Equation ng isang linya sa isang eroplano.

Tulad ng nalalaman, ang anumang punto sa eroplano ay tinutukoy ng dalawang coordinate sa ilang coordinate system. Ang mga sistema ng coordinate ay maaaring magkakaiba depende sa pagpili ng batayan at pinagmulan.

Kahulugan. Line equation ay ang kaugnayan y = f(x) sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos na bumubuo sa linyang ito.

Tandaan na ang line equation ay maaaring ipahayag sa parametric na paraan, iyon ay, ang bawat coordinate ng bawat punto ay ipinahayag sa pamamagitan ng ilang independiyenteng parameter. t.

Ang isang tipikal na halimbawa ay ang tilapon ng isang gumagalaw na punto. Sa kasong ito, ang oras ay gumaganap ng papel ng isang parameter.

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

bukod dito, ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, i.e. A 2 + B 2  0. Tinatawag itong first-order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A  0, B  0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B  0, C  0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Ox axis

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A  0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B  0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A (1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression.

Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C \u003d 0, samakatuwid C \u003d -1.

Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero.

Sa isang eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1  x 2 at x \u003d x 1, kung x 1 \u003d x 2.

Maliit na bahagi
=k ay tinatawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 ay humahantong sa anyo:

at italaga
, pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa talata na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector ( 1 ,  2), ang mga bahagi na nakakatugon sa kondisyon A 1 + B 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa puntong A(1, 2).

Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1A + (-1)B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

sa x = 1, y = 2 nakukuha namin ang С/A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C 0, kung gayon, ang paghahati sa –C, nakukuha natin:
o

, saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation na Ax + Wy + C = 0 na hinati sa numero
, na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcos + ysin - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign  ng normalizing factor upang ang С< 0.

p ay ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya, at  ay ang anggulo na nabuo ng patayo na ito na may positibong direksyon ng Ox axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng equation para sa linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

normal na equation ng isang tuwid na linya:

; cos = 12/13; kasalanan = -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ay hindi akma sa kondisyon ng problema.

Kabuuan:
o x + y - 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:
, kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

.

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 .

Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/k 2 .

Teorama. Mga tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang mga coefficients A ay proporsyonal 1 =  A, B 1 =  B. Kung din C 1 =  C, pagkatapos ay nag-tutugma ang mga linya.

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

patayo sa linyang ito.

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0 , y 0 ), kung gayon ang distansya sa linyang Ax + Vy + C = 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M patungo sa isang naibigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

Ang x 1 at y 1 na mga coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya.

Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

.

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Nahanap namin ang equation ng side AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k = . Pagkatapos y =
. kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito:
saan b = 17. Kabuuan:
.

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytical geometry sa espasyo.

Line equation sa espasyo.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo sa pamamagitan ng isang punto at

vector ng direksyon.

Kumuha ng isang arbitrary na linya at isang vector (m, n, p) parallel sa ibinigay na linya. Vector tinawag gabay na vector tuwid.

Kumuha tayo ng dalawang arbitrary na puntos na M 0 (x 0 , y 0 , z 0) at M(x, y, z) sa tuwid na linya.

z

M1

Tukuyin natin ang radius vectors ng mga puntong ito bilang at , halata naman yun - =
.

kasi mga vector
at ay collinear, kung gayon ang kaugnayan ay totoo
= t, kung saan ang t ay ilang parameter.

Sa kabuuan, maaari nating isulat: = + t.

kasi ang equation na ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto sa linya, kung gayon ang resultang equation ay parametric equation ng isang tuwid na linya.

Ang vector equation na ito ay maaaring katawanin sa coordinate form:

Pagbabago ng sistemang ito at pag-equate ng mga halaga ng parameter t, nakuha namin ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo:

.

Kahulugan. Mga cosine ng direksyon Ang direktang ay ang mga cosines ng direksyon ng vector , na maaaring kalkulahin ng mga formula:

;

.

Mula dito nakukuha natin ang: m: n: p = cos : cos : cos.

Tinatawag ang mga numerong m, n, p mga kadahilanan ng slope tuwid. kasi ay isang di-zero na vector, ang m, n at p ay hindi maaaring maging zero sa parehong oras, ngunit ang isa o dalawa sa mga numerong ito ay maaaring maging zero. Sa kasong ito, sa equation ng isang tuwid na linya, ang kaukulang mga numerator ay dapat na katumbas ng zero.

Equation ng isang tuwid na linya sa pagpasa ng espasyo

sa pamamagitan ng dalawang puntos.

Kung ang dalawang di-makatwirang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2) ay minarkahan sa isang tuwid na linya sa espasyo, kung gayon ang mga coordinate ng mga puntong ito ay dapat matugunan ang equation ng tuwid na linya na nakuha sa itaas:

.

Bilang karagdagan, para sa punto M 1 maaari naming isulat:

.

Paglutas ng mga equation na ito nang magkasama, nakukuha natin:

.

Ito ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos sa espasyo.

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ituring bilang ang equation ng isang linya ng intersection ng dalawang eroplano.

Tulad ng tinalakay sa itaas, ang isang eroplano sa anyong vector ay maaaring ibigay ng equation:

+ D = 0, kung saan

- normal na eroplano; - radius-vector ng isang arbitrary na punto ng eroplano.

Aralin mula sa seryeng "Geometric Algorithm"

Kamusta mahal na mambabasa!

Ngayon ay magsisimula tayong mag-aral ng mga algorithm na may kaugnayan sa geometry. Ang katotohanan ay napakaraming problema ng Olympiad sa computer science na may kaugnayan sa computational geometry, at ang solusyon sa mga problemang ito ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap.

Sa ilang mga aralin, isasaalang-alang namin ang isang bilang ng mga elementarya na subproblema kung saan nakabatay ang solusyon sa karamihan ng mga problema ng computational geometry.

Sa araling ito, susulat tayo ng isang programa para sa paghahanap ng equation ng isang tuwid na linya pagdaan sa ibinigay dalawang tuldok. Upang malutas ang mga geometric na problema, kailangan namin ng ilang kaalaman sa computational geometry. Ilalaan natin ang bahagi ng aralin upang makilala sila.

Impormasyon mula sa computational geometry

Ang computational geometry ay isang sangay ng computer science na nag-aaral ng mga algorithm para sa paglutas ng mga geometric na problema.

Ang paunang data para sa mga naturang problema ay maaaring isang hanay ng mga punto sa eroplano, isang hanay ng mga segment, isang polygon (ibinigay, halimbawa, sa pamamagitan ng isang listahan ng mga vertice nito sa clockwise order), atbp.

Ang resulta ay maaaring alinman sa isang sagot sa ilang tanong (gaya ng isang punto ay nabibilang sa isang segment, nagsa-intersect ang dalawang segment, ...), o ilang geometric na bagay (halimbawa, ang pinakamaliit na convex polygon na nagkokonekta sa mga ibinigay na punto, ang lugar ng isang polygon, atbp.).

Isasaalang-alang namin ang mga problema ng computational geometry lamang sa eroplano at sa Cartesian coordinate system lamang.

Mga vector at coordinate

Upang mailapat ang mga pamamaraan ng computational geometry, kinakailangan na isalin ang mga geometric na imahe sa wika ng mga numero. Ipagpalagay namin na ang isang Cartesian coordinate system ay ibinibigay sa eroplano, kung saan ang direksyon ng pag-ikot ng counterclockwise ay tinatawag na positibo.

Ngayon ang mga geometric na bagay ay tumatanggap ng isang analytical expression. Kaya, upang magtakda ng isang punto, sapat na upang tukuyin ang mga coordinate nito: isang pares ng mga numero (x; y). Maaaring tukuyin ang isang segment sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga dulo nito, maaaring tukuyin ang isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga coordinate ng isang pares ng mga punto nito.

Ngunit ang pangunahing tool para sa paglutas ng mga problema ay mga vectors. Hayaan akong ipaalala sa iyo, samakatuwid, ng ilang impormasyon tungkol sa kanila.

Segment ng linya AB, na may punto PERO isinasaalang-alang ang simula (punto ng aplikasyon), at ang punto AT- ang dulo ay tinatawag na vector AB at tinutukoy ng alinman sa , o isang naka-bold na maliit na titik, halimbawa a .

Upang tukuyin ang haba ng isang vector (iyon ay, ang haba ng kaukulang segment), gagamitin namin ang simbolo ng module (halimbawa, ).

Ang isang di-makatwirang vector ay magkakaroon ng mga coordinate na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kaukulang mga coordinate ng pagtatapos at simula nito:

,

tuldok dito A at B may mga coordinate ayon sa pagkakabanggit.

Para sa mga kalkulasyon, gagamitin namin ang konsepto oriented na anggulo, iyon ay, isang anggulo na isinasaalang-alang ang kamag-anak na posisyon ng mga vectors.

Naka-orient na anggulo sa pagitan ng mga vector a at b positibo kung ang pag-ikot ay malayo sa vector a sa vector b ay ginagawa sa positibong direksyon (counterclockwise) at negatibo sa kabilang kaso. Tingnan ang fig.1a, fig.1b. Ito rin ay sinabi na ang isang pares ng mga vectors a at b positively (negatively) oriented.

Kaya, ang halaga ng oriented na anggulo ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng enumeration ng mga vectors at maaaring kumuha ng mga halaga sa pagitan.

Maraming mga problema sa computational geometry ang gumagamit ng konsepto ng vector (skew o pseudoscalar) na mga produkto ng mga vector.

Ang produkto ng vector ng mga vectors a at b ay ang produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

.

Vector na produkto ng mga vector sa mga coordinate:

Ang expression sa kanan ay isang second-order determinant:

Hindi tulad ng kahulugan na ibinigay sa analytic geometry, ito ay isang scalar.

Tinutukoy ng tanda ng cross product ang posisyon ng mga vector na nauugnay sa bawat isa:

a at b positibong nakatuon.

Kung ang halaga ay , kung gayon ang pares ng mga vector a at b negatibong nakatuon.

Ang cross product ng nonzero vectors ay zero kung at kung sila ay collinear ( ). Nangangahulugan ito na nakahiga sila sa parehong linya o sa parallel na linya.

Isaalang-alang natin ang ilang mga simpleng gawain na kailangan para sa paglutas ng mga mas kumplikado.

Tukuyin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang magkaibang puntos na ibinigay ng kanilang mga coordinate.

Hayaang magbigay ng dalawang di-nagtutugmang puntos sa linya: na may mga coordinate (x1;y1) at may mga coordinate (x2; y2). Alinsunod dito, ang vector na may simula sa punto at dulo sa punto ay may mga coordinate (x2-x1, y2-y1). Kung ang P(x, y) ay isang arbitrary na punto sa aming linya, kung gayon ang mga coordinate ng vector ay (x-x1, y - y1).

Sa tulong ng cross product, ang kondisyon para sa collinearity ng mga vectors at maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Yung. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Muli naming isinusulat ang huling equation tulad ng sumusunod:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Kaya, ang tuwid na linya ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng form (1).

Gawain 1. Naibibigay ang mga coordinate ng dalawang puntos. Hanapin ang representasyon nito sa anyong ax + by + c = 0.

Sa araling ito, nakilala namin ang ilang impormasyon mula sa computational geometry. Nalutas namin ang problema ng paghahanap ng equation ng linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Sa susunod na aralin, susulat tayo ng isang programa upang mahanap ang intersection point ng dalawang linya na ibinigay ng ating mga equation.

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa tatlong-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

• nagsalubong ang mga linya;

• tuwid na mga linya ay parallel;

• nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at Sa Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Desisyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Desisyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Desisyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha natin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung ang isang punto ay ibinigay M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Ang mga kanonikal na equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay mga equation na tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto nang collinearly sa isang vector ng direksyon.

Hayaang magbigay ng isang punto at isang vector ng direksyon. Ang isang arbitrary na punto ay namamalagi sa isang linya l lamang kung ang mga vector at ay collinear, ibig sabihin, natutugunan nila ang kundisyon:

.

Ang mga equation sa itaas ay ang mga canonical equation ng linya.

Numero m , n at p ay mga projection ng vector ng direksyon papunta sa mga coordinate axes. Dahil ang vector ay hindi zero, kung gayon ang lahat ng mga numero m , n at p hindi maaaring maging zero sa parehong oras. Ngunit ang isa o dalawa sa mga ito ay maaaring zero. Sa analytical geometry, halimbawa, pinapayagan ang sumusunod na notasyon:

,

na nangangahulugan na ang mga projection ng vector sa mga axes Oy at Oz ay katumbas ng zero. Samakatuwid, pareho ang vector at ang tuwid na linya na ibinigay ng mga canonical equation ay patayo sa mga axes Oy at Oz, ibig sabihin, mga eroplano yOz .

Halimbawa 1 Bumuo ng mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na patayo sa isang eroplano at dumadaan sa punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis Oz .

Desisyon. Hanapin ang punto ng intersection ng ibinigay na eroplano na may axis Oz. Dahil sa anumang punto sa axis Oz, ay may mga coordinate , kung gayon, ipagpalagay sa ibinigay na equation ng eroplano x=y= 0, nakakakuha tayo ng 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Samakatuwid, ang punto ng intersection ng ibinigay na eroplano na may axis Oz ay may mga coordinate (0; 0; 2). Dahil ang nais na linya ay patayo sa eroplano, ito ay parallel sa normal na vector nito. Samakatuwid, ang normal na vector ay maaaring magsilbi bilang ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya binigay na eroplano.

Ngayon ay isinusulat namin ang nais na mga equation ng tuwid na linya na dumadaan sa punto A= (0; 0; 2) sa direksyon ng vector :

Mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos

Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng dalawang puntos na nakahiga dito at Sa kasong ito, ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya ay maaaring ang vector . Pagkatapos ang mga canonical equation ng linya ay kunin ang form

.

Ang mga equation sa itaas ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto.

Halimbawa 2 Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na dumadaan sa mga puntos at .

Desisyon. Isinulat namin ang nais na mga equation ng tuwid na linya sa form na ibinigay sa itaas sa teoretikal na sanggunian:

.

Dahil , pagkatapos ay ang nais na linya ay patayo sa axis Oy .

Tuwid bilang isang linya ng intersection ng mga eroplano

Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring tukuyin bilang isang linya ng intersection ng dalawang di-parallel na eroplano at, ibig sabihin, bilang isang set ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa isang sistema ng dalawang linear equation

Ang mga equation ng system ay tinatawag ding pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Halimbawa 3 Bumuo ng mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa puwang na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

Desisyon. Upang isulat ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya o, kung ano ang pareho, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng anumang dalawang puntos sa tuwid na linya. Maaari silang maging mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may anumang dalawang coordinate na eroplano, halimbawa yOz at xOz .

Punto ng intersection ng isang linya na may eroplano yOz may abscissa x= 0 . Samakatuwid, ipagpalagay sa sistemang ito ng mga equation x= 0 , nakakakuha tayo ng system na may dalawang variable:

Ang kanyang desisyon y = 2 , z= 6 kasama ang x= 0 ay tumutukoy sa isang punto A(0; 2; 6) ng gustong linya. Ipagpalagay na sa ibinigay na sistema ng mga equation y= 0 , nakukuha namin ang system

Ang kanyang desisyon x = -2 , z= 0 kasama ng y= 0 ay tumutukoy sa isang punto B(-2; 0; 0) intersection ng isang linya na may eroplano xOz .

Ngayon isinusulat namin ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos A(0; 2; 6) at B (-2; 0; 0) :

,

o pagkatapos hatiin ang mga denominador sa -2:

,

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano: isaalang-alang ang ganitong uri ng equation bilang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Tukuyin natin ang isang teorama at ibigay ang patunay nito; Alamin natin kung ano ang isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya at kung paano gumawa ng mga paglipat mula sa isang pangkalahatang equation patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya. Pagsasama-samahin natin ang buong teorya na may mga ilustrasyon at paglutas ng mga praktikal na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hayaang magbigay ng rectangular coordinate system O x y sa eroplano.

Teorama 1

Anumang equation ng unang degree, na may anyo A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang A, B, C ay ilang mga tunay na numero (A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano. Kaugnay nito, ang anumang linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano ay tinutukoy ng isang equation na may anyo na A x + B y + C = 0 para sa isang tiyak na hanay ng mga halaga A, B, C.

Patunay

Ang teorama na ito ay binubuo ng dalawang puntos, patunayan natin ang bawat isa sa kanila.

1. Patunayan natin na ang equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa isang linya sa eroplano.

Hayaang magkaroon ng ilang punto M 0 (x 0 , y 0) na ang mga coordinate ay tumutugma sa equation na A x + B y + C = 0 . Kaya: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation A x + B y + C \u003d 0 ang kaliwa at kanang bahagi ng equation A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, nakakakuha kami ng bagong equation na mukhang A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ito ay katumbas ng A x + B y + C = 0 .

Ang resultang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Kaya, ang hanay ng mga puntos na M (x, y) ay tumutukoy sa isang rectangular coordinate system ng isang tuwid na linya na patayo sa direksyon ng vector n → = (A, B) . Maaari nating ipagpalagay na hindi ito ganoon, ngunit ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay hindi magiging patayo, at ang pagkakapantay-pantay A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ay hindi magiging totoo.

Samakatuwid, ang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ay tumutukoy sa isang tiyak na linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano, at samakatuwid ay ang katumbas na equation A x + B y + C \u003d 0 tumutukoy sa parehong linya. Sa gayon ay napatunayan natin ang unang bahagi ng teorama.

1. Patunayan natin na ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree A x + B y + C = 0 .

Magtakda tayo ng isang tuwid na linya a sa isang rectangular coordinate system sa eroplano; punto M 0 (x 0 , y 0) kung saan dumadaan ang linyang ito, gayundin ang normal na vector ng linyang ito n → = (A , B) .

Hayaang mayroon ding ilang punto M (x , y) - isang lumulutang na punto ng linya. Sa kasong ito, ang mga vectors n → = (A , B) at M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ay patayo sa isa't isa, at ang kanilang scalar product ay zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Isulat muli natin ang equation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tukuyin ang C: C = - A x 0 - B y 0 at sa wakas ay makuha ang equation A x + B y + C = 0 .

Kaya, napatunayan na natin ang ikalawang bahagi ng theorem, at napatunayan na natin ang buong theorem sa kabuuan.

Kahulugan 1

Isang equation na mukhang A x + B y + C = 0 - Ito pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate systemO x y .

Batay sa napatunayang teorama, maaari nating tapusin na ang isang tuwid na linya na ibinigay sa isang eroplano sa isang nakapirming rectangular coordinate system at ang pangkalahatang equation nito ay hindi mapaghihiwalay na magkakaugnay. Sa madaling salita, ang orihinal na linya ay tumutugma sa pangkalahatang equation nito; ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay tumutugma sa isang ibinigay na tuwid na linya.

Sumusunod din ito mula sa patunay ng theorem na ang mga coefficient A at B para sa mga variable na x at y ay ang mga coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya, na ibinibigay ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C = 0 .

Isaalang-alang ang isang tiyak na halimbawa ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Hayaang ibigay ang equation na 2 x + 3 y - 2 = 0, na tumutugma sa isang tuwid na linya sa isang ibinigay na rectangular coordinate system. Ang normal na vector ng linyang ito ay ang vector n → = (2 , 3) ​​​​. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pagguhit.

Ang mga sumusunod ay maaari ding pagtalunan: ang tuwid na linya na nakikita natin sa pagguhit ay tinutukoy ng pangkalahatang equation 2 x + 3 y - 2 = 0, dahil ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tuwid na linya ay tumutugma sa equation na ito.

Makukuha natin ang equation na λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng pangkalahatang straight line equation sa isang non-zero number na λ. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na pangkalahatang equation, samakatuwid, ilalarawan nito ang parehong linya sa eroplano.

Kahulugan 2

Kumpletuhin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya- tulad ng isang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang mga numero A, B, C ay hindi zero. Kung hindi, ang equation ay hindi kumpleto.

Suriin natin ang lahat ng mga pagkakaiba-iba ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng tuwid na linya.

1. Kapag A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ang pangkalahatang equation ay magiging B y + C \u003d 0. Ang ganitong hindi kumpletong pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na kahanay sa O x axis, dahil para sa anumang tunay na halaga ng x, ang variable na y ay kukuha sa halaga - C B . Sa madaling salita, ang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0, kapag ang A \u003d 0, B ≠ 0, ay tumutukoy sa locus ng mga puntos (x, y) na ang mga coordinate ay katumbas ng parehong numero - C B .
2. Kung A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang pangkalahatang equation ay magiging y \u003d 0. Ang nasabing hindi kumpletong equation ay tumutukoy sa x-axis O x .
3. Kapag A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, nakakakuha kami ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C \u003d 0, na tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis.
4. Hayaan ang A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, kung gayon ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kukuha ng form x \u003d 0, at ito ang equation ng coordinate line O y.
5. Sa wakas, kapag ang A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay nasa anyo na A x + B y \u003d 0. At ang equation na ito ay naglalarawan ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan. Sa katunayan, ang pares ng mga numero (0 , 0) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay A x + B y = 0 , dahil A · 0 + B · 0 = 0 .

Ilarawan natin nang grapiko ang lahat ng nasa itaas na uri ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 1

Alam na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa y-axis at dumadaan sa puntong 2 7 , - 11 . Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Desisyon

Ang isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis ay ibinibigay ng isang equation ng form A x + C \u003d 0, kung saan A ≠ 0. Tinutukoy din ng kundisyon ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa mga kondisyon ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C = 0 , i.e. tama ang pagkakapantay-pantay:

A 2 7 + C = 0

Posibleng matukoy ang C mula dito sa pamamagitan ng pagbibigay sa A ng ilang di-zero na halaga, halimbawa, A = 7 . Sa kasong ito, makakakuha tayo ng: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Alam natin ang parehong coefficients A at C, palitan ang mga ito sa equation na A x + C = 0 at makuha ang kinakailangang equation ng linya: 7 x - 2 = 0

Sagot: 7 x - 2 = 0

Halimbawa 2

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang tuwid na linya, kinakailangan na isulat ang equation nito.

Desisyon

Ang ibinigay na pagguhit ay nagpapahintulot sa amin na madaling kunin ang paunang data para sa paglutas ng problema. Nakikita natin sa pagguhit na ang ibinigay na linya ay kahanay sa O x axis at dumadaan sa punto (0 , 3) ​​​​.

Ang tuwid na linya, na kahanay sa abscissa, ay tinutukoy ng hindi kumpletong pangkalahatang equation B y + С = 0. Hanapin ang mga halaga ng B at C. Ang mga coordinate ng punto (0, 3), dahil ang isang naibigay na tuwid na linya ay dumadaan dito, ay masisiyahan ang equation ng tuwid na linya B y + С = 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay wasto: В · 3 + С = 0. Itakda natin ang B sa ilang halaga maliban sa zero. Sabihin nating B \u003d 1, sa kasong ito, mula sa pagkakapantay-pantay B · 3 + C \u003d 0 mahahanap natin ang C: C \u003d - 3. Gamit ang mga kilalang halaga ng B at C, nakuha namin ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: y - 3 = 0.

Sagot: y - 3 = 0 .

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto ng eroplano

Hayaang dumaan ang ibinigay na linya sa puntong M 0 (x 0, y 0), pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linya, i.e. ang pagkakapantay-pantay ay totoo: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Ibawas ang kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito mula sa kaliwa at kanang bahagi ng pangkalahatang kumpletong equation ng tuwid na linya. Nakukuha namin ang: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ang equation na ito ay katumbas ng orihinal na pangkalahatan, dumadaan sa puntong M 0 (x 0, y 0) at may normal na vector n → \u003d (A, B) .

Ang resulta na aming nakuha ay ginagawang posible na isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya para sa mga kilalang coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya at ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ng tuwid na linya na ito.

Halimbawa 3

Ibinigay ang isang punto M 0 (- 3, 4) kung saan dumadaan ang linya, at ang normal na vector ng linyang ito n → = (1 , - 2) . Kinakailangang isulat ang equation ng isang tuwid na linya.

Desisyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang kinakailangang data para sa pag-compile ng equation: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Pagkatapos:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ang problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyong A x + B y + C = 0 . Ang ibinigay na normal na vector ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang mga halaga ng mga coefficient A at B , pagkatapos:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ngayon hanapin natin ang halaga ng C, gamit ang puntong M 0 (- 3, 4) na ibinigay ng kondisyon ng problema, kung saan dumadaan ang linya. Ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa equation x - 2 · y + C = 0 , i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Kaya C = 11. Ang kinakailangang straight line equation ay nasa anyong: x - 2 · y + 11 = 0 .

Sagot: x - 2 y + 11 = 0 .

Halimbawa 4

Ibinigay ang isang linya 2 3 x - y - 1 2 = 0 at isang punto M 0 na nakahiga sa linyang ito. Tanging ang abscissa ng puntong ito ay kilala, at ito ay katumbas ng - 3. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ordinate ng ibinigay na punto.

Desisyon

Itakda natin ang pagtatalaga ng mga coordinate ng punto M 0 bilang x 0 at y 0 . Ang paunang data ay nagpapahiwatig na x 0 \u003d - 3. Dahil ang punto ay kabilang sa isang naibigay na linya, ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linyang ito. Kung gayon ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tukuyin ang y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Sagot: - 5 2

Ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya at vice versa

Tulad ng alam natin, mayroong ilang mga uri ng equation ng parehong tuwid na linya sa eroplano. Ang pagpili ng uri ng equation ay depende sa mga kondisyon ng problema; posible na pumili ng isa na mas maginhawa para sa solusyon nito. Ito ay kung saan ang kakayahan ng pag-convert ng isang equation ng isang uri sa isang equation ng isa pang uri ay dumating sa napaka-madaling gamitin.

Una, isaalang-alang ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng anyong A x + B y + C = 0 hanggang sa canonical equation x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kung A ≠ 0, pagkatapos ay ililipat namin ang terminong B y sa kanang bahagi ng pangkalahatang equation. Sa kaliwang bahagi, kinuha namin ang A mula sa mga bracket. Bilang resulta, nakukuha natin ang: A x + C A = - B y .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang proporsyon: x + C A - B = y A .

Kung B ≠ 0, iniiwan lamang namin ang terminong A x sa kaliwang bahagi ng pangkalahatang equation, inililipat namin ang iba sa kanang bahagi, nakukuha namin: A x \u003d - B y - C. Inalis namin ang - B mula sa mga bracket, pagkatapos ay: A x \u003d - B y + C B.

Isulat muli natin ang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - B = y + C B A .

Siyempre, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga resultang formula. Sapat na malaman ang algorithm ng mga aksyon sa panahon ng paglipat mula sa pangkalahatang equation hanggang sa canonical.

Halimbawa 5

Ang pangkalahatang equation ng linya 3 y - 4 = 0 ay ibinigay. Kailangan itong i-convert sa isang canonical equation.

Desisyon

Isinulat namin ang orihinal na equation bilang 3 y - 4 = 0 . Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm: ang terminong 0 x ay nananatili sa kaliwang bahagi; at sa kanang bahagi ay kinuha namin - 3 sa labas ng mga bracket; makuha natin ang: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Isulat natin ang resultang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - 3 = y - 4 3 0 . Kaya, nakuha namin ang isang equation ng canonical form.

Sagot: x - 3 = y - 4 3 0.

Upang baguhin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa mga parametric, una, ang paglipat sa canonical form ay isinasagawa, at pagkatapos ay ang paglipat mula sa canonical equation ng tuwid na linya patungo sa parametric equation.

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation na 2 x - 5 y - 1 = 0 . Isulat ang mga parametric equation ng linyang ito.

Desisyon

Gawin natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation patungo sa kanonikal:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ngayon kunin natin ang parehong bahagi ng resultang canonical equation na katumbas ng λ, pagkatapos:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Sagot:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ang pangkalahatang equation ay maaaring ma-convert sa isang straight line equation na may slope y = k x + b, ngunit kapag B ≠ 0 lamang. Para sa paglipat sa kaliwang bahagi, iniiwan namin ang terminong B y , ang natitira ay inililipat sa kanan. Nakukuha namin ang: B y = - A x - C . Hatiin natin ang parehong bahagi ng resultang pagkakapantay-pantay sa B , na iba sa zero: y = - A B x - C B .

Halimbawa 7

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay: 2 x + 7 y = 0 . Kailangan mong i-convert ang equation na iyon sa isang slope equation.

Desisyon

Gawin natin ang mga kinakailangang aksyon ayon sa algorithm:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Sagot: y = - 2 7 x .

Mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, sapat na upang makakuha lamang ng isang equation sa mga segment ng form x a + y b \u003d 1. Upang makagawa ng gayong paglipat, inililipat namin ang numero C sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, hatiin ang parehong bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng - С at, sa wakas, ilipat ang mga coefficient para sa mga variable na x at y sa mga denominator:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Halimbawa 8

Kinakailangang i-convert ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya x - 7 y + 1 2 = 0 sa equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Desisyon

Ilipat natin ang 1 2 sa kanang bahagi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Hatiin sa -1/2 magkabilang panig ng equation: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Sagot: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Sa pangkalahatan, madali din ang reverse transition: mula sa iba pang mga uri ng equation hanggang sa pangkalahatan.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment at ang equation na may slope ay madaling ma-convert sa isang pangkalahatan sa pamamagitan lamang ng pagkolekta ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ang canonical equation ay na-convert sa pangkalahatan ayon sa sumusunod na scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Upang makapasa mula sa parametric, una ang paglipat sa canonical ay isinasagawa, at pagkatapos ay sa pangkalahatan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Halimbawa 9

Ang mga parametric equation ng tuwid na linya x = - 1 + 2 · λ y = 4 ay ibinigay. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng linyang ito.

Desisyon

Gawin natin ang paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa canonical:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lumipat tayo mula sa canonical hanggang sa pangkalahatan:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Sagot: y - 4 = 0

Halimbawa 10

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment x 3 + y 1 2 = 1 ay ibinigay. Kinakailangang isagawa ang paglipat sa pangkalahatang anyo ng equation.

Desisyon:

Isulat na lang natin ang equation sa kinakailangang form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Sagot: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Pagguhit ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Sa itaas, sinabi namin na ang pangkalahatang equation ay maaaring isulat sa mga kilalang coordinate ng normal na vector at mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya. Ang ganitong tuwid na linya ay tinukoy ng equation na A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Sa parehong lugar sinuri namin ang kaukulang halimbawa.

Ngayon tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa kung saan, una, kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng normal na vector.

Halimbawa 11

Ibinigay ang isang linyang parallel sa linyang 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Kilala rin ang puntong M 0 (4 , 1) kung saan dumadaan ang ibinigay na linya. Kinakailangang isulat ang equation ng isang tuwid na linya.

Desisyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagsasabi sa amin na ang mga linya ay parallel, kung gayon, bilang normal na vector ng linya na ang equation ay kailangang isulat, kinuha namin ang nagdidirekta na vector ng linya n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ngayon alam na natin ang lahat ng kinakailangang data upang mabuo ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Sagot: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Halimbawa 12

Ang ibinigay na linya ay dumadaan sa pinanggalingan patayo sa linyang x - 2 3 = y + 4 5 . Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Desisyon

Ang normal na vector ng ibinigay na linya ay ang directing vector ng linya x - 2 3 = y + 4 5 .

Pagkatapos n → = (3 , 5) . Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan, i.e. sa pamamagitan ng puntong O (0, 0) . Buuin natin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Sagot: 3 x + 5 y = 0 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter