Ang intuitive na ideya ng numero ay tila kasing gulang ng sangkatauhan mismo, kahit na sa prinsipyo imposibleng masubaybayan ang lahat ng mga unang yugto ng pag-unlad nito nang may katiyakan. Bago ang isang tao ay natutong magbilang o mag-imbento ng mga salita para sa mga numero, siya ay walang alinlangan na nagtataglay ng isang visual, intuitive na ideya ng numero, na nagpapahintulot sa kanya na makilala sa pagitan ng isang tao at dalawang tao, o dalawa at maraming tao. Ano mga primitive na tao sa una ay alam lang nila ang "isa", "dalawa" at "marami", ay kinumpirma ng katotohanan na sa ilang mga wika, halimbawa, sa Griyego, mayroong tatlong mga anyo ng gramatika: isahan, dalawahang numero at maramihan. Nang maglaon, natutunan ng tao na makilala ang pagitan ng dalawa at tatlong puno at sa pagitan ng tatlo at apat na tao. Ang pagbibilang ay orihinal na nauugnay sa isang napaka-tiyak na hanay ng mga bagay, at ang pinakaunang mga pangalan ng mga numero ay mga adjectives. Halimbawa, ang salitang "tatlo" ay ginamit lamang sa mga kumbinasyong "tatlong puno" o "tatlong tao"; ang ideya na ang mga set na ito ay may isang bagay na karaniwan - ang konsepto ng trinity - ay nangangailangan mataas na antas abstraction. Tungkol sa katotohanan na lumitaw ang account bago ang pagdating Ang antas ng abstraction na ito ay pinatunayan ng katotohanan na ang mga salitang "isa" at "una", pati na rin ang "dalawa" at "pangalawa", sa maraming mga wika ay walang pagkakatulad sa isa't isa, habang ang mga nasa labas ng primitive Ang account na "isa" , "dalawa", "marami", ang mga salitang "tatlo" at "ikatlo", "apat" at "ikaapat" ay malinaw na nagpapahiwatig ng kaugnayan sa pagitan ng mga numero ng kardinal at ordinal.

Ang mga pangalan ng mga numero, na nagpapahayag ng napaka-abstract na mga ideya, ay walang alinlangan na lumitaw sa huli kaysa sa mga unang krudo na simbolo para sa pagtukoy ng bilang ng mga bagay sa isang tiyak na populasyon. AT sinaunang panahon Ang mga primitive numerical record ay ginawa sa anyo ng mga bingot sa isang stick, mga buhol sa isang lubid na inilatag sa isang hilera ng mga maliliit na bato, at naunawaan na mayroong isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga elemento ng set na binibilang at ang mga simbolo ng numerical record. Ngunit para mabasa ang gayong mga numerong rekord, ang mga pangalan ng mga numero ay hindi direktang ginamit. Ngayon nakikilala natin sa isang sulyap na hanay ng dalawa, tatlo, at apat na elemento; Ang mga set na binubuo ng lima, anim o pitong elemento ay medyo mas mahirap makilala sa isang sulyap. At lampas sa limitasyong ito, halos imposible na maitatag ang kanilang numero sa pamamagitan ng mata, at kinakailangan ang pagsusuri sa alinman sa anyo ng isang account, o sa isang tiyak na istruktura ng mga elemento. Ang pagbibilang sa mga tag ay tila ang unang pamamaraan na ginamit sa katulad na mga kaso: ang mga bingaw sa mga tag ay matatagpuan ilang grupo tulad ng kapag binibilang ang mga balota, madalas silang pinagsama-sama sa mga bundle ng lima o sampu. Ang pagbibilang ng daliri ay napakalawak, at ito ay lubos na posible na ang mga pangalan ng ilang mga numero ay nagmula mismo sa ganitong paraan ng pagbibilang.

Ang isang mahalagang tampok ng account ay ang koneksyon ng mga pangalan ng mga numero na may isang tiyak na pamamaraan ng pagbibilang. Halimbawa, ang salitang "dalawampu't tatlo" ay hindi lamang isang termino na nangangahulugang isang mahusay na tinukoy (sa pamamagitan ng bilang ng mga elemento) na pangkat ng mga bagay; ito ay isang tambalang termino na nangangahulugang "dalawang beses sampu at tatlo." Dito malinaw na nakikita ang papel ng numero sampu bilang isang kolektibong yunit o pundasyon; at sa katunayan, maraming tao ang nagbibilang ng sampu, dahil, gaya ng nabanggit ni Aristotle, mayroon tayong sampung daliri sa ating mga kamay at sa ating mga paa. Para sa parehong dahilan ay ginamit ang mga baseng lima o dalawampu. Sa napakaagang yugto ng pag-unlad ng kasaysayan ng tao, ang mga numero 2, 3 o 4 ay kinuha bilang mga batayan ng sistema ng numero; minsan ang mga base 12 at 60 ay ginamit para sa ilang mga sukat o kalkulasyon.

Ang isang tao ay nagsimulang magbilang nang matagal bago siya natutong sumulat, kaya walang nakasulat na mga dokumento ang nakaligtas na nagpapatotoo sa mga salita na nagsasaad ng mga numero noong sinaunang panahon. Para sa mga nomadic na tribo, ang mga oral na pangalan ng mga numero ay katangian, tulad ng para sa mga nakasulat, ang pangangailangan para sa kanila ay lumitaw lamang sa paglipat sa isang maayos na paraan ng pamumuhay, ang pagbuo ng mga pamayanan ng agrikultura. Nagkaroon din ng pangangailangan para sa isang sistema para sa pagtatala ng mga numero, at noon ay inilatag ang pundasyon para sa pagpapaunlad ng matematika.

Mga pangunahing uri ng mga numero

Hindi tulad ng octaves, sedenions S walang pag-aari ng alternatibo, ngunit panatilihin ang pag-aari ng pagkakaugnay ng kapangyarihan.

Upang kumatawan sa isang positibong integer x sa memorya ng computer, ito ay na-convert sa binary number system. Ang resultang numero sa binary number system x 2 ay isang machine notation ng katumbas decimal na numero x 10. Upang magsulat ng mga negatibong numero, ang tinatawag na. isang karagdagang code ng isang numero, na nakukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isa sa baligtad na representasyon ng modulus ng isang naibigay na negatibong numero sa binary number system.

Representasyon ng mga totoong numero sa memorya ng computer (sa computer science ang terminong floating point number ay ginagamit upang tukuyin ang mga ito) ay may ilang mga limitasyon na nauugnay sa sistema ng numero na ginamit, pati na rin ang limitadong halaga ng memorya na inilaan para sa mga numero. Kaya, ilan lamang sa mga totoong numero ang maaaring tumpak na maipakita sa memorya ng computer nang walang pagkawala. Sa pinakakaraniwang pamamaraan, ang isang floating point na numero ay isinusulat bilang isang bloke ng mga bit, ang ilan sa mga ito ay ang mantissa ng numero, ang ilan ay ang antas, at ang isang bit ay inilalaan upang kumatawan sa tanda ng numero (kung kinakailangan, ang maaaring wala ang sign bit).

Numero ay isang abstraction na ginagamit para sa quantitative na katangian mga bagay. Bumangon pabalik primitive na lipunan mula sa mga pangangailangan ng account, ang konsepto ng numero ay nagbago at pinayaman at naging pinakamahalaga konsepto ng matematika. Sa pamamagitan ng nakasulat na mga character(mga simbolo) ang mga numero ay ginagamit sa pagsulat ng mga numero.

Mga pangunahing uri ng mga numero

Natanggap gamit ang isang natural na account; ang mga natural na numero ay tinutukoy ng . yun. (minsan zero ay kasama rin sa hanay ng mga natural na numero, iyon ay). Ang mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng pagdaragdag at pagpaparami (ngunit hindi pagbabawas o paghahati). Ang mga natural na numero ay commutative at associative sa ilalim ng karagdagan at multiplikasyon, at ang multiplikasyon ng mga natural na numero ay distributive sa ilalim ng karagdagan.

Buong mga numero, na nakuha ng unyon ng mga natural na numero na may set ng mga negatibong numero at zero, ay tinutukoy ng . Ang mga integer ay sarado sa ilalim ng karagdagan, pagbabawas, at pagpaparami (ngunit hindi paghahati).

Mga rational na numero ay mga numero na kinakatawan bilang m/n (n≠0), kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Para sa mga rational na numero, ang lahat ng apat na "klasikal" na pagpapatakbo ng aritmetika ay tinukoy: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati (maliban sa paghahati sa zero). Ang tanda ay ginagamit upang tukuyin ang mga makatwirang numero.

Mga totoong (tunay) na numero kumakatawan sa isang extension ng hanay ng mga rational na numero, sarado sa ilalim ng ilang (mahalaga para sa pagsusuri sa matematika) mga operasyon pagpasa sa limitasyon. Ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy ng . Maaari itong tingnan bilang isang pagkumpleto ng larangan ng mga rational na numero sa tulong ng isang pamantayan, na siyang karaniwang ganap na halaga. Bilang karagdagan sa mga rational na numero, kabilang dito ang isang hanay ng mga hindi makatwirang numero na hindi maaaring katawanin bilang isang ratio ng mga integer. Bilang karagdagan sa paghahati sa rational at irrational, nahahati din sila sa algebraic at transendental. Bukod dito, ang bawat transendental na numero ay hindi makatwiran, ang bawat makatwirang numero ay algebraic.

Mga kumplikadong numero, na isang extension ng hanay ng mga tunay na numero. Maaari silang isulat sa form z = x + iy, saan i- tinatawag na. imaginary unit para saan i 2 = − 1. Ang mga kumplikadong numero ay ginagamit sa paglutas ng problema quantum mechanics, hydrodynamics, elasticity theory, atbp.

Para sa mga nakalistang hanay ng mga numero, totoo ang sumusunod na expression:

Mga natural na numero na mayroon lamang kanilang mga sarili at isa bilang mga kadahilanan. hilera mga pangunahing numero ay may anyo: Anumang natural na bilang N ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kapangyarihan ng mga prime na numero: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Ang ari-arian na ito ay malawakang ginagamit sa praktikal na cryptography.

Mga Numero - mga uri, konsepto at pagpapatakbo, natural at iba pang uri ng mga numero.

Numero - pangunahing konsepto matematika, na nagsisilbi upang matukoy ang dami ng mga katangian, pagnunumero, paghahambing ng mga bagay at ang kanilang mga bahagi. Ang iba't ibang mga pagpapatakbo ng aritmetika ay naaangkop sa mga numero: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagpaparami at iba pa.

Ang mga numerong kasangkot sa operasyon ay tinatawag na operand. Depende sa aksyon na ginawa, nakakatanggap sila ng iba't ibang pangalan. AT pangkalahatang kaso Ang scheme ng operasyon ay maaaring kinakatawan tulad ng sumusunod:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Sa operasyon ng paghahati, ang unang operand ay tinatawag na dibidendo (ito ang pangalan ng numero na hinahati). Ang pangalawa (kung saan ito nahahati) ay isang divisor, at ang resulta ay isang quotient (ito ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang divisible ay mas malaki kaysa sa divisor).

Mga uri ng numero

Maaaring kasangkot ang operasyon ng dibisyon iba't ibang numero. Ang resulta ng paghahati ay maaaring isang integer o isang fraction. Sa mathematics meron ang mga sumusunod na uri numero:

• Ang mga natural na numero ay ginagamit sa pagbibilang. Kabilang sa mga ito, namumukod-tangi ang isang subset ng mga prime number, na mayroong dalawang divisors lamang: isa at mismo. Ang lahat ng iba pa, maliban sa 1, ay tinatawag na composite at may higit sa dalawang divisors (mga halimbawa ng prime number: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, atbp.);
• Integers - isang set na binubuo ng kanilang mga negatibo, positibong numero at zero. Kapag hinahati ang isang integer sa isa pa, ang quotient ay maaaring integer o tunay (fractional). Kabilang sa mga ito, ang isang subset ng perpektong numero ay maaaring makilala - katumbas ng kabuuan lahat ng mga divisors nito (kabilang ang 1) maliban sa sarili nito. Apat na perpektong numero lamang ang alam ng mga sinaunang Griyego. Ang pagkakasunud-sunod ng mga perpektong numero: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Hanggang ngayon, wala ni isang kakaibang perpektong numero ang nalalaman;
• Rational - kinakatawan bilang isang fraction a / b, kung saan ang a ay ang numerator at b ang denominator (ang quotient ng naturang mga numero ay karaniwang hindi kinakalkula);
• Real (real) - naglalaman ng isang integer at isang fractional na bahagi. Kasama sa set ang rational at ir mga rational na numero(kinakatawan bilang isang non-periodic infinite decimal fraction). Ang quotient ng naturang mga numero, bilang panuntunan, ay isang tunay na halaga.

Mayroong ilang mga tampok na nauugnay sa pagpapatupad operasyon ng aritmetika- mga dibisyon. Ang pag-unawa sa mga ito ay mahalaga upang makuha ang tamang resulta:

• Hindi mo maaaring hatiin ng zero (sa matematika, ang operasyong ito ay walang kahulugan);
• Ang integer division ay isang operasyon na nagkalkula lamang buong bahagi(ang fractional ay itinapon);
• Ang pagkalkula ng natitira sa isang dibisyon ng integer ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha bilang isang resulta ang natitirang integer pagkatapos makumpleto ang operasyon (halimbawa, kapag hinahati ang 17 sa 2, ang bahagi ng integer ay 8, ang natitira ay 1).

Upang mas maunawaan ang sagradong katangian ng numero, kapaki-pakinabang na humiwalay sa isang sandali mula sa isang purong esoteric na diskarte at makita kung paano ito pinagsama sa mga ideya. kumbensyonal na agham tungkol sa anyo ng mga numero. encyclopedic Dictionary isinulat ang sumusunod tungkol sa bilang: "Numero, isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika; nagmula noong sinaunang panahon at unti-unting lumawak at pangkalahatan. Kaugnay ng salaysay indibidwal na mga item ang konsepto ng positibong integer (natural) na mga numero ay lumitaw, at pagkatapos ay ang ideya ng kawalang-hanggan ng natural na serye ng mga numero: 1, 2, 3, 4 ... Ang mga gawain ng pagsukat ng mga haba, mga lugar, pati na rin ang pag-highlight ng Ang pagbabahagi ng mga pinangalanang dami ay humantong sa konsepto ng isang rational (fractional) na numero . Ang konsepto ng negatibong numero ay lumitaw sa mga Indian noong VI-XI na siglo. Kailangan sa eksaktong pagpapahayag ang mga relasyon ng mga dami (halimbawa, ang ratio ng dayagonal ng isang parisukat sa gilid nito) ay humantong sa pagpapakilala ng mga hindi makatwiran na mga numero, na ipinahayag sa pamamagitan ng mga rational na numero lamang ng humigit-kumulang; makatuwiran at hindi nakapangangatwiran numero bumubuo sa hanay ng mga tunay na numero. Ang teorya ng tunay na mga numero ay nakatanggap lamang ng huling pag-unlad nito sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo na may kaugnayan sa mga pangangailangan ng pagsusuri sa matematika. Kaugnay ng solusyon ng parisukat at cubic equation ipinakilala noong ika-16 na siglo kumplikadong mga numero". Hinahati ng matematika ang mga numero sa ilang grupo o barayti, na ang bawat isa ay maaaring isaalang-alang mula sa isang ordinaryong, o marahil mula sa isang metapisiko na pananaw.

Ang relasyon ng mga numero

Mga tunay na numero, na kung saan ay ang unyon ng set ng rational at ang set ng hindi makatwiran na mga numero. Anumang tunay na numero ay maaaring, sa prinsipyo, ay kinakatawan sa isang linya ng coordinate sa paraang ang bawat tunay na numero at bawat punto sa linyang ito ay tumutugma sa isa't isa. Ang tunay na numero ay maaaring maging anumang positibo o negatibong numero, o zero. Mula sa isang metapisiko na pananaw grupong ito ang mga numero ay tumutugma sa materyal na materyal na eroplano ng pagiging at ito ay isang tanda ng dami. Sa tulong ng mga tunay na numero, ang mga sukat ng lahat ng pisikal na dami ay ipinahayag. Ang mga numero ay makatwiran, na maaaring katawanin bilang isang walang katapusang decimal fraction. Ang mga ito ay nasa anyong m/n, kung saan ang m at n ay mga integer at ang u ay hindi katumbas ng 0. Ang bawat walang katapusan decimal ay isang rational na numero. Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto, at quotient ng mga rational na numero ay itinuturing ding rational. Kabilang sa mga rational na numero ang mga buong numero, fractional na numero, positibong numero, negatibong numero, at kahit zero. Mula sa isang metapisiko na pananaw, ang mga rational na numero ay tumutukoy sa mga dami na maaaring masukat nang may katiyakan at katumpakan.

Mga uri ng numero

Ang mga irrational na numero ay tumutukoy sa pangkat ng mga tunay na numero na maaaring ipahayag sa anyo ng isang walang katapusang decimal non-periodic fraction. Hindi sila maaaring ipahayag nang eksakto bilang m/n, kung saan ang m at n ay mga integer. Ang mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero ay square root ng 2; 0.1010010001; lg2; cos20±; .... Mula sa isang metapisiko na pananaw, ang mga hindi makatwirang numero ay nabibilang sa larangan ng mga mailap na phenomena na iyon banayad na mundo na hindi masusukat nang may ganap na katumpakan. Wastong View ang mga numero ay itinuturing na isang uri ng kumplikadong mga numero, na kinabibilangan ng mga numero ng anyong x + iy, kung saan ang x at y ay mga tunay na numero, at ang i ay ang tinatawag na imaginary unit (isang numero na ang parisukat ay -1); x ay tinatawag na tunay na bahagi at y ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng kumplikadong mga numero. Mga kumplikadong numero na hindi totoo (para sa<>0), kung minsan ay tinatawag na mga haka-haka na numero, para sa x=0 kumplikadong mga numero ay tinatawag na puro haka-haka. Sa ibang salita, haka-haka na mga numero ay yaong mga kumplikadong numero na ang tunay na bahagi ay katumbas ng zero at na tinutukoy ng z=bi. Mula sa isang metapisiko na pananaw, ang mga kumplikadong numero ay mga dami na nagdadala ng isang sagradong plano. Ang mga numero ay nahahati din sa mga positibo, na kinabibilangan ng mga tunay na numero na mas malaki sa zero at mga negatibong numero, kabaligtaran ng mga positibo, ay mas mababa sa zero. Mula sa isang metapisiko na pananaw, lahat mga positibong numero sumangguni sa pisikal na mundo, at mga negatibo - sa banayad na eroplano ng pagiging, iyon ay, sa astral-mental na lugar.

Gayunpaman, sa itaas ito ay tungkol lamang sa panlabas, walang kabanalan, puro quantitative na katangian ng bilang. Gayunpaman, mayroon ding isang panloob na sagradong aspeto ng numero, hindi alam ng modernong matematika at paunang pagtukoy sa likas na katangian ng pagpapakita ng mga numero. Mahusay ang pagsasalita ni X tungkol dito.

"Ang mga numero sa simbolismo ay hindi lamang isang pagpapahayag ng dami, ngunit mga ideya - mga puwersa, bawat isa ay may sariling natatanging katangian. Mga numero sa makabagong pag-unawa ay lamang panlabas na shell. Ang lahat ng mga numero ay nagmula sa isa (na katumbas ng mystical, unrevealed at dimensionless na tuldok). Dagdag pa, ang bilang na lumitaw mula sa pagkakaisa ay mas malalim at mas malalim sa bagay, sa lalong kumplikadong mga proseso, sa "mundo". Ang unang sampung digit sa sistemang Griyego (o labindalawang in tradisyong silangan) ay nauugnay sa espiritu: sila, sa esensya, mga archetype at simbolo. Ang natitira ay produkto ng kumbinasyon ng mga pangunahing numerong ito. Ang mga sinaunang Griyego ay lubhang interesado sa simbolismo ng mga numero. Halimbawa, sinabi ni Pythagoras na "ang lahat ay nakaayos ayon sa mga numero." Itinuring ni Plato ang numero bilang ang esensya ng pagkakaisa, at ang pagkakatugma bilang batayan ng kosmos at tao, na nangangatwiran na ang mga ritmo ng pagkakaisa ay "kapareho ng uri ng mga pana-panahong oscillations ng ating kaluluwa." Ang pilosopiya ng mga numero ay higit na binuo ng mga Hudyo, Gnostics, at Kabbalists, kasama na rin ang mga alchemist. Ang parehong mga pangunahing pangkalahatang konsepto ay matatagpuan sa Silangan na pag-iisip- halimbawa, sa Lao Tzu: "Ang isa ay nagsilang ng dalawa, ang dalawa ay nagsilang ng tatlo, at ang isa ay nagmula sa tatlo" - isang bagong pagkakaisa o bagong order- parang apat. Ang modernong simbolikong lohika at teorya ng grupo ay bumalik sa ideya quantitative measurement bilang batayan ng kalidad. Naniniwala si Pire na nakabatay ang mga batas ng kalikasan at espiritu ng tao pangkalahatang mga prinsipyo at maaaring matatagpuan sa parehong mga linya".

Mga uri ng numero. Mga totoong numero ay nahahati din sa algebraic at non-algebraic na mga numero. Ang isang algebraic na numero ay isa na nagbibigay-kasiyahan algebraic equation na may mga integer coefficient. Kabilang sa mga numerong ito ang mga numero: ang ugat ng 2; ugat ng Z; Ang mga non-algebraic o transendental na numero ay mga numerong hindi nakakatugon sa anumang algebraic equation na may mga integer coefficient. Ang mga transendental na numero ay kabilang sa pangkat ng mga hindi makatwirang numero, bagama't hindi palaging transendental ang mga hindi makatwirang numero. Ang isang numerong a^b ay itinuturing na transendental kung ang mga numerong a at b ay algebraic na mga numero, ngunit sa parehong oras<>0; a<>1 at in - hindi makatwiran na numero. Ang mga transendental na numero ay ang mga sine ng maraming makatwirang dami, pati na rin decimal logarithms mga integer na hindi kinakatawan ng isa na sinusundan ng mga zero. Karamihan sikat na mga halimbawa Ang mga transendental na numero ay s (na ang tinatayang halaga ay 2.718281) at PI (na ang tinatayang halaga ay 3.1415296...)

Hinahati ni P. D. Uspensky ang matematika bilang isang agham ng mga numero sa dalawang uri:

a) matematika ng may hangganan at mga pare-pareho, na isang artipisyal na disiplina na nilikha upang malutas mga tiyak na gawain sa kondisyong data;

b) matematika ng walang hanggan at mga variable, na isang mas tumpak na kaalaman sa totoong mundo. Ang mga halimbawa ng matematika ng pangalawang uri na lumalabag sa mga artipisyal na axiom ng matematika ng unang uri ay ang tinatawag na "transfinite numbers" na namamalagi sa kabila ng kawalang-hanggan.