Na medyo nagsawa na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang pagkain mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, upang ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Tila hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay nagpapahiram sa kanilang sarili
"reunion". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.
Sa araling ito, makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa para sa pagpapalawak ng mga function sa isang Fourier series. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies", ngunit ito ay magiging tuso, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang mga seksyon ng mathematical analysis at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay ng mga astronaut =)
Una, ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina ay dapat na lapitan sa mahusay na hugis. Inaantok, pahinga at matino. Nang walang malakas na emosyon tungkol sa sirang paa ng isang hamster at obsessive na pag-iisip tungkol sa hirap ng buhay ng aquarium fish. Ang serye ng Fourier ay hindi mahirap mula sa punto ng view ng pag-unawa, gayunpaman, ang mga praktikal na gawain ay nangangailangan lamang ng isang pagtaas ng konsentrasyon ng pansin - sa isip, ang isa ay dapat na ganap na iwanan ang panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at ang sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Katotohanan.
Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan, kinakailangang pag-aralan ang panel ng instrumento ng spacecraft. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:
Para sa anumang natural na halaga:
isa). At sa katunayan, ang sinusoid ay "nagkislap" ng x-axis sa bawat "pi":
. Sa kaso ng mga negatibong halaga ng argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .
2). Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi en" ay katumbas ng "flashing light":
Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago sa kaso: 
.
Marahil sapat na.
At pangatlo, mahal na kosmonaut corps, kailangan mong ... pagsamahin.
Sa partikular, sigurado magdala ng function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin ayon sa mga bahagi at makipagkasundo sa iyo Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Lubos kong inirerekumenda na laktawan ito, upang sa ibang pagkakataon ay hindi ka ma-flatten sa zero gravity:
Halimbawa 1
Kalkulahin ang mga tiyak na integral
kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.
Desisyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na "x" at sa yugtong ito ang discrete variable na "en" ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral dalhin ang function sa ilalim ng sign ng differential:
Isang maikling bersyon ng solusyon, na magandang kunan, ganito ang hitsura:
Masanay sa:
Ang apat na natitirang puntos ay sa kanilang sarili. Subukang tratuhin ang gawain nang maingat at ayusin ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.
Pagkatapos ng KALIDAD na ehersisyo, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!
Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa pagitan
Isaalang-alang natin ang isang function na determinado hindi bababa sa pagitan (at, posibleng, sa isang mas malaking agwat). Kung ang function na ito ay integrable sa segment , maaari itong palawakin sa isang trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.
Sa kasong ito, ang numero ay tinatawag panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay na agnas.
Malinaw, sa pangkalahatang kaso, ang seryeng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine: 
Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:
Ang zero term ng serye ay karaniwang isinusulat bilang .
Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula: 
Naiintindihan kong lubos na ang mga bagong termino ay malabo pa rin para sa mga nagsisimula upang pag-aralan ang paksa: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients at iba pa. Huwag mag-panic, hindi ito maikukumpara sa excitement bago ang isang spacewalk. Alamin natin ang lahat sa pinakamalapit na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:
Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan na gumuhit ng isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.
Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?
Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, iyon ay, bumuo at mag-compute ng tatlo mga tiyak na integral.
Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Tuwang-tuwa ako na ang ilan sa mga bisita sa site ay may pangarap noong bata pa na maging isang astronaut na nagkatotoo sa harap ng aking mga mata =)
Halimbawa 2
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye at isang bahagyang kabuuan.
Desisyon: ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.
Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:
Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon .
Pinalawak namin ang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan: 
Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo mga tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:
1) Ang unang integral ay ang pinakasimple, gayunpaman, nangangailangan na ito ng mata at mata: 
2) Ginagamit namin ang pangalawang formula:
Ang integral na ito ay kilala at unti-unti niyang kinukuha: 
Kapag natagpuang ginamit paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng differential sign.
Sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin kaagad formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral 
:
Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil mayroong isang pare-pareho sa harap ng orihinal na integral. Huwag nating mawala ito! Maaaring mabuksan ang mga panaklong sa anumang karagdagang hakbang, ginawa ko ito sa pinakahuling pagliko. Sa unang "piraso" 
nagpapakita kami ng matinding katumpakan sa pagpapalit, tulad ng nakikita mo, ang pare-pareho ay wala sa negosyo, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay minarkahan ng mga square bracket. Well, ang integral ng pangalawang "piraso" ng formula ay kilala sa iyo mula sa gawain sa pagsasanay ;-)
At ang pinakamahalaga - ang sukdulang konsentrasyon ng atensyon!
3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:
Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din isinama ng mga bahagi:
Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang: 
(1) Ang buong expression ay nakapaloob sa malalaking bracket.. Hindi ko nais na mukhang isang mainip, nawala nila ang pare-pareho masyadong madalas.
(2) Sa kasong ito, agad kong pinalawak ang malalaking bracket na iyon. Espesyal na atensyon itinatalaga namin ang unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng rekord, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito sa mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" 
ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang fraction pagkatapos magbukas ng malalaking bracket, at ang pare-pareho - bilang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral ;-)
(3) Sa mga square bracket, nagsasagawa kami ng mga pagbabago, at sa tamang integral, pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.
(4) Inalis namin ang "flasher" mula sa mga square bracket: , pagkatapos ay binuksan namin ang mga panloob na bracket: .
(5) Kinakansela namin ang 1 at -1 sa mga panaklong, ginagawa namin ang panghuling pagpapasimple.
Sa wakas ay natagpuan ang lahat ng tatlong Fourier coefficient: 
Ipalit ang mga ito sa formula 
:
Huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha mula sa kabuuan.
Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan: 
Pag-aralan natin ang tanong ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko sa partikular ang teorya Dirichlet theorem, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na formulations, mangyaring sumangguni sa isang aklat-aralin sa calculus (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit mas mahirap dito).
Sa ikalawang bahagi ng gawain, kinakailangan na gumuhit ng isang graph, isang serye ng sum graph at isang bahagyang sum graph.
Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa eroplano, na iginuhit ng isang itim na tuldok na linya: 
Nakikitungo kami sa kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang functional na serye ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier 
para sa anumang halaga ng "x" converges sa function na ipinapakita sa pula. Ang pagpapaandar na ito ay napapailalim sa mga break ng 1st kind sa mga puntos , ngunit tinukoy din sa mga ito (mga pulang tuldok sa pagguhit)
kaya: 
. Madaling makita na kapansin-pansing naiiba ito sa orihinal na function , kaya naman sa notasyon 
isang tilde ang ginagamit sa halip na isang equals sign.
Pag-aralan natin ang isang algorithm kung saan ito ay maginhawa upang bumuo ng kabuuan ng isang serye.
Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).
Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa likas na katangian ng itinuturing na trigonometriko na pagpapalawak. Fourier serye 
kasama lang ang mga periodic function (constant, sines at cosine), kaya ang kabuuan ng serye 
ay isa ring periodic function.
Ano ang ibig sabihin nito sa ating partikular na halimbawa? At ito ay nangangahulugan na ang kabuuan ng serye 
–kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na walang katapusan na paulit-ulit sa kaliwa at kanan.
Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa wakas ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas". Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.
Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Buweno, at higit pang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang gawing malinaw na ang tsart ay nagpapatuloy.
Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng discontinuity "jump" (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano mahahanap ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para dito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng central expansion period: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "ibabang palapag", ang pinakamadaling paraan ay kunin ang pinakakaliwang halaga ng parehong panahon: 
. Ang ordinate ng mean na halaga ay ang arithmetic mean ng kabuuan ng "itaas at ibaba": . Maganda ang katotohanan na kapag nagtatayo ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay tama o hindi tama ang pagkalkula.
Bumuo tayo ng bahagyang kabuuan ng serye at sabay ulitin ang kahulugan ng terminong "convergence". Nalaman ang motibo mula sa aralin tungkol sa ang kabuuan ng serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:
Upang makagawa ng bahagyang kabuuan, kailangan mong isulat ang zero + dalawa pang termino ng serye. I.e,
Sa pagguhit, ang graph ng function ay ipinapakita sa berde, at, tulad ng nakikita mo, ito ay bumabalot sa kabuuang kabuuan nang medyo mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment, atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang kabuuan ay tuluy-tuloy na pag-andar, ngunit ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.
Sa pagsasagawa, hindi karaniwan na bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa tuldok , at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isang periodic function din ... ... ang graph nito ay nagpapaalala sa akin ng isang pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.
Siyempre, hindi masyadong maginhawa upang isagawa ang konstruksiyon, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na salungat sa pagguhit - sa isang "tunay" na gawain, malayo sa palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit, sa isang lugar sa 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at iyon ay ito.
Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:
Sagot: 
Sa maraming mga gawain, ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind mismo sa panahon ng agnas:
Halimbawa 3
Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na ibinigay sa pagitan . Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.
Ang iminungkahing function ay ibinibigay nang paisa-isa (at, bale, sa segment lang) at magtiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama-sama sa kanilang mga pagitan, kaya ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:
Ang pangalawang integral ay naging katumbas ng zero, na nagbawas ng trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.
Dalawang iba pang mga Fourier coefficient ang nakasulat nang magkatulad.
Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan gumuhit kami ng isang tuwid na linya ng segment , at sa pagitan - isang tuwid na linya ng segment (i-highlight ang seksyon ng axis sa bold-bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako, maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay nagtatagpo sa isang nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: limitasyon sa kaliwang kamay:, limitasyon sa kanang kamay: 
at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.
Dahil sa periodicity ng sum , ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga kalapit na panahon, sa partikular, ilarawan ang parehong bagay sa mga pagitan at . Sa kasong ito, sa mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga median na halaga.
Sa totoo lang, wala namang bago dito.
Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng magandang disenyo at pagguhit sa pagtatapos ng aralin.
Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa isang arbitrary na panahon
Para sa isang di-makatwirang panahon ng pagpapalawak, kung saan ang "el" ay anumang positibong numero, ang mga formula para sa seryeng Fourier at mga koepisyent ng Fourier ay naiiba sa isang bahagyang kumplikadong argumento ng sine at cosine:
Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula para sa pagitan kung saan kami nagsimula.
Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:
Halimbawa 4
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan. 
Desisyon: sa katunayan, isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Ang function ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan , ngunit hindi nito binabago ang mga bagay - mahalaga na ang parehong bahagi ng function ay mapagsasama.
Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:
Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang ang kabuuan ng dalawang integral:
1) Isusulat ko ang unang integral bilang detalyado hangga't maaari:
2) Maingat na sumilip sa ibabaw ng buwan:
Pangalawang integral kumuha ng mga bahagi:
Ano ang dapat mong bigyang-pansin pagkatapos naming buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?
Una, hindi natin nawawala ang unang integral 
, kung saan agad naming pinaandar pagdadala sa ilalim ng tanda ng kaugalian. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa pamamagitan ng mga palatandaan kapag ginagamit ang formula 
. Malaking bracket, pagkatapos ng lahat, ito ay mas maginhawa upang buksan kaagad sa susunod na hakbang.
Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan, tanging ang hindi sapat na karanasan sa paglutas ng mga integral ay maaaring maging sanhi ng mga paghihirap.
Oo, hindi walang kabuluhan na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - gaano siya nangahas na i-decompose ang mga function sa trigonometric series?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ay nagtrabaho sa isang matematikal na modelo ng pagpapadaloy ng init, at pagkatapos ay nagsimulang gamitin ang seryeng ipinangalan sa kanya upang pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na tila hindi nakikita sa labas ng mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa isang panaka-nakang ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring maging pamilyar sa praktikal na aplikasyon Nag-transform si Fourier mula sa mga mapagkukunan ng third party. ... Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)
3) Dahil sa paulit-ulit na binanggit na mahinang mga link, nakikitungo kami sa ikatlong koepisyent:
Pagsasama ayon sa mga bahagi: 
Pinapalitan namin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula 
, hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:
I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: sa pagitan ay nagtatayo tayo ng isang linya, at sa pagitan - isang linya. Sa isang zero na halaga ng "x", naglalagay kami ng isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang tsart para sa mga kalapit na panahon: 
Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.
handa na. Ipinapaalala ko sa iyo na ang function mismo ay may kondisyong tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, nag-tutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan
Sagot:
Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy din sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: 
. Desisyon (Tingnan ang Bohan Tomo 2) ay katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng function sa puntong , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.
Sa pagitan ng breakup mga discontinuity point ng 1st kind at / o "junction" na mga punto ng graph ay maaaring higit pa (dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan anuman pangwakas halaga). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan, hindi ko naaalala ang gayong lata. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa isinasaalang-alang lamang, at sa dulo ng artikulo para sa lahat ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado.
Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pagnilayan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:
Halimbawa 5
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.
Sa gawaing ito, ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng agnas, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa #2. Hindi ka makakalayo sa sasakyang pangkalawakan - kailangan mong magpasya =) Sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin, ang iskedyul ay nakalakip.
Fourier series na pagpapalawak ng even at odd na function
Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng function sa isang seryeng Fourier sa panahon ng "dalawang pi" 
at arbitrary na panahon "dalawang ale" 
.
Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng mga kahit na cosine at kakaibang sine. At kung nabubulok natin ang isang EVEN function, bakit kailangan natin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .
kaya, ang isang even function ay lumalawak sa isang Fourier series lamang sa mga cosine:
Sa abot ng integral ng even functions sa isang segment ng integration symmetric na may paggalang sa zero ay maaaring doblehin, pagkatapos ay ang iba pang mga Fourier coefficients ay pinasimple din.
Para sa span: 
Para sa arbitrary na pagitan: 
Ang mga halimbawa ng Textbook na makikita sa halos anumang calculus textbook ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng even functions 
. Bilang karagdagan, paulit-ulit silang nagkita sa aking personal na pagsasanay:
Halimbawa 6
Nabigyan ng function. Kailangan:
1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;
2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.
Desisyon: sa unang talata, iminungkahi na lutasin ang problema sa pangkalahatang paraan, at ito ay napaka-maginhawa! Magkakaroon ng pangangailangan - palitan lamang ang iyong halaga.
1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Sa kurso ng mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho
Ang function ay pantay, na nangangahulugan na ito ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang: 
.
Ang mga fourier coefficient ay hinahanap ng mga formula 
. Bigyang-pansin ang kanilang ganap na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugang ligtas nating mapupuksa ang module 
, isinasaalang-alang lamang ang "x" mula sa dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.
Dalawa: 
Pagsasama ayon sa mga bahagi:
kaya:
, habang ang constant , na hindi nakadepende sa "en", ay kinuha sa kabuuan.
Sagot: 
2) Isinulat namin ang pagpapalawak sa pagitan, para dito pinapalitan namin ang nais na halaga ng kalahating panahon sa pangkalahatang formula:
isang serye sa mga cosine at sine ng maraming arc, ibig sabihin, isang serye ng anyo
o sa kumplikadong anyo
saan isang k,b k o, ayon sa pagkakabanggit, c k tinawag coefficients ng T. r.
Sa unang pagkakataon T. r. magkita sa L. Euler (L. Euler, 1744). Nakakuha siya ng mga pagpapalawak
Lahat ng R. Ika-18 siglo Kaugnay ng pag-aaral ng problema ng libreng panginginig ng boses ng isang string, ang tanong ay lumitaw sa posibilidad na kumatawan sa function na nagpapakilala sa paunang posisyon ng string bilang isang kabuuan ng T. r. Ang tanong na ito ay nagdulot ng isang mainit na debate na tumagal ng ilang dekada, ang pinakamahusay na mga analyst ng panahong iyon - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Mga pagtatalo na may kaugnayan sa nilalaman ng konsepto ng function. Sa oras na iyon, ang mga function ay karaniwang nauugnay sa kanilang analytics. pagtatalaga, na humantong sa pagsasaalang-alang lamang ng analytic o piecewise analytic function. At dito naging kinakailangan para sa isang function na ang graph ay isang sapat na arbitrary curve upang makabuo ng T. r. na kumakatawan sa function na ito. Ngunit ang kahalagahan ng mga pagtatalo na ito ay mas malaki. Sa katunayan, tinalakay o bumangon sila kaugnay ng mga tanong na may kaugnayan sa maraming mahahalagang konsepto at ideya ng matematika. pagsusuri sa pangkalahatan - ang representasyon ng mga function ng Taylor series at analytical. pagpapatuloy ng mga function, paggamit ng divergent series, permutation of limits, infinite system of equation, interpolation of functions by polynomials, etc.
At sa hinaharap, tulad ng sa unang panahon na ito, ang teorya ng T. r. nagsilbing mapagkukunan ng mga bagong ideya sa matematika. Ang tanong na humantong sa kontrobersya sa mga mathematician noong ika-18 siglo ay nalutas noong 1807 ni J. Fourier, na nagpahiwatig ng mga pormula para sa pagkalkula ng mga coefficient ng T. r. (1), na dapat. kumakatawan sa function na f(x):
at inilapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema sa pagpapadaloy ng init. Ang mga pormula (2) ay tinatawag na mga pormula ng Fourier, bagama't sila ay nakatagpo ng mas maaga ni A. Clairaut (1754), at L. Euler (1777) ay dumating sa kanila gamit ang termino-by-term integration. T. r. (1), ang mga coefficient nito ay tinutukoy ng mga formula (2), na tinatawag na. malapit sa Fourier function f, at ang mga numero a k , b k- Fourier coefficients.
Ang likas na katangian ng mga resulta na nakuha ay depende sa kung paano ang representasyon ng isang function ay nauunawaan bilang isang serye, kung paano ang integral sa mga formula (2) ay naiintindihan. Ang modernong pananaw ng teorya ng T. ilog. nakuha pagkatapos ng paglitaw ng integral ng Lebesgue.
Ang teorya ng T. r. maaaring nahahati sa dalawang malalaking seksyon - ang teorya Fourier serye, kung saan ipinapalagay na ang serye (1) ay ang seryeng Fourier ng isang tiyak na tungkulin, at ang teorya ng pangkalahatang T. R., kung saan hindi ginawa ang naturang pagpapalagay. Nasa ibaba ang mga pangunahing resulta na nakuha sa teorya ng pangkalahatang T. r. (sa kasong ito, ang sukat ng mga hanay at ang sukat ng mga pag-andar ay nauunawaan ayon sa Lebesgue).
Ang unang sistematiko pananaliksik T. r., kung saan hindi ipinapalagay na ang mga seryeng ito ay seryeng Fourier, ay ang disertasyon ni V. Riemann (V. Riemann, 1853). Samakatuwid, ang teorya ng pangkalahatang T. r. tinawag minsan ang Riemannian theory ng thermodynamics.
Upang pag-aralan ang mga katangian ng arbitrary na T. r. (1) na may mga coefficient na may posibilidad na zero B. Itinuring ni Riemann ang tuluy-tuloy na function F(x) ,
na ang kabuuan ng isang pare-parehong convergent na serye
nakuha pagkatapos ng dalawang-tiklop na termino-by-term na pagsasama ng serye (1). Kung ang serye (1) ay nagtatagpo sa isang puntong x sa isang numerong s, sa puntong ito ay umiiral ang pangalawang simetriko at katumbas ng s. derivative ng function F:
pagkatapos ito ay humahantong sa kabuuan ng serye (1) na nabuo ng mga salik 
tinawag sa pamamagitan ng paraan ng pagbubuod ng Riemann. Gamit ang function na F, ang prinsipyo ng lokalisasyon ng Riemann ay nabuo, ayon sa kung saan ang pag-uugali ng serye (1) sa puntong x ay nakasalalay lamang sa pag-uugali ng function na F sa isang arbitraryong maliit na kapitbahayan ng puntong ito.
Kung si T. r. nagtatagpo sa isang set ng positibong sukat, pagkatapos ay ang mga coefficient nito ay malamang na zero (ang Cantor-Lebesgue theorem). Pagkahilig sa zero coefficients T. r. sumusunod din mula sa tagpo nito sa isang set ng pangalawang kategorya (W. Young, W. Young, 1909).
Isa sa mga pangunahing problema ng teorya ng pangkalahatang thermodynamics ay ang problema ng kumakatawan sa isang arbitrary function T. r. Ang pagpapalakas ng mga resulta ng N. N. Luzin (1915) sa representasyon ng mga pag-andar ng T. R. ni Abel-Poisson at Riemann na nasusuma halos lahat ng mga pamamaraan, pinatunayan ng D. E. Men'shov (1940) ang sumusunod na teorama, na nauugnay sa pinakamahalagang kaso kapag ang representasyon ng ang function na f ay nauunawaan bilang ang convergence ng T. r. sa f(x) halos lahat ng dako. Para sa bawat masusukat at may hangganan na halos lahat ng dako ng function f, mayroong isang T. R. na nagtatagpo dito halos lahat ng dako (Men'shov's theorem). Dapat pansinin na kahit na ang function na f ay pinagsama-sama, kung gayon, sa pangkalahatan, hindi maaaring kunin ng isa ang Fourier series ng function na f bilang isang serye, dahil may mga Fourier series na naghihiwalay saanman.
Ang teorem ng Men'shov ay nagbibigay-daan sa sumusunod na pagpipino: kung ang isang function f ay nasusukat at may hangganan halos lahat ng dako, kung gayon mayroong isang tuluy-tuloy na function na 
halos lahat ng dako at ang term-by-term differentiated Fourier series ng function j ay nagtatagpo sa f(x) halos lahat ng dako (N. K. Bari, 1952).
Hindi alam (1984) kung posible bang tanggalin ang kondisyon ng finiteness para sa function f halos lahat ng dako sa Men'shov's theorem. Sa partikular, hindi alam (1984) kung ang T. r. nagtatagpo halos lahat ng dako
Samakatuwid, ang problema ng kumakatawan sa mga pag-andar na maaaring tumagal ng walang katapusang mga halaga sa isang hanay ng positibong sukat ay isinasaalang-alang para sa kaso kung saan ang convergence halos lahat ng dako ay pinalitan ng isang mas mahina na kinakailangan, convergence sa sukat. Ang convergence sa sukat sa mga function na maaaring tumagal sa walang katapusang mga halaga ay tinukoy bilang mga sumusunod: isang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan T. p. s n(x) nagtatagpo sa sukat sa function na f(x) .
kung saan f n(x) nagtatagpo sa / (x) halos lahat ng dako, at ang sequence ay nagtatagpo sa zero sa sukat. Sa setting na ito, ang problema ng representasyon ng mga function ay nalutas hanggang sa wakas: para sa bawat masusukat na function, mayroong isang T. R. na converges dito sa sukat (D. E. Men'shov, 1948).
Maraming pananaliksik ang nakatuon sa problema ng pagiging natatangi ng T. r.: Maaari bang maghiwalay ang dalawang magkaibang T. sa iisang tungkulin? sa ibang pormulasyon: kung T. r. converges to zero, ito ba ay sumusunod na ang lahat ng mga coefficient ng serye ay katumbas ng zero. Dito ay maaaring mangahulugan ang isang tagpo sa lahat ng mga punto o sa lahat ng mga punto sa labas ng isang tiyak na hanay. Ang sagot sa mga tanong na ito ay mahalagang nakadepende sa mga katangian ng hanay sa labas kung saan hindi ipinapalagay ang convergence.
Ang mga sumusunod na terminolohiya ay naitatag. Maraming pangalan. set ng uniqueness o U- itakda kung, mula sa tagpo ng T. r. sa zero sa lahat ng dako, maliban, marahil, para sa mga punto ng set E, sumusunod na ang lahat ng mga coefficient ng seryeng ito ay katumbas ng zero. Kung hindi Enaz. M-set.
Gaya ng ipinakita ni G. Cantor (1872), ang walang laman na hanay, gayundin ang anumang finite set, ay mga U-set. Ang arbitrary countable set ay isa ring U-set (W. Jung, 1909). Sa kabilang banda, ang bawat hanay ng positibong sukat ay isang M-set.
Ang pagkakaroon ng M-set ng measure zero ay itinatag ni D. E. Men'shov (1916), na nagtayo ng unang halimbawa ng isang perpektong set na may mga katangiang ito. Ang resultang ito ay may pangunahing kahalagahan sa problema ng pagiging natatangi. Ito ay sumusunod mula sa pagkakaroon ng mga M-set ng sukat na zero na, sa representasyon ng mga pag-andar ng T. R. na nagtatagpo halos saanman, ang mga seryeng ito ay binibigyang kahulugan nang walang paltos.
Ang mga perpektong set ay maaari ding maging U-set (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Ang napaka banayad na katangian ng mga hanay ng sukat na zero ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa problema ng pagiging natatangi. Ang pangkalahatang tanong tungkol sa pag-uuri ng mga hanay ng sukat na zero sa M- at ang mga U-set ay nananatiling bukas (1984). Hindi ito malulutas kahit para sa mga perpektong set.
Ang sumusunod na problema ay nauugnay sa problema sa pagiging natatangi. Kung si T. r. converges sa function 
kung ang seryeng ito ay dapat na ang seryeng Fourier ng function na /. Nagbigay ng positibong sagot si P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) sa tanong na ito kung ang f ay mapagsasama sa kahulugan ng Riemann at ang serye ay nagtatagpo sa f(x) sa lahat ng punto. Mula sa mga resulta III. Ang J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) ay nagpapahiwatig na ang sagot ay positibo kahit na ang serye ay nagtatagpo sa lahat ng dako maliban sa isang mabibilang na hanay ng mga puntos at ang kabuuan nito ay may hangganan.
Kung ang isang T. p ay ganap na nagtatagpo sa isang punto x 0, kung gayon ang mga punto ng tagpo ng seryeng ito, pati na rin ang mga punto ng ganap na tagpo nito, ay matatagpuan sa simetriko na may kinalaman sa puntong x 0
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Ayon kay Denjoy - Luzin theorem mula sa ganap na tagpo ng T. r. (1) sa isang set ng positibong sukat, ang serye ay nagtatagpo 
at, dahil dito, ang ganap na tagpo ng serye (1) para sa lahat X. Ang ari-arian na ito ay taglay din ng mga hanay ng pangalawang kategorya, gayundin ng ilang partikular na hanay ng sukat na zero.
Sinasaklaw ng survey na ito ang one-dimensional na T. r. (isa). May mga hiwalay na resulta na nauugnay sa pangkalahatang T. p. mula sa ilang mga variable. Dito sa maraming mga kaso kinakailangan pa ring maghanap ng mga natural na pahayag ng problema.
Lit.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., Trigonometric series, trans. mula sa English, tomo 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Integral at trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Works, trans. mula sa German, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Teleyakovsky.
- - ang panghuling trigonometriko kabuuan, - isang pagpapahayag ng anyo na may tunay na coefficient a 0, at k, bk, k=l, . . ., n; numero n tinawag. order T. 0)...
Mathematical Encyclopedia
- - isang serye sa mga cosine at sine ng maramihang mga arko, ibig sabihin, isang serye ng anyo o sa kumplikadong anyo kung saan ang ak, bk o, ayon sa pagkakabanggit, ck ay tinatawag. coefficients ng T. r. Sa unang pagkakataon T. r. magkita sa L. Euler ...
Mathematical Encyclopedia
- - triangulation point, - geodetic point, ang posisyon kung saan sa ibabaw ng lupa ay tinutukoy ng paraan ng triangulation ...
Malaking encyclopedic polytechnic na diksyunaryo
- - tingnan ang Triangulation...
Encyclopedic Dictionary ng Brockhaus at Euphron
- - sa geodesy, isang istraktura na naka-install sa lupa sa mga puntong trigonometriko. T. h. binubuo ng dalawang bahagi - panlabas at sa ilalim ng lupa...
Great Soviet Encyclopedia
- - isang functional na serye ng form, iyon ay, isang serye na matatagpuan sa kahabaan ng mga sine at cosine ng maraming arc. Madalas T. r. nakasulat sa kumplikadong anyo.
Hayaang magbigay ng isang trigonometric series
Upang malaman kung ito ay nagtatagpo, natural na isaalang-alang ang serye ng numero
(2)
ang majorizing, gaya ng sinasabi nila, serye (1). Ang mga miyembro nito ay lumampas, ayon sa pagkakabanggit, sa mga ganap na halaga ng mga miyembro ng serye (1):
.
Kasunod nito na kung ang serye (2) ay nagtatagpo, ang serye (1) ay nagtatagpo para sa lahat at, higit pa rito, ganap at pare-pareho (tingnan ang aming aklat na Higher Mathematics. Differential and Integral Calculus, § 9.8, Theorem 1). Ngunit ang serye (1) ay maaaring magtagpo nang walang serye (2) na nagtatagpo. Pagkatapos ng lahat, ang mga tuntunin nito para sa bawat pag-sign ng pagbabago (nag-oscillate) ng isang walang katapusang bilang ng mga beses kapag nagbabago, at maaari itong mag-converge dahil sa kabayaran ng mga positibong termino ng mga negatibo. Sa pangkalahatang teorya ng serye, may mga palatandaan ng tagpo ng katulad na serye. Ang nasabing mga pagsusulit ay ang Dirichlet at Abel na mga pagsusulit (tingnan ang § 9.9, Theorems 3 at 4 ng parehong libro), na mahusay na inangkop sa pag-aaral ng trigonometrikong serye.
Sa isang paraan o iba pa, kung ito ay itinatag na ang serye (1) ay magkakaugnay, pagkatapos ay mula sa katotohanan na ang mga termino nito ay tuluy-tuloy na mga pag-andar ng panahon , ito ay sumusunod na ang kabuuan nito
(3)
ay isang tuluy-tuloy na paggana ng panahon (tingnan ang § 9.8, Theorem 2 at § 9.9, Theorem 2 ng parehong aklat) at ang serye (3) ay maaaring isama ang termino ayon sa termino.
Ang serye (3) ay maaaring pormal na maiiba sa pamamagitan ng:
(4)
at bumuo ng majorizing series nito
(5)
Muli, kung ang serye (5) ay nagtatagpo, ang serye (4) ay magkakatulad na nagtatagpo. Bukod dito, batay sa kilalang teorama mula sa teorya ng pare-parehong convergent na serye, kung gayon ang kabuuan ng serye (4) ay ang hinango ng kabuuan ng serye (3), i.e.
.
Sa pangkalahatan, kung isang serye
nagtatagpo para sa ilang natural na numero, pagkatapos ang serye (3) ay maaaring legal na maiiba ang termino ayon sa termino.
Gayunpaman, dapat nating tandaan na posibleng ang serye (3) ay maaaring lehitimong maiiba nang isa pang beses (ibig sabihin, mga oras).
Halimbawa. Alamin kung gaano karaming beses maaaring pag-iba-ibahin ang isang serye ng termino ayon sa termino
Numero isang n, b n o c n ay tinatawag na coefficients ng T. r.
T. r. gumaganap ng napakahalagang papel sa matematika at mga aplikasyon nito. Una sa lahat, T. r. nagbibigay ng mga paraan para sa paglalarawan at pag-aaral ng mga function at samakatuwid ay isa sa mga pangunahing apparatus ng teorya ng mga function. Dagdag pa, ang thermal radiation ay natural na lumilitaw sa solusyon ng isang bilang ng mga problema ng matematikal na pisika, kung saan maaari nating tandaan ang problema ng vibration ng isang string, ang problema ng pagpapalaganap ng init, at iba pa. Panghuli, ang teorya ng thermal radiation . nag-ambag sa paglilinaw ng mga pangunahing konsepto ng pagsusuri sa matematika (function, integral), binigyang buhay ang isang bilang ng mahahalagang seksyon ng matematika (ang teorya ng Fourier integral, ang teorya ng halos pana-panahong pag-andar), na nagsilbing isa sa mga panimulang punto para sa ang pagbuo ng set theory, ang teorya ng mga function ng isang real variable at functional analysis, at ilagay ang simula ng general harmonic analysis.
Itinuro ni Euler ang koneksyon sa pagitan ng serye ng kapangyarihan at T. R.: kung 
c n ay totoo, kung gayon
ibig sabihin:
Lit.: Luzin N. N., Integral at trigonometric series, M. - L., 1951; Barin. K., Trigonometric series, Moscow, 1961; Sigmund A., Trigonometric series, trans. mula sa English, 2nd ed., vol. 1-2, M., 1965.
Great Soviet Encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .
Tingnan kung ano ang "Serye ng Trigonometric" sa iba pang mga diksyunaryo:
Isang serye ng mga cosine at sine ng maraming arc, ibig sabihin, isang serye ng anyo o sa kumplikadong anyo kung saan ak, bk o, ayon sa pagkakabanggit, ck ay tinatawag. coefficients ng T. r. Sa unang pagkakataon T. r. magkita sa L. Euler (L. Euler, 1744). Nakatanggap siya ng mga pagpapalawak sa ser. Ika-18 siglo na may kaugnayan sa…… Mathematical Encyclopedia
Isang serye ng anyo kung saan ang mga coefficient na a0, a1, b1, a2, b2 ... ay hindi nakasalalay sa variable na x ... Malaking Encyclopedic Dictionary
Sa matematika, ang isang trigonometric series ay anumang serye ng anyo: Ang isang trigonometric series ay tinatawag na isang Fourier series ng isang function kung ang mga coefficient at ay tinukoy bilang mga sumusunod ... Wikipedia
Isang serye ng anyo kung saan ang koepisyent na a0, a1, b1, a2, b2, ... ay hindi nakadepende sa variable na x. * * * TRIGONOMETRIC SERIES TRIGONOMETRIC SERIES, isang serye ng anyo kung saan ang mga coefficient na a0, a1, b1, a2, b2 ... ay hindi nakadepende sa variable x ... encyclopedic Dictionary
Ang trigonometric Fourier series ay isang representasyon ng isang arbitrary na function na may tuldok sa anyo ng isang serye (1) o, gamit ang kumplikadong notasyon, sa anyo ng isang serye: . Nilalaman ... Wikipedia
walang katapusang trigonometric Fourier series- - Mga paksa sa telekomunikasyon, mga pangunahing konsepto EN Fourier series ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin
Serye ng uri Serye ng uri (1) K. Weierstrass ipinakilala noong 1872 isang tuluy-tuloy na wala kahit saan differentiable function. Inilapat ni J. Hadamard noong 1892 ang serye (1), na tinatawag silang lacunar, sa pag-aaral ng analitiko. pagpapatuloy ng function. Systematic… Mathematical Encyclopedia
Sa serye ng serye Ang mga seryeng ito ay, ayon sa pagkakabanggit, ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng serye sa z=eix. Ang formula para sa mga partial sums ng function na j(x) conjugate sa Fourier series na trigonometriko. serye kung saan ang Dirichlet conjugate kernel. Kung ang f(x) ay isang function ng bounded variation... ... Mathematical Encyclopedia
Pagdaragdag ng Mga Tuntunin ng Fourier Series ... Wikipedia
Ang I ay isang walang katapusang kabuuan, halimbawa, ng anyong u1 + u2 + u3 + ... + un + ... o, sa madaling salita, Isa sa mga pinakasimpleng halimbawa ng R., na natagpuan na sa elementarya na matematika, ay isang walang hanggan. bumababa ang kabuuan ... ... Great Soviet Encyclopedia
Panimulang pananalita
Sa seksyong ito, isasaalang-alang namin ang representasyon ng mga pana-panahong signal gamit ang isang seryeng Fourier. Ang Fourier series ay ang batayan ng teorya ng spectral analysis, dahil, tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang Fourier transform ng isang non-periodic signal ay maaaring makuha bilang limitasyon ng transition ng Fourier series na may walang katapusang pag-uulit na panahon. Bilang resulta, ang mga katangian ng serye ng Fourier ay may bisa din para sa pagbabago ng Fourier ng mga hindi pana-panahong signal.Isasaalang-alang namin ang mga expression para sa seryeng Fourier sa trigonometriko at kumplikadong mga anyo, at bigyang-pansin din ang mga kondisyon ng Dirichlet para sa tagpo ng seryeng Fourier. Bilang karagdagan, tatalakayin natin nang detalyado ang paliwanag ng naturang konsepto bilang negatibong dalas ng signal spectrum, na kadalasang nagiging sanhi ng kahirapan kapag nakikilala ang teorya ng spectral analysis.
Pana-panahong signal. Trigonometric Fourier series
Hayaang magkaroon ng tuluy-tuloy na oras na periodic signal , na umuulit sa isang period c, i.e. , kung saan ay isang arbitrary integer.Bilang isang halimbawa, ang Figure 1 ay nagpapakita ng isang pagkakasunud-sunod ng mga hugis-parihaba na pulso ng tagal c, na umuulit sa isang panahon ng c.
Figure 1. Pana-panahong pagkakasunud-sunod
Mga parihabang pulso
Mula sa kurso ng pagtatasa ng matematika ay kilala na ang sistema ng mga function ng trigonometriko
na may maramihang mga frequency , kung saan ang rad/s ay isang integer, ay bumubuo ng isang orthonormal na batayan para sa pagpapalawak ng mga pana-panahong signal na may panahon na nakakatugon sa mga kundisyon ng Dirichlet .
Ang mga kondisyon ng Dirichlet para sa convergence ng Fourier series ay nangangailangan na ang isang pana-panahong signal ay ibigay sa segment , habang natutugunan ang mga sumusunod na kundisyon:
Halimbawa, ang periodic function 
ay hindi nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet, dahil ang function ay may mga discontinuities ng pangalawang uri at tumatagal ng walang katapusang mga halaga para sa , kung saan ay isang arbitrary integer. Kaya ang function hindi maaaring katawanin ng isang seryeng Fourier. Maaari ka ring magbigay ng isang halimbawa ng isang function 
, na may hangganan, ngunit hindi rin nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet, dahil mayroon itong walang katapusang bilang ng mga extremum point habang papalapit ito sa zero. Function Graph ipinapakita sa figure 2.
Figure 2. Graph ng function :
A - dalawang panahon ng pag-uulit; b - sa kapitbahayan
Ipinapakita ng Figure 2a ang dalawang yugto ng pag-uulit ng function , at sa Figure 2b ay ang lugar sa paligid ng . Makikita na kapag papalapit sa zero, ang dalas ng oscillation ay tumataas nang walang hanggan, at ang naturang function ay hindi maaaring katawanin ng isang seryeng Fourier, dahil hindi ito piecewise monotonic.
Dapat pansinin na sa pagsasanay ay walang mga signal na may walang katapusang mga halaga ng kasalukuyang o boltahe. Mga function na may walang katapusang bilang ng uri ng extrema ay hindi rin matatagpuan sa mga inilapat na problema. Ang lahat ng tunay na pana-panahong signal ay nakakatugon sa mga kundisyon ng Dirichlet at maaaring katawanin ng isang walang katapusang trigonometriko Fourier na serye ng anyo:
 |
Sa expression (2), ang coefficient ay tumutukoy sa pare-parehong bahagi ng periodic signal .
Sa lahat ng mga punto kung saan ang signal ay tuloy-tuloy, ang Fourier series (2) ay nagtatagpo sa mga halaga ng ibinigay na signal, at sa mga discontinuity point ng unang uri, sa mean na halaga , kung saan at ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan. ng discontinuity point, ayon sa pagkakabanggit.
Ito ay kilala rin mula sa kurso ng mathematical analysis na ang paggamit ng isang pinutol na serye ng Fourier na naglalaman lamang ng mga unang termino sa halip na isang walang katapusang kabuuan ay humahantong sa isang tinatayang representasyon ng signal:
na nagsisiguro ng pinakamababang mean squared error. Ang Figure 3 ay naglalarawan ng approximation ng isang periodic square wave train at isang periodic sawtooth waveform gamit ang iba't ibang bilang ng mga termino ng Fourier series.
Figure 3. Approximation ng mga signal sa pamamagitan ng pinutol na serye ng Fourier:
A - hugis-parihaba pulses; b - signal ng ngipin ng lagari
Fourier serye sa kumplikadong anyo
Sa nakaraang talata, isinasaalang-alang namin ang trigonometric Fourier series para sa pagpapalawak ng isang arbitrary na periodic signal na nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet. Gamit ang formula ng Euler, maipapakita namin ang: |
Pagkatapos ay ang trigonometric Fourier series (2) na isinasaalang-alang ang (4):
Kaya, ang isang pana-panahong signal ay maaaring katawanin ng kabuuan ng isang bahagi ng DC at mga kumplikadong exponent na umiikot sa mga frequency na may mga coefficient para sa mga positibong frequency , at para sa mga kumplikadong exponent na umiikot sa mga negatibong frequency.
Isaalang-alang ang mga coefficient para sa mga kumplikadong exponent na umiikot na may mga positibong frequency:
Ang mga expression (6) at (7) ay nag-tutugma, bilang karagdagan, ang pare-parehong bahagi ay maaari ding isulat sa mga tuntunin ng kumplikadong exponential sa zero frequency:
Kaya, ang (5), na isinasaalang-alang ang (6)-(8), ay maaaring katawanin bilang isang solong kabuuan kapag na-index mula minus infinity hanggang infinity:
 |
Ang Expression (9) ay isang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo. Ang mga koepisyent ng seryeng Fourier sa kumplikadong anyo ay nauugnay sa mga koepisyent at ng mga serye sa anyong trigonometric, at tinukoy para sa parehong positibo at negatibong mga frequency. Ang index sa frequency notation ay nagpapahiwatig ng bilang ng discrete harmonic, na may mga negatibong indeks na tumutugma sa mga negatibong frequency.
Ito ay sumusunod mula sa expression (2) na para sa isang tunay na signal ang mga coefficient at ng serye (2) ay totoo rin. Gayunpaman, ang (9) ay nagtatalaga sa isang tunay na signal , isang set ng mga kumplikadong conjugate coefficient , na nauugnay sa parehong positibo at negatibong mga frequency .
Ang ilang mga paliwanag para sa seryeng Fourier sa kumplikadong anyo
Sa nakaraang seksyon, ginawa namin ang paglipat mula sa trigonometric Fourier series (2) sa Fourier series sa kumplikadong anyo (9). Bilang isang resulta, sa halip na palawakin ang mga pana-panahong signal sa batayan ng mga tunay na trigonometriko na pag-andar, nakakuha kami ng isang pagpapalawak sa batayan ng mga kumplikadong exponential, na may mga kumplikadong coefficient, at kahit na ang mga negatibong frequency ay lumitaw sa pagpapalawak! Dahil ang isyung ito ay madalas na hindi maintindihan, kinakailangan na magbigay ng ilang paglilinaw.Una, ang pagtatrabaho sa mga kumplikadong exponent ay sa karamihan ng mga kaso ay mas madali kaysa sa pagtatrabaho sa mga function ng trigonometriko. Halimbawa, kapag nagpaparami at naghahati ng mga kumplikadong exponential, sapat lamang na idagdag (ibawas) ang mga exponent, habang ang mga formula para sa pagpaparami at paghahati ng mga function ng trigonometriko ay mas mahirap.
Ang pagkakaiba-iba at pagsasama-sama ng mga exponent, kahit na kumplikado, ay mas madali kaysa sa trigonometriko function, na patuloy na nagbabago kapag nag-iiba at nagsasama (ang sin ay nagiging cosine at vice versa).
Kung ang signal ay panaka-nakang at tunay, kung gayon ang trigonometriko Fourier serye (2) ay tila mas nakapagpapakita, dahil ang lahat ng mga koepisyent ng pagpapalawak , at nananatiling totoo. Gayunpaman, ang isa ay madalas na kailangang harapin ang mga kumplikadong pana-panahong signal (halimbawa, ang modulasyon at demodulation ay gumagamit ng isang quadrature na representasyon ng kumplikadong sobre). Sa kasong ito, kapag ginagamit ang trigonometric Fourier series, ang lahat ng coefficient , at expansions (2) ay magiging kumplikado, habang kapag ginagamit ang Fourier series sa complex form (9), ang parehong expansion coefficients ay gagamitin para sa parehong tunay at kumplikadong input signal .
At sa wakas, kinakailangang pag-isipan ang paliwanag ng mga negatibong frequency na lumitaw sa (9). Ang tanong na ito ay madalas na hindi maunawaan. Sa pang-araw-araw na buhay, hindi tayo nakakaranas ng mga negatibong frequency. Halimbawa, hindi namin kailanman ini-tune ang aming radyo sa negatibong frequency. Isaalang-alang natin ang sumusunod na pagkakatulad mula sa mekanika. Hayaang magkaroon ng mekanikal na spring pendulum na malayang umuusad sa isang tiyak na dalas. Maaari bang mag-oscillate ang isang pendulum na may negatibong frequency? Syempre hindi. Kung paanong walang mga istasyon ng radyo na nagpapalabas sa mga negatibong frequency, kaya hindi maaaring negatibo ang frequency ng pendulum. Ngunit ang spring pendulum ay isang one-dimensional na bagay (ang pendulum ay umuusad sa isang tuwid na linya).
Maaari din tayong magbigay ng isa pang pagkakatulad mula sa mekanika: isang gulong na umiikot sa dalas ng . Ang gulong, hindi tulad ng pendulum, ay umiikot, i.e. ang isang punto sa ibabaw ng gulong ay gumagalaw sa isang eroplano, at hindi lamang umiikot sa isang solong tuwid na linya. Samakatuwid, upang natatanging itakda ang pag-ikot ng gulong, hindi sapat na itakda ang dalas ng pag-ikot, dahil kinakailangan din na itakda ang direksyon ng pag-ikot. Ito mismo ang magagamit natin sa frequency sign.
Kaya, kung ang gulong ay umiikot sa dalas ng rad / s counterclockwise, pagkatapos ay isasaalang-alang namin na ang gulong ay umiikot na may positibong dalas, at kung ito ay umiikot sa direksyong pakanan, kung gayon ang dalas ng pag-ikot ay magiging negatibo. Kaya, upang tukuyin ang isang pag-ikot, ang isang negatibong dalas ay tumigil sa pagiging walang kapararakan at nagpapahiwatig ng direksyon ng pag-ikot.
At ngayon ang pinakamahalagang bagay na dapat nating maunawaan. Ang oscillation ng isang one-dimensional na bagay (halimbawa, isang spring pendulum) ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga pag-ikot ng dalawang vector na ipinapakita sa Figure 4.
Figure 4. Oscillation ng isang spring pendulum
Bilang kabuuan ng mga pag-ikot ng dalawang vectors
sa kumplikadong eroplano
Ang pendulum ay umuusad sa kahabaan ng tunay na axis ng kumplikadong eroplano na may dalas ayon sa harmonic law. Ang paggalaw ng pendulum ay ipinapakita bilang isang pahalang na vector. Ang tuktok na vector ay umiikot sa kumplikadong eroplano sa isang positibong frequency (counterclockwise), at ang ibabang vector ay umiikot sa isang negatibong frequency (clockwise). Ang Figure 4 ay malinaw na naglalarawan ng kilalang kaugnayan mula sa kursong trigonometrya:
Kaya, ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo (9) ay kumakatawan sa mga pana-panahong isang-dimensional na signal bilang kabuuan ng mga vector sa kumplikadong eroplano na umiikot na may positibo at negatibong mga frequency. Kasabay nito, napapansin namin na sa kaso ng isang tunay na signal, ayon sa (9), ang mga expansion coefficient para sa mga negatibong frequency ay kumplikadong conjugate sa kaukulang coefficient para sa mga positibong frequency . Sa kaso ng isang kumplikadong signal, ang pag-aari na ito ng mga coefficient ay hindi hawakan dahil sa katotohanan na at kumplikado din.
Spectrum ng mga pana-panahong signal
Ang Fourier series sa complex form ay ang decomposition ng periodic signal sa kabuuan ng complex exponentials na umiikot na may positive at negative frequency sa multiple ng rad/s na may kaukulang complex coefficient , na tumutukoy sa spectrum ng signal . Ang mga kumplikadong coefficient ay maaaring katawanin ng Euler formula bilang , kung saan ang amplitude spectrum at ang a ay ang phase spectrum.Dahil ang mga periodic signal ay pinalawak sa isang serye lamang sa isang fixed frequency grid, ang spectrum ng mga periodic signal ay line (discrete).
Figure 5. Spectrum ng isang Periodic Sequence
Mga parihabang pulso:
A ay ang amplitude spectrum; b - phase spectrum
Ipinapakita ng Figure 5 ang isang halimbawa ng amplitude at phase spectrum ng isang periodic sequence ng rectangular pulses (tingnan ang Figure 1) para sa c, tagal ng pulse c, at pulse amplitude B.
Ang amplitude spectrum ng orihinal na real signal ay simetriko na may paggalang sa zero frequency, habang ang phase spectrum ay antisymmetric. Kasabay nito, tandaan namin na ang mga halaga ng phase spectrum at 
tumutugma sa parehong punto sa kumplikadong eroplano.
Maaari itong tapusin na ang lahat ng mga koepisyent ng pagpapalawak ng pinababang signal ay tunay na totoo, at ang phase spectrum 
tumutugma sa mga negatibong coefficient.
Tandaan na ang dimensyon ng amplitude spectrum ay tumutugma sa dimensyon ng signal . Kung inilalarawan ang pagbabago sa boltahe sa paglipas ng panahon, na sinusukat sa volts, kung gayon ang mga amplitude ng harmonics ng spectrum ay magkakaroon din ng dimensyon ng volts.
natuklasan
Sa seksyong ito, isinasaalang-alang namin ang representasyon ng mga pana-panahong signal gamit ang seryeng Fourier. Ang mga ekspresyon para sa seryeng Fourier sa trigonometriko at kumplikadong mga anyo ay ibinibigay. Binigyan namin ng espesyal na pansin ang mga kundisyon ng Dirichlet para sa convergence ng seryeng Fourier at nagbigay ng mga halimbawa ng mga function kung saan nag-iiba ang serye ng Fourier.Nanirahan kami nang detalyado sa pagpapahayag ng serye ng Fourier sa kumplikadong anyo at ipinakita na ang mga pana-panahong signal, parehong totoo at kumplikado, ay kinakatawan ng isang serye ng mga kumplikadong exponential na may positibo at negatibong mga frequency. Sa kasong ito, ang mga koepisyent ng pagpapalawak ay kumplikado din at nailalarawan ang amplitude at phase spectrum ng isang pana-panahong signal.
Sa susunod na seksyon, isasaalang-alang namin ang mga katangian ng spectra ng mga periodic signal nang mas detalyado.
