Sasaklawin ng araling ito ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, gayundin ang mga halimbawa ng pagbabago ng mga makatuwirang ekspresyon. Ang paksang ito ay nagbubuod sa mga paksang napag-aralan natin sa ngayon. Ang mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang ekspresyon ay nagsasangkot ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagtaas sa kapangyarihan ng mga algebraic fraction, pagbabawas, factorization, atbp. Bilang bahagi ng aralin, titingnan natin kung ano ang isang makatuwirang pagpapahayag, at susuriin din ang mga halimbawa para sa kanilang pagbabago .

Paksa:Algebraic fractions. Mga operasyong aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at kanilang mga pagbabago

Kahulugan

makatwirang pagpapahayag ay isang expression na binubuo ng mga numero, variable, arithmetic operations at exponentiation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang nakapangangatwiran na pagpapahayag:

Mga espesyal na kaso ng mga makatwirang ekspresyon:

1st degree: ;

2. monomial: ;

3. fraction: .

Rational Expression Transformation ay isang pagpapasimple ng isang makatwirang pagpapahayag. Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag nagko-convert ng mga makatwirang expression: una, may mga aksyon sa mga bracket, pagkatapos ay pagpaparami (dibisyon), at pagkatapos ay mga pagpapatakbo ng karagdagan (pagbabawas).

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa 1

Desisyon:

Lutasin natin ang halimbawang ito nang hakbang-hakbang. Ang aksyon sa panaklong ay unang ginanap.

Sagot:

Halimbawa 2

Desisyon:

Sagot:

Halimbawa 3

Desisyon:

Sagot: .

Tandaan: marahil, nang makita ang halimbawang ito, isang ideya ang naisip mo: bawasan ang fraction bago bawasan sa isang common denominator. Sa katunayan, ito ay ganap na tama: una, ito ay kanais-nais na pasimplehin ang expression hangga't maaari, at pagkatapos ay baguhin ito. Subukan nating lutasin ang parehong halimbawa sa pangalawang paraan.

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging ganap na magkatulad, ngunit ang solusyon ay naging medyo mas simple.

Sa araling ito, tiningnan natin mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, pati na rin ang ilang partikular na halimbawa ng mga pagbabagong ito.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravina G.K. Manwal para sa aklat-aralin na Makarychev Yu.N.

Ang konsepto ng rasyonal na pagpapahayag

Ang konsepto ng "rational expression" ay katulad ng konsepto ng "rational fraction". Ang expression ay kinakatawan din bilang isang fraction. Sa aming mga numerator lamang ay hindi mga numero, ngunit iba't ibang uri ng mga expression. Kadalasan ito ay isang polynomial. Ang algebraic fraction ay isang fractional expression na binubuo ng mga numero at variable.

Kapag nilulutas ang maraming problema sa elementarya, pagkatapos magsagawa ng mga operasyong aritmetika, nakatanggap kami ng mga partikular na halaga ng numero, kadalasang mga fraction. Ngayon, pagkatapos isagawa ang mga operasyon, makakatanggap kami ng mga algebraic fraction. Guys, tandaan: upang makuha ang tamang sagot, kailangan mong pasimplehin ang expression kung saan ka nagtatrabaho hangga't maaari. Dapat makuha ng isa ang pinakamaliit na antas na posible; dapat bawasan ang magkaparehong mga expression sa numerator at denominator; na may mga expression na maaaring i-collapse, dapat mong gawin ito. Iyon ay, pagkatapos magsagawa ng isang serye ng mga aksyon, dapat nating makuha ang pinakasimpleng posibleng algebraic fraction.

Pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga makatwirang expression

Ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga makatwirang expression ay kapareho ng para sa mga pagpapatakbo ng aritmetika. Una, ang mga operasyon sa mga bracket ay isinasagawa, pagkatapos ay multiplikasyon at paghahati, exponentiation, at panghuli ang pagdaragdag at pagbabawas.

Upang patunayan ang isang pagkakakilanlan ay nangangahulugan na ipakita na para sa lahat ng mga halaga ng mga variable, ang kanan at kaliwang panig ay pantay. Mayroong maraming mga halimbawa na may patunay ng mga pagkakakilanlan.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga pagkakakilanlan ay:

• Ibahin ang anyo sa kaliwang bahagi sa pagkakapantay-pantay sa kanan.
• Ibahin ang kanang bahagi sa pagkakapantay-pantay sa kaliwa.
• Ibahin ang anyo ng kaliwa at kanang bahagi nang magkahiwalay hanggang sa makuha ang parehong expression.
• Ang kanang bahagi ay ibabawas mula sa kaliwang bahagi, at ang resulta ay dapat na zero.

Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1
Patunayan ang pagkakakilanlan:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Desisyon.
Malinaw, kailangan nating baguhin ang kaliwang bahagi.
Gawin muna natin ang mga panaklong:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Kinakailangang subukang kunin ang mga karaniwang multiplier sa maximum.
2) Ibahin natin ang ekspresyong hinahati natin:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Isagawa ang operasyon ng paghahati:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Isagawa ang operasyon ng pagdaragdag:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Nagtugma ang kanan at kaliwang bahagi. Kaya napatunayan ang pagkakakilanlan.
Guys, kapag nilulutas ang halimbawang ito, kailangan namin ng kaalaman sa maraming mga formula at operasyon. Nakita natin na pagkatapos ng pagbabago, ang malaking ekspresyon ay naging isang ganap na maliit. Kapag nilulutas ang halos lahat ng mga problema, ang mga pagbabago ay karaniwang humahantong sa mga simpleng expression.

Halimbawa 2
Pasimplehin ang expression:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Desisyon.
Magsimula tayo sa mga unang bracket.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Ibahin natin ang pangalawang bracket.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Gawin natin ang paghahati.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Sagot: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Halimbawa 3
Sundin ang mga hakbang:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Desisyon.
Gaya ng nakasanayan, magsimula sa mga panaklong.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Ngayon gawin natin ang paghahati.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Gamitin natin ang property: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Isagawa natin ang operasyon ng pagbabawas.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Tulad ng sinabi namin kanina, kinakailangan na gawing simple ang fraction hangga't maaari.
Sagot: $\frac(k)(k-4)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Patunayan ang pagkakakilanlan:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Pasimplehin ang expression:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Sundin ang mga hakbang:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Sasaklawin ng araling ito ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, gayundin ang mga halimbawa ng pagbabago ng mga makatuwirang ekspresyon. Ang paksang ito ay nagbubuod sa mga paksang napag-aralan natin sa ngayon. Ang mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang ekspresyon ay nagsasangkot ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagtaas sa kapangyarihan ng mga algebraic fraction, pagbabawas, factorization, atbp. Bilang bahagi ng aralin, titingnan natin kung ano ang isang makatuwirang pagpapahayag, at susuriin din ang mga halimbawa para sa kanilang pagbabago .

Paksa:Algebraic fractions. Mga operasyong aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at kanilang mga pagbabago

Kahulugan

makatwirang pagpapahayag ay isang expression na binubuo ng mga numero, variable, arithmetic operations at exponentiation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang nakapangangatwiran na pagpapahayag:

Mga espesyal na kaso ng mga makatwirang ekspresyon:

1st degree: ;

2. monomial: ;

3. fraction: .

Rational Expression Transformation ay isang pagpapasimple ng isang makatwirang pagpapahayag. Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag nagko-convert ng mga makatwirang expression: una, may mga aksyon sa mga bracket, pagkatapos ay pagpaparami (dibisyon), at pagkatapos ay mga pagpapatakbo ng karagdagan (pagbabawas).

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa 1

Desisyon:

Lutasin natin ang halimbawang ito nang hakbang-hakbang. Ang aksyon sa panaklong ay unang ginanap.

Sagot:

Halimbawa 2

Desisyon:

Sagot:

Halimbawa 3

Desisyon:

Sagot: .

Tandaan: marahil, nang makita ang halimbawang ito, isang ideya ang naisip mo: bawasan ang fraction bago bawasan sa isang common denominator. Sa katunayan, ito ay ganap na tama: una, ito ay kanais-nais na pasimplehin ang expression hangga't maaari, at pagkatapos ay baguhin ito. Subukan nating lutasin ang parehong halimbawa sa pangalawang paraan.

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging ganap na magkatulad, ngunit ang solusyon ay naging medyo mas simple.

Sa araling ito, tiningnan natin mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, pati na rin ang ilang partikular na halimbawa ng mga pagbabagong ito.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.

Ang mga rational expression at fraction ay ang pundasyon ng buong kurso ng algebra. Yaong mga natututo kung paano magtrabaho sa gayong mga expression, pasimplehin ang mga ito at i-factor ang mga ito, sa katunayan, ay magagawang lutasin ang anumang problema, dahil ang pagbabago ng mga expression ay isang mahalagang bahagi ng anumang seryosong equation, hindi pagkakapantay-pantay, at kahit na isang problema sa salita.

Sa tutorial na ito ng video, makikita natin kung paano ilapat nang tama ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon upang pasimplehin ang mga makatwirang expression at fraction. Matuto tayong makita ang mga formula na ito kung saan, sa unang tingin, wala. Kasabay nito, inuulit namin ang isang simpleng trick gaya ng pag-factor ng square trinomial sa mga salik sa pamamagitan ng discriminant.

Tulad ng malamang na nahulaan mo na mula sa mga formula sa likod ko, pag-aaralan natin ngayon ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon, o sa halip, hindi ang mga formula mismo, ngunit ang kanilang aplikasyon upang pasimplehin at bawasan ang kumplikadong mga makatwirang expression. Ngunit, bago magpatuloy sa paglutas ng mga halimbawa, tingnan natin ang mga formula na ito o alalahanin ang mga ito:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ ay ang pagkakaiba ng mga parisukat;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ ay ang parisukat ng kabuuan;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ ay ang squared difference;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ay ang kabuuan ng mga cube;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ay ang pagkakaiba ng mga cube.

Gusto ko ring tandaan na ang aming sistema ng edukasyon sa paaralan ay idinisenyo sa paraang ito ay sa pag-aaral ng paksang ito, i.e. rational expressions, pati na rin ang roots, modules, lahat ng estudyante ay may parehong problema, na ipapaliwanag ko ngayon.

Ang katotohanan ay sa simula pa lamang ng pag-aaral ng mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon at, nang naaayon, ang mga aksyon upang mabawasan ang mga praksyon (ito ay tungkol sa grade 8), ang mga guro ay nagsasabi ng ganito: "Kung may hindi malinaw sa iyo, huwag mag-alala. , babalik tayo sa paksang ito ng higit sa isang beses, sa high school sigurado. Malalaman natin mamaya." Kaya, pagkatapos ng mga baitang 9-10, ang parehong mga guro ay nagpapaliwanag sa parehong mga mag-aaral na hindi pa rin alam kung paano lutasin ang mga rational fraction, tulad nito: "Nasaan ka noong nakaraang dalawang taon? Ang parehong ay pinag-aralan sa algebra sa ika-8 baitang! Ano ang maaaring hindi maintindihan dito? Sobrang obvious!"

Gayunpaman, para sa mga ordinaryong mag-aaral, ang gayong mga paliwanag ay hindi mas madali: mayroon pa rin silang gulo sa kanilang mga ulo, kaya ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng halimbawa, kung saan makikita natin kung paano i-highlight ang mga expression na ito sa mga totoong problema, na magdadala sa atin sa mga maiikling formula ng multiplikasyon at kung paano ito ilapat sa ibang pagkakataon upang baguhin ang mga kumplikadong makatwirang ekspresyon.

Pagbawas ng mga simpleng rational fraction

Gawain 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Ang unang bagay na kailangan nating matutunan ay upang makilala ang eksaktong mga parisukat at mas mataas na kapangyarihan sa orihinal na mga expression, sa batayan kung saan maaari nating ilapat ang mga formula. Tingnan natin:

Muli nating isulat ang ating ekspresyon na isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\kaliwa(3((y)^(2)) \kanan))^(2))-((\kaliwa(4x) \kanan))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\kaliwa(3((y)^(2))-4x \kanan)\kaliwa(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Sagot: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Gawain #2

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Walang dapat pasimplehin dito, dahil ang numerator ay pare-pareho, ngunit iminungkahi ko ang problemang ito nang tumpak upang malaman mo kung paano i-factor ang mga polynomial na naglalaman ng dalawang variable. Kung sa halip na ito ay mayroong polynomial na nakasulat sa ibaba, paano natin ito mabubulok?

\[((x)^(2))+5x-6=\kaliwa(x-... \kanan)\kaliwa(x-... \kanan)\]

Lutasin natin ang equation at hanapin ang $x$ na maaari nating ilagay sa halip na mga tuldok:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Maaari naming muling isulat ang trinomial tulad ng sumusunod:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+6 \kanan)\]

Natutunan namin kung paano gumawa ng square trinomial - para dito kailangan naming i-record ang video lesson na ito. Ngunit paano kung, bilang karagdagan sa $x$ at ang pare-pareho, mayroon ding $y$? Tingnan natin ang mga ito bilang isa pang elemento ng mga coefficient, i.e. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Isinulat namin ang agnas ng aming square construction:

\[\kaliwa(x-y \kanan)\kaliwa(x+6y \kanan)\]

Sa kabuuan, kung babalik tayo sa orihinal na expression at muling isulat ito nang isinasaalang-alang ang mga pagbabago, makukuha natin ang sumusunod:

\[\frac(8)(\kaliwa(x-y \kanan)\kaliwa(x+6y \kanan))\]

Ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Wala, dahil hindi ito maaaring bawasan, hindi ito pinarami o hinahati sa kahit ano. Gayunpaman, sa sandaling ang fraction na ito ay naging isang mahalagang bahagi ng isang mas kumplikadong expression, ang gayong pagpapalawak ay magiging kapaki-pakinabang. Samakatuwid, sa sandaling makakita ka ng isang parisukat na trinomial (kung ito ay nabibigatan ng karagdagang mga parameter o hindi), palaging subukang i-factor ito.

Nuances ng solusyon

Tandaan ang mga pangunahing panuntunan para sa pag-convert ng mga makatwirang expression:

• Ang lahat ng mga denominador at numerator ay dapat na isasalik sa alinman sa pamamagitan ng pinaikling mga pormula ng pagpaparami o sa pamamagitan ng discriminant.
• Kailangan nating magtrabaho ayon sa algorithm na ito: kapag tinitingnan natin at sinubukang i-highlight ang pinaikling formula ng multiplikasyon, pagkatapos, una sa lahat, sinusubukan nating isalin ang lahat sa pinakamataas na posibleng antas. Pagkatapos nito, inaalis namin ang pangkalahatang antas sa mga bracket.
• Kadalasan mayroong mga expression na may parameter: ang iba pang mga variable ay lilitaw bilang mga coefficient. Natagpuan namin ang mga ito gamit ang quadratic expansion formula.

Kaya, sa sandaling makakita ka ng mga rational fraction, ang unang bagay na dapat gawin ay i-factor ang numerator at denominator sa mga salik (sa mga linear na expression), habang ginagamit namin ang pinababang multiplication formula o ang discriminant.

Tingnan natin ang ilang mga makatwirang ekspresyon at subukang i-factor ang mga ito.

Paglutas ng Mas Masalimuot na Halimbawa

Gawain 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Sinusulat namin muli at sinusubukang palawakin ang bawat termino:

Muli nating isulat ang ating buong makatwirang pagpapahayag nang nasa isip ang mga katotohanang ito:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\kaliwa(3y\kanan))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\kaliwa(3y-2x \kanan)\kaliwa(3y+2x \kanan))(\kaliwa(2x+3y \kanan)\kaliwa(((\kaliwa(2x \kanan)))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Sagot: $-1$.

Gawain #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Tingnan natin ang lahat ng mga fraction.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\kaliwa(x-2 \kanan))^(2))\]

Isulat muli natin ang buong istraktura na isinasaalang-alang ang mga pagbabago:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \kanan))(\kaliwa(2x-1 \kanan)\kaliwa(2x+1 \kanan))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \kaliwa(x-2 \kanan))\]

Sagot: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuances ng solusyon

Kaya kung ano ang natutunan natin:

• Hindi lahat ng square trinomial ay naka-factor, lalo na, nalalapat ito sa hindi kumpletong parisukat ng kabuuan o pagkakaiba, na kadalasang makikita bilang mga bahagi ng kabuuan o mga cube ng pagkakaiba.
• Mga Constant, i.e. Ang mga ordinaryong numero na walang mga variable sa kanila ay maaari ding kumilos bilang mga aktibong elemento sa proseso ng agnas. Una, maaari silang alisin sa mga bracket, at pangalawa, ang mga constant mismo ay maaaring katawanin bilang mga kapangyarihan.
• Kadalasan, pagkatapos mabulok ang lahat ng mga elemento sa mga kadahilanan, lumitaw ang magkasalungat na mga konstruksyon. Kailangan mong bawasan ang mga fraction na ito nang maingat, dahil kapag tinawid mo ang mga ito mula sa itaas o mula sa ibaba, lilitaw ang isang karagdagang kadahilanan na $-1$ - ito ay tiyak na kinahinatnan ng katotohanan na sila ay kabaligtaran.

Paglutas ng mga kumplikadong problema

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Isaalang-alang natin ang bawat termino nang hiwalay.

Unang bahagi:

\[((\kaliwa(3a \kanan)))^(3))-((\kaliwa(4b \kanan))^(3))=\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(((\kaliwa) (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\kaliwa(b-2 \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan)\]

Maaari nating muling isulat ang buong numerator ng pangalawang bahagi tulad ng sumusunod:

\[((\kaliwa(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2))\]

Ngayon tingnan natin ang denominator:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\kaliwa(b+2 \kanan) ))^(2))\]

Isulat muli natin ang buong makatwirang ekspresyon na nasa isip ang mga katotohanan sa itaas:

\[\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(((\kaliwa(3a \kanan)))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2 )) \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kaliwa(b+2 \kanan))^(2)))( ((\kaliwa(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2)))=\]

\[=\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan))\]

Sagot: $\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan))$.

Nuances ng solusyon

Tulad ng nakita natin muli, ang hindi kumpletong mga parisukat ng kabuuan o hindi kumpletong mga parisukat ng pagkakaiba, na kadalasang matatagpuan sa mga tunay na nakapangangatwiran na mga expression, gayunpaman, huwag matakot sa kanila, dahil pagkatapos ng pagbabago ng bawat elemento ay halos palaging kinakansela. Bilang karagdagan, sa anumang kaso ay hindi ka dapat matakot sa mga malalaking konstruksyon sa pangwakas na sagot - posible na hindi ito ang iyong pagkakamali (lalo na kung ang lahat ay nai-factored), ngunit ang may-akda ay naglihi ng ganoong sagot.

Sa konklusyon, nais kong pag-aralan ang isang mas kumplikadong halimbawa, na hindi na direktang nauugnay sa mga rational fraction, ngunit naglalaman ito ng lahat ng naghihintay sa iyo sa mga totoong pagsusulit at pagsusulit, lalo na: factorization, pagbawas sa isang karaniwang denominator, pagbabawas ng mga katulad na termino . Ganyan talaga ang gagawin natin ngayon.

Paglutas ng isang kumplikadong problema ng pagpapasimple at pagbabago ng mga makatwirang expression

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Una, isaalang-alang at palawakin ang unang bracket: dito makikita natin ang tatlong magkakahiwalay na fraction na may iba't ibang denominator, kaya ang unang bagay na kailangan nating gawin ay dalhin ang lahat ng tatlong fraction sa isang karaniwang denominator, at para dito, ang bawat isa sa kanila ay dapat i-factor:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan)\]

Isulat muli natin ang ating buong istraktura tulad ng sumusunod:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \kanan))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2) \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]

\[=\frac(((\kaliwa(x-2 \kanan)))^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \kanan))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ito ang resulta ng mga kalkulasyon mula sa unang panaklong.

Pagharap sa pangalawang panaklong:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \ tama)\]

Isulat muli natin ang pangalawang bracket, isinasaalang-alang ang mga pagbabago:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))\]

Ngayon isulat natin ang buong orihinal na konstruksyon:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Sagot: $\frac(1)(x+2)$.

Nuances ng solusyon

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging medyo matino. Gayunpaman, pakitandaan: napakadalas na may ganitong malalaking kalkulasyon, kapag ang tanging variable ay nasa denominator lamang, nakakalimutan ng mga mag-aaral na ito ang denominator at ito ay dapat na nasa ilalim ng fraction at isulat ang expression na ito sa numerator - ito ay isang malaking pagkakamali.

Bilang karagdagan, nais kong iguhit ang iyong espesyal na atensyon sa kung paano pormal ang mga naturang gawain. Sa anumang kumplikadong mga kalkulasyon, ang lahat ng mga hakbang ay isinasagawa nang sunud-sunod: una, binibilang namin nang hiwalay ang unang bracket, pagkatapos ay hiwalay ang pangalawang bracket, at sa dulo lamang namin pinagsama ang lahat ng mga bahagi at kalkulahin ang resulta. Kaya, sinisiguro namin ang aming sarili laban sa mga hangal na pagkakamali, maingat na isulat ang lahat ng mga kalkulasyon at sa parehong oras ay hindi mag-aaksaya ng anumang dagdag na oras, na maaaring mukhang sa unang tingin.