Hayaang bigyan ang dalawang eroplano

Ang unang eroplano ay may normal na vector (A 1; B 1; C 1), ang pangalawang eroplano (A 2; B 2; C 2).

Kung ang mga eroplano ay parallel, pagkatapos ay ang mga vectors at ay collinear, i.e. = l para sa ilang numero l. Kaya

─ ang kondisyon ng parallelism ng eroplano.

Kondisyon ng pagkakaisa ng mga eroplano:

,

dahil sa kasong ito, ang pagpaparami ng pangalawang equation sa l = , makuha natin ang unang equation.

Kung ang kondisyon ng parallelism ay hindi natutugunan, pagkatapos ay ang mga eroplano ay bumalandra. Sa partikular, kung ang mga eroplano ay patayo, kung gayon ang mga vector ay patayo din. Samakatuwid, ang kanilang scalar product ay katumbas ng 0, i.e. = 0, o

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Ito ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para ang mga eroplano ay patayo.

Anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano.

Anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

ay ang anggulo sa pagitan ng kanilang mga normal na vector at , kaya

cosj = =
.

tuwid na linya sa kalawakan.

Vector-parametric equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Direksyon vector tuwid Anumang vector na nakahiga sa isang linya o kahanay nito ay tinatawag.

Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 0 (x 0; y 0; z 0) at pagkakaroon ng vector ng direksyon = (a 1; a 2; a 3).

Itabi mula sa puntong M 0 ang vector . Hayaang ang M(x; y; z) ay isang arbitrary na punto ng ibinigay na linya, at ─ nito radius-vector ng punto М 0 . Pagkatapos , , Kaya naman . Ang equation na ito ay tinatawag vector-parametric equation ng isang tuwid na linya.

Parametric equation ng isang tuwid na linya.

Sa vector-parametric equation ng tuwid na linya ay ipapasa sa mga coordinate relations (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. Mula dito nakukuha natin parametric equation ng tuwid na linya

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Canonical equation ng isang tuwid na linya.

Mula sa mga equation (4) ipinapahayag namin ang t:

t = , t = , t = ,

kung saan tayo kumukuha canonical equation ng linya

= = (5)

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos.

Hayaang ibigay ang dalawang puntos na M 1 (x 1; y 1; z 1) at M 2 (x 2; y 2; z 2). Bilang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya, maaari mong kunin ang vector = (x 2 - x 1; y 2 ​​​​- y 1; z 2 - z 1). Dahil ang linya ay dumadaan sa puntong M 1 (x 1; y 1; z 1), ang mga canonical equation nito alinsunod sa (5) ay isusulat sa anyo

(6)

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya.

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na may mga vector ng direksyon = (a 1; a 2; a 3) at .

Ang anggulo sa pagitan ng mga linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon, kaya

cosj = =
(7)

Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya:

a 1 sa 1 + a 2 sa 2 + a 3 sa 3 = 0.

Kondisyon ng mga parallel na linya:

l,

. (8)

Mutual na pag-aayos ng mga linya sa espasyo.

Hayaang magbigay ng dalawang linya
at
.

Malinaw, ang mga linya ay nasa parehong eroplano kung at kung ang mga vectors , at coplanar, ibig sabihin.

= 0 (9)

Kung sa (9) ang unang dalawang hanay ay proporsyonal, kung gayon ang mga linya ay parallel. Kung ang lahat ng tatlong linya ay proporsyonal, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Kung ang kundisyon (9) ay nasiyahan at ang unang dalawang hanay ay hindi proporsyonal, pagkatapos ay ang mga linya ay magsalubong.

Kung
¹ 0, pagkatapos ay ang mga linya ay skew.

Mga problema sa isang tuwid na linya at isang eroplano sa kalawakan.

Ang isang tuwid na linya ay ang intersection ng dalawang eroplano.

Hayaang bigyan ang dalawang eroplano

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Kung ang mga eroplano ay hindi parallel, kung gayon ang kondisyon ay nilabag

.

Hayaan, halimbawa, ¹ .

Hanapin natin ang equation ng tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano.

Bilang vector ng direksyon ng nais na tuwid na linya, maaari nating kunin ang vector

= × = =
.

Upang makahanap ng isang punto na kabilang sa nais na linya, inaayos namin ang ilang halaga

z = z 0 at paglutas ng sistema

,

nakukuha namin ang mga halaga x \u003d x 0, y \u003d y 0. Kaya, ang gustong punto ay M (x 0; y 0; z 0).

Kinakailangang equation

.

Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Hayaang ibigay ang tuwid na linya x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

at eroplano

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

Upang makahanap ng mga karaniwang punto ng isang linya at isang eroplano, kinakailangan upang malutas ang sistema ng kanilang mga equation

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Kung A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon

t = t 0 = -
.

Sa kasong ito, ang linya at ang eroplano ay nagsalubong sa isang punto M 1 (x 1; y 1; z 1), kung saan

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Kung A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, kung gayon ang linya at ang eroplano ay walang mga karaniwang puntos , ibig sabihin. ay parallel.

Kung A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, kung gayon ang linya ay kabilang sa eroplano.

Ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano.

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano sa kalawakan

Sa magkaparehong pag-aayos ng dalawang eroplano sa kalawakan, posible ang isa sa dalawang magkahiwalay na kaso.

1. Ang dalawang eroplano ay may iisang punto. Pagkatapos, sa pamamagitan ng axiom ng intersection ng dalawang eroplano, mayroon silang isang karaniwang linya. Sabi ng Axiom R5: kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon ang intersection ng mga eroplanong ito ay ang kanilang karaniwang linya. Mula sa axiom na ito ay sumusunod na para sa mga eroplano Ang nasabing mga eroplano ay tinatawag na intersecting.

Ang dalawang eroplano ay walang karaniwang punto.

3. Dalawang eroplano ang magkasabay

3. Mga vector sa eroplano at sa kalawakan

Ang vector ay isang nakadirekta na segment ng linya. Ang haba nito ay itinuturing na haba ng segment. Kung ang dalawang puntos na M1 (x1, y1, z1) at M2 (x2, y2, z2) ay ibinigay, kung gayon ang vector

Kung ang dalawang vector ay ibinigay at pagkatapos

1. Haba ng mga vector

2. Kabuuan ng mga vector:

3. Ang kabuuan ng dalawang vectors a at b ay ang dayagonal ng parallelogram na binuo sa mga vector na ito, na nagmumula sa isang karaniwang punto ng kanilang aplikasyon (parallelogram rule); o isang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng huli - ayon sa panuntunang tatsulok. Ang kabuuan ng tatlong vectors a, b, c ay ang dayagonal ng parallelepiped na binuo sa mga vector na ito (ang panuntunan ng parallelepiped).

Isaalang-alang:

• 1. Ang pinagmulan ng mga coordinate ay nasa punto A;
• 2. Ang gilid ng kubo ay isang solong segment.
• 3. Idinidirekta namin ang axis ng OX sa gilid ng AB, OY sa gilid ng AD, at ang axis ng OZ sa gilid ng AA1.

Para sa ilalim na eroplano ng kubo

Def. Ang dalawang eroplano sa kalawakan ay sinasabing parallel kung hindi sila magsalubong, kung hindi ay magsalubong.

Teorama1: Kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkatulad na parallel sa dalawang linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel.

Patunay:

Hayaan at bigyan ng mga eroplano, a1 at a2 - mga linya sa eroplano na nagsasalubong sa puntong A, b1 at b2 - mga linyang kahanay sa kanila ayon sa pagkakabanggit sa

mga eroplano. Ipagpalagay natin na ang mga eroplano at ay hindi parallel, i.e. bumalandra sa ilang linya. Sa pamamagitan ng theorem, ang mga linyang a1 at a2, na kahanay sa mga linyang b1 at b2, ay kahanay sa eroplano, at samakatuwid ay hindi sila

intersect ang linya c nakahiga sa eroplanong ito. Kaya, dalawang tuwid na linya (a1 at a2) ang dumaan sa punto A sa eroplano, na kahanay ng linya c. Ngunit ito ay imposible ayon sa parallel axiom. Nakarating kami sa isang kontradiksyon ng CTD.

Mga patayong eroplano: Ang dalawang intersecting na eroplano ay sinasabing patayo kung ang isang ikatlong eroplano, na patayo sa linya ng intersection ng mga eroplanong ito, ay nag-intersect sa kanila sa mga patayong linya.

Theorem2: Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, ang mga eroplanong ito ay patayo.

Patunay:

Hayaang maging isang eroplano, ang β ay isang linyang patayo dito, maging isang eroplanong dumadaan sa linyang β, c ay isang linya kung saan ang mga eroplano ay nagsalubong. Patunayan natin na ang mga eroplano at ay patayo. Gumuhit tayo sa eroplano sa pamamagitan ng punto ng intersection ng linya kasama ng eroplano ang linya a,

patayo sa tuwid na linya. Gumuhit tayo sa mga linya ng a at papunta sa eroplano. Ito ay patayo sa linya c, dahil linya c ay patayo sa mga linya a at b. Dahil ang mga linya a at b ay patayo, ang mga eroplano at ay patayo. h.t.d.

42. Normal na equation ng eroplano at mga katangian nito

Normal (na-normalize) na equation ng eroplano

sa anyo ng vector:

kung saan ang isang unit vector, ay ang distansya ng P. mula sa pinanggalingan. Ang equation (2) ay maaaring makuha mula sa equation (1) sa pamamagitan ng pagpaparami ng normalizing factor

(mga palatandaan at kabaligtaran).

43. Mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo: Mga pangkalahatang equation, canonical at parametric equation.

Canonical equation:

Nakukuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto at kahanay sa isang ibinigay na vector ng direksyon. Tandaan na ang isang punto ay nasa linyang ito kung at kung ang mga vector at ay collinear. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng mga vector na ito ay proporsyonal:

Ang mga equation na ito ay tinatawag na canonical. Tandaan na ang isa o dalawa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay maaaring zero. Ngunit nakikita natin ito bilang isang proporsyon: naiintindihan natin ito bilang pagkakapantay-pantay.

Pangkalahatang Equation:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Kung saan ang mga coefficient na A1-C1 ay hindi proporsyonal sa A2-C2, na katumbas ng pagtatakda nito bilang isang linya ng intersection ng mga eroplano

Parametric:

Ang pagpapaliban mula sa mga point vector para sa iba't ibang mga halaga, collinear sa nagdidirekta na vector, makakakuha tayo ng iba't ibang mga punto ng ating tuwid na linya sa dulo ng mga ipinagpaliban na vector. Mula sa pagkakapantay-pantay ito ay sumusunod:

Ang variable ay tinatawag na isang parameter. Dahil para sa anumang punto ng linya ay may katumbas na halaga ng parameter at dahil ang iba't ibang mga punto ng linya ay tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng parameter, mayroong isang isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga halaga ng parameter at mga punto ng linya . Kapag ang parameter ay tumatakbo sa lahat ng totoong numero mula hanggang, ang katumbas na punto ay tumatakbo sa buong linya.

44. Ang konsepto ng linear space. Mga Axiom. Mga Halimbawa ng Linear Spaces

Ang isang halimbawa ng isang linear na espasyo ay ang hanay ng lahat ng mga geometric na vector.

Linear, o vectorspace sa itaas ng field P- ito ay isang set na hindi walang laman L, kung saan ipinakilala ang mga operasyon

karagdagan, iyon ay, ang bawat pares ng mga elemento ng set ay nauugnay sa isang elemento ng parehong set, na tinutukoy ng

multiplikasyon sa pamamagitan ng isang scalar (iyon ay, isang elemento ng field P), ibig sabihin, ang anumang elemento at anumang elemento ay itutugma sa elementong mula sa, denoted.

Sa kasong ito, ang mga sumusunod na kondisyon ay ipinapataw sa operasyon:

Para sa anumang ( commutativity ng karagdagan);

Para sa anumang ( karagdagan pagkakaugnay);

mayroong isang elemento na para sa anumang ( pagkakaroon ng neutral na elemento na may kinalaman sa karagdagan), sa partikular L hindi walang laman;

para sa anumang mayroong isang elemento tulad na (ang pagkakaroon ng isang kabaligtaran na elemento).

(associativity ng multiplikasyon sa pamamagitan ng scalar);

(multiplikasyon sa pamamagitan ng isang neutral (sa pamamagitan ng multiplikasyon) na elemento ng fieldPnai-save ang vector).

(distributivity ng multiplikasyon ng isang vector na may paggalang sa pagdaragdag ng mga scalar);

(distributivity ng multiplikasyon sa pamamagitan ng scalar na may paggalang sa pagdaragdag ng vector).

Itakda ang mga elemento L tinawag mga vector, at mga elemento ng field P-mga scalar. Ang mga katangian 1-4 ay nag-tutugma sa mga axiom ng pangkat ng abelian.

Ang pinakasimpleng katangian

Ang vector space ay isang abelian group bilang karagdagan.

Ang neutral na elemento ay ang tanging nagreresulta mula sa mga katangian ng pangkat.

para kahit kanino.

Para sa anumang kabaligtaran na elemento ay ang isa lamang na sumusunod mula sa mga katangian ng pangkat.

para kahit kanino.

para sa anumang at

para kahit kanino.

Ang mga elemento ng isang linear space ay tinatawag na vectors. Ang isang puwang ay tinatawag na tunay kung ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga vector sa isang numero sa loob nito ay tinukoy lamang para sa mga tunay na numero, at kumplikado kung ang operasyong ito ay tinukoy lamang para sa mga kumplikadong numero.

45. Batayan at sukat ng isang linear na espasyo, koneksyon sa pagitan nila.

Pangwakas na kabuuan ng view

ay tinatawag na isang linear na kumbinasyon ng mga elemento na may mga coefficient.

Ang isang linear na kumbinasyon ay tinatawag na nontrivial kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient nito ay nonzero.

Ang mga elemento ay tinatawag na linearly dependent kung mayroong di-trivial na linear na kumbinasyon ng mga ito na katumbas ng θ. Kung hindi, ang mga elementong ito ay tinatawag na linearly independent.

Ang isang walang katapusang subset ng mga vector mula sa L ay tinatawag na linearly dependent kung ang ilang finite subset nito ay linearly dependent, at linearly independent kung alinman sa mga finite subset nito ay linearly independent.

Ang bilang ng mga elemento (cardinality) ng maximum na linearly independent subset ng espasyo ay hindi nakadepende sa pagpili ng subset na ito at tinatawag na ranggo, o dimensyon, ng espasyo, at ang subset na ito mismo ay tinatawag na batayan (ang Hamel na batayan o ang linear na batayan). Ang mga elemento ng isang batayan ay tinatawag ding mga batayang vector. Mga pangunahing katangian:

Anumang n linearly independent na mga elemento ng isang n-dimensional na espasyo ay bumubuo ng batayan ng espasyong ito.

Ang anumang vector ay maaaring katawanin (natatangi) bilang isang may hangganang linear na kumbinasyon ng mga pangunahing elemento:

46. ​​Vector coordinate sa isang ibinigay na batayan. Mga linear na operasyon na may mga vector sa coordinate form

aytem 4. Mga linear na operasyon na may mga vectors sacoordinateanyomga talaan.

Hayaang maging batayan ng espasyo at maging ang dalawang arbitraryong vector nito. Hayaan at maging representasyon ng mga vector na ito sa coordinate form. Hayaan, higit pa, maging isang arbitrary na tunay na numero. Sa mga notasyong ito, ang sumusunod na teorama ay hawak.

Teorama. (Sa mga linear na operasyon na may mga vector sa coordinate form.)

Hayaang ang Ln ay isang arbitrary na n-dimensional na espasyo, ang B = (e1,….,en) ay isang nakapirming batayan dito. Kung gayon ang anumang vector x na kabilang sa Ln ay may one-to-one na sulat na may column ng mga coordinate nito sa batayan na ito.

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika sa pamamagitan ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.

Para sa dalawang eroplano, ang mga sumusunod na variant ng mutual arrangement ay posible: sila ay parallel o intersect sa isang tuwid na linya.

Ito ay kilala mula sa stereometry na ang dalawang eroplano ay parallel kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkakasunod na parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano. Ang kondisyong ito ay tinatawag isang tanda ng parallel na eroplano.

Kung ang dalawang eroplano ay magkatulad, pagkatapos ay mag-intersect sila sa ilang ikatlong eroplano sa magkatulad na linya. Batay dito, parallel planes R at Q ang kanilang mga bakas ay parallel straight lines (Fig. 50).

Kapag dalawang eroplano R at Q parallel sa axis X, ang kanilang mga pahalang at pangharap na bakas na may arbitraryong magkaparehong pag-aayos ng mga eroplano ay magiging parallel sa x axis, ibig sabihin, magkaparehong parallel. Dahil dito, sa ilalim ng gayong mga kondisyon, ang paralelismo ng mga bakas ay isang sapat na tanda na nagpapakilala sa paralelismo ng mga eroplano mismo. Para sa parallelism ng naturang mga eroplano, kailangan mong tiyakin na ang kanilang mga profile traces ay magkatulad din. P w at Q w. mga eroplano R at Q sa figure 51 ay parallel, at sa figure 52 sila ay hindi parallel, sa kabila ng katotohanan na P v || Q v , at P h y || Q h .

Sa kaso kapag ang mga eroplano ay parallel, ang mga pahalang ng isang eroplano ay parallel sa mga pahalang ng isa pa. Sa kasong ito, ang mga harapan ng isang eroplano ay dapat na parallel sa mga harap ng isa, dahil ang mga eroplano ay may parallel na bakas ng parehong pangalan.

Upang makabuo ng dalawang eroplano na intersecting sa isa't isa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang linya kung saan ang dalawang eroplano intersect. Upang mabuo ang linyang ito, sapat na upang makahanap ng dalawang puntos na kabilang dito.

Minsan, kapag ang eroplano ay ibinigay sa pamamagitan ng mga bakas, madaling mahanap ang mga puntong ito gamit ang isang diagram at walang karagdagang mga constructions. Dito, alam ang direksyon ng tinukoy na tuwid na linya, at ang pagbuo nito ay batay sa paggamit ng isang punto sa balangkas.

Pagtatapos ng trabaho -

Ang paksang ito ay kabilang sa:

Descriptive geometry. Lecture notes lecture. Tungkol sa mga projection

Impormasyon sa lecture tungkol sa mga projection ang konsepto ng projection na nagbabasa ng isang drawing .. central projection .. isang ideya ng central projection ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng imahe na ibinibigay ng mata ng tao ..

Kung kailangan mo ng karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming database ng mga gawa:

Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:

Kung ang materyal na ito ay naging kapaki-pakinabang para sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:

tweet

Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:

Ang konsepto ng mga projection
Ang descriptive geometry ay isang agham na ang teoretikal na pundasyon ng pagguhit. Sa agham na ito, pinag-aaralan ang mga pamamaraan ng paglalarawan ng iba't ibang mga katawan at ang kanilang mga elemento sa isang eroplano.

Parallel projection
Ang parallel projection ay isang uri ng projection na gumagamit ng parallel projecting ray. Kapag gumagawa ng mga parallel projection, kailangan mong i-set on

Mga projection ng isang punto sa dalawang projection plane
Isaalang-alang ang mga projection ng mga punto sa dalawang eroplano, kung saan kukuha kami ng dalawang patayo na eroplano (Larawan 4), na tatawagin namin ang pahalang na pangharap at mga eroplano. Flat na linya ng intersection ng data

Nawawalang projection axis
Upang ipaliwanag kung paano makuha sa mga modelo ng projection ng isang punto papunta sa patayo na mga eroplano ng projection (Larawan 4), kinakailangan na kumuha ng isang piraso ng makapal na papel sa anyo ng isang pinahabang parihaba. Kailangan itong baluktot sa pagitan

Mga projection ng isang punto sa tatlong projection planes
Isaalang-alang ang profile plane ng mga projection. Ang mga projection sa dalawang perpendikular na eroplano ay karaniwang tinutukoy ang posisyon ng figure at ginagawang posible upang malaman ang tunay na sukat at hugis nito. Pero may mga pagkakataong

Point coordinates
Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring matukoy gamit ang tatlong numero, na tinatawag na mga coordinate nito. Ang bawat coordinate ay tumutugma sa distansya ng isang punto mula sa ilang eroplano pr

Projection ng isang tuwid na linya
Dalawang puntos ang kailangan upang tukuyin ang isang linya. Ang isang punto ay tinukoy ng dalawang projection sa pahalang at pangharap na mga eroplano, ibig sabihin, ang isang tuwid na linya ay tinukoy gamit ang mga projection ng dalawang punto nito sa pahalang.

Mga tuwid na bakas
Ang bakas ng isang tuwid na linya ay ang punto ng intersection nito sa ilang eroplano o ibabaw (Larawan 20). Ang pahalang na bakas ng isang linya ay isang punto H

Iba't ibang posisyon ng linya
Ang isang linya ay tinatawag na isang linya sa pangkalahatang posisyon kung ito ay hindi parallel o patayo sa anumang projection plane. Ang mga projection ng isang linya sa pangkalahatang posisyon ay hindi rin parallel o patayo.

Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya
Tatlong kaso ng pag-aayos ng mga linya sa espasyo ay posible: 1) ang mga linya ay nagsalubong, iyon ay, mayroon silang isang karaniwang punto; 2) ang mga linya ay parallel, iyon ay, wala silang isang karaniwang punto, ngunit nakahiga sa parehong eroplano

Mga linyang patayo
Isaalang-alang ang theorem: kung ang isang gilid ng isang tamang anggulo ay parallel sa projection plane (o namamalagi dito), pagkatapos ay ang tamang anggulo ay inaasahang papunta sa eroplanong ito nang walang pagbaluktot. Nagpapakita kami ng patunay para sa

Pagpapasiya ng posisyon ng eroplano
Para sa isang projection plane na arbitraryong matatagpuan, ang mga punto nito ay pumupuno sa lahat ng tatlong projection plane. Samakatuwid, walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa projection ng buong eroplano, kailangan mong isaalang-alang lamang ang mga projection

Mga bakas ng eroplano
Ang bakas ng eroplano P ay ang linya ng intersection nito sa isang naibigay na eroplano o ibabaw (Larawan 36). Ang linya ng intersection ng eroplano P na may pahalang na eroplano ay tinatawag

Mga contour at harap ng eroplano
Kabilang sa mga linya na namamalagi sa isang tiyak na eroplano, ang dalawang klase ng mga linya ay maaaring makilala, na may mahalagang papel sa paglutas ng iba't ibang mga problema. Ito ay mga tuwid na linya, na tinatawag na pahalang.

Konstruksyon ng mga bakas ng eroplano
Isaalang-alang ang pagtatayo ng mga bakas ng eroplano P, na ibinibigay ng isang pares ng mga intersecting na linya I at II (Larawan 45). Kung ang isang linya ay nasa eroplano P, ang mga bakas nito ay nasa mga bakas ng parehong pangalan

Iba't ibang posisyon ng eroplano
Ang isang eroplano sa pangkalahatang posisyon ay isang eroplano na hindi parallel o patayo sa alinman sa mga projection na eroplano. Ang mga bakas ng naturang eroplano ay hindi rin parallel o patayo.

Tuwid na linya parallel sa eroplano
Maaaring may ilang mga posisyon ng isang tuwid na linya na may kaugnayan sa isang tiyak na eroplano. 1. Ang linya ay nasa ilang eroplano. 2. Ang isang linya ay parallel sa ilang eroplano. 3. Direktang paglipat

Isang tuwid na linya na nag-intersect sa isang eroplano
Upang mahanap ang punto ng intersection ng isang linya at isang eroplano, ito ay kinakailangan upang bumuo ng mga linya ng intersection ng dalawang eroplano. Isaalang-alang ang linya I at ang eroplano P (Larawan 54).

Prism at pyramid
Isaalang-alang ang isang tuwid na prisma na nakatayo sa isang pahalang na eroplano (Larawan 56). Mga butil sa gilid niya

Silindro at kono
Ang isang silindro ay isang pigura na ang ibabaw ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng tuwid na linya m sa paligid ng i-axis, na matatagpuan sa parehong eroplano na may ganitong tuwid na linya. Sa kaso kapag ang linya m

Bola, torus at singsing
Kapag ang ilang axis ng pag-ikot I ay ang diameter ng isang bilog, pagkatapos ay isang spherical na ibabaw ay nakuha (Larawan 66).

Mga linyang ginagamit sa pagguhit
Tatlong pangunahing uri ng mga linya (solid, dashed at dash-dotted) ng iba't ibang kapal ang ginagamit sa pagguhit (Fig. 76).

Lokasyon ng mga view (projections)
Sa pagguhit, anim na uri ang ginagamit, na ipinapakita sa Figure 85. Ipinapakita ng figure ang mga projection ng titik na "L".

Paglihis mula sa mga tuntunin sa itaas para sa pagsasaayos ng mga pananaw
Sa ilang mga kaso, ang mga paglihis mula sa mga patakaran para sa pagbuo ng mga projection ay pinapayagan. Sa mga kasong ito, ang mga sumusunod ay maaaring makilala: bahagyang mga view at view na matatagpuan nang walang projection na koneksyon sa iba pang mga view.

Bilang ng mga projection na tumutukoy sa katawan na ito
Ang posisyon ng mga katawan sa espasyo, hugis at sukat ay karaniwang tinutukoy ng isang maliit na bilang ng mga naaangkop na napiling mga punto. Kung, kapag naglalarawan ng projection ng isang katawan, bigyang-pansin

Pag-ikot ng isang punto tungkol sa isang axis na patayo sa eroplano ng mga projection
Ipinapakita ng Figure 91 ang axis ng rotation I, na patayo sa horizontal plane, at isang point A na arbitraryong matatagpuan sa kalawakan. Kapag umiikot tungkol sa axis I, inilalarawan ng puntong ito

Pagpapasiya ng natural na haba ng isang segment sa pamamagitan ng pag-ikot
Ang isang segment na parallel sa anumang projection plane ay naka-project dito nang walang distortion. Kung paikutin mo ang segment upang ito ay maging parallel sa isa sa mga projection plane, maaari mong tukuyin

Ang pagtatayo ng mga projection ng figure ng seksyon ay maaaring gawin sa dalawang paraan
1. Maaari mong mahanap ang mga punto ng pagpupulong ng mga gilid ng polyhedron na may cutting plane, at pagkatapos ay ikonekta ang mga projection ng mga nahanap na punto. Bilang resulta nito, makukuha ang mga projection ng gustong polygon. Sa kasong ito,

Pyramid
Ipinapakita ng Figure 98 ang intersection ng pyramid surface sa frontal projection plane P. Figure 98b ay nagpapakita ng frontal projection a ng meeting point ng rib KS kasama ang eroplano

pahilig na mga seksyon
Ang mga pahilig na seksyon ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga gawain para sa pagbuo ng mga natural na uri ng mga seksyon ng katawan na isinasaalang-alang ng inaasahang eroplano. Upang magsagawa ng isang pahilig na seksyon, kinakailangan upang putulin

Hyperbola bilang isang seksyon ng ibabaw ng isang kono sa pamamagitan ng frontal plane
Hayaang kailanganin na gumawa ng isang seksyon ng ibabaw ng isang kono na nakatayo sa isang pahalang na eroplano sa tabi ng eroplanong P, na kahanay sa eroplanong V. Ipinapakita ng Figure 103 ang frontal

Seksyon ng ibabaw ng silindro
Mayroong mga sumusunod na kaso ng isang seksyon ng ibabaw ng isang kanang pabilog na silindro sa pamamagitan ng isang eroplano: 1) isang bilog, kung ang secant plane P ay patayo sa axis ng silindro, at ito ay parallel sa mga base.

Seksyon ng ibabaw ng kono
Sa pangkalahatang kaso, ang isang pabilog na conical na ibabaw ay kinabibilangan ng dalawang ganap na magkaparehong mga cavity na may isang karaniwang vertex (Larawan 107c). Ang mga generator ng isang lukab ay isang pagpapatuloy ng

Seksyon ng ibabaw ng bola
Ang anumang seksyon ng ibabaw ng bola sa pamamagitan ng isang eroplano ay isang bilog, na kung saan ay inaasahang walang pagbaluktot lamang kung ang cutting plane ay parallel sa eroplano ng mga projection. Sa pangkalahatang kaso, kami

pahilig na mga seksyon
Hayaang kailanganin na bumuo ng natural na view ng seksyon sa pamamagitan ng frontally projecting plane ng katawan. Isinasaalang-alang ng Figure 110a ang isang katawan na napapalibutan ng tatlong cylindrical na ibabaw (1, 3 at 6), ang ibabaw

Pyramid
Upang makahanap ng mga bakas ng isang tuwid na linya sa ibabaw ng ilang geometric na katawan, kailangan mong gumuhit sa pamamagitan ng isang tuwid na auxiliary na eroplano, pagkatapos ay hanapin ang seksyon ng ibabaw ng katawan sa pamamagitan ng eroplanong ito. Ang nais ay

Cylindrical helix
Pagbuo ng isang helix. Isaalang-alang ang Figure 113a kung saan ang puntong M ay gumagalaw nang pantay sa isang tiyak na bilog, na isang seksyon ng isang pabilog na silindro sa pamamagitan ng eroplanong P. Dito ang eroplanong ito

Dalawang katawan ng rebolusyon
Ang paraan ng pagguhit ng mga pantulong na eroplano ay ginagamit kapag gumagawa ng isang linya ng intersection ng mga ibabaw ng dalawang katawan ng rebolusyon. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ang mga sumusunod. Magsagawa ng auxiliary plane

Mga seksyon
Mayroong ilang mga kahulugan at panuntunan na nalalapat sa mga seksyon. Ang seksyon ay isang flat figure na nakuha bilang resulta ng intersection ng isang partikular na katawan sa ilan

mga hiwa
Mga kahulugan at panuntunang nalalapat sa mga pagbawas. Ang hiwa ay isang kondisyon na imahe ng isang bagay kapag ang bahagi nito, na matatagpuan sa pagitan ng mata ng nagmamasid at ng cutting plane

Bahagyang hiwa o punit
Ang hiwa ay tinatawag na kumpleto kung ang itinatanghal na bagay ay pinutol sa kabuuan nito, ang natitirang mga hiwa ay tinatawag na bahagyang, o mga hiwa. Sa Figure 120, sa kaliwang view at sa plano, ang buong mga seksyon ay ginawa. hairstyle