REAL NUMBERS II
§ 46 Pagdaragdag ng mga tunay na numero
Sa ngayon, maaari lamang nating magdagdag ng mga rational na numero sa bawat isa. Sa pagkakaalam natin,
Ngunit ano ang kahulugan ng kabuuan ng dalawang numero, na kahit isa ay hindi makatwiran, hindi pa rin natin alam ito. Kailangan na nating tukuyin kung ano ang ibig sabihin ng kabuuan α + β dalawang arbitrary na tunay na numero α at β .
Halimbawa, isaalang-alang ang mga numerong 1 / 3 at √2. Katawanin natin ang mga ito sa anyo ng mga infinite decimal fraction
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
Una, idinagdag namin ang kaukulang mga pagtatantya ng decimal ng mga numerong ito na may disadvantage. Ang mga pagtatantya na ito, tulad ng nabanggit sa dulo ng nakaraang seksyon, ay makatwiran numero. At alam na namin kung paano magdagdag ng mga naturang numero:
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
Pagkatapos ay idinagdag namin ang kaukulang mga pagtatantya ng decimal ng mga numerong ito na may labis:
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
Mapapatunayan* na mayroong, bukod pa rito, isang natatanging tunay na numero γ , na mas malaki kaysa sa lahat ng kabuuan ng decimal approximation ng mga numerong 1 / 3 at √2 na may disadvantage, ngunit mas mababa sa lahat ng kabuuan ng decimal approximation ng mga numerong ito na may labis:
* Ang isang mahigpit na patunay ng katotohanang ito ay lampas sa saklaw ng aming programa at samakatuwid ay hindi ibinigay dito.
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang numerong ito γ at kinuha bilang kabuuan ng mga numero 1 / 3 at √2:
γ = 1 / 3 + √2
Obvious naman yun γ = 1,7475....
Ang kabuuan ng anumang iba pang positibong tunay na mga numero, kahit isa sa mga ito ay hindi makatwiran, ay maaaring tukuyin nang katulad. Ang kakanyahan ng bagay ay hindi magbabago kahit na ang isa sa mga termino, at marahil pareho, ay negatibo.
Kaya, kung mga numero α at β ay makatwiran, kung gayon ang kanilang kabuuan ay matatagpuan sa pamamagitan ng panuntunan ng pagdaragdag ng mga rational na numero(tingnan ang § 36).
Kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi makatwiran, kung gayon ang kabuuan α + β ang isang tunay na numero ay tinatawag na mas malaki kaysa sa lahat ng mga kabuuan ng kaukulang decimal approximation ng mga numerong ito na may disadvantage, ngunit mas mababa sa lahat ng mga kabuuan ng mga katumbas na decimal approximation ng mga numerong ito na may labis..
Ang pagkilos ng pagdaragdag sa gayon ay tinukoy na sumusunod sa sumusunod na dalawang batas:
1) commutative na batas:
α + β = β + α
2) batas ng asosasyon:
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
Hindi namin ito patunayan. Magagawa ito ng mga mag-aaral sa kanilang sarili. Pansinin lang namin na sa patunay ay kailangan naming gamitin ang katotohanang alam na namin: ang pagdaragdag ng mga rational na numero ay napapailalim sa commutative at associative na mga batas (tingnan ang § 36).
Mga ehersisyo
327. Ipakita ang mga halagang ito bilang mga decimal fraction, na nagsasaad ng hindi bababa sa tatlong tamang digit pagkatapos ng abala:
a) √2 + √3 ; d) √2 + (- √3 ) g) 3/4 + (-√5 );
b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3.
c) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);
328. Hanapin ang unang ilang mga pagtatantya ng decimal (may at walang labis) para sa mga tunay na numero:
a) 1 / 2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7)
329. Pagpapatuloy mula sa kahulugan ng kabuuan ng mga tunay na numero, patunayan na para sa anumang numero α
α + (- α ) = 0.
330. Ang kabuuan ba ng dalawang infinite non-periodic fraction ay palaging isang non-periodic fraction? Ipaliwanag ang sagot gamit ang mga halimbawa.
Kahulugan
Ang hanay ng mga tunay na numero ay ang unyon ng mga set ng rational at irrational na mga numero. Sulat R ay ang notasyon para sa hanay na isinasaalang-alang. Isang grupo ng R ay kinakatawan ng isang pagitan ng form (- ∞ ; + ∞).
Magkomento
Kapansin-pansin na ang anumang rational na numero ay maaaring palaging nasa anyo ng isang infinite decimal periodic fraction, anumang irrational na numero ng isang infinite decimal non-periodic fraction, batay sa nabanggit, ito ay sumusunod na ang set na kinabibilangan ng finite at infinite periodic at non -Ang mga periodic decimal fraction ay kabilang sa set R.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Geometric na modelo ng mga tunay na numero
Ang linya ng coordinate ay direktang isang geometric na modelo ng set R. Samakatuwid, ang bawat punto sa linya ng coordinate ay maaaring palaging nauugnay sa ilang tunay na numero.
Paghahambing ng mga tunay na numero
Ang mga tunay na numero ay maaaring ihambing gamit ang alinman sa isang geometric na modelo, o maaari silang ihambing nang analytical. Tingnan natin ang parehong paghahambing. Dalawang numero ang random na inilalagay sa isang coordinate line. Ang pagtukoy kung alin ang higit pa ay medyo simple. Ang mas malaking numero ay palaging nasa kanan ng isa.
Analytically matukoy kung aling numero ang mas malaki o mas mababa kaysa sa anumang numero ay posible rin, para dito ito ay sapat na upang mahanap ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong ito at pagkatapos ay ihambing ito sa zero. Kung ang magreresultang pagkakaiba ay magkakaroon ng positibong tanda, kung gayon ang unang numero (binawasan ng pagkakaiba) ay mas malaki kaysa sa pangalawang numero (binawas ng pagkakaiba); kung ang pagkakaiba ay may negatibong palatandaan, ang unang numero (binawasan ng pagkakaiba) ay magiging mas mababa kaysa sa pangalawang numero (ibawas ng pagkakaiba).
Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang mga halimbawang nagpapakita ng parehong paraan ng paghahambing:
Halimbawa 1
Paghambingin ang mga numero f r a c 185 at 4 .
Desisyon
Upang ihambing ang mga numerong ito, nakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong ito.
f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 Matapos magawa ang operasyong ito, makikita natin na ang denominator sa halimbawang ito ay 5. Pagkatapos nito, batay sa panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, ibawas natin ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang pareho ang denominador. Tandaan na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ibinigay na numero ay negatibo, na nangangahulugan na ang unang numero (binawasan) ay mas mababa kaysa sa pangalawa (binawas), ibig sabihin, f r a c 185< 4 .
Halimbawa 2
Ihambing ang mga numero f r a c 185 at 4 gamit ang coordinate line.
Desisyon
Upang ihambing ang mga numerong ito, dapat mong matukoy ang lokasyon ng mga punto ng mga numerong ito sa linya ng coordinate. Yung. ang mga tunay na numero na inihahambing ay tumutugma sa ilang mga coordinate sa linya ng coordinate, katulad ng mga numero f r a c 185 at 4 . Una, i-convert natin ang improper fraction frac185 sa isang mixed number i.e. pipiliin natin ang bahaging integer, samakatuwid, nakukuha natin ang 3 f r a c 35 .
Susunod, sa linya ng coordinate, markahan ang mga punto na ang mga coordinate ay magiging katumbas ng 3 f r a c 35 at 4 . Ang f r a c 185 ay naglalaman ng 3 integer, na nangangahulugan na ang numerong ito ay matatagpuan sa kaliwa ng 4. Tulad ng alam mo na, ang mas maliit na bilang ay nasa kaliwa, batay dito, ang konklusyon ay nagmumungkahi mismo na f r a c 185< 4 .
Maaari itong tapusin na, anuman ang hitsura ng paghahambing ng mga tunay na numero, ang lahat ng mga operasyon sa aritmetika, katulad ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati, ay maaaring ipatupad. Gayunpaman, bago magsagawa ng mga operasyon na may totoong mga numero, dapat isaalang-alang ng isa ang mga paunang palatandaan ng mga numerong ito, i.e. tukuyin kung ang bawat numero ay positibo o negatibo.
Pagdaragdag ng mga tunay na numero
Upang magdagdag ng dalawang tunay na numero na may parehong sign, kailangan mo munang idagdag ang kanilang mga module at pagkatapos ay ilagay ang kanilang karaniwang sign sa harap ng kabuuan. Halimbawa:
(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .
Upang magdagdag ng dalawang tunay na numero na may magkakaibang mga palatandaan, dapat mo munang bigyang-pansin ang tanda ng numero, kung ang tanda ng isa sa mga numero ay negatibo, kung gayon ang numerong ito ay dapat ibawas mula sa isa, kung positibo - idagdag sa isa pa. Susunod, kailangan mong idagdag o ibawas ang mga numerong ito at ilagay ang tanda ng mas malaking module. Halimbawa
(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .
Pagbabawas ng mga tunay na numero
Ang pagbabawas ng mga tunay na numero ay maaaring kinakatawan bilang karagdagan: a - b \u003d a + (- b), iyon ay, upang ibawas ang numero b mula sa numero a, sapat na upang idagdag ang numero na kabaligtaran sa isa. ibinabawas sa binabawasan.
Halimbawa: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .
Pagpaparami ng tunay na mga numero
Upang i-multiply (hatiin) ang dalawang tunay na numero, kailangan mong i-multiply (hatiin) ang kanilang mga module. At pagkatapos ay maglagay ng sign sa harap ng resulta ayon sa panuntunan ng mga palatandaan na ibinigay sa talahanayan sa ibaba.
Kapag nagpaparami at naghahati ng mga tunay na numero, ipinapayong tandaan ang salawikain: "Ang kaibigan ng aking kaibigan ay aking kaibigan, ang isang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan, ang isang kaibigan ng aking kaaway ay ang aking kaaway, ang isang kaaway ng aking kaibigan ay ang aking kaibigan. kaaway."
Halimbawa:
(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;
Mga katangian ng mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga tunay na numero (mga pangunahing batas ng algebra)
Sa algebra, may mga tinatawag na pangunahing batas ng algebra. Halos palaging tinatanggap ang mga ito bilang totoo (hindi isinasaalang-alang ang mga kaso ng kamalian ng mga batas na ito) at binabalangkas bilang mga sumusunod na katangian-pagkakakilanlan:
- a + b = b + a ;
- (a + b) + c = a + (b + c) ;
- a + 0 = a ;
- a + (- a) = 0 ;
- a b = b a ;
- (a b) c = a (b c);
- a (b + c) = a b + a c ;
- a 1 = a;
- a 0 = 0;
- a 1 a = 1 , (a ≠ 0) .
Mga Katangian 1 at 5 ipahayag ang commutative law (commutativity) ng karagdagan at multiplikasyon, ayon sa pagkakabanggit;
Mga Katangian 2 at 6 ipahayag ang kaugnay na batas (associativity);
Ari-arian 7 - distributive law (distributivity) ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan;
Mga Katangian 3 at 8 ipahiwatig ang pagkakaroon ng isang neutral na elemento para sa pagdaragdag at pagpaparami, ayon sa pagkakabanggit;
Mga Katangian 4 at 10 - para sa pagkakaroon ng isang neutralizing elemento, ayon sa pagkakabanggit.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Kung ang numerong α ay hindi maaaring katawanin bilang isang hindi mababawasang bahagi na $$\frac(p)(q)$$, kung gayon ito ay tinatawag na irrational.
Ang isang hindi makatwirang numero ay isinulat bilang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction.
Ang katotohanan ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay ipapakita sa pamamagitan ng isang halimbawa.
Halimbawa 1.4.1. Patunayan na walang rational number na ang parisukat ay 2.
Desisyon. Ipagpalagay na mayroong isang hindi mababawasang bahagi na $$\frac(p)(q)$$ na $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
o $$p^(2)=2q^(2)$$. Kasunod nito na ang $$p^(2)$$ ay isang multiple ng 2, at samakatuwid ang p ay isang multiple ng 2. Kung hindi, kung ang p ay hindi mahahati ng 2, ibig sabihin, $$p=2k-1$$, pagkatapos ay $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ ay hindi rin mahahati ng 2. Samakatuwid, $ $ p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Rightarrow$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Dahil ang $$q^(2)$$ ay multiple ng 2, ang q ay multiple din ng 2, i.e. $$q=2m$$.
Kaya, ang mga numerong p at q ay may isang karaniwang kadahilanan - ang numero 2, na nangangahulugan na ang fraction na $$\frac(p)(q)$$ ay nabawasan.
Ang pagkakasalungatan na ito ay nangangahulugan na ang palagay na ginawa ay mali, kaya ang pahayag ay napatunayan.
Ang set ng rational at irrational na mga numero ay tinatawag na set ng real numbers.
Sa hanay ng mga tunay na numero, ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ay axiomatically na ipinakilala: anumang dalawang tunay na numero a at b ay itinalaga ang numerong $$a+b$$ at ang produktong $$a\cdot b$$.
Bilang karagdagan, ang mga ugnayang "mas malaki kaysa", "mas mababa sa" at pagkakapantay-pantay ay ipinakilala sa set na ito:
$$a>b$$ kung at kung ang a - b ay positibong numero;
$$a
Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.
1. Kung $$a>b$$ at $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Kung $$a>b$$ at $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Kung $$a>b$$ at $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. Kung ang a, b, c, d ay mga positibong numero na ang $$a>b$$ at $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Bunga. Kung ang a at b ay mga positibong numero at $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Kung $$a>b$$ at $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Kung $$a>0$$, $$b>0$$ at $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
Geometric na interpretasyon ng mga tunay na numero.
Kumuha tayo ng isang tuwid na linya l, tingnan ang fig. 1.4.1, at ayusin ang isang punto O dito - ang pinagmulan.
Hinahati ng Point O ang linya sa dalawang bahagi - mga sinag. Ang sinag na nakadirekta sa kanan ay tinatawag na positibong sinag, at ang sinag na nakadirekta sa kaliwa ay tinatawag na negatibong sinag. Sa tuwid na linya, minarkahan namin ang segment na kinuha bilang isang yunit ng haba, i.e. ipasok ang sukat.
kanin. 1.4.1. Geometric na interpretasyon ng mga tunay na numero.
Ang isang tuwid na linya na may napiling pinanggalingan, positibong direksyon at sukat ay tinatawag na linya ng numero.
Ang bawat punto ng linya ng numero ay maaaring iugnay sa isang tunay na numero ayon sa sumusunod na panuntunan:
- ang punto O ay itatalaga sa zero;
– ang bawat punto N sa positibong sinag ay itinalaga ng isang positibong numero a, kung saan ang a ay ang haba ng segment ON ;
– bawat punto M sa negatibong sinag ay nakatalaga ng negatibong numero b, kung saan $$b=-\kaliwa | OM \right |$$ (ang haba ng segment na OM, na kinunan gamit ang minus sign).
Kaya, ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng hanay ng lahat ng mga punto ng tunay na linya ng numero at ng hanay ng mga tunay na numero, i.e. :
1) bawat punto sa linya ng numero ay itinalaga ng isa at isang tunay na numero lamang;
2) iba't ibang mga puntos ay itinalaga ng iba't ibang mga numero;
3) walang isang tunay na numero na hindi tumutugma sa anumang punto sa linya ng numero.
Halimbawa 1.4.2. Sa linya ng numero, markahan ang mga puntos na tumutugma sa mga numero:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Desisyon. 1) Upang mamarkahan ang fractional number na $$\frac(12)(7)$$, kailangan mong bumuo ng punto na tumutugma sa $$\frac(12)(7)$$.
Upang gawin ito, kailangan mong hatiin ang isang segment ng haba 1 sa 7 pantay na bahagi. Nalutas namin ang problemang ito sa ganitong paraan.
Gumuhit kami ng arbitrary ray mula sa t.O at magtabi ng 7 pantay na segment sa ray na ito. Kunin
segment OA, at mula sa punto A gumuhit kami ng isang tuwid na linya patungo sa intersection na may 1.
kanin. 1.4.2. Dibisyon ng isang segment sa 7 pantay na bahagi.
Ang mga tuwid na linya na iginuhit na kahanay sa tuwid na linya A1 hanggang sa mga dulo ng mga natanggal na mga segment ay naghahati sa segment ng haba ng yunit sa 7 pantay na bahagi (Larawan 1.4.2). Ginagawa nitong posible na bumuo ng isang punto na kumakatawan sa bilang na $$1\frac(5)(7)$$ (Fig.1.4.3).
kanin. 1.4.3. Isang punto sa number axis na tumutugma sa numerong $$1\frac(5)(7)$$.
2) Ang numerong $$\sqrt(2)$$ ay maaaring makuha ng ganito. Bumubuo kami ng isang tamang tatsulok na may mga binti ng yunit. Kung gayon ang haba ng hypotenuse ay $$\sqrt(2)$$; ang segment na ito ay nakatabi mula sa O sa linya ng numero (Larawan 1.4.4).
3) Para makabuo ng point remote mula sa PO sa layong $$\sqrt(3)$$ (sa kanan), kinakailangan na gumawa ng right-angled triangle na may mga binti na 1 ang haba at $$\sqrt(2) $$. Pagkatapos ang hypotenuse nito ay may haba na $$\sqrt(2)$$, na nagpapahintulot sa iyo na tukuyin ang nais na punto sa totoong axis.
Para sa mga tunay na numero, ang konsepto ng isang module (o absolute value) ay tinukoy.
kanin. 1.4.4. Ang punto sa number axis na tumutugma sa numerong $$\sqrt(2)$$.
Ang modulus ng isang tunay na numero a ay tinatawag na:
ay ang numero mismo, kung a ay isang positibong numero;
- zero kung a- zero;
– -a, kung a- isang negatibong numero.
Ang ganap na halaga ng isang numero a tinutukoy ng $$\left | isang \right |$$.
Ang kahulugan ng modyul (o ganap na halaga) ay maaaring isulat bilang
| $$\kaliwa | isang \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
Sa geometriko, ang module ng numerong a ay nangangahulugang ang distansya sa linya ng numero mula sa pinanggalingan O hanggang sa puntong tumutugma sa numero. a.
Napansin namin ang ilang mga katangian ng modyul.
1. Para sa anumang numero a ang pagkakapantay-pantay na $$\naiwan | isang \kanan |=\kaliwa | -a \right |$$.
2. Para sa anumang mga numero a at b ang pagkakapantay-pantay ay totoo
$$\kaliwa | ab \kanan |=\kaliwa | isang \kanan |\cdot \kaliwa | b \kanan |$$; $$\kaliwa | \frac(a)(b) \kanan |=\frac(\kaliwa | a \kanan |)(\kaliwa | b \kanan |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\kaliwa | isang \right |^(2)=a^(2)$$.
3. Para sa anumang numero a ang hindi pagkakapantay-pantay $$\naiwan | isang \right |\geq 0$$.
4. Para sa anumang numero a ang hindi pagkakapantay-pantay $$-\left | a\right |\leq a\leq \left | isang \right |$$.
5. Para sa anumang mga numero a at b ang hindi pagkakapantay-pantay
$$\kaliwa | a+b \right |\leq \left | isang \kanan |+\kaliwa | b \kanan |$$
Isaalang-alang ang mga sumusunod na hanay ng numero.
Kung ang $$a
2) ang pagitan (a; b) ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero α
, para sa bawat isa ay totoo: $$a<\alpha
Katulad nito, maaari kang magpasok ng kalahating pagitan.
Sa ilang mga kaso, ang isa ay nagsasalita ng "mga puwang", ibig sabihin ay alinman sa isang sinag, o isang segment, o isang pagitan, o isang kalahating pagitan.
Isang grupo ng R ang lahat ng tunay na numero ay tinutukoy ng sumusunod: $$(-\infty; \infty)$$.
Para sa anumang totoong numero a, ipinakilala namin ang konsepto ng isang degree na may natural na exponent n, ibig sabihin
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ at $$a^(1)=a$$.
Hayaan a ay anumang hindi-zero na numero, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan $$a^(0)=1$$.
Ang zero na kapangyarihan ng zero ay hindi tinukoy.
Hayaan a- anumang hindi zero na numero, m ay anumang integer. Pagkatapos ang bilang na $$a^(m)$$ ay tinutukoy ng panuntunan:
$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\kanan.$$
kung saan isang m ay tinatawag na degree na may integer exponent.
Bago tukuyin ang konsepto ng isang degree na may isang rational exponent, ipinakilala namin ang konsepto ng isang arithmetic root.
Aritmetika na antas ng ugat n (n ∈ N, n > 2) di-negatibong numero a tinatawag na di-negatibong numero b ganyan b n = a. Numero b tinutukoy bilang $$b\sqrt[n](a)$$.
Mga katangian ng arithmetic roots ( a > 0, b > 0, n, m, k- mga integer.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\kaliwa | isang \right |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\kaliwa | isang \right |$$ |
Hayaan a< 0
, a n ay isang natural na bilang na higit sa 1. Kung n ay isang even na numero, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay b n = a hindi nagtataglay ng anumang tunay na halaga b. Nangangahulugan ito na sa larangan ng mga tunay na numero, imposibleng matukoy ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero. Kung n ay isang kakaibang numero, pagkatapos ay mayroon lamang isang tunay na numero b ganyan b n = a. Ang numerong ito ay tinutukoy na √n a at tinatawag na kakaibang ugat ng isang negatibong numero.
Gamit ang kahulugan ng pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at ang kahulugan ng isang arithmetic root, nagbibigay kami ng kahulugan ng isang degree na may rational exponent.
Hayaan a ay isang positibong numero at ang $$r=\frac(p)(q)$$ ay isang rational na numero, at q- natural na numero.
positibong numero
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
ay tinatawag na kapangyarihan ng a na may exponent r at tinutukoy bilang
$$b=a^(r)$$, o $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, dito $$q\in N $$, $$q\geq2$$.
Isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng isang degree na may rational exponent.
Hayaan a at b ay anumang positibong numero, r 1 at r 2 ay anumang mga rational na numero. Kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. Kung $$a>1$$ at $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. Kung $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Rightarrow 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. Kung $$a>1$$ at $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. Kung $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
Ang konsepto ng antas ng isang positibong numero ay pangkalahatan para sa anumang tunay na exponent α
.
Pagtukoy sa antas ng isang positibong numero a na may mga tunay na exponent α
.
1. Kung $$\alpha > 0$$ at
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, kung saan p at q- mga natural na numero $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α ay isang hindi makatwirang numero, kung gayon
a) kung a > 1, kung gayon isang α- bilang na mas malaki sa a r i at mas mababa sa isang r k, saan r i α
may dehado rk- anumang rational approximation ng isang numero α
labis;
b) kung 0< a< 1, то isang α- isang numerong mas malaki kaysa sa isang r k at mas mababa sa a r i;
c) kung a= 1, pagkatapos ay isang α = 1.
2. Kung $$\alpha=0$$, pagkatapos ay isang α = 1.
3. Kung ang $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
Numero isang α ay tinatawag na degree, ang bilang a ay ang base ng degree, ang numero α
- exponent.
Ang isang kapangyarihan ng isang positibong numero na may isang tunay na exponent ay may parehong mga katangian bilang isang kapangyarihan na may isang rational exponent.
Halimbawa 1.4.3. Kalkulahin ang $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
Desisyon. Gamitin natin ang root property:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
Sagot. 6.
Halimbawa 1.4.4. Kalkulahin ang $$6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
1. Ang konsepto ng isang irrational number. Infinite decimal non-periodic fraction. Ang hanay ng mga tunay na numero.
2. Mga operasyong aritmetika sa mga tunay na numero. Mga batas ng pagdaragdag at pagpaparami.
3. Extension ng mga tunay na positibong numero sa hanay ng mga tunay na numero. Mga katangian ng hanay ng mga tunay na numero.
4. Tinatayang mga numero. Mga panuntunan para sa pag-round ng mga tunay na numero at pagkilos na may tinatayang mga numero. Mga kalkulasyon sa tulong ng isang microcalculator.
5. Mga Pangunahing Natuklasan
Mga totoong numero
Ang isa sa mga pinagmumulan ng paglitaw ng mga decimal fraction ay ang paghahati ng mga natural na numero, ang isa pa ay ang pagsukat ng mga dami. Alamin natin, halimbawa, kung paano makukuha ang mga decimal fraction kapag sinusukat ang haba ng isang segment.
Hayaan X- ang segment na ang haba ay susukatin, e- solong hiwa. Haba ng gupit X ipahiwatig sa pamamagitan ng titik X, at ang haba ng segment e- sulat E. Hayaan ang segment X binubuo ng n mga segment na katumbas ng e₁ at gupitin X₁, na mas maikli kaysa sa segment e(Larawan 130), i.e. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Numero n at n Ang + 1 ay tinatayang mga halaga ng haba ng segment X sa haba ng yunit E may kakulangan at may labis na hanggang 1.
Para makakuha ng sagot nang mas tumpak, kunin ang segment e Ang ₁ ay ikasampu ng segment e at ilalagay natin ito sa segment X₁. Sa kasong ito, posible ang dalawang kaso.
1) Ang segment na e₁ ay umaangkop sa segment X₁ eksakto n minsan. Tapos ang haba n segment X ipinahayag bilang isang panghuling decimal: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙E. Halimbawa, X= 3.4∙E.
2) Gupitin X Ang ₁ ay lumalabas na binubuo ng n mga segment na katumbas ng e₁, at isang segment X₂, na mas maikli kaysa sa segment e₁. Pagkatapos n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, saan n,n₁ at n,n₁n₁′ - mga tinatayang halaga ng haba ng segment X na may kakulangan at may labis na may katumpakan na 0.1.
Ito ay malinaw na sa pangalawang kaso ang proseso ng pagsukat ng haba ng isang segment X maaari kang magpatuloy sa pamamagitan ng pagkuha ng bagong segment ng unit e₂ - sandaang bahagi ng segment e.
Sa pagsasagawa, ang prosesong ito ng pagsukat sa haba ng isang segment ay magtatapos sa ilang yugto. At pagkatapos ay ang resulta ng pagsukat sa haba ng segment ay alinman sa natural na numero o isang panghuling decimal fraction. Kung akala natin ang prosesong ito ng pagsukat ng haba ng isang segment nang perpekto (gaya ng ginagawa nila sa matematika), kung gayon dalawang resulta ang posible:
1) Sa k-th na hakbang, magtatapos ang proseso ng pagsukat. Pagkatapos ang haba ng mga segment ay ipapakita bilang isang panghuling decimal na bahagi ng form n,n₁… n k.
2) Ang inilarawang proseso para sa pagsukat ng haba ng isang segment X nagpapatuloy nang walang katapusan. Pagkatapos ang ulat tungkol dito ay maaaring katawanin ng simbolo n,n₁… n k..., na tinatawag na infinite decimal.
Paano makasigurado sa posibilidad ng pangalawang resulta? Upang gawin ito, sapat na upang sukatin ang haba ng naturang segment, kung saan kilala na ang haba nito ay ipinahayag, halimbawa, ng isang makatwirang numero 5. Kung ito ay lumabas na bilang isang resulta ng pagsukat ng haba ng naturang segment, ang isang pangwakas na decimal na bahagi ay nakuha, kung gayon ito ay nangangahulugan na ang numero 5 ay maaaring kinakatawan bilang isang pangwakas na bahagi ng decimal, na imposible: 5 \u003d 5.666 . ...
Kaya, kapag sinusukat ang mga haba ng mga segment, maaaring makuha ang mga infinite decimal fraction. Ngunit ang mga fraction na ito ba ay palaging pana-panahon? Ang sagot sa tanong na ito ay negatibo: may mga segment na ang mga haba ay hindi maipahayag ng isang walang katapusang periodic fraction (iyon ay, isang positibong rational na numero) na may napiling yunit ng haba. Ito ang pinakamahalagang pagtuklas sa matematika, kung saan sinundan nito na ang mga rational na numero ay hindi sapat upang sukatin ang mga haba ng mga segment.
Teorama. Kung ang yunit ng haba ay ang haba ng isang gilid ng isang parisukat, kung gayon ang haba ng dayagonal ng parisukat na ito ay hindi maaaring ipahayag ng isang positibong rational na numero.
Patunay. Hayaang ang haba ng gilid ng parisukat ay ipahayag ng numero 1. Ipagpalagay na ang kabaligtaran ng kung ano ang kailangang patunayan, ibig sabihin, na ang haba ng dayagonal AC ng parisukat na ABCB ay ipinahayag bilang isang hindi mababawasang bahagi. Pagkatapos, ayon sa Pythagorean theorem, ang pagkakapantay-pantay ay mananatili
1²+ 1² = . Ito ay sumusunod mula dito na m² = 2n². Kaya, ang m² ay isang even na numero, at ang bilang na m ay even (ang parisukat ng isang kakaibang numero ay hindi maaaring maging even). Kaya, m = 2p. Ang pagpapalit ng numerong m ng 2p sa equation na m² = 2n², nakukuha natin na 4p² = 2n², i.e. 2p² = n². Kasunod nito na ang n² ay even, kaya n ay isang even number. Kaya, ang mga numerong m at n ay pantay, na nangangahulugan na ang fraction ay maaaring bawasan ng 2, na sumasalungat sa palagay na ito ay hindi mababawasan. Ang itinatag na kontradiksyon ay nagpapatunay na kung ang yunit ng haba ay ang haba ng isang gilid ng isang parisukat, kung gayon ang haba ng dayagonal ng parisukat na ito ay hindi maaaring ipahayag ng isang rational na numero.
Ito ay sumusunod mula sa napatunayang teorama na may mga segment na ang mga haba ay hindi maaaring ipahayag ng isang positibong numero (na may napiling yunit ng haba), o, sa madaling salita, ay hindi maaaring isulat bilang isang walang katapusang periodic fraction. Nangangahulugan ito na ang mga infinite decimal fraction na nakuha sa pamamagitan ng pagsukat sa mga haba ng mga segment ay maaaring hindi pana-panahon.
Ito ay pinaniniwalaan na ang walang katapusang non-periodic decimal fraction ay isang talaan ng mga bagong numero - positibong hindi makatwiran numero. Dahil ang mga konsepto ng isang numero at ang notasyon nito ay madalas na nakikilala, sinasabi nila na ang mga walang katapusan na non-periodic decimal fraction ay mga positibong irrational na numero.
Nakarating kami sa konsepto ng isang positibong hindi makatwiran na numero sa pamamagitan ng proseso ng pagsukat ng mga haba ng mga segment. Ngunit ang mga hindi makatwirang numero ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng pagkuha ng mga ugat mula sa ilang mga makatwirang numero. Kaya ang √2, √7, √24 ay mga hindi makatwirang numero. Ang hindi makatwiran ay lg 5, sin 31, ang mga numerong π = 3.14..., e= 2.7828... at iba pa.
Ang hanay ng mga positibong numerong hindi makatwiran ay tinutukoy ng simbolong J+.
Ang pagsasama ng dalawang set ng mga numero: positive rational at positive irrational ay tinatawag na set of positive real numbers at tinutukoy ng simbolong R+. Kaya, Q+ ∪ J + = R+. Sa tulong ng Euler circles, ang mga set na ito ay inilalarawan sa Figure 131.
Ang anumang positibong tunay na numero ay maaaring katawanin ng isang walang katapusang decimal fraction - pana-panahon (kung ito ay makatwiran) o hindi pana-panahon (kung ito ay hindi makatwiran).
Ang mga aksyon sa mga positibong tunay na numero ay binabawasan sa mga aksyon sa mga positibong makatwirang numero.
Ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga positibong tunay na numero ay may mga katangian ng commutativity at associativity, at ang multiplikasyon ay distributive na may kinalaman sa karagdagan at pagbabawas.
Gamit ang mga positibong tunay na numero, maaari mong ipahayag ang resulta ng pagsukat ng anumang scalar na dami: haba, lugar, masa, atbp. Ngunit sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang ipahayag sa pamamagitan ng isang numero hindi ang resulta ng pagsukat ng isang dami, ngunit ang pagbabago nito. Bukod dito, ang pagbabago nito ay maaaring mangyari sa iba't ibang paraan - maaari itong tumaas, bumaba o manatiling hindi nagbabago. Samakatuwid, upang maipahayag ang pagbabago sa magnitude, bilang karagdagan sa mga positibong tunay na numero, kailangan ang iba pang mga numero, at para dito kinakailangan na palawakin ang set R + sa pamamagitan ng pagdaragdag ng numero 0 (zero) at negatibong mga numero dito.
Ang unyon ng set ng positive real numbers na may set ng negative real numbers at zero ay ang set R ng lahat ng real numbers.
Ang paghahambing ng mga tunay na numero at mga operasyon sa mga ito ay isinasagawa ayon sa mga alituntuning alam natin mula sa kursong matematika ng paaralan.
Mga ehersisyo
1. Ilarawan ang proseso ng pagsukat ng haba ng isang segment, kung ang ulat tungkol dito ay ipinakita bilang isang fraction:
a) 3.46; b) 3,(7); c) 3.2(6).
2. Ang ikapitong bahagi ng isang segment ay umaangkop sa segment na 13 beses. Ang haba ba ng segment na ito ay kinakatawan ng isang may hangganan o walang katapusan na fraction? Pana-panahon o hindi pana-panahon?
3. Ang isang set ay ibinigay: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136).
Maaari ba itong hatiin sa dalawang klase: rational at irrational?
4. Alam na ang anumang numero ay maaaring katawanin ng isang punto sa linya ng coordinate. Nauubos ba ng mga puntos na may rational coordinates ang buong linya ng coordinate? Paano ang mga puntos na may totoong mga coordinate?
99. Pangunahing konklusyon § 19
Kapag pinag-aaralan ang materyal ng talatang ito, nilinaw namin ang maraming konsepto na kilala mula sa kurso ng matematika sa paaralan, na iniuugnay ang mga ito sa pagsukat ng haba ng isang segment. Ito ang mga konsepto tulad ng:
fraction (tama at hindi tama);
pantay na mga fraction;
hindi mababawasan na bahagi;
positibong rasyonal na numero;
pagkakapantay-pantay ng mga positibong rational na numero;
halo-halong bahagi;
walang katapusang periodic decimal;
walang katapusang non-periodic decimal;
hindi makatwiran na numero;
totoong numero.
Nalaman namin na ang kaugnayan ng pagkakapantay-pantay ng mga fraction ay isang katumbas na ugnayan at sinamantala ito, na tinukoy ang konsepto ng isang positibong rational na numero. Nalaman din namin kung paano nauugnay ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga positibong rational na numero sa pagsukat ng mga haba ng mga segment at pagkuha ng mga formula para sa paghahanap ng kanilang kabuuan at produkto.
Ang kahulugan ng kaugnayan na "mas mababa sa" sa set Q+ ay naging posible na pangalanan ang mga pangunahing katangian nito: ito ay nakaayos, siksik, hindi ito naglalaman ng pinakamaliit at pinakamalaking bilang.
Napatunayan namin na ang set Q+ ng mga positibong rational na numero ay nakakatugon sa lahat ng kundisyon na nagpapahintulot na ito ay ituring na extension ng set N ng mga natural na numero.
Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga decimal fraction, napatunayan namin na ang anumang positibong rational na numero ay maaaring katawanin ng isang walang katapusang periodic decimal fraction.
Ang mga infinite non-periodic fraction ay itinuturing na mga talaan ng mga hindi makatwirang numero.
Kung pagsasamahin natin ang mga hanay ng positibong rational at irrational na mga numero, makukuha natin ang hanay ng mga positibong tunay na numero: Q+ ∪ J + = R+.
Kung magdaragdag tayo ng mga negatibong tunay na numero at sero sa mga positibong tunay na numero, pagkatapos ay makukuha natin ang set R ng lahat ng tunay na numero.
Pag-uulit ng junior high school
integral
Derivative
Dami ng katawan
Solid ng rebolusyon
Paraan ng mga coordinate sa espasyo
Parihabang coordinate system. Relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng vector at mga coordinate ng punto. Ang pinakasimpleng mga problema sa mga coordinate. Scalar na produkto ng mga vector.
Ang konsepto ng isang silindro. Ang ibabaw na lugar ng isang silindro. Ang konsepto ng isang kono.
Ang ibabaw na lugar ng isang kono. Sphere at bola. Ang lugar ng globo. Mutual na pag-aayos ng globo at eroplano.
Ang konsepto ng lakas ng tunog. Ang dami ng isang parihabang parallelepiped. Dami ng isang tuwid na prisma, silindro. Ang dami ng pyramid at cone. Ang dami ng bola.
Seksyon III. Mga simula ng pagsusuri sa matematika
Derivative. Derivative ng isang power function. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Mga derivative ng ilang elementary function. Ang geometric na kahulugan ng derivative.
Application ng derivative sa pag-aaral ng mga function Ang pagtaas at pagbaba ng pag-andar. Extrema ng function. Paglalapat ng derivative sa pag-plot ng mga graph. Ang pinakamalaking, pinakamaliit na halaga ng function.
Primitive. Mga panuntunan para sa paghahanap ng mga primitive. Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid at ang integral. Pagkalkula ng mga integral. Pagkalkula ng mga lugar gamit ang mga integral.
Mga gawain sa pagsasanay para sa mga pagsusulit
Seksyon I. Algebra
Ang numero ay isang abstraction na ginagamit upang mabilang ang mga bagay. Ang mga numero ay lumitaw sa primitive na lipunan na may kaugnayan sa pangangailangan para sa mga tao na magbilang ng mga bagay. Sa paglipas ng panahon, sa pag-unlad ng agham, ang bilang ay naging pinakamahalagang konsepto ng matematika.
Upang malutas ang mga problema at mapatunayan ang iba't ibang mga theorems, napakahalaga na maunawaan kung anong mga uri ng mga numero. Ang mga pangunahing uri ng mga numero ay kinabibilangan ng: natural na mga numero, integer, rational na numero, tunay na numero.
Natural na mga numero - ϶ᴛᴏ mga numero na nakuha sa pamamagitan ng natural na pagbibilang ng mga bagay, o sa halip sa pamamagitan ng kanilang pagnunumero ("una", "pangalawa", "ikatlo" ...). Ang hanay ng mga natural na numero ay tinutukoy ng Latin na letrang N (maaalala mo, batay sa salitang Ingles na natural). Masasabi natin na N =(1,2,3,....)
Sa pamamagitan ng pagpupuno sa mga natural na numero na may zero at negatibong mga numero (ᴛ.ᴇ. mga numero na kabaligtaran ng mga natural na numero), ang hanay ng mga natural na numero ay pinalawak sa hanay ng mga integer.
Integer - ϶ᴛᴏ mga numero mula sa set (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ang set na ito ay binubuo ng tatlong bahagi - natural na mga numero, mga negatibong integer (kabaligtaran ng mga natural na numero) at ang numero 0 (zero). Ang mga integer ay tinutukoy ng Latin na letrang Z. Masasabi nating Z=(1,2,3,....). Ang mga rational na numero ay ϶ᴛᴏ na mga numero na kinakatawan bilang isang fraction, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero.
Mayroong mga rational na numero na hindi maaaring isulat bilang isang finite decimal fraction, halimbawa. Kung, halimbawa, susubukan mong magsulat ng isang numero sa anyo ng isang decimal fraction gamit ang kilalang algorithm para sa paghahati ng isang sulok, makakakuha ka ng isang walang katapusang decimal fraction. Ang isang walang katapusang decimal ay tinatawag pana-panahon, inuulit ang numero 3 - kanya panahon. Ang isang periodic fraction ay madaling isinulat tulad ng sumusunod: 0, (3); mababasa ang: "Zero integers at tatlo sa period."
Sa pangkalahatan, ang periodic fraction ay ϶ᴛᴏ isang infinite decimal fraction, kung saan, simula sa isang partikular na decimal place, ang parehong digit o ilang digit ay inuulit - ang panahon ng fraction.
Halimbawa, ang isang decimal fraction ay periodic na may period na 56; mababasa ang "23 integers, 14 hundredths at 56 sa period."
Kaya, ang bawat rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang periodic decimal fraction.
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: ang bawat walang katapusang periodic decimal fraction ay isang rational na numero, dahil maaari itong katawanin bilang isang fraction, kung saan ay isang integer, ay isang natural na numero.
Mga tunay (tunay) na numero - ϶ᴛᴏ na numero, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ay ginagamit upang sukatin ang tuluy-tuloy na dami. Ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy ng Latin na letrang R. Ang mga tunay na numero ay kinabibilangan ng mga rational na numero at hindi makatwiran na mga numero. Mga irrational na numero - ϶ᴛᴏ na mga numero na nakuha bilang resulta ng pagsasagawa ng iba't ibang mga operasyon na may mga rational na numero (halimbawa, pagkuha ng ugat, pagkalkula ng logarithms), ngunit hindi makatwiran. Ang mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero ay ϶ᴛᴏ.
Anumang tunay na numero ay maaaring ipakita sa linya ng numero:
Para sa mga hanay ng mga numerong nakalista sa itaas, ang sumusunod na pahayag ay totoo: ang hanay ng mga natural na numero ay kasama sa hanay ng mga integer, ang hanay ng mga integer ay kasama sa hanay ng mga rational na numero, at ang hanay ng mga rational na numero ay kasama sa hanay ng mga tunay na numero. Ang pahayag na ito ay maaaring ilarawan gamit ang mga lupon ng Euler.
Mga pagsasanay para sa paglutas sa sarili
