Ngayon, ang isa sa pinakamahalagang kasanayan para sa sinumang espesyalista ay ang kakayahang malutas ang mga equation ng kaugalian. Ang solusyon ng mga differential equation - hindi isang solong inilapat na gawain ang magagawa nang wala ito, maging ito ay ang pagkalkula ng anumang pisikal na parameter o ang pagmomodelo ng mga pagbabago bilang resulta ng pinagtibay na patakarang macroeconomic. Ang mga equation na ito ay mahalaga din para sa ilang iba pang mga agham tulad ng kimika, biology, medisina, atbp. Sa ibaba ay magbibigay kami ng isang halimbawa ng paggamit ng mga differential equation sa ekonomiya, ngunit bago iyon ay pag-uusapan natin nang maikli ang tungkol sa mga pangunahing uri ng mga equation.

Differential equation - ang pinakasimpleng uri

Sinabi ng mga pantas na ang mga batas ng ating uniberso ay nakasulat sa wikang matematika. Siyempre, maraming mga halimbawa ng iba't ibang mga equation sa algebra, ngunit ang mga ito ay kadalasang mga halimbawang pang-edukasyon na hindi naaangkop sa pagsasanay. Ang talagang kawili-wiling matematika ay nagsisimula kapag gusto nating ilarawan ang mga prosesong nagaganap sa totoong buhay. Ngunit paano ipapakita ang kadahilanan ng oras, na napapailalim sa mga tunay na proseso - inflation, output o demographic indicator?

Alalahanin ang isang mahalagang kahulugan mula sa isang kurso sa matematika tungkol sa derivative ng isang function. Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function, kaya makakatulong ito sa amin na ipakita ang time factor sa equation.

Ibig sabihin, bumubuo kami ng equation na may function na naglalarawan ng indicator ng interes sa amin at idinagdag ang derivative ng function na ito sa equation. Ito ang differential equation. Ngayon ay lumipat tayo sa pinakasimpleng mga uri ng differential equation para sa mga dummies.

Ang pinakasimpleng differential equation ay may anyo na $y'(x)=f(x)$, kung saan ang $f(x)$ ay ilang function, at $y'(x)$ ay ang derivative o rate ng pagbabago ng kinakailangang function . Ito ay nalulutas sa pamamagitan ng ordinaryong pagsasama: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Ang pangalawang pinakasimpleng uri ay tinatawag na separable differential equation. Ang nasabing equation ay ganito ang hitsura $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Makikita na ang dependent variable na $y$ ay bahagi din ng constructed function. Ang equation ay nalutas nang napakasimple - kailangan mong "paghiwalayin ang mga variable", ibig sabihin, dalhin ito sa form na $y'(x)/g(y)=f(x)$ o $dy/g(y)= f(x)dx$. Nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ito ang solusyon ng isang separable type differential equation.

Ang huling simpleng uri ay ang unang pagkakasunod-sunod na linear differential equation. Mayroon itong anyong $y'+p(x)y=q(x)$. Narito ang $p(x)$ at $q(x)$ ay ilang function, at $y=y(x)$ ang gustong function. Upang malutas ang naturang equation, ginagamit na ang mga espesyal na pamamaraan (ang Lagrange na paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, ang paraan ng pagpapalit ng Bernoulli).

Mayroong mas kumplikadong mga uri ng mga equation - mga equation ng pangalawa, pangatlo at sa pangkalahatan ay arbitrary na pagkakasunud-sunod, homogenous at inhomogeneous na mga equation, pati na rin ang mga sistema ng differential equation. Upang malutas ang mga ito, kailangan mo ng paunang paghahanda at karanasan sa paglutas ng mga mas simpleng problema.

Napakahalaga para sa pisika at, nakakagulat, ang pananalapi ay ang tinatawag na partial differential equation. Nangangahulugan ito na ang nais na function ay nakasalalay sa ilang mga variable sa parehong oras. Halimbawa, inilalarawan ng Black-Scholes equation mula sa larangan ng financial engineering ang halaga ng isang opsyon (uri ng seguridad) depende sa ani nito, ang halaga ng mga pagbabayad, pati na rin ang timing ng pagsisimula at pagtatapos ng mga pagbabayad. Ang paglutas ng partial differential equation ay medyo kumplikado, kadalasan kailangan mong gumamit ng mga espesyal na programa tulad ng Matlab o Maple.

Isang halimbawa ng paglalapat ng differential equation sa economics

Nagbibigay kami, tulad ng ipinangako, ng isang simpleng halimbawa ng paglutas ng isang differential equation. Itakda muna natin ang gawain.

Para sa ilang kumpanya, ang function ng marginal na kita mula sa pagbebenta ng mga produkto nito ay may anyo na $MR=10-0.2q$. Dito ang $MR$ ay ang marginal na kita ng kumpanya at ang $q$ ay ang output. Kailangan nating hanapin ang kabuuang kita.

Tulad ng makikita mula sa problema, ito ay isang inilapat na halimbawa mula sa microeconomics. Maraming mga kumpanya at negosyo ang patuloy na nahaharap sa gayong mga kalkulasyon sa kurso ng kanilang mga aktibidad.

Tara na sa desisyon. Gaya ng nalalaman mula sa microeconomics, ang marginal na kita ay derivative ng kabuuang kita, at ang kita ay zero sa zero na benta.

Mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng differential equation $R’=10-0.2q$ sa ilalim ng kondisyong $R(0)=0$.

Isinasama namin ang equation, kumukuha ng antiderivative function ng parehong bahagi, nakuha namin ang pangkalahatang solusyon: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Upang mahanap ang pare-parehong $C$, alalahanin ang kundisyon na $R(0)=0$. Kapalit: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Kaya C=0 at ang ating kabuuang function ng kita ay nagiging $R(q)=10q-0.1q^2$. Nalutas ang problema.

Ang iba pang mga halimbawa para sa iba't ibang uri ng remote control ay kinokolekta sa pahina:

Apendise

Paglutas ng mga differential equation online sa site para pagsama-samahin ng mga mag-aaral ang materyal na kanilang pinag-aralan. At sanayin ang iyong mga praktikal na kasanayan. Differential equation online. Difuras online, online na solusyon sa matematika. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga problema sa matematika online. Ang pagkakasunud-sunod, o antas, ng isang differential equation ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama dito. Differential equation online. Ang proseso ng paglutas ng differential equation ay tinatawag na integration. Ang problema sa pagsasama ng isang differential equation ay itinuturing na lutasin kung ang paghahanap ng hindi kilalang function ay maaaring dalhin sa quadrature, hindi alintana kung ang resultang integral ay ipinahayag sa huling anyo sa mga tuntunin ng mga kilalang function o hindi. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Ang lahat ng mga differential equation ay maaaring hatiin sa ordinaryong differential equation (ODE), na kinabibilangan lamang ng mga function (at ang kanilang mga derivatives) ng isang argumento, at partial differential equation (PDE), kung saan ang input function ay nakadepende sa maraming variable. Differential equation online. Mayroon ding mga stochastic differential equation (SDEs) na kinasasangkutan ng mga random na proseso. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Depende sa mga kumbinasyon ng mga derivatives, function, independent variable, ang mga differential equation ay nahahati sa linear at non-linear, na may pare-pareho o variable coefficients, homogenous o non-homogeneous. Dahil sa kahalagahan ng mga aplikasyon, ang quasilinear (linear na may paggalang sa mas matataas na derivatives) na mga partial differential equation ay ibinukod sa isang hiwalay na klase. Ang mga solusyon ng differential equation ay nahahati sa pangkalahatan at partikular na mga solusyon. Differential equation online. Kasama sa mga pangkalahatang solusyon ang mga hindi natukoy na constant, at para sa mga partial differential equation, mga arbitrary na function ng mga independent variable na maaaring pinuhin mula sa karagdagang mga kondisyon ng integration (mga paunang kundisyon para sa mga ordinaryong differential equation, inisyal at boundary na kondisyon para sa partial differential equation). Hakbang-hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Matapos matukoy ang anyo ng mga pare-pareho at hindi tiyak na pag-andar, ang mga solusyon ay nagiging partikular. Ang paghahanap para sa mga solusyon sa mga ordinaryong differential equation ay humantong sa pagtatatag ng isang klase ng mga espesyal na function - mga function na madalas na nakatagpo sa mga application na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng mga kilalang elementarya function. Differential equation online. Ang kanilang mga pag-aari ay pinag-aralan nang detalyado, ang mga talahanayan ng mga halaga ay pinagsama-sama, natukoy ang mga pagkakaugnay, atbp. . Ang hanay ng mga enumerated na numero ay maaaring tuklasin. Ang pinakamahusay na sagot sa ibinigay na problema. Paano mahahanap sa unang pagtatantya ang papalabas na vector sa rehiyon ng convergence tungkol sa Differential equation nang hindi nililinaw ang natagpuang itaas na limitasyon. Ang pagpipilian ay halata para sa pagtaas ng mga pag-andar ng matematika. Mayroong progresibong pamamaraan sa itaas ng antas ng pananaliksik. Upang iayon sa paunang kondisyon ng problema, ang solusyon ng pagkakaiba ay makakatulong upang makahanap ng isang pinahahalagahan na napiling halaga. Maaaring matukoy niya kaagad ang hindi alam. Tulad ng sa nakaraang halimbawa ng pagpapakita ng solusyon sa isang problemang matematikal, ang mga linear differential equation ay ang sagot sa isang partikular na problema sa isang tinukoy na time frame. Ang pagpapanatili ng pamamaraan ng pag-aaral ay hindi lokal na tinukoy. Ito ay upang magkaroon ng isang halimbawa para sa bawat mag-aaral at ang solusyon ng mga differential equation ay matutukoy ng taong itinalaga sa responsableng tagapagpatupad mula sa hindi bababa sa dalawang halaga. Kumuha ng function na may pangkalahatang halaga sa isang partikular na segment at bigyan ng babala kung aling axis ang magkakaroon ng gap. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga differential equation online, posible na malinaw na ipakita kung gaano kahalaga ang resulta, kung ang isa ay ibinigay mula sa mga unang kundisyon. Ang pagputol ng isang rehiyon sa isang kahulugan ng function ay imposible, dahil walang lokal na kahulugan ng gawain. Dahil natagpuan mula sa isang sistema ng mga equation, ang sagot ay naglalaman ng isang variable na maaaring kalkulahin sa pangkalahatang kahulugan, ngunit natural na magiging posible na malutas ang isang differential equation online nang walang aksyon na ito upang matukoy ang nasabing kundisyon. Malapit sa pagitan ng segment, makikita kung paano nagagawa ng solusyon ng differential equation online na isulong ang resulta ng pananaliksik sa positibong direksyon sa oras ng cutoff ng kaalaman ng mga mag-aaral. Ang pinakamahusay ay hindi palaging nakukuha ng pangkalahatang tinatanggap na diskarte sa negosyo. Sa antas ng 2x, maaaring makita ng isa ang lahat ng kinakailangang natural na linear differential equation, ngunit ang kakayahang magkalkula ng numerical na halaga ay hahantong sa pagtaas ng kaalaman. Ayon sa anumang pamamaraan sa matematika, may mga differential equation na ipinakita sa mahalagang magkakaibang mga expression, tulad ng homogenous o complex. Ang pagkakaroon ng isang pangkalahatang pagsusuri ng pag-aaral ng function, magiging malinaw na ang solusyon ng kaugalian bilang isang hanay ng mga posibilidad ay kumakatawan sa isang malinaw na error sa mga halaga. Ang katotohanan dito ay namamalagi sa espasyo sa itaas ng mga linya ng abscissa. Sa isang lugar sa domain ng isang kumplikadong function, sa ilang punto sa kahulugan nito, ang mga linear differential equation ay maaaring kumatawan sa sagot sa isang analytical form. iyon ay, sa pangkalahatang mga termino, bilang ang kakanyahan. Walang magbabago kapag binago ang variable. Gayunpaman, kinakailangang tingnan ang sagot nang may espesyal na interes. Sa katunayan, binabago ng calculator ang ratio sa dulo, iyon ay, kung paano ang solusyon ng mga differential equation ay proporsyonal sa pandaigdigang halaga ay ipinahiwatig sa loob ng nais na solusyon. Sa ilang mga kaso, hindi maiiwasan ang isang babala ng mass error. Ang mga differential equation online ay nagpapatupad ng pangkalahatang ideya ng problema, ngunit sa huli, kailangan mong magbigay ng mga positibong aspeto ng cross product sa lalong madaling panahon. Sa matematika, ang mga kaso ng pagkakamali sa teorya ng numero ay hindi karaniwan. Talagang kailangang suriin. Naturally, mas mabuting ibigay ang karapatang ito sa mga propesyonal sa kanilang larangan at sila ang tutulong upang malutas ang differential equation online, dahil napakalaki at positibo ang kanilang karanasan. Ang pagkakaiba sa mga ibabaw ng mga figure at ang lugar ay tulad na hindi ang solusyon ng mga differential equation online na magbibigay-daan sa iyo upang makita, ngunit ang hanay ng mga hindi intersecting na bagay ay tulad na ang linya ay parallel sa axis. Bilang resulta, maaari kang makakuha ng doble sa dami ng mga halaga. Ang pagiging implicit, ang aming ideya ng kawastuhan ng pormal na notasyon ay nagbibigay para sa mga linear na equation ng kaugalian kapwa sa lugar ng pagtingin at may kaugnayan sa sadyang labis na pagtatantya ng kalidad ng resulta. Ang isang talakayan sa isang paksa na kawili-wili sa lahat ng mga mag-aaral ay nai-publish nang ilang beses sa pagsusuri. Sa buong pag-aaral ng buong kurso ng mga lektura, itutuon natin ang ating atensyon sa mga differential equation at mga kaugnay na larangan ng pag-aaral ng agham, kung hindi salungat sa katotohanan. Maraming mga yugto ang maaaring iwasan sa simula ng paglalakbay. Kung ang solusyon sa pagkakaiba-iba ay panimula pa ring isang bagay na bago para sa mga mag-aaral, kung gayon ang luma ay hindi nakalimutan sa lahat, ngunit umuusad sa hinaharap sa isang mataas na rate ng pag-unlad. Sa una, ang mga kondisyon para sa isang problema sa matematika ay magkakaiba, ngunit ito ay ipinahiwatig sa talata sa kanan. Matapos ang pag-expire ng oras na tinukoy ng kahulugan, ang posibilidad ng isang proporsyonal na umaasa na kinalabasan sa iba't ibang mga eroplano ng paggalaw ng vector ay hindi pinasiyahan. Ang ganitong simpleng kaso ay naitama sa parehong paraan tulad ng linear differential equation ay inilarawan sa isang calculator sa isang pangkalahatang anyo, kaya ito ay magiging mas mabilis at ang offset ng mga kalkulasyon ay hindi hahantong sa isang maling opinyon. Limang kaso lamang na pinangalanan ayon sa teorya ang maaaring itulak ang mga hangganan ng kung ano ang nangyayari. Ang aming solusyon ng mga differential equation ay makakatulong upang manu-manong kalkulahin ang halaga sa mga numero na nasa mga unang yugto ng agnas ng functional space. Sa mga tamang lugar, kinakailangang ipakita ang punto ng pakikipag-ugnay ng apat na linya sa pangkalahatang kahulugan. Ngunit kung kailangan mong pilitin ang gawain, kung gayon ito ay magiging madali upang itumbas ang pagiging kumplikado. Ang paunang data ay sapat na upang idisenyo ang katabing binti at ang mga online na differential equation ay tumingin sa kaliwa at ang isang panig na ibabaw ay nakadirekta patungo sa vector rotor. Sa itaas ng itaas na limitasyon, ang mga numerong halaga ay posible na lampas sa ipinahiwatig na kondisyon. Posibleng isaalang-alang ang mathematical formula at lutasin ang differential equation online dahil sa tatlong hindi alam sa pangkalahatang halaga ng proporsyon. Ang lokal na paraan ng pagkalkula ay kinikilala bilang wasto. Ang sistema ng coordinate ay hugis-parihaba sa relatibong paggalaw ng eroplano. Ginagawang posible ng pangkalahatang online na solusyon ng mga differential equation na malinaw na makagawa ng konklusyon na pabor sa isang computational sweep sa mga kahulugan ng matrix sa buong tuwid na linya na matatagpuan sa itaas ng graph ng isang tahasang tinukoy na function. Ang solusyon ay makikita sa pamamagitan ng kung ilalapat mo ang motion vector sa punto ng contact ng tatlong hemispheres. Ang silindro ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parihaba sa paligid ng gilid at ang mga linear differential equation ay maaaring magpakita ng direksyon ng paggalaw ng punto ayon sa ibinigay na mga expression ng batas ng paggalaw nito. Ang paunang data ay tama at ang problema sa matematika ay maaaring palitan sa ilalim ng isang simpleng kondisyon. Gayunpaman, dahil sa mga pangyayari, dahil sa pagiging kumplikado ng subproblem ng setting, pinapasimple ng mga differential equation ang proseso ng mga kalkuladong numerical space sa antas ng three-dimensional na espasyo. Madaling patunayan kung hindi man, ngunit posible na maiwasan ito, tulad ng sa halimbawa sa itaas. Sa mas mataas na matematika, ang mga sumusunod na punto ay ibinigay: kapag ang isang problema ay nabawasan sa isang pinasimpleng anyo, ang pinakamalaking posibleng pagsisikap sa bahagi ng mga mag-aaral ay dapat na palawigin dito. Ang mga linyang nakapatong sa isa't isa ay nahuhulog sa offset. Ipinagpapatuloy pa rin ng Pro differential solution ang bentahe ng nasabing pamamaraan sa isang hubog na linya. Kung nakilala mo sa una hindi kung ano ang kailangan mo, pagkatapos ay ang mathematical formula ay gagawa ng isang bagong halaga ng expression. Ang layunin ay ang pinakamainam na diskarte sa paglutas ng mga gawaing itinakda ng propesor. Hindi mo dapat ipagpalagay na ang mga linear differential equation sa isang pinasimpleng anyo ay lalampas sa inaasahang resulta. Naglalagay kami ng tatlong vectors sa isang finitely composed surface. orthogonal sa isa't isa. Kalkulahin natin ang produkto. Isagawa natin ang pagdaragdag ng mas malaking bilang ng mga simbolo at isulat ang lahat ng mga variable ng function mula sa resultang expression. May proporsyon. Ang ilang mga aksyon bago ang pagtatapos ng pagkalkula ay hindi magbibigay ng isang malinaw na sagot sa solusyon ng mga differential equation kaagad, ngunit pagkatapos lamang na lumipas ang inilaang oras kasama ang y-axis. Sa kaliwa ng discontinuity point, implicitly na ibinigay mula sa function, gumuhit kami ng axis orthogonal sa pinakamahusay na pagtaas ng vector at inilalagay ang mga online na differential equation kasama ang pinakamaliit na boundary value ng lower bound ng mathematical object. Magdagdag tayo ng karagdagang argumento sa break area ng function. Sa kanan ng mga punto ng curved line, ang mga formula na isinulat namin para sa pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay makakatulong upang malutas ang differential equation online. Ang tanging tamang diskarte ay ang magbibigay ng liwanag sa hindi nalutas na mga problema mula sa teorya hanggang sa pagsasanay, sa pangkalahatang kaso nang walang pag-aalinlangan. Ang mga linya sa direksyon ng mga coordinate ng mga ibinigay na punto ay hindi kailanman isinara ang matinding posisyon ng parisukat, gayunpaman, ang solusyon ng mga differential equation online ay makakatulong sa parehong mga mag-aaral at sa amin, at mga baguhan lamang sa larangang ito, upang pag-aralan ang matematika. Pinag-uusapan natin ang posibilidad na palitan ang value argument sa lahat ng makabuluhang subline ng isang field. Sa prinsipyo, tulad ng inaasahan ng isa, ang aming mga linear differential equation ay isang bagay na nakahiwalay sa isang konsepto ng pinababang kahulugan. Upang matulungan ang mga mag-aaral, ang isa sa mga pinakamahusay sa mga katulad na serbisyo ay isang calculator. Pumunta sa lahat ng mga kurso at piliin ang pinakamahusay para sa iyo.

=

Madalas banggitin lang differential equation ginagawang hindi komportable ang mga mag-aaral. Bakit ito nangyayari? Kadalasan, dahil kapag pinag-aaralan ang mga pangunahing kaalaman ng materyal, lumitaw ang isang puwang sa kaalaman, dahil sa kung saan ang karagdagang pag-aaral ng mga difur ay nagiging simpleng pagpapahirap. Walang malinaw kung ano ang gagawin, paano magpasya kung saan magsisimula?

Gayunpaman, susubukan naming ipakita sa iyo na ang mga difur ay hindi kasing hirap ng tila.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng mga differential equation

Mula sa paaralan, alam natin ang pinakasimpleng mga equation kung saan kailangan nating hanapin ang hindi kilalang x. Sa totoo lang differential equation bahagyang naiiba lamang sa kanila - sa halip na isang variable X kailangan nilang maghanap ng isang function y(x) , na gagawing pagkakakilanlan ang equation.

D differential equation ay may malaking praktikal na kahalagahan. Hindi ito abstract mathematics na walang kinalaman sa mundo sa paligid natin. Sa tulong ng mga differential equation, maraming tunay na natural na proseso ang inilalarawan. Halimbawa, ang mga string vibrations, ang paggalaw ng isang harmonic oscillator, sa pamamagitan ng mga differential equation sa mga problema ng mechanics, hanapin ang bilis at acceleration ng isang katawan. Gayundin DU ay malawakang ginagamit sa biology, chemistry, economics at marami pang ibang agham.

Differential equation (DU) ay isang equation na naglalaman ng mga derivatives ng function na y(x), ang function mismo, mga independent variable at iba pang mga parameter sa iba't ibang kumbinasyon.

Maraming uri ng differential equation: ordinaryong differential equation, linear at non-linear, homogenous at non-homogeneous, differential equation ng una at mas mataas na order, partial differential equation, at iba pa.

Ang solusyon sa isang differential equation ay isang function na ginagawa itong isang pagkakakilanlan. May mga pangkalahatan at partikular na solusyon ng remote control.

Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay ang pangkalahatang hanay ng mga solusyon na ginagawang pagkakakilanlan ang equation. Ang isang partikular na solusyon ng isang differential equation ay isang solusyon na nakakatugon sa mga karagdagang kundisyon na tinukoy sa simula.

Ang pagkakasunud-sunod ng isang differential equation ay tinutukoy ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama dito.

Ordinaryong differential equation

Ordinaryong differential equation ay mga equation na naglalaman ng isang independent variable.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng ordinaryong differential equation ng unang order. Mukhang:

Ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pagsasama ng kanang bahagi nito.

Mga halimbawa ng naturang mga equation:

Nahihiwalay na Variable Equation

Sa pangkalahatan, ganito ang hitsura ng ganitong uri ng equation:

Narito ang isang halimbawa:

Ang paglutas ng naturang equation, kailangan mong paghiwalayin ang mga variable, dalhin ito sa form:

Pagkatapos nito, nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi at makakuha ng solusyon.

Mga linear differential equation ng unang order

Ang ganitong mga equation ay nasa anyo:

Narito ang p(x) at q(x) ay ilang function ng independent variable, at y=y(x) ang kinakailangang function. Narito ang isang halimbawa ng naturang equation:

Ang paglutas ng naturang equation, kadalasang ginagamit nila ang paraan ng variation ng isang arbitrary na pare-pareho o kinakatawan ang nais na function bilang isang produkto ng dalawang iba pang mga function y(x)=u(x)v(x).

Upang malutas ang mga naturang equation, kinakailangan ang isang tiyak na paghahanda, at magiging mahirap na dalhin ang mga ito "sa isang kapritso".

Isang halimbawa ng paglutas ng DE na may mga separable variable

Kaya't isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng uri ng remote control. Ngayon tingnan natin ang isa sa kanila. Hayaan itong maging isang equation na may mga separable variable.

Una, muling isinulat namin ang derivative sa isang mas pamilyar na anyo:

Pagkatapos ay paghiwalayin namin ang mga variable, iyon ay, sa isang bahagi ng equation ay kokolektahin namin ang lahat ng "laro", at sa isa pa - ang "xes":

Ngayon ay nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi:

Pinagsasama namin at nakuha ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito:

Siyempre, ang paglutas ng mga differential equation ay isang uri ng sining. Kailangan mong maunawaan kung anong uri ang pag-aari ng isang equation, at matutunan din na makita kung anong mga pagbabagong kailangan mong gawin dito upang dalhin ito sa isang anyo o iba pa, hindi banggitin lamang ang kakayahang mag-iba at magsama. At nangangailangan ng pagsasanay (tulad ng lahat) upang magtagumpay sa paglutas ng DE. At kung sa sandaling ito ay wala kang oras upang malaman kung paano nalutas ang mga differential equation o ang problemang Cauchy ay tumaas na parang buto sa iyong lalamunan o hindi mo alam, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda. Sa maikling panahon, bibigyan ka namin ng isang handa at detalyadong solusyon, ang mga detalye kung saan maaari mong maunawaan sa anumang oras na maginhawa para sa iyo. Pansamantala, iminumungkahi naming manood ng video sa paksang "Paano lutasin ang mga differential equation":

Ang artikulong ito ay isang panimulang punto sa pag-aaral ng teorya ng differential equation. Dito nakolekta ang mga pangunahing kahulugan at konsepto na patuloy na lilitaw sa teksto. Para sa mas mahusay na asimilasyon at pag-unawa, ang mga kahulugan ay ibinigay kasama ng mga halimbawa.

Differential Equation (DE)- ito ay isang equation na may kasamang hindi kilalang function sa ilalim ng sign ng derivative o differential.

Kung ang hindi kilalang function ay isang function ng isang variable, kung gayon ang differential equation ay tinatawag karaniwan(pinaikling ODE - ordinaryong differential equation). Kung ang hindi kilalang function ay isang function ng maraming variable, kung gayon ang differential equation ay tinatawag partial differential equation.

Ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng derivative ng isang hindi kilalang function na kasama sa isang differential equation ay tinatawag ang pagkakasunud-sunod ng differential equation.

Narito ang mga halimbawa ng mga ODE ng una, pangalawa at ikalimang order, ayon sa pagkakabanggit

Bilang mga halimbawa ng mga partial differential equation ng pangalawang order, ipinakita namin

Dagdag pa, isasaalang-alang lamang natin ang mga ordinaryong differential equation ng nth order ng form o , kung saan ang Ф(x, y) = 0 ay isang hindi kilalang function na implicitly na tinukoy (kapag posible, isusulat namin ito sa tahasang representasyon y = f(x) ).

Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa isang differential equation ay tinatawag pagsasama ng differential equation.

Paglutas ng Differential Equation ay isang implicitly na ibinigay na function Ф(x, y) = 0 (sa ilang mga kaso, ang function na y ay maaaring ipahayag nang tahasan sa mga tuntunin ng argumento x), na ginagawang isang pagkakakilanlan ang differential equation.

TANDAAN.

Ang solusyon ng isang differential equation ay palaging hinahanap sa isang paunang natukoy na pagitan X .

Bakit natin ito pinag-uusapan nang hiwalay? Oo, dahil sa mga kondisyon ng maraming mga problema ang pagitan ng X ay hindi nabanggit. Iyon ay, ang kondisyon ng mga problema ay karaniwang binabalangkas tulad ng sumusunod: "maghanap ng solusyon sa ordinaryong differential equation ". Sa kasong ito, nauunawaan na ang solusyon ay dapat hanapin para sa lahat ng x kung saan ang parehong nais na function na y at ang orihinal na equation ay may katuturan.

Ang solusyon ng isang differential equation ay madalas na tinutukoy bilang differential equation integral.

Mga function o maaaring tawaging solusyon sa isang differential equation.

Isa sa mga solusyon ng differential equation ay ang function . Sa katunayan, ang pagpapalit ng function na ito sa orihinal na equation, nakuha namin ang pagkakakilanlan . Madaling makita na ang isa pang solusyon sa ODE na ito ay, halimbawa, . Kaya, ang mga differential equation ay maaaring magkaroon ng maraming solusyon.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation ay ang hanay ng mga solusyon na naglalaman ng lahat ng solusyon ng differential equation na ito nang walang pagbubukod.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation ay tinatawag din pangkalahatang integral ng differential equation.

Bumalik tayo sa halimbawa. Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay may anyo o , kung saan ang C ay isang arbitraryong pare-pareho. Sa itaas, ipinahiwatig namin ang dalawang solusyon sa ODE na ito, na nakuha mula sa pangkalahatang integral ng differential equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng C = 0 at C = 1, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang solusyon ng isang differential equation ay nakakatugon sa unang ibinigay na karagdagang mga kondisyon, kung gayon ito ay tinatawag isang partikular na solusyon ng differential equation.

Ang isang partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa kondisyon na y(1)=1 ay . Talaga, at .

Ang mga pangunahing problema ng teorya ng mga differential equation ay ang mga problema sa Cauchy, mga problema sa halaga ng hangganan at mga problema sa paghahanap ng pangkalahatang solusyon ng isang differential equation sa anumang naibigay na interval X .

Cauchy problema ay ang problema ng paghahanap ng isang partikular na solusyon ng isang differential equation na nakakatugon sa ibinigay paunang kondisyon, nasaan ang mga numero.

Problema sa hangganan ay ang problema ng paghahanap ng isang partikular na solusyon sa isang second-order differential equation na nakakatugon sa mga karagdagang kundisyon sa mga boundary point x 0 at x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, kung saan binibigyan ng mga numero ang f 0 at f 1.

Ang problema sa halaga ng hangganan ay madalas na tinatawag problema sa halaga ng hangganan.

Ang isang ordinaryong differential equation ng nth order ay tinatawag linear, kung mayroon itong anyo , at ang mga koepisyent ay tuluy-tuloy na paggana ng argumentong x sa pagitan ng pagsasama.

Alinman sa nalutas na may kinalaman sa derivative, o maaari silang malutas nang may kinalaman sa derivative .

Pangkalahatang solusyon ng mga differential equation ng uri sa pagitan X, na ibinigay, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng integral ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito.

Kunin .

Kung titingnan natin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral, makikita natin ang nais na pangkalahatang solusyon:

y = F(x) + C,

saan F(x)- isa sa mga antiderivatives ng function f(x) sa gitna X, a Sa ay isang arbitrary na pare-pareho.

Pakitandaan na sa karamihan ng mga gawain ang pagitan X huwag magpahiwatig. Nangangahulugan ito na ang isang solusyon ay dapat mahanap para sa lahat. x, para sa kung saan at ang nais na function y, at ang orihinal na equation ay may katuturan.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang partikular na solusyon ng isang differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon y(x0) = y0, pagkatapos ay pagkatapos kalkulahin ang pangkalahatang integral y = F(x) + C, kailangan pa ring matukoy ang halaga ng pare-pareho C=C0 gamit ang paunang kondisyon. Iyon ay, isang pare-pareho C=C0 tinutukoy mula sa equation F(x 0) + C = y 0, at ang nais na partikular na solusyon ng differential equation ay kukuha ng anyo:

y = F(x) + C0.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation , suriin ang kawastuhan ng resulta. Maghanap tayo ng partikular na solusyon ng equation na ito na makakatugon sa paunang kondisyon .

Desisyon:

Pagkatapos naming isama ang ibinigay na differential equation, nakukuha namin ang:

.

Kinukuha namin ang integral na ito sa pamamagitan ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi:

yun., ay isang pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Suriin natin upang matiyak na tama ang resulta. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang solusyon na nakita namin sa ibinigay na equation:

.

Ibig sabihin, sa ang orihinal na equation ay nagiging isang pagkakakilanlan:

samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay natukoy nang tama.

Ang solusyon na aming nahanap ay ang pangkalahatang solusyon ng differential equation para sa bawat tunay na halaga ng argumento x.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang isang partikular na solusyon ng ODE na makakatugon sa paunang kondisyon. Sa madaling salita, kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng pare-pareho Sa, kung saan magiging totoo ang pagkakapantay-pantay:

.

.

Pagkatapos, pagpapalit C = 2 sa pangkalahatang solusyon ng ODE, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon:

.

Ordinaryong differential equation maaaring malutas na may kinalaman sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa 2 bahagi ng equation sa pamamagitan ng f(x). Ang pagbabagong ito ay magiging katumbas kung f(x) ay hindi napupunta sa zero para sa alinman x mula sa pagitan ng pagsasama ng differential equation X.

Ang mga sitwasyon ay malamang kapag, para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X mga function f(x) at g(x) sabay-sabay na maging zero. Para sa mga katulad na halaga x ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay anumang function y, na tinukoy sa kanila, dahil .

Kung para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X ang kondisyon ay nasiyahan, na nangangahulugan na sa kasong ito ang ODE ay walang mga solusyon.

Para sa lahat ng iba pa x mula sa pagitan X ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay tinutukoy mula sa transformed equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1

Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng ODE: .

Desisyon.

Mula sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, malinaw na ang natural na logarithm function ay tinukoy para sa mga di-negatibong halaga ng argumento, samakatuwid, ang domain ng expression log(x+3) may pagitan x > -3 . Samakatuwid, ang ibinigay na differential equation ay may katuturan para sa x > -3 . Sa mga halagang ito ng argumento, ang expression x + 3 ay hindi naglalaho, kaya malulutas ng isa ang ODE na may paggalang sa hinalaw sa pamamagitan ng paghahati ng 2 bahagi sa pamamagitan ng x + 3.

Nakukuha namin .

Susunod, isinasama namin ang nagresultang differential equation, na nalutas nang may paggalang sa derivative: . Upang kunin ang integral na ito, ginagamit namin ang paraan ng subsuming sa ilalim ng tanda ng kaugalian.