pamamaraan sa mga agham na inilapat at engineering.

ang function ay isang pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng dalawang set, na itinatag ayon sa isang panuntunan na ang bawat elemento ng isang set ay nauugnay sa ilang elemento mula sa isa pang set.

ang graph ng isang function ay ang locus ng mga puntos sa eroplano na ang abscissas (x) at ordinates (y) ay konektado ng tinukoy na function:

ang punto ay matatagpuan (o matatagpuan) sa graph ng function kung at kung lamang .

Kaya, ang isang function ay maaaring sapat na inilarawan sa pamamagitan ng graph nito.

tabular na paraan. Medyo karaniwan, ito ay binubuo sa pagtatakda ng isang talahanayan ng mga indibidwal na halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy sa isang function ay ginagamit kapag ang domain ng function ay isang discrete finite set.

Gamit ang tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function, posible na humigit-kumulang na kalkulahin ang mga halaga ng function na hindi nakapaloob sa talahanayan, na naaayon sa mga intermediate na halaga ng argumento. Upang gawin ito, gamitin ang paraan ng interpolation.

Ang mga bentahe ng tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function ay ginagawang posible upang matukoy ang ilang partikular na halaga nang sabay-sabay, nang walang karagdagang mga sukat o kalkulasyon. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, hindi ganap na tinukoy ng talahanayan ang function, ngunit para lamang sa ilang mga halaga ng argumento at hindi nagbibigay ng visual na representasyon ng likas na katangian ng pagbabago sa function depende sa pagbabago sa argumento.

Graphic na paraan. Ang graph ng function na y = f(x) ay ang set ng lahat ng mga punto sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ibinigay na equation.

Ang graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay hindi palaging ginagawang posible upang tumpak na matukoy ang mga numerical na halaga ng argumento. Gayunpaman, ito ay may isang mahusay na kalamangan sa iba pang mga pamamaraan - visibility. Sa engineering at physics, ang isang graphical na paraan ng pagtatakda ng isang function ay kadalasang ginagamit, at isang graph ang tanging paraan na magagamit para dito.

Upang ang graphical na pagtatalaga ng isang function ay medyo tama mula sa isang mathematical point of view, ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang eksaktong geometric na konstruksyon ng graph, na kung saan, kadalasan, ay ibinibigay ng isang equation. Ito ay humahantong sa sumusunod na paraan ng pagtukoy ng isang function.

paraan ng pagsusuri. Kadalasan, ang batas na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang argumento at isang function ay tinukoy sa pamamagitan ng mga formula. Ang ganitong paraan ng pagtukoy sa isang function ay tinatawag na analytical.

Ginagawang posible ng pamamaraang ito para sa bawat numerical value ng argumentong x na mahanap ang katumbas na numerical value ng function na y nang eksakto o may ilang katumpakan.

Kung ang relasyon sa pagitan ng x at y ay ibinibigay ng isang pormula na niresolba nang may kinalaman sa y, ibig sabihin. ay may anyo na y = f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function ng x ay ibinibigay nang tahasan.

Kung ang mga halaga ng x at y ay nauugnay sa ilang equation ng form na F(x,y) = 0, i.e. ang formula ay hindi pinahihintulutan na may paggalang sa y, na nangangahulugan na ang function na y = f(x) ay tuwirang tinukoy.

Ang isang function ay maaaring tukuyin ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng lugar ng gawain nito.

Ang analytical na paraan ay ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang mga function. Ang pagiging compact, conciseness, ang kakayahang kalkulahin ang halaga ng isang function para sa isang di-makatwirang halaga ng argument mula sa domain ng kahulugan, ang kakayahang ilapat ang apparatus ng mathematical analysis sa isang naibigay na function ay ang pangunahing bentahe ng analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function. Kabilang sa mga disadvantage ang kawalan ng visibility, na nababayaran ng kakayahang bumuo ng isang graph at ang pangangailangang magsagawa kung minsan ay napakahirap na mga kalkulasyon.

pasalitang paraan. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa katotohanan na ang functional dependence ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa 1: ang function na E(x) ay ang integer na bahagi ng numerong x. Sa pangkalahatan, ang E(x) = [x] ay tumutukoy sa pinakamalaking integer na hindi lalampas sa x. Sa madaling salita, kung x = r + q, kung saan ang r ay isang integer (maaaring negatibo) at ang q ay kabilang sa pagitan = r. Ang function na E(x) = [x] ay pare-pareho sa pagitan = r.

Halimbawa 2: function y = (x) - fractional na bahagi ng isang numero. Mas tiyak, y =(x) = x - [x], kung saan ang [x] ay ang integer na bahagi ng numerong x. Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x. Kung ang x ay isang arbitrary na numero, pagkatapos ay kinakatawan ito bilang x = r + q (r = [x]), kung saan ang r ay isang integer at ang q ay nasa pagitan .
Nakikita namin na ang pagdaragdag ng n sa x argument ay hindi nagbabago sa halaga ng function.
Ang pinakamaliit na di-zero na numero sa n ay , kaya ang panahon ay sin 2x .

Ang halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng 0 ay tinatawag sero (ugat) mga function.

Ang isang function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga zero.

Halimbawa, ang function y=x(x+1)(x-3) may tatlong zero: x=0, x=-1, x=3.

Sa geometriko, ang zero ng isang function ay ang abscissa ng intersection point ng graph ng function na may axis X .

Ipinapakita ng Figure 7 ang graph ng function na may mga zero: x = a, x = b at x = c .

Kung ang graph ng isang function ay lumalapit sa isang tiyak na tuwid na linya nang walang katiyakan habang ito ay lumalayo sa pinanggalingan, ang tuwid na linyang ito ay tinatawag na asymptote.

Baliktad na pag-andar

Hayaang ibigay ang function na y=ƒ(x) kasama ang domain ng definition D at ang set ng values ​​​​E. Kung ang bawat value na yєE ay tumutugma sa iisang value xєD, ang function na x=φ(y) ay tinutukoy ng domain ng kahulugan E at ang hanay ng mga halaga D (tingnan ang Fig. 102).

Ang nasabing function na φ(y) ay tinatawag na kabaligtaran ng function na ƒ(x) at nakasulat sa sumusunod na anyo: x=j(y)=f -1 (y) Tungkol sa mga function y=ƒ(x) at x=φ(y) sinasabi nila na magkabaligtaran sila. Upang mahanap ang function na x=φ(y) inverse sa function na y=ƒ(x), sapat na upang lutasin ang equation na ƒ(x)=y na may paggalang sa x (kung maaari).

1. Para sa function na y \u003d 2x, ang inverse function ay ang function na x \u003d y / 2;

2. Para sa function na y \u003d x2 xє, ang inverse function ay x \u003d √y; tandaan na para sa function na y \u003d x 2, na ibinigay sa segment [-1; 1], walang kabaligtaran, dahil ang isang halaga ng y ay tumutugma sa dalawang halaga ng x (halimbawa, kung y=1/4, kung gayon x1=1/2, x2=-1/2).

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function na ang function na y=ƒ(x) ay may kabaligtaran kung at kung ang function na ƒ(x) ay tumutukoy ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga set D at E. ang mahigpit na monotonikong function ay may kabaligtaran. Bukod dito, kung ang pag-andar ay tumaas (bumababa), kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ay tataas din (bumababa).

Tandaan na ang function na y \u003d ƒ (x) at ang inverse x \u003d φ (y) ay inilalarawan ng parehong curve, iyon ay, ang kanilang mga graph ay nag-tutugma. Kung sumasang-ayon tayo na, gaya ng dati, ang independiyenteng variable (i.e., ang argumento) ay tinutukoy ng x, at ang dependent variable ng y, kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ng function na y \u003d ƒ (x) ay isusulat bilang y \u003d φ (x).

Nangangahulugan ito na ang point M 1 (x o; y o) ng curve y=ƒ(x) ay nagiging point M 2 (y o; x o) ng curve y=φ(x). Ngunit ang mga puntos na M 1 at M 2 ay simetriko tungkol sa tuwid na linya y \u003d x (tingnan ang Fig. 103). Samakatuwid, ang mga graph ng magkabaligtaran na function y=ƒ(x) at y=φ(x) ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate na anggulo.

Kumplikadong function

Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(u) sa set D, at ang function na u= φ(x) sa set D 1 , at para sa  x D 1 ang katumbas na halaga u=φ(x) є D. Pagkatapos sa set D 1 ay tinukoy ang function na u=ƒ(φ(x)), na tinatawag na isang kumplikadong function ng x (o isang superposisyon ng mga ibinigay na function, o isang function ng isang function).

Ang variable na u=φ(x) ay tinatawag na intermediate argument ng isang complex function.

Halimbawa, ang function na y=sin2x ay isang superposisyon ng dalawang function na y=sinu at u=2x. Ang isang kumplikadong function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga intermediate na argumento.

4. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya at ang kanilang mga graph.

Ang mga sumusunod na function ay tinatawag na basic elementary functions.

1) Ang exponential function y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. Sa fig. 104 ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function na tumutugma sa iba't ibang exponential base.

2) Power function y=x α , αєR. Ang mga halimbawa ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan na tumutugma sa iba't ibang mga exponent ay ibinigay sa mga figure

3) Logarithmic function y=log a x, a>0,a≠1; Ang mga graph ng logarithmic function na naaayon sa iba't ibang base ay ipinapakita sa fig. 106.

4) Trigonometric functions y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Ang mga graph ng trigonometriko function ay may anyo na ipinapakita sa fig. 107.

5) Inverse trigonometric functions y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Sa fig. Ang 108 ay nagpapakita ng mga graph ng inverse trigonometriko function.

Ang isang function na ibinibigay ng isang formula, na binubuo ng mga pangunahing elementary function at constants gamit ang isang may hangganang bilang ng mga arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) at operations ng pagkuha ng function mula sa isang function, ay tinatawag na elementary function.

Ang mga halimbawa ng elementarya ay ang mga function

Ang mga halimbawa ng non-elementary functions ay ang functions

5. Mga konsepto ng limitasyon ng isang sequence at isang function. Limitahan ang mga katangian.

Limitasyon sa pag-andar (limitasyon ng pag-andar) sa isang partikular na punto, na naglilimita para sa domain ng kahulugan ng isang function, ay tulad ng isang halaga kung saan ang halaga ng function na isinasaalang-alang ay may kaugaliang kapag ang argumento nito ay may posibilidad sa isang partikular na punto.

Sa matematika limitasyon ng pagkakasunud-sunod Ang mga elemento ng isang metric space o isang topological space ay isang elemento ng parehong espasyo na may pag-aari ng "pag-akit" ng mga elemento ng isang ibinigay na pagkakasunud-sunod. Ang limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng isang topological space ay isang punto, ang bawat kapitbahayan ay naglalaman ng lahat ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilang numero. Sa isang sukatan na espasyo, ang mga kapitbahayan ay tinukoy sa mga tuntunin ng isang function ng distansya, kaya ang konsepto ng isang limitasyon ay nabuo sa wika ng mga distansya. Sa kasaysayan, ang una ay ang konsepto ng limitasyon ng isang numerical sequence, na lumitaw sa mathematical analysis, kung saan ito ay nagsisilbing batayan para sa isang sistema ng approximations at malawakang ginagamit sa pagbuo ng differential at integral calculus.

pagtatalaga:

(basahin: ang limitasyon ng x-nth sequence bilang en tending to infinity ay a)

Ang pag-aari ng isang sequence na magkaroon ng limitasyon ay tinatawag convergence: kung ang isang sequence ay may limitasyon, ang ibinigay na sequence ay sinasabing nagtatagpo; kung hindi (kung ang pagkakasunod-sunod ay walang limitasyon) ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing diverges. Sa isang Hausdorff space, at sa partikular na isang metric space, ang bawat subsequence ng convergent sequence ay nagtatagpo, at ang limitasyon nito ay pareho sa limitasyon ng orihinal na sequence. Sa madaling salita, ang pagkakasunod-sunod ng mga elemento sa isang Hausdorff space ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaibang limitasyon. Maaaring, gayunpaman, lumabas na ang sequence ay walang limitasyon, ngunit mayroong isang subsequence (ng ibinigay na sequence) na may limitasyon. Kung ang anumang pagkakasunud-sunod ng mga punto sa isang espasyo ay may convergent na kasunod, kung gayon ang ibinigay na espasyo ay sinasabing may pag-aari ng sequential compactness (o, simple, compactness kung ang compactness ay eksklusibong tinukoy sa mga tuntunin ng mga sequence).

Ang konsepto ng limitasyon ng isang sequence ay direktang nauugnay sa konsepto ng isang limit point (set): kung ang isang set ay may limitasyon na punto, pagkatapos ay mayroong isang sequence ng mga elemento ng ibinigay na set na nagtatagpo sa ibinigay na punto.

Kahulugan

Hayaang magbigay ng topological space at isang sequence Pagkatapos, kung mayroong isang elementong ganoon

kung saan ay isang bukas na set na naglalaman ng , pagkatapos ito ay tinatawag na limitasyon ng sequence . Kung sukatan ang espasyo, maaaring tukuyin ang limitasyon gamit ang isang sukatan: kung mayroong elementong ganoon

kung saan ang sukatan, pagkatapos ay tinatawag na limitasyon.

· Kung ang isang espasyo ay nilagyan ng isang antidiscrete topology, kung gayon ang limitasyon ng anumang pagkakasunud-sunod ay anumang elemento ng espasyo.

6. Limitasyon ng isang function sa isang punto. Mga unilateral na limitasyon.

Function ng isang variable. Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa isang punto ayon sa Cauchy. Numero b ay tinatawag na limitasyon ng function sa = f(x) sa X nagsusumikap para sa a(o sa punto a) kung para sa anumang positibong numero  mayroong positibong numero  na para sa lahat ng x ≠ a, tulad na | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa isang punto ayon kay Heine. Numero b ay tinatawag na limitasyon ng function sa = f(x) sa X nagsusumikap para sa a(o sa punto a) kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ( x n) nagtatagpo sa a(naghahangad na a, na may limitasyon sa bilang a), at para sa anumang halaga n x n≠ a, kasunod ( y n= f(x n)) nagtatagpo sa b.

Ipinapalagay ng mga kahulugang ito na ang function sa = f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto a, maliban marahil sa mismong punto a.

Ang mga kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto ayon kay Cauchy at ayon kay Heine ay katumbas: kung ang numero b nagsisilbing limitasyon sa isa sa kanila, at gayon din sa pangalawa.

Ang tinukoy na limitasyon ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod:

Sa geometriko, ang pagkakaroon ng limitasyon ng isang function sa isang punto ayon sa Cauchy ay nangangahulugan na para sa anumang numero  > 0, ang naturang parihaba ay maaaring ipahiwatig sa coordinate plane na may base na 2 > 0, isang taas 2 at isang sentro sa punto ( a; b) na ang lahat ng mga punto ng graph ng function na ito sa pagitan ( a– ; a+ ), na may posibleng pagbubukod sa punto M(a; f(a)), humiga sa parihaba na ito

Isang panig na limitasyon sa mathematical analysis, ang limitasyon ng isang numerical function, na nagpapahiwatig ng "paglapit" sa limit point mula sa isang gilid. Ang nasabing mga limitasyon ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit kaliwang limitasyon(o kaliwang limitasyon) at limitasyon sa kanang kamay (limitasyon sa kanan). Hayaang magbigay ng numerical function sa ilang numerical set at ang numero ang limit point ng domain ng definition. Mayroong iba't ibang mga kahulugan para sa mga one-sided na limitasyon ng isang function sa isang punto, ngunit lahat sila ay katumbas.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Maaaring tukuyin ang mga function sa iba't ibang paraan. Gayunpaman, ang sumusunod na tatlong paraan ng pagtukoy ng mga function ay pinaka-karaniwan: analytical, tabular at graphical.

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function. Gamit ang analytical na paraan ng setting, ang function ay tinukoy gamit ang isang analytical expression, iyon ay, gamit ang isang formula na nagpapahiwatig kung anong mga operasyon ang dapat gawin sa halaga ng argumento upang makuha ang kaukulang halaga ng function.

Sa Seksyon 2 at 3, nakilala na namin ang mga function na tinukoy sa tulong ng mga formula, ibig sabihin, analytically. Kasabay nito, sa talata 2 para sa function, ang domain ng kahulugan ) ay itinatag batay sa geometric na pagsasaalang-alang, at para sa function, ang domain ng pagtatalaga ay ipinahiwatig sa kondisyon. Sa Seksyon 3, para sa function, ang domain ng kahulugan ay tinukoy din ayon sa kundisyon. Gayunpaman, kadalasan ang isang function ay tinukoy lamang sa tulong ng isang analytical expression (formula), nang walang anumang karagdagang kundisyon. Sa ganitong mga kaso, sa pamamagitan ng domain ng isang function, ang ibig naming sabihin ay ang hanay ng lahat ng mga halaga ng argument na kung saan ang expression na ito ay may katuturan at humahantong sa aktwal na mga halaga ng function.

Halimbawa 1. Hanapin ang saklaw ng isang function

Desisyon. Ang function ay tinukoy lamang ng isang formula, ang saklaw nito ay hindi tinukoy, at walang mga karagdagang kundisyon. Samakatuwid, sa ilalim ng domain ng function na ito, dapat nating maunawaan ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng argumento kung saan ang expression ay may mga tunay na halaga. Para dito dapat mayroong . Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, dumating tayo sa konklusyon na ang domain ng function na ito ay ang segment [-1.1].

Halimbawa 2. Hanapin ang saklaw ng isang function.

Desisyon. Ang domain ng kahulugan, malinaw naman, ay binubuo ng dalawang walang katapusang pagitan, dahil ang expression ay hindi at may katuturan kapag ang a ay tinukoy para sa lahat ng iba pang mga halaga.

Madali na ngayong makikita ng mambabasa para sa kanyang sarili na para sa isang function, ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, at para sa isang function, isang walang katapusang pagitan.

Dapat tandaan na imposibleng makilala ang isang function at isang formula kung saan tinukoy ang function na ito. Gamit ang parehong formula, maaari mong tukuyin ang iba't ibang mga function. Sa katunayan, sa Seksyon 2 ay itinuring namin ang isang function na may domain ng kahulugan, sa Seksyon 3 isang graph ang ginawa para sa isang function na may domain ng kahulugan . At sa wakas, isinasaalang-alang lang namin ang isang function na tinukoy lamang ng isang formula nang walang anumang karagdagang kundisyon. Ang saklaw ng function na ito ay ang buong axis ng numero. Magkaiba ang tatlong function na ito dahil magkaiba sila ng saklaw. Ngunit itinakda ang mga ito gamit ang parehong formula.

Posible rin ang kabaligtaran na kaso, kapag ang isang function sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito ay ibinigay ng iba't ibang mga formula. Halimbawa, isaalang-alang ang isang function na tinukoy para sa lahat ng mga hindi negatibong halaga tulad ng sumusunod: para sa i.e.

Ang function na ito ay tinukoy ng dalawang analytic na expression na kumikilos sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito. Ang graph ng function na ito ay ipinapakita sa Fig. labing-walo.

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function. Kapag ang isang function ay tinukoy sa isang talahanayan, ang isang talahanayan ay nilikha kung saan ang isang bilang ng mga halaga ng argumento at kaukulang mga halaga ng function ay ipinahiwatig. Ang mga talahanayan ng logarithmic, mga talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko at marami pang iba ay malawak na kilala. Kadalasan ang isang tao ay kailangang gumamit ng mga talahanayan ng mga halaga ng pag-andar na nakuha nang direkta mula sa karanasan. Ang sumusunod na talahanayan ay nagpapakita ng resistivity ng tanso na nakuha mula sa karanasan (sa cm - sentimetro) sa iba't ibang temperatura t (sa degrees):

Graphical na paraan upang tukuyin ang isang function. Kapag ang isang graphical na gawain ay ibinigay, ang graph ng function ay ibinigay, at ang mga halaga nito na tumutugma sa ilang mga halaga ng argumento ay direktang matatagpuan mula sa graph na ito. Sa maraming kaso, ang mga naturang graph ay iginuhit gamit ang mga self-recording device.