Graphical na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation
(Ika-9 na grado)
Teksbuk: Algebra, Baitang 9, inedit ni Teleyakovsky S.A.
Uri ng aralin: isang aralin sa kumplikadong aplikasyon ng kaalaman, kasanayan, kakayahan.
Layunin ng Aralin:
Pang-edukasyon: Bumuo ng kakayahang independiyenteng mag-aplay ng kaalaman sa isang kumplikado, ilipat ito sa mga bagong kundisyon, kabilang ang pagtatrabaho sa isang computer program para sa pag-plot ng mga function graph at paghahanap ng bilang ng mga ugat sa mga ibinigay na equation.
Pang-edukasyon: Upang mabuo ang kakayahan ng mga mag-aaral na i-highlight ang mga pangunahing tampok, magtatag ng pagkakatulad at pagkakaiba. Pagyamanin ang bokabularyo. Bumuo ng pagsasalita, na nagpapalubha sa semantic function nito. Bumuo ng lohikal na pag-iisip, nagbibigay-malay na interes, kultura ng pagbuo ng graphic, memorya, pagkamausisa.
Pang-edukasyon: Linangin ang pakiramdam ng responsibilidad para sa resulta ng kanilang trabaho. Matutong makiramay sa mga tagumpay at kabiguan ng mga kaklase.
Paraan ng edukasyon : computer, multimedia projector, handout.
Plano ng aralin:
Oras ng pag-aayos. Takdang-Aralin - 2 min.
Aktwalisasyon, pag-uulit, pagwawasto ng kaalaman - 8 min.
Pag-aaral ng bagong materyal - 10 min.
Praktikal na gawain - 20 min.
Pagbubuod - 4 min.
Pagninilay - 1 min.
SA PANAHON NG MGA KLASE
Pansamahang sandali - 2 min.
Hello guys! Ngayon ay isang aralin sa isang mahalagang paksa: "Paglutas ng mga sistema ng mga equation."
Walang ganoong mga lugar ng kaalaman sa mga eksaktong agham, saanman inilapat ang paksang ito. Ang epigraph sa ating aralin ay ang mga sumusunod na salita : "Ang isip ay hindi lamang sa kaalaman, kundi pati na rin sa kakayahang gamitin ang kaalaman sa pagsasanay ". (Aristotle)
Pagtatakda ng paksa, layunin at layunin ng aralin.
Ipinapaalam ng guro sa klase ang tungkol sa pag-aaralan sa aralin at itinakda ang gawain upang matutunan kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation na may dalawang variable sa isang grapikong paraan.
Takdang-Aralin (P.18 Blg. 416, 418, 419 a).
Pag-uulit ng teoretikal na materyal - 8 min.
PERO) Guro sa matematika: Ayon sa natapos na mga guhit, sagutin ang mga tanong at bigyang-katwiran ang iyong sagot.
1). Hanapin ang graph ng quadratic function D =0 (Sagutin ng mga mag-aaral ang tanong at pangalan graph 3c).
2). Maghanap ng isang graph ng isang inversely proportional function para sa k > 0 (Sagutin ng mga mag-aaral ang tanong, tumawag sa graph 3a ).
3). Maghanap ng graph ng isang bilog na may gitnang O(-1; -5). (Sagutin ng mga mag-aaral ang tanong, tumawag sa graph 1b).
4). Hanapin ang graph ng function na y =3x -2. (Sagutin ng mga mag-aaral ang tanong at pangalan graph 3b).
5). Hanapin ang graph ng isang quadratic function D >0, a >0. (Sagutin ng mga mag-aaral ang tanong at pangalan graph 1a ).
Guro sa matematika: – Upang matagumpay na malutas ang mga sistema ng mga equation, tandaan natin:
isa). Ano ang sistema ng mga equation? (Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na maraming mga equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng mga hindi alam na sabay-sabay na nagbibigay-kasiyahan sa lahat ng mga equation na ito).
2). Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga equation? (Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga solusyon o patunayan na walang mga solusyon).
3). Ano ang solusyon ng isang sistema ng mga equation? (Ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay isang pares ng mga numero (x; y), kung saan ang lahat ng mga equation ng sistema ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay).
4) Alamin kung ang solusyon ng sistema ng mga equation 
pares ng mga numero: a) x = 1, y = 2;(–)
b) x = 2, y = 4; (+)
c) x \u003d - 2, y \u003d - 4? (+)
III Bagong materyal - 10 min.
Ang aytem 18 ng aklat-aralin ay ipinakita sa pamamagitan ng paraan ng pag-uusap.
Guro sa matematika: Sa kursong algebra sa ika-7 baitang, isinasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation ng unang degree. Ngayon ay haharapin natin ang solusyon ng mga sistema na binubuo ng mga equation ng una at pangalawang antas.
1. Ano ang tinatawag na sistema ng mga equation?
2. Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga equation?
Alam namin na ang algebraic na paraan ay nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng mga eksaktong solusyon sa system, at ang graphical na paraan ay nagbibigay-daan sa iyo upang makita kung gaano karaming mga ugat ang system at hanapin ang mga ito nang humigit-kumulang. Samakatuwid, patuloy nating matututuhan kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation ng pangalawang degree sa mga susunod na aralin, at ngayon ang pangunahing layunin ng aralin ay ang praktikal na aplikasyon ng isang computer program para sa pag-plot ng mga function graph at paghahanap ng bilang ng mga ugat ng sistema ng mga equation.
IV . Praktikal na gawain - 20 min. Paglutas ng mga sistema ng mga equation nang grapiko. Pagpapasiya ng mga ugat ng mga equation.(Pag-plot ng graph sa isang computer.)
Ang mga takdang-aralin ay tinatapos ng mga mag-aaral sa mga kompyuter. Sinusuri ang mga solusyon sa panahon ng operasyon.
y=2x2+5x+3
y=4
y \u003d -2x 2 + 5x + 3
y=-3x+4
y = -2x2 -5x-3
y=-4+2x
y=4x2+5x+3
y=2
y= -4 x 2 +5x+3
y=-3x+2
y = -4x2 -5x-3
y=-2+2x
y = 4 x 2 + 5 x+5
y=3
y = -4x2 +5x+5
y=-x+3
y = -4x2 -5x-5
y=-2+3x
Narito ang mga graph ng dalawang equation. Isulat ang sistema na tinukoy ng mga equation na ito at ang solusyon nito.
– Alin sa mga sumusunod mga sistema kaya mo bang lutasin ang larawang ito?
– 4 na sistema ang ibinigay, kailangan nilang maiugnay sa mga graph. Ngayon ang gawain ay baligtad: mayroon mga tsart, kailangan nilang maiugnay sa system.
Pagbubuod ng aralin. Pagmamarka - 4 min.
* Paglutas ng mga sistema ng mga equation. ( Mga gawaing may asterisk*.)
Mga equation para sa unang pangkat ng mga mag-aaral:
Mga equation para sa ika-2 pangkat ng mga mag-aaral:
Mga equation para sa ikatlong pangkat ng mga mag-aaral:
x y = 6
x 2 + y = 4
x 2 + y = 3
x - y + 1= 0
x 2 - y = 3
Isaalang-alang ang mga sumusunod na equation:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x2 + y2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Ang bawat isa sa mga equation sa itaas ay isang equation na may dalawang variable. Ang hanay ng mga punto sa coordinate plane na ang mga coordinate ay nagpapalit ng equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay tinatawag graph ng isang equation sa dalawang hindi alam.
Graph ng isang equation na may dalawang variable
Ang mga equation na may dalawang variable ay may malawak na pagkakaiba-iba ng mga plot. Halimbawa, para sa equation na 2*x + 3*y = 15, ang graph ay magiging isang tuwid na linya, para sa equation na x 2 + y 2 = 4, ang graph ay magiging isang bilog na may radius na 2, ang graph ng ang equation na y*x = 1 ay magiging hyperbola, atbp.
Ang mga integer equation na may dalawang variable ay mayroon ding isang bagay bilang isang degree. Ang antas na ito ay tinutukoy sa parehong paraan tulad ng para sa buong equation na may isang variable. Upang gawin ito, ang equation ay dinadala sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ay isang polynomial ng karaniwang anyo, at ang kanang bahagi ay zero. Ginagawa ito sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabago.
Graphical na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation
Alamin natin kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation na bubuo ng dalawang equation na may dalawang variable. Isaalang-alang ang isang graphical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema.
Halimbawa 1. Lutasin ang sistema ng mga equation:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
I-plot natin ang mga graph ng una at pangalawang equation sa parehong coordinate system. Ang graph ng unang equation ay magiging isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan at radius 5. Ang graph ng pangalawang equation ay magiging isang parabola na may mga sanga pababa.
Ang lahat ng mga punto ng mga graph ay makakatugon sa kanilang sariling equation. Kailangan nating makahanap ng mga ganoong punto na makakatugon sa una at pangalawang equation. Malinaw, ito ang magiging mga punto kung saan nagsalubong ang dalawang graph na ito.
Gamit ang aming pagguhit, nakita namin ang tinatayang mga halaga ng mga coordinate kung saan nagsalubong ang mga puntong ito. Nakukuha namin ang mga sumusunod na resulta:
A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).
Kaya ang aming sistema ng mga equation ay may apat na solusyon.
x1 ≈ -2.2; y1 ≈ -4.5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2.2; y3 ≈ 4.5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Kung papalitan natin ang mga halagang ito sa mga equation ng ating system, makikita natin na ang una at pangatlong solusyon ay tinatayang, at ang pangalawa at ikaapat ay eksakto. Ang graphical na paraan ay kadalasang ginagamit upang tantiyahin ang bilang ng mga ugat at ang kanilang tinatayang mga hangganan. Ang mga solusyon ay mas madalas na tinatayang kaysa eksakto.
Ang petsa: ________________
Paksa: algebra
Paksa: "Graphic na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation."
Mga layunin: Gumamit ng mga graph upang malutas ang mga sistema ng mga equation.
Mga gawain:
Pang-edukasyon: ituro kung paano lutasin ang mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable sa grapiko.
Pagbuo: pagbuo ng mga kakayahan sa pananaliksik ng mga mag-aaral, pagpipigil sa sarili, pagsasalita.
Pangangalaga: pagpapaunlad ng kultura ng komunikasyon, katumpakan.
Uri ng aralin: pinagsama-sama
Mga Form: Pangharap na survey, magtrabaho nang magkapares.
Sa panahon ng mga klase:
yugto ng organisasyon. Pag-uulat ng paksa ng aralin, pagtatakda ng mga layunin ng aralin.(isulat ang numero, paksa sa isang kuwaderno)
Pagsusuri ng araling-bahay (pagsusuri ng mga hindi nalutas na problema);
Kontrol ng asimilasyon ng materyal:
Pag-uulit at pagsasama-sama ng materyal na sakop:
| Opsyon numero 1 | Opsyon numero 2 |
| I-plot ang function: (xy-1)(x+1)=0 (x-2) 2 + (y + 1) 2 \u003d 4 | I-plot ang function: (xy+1)(y-1)=0 (x-1) 2 + (y + 2) 2 \u003d 4 |
Pag-update ng pangunahing kaalaman:
Kahulugan ng isang linear equation sa dalawang variable.
Ano ang tawag sa solusyon ng isang linear equation sa dalawang variable?
Ano ang tawag sa graph ng isang linear equation na may dalawang variable?
Ano ang graph ng isang linear equation na may dalawang variable?
Ilang puntos ang tumutukoy sa isang linya?
Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga equation?
Ano ang tinatawag na solusyon ng isang sistema ng mga linear equation na may dalawang variable?
Kailan nagsalubong ang dalawang linya sa isang eroplano?
Kailan magkapareho ang dalawang linya sa isang eroplano?
Kailan nagtutugma ang dalawang tuwid na linya sa isang eroplano?
Pag-aaral ng bagong materyal:
Isipin mo sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Desisyon tinatawag na mga sistema ng equation pares ng mga halagamga variable, sino lumingon bawat equation ng system sa tamang pagkakapantay-pantay. Upang malutas ang isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o patunayan na walang mga solusyon.
Isa sa mga epektibo at visual na paraan upang malutas at pag-aralan ang mga equation at sistema ng mga equation graphic na paraan.
Algorithm para sa paglalagay ng equation na may dalawang variable.
Ipahayag ang variable na y sa mga tuntunin ng x.
"Kunin" ang mga puntos na tumutukoy sa graph.
Plot Equation
Algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable sa isang graphical na paraan.
Bumuo ng mga graph ng bawat isa sa mga equation ng system.
Hanapin ang mga coordinate ng intersection point.
Isulat ang sagot.
Halimbawa 1
Lutasin natin ang sistema ng mga equation: 
Buuin natin sa isang coordinate system ang mga graphics ng una X 2
+
y 2 = 25
(bilog) at pangalawa hu= 12 (hyperbola) equation. Malinaw na
Ang mga equation graph ay nagsalubong sa apat na punto PERO(3;
4), AT(4;
3)
C(-3;-4) at D(-4;
3), na ang mga coordinate ay mga solusyon
isang sistema.
T 
Dahil ang mga solusyon ay maaaring matagpuan nang may tiyak na katumpakan sa isang graphical na pamamaraan, dapat silang ma-verify sa pamamagitan ng pagpapalit.
Ang tseke ay nagpapakita na ang sistema ay talagang may apat na solusyon: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).
Gawain sa aralin: Blg. 415 (b); Blg. 416; 419 (b); Blg. 420 (b); Blg. 421 (a, b); 422 (a); 424(b); Blg. 426 pp. 115-117.
Summing up (pagsusuri).
Pagninilay.
Ulitin natin ang algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation nang grapiko.
Gaano karaming mga solusyon ang maaaring magkaroon ng isang sistema ng mga equation?
Sino ang natutong lutasin ang mga sistema ng l equation sa grapikong paraan?
Sinong hindi natuto?
Sino pa ang nagdududa?
Itaas ang iyong mga kamay, sino ang nagustuhan ng aralin? Sinong hindi? Sino ang walang malasakit?
Takdang aralin:§18 pp. 114-115 alamin ang mga tuntunin.
§17 pp.108-110 ulitin ang mga tuntunin.
Ang isang paraan upang malutas ang mga equation ay isang graphical na pamamaraan. Ito ay batay sa paglalagay ng mga function at pagtukoy ng kanilang mga intersection point. Isaalang-alang ang isang graphical na paraan upang malutas ang quadratic equation na a*x^2+b*x+c=0.
Unang paraan upang malutas
Ibahin natin ang equation na a*x^2+b*x+c=0 sa anyo na a*x^2 =-b*x-c. Bumubuo kami ng mga graph ng dalawang function na y= a*x^2 (parabola) at y=-b*x-c (tuwid na linya). Naghahanap ng mga intersection point. Ang abscissas ng mga intersection point ang magiging solusyon ng equation.
Ipakita natin sa isang halimbawa: lutasin ang equation na x^2-2*x-3=0.
Ibahin natin ito sa x^2 =2*x+3. Bumubuo kami ng mga graph ng mga function y= x^2 at y=2*x+3 sa isang coordinate system.
Ang mga graph ay nagsalubong sa dalawang punto. Ang kanilang mga abscissas ang magiging ugat ng ating equation.
Solusyon sa formula
Upang maging kapani-paniwala, sinusuri namin ang solusyon na ito nang analytical. Malutas namin ang quadratic equation sa pamamagitan ng formula:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Ibig sabihin, magkatugma ang mga solusyon.
Ang graphical na paraan ng paglutas ng mga equation ay mayroon ding disbentaha nito, sa tulong kung saan hindi laging posible na makakuha ng eksaktong solusyon ng equation. Subukan nating lutasin ang equation na x^2=3+x.
Bumuo tayo ng parabola y=x^2 at isang tuwid na linya y=3+x sa parehong coordinate system.
Muli ay nakakuha ng katulad na larawan. Ang isang linya at isang parabola ay nagsalubong sa dalawang punto. Ngunit hindi namin masasabi ang eksaktong mga halaga ng abscissas ng mga puntong ito, mga tinatayang lamang: x≈-1.3 x≈2.3.
Kung nasiyahan tayo sa mga sagot ng gayong katumpakan, maaari nating gamitin ang pamamaraang ito, ngunit bihirang mangyari ito. Karaniwan ang mga eksaktong solusyon ay kailangan. Samakatuwid, ang graphical na paraan ay bihirang ginagamit, at higit sa lahat upang suriin ang mga umiiral na solusyon.
Kailangan mo ng tulong sa iyong pag-aaral?
Nakaraang paksa:
Institusyong pang-edukasyon ng estado ng munisipyo
Sekondaryang paaralan ng Popovskaya
ipinangalan sa Bayani ng Unyong Sobyet N.K. Gorbanev
Pampublikong aralin
mga guro sa matematika
Voronina Vera Vladimirovna,
math noong grade 9
sa paksa: "Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation"
Uri ng aralin: aralin sa pagkatuto ng bagong materyal.
2017/2018 akademikong taon
Graphical na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation. Ika-9 na grado
Voronina Vera Vladimirovna, guro ng matematika.
kung aralin:
didactic:
tumuklas, kasama ng mga mag-aaral, ng isang bagong paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation;
magpakita ng algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation sa graphic na paraan;
matukoy kung gaano karaming mga solusyon ang isang sistema ng mga equation;
matutong maghanap ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation sa graphical na paraan;
ulitin ang pagbuo ng mga graph ng elementarya function;
lumikha ng mga kondisyon para sa kontrol (pagpipigil sa sarili) ng mga mag-aaral:
pang-edukasyon:
pagpapaunlad ng isang responsableng saloobin sa trabaho,
katumpakan ng pag-iingat ng rekord.
Sa panahon ng mga klase.
I. Pansamahang sandali.
Ano ang isang function? (slide 3-11)
Ano ang function graph?
Anong mga uri ng pag-andar ang alam mo?
Ano ang formula para sa isang linear function? Ano ang graph ng isang linear function?
Ano ang formula para sa direktang proporsyonalidad? Ano ang kanyang iskedyul?
Ano ang formula para sa inverse proportion? Ano ang kanyang iskedyul?
Ano ang formula para sa isang quadratic function? Ano ang kanyang iskedyul?
Ano ang equation para sa isang bilog?
Ano ang tinatawag na graph ng isang equation na may dalawang variable; (slide 12)
Ang pagkilala sa mga equation na ginamit sa mas mataas na matematika at ang kanilang mga graph (strophoid, Bernoulli's Lemniscate, astroid, cardioid) ay nakaayos. (slide 13-16)
Ang kwento ng guro ay sinamahan ng isang slide show na may mga graph na ito.
Ipahayag ang variable na y sa mga tuntunin ng x:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12
Ang isang pares ng mga numero (1; 0) ay isang solusyon sa equation
a) x² + y \u003d 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.
Ano ang solusyon ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable?
Alin sa mga pares ng mga numero ang solusyon sa sistema ng mga equation
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
sa 21)
d) (3; 0)
Anong mga equation ang maaaring gamitin upang bumuo ng isang sistema ng mga equation, na ang solusyon ay magiging isang pares ng mga numero (2; 1)
a) 2x - y \u003d 3
b) 3x - 2y \u003d 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2
III. Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral sa pinag-aralan na materyal. (slide 20, 21)
Ngayon ay uulitin at pagsasamahin natin ang isa sa mga paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation. Ang pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal ay isinasagawa sa tulong ng visual na pang-unawa (ang slide ay nagpapakita ng isang graphical na solusyon ng sistema ng mga equation):
Ang graph ng isang equation na may dalawang variable ay isang set ng mga puntos sa coordinate plane na ang mga coordinate ay nagiging equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay. Ang mga graph ng mga equation na may dalawang hindi alam ay magkakaiba.
Mga tanong para sa slide na ito:
Ano ang graph ng equation x² + y²=25?
Ano ang graph ng equation na y = - x² +2x +5?
Ang mga coordinate ng anumang punto sa bilog ay makakatugon sa equation na x² + y²=25, ang mga coordinate ng anumang punto sa parabola ay makakatugon sa equation na y = - x² +2x +5.
Aling mga coordinate ang makakatugon sa una at pangalawang equation?
Ilang punto ng intersection mayroon ang mga graph na ito?
Ilang solusyon mayroon ang sistemang ito?
Pangalanan ang mga solusyong ito?
Ano ang kailangang gawin upang graphical na malutas ang isang sistema ng mga equation na may dalawang variable?
Ang isang slide ay iminungkahi, na nagpapakita ng isang algorithm para sa isang graphical na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam.
Grapikong paraan ay naaangkop sa solusyon ng anumang sistema, ngunit sa tulong ng mga graph ng mga equation, posible na humigit-kumulang na makahanap ng mga solusyon sa system. Ilan lamang sa mga nahanap na solusyon ng system ang maaaring maging eksakto. Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng pagpapalit ng kanilang mga coordinate sa mga equation ng system.
IV. Application ng pinag-aralan na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.
1. Lutasin nang grapiko ang sistema ng mga equation (slide 23)
Ano ang graph ng equation na xy = 3?
Ano ang graph ng equation na 3x - y = 0?
2. Isulat ang sistema na tinukoy ng mga equation na ito at ang solusyon nito. (slide 24)
Pagtatanong ng mga nangungunang katanungan:
Isulat ang sistema na tinukoy ng mga equation na ito?
Ilang intersection point mayroon ang mga graph na ito?
Ilang solusyon mayroon itong sistema ng mga equation?
Ano ang mga solusyon sa sistemang ito ng mga equation?
3. Pagkumpleto ng gawain mula sa GIA (slide 25).
4. Lutasin nang grapiko ang sistema ng mga equation (slide 26)
Ang gawain ay tinatapos ng mga mag-aaral sa mga kuwaderno. Sinusuri ang solusyon.
V. Ang mga resulta ng aralin.
Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga equation sa dalawang variable?
Anong paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation na may dalawang variable ang nakilala mo?
Ano ang kakanyahan nito?
Nagbibigay ba ng tumpak na resulta ang pamamaraang ito?
Kailan walang solusyon ang sistema ng mga equation?
VI. Takdang aralin.
Aytem 18, Blg. 420 (237), 425 (240)
