Sa pahinang ito makikita mo ang lahat ng mga pangunahing trigonometriko na mga formula na tutulong sa iyo na malutas ang maraming mga pagsasanay, na lubos na pinapasimple ang expression mismo.
Ang mga trigonometric formula ay mga mathematical equality para sa trigonometriko function na wasto para sa lahat ng valid na value ng argument.
Ang mga formula ay nagtatakda ng ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent, cotangent.
Ang sine ng isang anggulo ay ang y-coordinate ng isang punto (ang ordinate) sa unit circle. Ang cosine ng isang anggulo ay ang x-coordinate ng isang punto (abscissa).
Ang tangent at cotangent ay, ayon sa pagkakabanggit, ang ratio ng sine sa cosine at vice versa.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
At dalawa na hindi gaanong ginagamit - secant, cosecant. Tinutukoy nila ang mga ratio ng 1 sa cosine at sine.
`seg \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Mula sa mga kahulugan ng trigonometric function, makikita mo kung anong mga palatandaan ang mayroon sila sa bawat quarter. Ang tanda ng function ay nakasalalay lamang sa kung saang quadrant naroroon ang argumento.
Kapag binabago ang tanda ng argumento mula sa "+" sa "-", tanging ang cosine function ay hindi nagbabago ng halaga nito. Ito ay tinatawag na kahit. Ang graph nito ay simetriko tungkol sa y-axis.
Ang mga natitirang function (sine, tangent, cotangent) ay kakaiba. Kapag ang tanda ng argumento ay binago mula sa "+" sa "-", ang kanilang halaga ay nagbabago din sa negatibo. Ang kanilang mga graph ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko
Ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay mga formula na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng mga trigonometric na function ng isang anggulo (`sin \ \ alpha, \ cos \ \ alpha, \ tg \ \ alpha, \ ctg \ \ alpha`) at nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang value ng bawat isa sa mga function na ito sa pamamagitan ng alinmang kilala.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo ng trigonometriko function
Ang mga pormula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga argumento ay nagpapahayag ng mga trigonometrikong function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Mga formula ng dobleng anggulo
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \ alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \ alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \ alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha)2`
Mga Formula ng Triple Angle
`kasalanan \ 3\alpha=3 \ kasalanan \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Mga Formula sa Half Angle
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \ alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \ alpha))=` `\frac (sin \ \ alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \ alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \ alpha)(1-cos \ \ alpha))=` `\frac (sin \ \ alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Ang mga formula ng kalahati, doble, at triple na argumento ay nagpapahayag ng mga function na `sin, \cos, \tg, \ctg` ng mga argumentong iyon (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) sa mga tuntunin ng parehong mga function argumento `\alpha`.
Ang kanilang output ay maaaring makuha mula sa nakaraang pangkat (dagdag at pagbabawas ng mga argumento). Halimbawa, ang mga pagkakakilanlan ng double angle ay madaling makuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng `\beta` ng `\alpha`.
Mga Formula ng Pagbawas
Binibigyang-daan ka ng mga pormula ng mga parisukat (cube, atbp.) ng mga trigonometric na function na mula 2,3, ... degrees hanggang sa mga trigonometric na function ng unang degree, ngunit maraming anggulo (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` o `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \ alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \ alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function
Ang mga formula ay mga pagbabagong-anyo ng kabuuan at pagkakaiba ng mga trigonometriko na pag-andar ng iba't ibang argumento sa isang produkto.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Dito ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga function ng isang argumento ay na-convert sa isang produkto.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \ alpha-ctg \ \ alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Ang mga sumusunod na formula ay nagko-convert ng kabuuan at pagkakaiba ng isang yunit at isang trigonometric function sa isang produkto.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Mga formula ng conversion ng function
Mga formula para sa pag-convert ng produkto ng trigonometric function na may mga argumentong `\alpha` at `\beta` sa kabuuan (pagkakaiba) ng mga argumentong ito.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \ alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \ alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \ alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Pangkalahatang trigonometriko na pagpapalit
Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga trigonometriko na function sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \sa Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \sa Z`
Mga formula ng cast
Ang mga formula ng pagbabawas ay maaaring makuha gamit ang mga katangian ng trigonometriko function bilang periodicity, symmetry, ang shift property sa pamamagitan ng isang naibigay na anggulo. Pinapayagan nila ang mga function ng arbitrary na anggulo na ma-convert sa mga function na ang anggulo ay nasa pagitan ng 0 at 90 degrees.
Para sa anggulo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \ alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \ alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \ alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \ alpha`
Para sa anggulo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \ alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \ alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Para sa anggulo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \ alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \ alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \ alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \ alpha`
Para sa anggulo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pagpapahayag ng ilang trigonometric function sa mga tuntunin ng iba
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \ alpha)=` `\frac (cos \ \ alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
Ang trigonometrya ay literal na isinasalin bilang "pagsukat ng mga tatsulok". Nagsisimula itong pag-aralan sa paaralan, at nagpapatuloy nang mas detalyado sa mga unibersidad. Samakatuwid, ang mga pangunahing pormula para sa trigonometrya ay kinakailangan, simula sa ika-10 baitang, pati na rin para sa pagpasa sa pagsusulit. Tinutukoy nila ang mga koneksyon sa pagitan ng mga pag-andar, at dahil marami sa mga koneksyon na ito, may ilang mga formula mismo. Ang pag-alala sa kanilang lahat ay hindi madali, at hindi ito kinakailangan - kung kinakailangan, lahat sila ay mahihinuha.
Ginagamit ang mga formula ng trigonometriko sa integral calculus, gayundin sa mga pagpapasimple, kalkulasyon, at pagbabagong trigonometriko.
Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema !!!
Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) ay tinatawag na trigonometric equation, at isasaalang-alang pa natin ang kanilang mga formula.
Ang pinakasimpleng mga equation ay `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang root formula para sa bawat isa sa kanila.
1. Equation `sin x=a`.
Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.
Gamit ang `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Root formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Equation `cos x=a`
Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, walang mga solusyon sa mga tunay na numero.
Gamit ang `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph. 
3. Equation `tg x=a`
Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.
Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equation `ctg x=a`
Mayroon din itong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.
Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan
Para sa sinus: 
Para sa cosine: 
Para sa tangent at cotangent: 
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko
Ang solusyon ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:
- ginagamit upang i-convert ito sa pinakasimpleng;
- lutasin ang resultang pinakasimpleng equation gamit ang mga root formula at table na nakasulat sa itaas.
Isaalang-alang natin ang mga pangunahing pamamaraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.
algebraic na pamamaraan.
Sa pamamaraang ito, ang pagpapalit ng isang variable at ang pagpapalit nito sa pagkakapantay-pantay ay ginagawa.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,
nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorization.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.
Desisyon. Ilipat sa kaliwa ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago namin at ginagawang factorize ang kaliwang bahagi:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Pagbawas sa isang homogenous na equation
Una, kailangan mong dalhin ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:
`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).
Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` para sa pangalawa. Kumuha kami ng mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na dapat lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Desisyon. Isulat natin ang kanang bahagi bilang `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, na hinahati ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha natin:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, bilang resulta `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Pumunta sa Half Corner
Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Desisyon. Ang paglalapat ng mga formula ng double angle, ang resulta ay: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makakakuha tayo ng:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Panimula ng isang pantulong na anggulo
Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hinahati namin ang parehong bahagi sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin, ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin ang mga ito bilang sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, pagkatapos:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:
Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.
Desisyon. Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng `sqrt (3^2+4^2)`, makuha natin ang:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Tukuyin ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kinukuha namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Fractional-rational trigonometric equation
Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga praksyon, sa mga numerator at denominator kung saan mayroong mga trigonometriko na pag-andar.
Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Desisyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng equation sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Dahil hindi maaaring zero ang denominator, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
I-equate ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometry, at trigonometric equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 na baitang, palaging may mga gawain para sa pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometriko equation - tiyak na darating ang mga ito para sa iyo!
Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan, at makapag-deduce. Ito ay hindi kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.
Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema !!!
Ginagawang posible ng mga formula ng dobleng anggulo na ipahayag ang mga trigonometric na function (sine, cosine, tangent, cotangent) ng anggulo `2\alpha` sa pamamagitan ng mismong mga function na ito ng angle `\alpha`.
Ang listahan sa ibaba ay ang mga pangunahing formula ng double angle na pinakakaraniwang ginagamit sa trigonometry. Mayroong tatlo sa kanila para sa cosine, lahat sila ay katumbas at pantay na mahalaga.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`
Ang mga sumusunod na pagkakakilanlan ay nagpapahayag ng lahat ng trigonometric na function ng anggulo ` 2\alpha` sa mga tuntunin ng tangent at cotangent na function ng angle `\alpha`.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \ alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \ alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \ alpha+tg \ \ alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \ alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha)2`
Ang mga formula para sa cosine at sine ng isang dobleng anggulo ay wasto para sa anumang anggulo `\alpha`. Ang mga formula para sa tangent ng isang dobleng anggulo ay may bisa para sa mga `\alpha` kung saan tinukoy ang `tg \ 2\alpha`, iyon ay, para sa ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \sa Z`. Katulad nito, para sa cotangent, mayroon silang `\alpha` kung saan tinukoy ang `ctg \ 2\alpha`, iyon ay, para sa ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.
Patunay ng mga formula ng double angle
Ang lahat ng mga formula ng double angle ay hinango mula sa mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo ng trigonometriko function.
Kumuha tayo ng dalawang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng sine at cosine:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` at `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \ alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Kunin ang `\beta=\alpha`, pagkatapos ay `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \alpha`, katulad ng `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, na at nagpapatunay ng dobleng anggulo na mga formula para sa sine at cosine.
Ang iba pang dalawang pagkakapantay-pantay para sa cosine ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` at `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` ay bumaba sa kung ano ang napatunayan na kung pinapalitan natin ang 1 sa kanila ng `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Kaya `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` at ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
Upang patunayan ang mga formula para sa tangent ng isang double angle at ang cotangent, ginagamit namin ang kahulugan ng mga function na ito. Isulat ang `tg \ 2\alpha` at `ctg \ 2\alpha` bilang `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` at `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Ang paglalapat ng napatunayang double angle formula para sa sine at cosine, nakukuha natin ang `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` at `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\ \alpha)`.
Sa kaso ng tangent, hinahati namin ang numerator at denominator ng huling fraction sa `cos^2 \alpha`, para sa cotangent, naman, sa `sin^2 \alpha`.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.
Iminumungkahi din namin na panoorin ang video upang mas mahusay na pagsamahin ang teoretikal na materyal:
Mga halimbawa ng paggamit ng mga formula sa paglutas ng mga problema
Ang mga formula ng double angle ay kadalasang ginagamit upang i-convert ang mga trigonometrikong expression. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga kaso, kung paano mo mailalapat ang mga ito sa pagsasanay kapag nilulutas ang mga partikular na problema.
Halimbawa 1. Suriin ang bisa ng mga pagkakakilanlan ng double angle para sa `\alpha=30^\circ`.
Desisyon. Gumagamit ang aming mga formula ng dalawang anggulo `\alpha` at `2\alpha`. Ang halaga ng unang anggulo ay ibinibigay sa kundisyon, ang pangalawa ay magiging `2\alpha=60^\circ` nang naaayon. Alam din namin ang mga numerical na halaga para sa lahat ng trigonometric function ng mga anggulong ito. Isulat natin ang mga ito:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` at
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
Pagkatapos ay magkakaroon tayo
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
Na nagpapatunay sa bisa ng mga pagkakapantay-pantay para sa anggulo na ibinigay sa kundisyon.
Halimbawa 2. Ipahayag ang `sin \frac (2\alpha)3` sa mga tuntunin ng trigonometric function ng anggulo `\frac (\alpha)6`.
Desisyon. Sinusulat namin ang anggulo ng sine bilang mga sumusunod ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Pagkatapos, sa pamamagitan ng paglalapat ng double angle formula ng dalawang beses, malulutas natin ang ating problema.
Una, ginagamit namin ang double angle sine equation: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, ngayon ay inilalapat namin ang aming mga formula para sa sine at cosine muli ayon sa pagkakabanggit. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Sagot. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Mga Formula ng Triple Angle
Ang mga formula na ito, katulad ng mga nauna, ay ginagawang posible na ipahayag ang mga function ng anggulo `3\alpha` sa mga tuntunin ng mismong mga function na ito ng angle `\alpha`.
`kasalanan \ 3\alpha=3 \ kasalanan \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Maaari mong patunayan ang mga ito gamit ang mga pagkakapantay-pantay ng kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo, pati na rin ang mga kilalang double angle formula.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
Sa resultang formula, palitan ang `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` ng `1-sin^2\alpha` at kunin ang `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.
Gayundin para sa cosine ng triple angle:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Ang pagpapalit ng `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` ng `1-cos^2\alpha` sa huling equation, makuha natin ang `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.
Gamit ang mga napatunayang pagkakakilanlan para sa sine at cosine, maaaring patunayan ng isa para sa tangent at cotangent:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alpha)(1-3tg^2 \alpha)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \ alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
Upang patunayan ang mga formula para sa anggulo ` 4\alpha`, maaari mo itong katawanin bilang ` 2 \cdot 2\alpha` at subukan ang mga formula ng double angle nang dalawang beses.
Upang makakuha ng magkatulad na pagkakapantay-pantay para sa anggulo ` 5\alpha`, maaari mo itong isulat bilang ` 3\alpha + 2\alpha` at ilapat ang mga pagkakakilanlan ng kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo at ang doble at triple na anggulo.
Katulad nito, ang lahat ng mga formula para sa iba pang maramihang anggulo ay hinango, kaya bihirang kailanganin ang mga ito sa pagsasanay.
Trigonometry, mga formula ng trigonometriko
Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay ibinibigay mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag din nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay nagkokonekta sa mga trigonometriko na pag-andar ng parehong anggulo, ang iba - ang mga pag-andar ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang babaan ang antas, ang ikaapat - upang ipahayag ang lahat ng mga pag-andar sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.
Sa artikulong ito, inilista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa kanilang layunin, at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko itakda ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng isang unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa pamamagitan ng anumang iba pa.
Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang hinango at mga halimbawa ng mga aplikasyon, tingnan ang artikulong mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan.
Ibabaw ng Pahina
Mga formula ng cast
Mga formula ng cast sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng trigonometriko function, ang ari-arian ng simetrya, at gayundin ang pag-aari ng shift ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.
Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito, at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo sa mga formula ng pagbabawas.
Ibabaw ng Pahina
Mga Formula sa Pagdaragdag
Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para sa derivation ng mga sumusunod na trigonometric formula.
Para sa higit pang impormasyon, tingnan ang Mga formula ng karagdagan.
Ibabaw ng Pahina
Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo
Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.
Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo.
Ibabaw ng Pahina
Mga Formula sa Half Angle
Mga Formula sa Half Angle ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kalahating anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng cosine ng isang integer angle. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.
Ang kanilang derivation at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulong kalahating anggulo na mga formula.
Ibabaw ng Pahina
Mga Formula ng Pagbawas
Mga formula ng trigonometric para sa pagbaba ng mga degree ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa mga natural na kapangyarihan ng trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan nila ang isa na bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometric function sa una.
Ibabaw ng Pahina
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function
Ang pangunahing layunin sum and difference formula para sa trigonometriko function ay binubuo sa paglipat sa produkto ng mga pag-andar, na lubhang kapaki-pakinabang kapag pinapasimple ang mga trigonometrikong expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometrikong equation, dahil pinapayagan nila ang pag-factor ng kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.
Para sa derivation ng mga formula, pati na rin ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, tingnan ang mga formula ng artikulo para sa kabuuan at pagkakaiba ng sine at cosine.
Ibabaw ng Pahina
Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine
Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.
Ibabaw ng Pahina
Pangkalahatang trigonometriko na pagpapalit
Kinukumpleto namin ang pagsusuri ng mga pangunahing formula ng trigonometrya na may mga formula na nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang kapalit na ito ay tinatawag na unibersal na trigonometrikong pagpapalit. Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na ang lahat ng mga trigonometriko na pag-andar ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo nang makatwiran na walang mga ugat.
Para sa karagdagang impormasyon, tingnan ang artikulong unibersal na trigonometric substitution.
Ibabaw ng Pahina
- Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. — M.: Enlightenment, 1993. — 351 p.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.
Mga formula ng trigonometriko- ito ang mga pinaka-kinakailangang formula sa trigonometrya, kinakailangan para sa pagpapahayag ng mga trigonometrikong function na ginagawa para sa anumang halaga ng argumento.
Mga formula ng karagdagan.
kasalanan (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
kasalanan (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Mga formula ng dobleng anggulo.
dahil 2α = cos²α — kasalanan²α
dahil 2α = 2cos²α — 1
dahil 2α = 1 - 2sin²α
kasalanan 2α = 2 kasalananα cosα
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )
Mga formula ng triple angle.
sin3α = 3sinα - 4sin³α
kasi 3α = 4cos³α — 3cosα
tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Mga Formula sa Half Angle.
Mga formula ng cast.
|
Function / anggulo sa rad. |
π/2 - α |
π/2 + α |
3π/2 - α |
3π/2 + α |
2π - α |
2π + α |
||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Function / anggulo sa ° |
90° - α |
90° + α |
180° - α |
180° + α |
270° - α |
270° + α |
360° - α |
360° + α |
Detalyadong paglalarawan ng mga formula ng pagbabawas.
Pangunahing mga formula ng trigonometriko.
Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:
sin2α+cos2α=1
Ang pagkakakilanlan na ito ay ang resulta ng paglalapat ng Pythagorean theorem sa isang tatsulok sa isang yunit ng trigonometric na bilog.
Relasyon sa pagitan ng cosine at tangent:
1/cos 2 α−tan 2 α=1 o sec 2 α−tan 2 α=1.
Ang pormula na ito ay bunga ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan at nakuha mula dito sa pamamagitan ng paghahati sa kaliwa at kanang bahagi ng cos2α. Ito ay ipinapalagay na α≠π/2+πn,n∈Z.
Relasyon sa pagitan ng sine at cotangent:
1/sin 2 α−cot 2 α=1 o csc 2 α−cot 2 α=1.
Ang pormula na ito ay sumusunod din mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan (nakuha mula dito sa pamamagitan ng paghahati sa kaliwa at kanang bahagi ng kasalanan2α. Dito ipinapalagay na α≠πn,n∈Z.
Kahulugan ng tangent:
tanα=sinα/cosα,
saan α≠π/2+πn,n∈Z.
Kahulugan ng cotangent:
cotα=cosα/sinα,
saan α≠πn,n∈Z.
Bunga mula sa mga kahulugan ng tangent at cotangent:
tanα⋅ cotα=1,
saan α≠πn/2,n∈Z.
Kahulugan ng secant:
secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z
kahulugan ng cosecant:
cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric.
Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko:
sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,
cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,
tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,
cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.
Mga parisukat ng trigonometriko function.
Mga formula ng mga cube ng trigonometriko function.
Trigonometry Mathematics. Trigonometry. Mga pormula. Geometry. Teorya
Isinasaalang-alang namin ang pinakapangunahing mga function ng trigonometriko (huwag palinlang, bilang karagdagan sa sine, cosine, tangent at cotangent, mayroong maraming iba pang mga pag-andar, ngunit higit pa sa mga ito sa ibang pagkakataon), ngunit sa ngayon ay isasaalang-alang namin ang ilang mga pangunahing katangian. ng mga function na pinag-aralan na.
Trigonometric function ng isang numeric na argumento
Anuman ang tunay na numerong t ay kinuha, maaari itong italaga ng isang natatanging tinukoy na bilang na sin(t).
Totoo, ang tuntunin sa pagsusulatan ay medyo kumplikado at binubuo ng mga sumusunod.
Upang mahanap ang halaga ng sin (t) sa pamamagitan ng numerong t, kailangan mo:
- iposisyon ang numero ng bilog sa coordinate plane upang ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang panimulang punto A ng bilog ay tumama sa punto (1; 0);
- humanap ng punto sa bilog na katumbas ng numerong t;
- hanapin ang ordinate ng puntong ito.
- ang ordinate na ito ay ang nais na kasalanan(t).
Sa katunayan, pinag-uusapan natin ang function na s = sin(t), kung saan ang t ay anumang tunay na numero. Alam namin kung paano kalkulahin ang ilang mga halaga ng function na ito (halimbawa, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), atbp.) , alam natin ang ilan sa mga katangian nito.
Koneksyon ng trigonometriko function
Habang ikaw, umaasa ako, hulaan ang lahat ng trigonometriko function ay magkakaugnay at kahit na hindi alam ang halaga ng isa, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng isa.
Halimbawa, ang pinakamahalagang pormula ng lahat ng trigonometrya ay pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:
\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
Tulad ng nakikita mo, ang pag-alam sa halaga ng sine, maaari mong mahanap ang halaga ng cosine, at kabaliktaran.
Mga formula ng trigonometrya
Gayundin ang mga karaniwang formula na nauugnay sa sine at cosine na may tangent at cotangent:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
Mula sa huling dalawang pormula, ang isa pang trigometric na pagkakakilanlan ay maaaring mahihinuha, na nagkokonekta sa oras na ito ng tangent at cotangent:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang mga formula na ito sa pagsasanay.
HALIMBAWA 1. Pasimplehin ang expression: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
a) Una sa lahat, isinulat namin ang tangent, pinapanatili ang parisukat:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
Ngayon ay ipinakilala namin ang lahat sa ilalim ng isang karaniwang denominator, at nakukuha namin:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
At sa wakas, tulad ng nakikita natin, ang numerator ay maaaring bawasan sa isa ayon sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, bilang isang resulta ay nakukuha natin: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) Sa cotangent, ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon, ang denominator lamang ay hindi na magkakaroon ng cosine, ngunit isang sine, at ang sagot ay magiging ganito:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
Nang makumpleto ang gawaing ito, nakuha namin ang dalawa pang napakahalagang mga formula na nagkokonekta sa aming mga function, na kailangan mo ring malaman tulad ng likod ng iyong kamay:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \kahon (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
Dapat mong malaman sa puso ang lahat ng mga formula na ipinakita sa loob ng balangkas, kung hindi, ang karagdagang pag-aaral ng trigonometrya nang wala ang mga ito ay imposible lamang. Sa hinaharap ay marami pang mga formula at marami ang mga ito, at sinisiguro ko sa iyo na ang lahat ng ito ay tiyak na maaalala mo sa mahabang panahon, o marahil ay hindi mo matandaan ang mga ito, ngunit dapat alam ng LAHAT ang anim na piraso na ito. !
Isang kumpletong talahanayan ng lahat ng basic at bihirang mga formula ng pagbabawas ng trigonometriko.
Dito mahahanap mo ang mga trigonometrikong formula sa isang maginhawang anyo. At ang mga formula ng pagbabawas ng trigonometriko ay maaaring matingnan sa ibang pahina.
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko
ay mga mathematical expression para sa mga trigonometriko na function na isinasagawa para sa bawat halaga ng argumento.
- sin² α + cos² α = 1
- tgα ctgα = 1
- tan α = sin α ÷ cos α
- ctg α = cos α ÷ sin α
- 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
- 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
Mga Formula sa Pagdaragdag
- kasalanan (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
- kasalanan (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
- cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
- tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
- ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
- ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org
Mga formula ng dobleng anggulo
- cos 2α = cos² α - sin² α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos 2α = 1 - 2sin² α
- sin2α = 2sinα cosα
- tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
- ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Mga Formula ng Triple Angle
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
- cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
- tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
- ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Mga Formula ng Pagbawas
- sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
- sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
- cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
- cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
- sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
- sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan
- sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
- kasalanan α kasalanan β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
- cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
Naglista kami ng ilang trigonometric formula, ngunit kung may kulang, sumulat.
Lahat para sa pag-aaral » Matematika sa paaralan » Trigonometric formula - cheat sheet
Upang i-bookmark ang isang pahina, pindutin ang Ctrl+D.
Isang pangkat na may maraming kapaki-pakinabang na impormasyon (mag-subscribe kung mayroon kang pagsusulit o pagsusulit):
Ang buong base ng abstracts, term paper, theses at iba pang materyal na pang-edukasyon ay ibinibigay nang walang bayad. Gamit ang mga materyales ng site, kinumpirma mo na nabasa mo ang kasunduan ng user at sumasang-ayon ka sa lahat ng mga sugnay nito nang buo.
ang pagbabagong-anyo ng mga grupo ng mga pangkalahatang solusyon ng trigonometriko equation ay isinasaalang-alang nang detalyado. Ang ikatlong seksyon ay tumatalakay sa mga di-karaniwang trigonometric equation, ang mga solusyon kung saan ay batay sa functional approach.
Lahat ng mga formula ng trigonometrya (equation): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
Ang ikaapat na seksyon ay tumatalakay sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga elementarya na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay isinasaalang-alang nang detalyado, kapwa sa bilog ng yunit at ...
… anggulo 1800-α= kasama ang hypotenuse at acute angle: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Kaya, sa kursong geometry ng paaralan, ang konsepto ng isang trigonometric function ay ipinakilala sa pamamagitan ng geometric na paraan dahil sa kanilang mas malawak na kakayahang magamit. Ang tradisyonal na pamamaraan ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga function ng trigonometriko ay ang mga sumusunod: 1) una, ang mga function ng trigonometriko ay tinutukoy para sa isang matinding anggulo ng isang hugis-parihaba ...
… Takdang-Aralin 19(3,6), 20(2,4) Pagtatakda ng layunin Pag-update ng kaalaman sa sanggunian Mga katangian ng mga function ng trigonometriko Mga formula ng pagbabawas Bagong materyal Mga halaga ng mga function ng trigonometriko Paglutas ng mga simpleng equation ng trigonometriko Pagsasama-sama Paglutas ng mga problema Layunin ng aralin: ngayon ay gagawin natin kalkulahin ang mga halaga ng trigonometriko function at lutasin ...
... kinailangan ng formulated hypothesis na lutasin ang mga sumusunod na gawain: 1. Upang matukoy ang papel ng mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay sa pagtuturo ng matematika; 2. Upang bumuo ng isang pamamaraan para sa pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay, na naglalayong pagbuo ng mga representasyong trigonometriko; 3. Eksperimental na i-verify ang bisa ng binuong pamamaraan. Para sa mga solusyon…
Mga formula ng trigonometriko
Mga formula ng trigonometriko
Ipinakita namin sa iyong pansin ang iba't ibang mga formula na may kaugnayan sa trigonometrya.
| ctg(2α) = | ctg 2 (α) - 1 2ctg(α) |
Mga pangkalahatang formula
- naka-print na bersyon
Mga Kahulugan Sine ng anggulo α (pagtatalaga kasalanan(α)) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulo α sa hypotenuse. Cosine ng anggulo α (pagtatalaga cos(α)) ay ang ratio ng binti na katabi ng anggulo α sa hypotenuse. Padaplis ng anggulo α (pagtatalaga tg(α)) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulo α sa katabing binti. Ang katumbas na kahulugan ay ang ratio ng sine ng isang anggulo α sa cosine ng parehong anggulo, sin(α)/cos(α). Cotangent ng anggulo α (pagtatalaga ctg(α)) ay ang ratio ng panig na katabi ng anggulo α sa kabilang panig. Ang katumbas na kahulugan ay ang ratio ng cosine ng anggulo α sa sine ng parehong anggulo - cos(α)/sin(α). Iba pang mga function ng trigonometriko: secant — sec(α) = 1/cos(α); cosecant cosec(α) = 1/sin(α). Tandaan Hindi namin partikular na isinulat ang sign * (multiply), - kung saan ang dalawang function ay nakasulat sa isang hilera, nang walang puwang, ito ay ipinahiwatig. Clue Upang makakuha ng mga formula para sa cosine, sine, tangent o cotangent ng maramihang (4+) na anggulo, sapat na isulat ang mga ito ayon sa mga formula ayon sa pagkakabanggit. cosine, sine, tangent o cotangent ng kabuuan, o bawasan sa mga nakaraang kaso, na binabawasan sa mga formula ng triple at double angle. Dagdag Derivative table© schoolboy. Mathematics (sinusuportahan ng Branch Tree) 2009—2016
