hindi makatwiran na numero- hindi ito makatwiran totoong numero, ibig sabihin. hindi ito maaaring katawanin bilang isang fraction \(\frac(m)(n)\) (bilang ratio ng dalawang integer), kung saan m ay isang integer, n- natural na numero. Ang isang hindi makatwirang numero ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction.
Ang isang hindi makatwirang numero ay hindi maaaring magkaroon eksaktong halaga. Halimbawa, ang square root ng dalawa ay isang hindi makatwirang numero.
Ang hanay ay tinutukoy hindi nakapangangatwiran numero malaki liham sa Ingles\(ako\) .
Ang hanay ng mga rational at irrational na mga numero ay bumubuo ng isang set tunay na mga numero. Ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy ng titik \(R\) .
parisukat na ugat(arithmetic square root) ng isang non-negative na numero \(a\) ay tinatawag na ganyan di-negatibong numero, na ang parisukat ay \(a\) . \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\ ((x)^(2))=a;\ x,a\ge 0)\).
Tinatayang mga halaga parisukat na ugat mula sa binigay na numero hanggang isa, dalawang magkasunod natural na mga numero, kung saan ang parisukat ng una ay mas kaunti at ang parisukat ng pangalawa ay mas malaki kaysa sa ibinigay na numero.
Ang una sa mga numerong ito ay tinatawag na tinatayang halaga ng ugat na may kawalan, ang pangalawa - ang tinatayang halaga ng ugat na may labis.
Ang tinatayang mga halaga ng ugat ay nakasulat tulad ng sumusunod: \(\sqrt(10)\approx3 (\ s \ weeks); \ \sqrt(10)\approx4 (\ s \ est)\).
Halimbawa 1. Hanapin ang tinatayang halaga \(\sqrt3\) na may dalawang decimal na lugar. Tantyahin natin radikal na pagpapahayag 3 muna bilang mga buong numero. Mula noong 1< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .
Hanapin natin ang bilang ng mga ikasampu ngayon. Upang gawin ito, gagawin nating parisukat ang mga decimal fraction na 1.1; 1.2; 1.3; ... hanggang sa muli nating suriin ang radikal na expression 3 na may ganitong mga numero. Mayroon tayong: 1.12 \u003d 1.21; 1.22 = 1.44; 1.32 = 1.69; 1.42 = 1.96; 1.52 = 2.25; 1.62 = 2.56; 1.72 = 2.89; 1.82 = 3.24. Mula noong 2.89< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .
Upang mahanap ang bilang ng hundredths, sunud-sunod nating i-square ang mga decimal fraction na 1.71; 1.72; 1.73; ..., muling sinusuri ang radikal na expression 3. Mayroon kaming: 1.712 = 2.9241; 1.722 = 2.9584; 1.732 = 2.9929; 1.742 = 3.0276. Mula noong 1.732< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .
Halimbawa 2 Compute \(\sqrt(138384)\) .
Solusyon: Hatiin natin ang numero sa mga mukha: 13 "83" 84 - mayroong tatlo sa kanila, na nangangahulugan na ang resulta ay dapat na tatlong-digit na numero. Ang unang digit ng resulta ay 3, mula noong 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. Ang pagbabawas ng 9 sa 13, makakakuha tayo ng 4. Kung itatalaga ang susunod na mukha sa 4, makukuha natin A= 483. Doblehin ang magagamit na bahagi ng resulta, ibig sabihin, ang numero 3, nakukuha natin a= 6. Piliin natin ngayon ang pinakamalaking digit x upang ang produkto ng isang dalawang-digit na numero palakol sa x ay mas mababa sa 483. Ang bilang na ito ay magiging 7, dahil ang 67 * 7 = 469 ay mas mababa sa 483, habang ang 68 * 8 = 544 ay higit sa 483. Kaya, ang pangalawang digit ng resulta ay 7.
Ang pagbabawas ng 469 mula sa 483, makakakuha tayo ng 14. Kung itatalaga ang huling gilid sa kanan ng numerong ito, makukuha natin b= 1484. Pagdodoble sa magagamit na bahagi ng resulta, i.e. number 37, nakukuha namin B= 74. Pumili tayo ngayon ng ganoong pinakamalaking bilang y upang ang produkto ng isang tatlong-digit na numero sa pamamagitan ng sa y hindi lumampas sa 1484. Ang figure na ito ay magiging 2, dahil 742 * 2 = 1484. Ang numero 2 ay ang huling digit ng resulta. Ang sagot ay 372.
\(\sqrt(138384)=372\) .
Kung ang ugat ay hindi nakuha, pagkatapos ay isang kuwit ay ilagay pagkatapos ng huling digit ng ibinigay na numero at karagdagang mga mukha ay nabuo, ang bawat isa ay may form na 00. Sa kasong ito, ang proseso ng pagkuha ng ugat ay walang katapusang; hihinto ito kapag naabot na ang kinakailangang katumpakan.
REAL NUMBERS II
§ 39 Pagkuha ng mga square root mula sa mga rational na numero
Tulad ng alam natin, sa hanay ng mga rational na numero, ang pagpapatakbo ng multiplikasyon ay palaging magagawa. Sa partikular, ang produkto m / n m / n . Ang produktong ito ay kilala na tinatawag na parisukat ng isang numero. m / n at may denotasyon ( m / n ) 2:
( m / n ) 2 = m / n m / n
Kaya, kung ang isang tiyak na numero ay makatwiran, kung gayon ang parisukat nito ay isang rational na numero. Malinaw na positibo ang numerong ito. At ngayon ay ipinapahayag namin ang kabaligtaran na problema: ang bawat positibong rational number ba ay parisukat ng ilang rational number? Sa wika ng mga algebraic equation, ang problemang ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod. Dahil sa equation
X 2 = a ,
saan a ay ilang positibong rational number, at X - hindi kilalang halaga. Ang tanong ay: ang equation na ito ba ay laging may makatwirang ugat? Ang sagot sa tanong na ito ay lumalabas na negatibo. makatwirang numero a maaaring mapili upang ang equation X 2 = a hindi magkakaroon ng isang makatwirang ugat. Kami ay kumbinsido dito, sa partikular, sa pamamagitan ng sumusunod na teorama.
Teorama.Walang rational na numero na ang parisukat ay 2.
Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng kontradiksyon. Kumbaga may rational number m / n , na ang parisukat ay 2: ( m / n ) 2 = 2.
Kung integers t at P may parehong multiplier, pagkatapos ay ang fraction m / n maaaring paikliin. Samakatuwid, mula pa sa simula, maaari nating ipagpalagay na ang fraction m / n hindi mababawasan.
Mula sa kondisyon ( m / n ) 2 = 2 sumusunod iyon
t 2 = 2P 2 . .
Mula sa numero 2 P 2 ay pantay, pagkatapos ay ang numero t 2 ay dapat na pantay. Ngunit pagkatapos ay ang bilang ay magiging pantay t . (Patunayan mo!) Kaya t = 2k , saan k ay ilang integer. Pinapalitan ang ekspresyong ito ng t sa formula t 2 = 2P 2 makuha: 4 k 2 = 2P 2 , saan
P 2 =2k 2 .
Sa kasong iyon, ang numero P 2 ay magiging pantay; ngunit ang bilang ay dapat na pantay P . Lumalabas na ang mga numero t at P kahit. At ito ay sumasalungat sa katotohanan na ang fraction m / n hindi mababawasan. Samakatuwid, ang aming paunang pagpapalagay tungkol sa pagkakaroon ng isang fraction m / n , nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ( m / n ) 2 = 2., ay mali. Nananatiling kilalanin na sa lahat ng mga rational na numero ay walang sinuman na ang parisukat ay magiging katumbas ng 2. Samakatuwid, ang equation
X 2 = 2
sa karamihan makatwiran hindi matukoy ang mga numero. Ang isang katulad na konklusyon ay maaaring gawin tungkol sa maraming iba pang mga equation ng form
X 2 = a ,
saan a ay isang positibong integer. Gayunpaman, sa baitang VIII paulit-ulit naming pinag-uusapan ang mga ugat ng naturang mga equation. At ang positibong ugat ng equation X 2 = a nagbigay pa kami ng espesyal na pangalan "ang square root ng numero a ” at ipinakilala ang isang espesyal na pagtatalaga para dito: √ a .
Kaya, ang √2 ay hindi nabibilang sa mga rational na numero. Ngunit paano, kung gayon, mailalarawan ng isa ang √2? Upang masagot ang tanong na ito, alalahanin natin ang panuntunan para sa pagkuha ng mga square root. Kapag inilapat sa numero 2, ang panuntunang ito ay nagbibigay ng:
Ang proseso ng pagkuha ng ugat sa kasong ito ay hindi maaaring magtapos sa anumang hakbang. Kung hindi, ang √2 ay magiging katumbas ng ilang finite decimal fraction at samakatuwid ay magiging isang rational na numero. At ito ay sumasalungat sa teorama na pinatunayan sa itaas. Kaya, kapag kinukuha ang square root ng 2, isang infinite decimal fraction ang makukuha. Ang fraction na ito ay hindi maaaring periodic, kung hindi, ito, tulad ng iba pang infinite periodic fraction, ay maaaring katawanin bilang isang ratio ng dalawang integer. At ito rin ay sumasalungat sa theorem na pinatunayan sa itaas. Kaya, ang √2 ay maaaring ituring na isang walang katapusang non-periodic decimal.
Kaya, halimbawa, ang pagkilos ng pag-extract ng mga ugat mula sa mga integer ay humahantong sa atin sa walang katapusang non-periodic decimal fraction.
Sa mga sumusunod na talata, isasaalang-alang natin ang isa pang problema, na, sa pangkalahatan, ay walang kinalaman sa pag-extract ng mga ugat, ngunit naghahatid din sa atin sa walang katapusang non-periodic decimal fraction.
Mga ehersisyo
305. Magpahiwatig ng ilang natural na mga numero, ang mga square root na kung saan ay mga rational na numero.
306. Patunayan na kung ang square root ng isang natural na numero ay isang rational number, kung gayon ang rational number na ito ay kinakailangang isang integer.
307. Patunayan na ang equation X Ang 3 = 5 sa hanay ng mga rational na numero ay walang mga ugat.
Naipakita na namin kanina na ang $1\frac25$ ay malapit sa $\sqrt2$. Kung ito ay eksaktong katumbas ng $\sqrt2$, . Kung gayon ang ratio - $\frac(1\frac25)(1)$, na maaaring gawing ratio ng mga integer na $\frac75$ sa pamamagitan ng pag-multiply sa itaas at ibabang bahagi ng fraction sa 5, ay ang nais na halaga.
Ngunit, sa kasamaang-palad, ang $1\frac25$ ay hindi ang eksaktong halaga ng $\sqrt2$. Ang isang mas tumpak na sagot na $1\frac(41)(100)$ ay ibinibigay ng ugnayang $\frac(141)(100)$. Nakakamit namin ang higit na katumpakan kapag tinutumbas namin ang $\sqrt2$ sa $1\frac(207)(500)$. Sa kasong ito, ang ratio sa mga integer ay magiging katumbas ng $\frac(707)(500)$. Ngunit ang $1\frac(207)(500)$ ay hindi rin ang eksaktong halaga ng square root ng 2. Ang mga Greek mathematician ay gumugol ng maraming oras at pagsisikap upang kalkulahin ang eksaktong halaga ng $\sqrt2$, ngunit hindi sila nagtagumpay. Nabigo silang kumatawan sa ratio na $\frac(\sqrt2)(1)$ bilang ratio ng mga integer.
Sa wakas, pinatunayan ng mahusay na Greek mathematician na si Euclid na gaano man tumaas ang katumpakan ng mga kalkulasyon, imposibleng makuha ang eksaktong halaga ng $\sqrt2$. Walang fraction na, kapag squared, ay magreresulta sa 2. Sinasabing si Pythagoras ang unang nakarating sa konklusyon na ito, ngunit ang hindi maipaliwanag na katotohanang ito ay humanga sa siyentipiko kaya nanumpa siya sa kanyang sarili at nanumpa mula sa kanyang mga mag-aaral na panatilihin ang pagtuklas na ito ay isang sikreto. Gayunpaman, maaaring hindi totoo ang impormasyong ito.
Ngunit kung ang numerong $\frac(\sqrt2)(1)$ ay hindi maaaring katawanin bilang ratio ng mga integer, kung gayon walang numerong naglalaman ng $\sqrt2$, halimbawa $\frac(\sqrt2)(2)$ o $\frac Ang (4)(\sqrt2)$ ay hindi rin mairepresenta bilang ratio ng mga integer, dahil ang lahat ng naturang fraction ay maaaring i-convert sa $\frac(\sqrt2)(1)$ na i-multiply sa ilang numero. Kaya $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. O $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, na maaaring ma-convert sa pamamagitan ng pag-multiply sa itaas at ibaba ng $\sqrt2$ upang makakuha ng $\frac(4) (\sqrt2)$. (Hindi natin dapat kalimutan na kahit ano pa ang bilang na $\sqrt2$, kung i-multiply natin ito sa $\sqrt2$ makakakuha tayo ng 2.)
Dahil ang bilang na $\sqrt2$ ay hindi maaaring katawanin bilang isang ratio ng mga integer, ito ay tinatawag hindi makatwiran na numero. Sa kabilang banda, ang lahat ng mga numero na maaaring kinakatawan bilang isang ratio ng mga integer ay tinatawag makatwiran.
Ang lahat ng integer at fractional na numero, parehong positibo at negatibo, ay makatwiran.
Sa lumalabas, karamihan sa mga square root ay hindi makatwiran na mga numero. Ang mga rational square roots ay para lamang sa mga numerong kasama sa isang serye ng mga square number. Ang mga numerong ito ay tinatawag ding perpektong parisukat. Ang mga rational na numero ay mga fraction din na binubuo ng mga perpektong parisukat na ito. Halimbawa, ang $\sqrt(1\frac79)$ ay isang rational na numero dahil ang $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ o $1\frac13$ (4 ang ugat parisukat ng 16, at ang 3 ay ang parisukat na ugat ng 9).
