Panimula.
Ang mabilis na pag-unlad ng likidong chromatography sa huling 10 taon ay higit sa lahat dahil sa masinsinang pag-unlad ng mga teoretikal na pundasyon at ang praktikal na paggamit ng napakahusay na bersyon nito, pati na rin ang paglikha at pang-industriya na produksyon ng mga kinakailangang sorbents at kagamitan.
Ang isang natatanging tampok ng high-performance liquid chromatography (HPLC) ay ang paggamit ng mga sorbents na may laki ng butil na 3-10 µm, na nagbibigay ng mabilis na paglipat ng masa na may napakataas na kahusayan sa paghihiwalay.
Sa kasalukuyan, ang HPLC ay nakakuha ng unang lugar sa mga instrumental na pamamaraan sa mga tuntunin ng rate ng pag-unlad, na higit pa sa gas chromatography. Ang pinakamahalagang bentahe ng HPLC kumpara sa gas chromatography ay ang kakayahang pag-aralan ang halos anumang bagay nang walang anumang mga paghihigpit sa kanilang mga katangiang physicochemical, halimbawa, sa mga kumukulo o molekular na timbang.
Ngayon, ang HPLC ay isang mahusay na nabuong instrumental na pamamaraan na malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang kahalagahan nito ay lalong malaki sa mga mahahalagang lugar gaya ng biochemistry, molecular biology, environmental pollution control, gayundin sa kemikal, petrochemical, pagkain at pharmaceutical na industriya.
dahil kinakailangang isaalang-alang ang ilang napaka tiyak na mga kinakailangan dahil sa mga sumusunod na katangian ng pamamaraan.
a. Ang mga column para sa HPLC ay puno ng carrier na may napakaliit na particle diameter. Bilang resulta, ang mga matataas na presyon ay nabuo sa column sa mga bilis ng solvent space na kinakailangan para sa mabilis na paghihiwalay ng sample.
b. Ang mga detektor na ginamit sa HPLC ay sensitibo sa mga pagbabago sa eluent flow at pressure (ingay). Bukod dito, kapag gumagamit ng mga detektor ng konsentrasyon, kinakailangan ang isang mas mataas na katatagan ng bilis ng eluent volume.
sa. Ang proseso ng chromatographic separation ay sinamahan ng isang bilang ng mga antagonistic effect, halimbawa, ang dispersion ng sample sa mobile phase ay humahantong sa paghahalo ng mga pinaghiwalay na bahagi at binabawasan ang maximum na konsentrasyon ng substance sa eluting peak (sa detector). Ang dispersion ay sinusunod sa lahat ng bahagi ng system mula sa punto ng iniksyon ng sample hanggang sa detektor.
d. Ang mga solvent na kumikilos bilang mobile phase ay kadalasang may kakayahang makasira ng kagamitan. Pangunahing naaangkop ito sa mga solvent na ginagamit sa reverse phase chromatography, na mas gusto sa biochemical HPLC applications.
Ang mga detalye ng HPLC bilang isang instrumental na pamamaraan ay dapat isaalang-alang sa proseso ng pagbuo, paglikha, at pagpapatakbo ng mga sistemang ito. Tumagal ng higit sa sampung taon ng paghahanap at pagsasaliksik upang lumikha ng mga komersyal na sample ng mga chromatographic system at ang mga bahagi ng mga ito na sapat na maaasahan, simple, at ligtas na gumana nang may katanggap-tanggap na ratio sa pagitan ng presyo at teknikal na mga katangian. Ang kamakailang mga uso patungo sa pagbabawas ng mga core (parehong haba at diameter) ay nagpipilit sa amin na gumawa ng mga bagong kahilingan sa mga instrumento.
1.1. EFFICIENCYAtSELECTIVITY
Ang Chromatography ay isang paraan ng paghihiwalay ng mga bahagi ng isang pinaghalong batay sa pagkakaiba sa kanilang equilibrium distribution sa pagitan ng dalawang "immiscible phase, ang isa ay nakatigil at ang isa ay mobile. Ang mga sample na bahagi ay gumagalaw sa column kapag sila ay nasa mobile phase at mananatili sa lugar kapag mas malaki ang affinity ng component para sa stationary phase at mas mababa para sa mobile phase, mas mabagal itong gumagalaw sa column at mas matagal itong nananatili dito. Dahil sa pagkakaiba ng affinity ng mga bahagi ng pinaghalong para sa nakatigil at mobile sa isang katanggap-tanggap na tagal ng oras ang paghahalo sa mga indibidwal na banda (mga taluktok) ng mga bahagi habang sila ay gumagalaw sa column na may mobile phase.
Mula sa mga pangkalahatang ideyang ito, malinaw na ang chromatographic separation ay posible lamang kung ang mga sample na bahagi, na pumapasok sa column sa panahon ng sample na iniksyon, una, ay matutunaw sa mobile phase at, pangalawa, ay makikipag-ugnayan (mananatili) sa nakatigil na yugto . Kung ang anumang mga sangkap ay wala sa solusyon kapag ang sample ay na-inject, sila ay sasalain at hindi lalahok sa proseso ng chromatographic. Katulad nito, ang mga bahagi na hindi nakikipag-ugnayan sa nakatigil na yugto ay dadaan sa column na may mobile phase nang hindi naghihiwalay sa mga bahagi.
Tanggapin natin ang kundisyon na ang ilang dalawang bahagi ay natutunaw sa mobile phase at nakikipag-ugnayan sa nakatigil na yugto, ibig sabihin, ang proseso ng chromatographic ay maaaring magpatuloy nang walang mga kaguluhan. Sa kasong ito, pagkatapos na maipasa ang halo sa hanay, makakakuha ang isa ng mga chromatograms ng form a, b o sa(Larawan 1.1). Ang mga chromatogram na ito ay naglalarawan ng mga chromatographic na paghihiwalay na naiiba sa kahusayan (a at b) na may pantay na selectivity at selectivity (b at sa) na may pantay na kahusayan.
Mas mataas ang kahusayan ng column, mas makitid ang peak na nakuha sa parehong oras ng pagpapanatili. Ang kahusayan ng column ay sinusukat sa pamamagitan ng bilang ng mga theoretical plates (NPP) N:
mas mataas ang ef-
kanin. 1.2. Mga parameter ng chromatographic peak at pagkalkula ng bilang ng mga teoretikal na plato:
t R - peak retention time; h - tuktok na taas; Wj/j - peak width sa kalahati ng taas nito
kanin. 1.1. Uri ng chromatogram depende sa kahusayan at selectivity ng column:
a- maginoo selectivity, nabawasan ang kahusayan (mas kaunting teoretikal na mga plato); b - maginoo selectivity at kahusayan; sa - maginoo na kahusayan, tumaas na selectivity (mas malaking ratio ng mga oras ng pagpapanatili ng mga bahagi)
kahusayan, mas malaki ang FTT, mas maliit ang peak expansion ng unang makitid na banda habang dumadaan ito sa column, mas makitid ang peak sa output ng column. Inilalarawan ng NTT ang bilang ng mga hakbang upang maitatag ang ekwilibriyo sa pagitan ng mga mobile at nakatigil na yugto.
Pag-alam sa bilang ng mga teoretikal na plato sa bawat haligi at ang haba ng hanay L (µm), pati na rin ang average na diameter ng butil ng sorbent dc (µm), madaling makuha ang mga halaga ng theoretical plate equivalent height (HETP), pati na rin ang pinababang theoretical plate equivalent height (PHETP):
HETT = L/ N
PVETT \u003d B3TT / d c .
Ang pagkakaroon ng mga halaga ng NTT, HETP, at PVETP, madaling ihambing ang kahusayan ng mga hanay ng iba't ibang uri, iba't ibang haba, na puno ng mga sorbents ng iba't ibang kalikasan at granulation. Paghahambing ng NTT ng dalawang hanay ng parehong haba, ihambing ang kanilang kahusayan. Kapag inihambing ang HETP, ang mga column ay inihahambing sa mga sorbents ng parehong laki ng butil, na may magkakaibang haba. Sa wakas, ang halaga ng PVETT ay nagbibigay-daan para sa alinmang dalawang column na suriin ang kalidad ng sorbent, una, at ang kalidad ng pagpuno sa mga column, at pangalawa, anuman ang haba ng mga column, graining ng mga sorbent ng kalikasan nito.
Malaki ang papel ng pagpili ng column sa pagkamit ng chromatographic separation.
Ang selectivity ng isang column ay nakasalalay sa napakaraming salik, at ang kakayahan ng experimenter ay natutukoy sa malaking lawak ng kakayahang maimpluwensyahan ang selectivity ng paghihiwalay. Upang gawin ito, ang chromatographer ay may tatlong napakahalagang mga kadahilanan sa kanyang mga kamay: ang pagpili ng kemikal na kalikasan ng sorbent, ang pagpili ng komposisyon ng solvent at ang mga modifier nito, at ang pagsasaalang-alang ng kemikal na istraktura at mga katangian ng mga bahagi upang maghiwalay. Minsan ang isang kapansin-pansing epekto sa selectivity ay ibinibigay ng isang pagbabago sa temperatura ng haligi, na nagbabago sa mga koepisyent ng pamamahagi ng mga sangkap sa pagitan ng mga mobile at nakatigil na mga yugto.
Kapag isinasaalang-alang ang paghihiwalay ng dalawang bahagi sa isang chromatogram at sinusuri ito, ang resolution ay isang mahalagang parameter. Rs, na nag-uugnay sa mga oras ng paglabas at peak width ng magkahiwalay na bahagi
Ang resolusyon bilang isang parameter na nagpapakilala sa paghihiwalay ng mga peak ay tumataas habang tumataas ang selectivity, na sinasalamin ng pagtaas ng numerator, at ang kahusayan, na sinasalamin ng isang pagbawas sa halaga ng denominator dahil sa pagbaba sa lapad ng mga peak, ay tumataas. Samakatuwid, ang mabilis na pag-unlad ng liquid chromatography ay humantong sa isang pagbabago sa konsepto ng "high-pressure liquid chromatography" - ito ay pinalitan ng "high-performance liquid chromatography" (habang ang pinaikling notasyon ng termino sa Ingles ay napanatili HPLC bilang ang pinakatamang katangian ng direksyon ng pag-unlad ng modernong likido chromatography).
Kaya, nababawasan ang column washout at nadaragdagan ang kahusayan kapag mas pino, mas pare-pareho (makitid na hiwa) na sorbent, mas siksik at pantay na nakaimpake sa column, mas manipis na bonded phase, mas malapot na solvent, at pinakamainam na rate ng daloy ang ginagamit.
Gayunpaman, kasama ang pahid ng chromatographic zone band sa panahon ng paghihiwalay sa column, maaari din itong ipahid sa sample injection device, sa injector-column at column-detector connecting capillaries, sa detector cell at sa ilang mga auxiliary device ( microfilters para sa pag-trap ng mga mechanical particle mula sa mga sample na naka-install pagkatapos ng injector, pre-column, reactor-coils, atbp.) - Mas malaki ang blurring, mas malaki ang volume ng extra-column kumpara sa napanatili na volume ng peak. Mahalaga rin kung saan matatagpuan ang dead volume: mas makitid ang chromatographic na tawag, mas malabo ang ibibigay ng dead volume. Samakatuwid, dapat bigyan ng espesyal na pansin ang disenyo ng bahaging iyon ng chromatograph kung saan ang chromatographic zone ang pinakamakitid (ang injector at mga device mula sa injector hanggang sa column) - dito ang out-of-column smearing ay ang pinaka-delikado at nakakaapekto. ang pinaka. Bagama't pinaniniwalaan na sa mga chromatograph na mahusay na idinisenyo, ang mga pinagmumulan ng karagdagang out-of-column smearing ay dapat mabawasan, gayunpaman, ang bawat bagong device, bawat pagbabago ng chromatograph, ay kinakailangang magtapos sa pagsubok sa column at paghahambing ng nakuha na chromatogram sa yung passport. Kung ang peak distortion, isang matalim na pagbaba sa kahusayan, ay sinusunod, ang mga capillary at iba pang mga aparato na bagong ipinakilala sa system ay dapat na maingat na siniyasat.
Ang out-of-column smearing at ang maling paghuhusga nito ay maaaring humantong sa isang makabuluhang (mahigit 50%) pagkawala ng kahusayan, lalo na kapag ang mga medyo lumang chromatograph ay tinangka na gamitin para sa high-speed na HPLC, microcolumn HPLC, at iba pang modernong mga aplikasyon ng HPLC na nangangailangan ng mga microinjector. , pagkonekta ng mga capillary na may panloob na may diameter na 0.05-0.15 mm ng pinakamababang haba, mga haligi na may kapasidad na 10-1000 µl, mga detektor na may microcuvettes na may kapasidad na 0.03-1 µl at may mataas na bilis, high-speed recorder at integrator.
1.2. SOLVENT RETENTION AT LAKAS
Upang ang mga analyte ay ihiwalay sa haligi, tulad ng nabanggit sa itaas, ang kadahilanan ng kapasidad k" dapat na mas malaki kaysa sa 0, ibig sabihin, ang mga sangkap ay dapat mapanatili ng nakatigil na yugto, ang sorbent. Gayunpaman, hindi dapat masyadong malaki ang capacitance factor para makakuha ng katanggap-tanggap na oras ng elution. Kung ang isang nakatigil na yugto ay pinili para sa isang naibigay na pinaghalong mga sangkap, na humahawak sa kanila, kung gayon ang karagdagang gawain sa pagbuo ng isang pamamaraan ng pagsusuri ay binubuo sa pagpili ng isang solvent na magbibigay, sa perpektong kaso, naiiba para sa lahat ng mga sangkap, ngunit katanggap-tanggap na hindi masyadong. malaki k". Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng pagbabago ng eluting strength ng solvent.
Sa kaso ng adsorption chromatography sa silica gel o alumina, bilang panuntunan, ang lakas ng isang dalawang bahagi na solvent (halimbawa, hexane na may pagdaragdag ng isopropanol) ay nadagdagan sa pamamagitan ng pagtaas ng nilalaman ng polar component (isopropanol) sa loob nito , o binabawasan sa pamamagitan ng pagpapababa ng nilalaman ng isopropanol. Kung ang nilalaman ng polar component ay nagiging masyadong mababa (mas mababa sa 0.1%), dapat itong mapalitan ng mas mahinang eluting strength. Ang parehong ay tapos na, pinapalitan ang alinman sa polar o non-polar component sa iba, kahit na ang ibinigay na sistema ay hindi nagbibigay ng nais na selectivity na may paggalang sa mga bahagi ng pinaghalong interes. Kapag pumipili ng mga solvent system, ang parehong mga solubilities ng pinaghalong mga bahagi at ang eluotropic na serye ng mga solvent na pinagsama-sama ng iba't ibang mga may-akda ay isinasaalang-alang.
Humigit-kumulang sa parehong paraan, ang lakas ng solvent ay pinili sa kaso ng paggamit ng mga grafted polar phase (nitrile, amino, diol, nitro, atbp.), Isinasaalang-alang ang posibleng mga reaksiyong kemikal at hindi kasama ang mga solvent na mapanganib para sa phase (halimbawa, , ketones para sa amino phase).
Sa kaso ng reverse phase chromatography, ang lakas ng solvent ay tumataas sa pamamagitan ng pagtaas ng nilalaman ng organic na bahagi (methanol, acetonitrile o THF) sa eluent at binabawasan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mas maraming tubig. Kung ang ninanais na pagpili ay hindi makakamit, ang isa pang organikong sangkap ay ginagamit o ang mga pagtatangka ay ginawa upang baguhin ito sa tulong ng iba't ibang mga additives (mga acid, ion-pair reagents, atbp.).
Sa mga paghihiwalay sa pamamagitan ng ion-exchange chromatography, ang lakas ng solvent ay nababago sa pamamagitan ng pagtaas o pagbaba ng konsentrasyon ng buffer solution o sa pamamagitan ng pagbabago ng pH, sa ilang mga kaso ay ginagamit ang pagbabago sa mga organikong sangkap.
Gayunpaman, lalo na sa kaso ng mga kumplikadong natural at biological na pinaghalong, madalas na hindi posible na piliin ang lakas ng solvent sa paraan na ang lahat ng mga bahagi ng sample ay na-eluted sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras. Pagkatapos ay kinakailangan na gumamit ng gradient elution, ibig sabihin, gumamit ng isang solvent, ang kapangyarihan ng elution na kung saan sa panahon ng pagsusuri ay nagbabago upang patuloy itong tumaas ayon sa isang paunang natukoy na programa. Ang pamamaraan na ito ay ginagawang posible upang makamit ang elution ng lahat ng mga bahagi ng mga kumplikadong mixtures sa isang medyo maikling panahon at ang kanilang paghihiwalay sa mga bahagi sa anyo ng makitid na mga taluktok.
1.3. SIZE, PERMEABILITY AT EFFICIENCY NG SORBENT PARTICLES
Isinasaalang-alang ang paghuhugas ng column, itinuro namin na ang kahusayan ng column (HETP) ay nakasalalay sa laki ng mga partikulo ng sorbent. Sa isang malaking lawak, ang mabilis na pag-unlad ng HPLC sa nakalipas na 10-12 taon ay dahil, una, sa pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga sorbents na may mga laki ng butil mula 3 hanggang 10 μm at may isang makitid na fractional na komposisyon, na nagbibigay ng mataas na kahusayan sa mahusay na pagkamatagusin, at pangalawa, ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagpuno ng mga haligi na may mga sorbents na ito at, pangatlo, ang pagbuo at serial production ng mga likidong chromatograph na may mga bomba na idinisenyo para sa mataas na presyon, injector at detektor na may maliit na volume cuvettes na may kakayahang magrehistro ng maliliit na volume peak.
Para sa well-packed slurry columns, ang theoretical plate equivalent height (REHP) ay maaaring 2 kahit 3, 5, 10, o 20 µm na particle ang ginamit para sa pag-iimpake. Sa kasong ito, makakakuha tayo, ayon sa pagkakabanggit, mga haligi (na may karaniwang haba na 250 mm) na may kahusayan na 41670, 25000, 12500 at 6250 tonelada. Mukhang natural na piliin ang pinaka-epektibong column na may 3 µm na particle. Gayunpaman, ang kahusayan na ito ay dumating sa gastos ng pagpapatakbo sa napakataas na presyon at medyo mabagal na rate ng paghihiwalay, dahil ang magagamit na bomba ay malamang na makakapag-bomba ng solvent sa pamamagitan ng naturang column sa isang mataas na bilis ng espasyo. Narito tayo ay nahaharap sa tanong ng ugnayan sa pagitan ng laki ng butil ng sorbent, ang kahusayan at pagkamatagusin ng mga haligi.
Kung ipahayag natin mula dito ang resistance factor ng column - isang walang sukat na halaga, makukuha natin ang sumusunod na equation:
Ang salik ng paglaban para sa mga column na naka-pack na may mga microparticle ng parehong uri sa pamamagitan ng parehong pamamaraan ay hindi gaanong nagbabago at katumbas ng mga sumusunod na halaga:
Particle View"....Irregular Spherical
anyo ng anyo
Dry packing. . . . . 1000-2000 800-1200
packaging ng suspensyon. . . 700-1500 500-700
Ang presyon ng inlet ng column ay proporsyonal sa linear flow rate, column resistance factor, solvent lagkit at haba ng column at inversely proportional sa square ng particle diameter.
Ang paglalapat ng pag-asa na ito para sa mga haligi sa itaas na may mga particle na may diameter na 3, 5, 10 at 20 μm at ipagpalagay na pare-pareho ang linear flow velocity, column resistance factor at solvent viscosity, nakakakuha kami ng ratio ng inlet pressure na 44:16:4:1 para sa mga hanay ng pantay na haba. Kaya, kung para sa isang reverse-phase sorbent na may laki ng particle na 10 microns kapag gumagamit ng mga solvent system na methanol - . tubig (70:30) ay karaniwang nasa isang karaniwang haligi sa isang solvent na daloy ng rate ng 1 ml / min, ang presyon sa pumapasok sa haligi ay 5 MPa, pagkatapos ay para sa mga particle na 5 microns - 20 MPa at para sa 3 microns - 55 MPa. Kapag gumagamit ng silica gel at isang hindi gaanong malapot na solvent system na hexane - isopropanol (100:2), ang mga halaga ay magiging makabuluhang mas mababa: 1, 4 at 11 MPa, ayon sa pagkakabanggit. Kung sa kaso ng isang reversed-phase sorbent, ang paggamit ng mga particle na may sukat na 3 µm ay napaka-problema, at 5 µm ay posible, ngunit hindi sa lahat ng mga device, kung gayon para sa isang normal-phase sorbent ay walang mga problema sa presyon. Dapat pansinin na ang modernong high-speed na HPLC ay karaniwang gumagamit ng mas mataas na mga rate ng daloy ng solvent kaysa sa halimbawa sa itaas, kaya ang mga kinakailangan sa presyon ay mas tumataas.
Gayunpaman, sa mga kasong iyon kung saan ang paghihiwalay ay nangangailangan ng isang tiyak na bilang ng mga teoretikal na plato at ito ay kanais-nais na magsagawa ng isang pagsusuri sa bilis, ang larawan ay medyo nagbabago. Dahil ang haba ng mga haligi na may sorbents na may laki ng butil na 3, 5, 10 microns, na may pantay na kahusayan, ay magiging 7.5, ayon sa pagkakabanggit; 12.5 at 25 cm, pagkatapos ay ang ratio ng presyon sa pumapasok na haligi ay magbabago sa 3.3:2:1. Alinsunod dito, ang tagal ng pagsusuri sa naturang mga haligi ng pantay na kahusayan ay maiuugnay bilang 0.3:0.5:1, ibig sabihin, kapag lumipat mula 10 hanggang 5 at 3 μm, ang tagal ng pagsusuri ay mababawasan ng 2 at 3.3 beses. Ang mas mabilis na pagsusuri na ito ay dumating sa presyo ng isang proporsyonal na mas mataas na presyon ng pumapasok sa column.
Ang ibinigay na data ay wasto para sa mga kasong iyon kapag ang mga sorbents ng iba't ibang granulation ay may parehong mga curve ng pamamahagi ng laki ng particle, ang mga column ay naka-pack sa parehong paraan at may parehong column resistance factor. Dapat itong isipin na ang kahirapan sa pagkuha ng makitid na mga fraction ng sorbent ay tumataas habang ang laki ng butil ay bumababa at iyon. ang mga fraction mula sa iba't ibang mga tagagawa ay may iba't ibang fractional na komposisyon. Samakatuwid, mag-iiba ang column resistance factor depende sa laki ng butil, uri ng sorbent, paraan ng pag-pack ng column, atbp.
CLASSIFICATION NG HPLC METHODS AYON SA SEPARATION MECHANISM
Karamihan sa mga paghihiwalay na isinagawa ng HPLC ay batay sa isang halo-halong mekanismo ng pakikipag-ugnayan ng mga sangkap na may isang sorbent, na nagsisiguro ng mas malaki o mas kaunting pagpapanatili ng mga bahagi sa haligi. Ang mga mekanismo ng paghihiwalay sa mas marami o hindi gaanong dalisay na anyo ay medyo bihira sa pagsasanay, halimbawa, adsorption kapag ang ganap na anhydrous silica gel at anhydrous hexane ay ginagamit upang paghiwalayin ang mga aromatic hydrocarbon.
Sa pamamagitan ng isang halo-halong mekanismo ng pagpapanatili para sa mga sangkap na may iba't ibang istruktura at timbang ng molekular, posibleng suriin ang kontribusyon ng adsorption, pamamahagi, pagbubukod, at iba pang mga mekanismo sa pagpapanatili. Gayunpaman, para sa isang mas mahusay na pag-unawa at pag-unawa sa mga mekanismo ng paghihiwalay sa HPLC, ipinapayong isaalang-alang ang mga paghihiwalay na may nangingibabaw na isa o iba pang mekanismo na nauugnay sa isang tiyak na uri ng chromatography, halimbawa, ion exchange chromatography.
2.1.1 ADSORPTION CHROMATOGRAPHY
Ang paghihiwalay sa pamamagitan ng adsorption chromatography ay isinasagawa bilang isang resulta ng pakikipag-ugnayan ng isang sangkap sa mga adsorbents, tulad ng silica gel o aluminum oxide, na may mga aktibong sentro sa ibabaw. Ang pagkakaiba sa kakayahang makipag-ugnayan sa mga sentro ng adsorption ng iba't ibang sample molecule ay humahantong sa kanilang paghihiwalay sa mga zone sa proseso ng paglipat kasama ang mobile phase sa pamamagitan ng column. Ang paghihiwalay ng mga bahaging zone na nakamit sa kasong ito ay nakasalalay sa pakikipag-ugnayan sa parehong solvent at adsorbent.
Ang sorption sa ibabaw ng isang adsorbent na may mga hydroxyl group ay batay sa isang partikular na interaksyon sa pagitan ng polar surface ng adsorbent at polar (o polarable) na mga grupo o rehiyon ng mga molekula. Kasama sa gayong mga pakikipag-ugnayan ang pakikipag-ugnayan ng dipole-dipole sa pagitan ng permanenteng o sapilitan na mga dipoles, ang pagbuo ng isang hydrogen bond hanggang sa pagbuo ng mga n-complex o charge-transfer complex. Posible at sa halip madalas sa praktikal na gawain ay ang pagpapakita ng chemisorption, na maaaring humantong sa isang makabuluhang pagtaas sa oras ng pagpapanatili, isang matalim na pagbaba sa kahusayan, ang hitsura ng mga produkto ng agnas o hindi maibabalik na pagsipsip ng sangkap.
Ang adsorption isotherms ng mga substance ay may linear, convex o concave na hugis. Sa isang linear adsorption isotherm, ang rurok ng substance ay simetriko at ang oras ng pagpapanatili ay hindi nakadepende sa laki ng sample. Kadalasan, ang mga isotherm ng adsorption ng mga sangkap ay nonlinear at may convex na hugis, na humahantong sa ilang asymmetry ng peak na may pagbuo ng isang buntot.
Ang mga silica gel adsorbents na may iba't ibang dami ng butas, ibabaw, at diameter ng butas ay nakakahanap ng pinakamahusay na aplikasyon sa HPLC. Ang aluminyo oxide ay hindi gaanong ginagamit at, napakabihirang, iba pang mga adsorbents na malawakang ginagamit sa klasikal na column at thin layer chromatography. Ang pangunahing dahilan para dito ay ang hindi sapat na mekanikal na lakas ng karamihan sa iba pang mga adsorbents, na hindi pinapayagan ang mga ito na ma-package at magamit sa mataas na presyon na tipikal para sa mga high pressure na likido.
Ang mga polar group na responsable para sa adsorption at matatagpuan sa ibabaw ng silica gel at aluminum oxide ay magkatulad sa mga katangian. Samakatuwid, kadalasan ang pagkakasunud-sunod ng elution ng mga mixtures ng mga substance at ang eluotropic series ng solvents ay pareho para sa kanila. Gayunpaman, ang pagkakaiba sa kemikal na istraktura ng silica gel at aluminum oxide kung minsan ay humahantong sa mga pagkakaiba sa pagpili - pagkatapos ay ibinibigay ang kagustuhan sa isa o ibang adsorbent na mas angkop para sa partikular na gawaing ito. Halimbawa, ang alumina ay nagbibigay ng higit na pagpili sa paghihiwalay ng ilang polycyclic aromatic hydrocarbons.
Ang kagustuhan na karaniwang ibinibigay sa silica gel kaysa alumina ay dahil sa mas malawak na pagpili ng mga silica gel sa mga tuntunin ng porosity, ibabaw, at diameter ng butas, pati na rin ang makabuluhang mas mataas na catalytic na aktibidad ng alumina, na kadalasang humahantong sa pagbaluktot ng mga resulta ng pagsusuri. dahil sa pagkabulok ng mga sample na bahagi o ang kanilang hindi maibabalik na chemisorption. .
2.1.2 Mga disadvantages ng adsorption chromatography na naglilimita sa paggamit nito
Ang katanyagan ng adsorption chromatography ay unti-unting bumaba habang ang pamamaraan ng HPLC ay nabuo, ito ay lalong pinapalitan at patuloy na pinapalitan ng iba pang mga opsyon, tulad ng reversed-phase at normal-phase na HPLC sa bonded phase sorbents. Anong mga disadvantages ng adsorption chromatography ang humantong dito?
Una sa lahat, ito ay ang mahabang tagal ng mga proseso ng pagbabalanse ng mga adsorbents na may mga solvent na naglalaman ng tubig sa mga bakas na halaga, ang kahirapan sa paghahanda ng mga naturang solvent na may tiyak at maaaring kopyahin na nilalaman ng kahalumigmigan. Nagreresulta ito sa hindi magandang reproducibility ng retention, resolution, at selectivity na mga parameter. Para sa parehong dahilan, imposibleng gumamit ng gradient elution - ang pagbabalik sa paunang estado ay napakatagal na ito ay makabuluhang lumampas sa nakuha sa oras dahil sa paggamit ng isang gradient.
Ang mga makabuluhang disadvantages ng mga adsorbents, lalo na ang aluminum oxide, na nauugnay sa madalas na muling pagsasaayos ng mga compound na sensitibo sa catalysis, ang kanilang pagkabulok, hindi maibabalik na sorption, ay kilala rin at paulit-ulit na nabanggit sa panitikan. Ang mga hindi maibabalik na adsorbing na mga sangkap, na naipon sa paunang seksyon ng haligi, ay nagbabago sa likas na katangian ng sorbent, ay maaaring humantong sa isang pagtaas sa paglaban ng haligi o maging sa kumpletong pagbara nito. Ang huling sagabal ay maaaring alisin sa pamamagitan ng paggamit ng isang pre-column, na sa- habang tumataas ang resistensya at pagbabara, pinapalitan ito ng bago * o nire-refill ng bagong sorbent. Gayunpaman, ang hindi maibabalik na sorption, na nagaganap din sa kasong ito, ay humahantong sa isang chromatogram kung saan ang mga sample na bahagi na sensitibo sa sorption o catalytic decomposition ay ganap o bahagyang wala.
2.2. DISTRIBUTION CHROMATOGRAPHY
Ang partition chromatography ay isang variant ng HPLC kung saan ang paghihiwalay ng isang timpla sa mga bahagi ay isinasagawa dahil sa pagkakaiba sa kanilang mga koepisyent ng pamamahagi sa pagitan ng dalawang hindi mapaghalo na mga phase: isang solvent (mobile phase) at isang phase sa isang sorbent (stationary phase). Sa kasaysayan, ang una ay mga sorbents ng ganitong uri, na nakuha sa pamamagitan ng paglalapat ng mga liquid phase (oxydipropionitrile, paraffin oil, atbp.) sa mga porous carrier, katulad ng kung paano inihanda at inihahanda ang mga sorbents para sa gas-liquid chromatography (GLC). Gayunpaman, ang mga pagkukulang ng naturang mga sorbents ay agad na ipinahayag, ang pangunahing kung saan ay ang medyo mabilis na paghuhugas ng bahagi mula sa suporta. Dahil dito, unti-unting bumababa ang dami ng phase sa column, bumaba rin ang mga oras ng retention, at ang mga adsorption center na hindi sakop ng phase ay lumitaw sa unang seksyon ng column, na naging sanhi ng pagbuo ng mga peak tails. Ang disbentaha na ito ay napagtagumpayan sa pamamagitan ng saturating ang solvent sa suportadong bahagi bago pa man ito pumasok sa column. Nabawasan din ang carryover kapag ginamit ang mas malapot at hindi gaanong natutunaw na mga yugto ng polimer, gayunpaman, sa kasong ito, dahil sa kahirapan ng pagsasabog mula sa mga makapal na polimer na pelikula, ang kahusayan ng mga haligi ay kapansin-pansing nabawasan.
Ito ay naging lohikal na i-graft ang likidong bahagi sa carrier sa pamamagitan ng mga kemikal na bono sa paraang ang entrainment nito ay magiging pisikal na imposible, ibig sabihin, upang i-on ang carrier at ang bahagi sa isang solong kabuuan - sa tinatawag na grafted-phase sorbent.
Sa hinaharap, ang mga pagsisikap ng mga mananaliksik ay nakadirekta sa paghahanap ng mga reagents, ang paghugpong kung saan ay magpapatuloy nang mabilis at ganap, at ang mga bono na nabuo ay matatag hangga't maaari. Ang mga reagents na ito ay mga alkylchlorosilanes at ang kanilang mga derivatives, na naging posible upang makakuha ng graft-phase sorbents ng iba't ibang uri at may iba't ibang polar at non-polar group sa ibabaw gamit ang isang katulad na teknolohiya.
Ang matagumpay na paggamit ng huling uri ng sorbents para sa HPLC ay nag-ambag sa paglago ng kanilang produksyon ng iba't ibang mga tagagawa. Ang bawat kumpanya ay gumawa ng naturang mga sorbents, bilang panuntunan, batay sa sarili nitong uri ng silica gel at ayon sa sarili nitong teknolohiya, na kadalasang bumubuo sa "kaalaman" ng produksyon. Bilang resulta, ang isang malaking bilang ng mga sorbents na may kemikal na tinatawag na eksaktong pareho (halimbawa, silica gel na may grafted octadecylsilane) ay may ibang kakaibang katangian ng chromatographic. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang silica gel ay maaaring magkaroon ng mga pores na mas malawak o mas makitid, iba't ibang ibabaw, porosity, ang ibabaw nito bago ang paghugpong ay maaaring hydroxylated o hindi, mono-, di- o trichlorosilanes ay maaaring grafted, grafting kondisyon ay maaaring magbigay ng monomeric, polymeric o mixed phase layer, iba't ibang paraan ng pag-alis ng mga natitirang reagents ang ginagamit, ang karagdagang pag-deactivate ng silanol at iba pang aktibong grupo ay maaaring gamitin o hindi.
Ang pagiging kumplikado ng teknolohiya para sa paghugpong ng mga reagents at paghahanda ng mga hilaw na materyales at materyales, ang multi-stage na kalikasan nito ay humahantong sa katotohanan na kahit na ang mga batch ng sorbents na nakuha gamit ang parehong teknolohiya mula sa parehong tagagawa ay maaaring magkaroon ng bahagyang magkakaibang mga katangian ng chromatographic. Ito ay totoo lalo na kapag ang mga naturang sorbents ay ginagamit para sa pagsusuri ng mga multicomponent mixtures na naglalaman ng mga sangkap na kapansin-pansing naiiba sa bilang at posisyon ng mga functional na grupo at sa uri ng pag-andar.
Sa pagtingin sa itaas, dapat palaging magsikap ang isang tao upang matiyak * na kapag ginagamit ang pamamaraan ng pagsusuri na inilarawan sa panitikan, ang parehong sorbent at parehong mga kondisyon ng operating ay ginagamit. Sa kasong ito, ang posibilidad na ang gawa ay hindi maaaring kopyahin ay minimal. Kung ito ay hindi posible, at ang isang sorbent mula sa ibang kumpanya na may katulad na bonded phase ay kinuha, ang isa ay dapat maging handa para sa katotohanan na ang mahabang trabaho ay kinakailangan upang muling gawin ang pamamaraan. Kasabay nito, mayroong isang posibilidad (at dapat itong isaalang-alang) na ang kinakailangang paghihiwalay ay maaaring hindi makamit sa sorbent na ito kahit na pagkatapos ng mahabang pag-unlad. Ang pagkakaroon sa panitikan ng maraming inilarawan na mga pamamaraan ng paghihiwalay sa mga matagal nang ginawa na lumang sorbents ay nagpapasigla sa kanilang karagdagang produksyon at paggamit para sa kadahilanang ito. Gayunpaman, sa mga kasong iyon kung kinakailangan upang magpatuloy sa pagbuo ng mga orihinal na pamamaraan, lalo na may kaugnayan sa mga sangkap na madaling kapitan ng pagkabulok, chemisorption, at muling pagsasaayos, ipinapayong magsimulang magtrabaho sa mga sorbents na binuo kamakailan at ginawa ng bago. , pinahusay na mga bersyon ng teknolohiya. Ang mga bagong sorbents ay may mas pare-parehong fractional na komposisyon, isang mas pare-pareho at kumpletong saklaw ng ibabaw sa pamamagitan ng bonded phase, at mas advanced na huling yugto ng pagpoproseso ng sorbent.
2.3. ION EXCHANGE CHROMATOGRAPHY
Sa ion-exchange chromatography, ang paghihiwalay ng mga bahagi ng pinaghalong ay nakakamit dahil sa nababaligtad na pakikipag-ugnayan ng mga ionizable na sangkap sa mga ionic na grupo ng sorbent. Ang pagpapanatili ng elektrikal na neutralidad ng sorbent ay sinisiguro ng pagkakaroon ng mga counterion na may kakayahang ion exchange na matatagpuan malapit sa ibabaw. Ang ion ng ipinakilalang sample, na nakikipag-ugnayan sa nakapirming singil ng sorbent, ay ipinagpapalit sa counterion. Ang mga substance na may iba't ibang affinity para sa mga nakapirming singil ay pinaghihiwalay sa mga anion exchanger o sa cation exchanger. Ang mga anion exchanger ay may positibong charge na mga grupo sa surface at sorb anion mula sa mobile phase. Cation exchangers, ayon sa pagkakabanggit, ay naglalaman ng mga pangkat na may -negative charge na nakikipag-ugnayan sa mga cation .
Ang mga may tubig na solusyon ng mga asin ng mga acid, base at solvents tulad ng likidong ammonia ay ginagamit bilang mobile phase, ibig sabihin, mga solvent system na may mataas na dielectric constant e at mataas na tendensyang mag-ionize ng mga compound. Karaniwang gumagana ang mga ito sa mga buffer solution na nagbibigay-daan sa iyong ayusin ang halaga ng pH.
Sa panahon ng chromatographic separation, ang mga ion ng analyte ay nakikipagkumpitensya sa mga ion na nakapaloob sa eluent, na naglalayong makipag-ugnayan sa magkasalungat na sinisingil na mga grupo ng sorbent. Ito ay sumusunod na ang ion exchange chromatography ay maaaring gamitin upang paghiwalayin ang anumang mga compound na maaaring ionized sa anumang paraan. Posibleng pag-aralan ang kahit na neutral na mga molekula ng asukal sa anyo ng kanilang mga complex na may borate ion:
Sugar + IN 3 2 - \u003d Sugar - IN 3 2 -.
Ion-exchange chromatography ay kailangang-kailangan para sa paghihiwalay ng mga highly polar substance, na hindi masusuri ng GLC nang walang conversion sa derivatives. Kasama sa mga compound na ito ang mga amino acid, peptides, asukal.
Ang Ion-exchange chromatography ay malawakang ginagamit sa medisina, biology, biochemistry, para sa kontrol sa kapaligiran, sa pagsusuri ng nilalaman ng mga gamot at kanilang mga metabolite sa dugo at ihi, mga pestisidyo sa mga hilaw na materyales ng pagkain, pati na rin para sa paghihiwalay ng mga inorganikong compound, kabilang ang mga radioisotopes, lanthanides, actinides, atbp. Ang pagsusuri ng mga biopolymer (protina, nucleic acid, atbp.), na karaniwang tumatagal ng mga oras o araw, gamit ang ion exchange chromatography ay isinasagawa sa loob ng 20-40 minuto na may mas mahusay na paghihiwalay. Ang paggamit ng ion-exchange chromatography sa biology ay naging posible upang obserbahan ang mga sample nang direkta sa biological media, na binabawasan ang posibilidad ng muling pagsasaayos o isomerization, na maaaring humantong sa maling interpretasyon ng huling resulta. Ito ay kagiliw-giliw na gamitin ang paraang ito upang makontrol ang mga pagbabago sa mga biological fluid. Ang paggamit ng mga porous na silica-gel na nakabatay sa mahinang anion exchanger ay naging posible upang paghiwalayin ang mga peptide. V
Ang mekanismo ng palitan ng ion ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod na equation:
para sa pagpapalitan ng anion
X-+R+Y- h ->■ Y-+R+X-.
para sa cation exchange |
X+ + R-Y+ h=* Y++R-X+.
Sa unang kaso, ang sample na ion X~ ay nakikipagkumpitensya sa mobile phase ion Y~ para sa mga ionic center R+ ng ion exchanger, at sa pangalawang kaso, ang mga cation ng sample X+ ay nakikipagkumpitensya sa mga mobile phase ions na Y+ para sa ionic. mga sentro R~.
Naturally, ang mga sample na ion na mahinang nakikipag-ugnayan sa exchanger ng ion ay mahinang mananatili sa column sa panahon ng kumpetisyon na ito at ang mga unang mahuhugasan mula dito, at, sa kabaligtaran, ang mas malakas na napanatili na mga ion ang huling mag-elute mula sa column. Kadalasan, nangyayari ang mga pakikipag-ugnayan ng BTqpH4Hbie na may likas na nonionic dahil sa adsorption o hydrogen bonding ng sample sa nonionic na bahagi ng matrix o dahil sa limitadong solubility ng sample sa mobile phase. Mahirap tukuyin ang "klasikal" na chromatography ng pagpapalitan ng ion sa "dalisay" nitong anyo, at samakatuwid ang ilang mga chromatographer ay nagpapatuloy mula sa empirical kaysa sa mga teoretikal na pattern sa chromatography ng pagpapalitan ng ion.
Ang paghihiwalay ng mga partikular na sangkap ay pangunahing nakasalalay sa pagpili ng pinaka-angkop na sorbent at mobile phase. Bilang mga nakatigil na yugto sa chromatography ng pagpapalitan ng ion, ginagamit ang mga resin ng pagpapalitan ng ion at mga silica gel na may mga grafted na ionogenic na grupo.
2.4. SIZE CHROMATOGRAPHY
Ang sclusion chromatography ay isang opsyon! liquid chromatography, kung saan nangyayari ang paghihiwalay dahil sa pamamahagi ng mga molekula sa pagitan ng solvent sa loob ng mga pores ng sorbent at ng solvent na dumadaloy. " sa pagitan ng mga particle nito.
Hindi tulad ng iba pang mga pagpipilian sa HPLC, kung saan ang paghihiwalay pupunta dahil sa magkakaibang pakikipag-ugnayan ng mga sangkap sa ibabaw ng sorbent, ang papel ng solid filler sa laki ng pagbubukod ng chromatography ay binubuo lamang sa pagbuo ng mga pores ng isang tiyak na laki, at ang nakatigil na yugto ay ang solvent na pumupuno sa mga pores na ito. Samakatuwid, ang paggamit ng terminong "sorbent" sa mga filler na ito ay medyo may kondisyon.
Ang pangunahing tampok ng pamamaraan ay ang posibilidad ng paghihiwalay ng mga molekula ayon sa kanilang laki sa solusyon sa hanay ng halos anumang molekular na timbang - mula 102 hanggang 108, na ginagawang kailangang-kailangan para sa pag-aaral ng synthetic at biopolymers.
Ayon sa kaugalian, ang proseso na isinasagawa sa mga organikong solvent ay madalas pa ring tinutukoy bilang gel permeation chromatography, at sa aqueous system, gel filtration chromatography. Sa aklat na ito, para sa parehong mga opsyon, isang termino ang pinagtibay, na nagmula sa Ingles na "Pagbubukod ng Sukat" - isang pagbubukod ayon sa laki - at pinaka-ganap na sumasalamin sa mekanismo ng proseso.
Ang isang detalyadong pagsusuri ng mga umiiral na ideya tungkol sa isang napakakomplikadong teorya ng proseso ng chromatography ng pagbubukod ng laki ay isinasagawa sa mga monograp.
Kabuuang dami ng solvent sa column Vt (ito ay madalas na tinutukoy bilang ang kabuuang dami ng column, dahil Vd ay hindi nakikibahagi sa proseso ng chromatographic) ay ang kabuuan ng mga volume ng mobile at stationary phase.
Ang pagpapanatili ng mga molekula sa isang occlusive na haligi ay tinutukoy ng posibilidad ng kanilang pagsasabog sa mga pores at depende sa ratio ng mga laki ng mga molekula at pores, na kung saan ay ipinapakita sa eskematiko sa Fig. 2.15. Koepisyent ng pamamahagi Ka, tulad ng sa iba pang mga variant ng chromatography, ito ay ang ratio ng mga konsentrasyon ng isang sangkap sa mga nakatigil at mobile na yugto.
Dahil ang mobile at stationary phase ay may parehong komposisyon, kung gayon kd sangkap, kung saan ang parehong mga yugto ay pantay na naa-access, ay katumbas ng pagkakaisa. Ang sitwasyong ito ay natanto para sa mga molekula ng C na may pinakamaliit na sukat (kabilang ang mga solvent na molekula), na tumagos sa lahat ng mga pores (tingnan ang Fig. 2.15) at samakatuwid ay gumagalaw sa hanay nang pinakamabagal. Ang kanilang napanatili na dami ay katumbas ng kabuuang dami ng solvent Vt-
kanin. 2.15. Modelo ng paghihiwalay ng mga molekula ayon sa sukat sa laki ng pagbubukod ng chromatography
Ang lahat ng mga molekula na mas malaki kaysa sa laki ng butas ng sorbent ay hindi makapasok sa kanila (kumpletong pagbubukod) at dumaan sa mga channel sa pagitan ng mga particle. Nag-elute sila mula sa column na may parehong volume ng retention na katumbas ng volume ng mobile phase V 0 - Ang partition coefficient para sa mga molecule na ito ay zero.
Ang mga molekula ng intermediate na laki, na may kakayahang tumagos lamang sa ilan sa mga pores, ay pinananatili sa haligi ayon sa kanilang laki. Ang koepisyent ng pamamahagi ng mga molekulang ito ay nag-iiba mula sa zero hanggang isa at nailalarawan ang bahagi ng dami ng pore na magagamit para sa mga molekula ng isang partikular na laki. Ang kanilang napanatili na volume ay tinutukoy ng kabuuan ng Y o at ang naa-access na bahagi ng pore volume.
KUALITATIVE ANALYSIS
Ang isang chromatographer na nagsisimulang magtrabaho sa larangan ng high performance na liquid chromatography ay dapat na pamilyar sa mga pangunahing kaalaman sa pagsusuri ng husay. Ginagamit ang qualitative analysis upang tukuyin ang isang kilalang produkto na nakuha sa isang bagong paraan o halo-halong sa iba pang mga produkto. ang ilang mga produktong kemikal na panggamot at ang kanilang mga metabolite sa bioml.terials... "Ang pagiging pamilyar sa mga pangunahing kaalaman sa qualitative" na pagsusuri ay makakatulong upang maiwasan ang mga karaniwang pagkakamali, halimbawa / tukuyin ang mga impurities sa isang sample mula sa mga impurities sa isang solvent o suriin ang kadalisayan ng isang substance sa higit sa isang wavelength spectrophotometer, ngunit sa iba't ibang mga, atbp.
Bago magpatuloy sa pagsusuri, kinakailangan upang maitatag kung ang buong sample ay na-eluted mula sa column ng solvent system na ito o hindi. Upang matiyak ang kumpletong elution, kinakailangan upang kolektahin ang lahat ng likido na dumadaloy mula sa haligi, i-evaporate ang solvent, timbangin ang nalalabi at hanapin ang sample recovery.
Ang pagkilala sa mga bahagi sa HPLC ay maaaring gawin sa tatlong paraan: 1) paggamit ng impormasyon sa pagpapanatili; 2) imbestigahan ang mga zone na nakuha sa pamamagitan ng paghihiwalay sa isang likidong chromatograph column gamit ang spectral o chemical analysis method; 3) direktang ikonekta ang spectrum analyzer sa column.
Ang dami ng pagpapanatili ay ginagamit upang irehistro ang mga taluktok sa chromatography V R o may hawak na oras t R. Ang parehong mga halaga ay isang katangian ng isang sangkap sa isang ibinigay na chromatographic system. Dahil ang oras ng pagpapanatili ng substance na ihihiwalay ay binubuo ng oras ng pakikipag-ugnayan sa column at ang oras ng pagpasa sa mga walang laman na seksyon ng tubo, nag-iiba ito sa bawat instrumento. Maginhawang magkaroon ng isang sangkap na hindi pinanatili ng hanay na ito, na isinasaalang-alang ito bilang isang pamantayan, ang oras ng pagpapanatili at dami nito t 0 , V o. Ang Chromatography ng substance at standard ay dapat isagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon (pressure at flow rate). Sa pagkakakilanlan sa pamamagitan ng data ng pagpapanatili, ang mga kilalang indibidwal na sangkap na maaaring naroroon sa mga sample ay pinaghihiwalay sa parehong chromatographic system, at ang mga halaga ay nakuha para sa kanila. t R. Paghahambing ng mga halagang ito t R sa oras ng pagpapanatili ng hindi kilalang peak, maaaring makita ng isa na sila ay nag-tutugma, kung saan ang mga peak ay malamang na tumutugma sa parehong sangkap, o t R hindi tumutugma ang kilalang sangkap t R hindi kilalang zone. Pagkatapos ay posible pa ring tantiyahin ang mga halaga t R hindi magagamit ang mga sangkap para sa direktang pagsukat ng kanilang pagpapanatili. Isaalang-alang natin ang parehong mga pagpipilian.
Sa unang kaso, malinaw naman, ang isang paunang pag-aaral ng sample ay kinakailangan upang i-postulate ang pagkakaroon ng mga partikular na sangkap dito. Kapag nagtatrabaho sa mga simpleng mixture, madaling matukoy kung ang antas ng pagpapanatili ng mga zone ng sample at mga kilalang sangkap ay nag-tutugma o hindi, ibig sabihin, ang mga halaga t B ay pareho o magkaiba. Sa kaso ng mga kumplikadong pinaghalong, maraming mga sangkap ang maaaring ma-eluted na may magkatulad na mga halaga nang sabay-sabay. t R, at ang mga zone na aktwal na nakuha sa pamamagitan ng chromatographic separation ay magkakapatong. Bilang resulta, ang pagkuha ng mga tumpak na halaga t R para sa iba't ibang mga zone ay nagiging imposible. Ang pagiging maaasahan ng pagkakakilanlan ay tumataas sa pagtaas ng resolusyon, mas maingat na kontrol sa mga kondisyon ng paghihiwalay, paulit-ulit na pagsukat ng mga halaga t R at pag-average ng mga nahanap na halaga. Sa kasong ito, ang chromatographic separation ng kilala at hindi kilalang mga substance ay dapat na kahalili. Kapag naghihiwalay ng mga kumplikadong mixtures, ang halaga t R maaaring magbago ang mga sangkap sa ilalim ng impluwensya ng matrix ng sample mismo. Ang ganitong epekto ay posible sa simula ng chromatogram at kapag ang mga taluktok ay nagsasapawan; Posible rin ang paghigpit ng zone, gaya ng nabanggit na.
Sa ganitong mga kaso, ang pamantayan ay dapat idagdag sa sample sa isang ratio na 1: 1. Kung ang mga sangkap ay magkapareho, ang halaga t R ang panimulang materyal ay hindi nagbabago, at isang peak lamang ang nakuha sa chromatogram. Kung mayroong isang aparato na may isang cyclic chromatography system, pagkatapos ay para sa pagiging maaasahan ng pagkakakilanlan ito ay kanais-nais na ipasa ang halo sa pamamagitan ng haligi ng maraming beses.
Ang impormasyon sa antas ng pagpapanatili ay matatagpuan din sa panitikan, ngunit ang halaga ng impormasyong ito ay limitado. Dahil ang mga column ng kahit isang batch ay nagbibigay ng hindi magandang reproducibility, ang mga pampanitikang halaga ay hindi palaging tumutugma sa tunay na halaga. t R sa column na ito. Para sa adsorption chromatography, gayunpaman, posibleng hulaan t R batay sa datos ng panitikan. Isa pang kahirapan na nauugnay sa paggamit ng mga kahulugang pampanitikan t R, - ang kahirapan sa paghahanap ng mga ito sa espesyal na literatura, kahit na ang mga pagsusuri sa bibliograpiko na inilathala sa Journal of Chromatography ay may na-update na index ng mga uri ng mga sangkap.
Sa pangalawang kaso, kapag hindi tumugma ang mga oras ng pagpapanatili ng mga kilalang compound at sample zone, posibleng hulaan ang oras ng pagpapanatili ng hindi kilalang bahagi. Ang mga hula sa kaugnay na pagpapanatili batay sa data ng istraktura sa 3D chromatography ay lubos na maaasahan. Ang mga ito ay hindi gaanong tumpak sa adsorption, partition chromatography, at lalo na kapag nagtatrabaho sa isang chemically bound phase. Para sa ion at ion-pair chromatography ng mga substance na may alam na p Ka mga tinatayang halaga lamang ang posible tR. Palaging mas madaling hulaan ang kaugnay na pagpapanatili o *x na halaga kaysa sa mga ganap na halaga. k". Mga kamag-anak na halaga t R mas madaling suriin para sa mga nauugnay na compound o derivatives, tulad ng mga substituted alkyl carboxylic acid o benzene derivatives.
Sa isocratic separation ng mga homologue o oligomer, ang sumusunod na pattern ay minsan sinusunod:
\ gk" = A + bn,
saan PERO at AT- mga constant para sa isang bilang ng mga napiling sample at para sa isang ibinigay na chromatographic system (sa parehong column, na may parehong mobile at stationary phase); P ay ang bilang ng magkaparehong mga yunit ng istruktura sa sample na molekula.
Ang pagpapakilala ng functional group / sa sample na molekula ay hahantong sa isang pagbabago k" sa unang equation sa pamamagitan ng ilang constant coefficient a/ sa ibinigay na chromatographic system. Posibleng makakuha ng mga constant ng grupo a/ para sa iba't ibang mga substituent na grupo /, ang mga halaga nito ay tataas sa pagtaas ng polarity ng mga functional na grupo sa lahat ng uri ng chromatography, maliban sa reverse phase, kung saan bababa ang mga halaga ng mga constants. na may pagtaas ng polarity.
Ang ilang mga constant ng grupo a/ para sa iba't ibang mga substituent na grupo / ay ibinibigay sa talahanayan. 9.1.
Sa adsorption chromatography, ang unang equation ay hindi palaging naaangkop, dahil valid ito kung ang lahat ng isomer ay may parehong halaga. k", na hindi laging nasusunod. Posible, gayunpaman, na mag-plot ng lgfe" ng parehong mga compound sa isang column laban sa lgfe" ng parehong mga compound sa ibang column, o laban sa mga kaukulang katangian sa thin layer chromatography, halimbawa, lg[(l- RF) IRf].
Kapag inihambing ang data ng pagpapanatili, maaari mong gamitin ang mga halaga ng capacitance factor k", since on it, unlike t R hindi makakaapekto sa bilis ng mobile phase at ang mga geometric na feature ng column.
Ang paghihiwalay sa isang chemically bonded phase ay katulad ng separation sa pamamagitan ng partition chromatography na may katulad na mga phase, at samakatuwid ang extraction data sa equilibrium ay maaaring gamitin upang mahulaan ang oras ng pagpapanatili.
Sa ion exchange chromatography, ang retention ay apektado ng tatlong salik: ang antas ng ionization ng mga acid at base, ang singil ng ionized molecule, at ang kakayahan ng isang substance mula sa aqueous mobile phase na ginagamit sa ion exchange chromatography na lumipat sa organic phase . Ang huli ay nakasalalay sa molecular weight ng compound at ang hydrophobicity nito. Samakatuwid, ang mas malakas na mga acid o base ay mas malakas na nananatili sa isang anion exchange o cation exchange separation. Na may pagbaba RK a ng isang indibidwal na acid na kasama sa sample, ang pagpapanatili ay tumataas sa panahon ng paghihiwalay ng isang bilang ng mga acid dahil sa anion exchange, at sa isang pagtaas sa p / C o, ang pagpapanatili ng mga base ay tumataas sa panahon ng kanilang paghihiwalay dahil sa cation exchange.
Kaya, ang pagkakaisa ng mga halaga ng oras ng pagpapanatili ng isang kilalang sangkap sa naobserbahang isa ay ginagawang posible na ipagpalagay ang kanilang pagkakakilanlan. Ang pagiging maaasahan ng pagkakakilanlan ay tumataas kung ang mga chromatogram ng isang kilalang sangkap at isang hindi kilalang sangkap ay inihambing sa ilalim ng magkaibang mga kundisyon. Kung ang mga sangkap sa adsorption at reversed-phase o ion-exchange at size-exclusion chromatography ay kumikilos sa parehong paraan, ang pagiging maaasahan ng pagkakakilanlan ay tataas. Kung ang pagiging maaasahan ng pagkakakilanlan na may pantay na kamag-anak na pagpapanatili ay 90%, kung gayon kapag pinag-aaralan ang pag-uugali ng parehong mga sangkap sa ilalim ng mga kondisyon na makabuluhang naiiba, ang pagiging maaasahan ng pagkakakilanlan ay 99%.
Ang isang mahalagang katangian ng isang substance na ginagamit sa pagkilala ay ang ratio ng mga signal na nakuha para sa isang partikular na substance sa dalawang magkaibang detector. Pagkatapos umalis sa hanay, ang analyte ay dumaan muna sa unang detektor, pagkatapos ay sa pangalawa, at ang mga senyas na nagmumula sa mga detektor ay naitala nang sabay-sabay gamit ang isang multi-pen recorder o sa dalawang recorder. Karaniwan, ginagamit ang isang serial connection ng isang ultraviolet detector (mas sensitibo, ngunit pumipili) na may refractometer, o isang ultraviolet na may fluorescence detector, o dalawang ultraviolet detector na gumagana sa magkaibang wavelength. Ang kamag-anak na tugon, i.e. ang ratio ng signal ng refractometer sa signal ng photometer, ay isang katangian ng sangkap, sa kondisyon na ang parehong mga detektor ay gumagana sa kanilang linear range; ito ay nabe-verify sa pamamagitan ng paglalagay ng iba't ibang dami ng parehong substance. Maaaring makuha ang qualitative na impormasyon sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga photometric detector na nilagyan ng stop flow device at nagbibigay-daan sa iyong itala ang spectrum ng peak na umaalis sa column habang ito ay nasa flow cell, na inihahambing ito sa spectrum ng isang kilalang compound.
Ang malaking interes sa pagkakakilanlan ay moderno, ngunit mahal, spectrophotometers na may isang diode array.
Ang isang ganap na hindi kilalang substance ay hindi makikilala sa pamamagitan lamang ng high performance na liquid chromatography, at kailangan ng iba pang mga pamamaraan.
QUANTITATIVE ANALYSIS
Ang quantitative liquid chromatography ay isang mahusay na binuong pamamaraan ng analytical na hindi mababa sa katumpakan sa quantitative gas chromatography at makabuluhang lumampas sa katumpakan ng TLC o electrophoresis. Sa kasamaang palad, walang detector sa HPLC na magkakaroon ng katulad na sensitivity para sa mga compound ng iba't ibang istruktura ng kemikal ( tulad ng isang katharometer sa Samakatuwid, ang pagkakalibrate ng instrumento ay kinakailangan upang makakuha ng mga resulta ng dami.
Ang quantitative analysis ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang: 1) chromatographic separation; 2) pagsukat ng mga peak area o taas; 3) pagkalkula ng dami ng komposisyon ng pinaghalong batay sa chromatographic data; 4) interpretasyon ng mga nakuhang resulta, ibig sabihin, pagpoproseso ng istatistika. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga yugtong ito.
4.1. CHROMATOGRAPHIC SEPARATION
Maaaring gumawa ng mga error sa panahon ng sampling. Ito ay partikular na mahalaga upang maiwasan ang pagkakamali at kumuha ng sapat na kinatawan na sample ng mga heterogenous na solidong sample, lubhang pabagu-bago o hindi matatag na mga sangkap, at mga produktong pang-agrikultura at biomaterial. Ang mga hindi magkakatulad na sample, tulad ng mga pagkain, ay lubusang pinaghalo at pinaghiwa-hiwalay. Ang pagsasagawa ng operasyong ito nang paulit-ulit, ang homogeneity ng sample ay nakakamit.
Ang mga pagkakamali at pagkawala ng mga sangkap ay maaaring pahintulutan sa yugto ng pagkuha, paghihiwalay, paglilinis, atbp.
Ang mga sample ay dapat na ganap na matunaw at ang kanilang mga solusyon ay inihanda na may katumpakan na ±0.1%. Ito ay kanais-nais na matunaw ang sample sa mobile phase, na magbubukod sa posibilidad ng pag-ulan nito pagkatapos ng pagpapakilala sa chromatograph. Kung hindi posible ang dissolution sa mobile phase, dapat gumamit ng solvent na nahahalo dito at dapat iturok ang sample volume (mas mababa sa 25 µl) sa chromatograph.
Maaaring mangyari ang mga makabuluhang error sa panahon ng sample na iniksyon dahil sa fractionation, leakage, at peak smearing. Ang pahid ng mga taluktok ay nagiging sanhi ng pagbuo ng mga buntot, na humahantong sa bahagyang pag-overlay ng mga taluktok at, bilang resulta, sa mga pagkakamali sa pagtuklas. Ang mga loop valve device ay mas gusto kaysa sa mga syringe para sa sample na iniksyon sa dami dahil sa mas mataas na katumpakan at mas kaunting dependency ng operator.
Sa chromatographic separation ng mga substance, maaari ding lumitaw ang mga komplikasyon na humantong sa pagbaluktot ng data: quantitative analysis. Posibleng agnas o pagbabago ng sample sa panahon ng proseso ng chromatographic o hindi maibabalik na adsorption ng substance sa column na ito. Mahalagang tiyakin na ang mga hindi kanais-nais na phenomena na ito ay hindi umiiral at, kung kinakailangan, muling buuin ang column o palitan ito. Ang peak overlap at tailing ay maaari ding bawasan sa pamamagitan ng pagbabago sa mga kondisyon ng chromatography.
Mga taluktok na mali o malabo ang hugis, o mga taluktok na ang oras ng paglabas ay malapit na sa, dahil maaaring walang sapat na paghihiwalay. Karaniwan, ang mga taluktok na may halaga na d" > 0.5 ay ginagamit. Ang pinakamataas na kahusayan ng column ay nakakamit sa pagpapakilala ng 10~5 -10~6 g ng solute bawat 1 g ng sorbent. Kapag nagpapakilala ng malalaking halaga ng sample, ang pag-asa ng ang peak height sa load ay maaaring lumabas na non-linear at kailangan ng quantitative assessment sa peak area.
Ang mga error na nauugnay sa detection o amplification ay humantong sa isang makabuluhang pagbaluktot ng mga resulta ng chromatographic separation. Ang bawat detector ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtitiyak, linearity at sensitivity. Ito ay lalong mahalaga upang suriin para sa selectivity sa pagsusuri ng microimpurities. Ang tugon ng mga UV detector ay maaaring magbago sa mga substance na may katulad na functional group sa pamamagitan ng isang factor na 104. Kinakailangang i-calibrate ang tugon ng detector para sa bawat analyte. Naturally, ang mga substance na hindi sumisipsip sa UV region ay hindi magbibigay ng signal sa recorder kapag ginamit bilang photometer detector. Kapag gumagamit ng refractometer, maaaring lumitaw ang mga negatibong peak. Bilang karagdagan, ang detector na ito ay dapat na thermostated, na hindi kinakailangan para sa isang UV detector.
Tinutukoy ng linearity ng detector ang laki ng na-inject na sample. Dapat tandaan na ang daloy ng rate sa pamamagitan ng haligi, ang temperatura ng haligi at detektor, at ang disenyo nito ay nakakaapekto sa katumpakan ng quantitative analysis. Ang mga error sa pagpapadala ng isang de-koryenteng signal sa output device (recorder), integrator o computer ay maaaring mangyari dahil sa pag-pickup ng ingay, kawalan ng grounding, pagbabagu-bago ng boltahe sa network, atbp.
4.2. PAGSUKAT NG LUGAR O PEAK HEIGHTS
tuktok na taas h (Larawan 10.1) tawagan ang distansya mula sa tuktok ng tuktok hanggang sa baseline, sinusukat ito nang linear o ang bilang ng mga dibisyon sa recorder ay binibilang. Ang ilang mga electronic integrator at computer ay nagbibigay ng pinakamataas na impormasyon sa taas. Ang posisyon ng baseline ng mga shifted peak ay matatagpuan sa pamamagitan ng interpolating ang ordinate values na tumutugma sa simula at dulo ng peak (peak 1 at 3 tingnan ang fig. 10.1). Upang mapabuti ang katumpakan, kinakailangan na magkaroon ng isang patag, matatag na baseline. Sa kaso ng hindi nahahati na mga taluktok, ang baseline ay iginuhit sa pagitan ng simula at pagtatapos ng peak, sa halip na palitan ng isang null na linya. Dahil ang peak height ay hindi gaanong nakadepende sa impluwensya ng mga kalapit na magkakapatong na mga taluktok, ang pagtatantya ng peak height ay mas tumpak at halos palaging ginagamit sa trace analysis.
Ang rurok na lugar ay maaaring matukoy sa iba't ibang paraan. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito.
1. Ang paraan ng planimetric ay binubuo sa katotohanan na ang rurok ay sinusubaybayan ng isang manu-manong planimeter, na isang aparato na mekanikal na tumutukoy sa lugar ng rurok. Ang pamamaraan ay tumpak, ngunit matrabaho at hindi magandang kopyahin. Ang pamamaraang ito ay hindi inirerekomenda.
2. Paraan ng silweta ng papel - ang rurok ay pinutol at tinimbang. Ang pamamaraan ay mahusay na maaaring kopyahin, ngunit matrabaho, at ang chromatogram ay nawasak. Ang kakayahang magamit nito ay nakasalalay sa homogeneity ng strip ng tsart. Ang pamamaraan ay hindi rin maaaring malawak na inirerekomenda.
4. Ang pamamaraan ng triangulation ay binubuo sa pagbuo ng isang tatsulok sa pamamagitan ng pagguhit ng mga tangent sa mga gilid ng tuktok. Ang tuktok ng tatsulok ay mas mataas kaysa sa tuktok ng tuktok. Ang pagtaas ng lugar na nabuo ng pinahabang peak na ito ay magiging pare-pareho sa buong chromatogram at hindi masyadong makakaapekto sa katumpakan. Bilang karagdagan, ang ilang lugar na nawala kapag gumuhit ng mga tangent ay mababayaran. Ang base ng isang tatsulok ay tinutukoy ng intersection ng mga tangent na may base line, at ang lugar ay tinutukoy ng produkto ng 7g ng base sa taas. Para sa pagtukoy ng mga lugar ng walang simetrya na mga taluktok, ang pamamaraang ito ay ang pinakamahusay. Gayunpaman, ang reproducibility sa pagtatayo ng mga tangent ng iba't ibang mga operator ay iba at, samakatuwid; mababa.
5. Ang paraan ng disk integrator ay batay sa isang electromechanical fixture na nakakabit sa recorder. Ang isang panulat na nakakabit sa integrator ay gumagalaw sa kahabaan ng strip sa ilalim ng tape sa bilis na proporsyonal sa paggalaw ng panulat ng recorder.
Tulad ng manu-manong pagsukat, ang peak ay dapat manatili sa sukat ng recorder, gayunpaman, ang mga pagsasaayos upang mabayaran ang baseline shift at hindi kumpletong paghihiwalay ng mga katabing peak ay nagbabawas sa pagiging maaasahan at nagpapataas ng oras ng pagsusuri.
Ang pamamaraan ay mas tumpak kaysa sa mga manu-manong pamamaraan ng pagsukat, lalo na sa mga asymmetric na peak, at nag-aalok ng isang kalamangan sa bilis. Bilang karagdagan, nagbibigay ito ng isang permanenteng talaan ng dami ng pagsusuri.
6. Ang mga pamamaraan gamit ang mga electronic integrator na tumutukoy sa lugar ng mga peak at naka-print na impormasyon tungkol sa lugar na ito at mga oras ng pagpapanatili, ay maaaring magsama ng pagwawasto para sa baseline offset at matukoy ang lugar ng mga bahagyang pinaghihiwalay na mga peak lamang. Ang pangunahing bentahe ay katumpakan, bilis, kalayaan ng pagkilos mula sa pagpapatakbo ng recorder. Ang mga integrator ay may memory at maaaring i-program para sa isang partikular na pagsusuri gamit ang isang preloaded na programa. Kasama sa mga bentahe ng integrator ang kakayahang gumamit ng mga salik sa pagwawasto para sa tugon ng detector kapag muling kinakalkula ang paunang data sa mga peak na lugar, na binabayaran ang pagkakaiba sa sensitivity ng detector sa iba't ibang mga sangkap. Ang ganitong mga sistema ay nakakatipid ng oras, nagpapabuti ng katumpakan ng analytical at kapaki-pakinabang para sa regular na pagsusuri ng analytical.
7. Ang mga computer na sumusukat sa peak area ay malawakang ginagamit sa liquid chromatography. Pini-print nila ang kumpletong mensahe, kabilang ang pangalan ng mga substance, peak area, retention time, detector response correction factor, at content (sa wt.%) para sa iba't ibang bahagi ng sample.
Para sa isang function ng dalawang variable, tinukoy bilang z = f(x, y) .
Ang dobleng integral ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Dito D- isang flat figure na may hangganan ng mga linya, ang mga expression kung saan (pagkakapantay-pantay) ay ibinibigay sa gawain ng pagkalkula ng dobleng integral. Kaliwa at kanan - pagkakapantay-pantay, kung saan ang variable sa kaliwa x, at sa itaas at sa ibaba - sa pamamagitan ng mga pagkakapantay-pantay, kung saan ang variable sa kaliwa y. Ang lugar na ito at higit pa ay isa sa pinakamahalaga para sa pag-unawa sa pamamaraan ng pagkalkula ng dobleng integral.
Compute Double Integral - nangangahulugang makahanap ng isang numero na katumbas ng lugar ng nabanggit na figure D .
Hanggang sa magkadikit kami mga kahulugan ng dobleng integral , at matututo tayong kalkulahin ito. Mas madaling maunawaan kung ano ang double integral kapag maraming problema ang nalutas upang makalkula ito, kaya makikita mo ang kahulugan ng double integral sa dulo ng araling ito. Sa pagtingin sa unahan, maaari lamang nating tandaan na ang kahulugan ng dobleng integral ay nauugnay din sa nabanggit na pigura D .
Kung ang pigura D ay isang parihaba, ang lahat ng mga linya na nagbubuklod dito ay mga tuwid na linya. Kung ang pigura D- curvilinear, pagkatapos ay sa kaliwa at sa kanan ito ay limitado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya, at mula sa itaas at ibaba - sa pamamagitan ng mga curved na linya na ibinigay ng mga pagkakapantay-pantay na ibinigay sa gawain. Mayroon ding mga kaso kapag ang isang figure D- isang tatsulok, ngunit tungkol sa mga naturang kaso nang kaunti pa.
Upang kalkulahin ang dobleng integral, sa gayon ay kinakailangan upang pag-uri-uriin ang mga linya sa hangganan ng pigura D, na may mahigpit na pangalan - ang rehiyon ng pagsasama. Pagbukud-bukurin sa kaliwa at kanan at itaas at ibaba. Kakailanganin ito kapag pagbabawas ng double integral sa iterated integral – ang paraan ng pagkalkula ng dobleng integral.
Kaso ng hugis-parihaba na lugar:
Kaso ng curvilinear na rehiyon:
At ito ay isa nang solusyon ng mga tiyak na integral na pamilyar sa amin, kung saan ang itaas at mas mababang mga limitasyon ng pagsasama ay itinakda. Mga ekspresyong tumutukoy sa mga linyang nagbubuklod sa isang hugis D, ay ang mga limitasyon ng pagsasama para sa karaniwang mga tiyak na integral, kung saan papalapit na tayo.
Pagbawas ng double integral sa inuulit
Kaso ng parihabang lugar
Hayaang magkaroon ng double integral ang naturang function
Upang kalkulahin ang dobleng integral na ito , kailangan mong bawasan ito sa inuulit na integral, na may anyo
.
Una kailangan mong kalkulahin ang panloob (kanan) tiyak na integral, pagkatapos ay ang panlabas (kaliwa) tiyak na integral.
Maaari kang lumipat ng tungkulin x at y
.
Halimbawa 1 Compute Double Integral
Kinakalkula namin ang panloob (kanan) integral, isinasaalang-alang ang y isang pare-pareho. Natanggap namin.
.
Halimbawa 2 Compute Double Integral
,
Desisyon. Binabawasan namin ang double integral na ito sa iterated integral
Sa pagguhit ay itinatayo namin ang lugar ng pagsasama:
Ngayon ay kinakalkula namin ang panlabas (kaliwa) na integral mula sa kinakalkula lamang na panloob (kanan) na integral:
Ang resulta ay magiging solusyon ng dobleng integral na ito.
Kalkulahin ang dobleng integral at pagkatapos ay tingnan ang solusyon
Curvilinear o triangular na kaso ng rehiyon
Hayaang bigyan muli ng function ng dalawang variable f(x, y) , at ang mga paghihigpit para sa D: ay may bahagyang naiibang hitsura:
Ang entry na ito ay nangangahulugan na ang figure D limitasyon sa kaliwa at sa kanan, tulad ng sa kaso ng isang rectilinear na rehiyon - mga tuwid na linya x = a at x = b, ngunit sa ibaba at sa itaas ay ang mga kurba na ibinibigay ng mga equation at . Sa madaling salita, at mga function.
Hayaang magkaroon din ng double integral ang naturang function
Upang kalkulahin ang double integral na ito, kailangan nating bawasan ito sa iterated integral, na may anyo
.
Narito ang mga limitasyon ng pagsasama a at b ay mga numero, at at mga function. Sa kaso ng isang triangular na rehiyon, isa sa mga function o ay ang equation ng isang tuwid na linya. Ang kasong ito ay tatalakayin sa Halimbawa 3.
Tulad ng sa kaso ng isang rectilinear na rehiyon, kailangan mo munang kalkulahin ang tamang tiyak na integral, pagkatapos ay ang kaliwang tiyak na integral.
Maaari ka ring lumipat ng mga tungkulin sa parehong paraan. x at y. Pagkatapos ay magkakaroon ng form ang iterated integral
.
Ang nasabing isang umuulit na integral ay dapat na malutas sa eksaktong parehong paraan: una, ang panloob (kanan) na integral, pagkatapos ay ang panlabas (kaliwa).
Halimbawa 5 Compute Double Integral
,
Desisyon. Binabawasan namin ang double integral na ito sa iterated integral
.
Sa pagguhit ay itinatayo namin ang lugar ng pagsasama at nakita na ito ay tatsulok:
Kinakalkula namin ang panloob (kanan) integral, isinasaalang-alang ang x bilang isang pare-pareho. Natanggap namin.
Ngayon ay kinakalkula namin ang panlabas (kaliwa) na integral ng kakakalkula lamang na panloob (kanan) na integral. Una, kinakatawan namin ang integral na ito bilang isang kabuuan ng mga integral:
.
Kinakalkula namin ang unang termino:
Kinakalkula namin ang pangalawang termino:
Kinakalkula namin ang ikatlong termino:
Nakukuha namin ang kabuuan, na magiging solusyon ng dobleng integral na ito:
.
Halimbawa 6 Compute Double Integral
Desisyon. Binabawasan namin ang double integral na ito sa iterated integral
Sa pagguhit ay itinatayo namin ang lugar ng pagsasama:
Kinakalkula namin ang panloob (kanan) integral, isinasaalang-alang ang x bilang isang pare-pareho. Natanggap namin.
.
Ngayon ay kinakalkula namin ang panlabas (kaliwa) na integral mula sa kinakalkula lamang na panloob (kanan) na integral:
Ang resulta ay magiging solusyon ng dobleng integral na ito.
x- tama at mali y-tama at maling mga domain ng integration
Nangyayari na ang lugar ng pagsasama ng isang dobleng integral ay limitado sa pamamagitan ng mga linya na ito ay kinakailangan upang hatiin ang lugar ng pagsasama sa mga bahagi at lutasin ang bawat kaukulang inuulit na integral nang hiwalay. Ito ang mga kaso kapag:
1) ang lugar ng pagsasama ay isang pigura na may dalawa o higit pang dalawang tuwid o hubog na linya sa anyo ng isang mas mababa o itaas (kaliwa o kanan) na hangganan;
2) ang lugar ng pagsasama ay isang pigura na ang hangganan ng mga linya ay bumalandra sa higit sa dalawang puntos.
Kung nalalapat ang nasa itaas sa kaliwa o kanang hangganan ng rehiyon ng pagsasanib, iyon ay, ang mga paghihigpit na ibinibigay ng mga linyang ipinahayag sa pamamagitan ng x, pagkatapos ay tinatawag ang domain ng integration x- mali. Kung isang tuwid na linya y = y0 bumabagtas lamang sa katumbas na hangganan sa isang punto, at kung isang linya o kurba lamang ang nagsisilbing hangganan, kung gayon ang rehiyon ng integrasyon ay tinatawag na x-tama
Katulad nito, kung ang hangganan ay tinukoy ng mga linya na ipinahayag sa mga tuntunin ng y, diretso x = x0 nagsa-intersect sa higit sa isang punto, o kung higit sa isang linya o kurba ang nagsisilbing hangganan, kung gayon ang lugar ng pagsasama ay tinatawag y- mali. Ilabas ang mga palatandaan ngayon y-ang tamang lugar, siguro, medyo simple.
Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng x- hindi tama at y-regular na mga lugar ng integrasyon. Ngayon isaalang-alang ang mga kaso kung kailan nilabag ang kundisyon ng kawastuhan.
Halimbawa 7 Kalkulahin ang isang dobleng integral na ang lugar ng pagsasama ay limitado ng mga linya y = x , xy = 1 , y = 2 .
Desisyon. Ang lugar ng pagsasama ay y-hindi tama, dahil ang ibabang hangganan nito ay hindi maaaring itakda sa isang linya y = y(x) . Tulad ng makikita mo sa figure sa itaas, ang lower bound ay binubuo ng y = x(dark maroon) at xy= 1 (berde). Samakatuwid direkta x= 1 (itim) maaari nating hatiin ang lugar ng pagsasama sa dalawang bahagi - at .
Ang dobleng integral na ito ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
Pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng pagsasama
Tulad ng nabanggit sa itaas, pagkatapos na bawasan ang dobleng integral sa iterated integral, maaaring baguhin ng isa ang mga variable x at y mga tungkulin, o, sa madaling salita, baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama.
Ang pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng pagsasama ay maaaring matalinghagang inilarawan ng mga sumusunod na salita ni O "Henry:" Ganito ang pag-uugali ng naninirahan sa gubat - ang halimaw, na nakapasok sa hawla, at ganito ang kilos ng naninirahan sa hawla. - isang lalaki, nawala sa gubat ng mga pag-aalinlangan. "Ang resulta, ayon din kay O" Henry, ay iisa at pareho: "Pinipunit ni Chalmers ang liham sa isang libong maliliit na piraso at sinimulang pahirapan ang kanyang mamahaling karpet, paikot-ikot ito at pasulong." ( O.Henry. Scheherazade mula sa Madison Square.)
Pagkatapos, kung mayroon tayong kaliwang integral sa variable x, at ang tama y, pagkatapos ay pagkatapos baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, ang lahat ay magiging kabaligtaran. Kung gayon ang mga limitasyon ng pagsasama para sa "bago" y ay dapat na "hiniram" mula sa "luma" x, at ang mga limitasyon ng pagsasama para sa "bago" x ay dapat makuha sa anyo baligtad na pag-andar, paglutas ng equation na may kinalaman sa x na nagtatakda ng limitasyon para sa y.
Halimbawa 8
.
Desisyon. Matapos baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, ang integral sa ibabaw ng y ay nagiging kaliwa, at ang integral sa ibabaw ng x ay nagiging tama. Hihiram namin ang mga limitasyon sa pagsasama para sa "bagong" player mula sa "lumang" x, iyon ay, ang mas mababang limitasyon ay katumbas ng zero, at ang pinakamataas na limitasyon ay katumbas ng isa. Ang mga limitasyon ng pagsasama para sa "lumang" manlalaro ay ibinibigay ng mga equation at . Nang malutas ang mga equation na ito na may paggalang sa x, nakakakuha kami ng mga bagong limitasyon sa pagsasama para sa x:
(ibaba) at (itaas).
Kaya, pagkatapos baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, ang iterated integral ay isusulat tulad ng sumusunod:
.
Matapos baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama sa dobleng integral, ang domain ng pagsasama ay madalas na nagiging y- mali o x- hindi tama (tingnan ang nakaraang talata). Pagkatapos ay kinakailangan na hatiin ang rehiyon ng pagsasama sa mga bahagi at lutasin ang bawat katumbas na inuulit na integral nang hiwalay.
Dahil ang paghahati ng domain ng integration sa mga bahagi ay nagpapakita ng ilang partikular na paghihirap para sa maraming mag-aaral, hindi namin lilimitahan ang aming sarili sa halimbawang ibinigay sa nakaraang talata, ngunit susuriin namin ang ilang higit pang mga halimbawa.
Halimbawa 9 Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama para sa inuulit na integral
.
Desisyon. Kaya, ang lugar ng pagsasama ng inuulit na integral na ito ay limitado ng mga tuwid na linya y = 1 , y = 3 , x = 0 , x = 2y .
Kapag nagsasama sa ibang pagkakasunud-sunod, ang ibabang hangganan ng rehiyon ay binubuo ng dalawang tuwid na linya: AB at BC, na ibinibigay ng mga equation y= 1 at y = x/2 , na makikita sa figure sa ibaba.
Ang paraan ng pag-alis sa naturang kawalan ng katiyakan ay hatiin ang integration domain sa dalawang bahagi. Ang lugar ng pagsasama ay hahatiin ng isang tuwid na linya BM. Ang mga bagong limitasyon sa pagsasama ay kinakalkula sa pamamagitan ng paghahanap ng inverse function. Ayon sa solusyon na ito, ang inuulit na integral pagkatapos baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama ay magiging katumbas ng kabuuan ng dalawang integral:
Naturally, ang solusyon ng double integral ay magiging pareho, na binabawasan sa iterated integral na ibinigay sa kondisyon ng halimbawang ito.
Halimbawa 10 Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama para sa inuulit na integral
.
Desisyon. Kaya, ang lugar ng pagsasama ng iterated integral ay limitado ng mga tuwid na linya x = 0 , x= 2 at mga kurba at .
Tulad ng makikita sa figure sa ibaba, isang tuwid na linya na kahanay sa axis 0x, ay mag-intersect sa ibabang hangganan ng integration region sa higit sa dalawang punto.
Samakatuwid, hinahati namin ang domain ng pagsasama sa tatlong bahagi sa pamamagitan ng mga tuwid na linya, na iginuhit ng itim sa figure. Ang mga bagong limitasyon sa pagsasama ay kinakalkula sa pamamagitan ng paghahanap ng inverse function. Ang mga limitasyon para sa tatlong bagong bahagi ng pagsasama ay ang mga sumusunod.
Ayon sa solusyon na ito, ang paulit-ulit na integral pagkatapos baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama ay magiging katumbas ng kabuuan ng tatlong integral:
Ang parehong kabuuan ng tatlong integral ay magiging katumbas ng dobleng integral, na binabawasan sa inuulit na integral na ibinigay sa kondisyon ng halimbawang ito.
Gayunpaman, ang mga pangyayari sa force majeure ay kadalasang nakakasagabal sa mga mag-aaral na nasa nakaraang hakbang - pagtatakda ng mga limitasyon ng pagsasama. Ang pagkabalisa at pagkalito ay walang anumang batayan: kung kadalasan ay sapat na upang tingnan ang pagguhit upang hatiin ang domain ng pagsasama sa mga bahagi, at upang malutas ang umuulit na integral - ang talahanayan ng mga integral, kung gayon ang ilang karanasan sa pagsasanay ay kinakailangan sa pagtatakda ng mga limitasyon ng pagsasama. Tatalakayin natin ang isang halimbawa kung saan naninirahan lamang tayo sa pag-aayos ng mga limitasyon ng pagsasama at - halos awtomatiko - sa dibisyon ng rehiyon at tinanggal ang solusyon mismo.
Halimbawa 11. Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama ng isang dobleng integral kung ang lugar ng pagsasama D itakda ang mga sumusunod:
y - 2x ≤ 0;
2y - x ≥ 0;
xy ≤ 2.
Desisyon. tahasan (sa pamamagitan ng x at y"walang mga impurities") ang mga linya na naglilimita sa lugar ng pagsasama ay hindi tinukoy. Dahil para sa x ang mga ito ay kadalasang nagiging mga tuwid na linya na dumampi sa isang punto sa itaas at ibabang mga hangganan na ipinahayag sa pamamagitan ng y, pagkatapos ay eksaktong pupunta tayo sa landas na ito. Bukod dito, kapag binabago ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, nakakakuha kami ng isang lugar ng pagsasama na may parehong lugar. Lutasin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay para sa manlalaro at makuha ang:
y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.
Binubuo namin ang mga nagresultang linya sa pagguhit. Ang mga limitasyon ng pagsasama na may paggalang sa x ay talagang ang mga linya x= 0 at x= 2 . Ngunit ang rehiyon ng pagsasama ay naging y-hindi tama, dahil ang itaas na hangganan nito ay hindi maaaring itakda sa isang linya y = y(x) .
transcript
1 FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION STATE EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION "SAMARA STATE AEROSPACE UNIVERSITY na pinangalanang Academician SP QUEEN" MULTIPLE INTEGRALS na mga gawain at pagsasanay
2 UDC 7 7 Compiled by OM Karpilova Reviewer Candidate of Technical Sciences Associate Professor GNG Utman Maramihang integral ng mga problema at pagsasanay: paraan ng indikasyon / komposisyon OM Karpilova Samara: Publishing House Samar State Aerospace University Collection ay naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng mga tipikal na problema ayon sa mga paksa: doble integrals triple integrals applications of multiple integrals Ang bawat paksa ay tumatalakay sa mga tipikal na problema, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay sinusuri nang detalyado at ang mga gawain para sa independiyenteng trabaho ay iminungkahi Ang apendiks ay naglalaman ng mga opsyon para sa indibidwal na takdang-aralin Ang lahat ng mga gawain ay pinagsama-sama alinsunod sa programa para sa kurso ng matematika para sa mga mag-aaral ng mga teknikal na unibersidad Mga tagubiling metodolohikal na inihanda sa Department of General Engineering Training at inilaan para sa mga mag-aaral ng Institute of Energy and Transport ng Samara State Aerospace University UDC 7 7 Samara State Aerospace University
3 PAGKUKULANG NG DOUBLE INTEGRALS SA CARTESIAN COORDINATES Upang kalkulahin ang isang dobleng integral, kinakatawan ito bilang isang umuulit na dobleng integral f f Mga halimbawa ng solusyon Pumunta mula b a f patungo sa inuulit na integral at itakda ang mga limitasyon ng pagsasama kung ang lugar ay nalilimitahan ng mga linya: a 6; b; sa; d contour triangle ABC kung saan ang A; B;6 C;; e Solusyon: a Buuin natin ang lugar: isang tuwid na linya na kahanay ng O axis; tuwid na linya parallel sa O axis; 6 na tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos; 6 at 6; Ang lugar ay isang tatsulok na ABC fig. Upang mahanap ang mga coordinate ng point C, kailangan mong lutasin ang sistema ng mga equation. Samakatuwid, sa loob ng rehiyon Upang malaman kung paano ito nagbabago, gumuhit kami ng isang tuwid na linya parallel sa O axis at intersecting sa rehiyon Ang linyang ito ay pumapasok sa rehiyon kasama ang linya a at lumabas sa linya 6 o 6 Samakatuwid 6 Kaya, ang rehiyon ay maaaring matukoy ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: 6 Ngayon ay madaling itakda ang mga limitasyon sa dobleng integral: f 6 f
4 b Bumuo: isang parabola na tuwid na linya parallel sa O axis Fig. Hanapin ang mga coordinate ng mga puntos A at B Upang gawin ito, lutasin ang system ± Gumuhit ng isang linya na parallel sa O axis at intersecting ang lugar Ang linyang ito ay pumapasok sa lugar kasama ang parabola at labasan sa tuwid na linya Fig. Kaya, ang lugar ay ibinibigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay f f: Samakatuwid, sa Buuin natin ang area fig: isang parabola simetriko tungkol sa O axis na may vertex sa pinanggalingan; ang positibong sangay ng parabola y ay simetriko tungkol sa O axis na may vertex sa pinanggalingan ng mga coordinate. at A; Pagguhit ng isang tuwid na linya parallel sa O at tumatawid sa lugar, makikita natin na ang entry line at ang exit line
5 Kaya: samakatuwid f f g Bumuo ng isang tatsulok fig Mula sa pagguhit ay malinaw na sa loob ng lugar Direktang parallel O at ang intersecting area ay pumapasok sa tatsulok sa gilid ng AC at lumabas sa gilid ng AB Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang punto M at M ay may anyo Gamit ang pormula na ito, isinusulat natin ang mga equation ng mga panig na AB at AC: AB: kung saan ang mga iyon; 6 АС: kung saan ang mga Kaya: Samakatuwid f f d Buuin natin ang lugar Upang gawin ito, babaguhin natin ang equation ng hangganan: Pumili tayo ng isang buong parisukat na may paggalang sa variable: Ang resultang equation ay tumutukoy sa isang bilog na may radius na nakasentro sa isang punto ; Fig Fig Fig Upang itakda ang mga limitasyon ng integration, kinakailangang isulat ang mga equation ng upper at lower half ng bilog ng linya ng pagpasok sa rehiyon at paglabas mula sa rehiyon Let's solve the original equation with respect to: ±
6 Malinaw na ang itaas na kalahati ng bilog ay tumutugma sa equation ng mas mababang Kaya: samakatuwid f f Halimbawa Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama: b 6 ; f f ; at sa f f Solusyon: a Ang lugar ng pagsasama ay ibinibigay ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: Buuin ang lugar ng Fig6: ang itaas na kalahati ng parabola ang ibabang kalahati ng parabola Kapag ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama ay binago, ang integral ay magkakaroon ng anyo c f Fig 6 Hanapin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng parabola at ang tuwid na linya: ± Kaya A; AT; Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya parallel sa O axis na nagsasalubong sa lugar. Ang entry line ng lugar na ito ay isang parabola, ang exit line ay tuwid. Kaya, ang lugar ay maaari ding tukuyin ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: Pagkatapos f f 6
7 b Sa kasong ito, ang lugar ng pagsasama ay ibinibigay ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: 6 Buuin ang lugar na ito fig7: 6 linya ng hyperbola Hanapin ang mga coordinate ng mga puntos A at B Sa punto A, samakatuwid Sa punto B, samakatuwid, Kaya A ; AT; Kapag binago ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, ang integral ay magkakaroon ng anyo f Fig 7 c Simula noon c ; Gumuhit ng linya parallel sa O axis at intersecting ang lugar Line 6 ng entrance hyperbola mula sa kung saan Line of exit ay diretso mula sa kung saan 6 Ang lugar ay ibinibigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay: 6 Sa wakas ay makakakuha tayo ng 6 6 f f sa Buuin ang lugar: at: Ang hangganan ng lugar ay tinutukoy ng equation ± Pag-square ng parehong bahagi ng equation makuha natin ang equation ng parabola - ang kuyog ay nasa isang punto; at ang axis ng symmetry ay ang axis O
8 Upang itakda ang mga limitasyon ng pagsasama, hanapin namin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya ng hangganan.Upang gawin ito, lutasin namin ang sistema ng mga equation; Kaya Kaya A; AT; Kapag binago ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, dadalhin namin ang panlabas na integral sa ibabaw ng variable na panloob. Samakatuwid, gumuhit kami ng isang tuwid na linya na nagsa-intersecting sa rehiyon at kahanay sa axis ng Ox. Ito ay pumapasok sa rehiyon sa kahabaan ng linya at lalabas sa kahabaan ng linya. Kaya, ang pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng pagsasama, makakakuha tayo ng f f f kalkulahin lamang ang isang Halimbawa Compute; ; kung saan ang lugar ay bounded ng mga linya Solusyon Buuin natin ang lugar sa Fig. 9: isang tuwid na linya parallel sa O axis at mga tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan Upang kalkulahin ang integral, lumipat tayo mula sa isang dobleng integral patungo sa isang paulit-ulit. area ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: ay isinasagawa sa ibabaw ng variable: Ngayon ay nananatiling kalkulahin ang nagresultang panlabas na integral:
9 Kaya Halimbawa Kalkulahin ang Solusyon Buuin natin ang lugar: axis O tuwid na linya parallel sa axis O tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate fig Mga tuwid na linya at bumalandra sa punto A ; Ang pagpasa sa dobleng integral at pagkalkula nito, nakukuha natin kung ito ay limitado ng mga linya ayon sa mga formula ng pagbawas Fig 9
10 Mga gawain para sa independiyenteng solusyon Itakda ang mga limitasyon ng pagsasama sa mga inuulit na integral kung saan ang f ay bumababa kung ang lugar ay nalilimitahan ng mga linya: a; b; sa; G; d tatsulok ABC kung saan A; AT; MAY; Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama: a f ; b f ; sa f; g f Kalkulahin ang mga dobleng integral sa pag-aakalang ang lugar ay nalilimitahan ng mga ipinahiwatig na linya: a; 7; b; ; sa; ; g e; 6 Sagot a f ; b f ; sa g f ; d a f ; b f f ; sa f; g f a; 7 b; sa; f 6 r e e f ;
11 DOUBLE INTEGRAL SA POLAR COORDINATES Kung ang parehong Cartesian at polar coordinate system ay ibinigay sa eroplano, at ang pole ay nag-tutugma sa pinanggalingan ng mga coordinate at ang polar axis ay nakahanay sa Ox axis, kung gayon ang mga formula ay ginagamit upang pumunta sa polar coordinates f β α f Mga halimbawa ng solusyon Halimbawa Kalkulahin > Solusyon Buuin ang lugar fig: bilog ng radius na mga tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan Dahil ang lugar ay bahagi ng isang bilog, maginhawang pumunta sa mga polar coordinates Sa kasong ito, ang poste ay tugma sa punto O; at hayaang ang polar axis ay nasa kahabaan ng O axis Pagkatapos kung saan ang lugar ay bounded ng mga linya Fig. Ngayon kailangan nating ilarawan ang lugar sa polar coordinate system. Ang anggulo sa loob ng lugar ay nag-iiba mula upang makita ang Fig. Ang tuwid na linya k ay nakahilig sa O axis
12 sa isang anggulo na ang padaplis ay katumbas ng k Samakatuwid tg ; tg Mula rito; Kaya, sa loob ng rehiyon, ang Ray na nagmumula sa pole O at tumatawid dito ay umalis sa rehiyon kasama ang isang bilog, ang equation na kung saan sa mga polar coordinates ay may anyo Kaya, ang rehiyon ay inilalarawan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: Ngayon ay madali na magtakda ng mga limitasyon sa inuulit na integral at kalkulahin ito. 9 at 9, ito ay maginhawa upang lumipat sa polar coordinates: Pagkatapos ang mga equation ng hangganan ay kukuha ng anyo; Fig. 9 Upang itakda ang mga limitasyon ng pagsasama-sama sa inuulit na integral, tandaan namin na sa loob ng rehiyon ang anggulo ay tumatagal sa lahat ng mga halaga mula sa. linya at labasan sa kahabaan ng linya Kaya: Pagkatapos
13 9 9 9 eeeeeeeeee Halimbawa Kalkulahin kung tinutukoy ng mga hindi pagkakapantay-pantay: Solusyon Buuin ang lugar Para gawin ito, ibahin ang anyo ng boundary equation: Kaya ang hangganan ay isang bilog ng radius na nakasentro sa isang punto; Simula noon ang itaas na kalahati ng bilog Fig. Lumipat tayo sa polar coordinates: Fig. Ang equation ng boundary sa polar coordinates ay kukuha ng form Ipagpalagay na nakuha natin Ang lugar ay ganap na matatagpuan sa unang quarter, kaya Kaya, sa polar coordinates , ang lugar ay ibinibigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang dobleng integral
14 Mga problema para sa self-solving Kalkulahin gamit ang mga polar coordinates: kung saan ang itaas na kalahati ng bilog 6 kung saan ang lugar ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang lugar ay bounded ng mga linya 9 6 kung saan ang lugar ay bounded ng mga linya 6 kung saan ang lugar ay bounded ng curves Sagot ; ; ; ; APPLICATIONS OF DOUBLE INTEGRALS Ang double integral ay ginagamit kapag kinakalkula: isang lugar ng isang flat figure sa pamamagitan ng isang limitadong lugar: S ; b volume ng isang cylindrical body na nakatali mula sa itaas ng tuluy-tuloy na ibabaw f mula sa ibaba ng isang eroplano at mula sa gilid ng isang tuwid na cylindrical na ibabaw na pinuputol ang isang lugar sa eroplano O:
15f; sa ibabaw na lugar na ibinigay ng equation f, ang projection kung saan papunta sa eroplano O ay ang lugar: σ Bilang karagdagan, ang mga dobleng integral ay ginagamit sa mekanika upang makalkula: at ang mga masa ng isang patag na plato na sumasakop sa lugar ng eroplano O at pagkakaroon ng variable surface density γ γ: M γ ; b statistical moments ng plate tungkol sa mga axes O at O: ; M γ ; M γ sa mga coordinate ng sentro ng grabidad ng plato: γ M c; M γ Solusyon ng mga halimbawa c M M γ γ 6 Halimbawa Hanapin ang lugar ng isang rehiyon na may hangganan ng mga linya Solusyon Bumuo ng isang lugar Tinutukoy ng equation ang isang parabola equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate Fig. Upang mahanap ang mga puntos ng intersection ng mga linyang ito, nilulutas namin ang sistema ng mga equation: Kaya Pagkatapos Kaya, ang linya ay nag-intersect sa parabola sa mga punto; at A; Gamit ang formula S Fig Halimbawa Hanapin ang lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya sa labas ng unang bilog;
16 Solusyon Tinutukoy ng equation ang isang bilog ng radius na nakasentro sa pinanggalingan Tinutukoy ng equation ang isang bilog ng radius na nakasentro sa isang punto Sama-sama nating lutasin ang sistema ng mga equation ± Kaya; NGUNIT; Sa Lugar AmBn ay maaaring itakda sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay Ayon sa formula
17 Ayon sa formula Fig 7 Fig Sa halimbawa, ang lugar ay isang tatsulok na OAB na ipinapakita sa Fig. at ang ibabaw ay tinutukoy ng equation ng eroplano mula sa kung saan Kaya Halimbawa Hanapin ang volume ng katawan na nakatali sa coordinate planes ng eroplano at ang ibabaw Solusyon Ang katawan ay ipinapakita sa Fig. 9 Ang eroplano ay tumatakbo parallel sa O axis; paraboloid na ang vertex ay nasa punto ;; Ang projection ng katawan papunta sa eroplano O ay ang tatsulok ABO figure AB ang linya ng intersection ng eroplano sa eroplano, samakatuwid ang equation ng linya AB: kung saan
18 Ayon sa formula Fig 9 Fig cylinder 6 Halimbawa Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng isang paraboloid at mga eroplano at Solusyon Ang katawan ay ipinapakita sa Fig
19 7 6 Halimbawa 6 Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng mga ibabaw 7 Solusyon Ang katawan na ito ay napapaligiran ng dalawang paraboloids Fig. Ang linya ng intersection ng mga paraboloids ay tinutukoy ng sistema ng mga equation Mula sa unang equation Kaya ang linya ng intersection ay isang bilog ng radius na nakahiga sa eroplano: Fig. Ang volume ng isang katawan ay maaaring kalkulahin bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng dalawang cylindrical na katawan: Halimbawa 7 Hanapin ang surface area ng isang sphere sa loob ng cylinder 9 Solusyon Ang cylinder ay pumutol ng dalawa mga bahagi sa ibabaw ng globo na simetriko na may paggalang sa eroplano O Fig Dahil sa simetrya, sapat na upang kalkulahin ang ibabaw na lugar lamang ng itaas na "cap" at doble ang resulta ng siyam
20 Upang kalkulahin, ginagamit namin ang formula Dahil kabilang dito ang mga partial derivatives, kinakalkula namin at We samakatuwid mula sa equation ng sphere Then Fig Kaya, ayon sa formula σ Ang projection ng surface papunta sa plane O circle ay maginhawang ipasa sa polar coordinate 9 samakatuwid 9 ay kukuha Dahil isinasaalang-alang namin ang lugar ng itaas lamang na "cap", kung gayon ang buong lugar sa ibabaw ay katumbas ng σ σ n Halimbawa Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang homogenous na plato ABC kung A; - B ; C; ;- Solusyon Upang kalkulahin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad, ginagamit namin ang mga formula 6 Dahil homogenous ang plato, pare-pareho ang density ng ibabaw na γ, kaya ang mga formula ay kukuha ng anyong q; c
21 Makikita mula sa figure na ang plate ay may hugis ng isang trapezoid at simetriko na may paggalang sa O axis, samakatuwid Isulat natin ang mga equation ng mga linya BC at A gamit ang formula na tumutukoy sa equation ng tuwid. linyang dumadaan sa dalawang ibinigay na punto: ц BC: ; A: Rice Kalkulahin na natin nang hiwalay ang numerator at denominator ng fraction na tumutukoy sa coordinate: c 9 Ang denominator ay naglalaman ng integral na katumbas ng area ng area ng mga lugar ng trapezoid ABC Samakatuwid h ; maaaring kalkulahin ng isa itong ab c integral at direkta kaya q; u Halimbawa 9 Hanapin ang masa ng itaas na kalahati ng ellipse kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng ordinate ng punto b a Solution Ang density sa bawat punto ay katumbas ng ordinate ng γ Sa pamamagitan ng formula M γ Para sa itaas na kalahati ng ellipse Fig 6 b samakatuwid ay isang Fig 6
22 M a a a b a b a a a b a a b a a a b Mga problema para sa independiyenteng solusyon a ab Hanapin ang lugar ng pigura na nililimitahan ng mga linya: a; b; sa isang ; g a a ; e Hanapin ang volume ng katawan na nakatali ng mga ibabaw: a; b; sa isang ; Hanapin ang lugar ng ipinahiwatig na ibabaw: isang bahagi ng eroplano 6 na nakapaloob sa unang octant; b bahagi ng eroplano a pinutol ng silindro a; sa isang paraboloid sa loob ng isang silindro; r paraboloid na pinutol ng isang parabolic cylinder at isang eroplano Hanapin ang sentro ng grabidad ng trapezoid ABC kung saan ang A; B; C; ; kung ang densidad sa bawat punto ay katumbas ng abscissa ng puntong ito Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang homogenous na pigura na may hangganan ng isang parabola at isang tuwid na linya 6 Hanapin ang masa ng isang bilog na plato ng radius kung ang density ng ibabaw sa bawat punto ay proporsyonal sa layo mula sa gitna ng bilog Sagot a; b; sa; g a a ; d 6 a 6; b; sa isang ; g a a
23 a; b a ; sa; g z z z z 6 6 k PAGKUKULANG NG TRIPLE INTEGRALS SA CARTESIAN COORDINATES Upang kalkulahin ang triple integral, ito ay kinakatawan bilang isang triple integral: Solusyon ng mga halimbawa Halimbawa Pumunta mula f b a f f hanggang triple at itakda ang mga limitasyon ng integration kung ang lugar ay limitado ng: isang eroplano at coordinate eroplano; b kono at eroplano h; sa bola Solusyon a Buuin natin ang lugar at ang projection ng lugar na ito sa eroplano O Fig 7 Straight line AB ay ang linya ng intersection ng eroplano sa eroplano, samakatuwid ang equation nito Kaya ito ay BAB Fig 7 Fig Mula sa Fig ito ay madaling makita na ang pagguhit ng isang tuwid na linya parallel sa axis O at intersecting ang tatsulok OAB Fig napansin namin na siya ay pumapasok sa kahabaan ng linya at lumabas sa kahabaan ng linya
24 Upang malaman ang mga limitasyon ng pagbabago, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya parallel sa axis O at intersecting sa rehiyon Fig. hindi pagkakapantay-pantay 6 samakatuwid f f 6 b Upang itakda ang mga limitasyon sa triple integral, binubuo namin ang rehiyon at ang projection nito sa eroplano O rehiyon Fig 9 Ang equation ng linya na nagbubuklod sa rehiyon ay nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation h h Fig 9 Iyon ay, isang bilog na may radius h na nakasentro sa pinanggalingan Pagguhit ng mga parallel na linya O at O na nagsasalubong at nakuha natin ang inilalarawan ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay h h h h h Kaya h h h h h f f
25 Maaari kang pumili ng ibang pagkakasunud-sunod ng pagsasama sa triple integral, pagkatapos ay natural na magbabago ang mga limitasyon ng integrasyon. Halimbawa, kinakatawan namin ang orihinal na integral sa anyong c f Upang itakda ang mga limitasyon ng pagsasama, i-proyekto namin ang eroplano O at gumuhit tuwid na mga linya parallel sa O at O at intersecting, ayon sa pagkakabanggit, at Fig. Sa kasong ito, ito ay ibinibigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay: h samakatuwid h f f Fig c Buuin natin ang lugar at ang projection nito papunta sa eroplano O Fig Fig Ipinapakita ng drawing na
26 f f f f Halimbawa Kalkulahin kung ang katawan ay nalilimitahan ng mga coordinate plane ng eroplano at ng cone Solusyon Buuin natin ang katawan at ang projection nito sa eroplano O fig Ipinapakita ng drawing kung ano ang inilalarawan ng mga hindi pagkakapantay-pantay: Fig Kaya 6 6
27 Mga gawain para sa independiyenteng solusyon Pumunta mula f sa isang triple integral at itakda ang mga limitasyon ng pagsasama kung ang katawan ay limitado: a ng isang ellipsoid; 9 b paraboloid at eroplano; sa coordinate planes at isang eroplano 6 Kalkulahin kung ang katawan ay nalilimitahan ng mga eroplano at isang globo Kalkulahin kung ang katawan ay nalilimitahan ng mga eroplano Kalkulahin ng isang kono Mga Sagot 9 kung ang katawan ay nalilimitahan ng mga eroplano a f ; b f ; sa f 6 PAGBABAGO NG MGA VARIABLE SA TRIPLE INTEGRAL CYLINDRICAL AND SPHERICAL COORDINATES Mga formula para sa paglipat sa cylindrical coordinates fig: ; ; ; Mga formula para sa paglipat sa spherical coordinates θ r fig: r θ ; r θ ; r θ ; r θrθ Dito; θ; r7
28 Paglutas ng mga halimbawa Halimbawa Kalkulahin ang Fig Fig kung limitado sa isang kono at isang eroplano Solusyon Ang katawan ay ipinapakita sa Fig. Ang linya ng intersection ng kono at ang eroplano ay may equation na mga Kaya, ang projection ng katawan papunta sa eroplano O bilog Fig6 Fig Fig 6 Lumipat tayo sa cylindrical coordinates: ; ; ; Sa mga coordinate na ito, ang equation ng bilog na ipinapakita sa Fig. 6 ay ang equation ng kono at ang katawan ay ibinibigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay; ; Kaya
29 v Halimbawa Kalkulahin kung ang isang katawan ay napapaligiran ng mga ibabaw Solusyon Bumuo ng isang rehiyon; eroplano Upang bumuo ng isang ibabaw, binabago namin ang equation: Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang pabilog na silindro sa base kung saan matatagpuan ang isang bilog ng radius na nakasentro sa isang punto;; Kaya, ang lugar ng pagsasama ay isang silindro. ; Larawan 7 9
30 Kaya Halimbawa Kalkulahin kung saan ang katawan ay ang itaas na kalahati ng bola Solusyon Dahil dito ang lugar ng pagsasama ay bahagi ng bola, ito ay maginhawa upang pumasa sa spherical coordinate: mga ibabaw Kalkulahin kung saan limitado ng mga ibabaw
31 Calculate Calculate if limited by surfaces if ball Answers APPLICATIONS OF TRIPLE INTEGRALS Ang triple integral ay ginagamit upang kalkulahin: at ang volume ng isang body Ω: ; 7 Ω b masa ng katawan na sumasakop sa rehiyon Ω na may variable na bulk density γ: M γ ; Ω sa mga coordinate ng sentro ng grabidad ng katawan Ω: c γ M Ω c γ 9 M Ω c γ M Ω kung saan ang M ay ang masa ng katawan Kung ang katawan ay homogenous, sa mga formula 9 maaari nating ilagay ang γ ; M Mga halimbawa ng solusyon Halimbawa Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng isang silindro at mga eroplano Solusyon Ang katawan at ang projection nito sa eroplano O ay ipinapakita sa Fig. Fig. Upang mahanap ang mga coordinate ng mga puntos na A at B, nalulutas namin ang sistema ng mga equation:
32±A; B; Kaya, ang domain Ω ay inilalarawan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay; ; Ayon sa formula 7 Ω Halimbawa Hanapin ang masa ng isang katawan na nakatali ng mga eroplano kung ang density sa bawat punto ay γ Solusyon Binubuo namin ang katawan Ω at ang projection nito papunta sa eroplano O Fig 9 Fig 9 Ang eroplano ay nag-intersect sa eroplano sa isang tuwid na linya Ang paglutas ng system, nakuha namin ang mga coordinate ng point A; Kaya, ang katawan Ω ay inilalarawan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay; ; Ayon sa formula, body mass M Ω Halimbawa Kalkulahin ang mass ng isang katawan na nakatali ng mga eroplano 9 at isang parabolic cylinder kung ang density sa bawat punto ay proporsyonal sa abscissa at sa isang yunit ng distansya mula sa eroplano O ay
33 Solusyon Densidad ay proporsyonal sa abscissa; kaya k γ Sa yunit ng distansya mula sa eroplano O, ang density ay; kaya para sa γ Pagkatapos k k Kaya γ Buuin ang katawan Ω at ang projection nito sa eroplano O Fig Fig Upang mahanap ang mga coordinate ng point A, lutasin natin ang sistema ng mga equation; 9 A Kaya, ang lugar ay maaaring tukuyin ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay Ω Ω 9: Ayon sa formula, ang masa ng katawan ay Ω M
34 Solusyon Buuin natin ang body Vertex ng paraboloid point; ; Ang equation ay nasa ay maaaring ma-convert sa anyo na tumutukoy sa isang globo ng radius na nakasentro sa isang punto; ; Kaya ang katawan ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Ang projection ng katawan na ito papunta sa eroplano O ay isang bilog. Ang equation nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation Sa eroplano, ang equation ng intersection line ay may anyo na The equation for ang projection ng katawan Ω papunta sa eroplano ay may parehong anyo Ω. ; ; Sa mga coordinate na ito, ang boundary equation na Ω ay may anyo; at ang anggulo ay nakakatugon sa kondisyon Equation ng isang paraboloid sa cylindrical coordinates kung saan Equation ng isang sphere: ± Para sa lower half Ang variable density ayon sa kondisyon ng problema ay proporsyonal sa square ng distansya mula sa axis O mga γ k Sa cylindrical mga coordinate γ k Dahil simetriko ang katawan sa axis O, kitang-kita na ang sentro ng grabidad ay nasa axis na ito ng mga c; q Para kalkulahin ang q, ginagamit natin ang formula 9: q γ M Ω Kalkulahin muna natin ang masa ng katawan M [formula ]:
35 6 k k k k k k k M γ Ω Ω Ω Ngayon ay kinakalkula namin ang Ω Ω Ω γ k k k k k k k k k k k ; 7
36 Mga gawain para sa independiyenteng solusyon 6 Hanapin ang volume ng isang katawan na nililimitahan ng: isang eroplano; b paraboloid at eroplano; sa mga ibabaw at 6 Hanapin ang masa ng isang katawan na may hangganan: at sa pamamagitan ng mga sphere kung ang density ay γ k ; b ibabaw kung density γ k ; sa isang kono at isang eroplano b kung ang density ay proporsyonal sa ordinate ng punto at sa isang yunit na distansya mula sa eroplano O ay katumbas ng γ 6 Hanapin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang homogenous na katawan na nakatali ng mga eroplano a Mga sagot 6 a; b; sa 6 9 k γb 6 a k ; b; sa 6 6 C;; 6
37 Option APPENDIX OPTIONS FOR INDIVIDUAL HOME WORK Hanapin ang sentro ng gravity ng isang flat figure na may hangganan ng mga linya Hanapin ang surface area ng isang cylinder na nakapaloob sa loob ng cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nababalutan ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan na may hangganan ng isang sphere at isang paraboloid kung ang density sa anumang punto ay katumbas ng applicate ng puntong ito Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng isang linya at isang kalahating alon ng isang sinusoid Hanapin ang surface area ng isang cone cut off sa pamamagitan ng mga eroplano Hanapin ang volume ng isang katawan bounded sa pamamagitan ng mga ibabaw Hanapin ang mass ng isang katawan bounded ng isang bahagi ng isang bola ng radius na matatagpuan sa unang octant kung ang density sa anumang punto ay katumbas ng distansya mula sa punto sa eroplano O Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya Hanapin ang surface area ng kono sa loob ng cylinder 9 Hanapin ang volume ng katawan na nalilimitahan ng mga surface 9 9 Hanapin ang mass ng katawan na nababalutan ng spherical layer sa pagitan ng mga surface 9 at 6 kung ang density sa bawat punto ay inversely proportional sa distansya mula sa punto hanggang sa pinanggalingan la coordinates Option Hanapin ang sentro ng gravity ng isang flat figure na nililimitahan ng mga linya 6 > Hanapin ang surface area na nasa loob ng cylinder 6 Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface 7
38 Hanapin ang masa ng isang katawan na nalilimitahan ng isang kanang pabilog na silindro ng taas ng radius kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng parisukat ng distansya mula sa punto hanggang sa axis ng simetrya ng anggulo ng silindro Hanapin ang surface area ng isang cone na matatagpuan sa loob ng cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan na nakatali sa coordinate planes at plane 6 kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng abscissa ng puntong ito Opsyon 6 Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang flat figure bounded sa pamamagitan ng axis O at ang itaas na bahagi ng ellipse b a Hanapin ang surface area ng cylinder na pinutol ng mga eroplano Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface 6 Hanapin ang mass ng isang katawan na nakatali sa ibabaw 6 kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng applicate ng puntong ito Opsyon 7 Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng isang cardioid 7 Hanapin ang surface area at isang cone na pinutol ng isang cylinder Indikasyon Pumunta sa mga polar coordinates Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan na nakatali ng mga surface > kung ang density ay katumbas ng ordinate ng point Opsyon Hanapin ang sentro ng gravity ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya p
39 Hanapin ang surface area ng isang paraboloid sa loob ng isang cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface 6 Hanapin ang mass ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface kung ang density sa bawat punto ay Opsyon 9 Hanapin ang center of gravity ng flat figure bounded by lines 9 9 > Hanapin ang surface area ng isang body bounded ng isang sphere at isang paraboloid Hanapin ang volume ng isang body na bounded ng surface 6 9 sa labas ng cylinder Hanapin ang mass ng isang body na napapalibutan ng spherical layer sa pagitan ng surface 6 kung ang density ay inversely proportional sa layo ng isang punto mula sa pinanggalingan Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang flat figure sa pamamagitan ng isang bounded na linya at isang tuwid na linya OA na dumadaan sa pinanggalingan at punto A; Hanapin ang surface area ng isang sphere na pinutol ng isang cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface; sa loob ng mga cylinder Hanapin ang masa ng isang katawan na nakatali ng bola na may radius kung ang density ay proporsyonal sa kubo ng distansya mula sa gitna ng bola at katumbas ng γ bawat yunit ng distansya; Opsyon Hanapin ang sentro ng gravity ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya 6 Hanapin ang surface area ng isang cylinder sa pagitan ng mga eroplano Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan na nalilimitahan ng isang cylindrical na ibabaw at mga eroplano kung ang density ay katumbas ng ordinate ng punto 9
40 Pagpipilian Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang plane figure na may hangganan ng isang cardioid Hanapin ang surface area ng isang sphere na nakapaloob sa loob ng isang cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan ng isang bola na may hangganan ng isang octant sa pamamagitan ng mga coordinate plane at isang eroplano kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng applicate ng puntong ito Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang plane figure na may hangganan ng mga linya Hanapin ang lugar na ibabaw ng isang paraboloid na nakapaloob sa pagitan ng cylinder at ng eroplano c a b Hanapin ang masa ng katawan na nakatali ng paraboloid at ang eroplano kung ang density ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate ng punto Pagpipilian Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya Hanapin ang ibabaw na lugar ng silindro nakapaloob sa pagitan ng eroplano O at ng ibabaw Hanapin ang dami ng katawan na nakatali ng mga ibabaw Hanapin ang mass ng katawan na nakatali ng cylinder 6 kung ang density ay proporsyonal sa parisukat ng distansya mula sa punto hanggang sa axis ng cylinder Option Find ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na nililimitahan ng mga linyang α α tg tg sa loob ng silindro Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng mga ibabaw
41 Hanapin ang mass ng isang katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw > kung ang density ay katumbas ng ordinate ng isang punto Opsyon 6 Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na nililimitahan ng mga linya 6 Hanapin ang surface area ng bola 6 sa loob ng mga cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw b a a b Hanapin ang mass ng isang katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw kung ang density ay katumbas ng applicate ng isang punto Opsyon 7 Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang isosceles right triangle na may isang binti kung ang density sa bawat isa Ang punto ay proporsyonal sa parisukat ng distansya mula sa tuktok ng tamang anggulo Hanapin ang lugar ng ibabaw ng kono na pinutol ng silindro Indikasyon Pumunta sa mga polar coordinates Hanapin ang volume ng katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw 9 Hanapin ang masa ng isang bola ng radius kung ang density ay proporsyonal sa kubo ng distansya mula sa gitna ng bola at bawat yunit ng distansya na katumbas ng γ Option Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya Hanapin ang surface area ng ang paraboloid na nakapaloob sa unang octant Paraboloid ay bounded ng isang eroplano 6 Hanapin ang volume ng isang katawan bounded ng mga ibabaw 6 Hanapin ang mass ng h ng isang bola ng radius na matatagpuan sa unang octant kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng distansya mula sa eroplano O Opsyon 9 Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya Hanapin ang surface area ng isang katawan na may hangganan ng isang globo at isang paraboloid
42 Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw. Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya > Hanapin ang surface area ng isang sphere 9 na pinutol ng isang cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface Hanapin ang mass ng isang bola na may radius kung ang density ay proporsyonal sa ang kubo ng distansya mula sa gitna at katumbas ng γ bawat yunit ng distansya Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya ± tg 6 Hanapin ang surface area ng silindro sa loob ng silindro Hanapin ang volume ng the body bounded by surfaces inside the cylinder Hanapin ang mass ng katawan na nakatali ng karaniwang bahagi ng dalawang bola kung ang density ay proporsyonal sa distansya mula sa mga punto patungo sa eroplano O Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na nakatali ng isang cardioid Hanapin ang surface area ng isang cone na pinutol ng mga eroplano Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng mga surface sa labas ng cylinder 6 Hanapin ang mass ng isang bahagi ng isang bola na may radius nax sa unang octant kung ang density sa bawat punto ay katumbas ng distansya sa eroplano O
43 Opsyon Hanapin ang sentro ng gravity ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya Hanapin ang surface area ng isang paraboloid 6 na nakapaloob sa pagitan ng isang cylinder at isang eroplano Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan na nakatali ng isang spherical layer sa pagitan ng mga ibabaw 6 kung ang density ay inversely proportional sa layo mula sa pinanggalingan Opsyon Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang flat figure na may hangganan ng mga linya 9 Hanapin ang surface area na matatagpuan sa loob ng cylinder Hanapin ang volume ng isang katawan na bounded ng mga surface Hanapin ang mass ng isang katawan na may hangganan ng isang paraboloid at isang eroplano kung ang density ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate ng punto Pagpipilian Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya Hanapin ang ibabaw na lugar ng isang kono sa loob ang silindro Hanapin ang volume ng isang katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw Hanapin ang mass ng isang katawan na nakatali ng isang karaniwang bahagi dalawang bola kung ang density ay proporsyonal sa distansya mula sa punto hanggang sa eroplano O
44 Mga Nilalaman Pagkalkula ng Double Integrals sa Cartesian Coordinates Dual Integral sa Polar Coordinates Application Double Integrals Pagkalkula ng Triple Integrals Sa Cartesian Coordinates Pagpapalit ng mga Variable sa Triple Integral Cylindrical at Spherical Coordinate 7 6 Applications Triple Integrals Applications Applications Indibidwal na Home Tasks 7 Educational Edition Integrals Multiple Integrals at Methodical Exercises Instructions Compiled by Karpilova Olga Mikhailovna Editor YUN Litvinov a Finishing work of YUN Litvinov Signed for printing Format 6x/6 Offset paper Offset printing Conv. 9/ Samara State Aerospace University 6 Samara Moscow highway
Cos, sin, J dd dd d d 5 Kalkulahin ang zdd zddz ddz, kung saan ang labas ng surface z ay pinutol ng z plane SOLUTION Ang surface ay isang paraboloid na tahasang ibinigay ng equation z Samakatuwid
STATE INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION "BELARUSIAN-RUSSIAN UNIVERSITY" Department "Higher Mathematics" HIGHER MATHEMATICS. MATHEMATICS. MATHEMATICS (ESPESYAL NA KABANATA). MATHEMATICAL ANALYSIS
METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS FOR CALCULATION TASKS ON THE COURSE OF HIGHER MATHEMATICS "ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SERIES OF MULTIPLE INTEGRALS" BAHAGI III PAKSA MGA NILALAMAN NG MULTIPLE INTEGRALS Pagkalkula ng doble at triple
Ministry of Transport ng Russian Federation Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "Russian University of Transport (MIIT)" ITTSU Department of Higher and Computational
Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Siberian State Industrial University"
PRAKTIKAL NA GAWAIN 9 Pagkalkula ng double integral sa polar coordinates Mga aplikasyon ng double integral Isaalang-alang ang isang espesyal na kaso ng pagbabago ng mga variable na kadalasang ginagamit sa pagkalkula ng double integral
Mga dobleng integral Mga halimbawa ng paglutas ng problema 1. Bawasan ang dobleng integral f(x, y) dx dy sa paulit-ulit na isa sa dalawang paraan (sa pamamagitan ng formula (1) at ng formula (2)), kung ang G ay isang rehiyon na nililimitahan ng mga kurba x = 1, y = x 2 , y =
Pagpapahayag ng masa ng katawan sa pamamagitan ng isang triple integral sa cylindrical coordinates Mga kahulugan at mga formula para sa paglutas ng mga problema Kahulugan
Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus BELARUSIAN NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY Department of Engineering Mathematics N.А. Kondratieva O.G. Vishnevskaya N.K. Prikhach MATHEMATICS Patnubay sa pamamaraan
Ang manwal ay inilaan para sa part-time na mga mag-aaral ng KSTU ng ikalawang taon ng pag-aaral. Ang manwal sa isang maigsi at naa-access na anyo ay sumasaklaw sa mga sumusunod na paksa: Multiple integrals, Curvilinear integrals, Series, Probability theory.
Ministri ng Agham at Edukasyon ng Russian Federation Moscow State University of Geodesy at Cartography AV Aristarkhova, NG Babaeva Mga indibidwal na gawain sa mas mataas na matematika MULTIPLE INTEGRALS
BANGKO NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG "INTEGRAL CALCULUS" * Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama + d d * Hanapin ang lugar ng patag na lugar na nalilimitahan ng mga linya =, =, = * Kalkulahin (D) + acctg d, kung saan) +, + 9, = (D area,
MINISTRY NG KULTURA NG RUSSIAN FEDERATION FEDERAL STATE BUDGET EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION ST.
Bahagi. Tinatayang mga problema sa pagsusulit sa matematika A. Ang pinakasimpleng gawain para sa tatlong puntos. Kalkulahin ang mga integral ng arcsin i) 6 n j) 5 6 5 g) 6 d) cos h) z arcsin z. Kalkulahin ang derivative
MINISTRY OF TRANSPORT OF THE RUSSIAN FEDERATION FEDERAL STATE BUDGET EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION "RUSSIAN UNIVERSITY OF TRANSPORT (MIIT)" Institute of Transport Engineering
3 area (D) Sa aming kaso, n ang normal na vector sa XOY plane, n k ( ) = ϕ, ϕ, Then = =, at n ( ) cos γ =, + + (ϕ) (ϕ) ( ϕ) (ϕ) dq = + + dd Tandaan Kung ang ibabaw (Q) ay regular sa direksyon
PROBLEMA SA MATHEMATICS (technical faculties, semester) 7 Integrals Maghanap ng mga integral d d sin + d + + d + d + d 7 (+) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 d d + d 9 + d + 7 tan d 8 cosd cos sin 9 d
LECTURE N 45 Maramihang integral sa polar, cylindrical at spherical na mga coordinate Mga aplikasyon ng maramihang integral Double integral sa polar coordinates Triple integral sa cylindrical at spherical
Kabanata. Maramihang Integrals. () Unang kaso. Ang rehiyon ng pagsasama ay nakatali sa kaliwa
HIGHEST COLLEGE OF COMMUNICATIONS COLLECTION OF TYPICAL CALCULATIONS sa disiplina na "HIGHEST MATHEMATICS" part II para sa mga mag-aaral ng specialty T 000 Postal communication Minsk 00 Compiled by Ryabenkova LA Edition na naaprubahan sa pulong
LECTURE Mga linya ng pangalawang order hyperbola Bilang halimbawa, makikita natin ang mga equation na tumutukoy sa isang bilog, parabola, ellipse at bilog Ang bilog ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang ibinigay
Triple integral Volchenko Yu.M. Ang nilalaman ng panayam Ang konsepto ng triple integral. kundisyon para sa pagkakaroon nito. Ang mean value theorem. Pagkalkula ng triple integral sa Cartesian at curvilinear coordinates. Triple
LECTURE N. Pagkalkula ng maramihang integral .. pagkalkula ng double integral sa rectangular Cartesian coordinates ..... pagkalkula ng double integral (arbitrary area) ..... triple integral ..... pagkalkula
Ang Mga Alituntunin sa Panimula ay naglalaman ng 26 na opsyon para sa indibidwal na takdang-aralin sa mga paksang "Linya sa eroplano at sa kalawakan", "Eroplano", "Mga kurba at ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod". Sa ilalim ng customized
Mga Nilalaman Panimula Multiple, curvilinear at surface integral Mga Elemento ng field theory Mga gawain para sa mga aktibidad sa silid-aralan Maikling impormasyon mula sa teorya Mga halimbawa ng paglutas ng problema Mga Gawain para sa self-training Test
Pagsasanay 6 Surface Integral 6 Pagtukoy sa isang Property Pagkalkula at Paglalapat ng Surface Integral ng ika-Uri na Uri 6 Pagtukoy sa isang Property at Pagkalkula ng Surface Integral ng ika-Uri na Kahulugan 6
B. M. Mavrin, E. I. Balaev LARAWAN NG MGA KATAWAN NG PAG-ikot Practicum Samara 2005
Mga dobleng integral Mga problema at pagsasanay para sa malayang gawain 1. Bawasan ang dobleng integral na f(x, y) dx dy sa inuulit sa dalawang paraan, kung: G a) Ang G ay isang tatsulok na may mga vertices (1, 1), (4, 1) , (4, 4); b)
Federal Agency for Railway Transport Ural State University of Railway Transport Department "Higher Mathematics" SA Pirogova Analytical Geometry sa Mga Halimbawa at Problema Ekaterinburg
Aralin 1-2. Ang tiyak na integral at ang mga aplikasyon nito I. Gamit ang Newton-Leibniz formula, kalkulahin ang tiyak na integral: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4.) 5. 6. 7. 8. Efimov-Pospelov 7.324-7.352 , 7.380- 7.385,
Lektura 7 Mga Di-wastong integral Ang mga di-wastong integral ay mga tiyak na integral kung saan hindi natutugunan ang kahit isa sa mga kundisyon para sa pagkakaroon ng tiyak (wastong) integral :) o
ika-14 na aralin. Triple integrals Mat. pagsusuri, app. Mathematics, 3rd semester Review A1 Sa susunod na integral, lumipat sa polar coordinates at ayusin ang mga limitasyon ng integration sa alinmang pagkakasunod-sunod:
Ministri ng Edukasyon ng Russian Federation Yaroslavl State University. P.G. Demidova Department of Discrete Analysis EROPLO AT LINYA SA ESPACE Mga Problema Yaroslavl Compiled by Ph.D.
MOSCOW AUTOMOBILE AND ROAD STATE TECHNICAL UNIVERSITY (MADI) INTEGRAL CALCULATION Mga variant ng mga control task
Federal Agency for Railway Transport Ural State University of Communications Department of Higher and Applied Mathematics P I Gnilomedov APPLICATION OF MULTIPLE AND CURVILINEAR INTEGRALS
MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION FEDERAL STATE AUTONOMOUS EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION
Annex 5 Ministri ng Agrikultura ng Russian Federation Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "Saratov State Agrarian University"
MGA ELEMENTO NG ANALYTICAL GEOMETRY SA EROPLO. Tuwid na linya 1. Kalkulahin ang perimeter ng isang tatsulok na ang mga vertices ay mga puntos A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Humanap ng puntong katumbas ng layo mula sa mga puntos na A(7;
Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Yaroslavl State University P. G. Demidova Departamento ng Algebra at Mathematical Logic Curves ng ikalawang order Part I Guidelines
Mga Nilalaman Multiple integrals Ang konsepto ng multiple integral Double integral. Mga Lugar sa Isang Eroplano .................. Iterated Integral .................. 3.3 Pagkalkula ng Double Integral sa Cartesian Mga Coordinate ......................
Pagsasanay 14 Paksa: Balangkas ng Parabola 1. Kahulugan at kanonikal na equation ng isang parabola Geometric na katangian ng isang parabola. Ang relatibong posisyon ng isang parabola at isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna nito. Pangunahin
1 Ang pinakasimpleng problema ng analytical geometry sa isang eroplano 11 Distansya sa pagitan ng dalawang punto Isaalang-alang ang isang rectangular coordinate system (Cartesian, Fig. 1 Anumang punto M ay tumutugma sa mga coordinate OA x
MINISTRY OF TRANSPORT OF THE RUSSIAN FEDERATION FEDERAL STATE EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION ULYANOVSK HIGHER AVIATION SCHOOL OF CIVIL AVIATION (INSTITUTE)
Kabanata 5. Triple Integral. 5.1. Kahulugan ng triple integral. Pagkatapos ng pagpapakilala sa nakaraang kabanata ng konsepto ng dobleng integral, natural na isakatuparan ang karagdagang generalization nito sa three-dimensional na espasyo.
MGA ALGEBRAIC LINES SA EROPLO.
MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION RUSSIAN STATE UNIVERSITY OF OIL AND GAS NAME AFTER IMGUBKIN TS Filippova ANFilippov METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS para sa pag-aaral ng paksang "Multiple and curvilinear
Penza State Pedagogical University na pinangalanang VGBelinsky OGNikitin FUNCTIONS OF ILANG VARIABLE INTEGRAL CALCULUS Textbook Penza Na-publish ayon sa desisyon ng editoryal at pag-publish
Paksang Aralin MGA ELEMENTO NG ANALYTICAL GEOMETRY SA EROPLO AT SA ESPACE Lecture.. Tuwid na linya sa plane Plan. Paraan ng mga coordinate sa isang eroplano.. Tuwid na linya sa mga coordinate ng Cartesian.. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity
Moscow State Technical University na pinangalanang N.E. Bauman Faculty of Fundamental Sciences Department of Mathematical Modeling А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko
Kabanata 5 Type-Surface Integrals (ipinagpatuloy) 5 Mga Problema sa Silid-aralan Problema 5 (4349) Kalkulahin ang integral ρh,
Federal Agency for Education Ural State Forestry University Department of Strength of Materials and Theoretical Mechanics V. A. Kalentiev V. M. Kalinin L. T. Raevskaya N. I. Chashchin
MGA ELEMENTO NG ANALYTICAL GEOMETRY OCCUPATION NG EROROPLO SA THREE-DIMENSIONAL SPACE Isulat ang vector equation ng plane at ipaliwanag ang kahulugan ng mga quantity na kasama sa equation na ito.
3 Halimbawa Sumulat ng mga expression para sa mga static na sandali ng isang patag na lugar ng materyal (D) Batay sa mga formula (3), na isinasaalang-alang ang figure (Φ), mayroon tayong: ρ, dd, ρ, dd Batay sa mekanikal na kahulugan ng static na sandali ,
Gawain 1 Hanapin ang mga coordinate ng center of gravity ng kalahating bilog y = r 2 x 2. Gawain 5 area ng bahagi ng surface z = 1 4 xy na matatagpuan sa loob ng surface x 2 + y 2 = 16. Gawain 2 Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama
MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF UKRAINE NATIONAL METALLURGICAL ACADEMY OF UKRAINE METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS para sa paglutas ng mga problema sa disiplina Mas mataas na matematika at mga opsyon para sa mga praktikal na gawain sa pagkontrol
Mga praktikal na klase sa kurso ng mas mataas na matematika (III semester) batay sa aklat-aralin na "Koleksyon ng mga indibidwal na gawain sa mas mataas na matematika", volume 3, ed. Ryabushko A.P. para sa mga full-time na mag-aaral
Moscow State Technical University na pinangalanang N.E. Bauman Faculty of Fundamental Sciences Department of Computational Mathematics at Mathematical Physics A.I. Levin MULTIPLE INTEGRALS Electronic
Integral calculus ng isang function ng ilang variable integral ng double triple curvilinear sa ibabaw ng haba ng arc (sa unang uri) ibabaw sa ibabaw na lugar (ng unang uri) Hayaang tukuyin ang function na f()
1.3. Aralin 3 1.3.1. Pagkalkula ng triple integral sa Cartesian coordinate Hayaang ang spatial domain, D ang projection nito sa Oxy plane. Ang isang rehiyon ay tinatawag na -regular kung anumang patayong linya
MINISTRY OF EDUCATION OF THE REPUBLIC OF BELARUS Belarusian National Technical University Department of Engineering Mathematics HIGHER MATHEMATICS Isang gabay sa paglutas ng mga problema para sa mga mag-aaral ng mekanikal at teknolohikal
Praktikal na aralin 1 Paksa: Hyperbola Plan 1 Kahulugan at canonical equation ng isang hyperbola Mga geometriko na katangian ng isang hyperbola Mutual na posisyon ng isang hyperbola at isang linya na dumadaan sa gitna nito Asymptotes
Noong nakaraan, napatunayan namin ang mga katangian ng isang tiyak na integral, gamit ang kahulugan nito bilang limitasyon ng mga kabuuan. Ang mga pangunahing katangian ng maramihang mga integral ay maaaring patunayan sa eksaktong parehong paraan. Para sa pagiging simple, ipagpalagay namin na ang lahat ng mga function ay tuluy-tuloy, upang ang mga integral ng mga ito ay tiyak na magkaroon ng kahulugan.
I. Ang constant factor ay maaaring alisin sa integral sign, at ang integral ng finite sum of functions ay katumbas ng kabuuan ng integrals ng mga termino:
II. Kung ang lugar ay nabulok sa isang may hangganang bilang ng mga bahagi [halimbawa, sa dalawang bahagi, kung gayon ang integral sa buong lugar ay katumbas ng kabuuan ng mga integral sa lahat ng bahagi:
III. Kung sa lugar, kung gayon
Sa partikular:
IV. Kung ito ay nagpapanatili ng sign sa rehiyon (a), kung gayon ang ibig sabihin ng theorem ng halaga ay hawak, na ipinahayag ng formula
saan matatagpuan ang ilang punto sa loob ng rehiyon (a).
Sa partikular, kapag nakuha namin
saan ang lugar ng rehiyon.
Ang mga katulad na katangian ay hawak para sa triple integral. Tandaan na kapag tinukoy ang doble at triple integral bilang limitasyon ng kabuuan, palaging ipinapalagay na ang rehiyon ng pagsasama ay may hangganan at ang integrand ay nakatali sa anumang kaso, ibig sabihin, mayroong isang positibong numero A na sa lahat ng mga punto N ng rehiyon ng integrasyon. Kung ang mga kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang integral ay maaaring umiral bilang isang hindi wastong integral sa parehong paraan tulad ng ginawa nito para sa simpleng tiyak na integral. Haharapin natin ang hindi wastong maramihang integral sa § 8.
Maramihang integral integral ng isang function na ibinigay sa ilang lugar sa isang eroplano, sa tatlong dimensyon o n-dimensional na espasyo. Sa K. at. tukuyin ang pagkakaiba sa pagitan ng dobleng integral, triple integral, atbp. n-tiklop na integral. Hayaan ang function f(x, y) ay ibinibigay sa ilang lugar D eroplano ho. Hatiin natin ang lugar D sa n bahagyang mga lugar d ako, na ang mga lugar ay pantay ako, pumili sa bawat lugar d i punto ( ξi, i) (cm. kanin.
) at buuin ang integral sum Kung may walang limitasyong pagbaba sa maximum na diameter ng mga bahagyang rehiyon d i mga halaga S may limitasyon anuman ang pagpili ng mga puntos ( ξi, i), kung gayon ang limitasyong ito ay tinatawag na dobleng integral ng function f(x, y) ayon sa lugar D at magpakilala Ang triple integral ay tinukoy nang katulad, at sa pangkalahatan n-tiklop integral. Para sa pagkakaroon ng dobleng integral, sapat na, halimbawa, na ang rehiyon D ay isang closed squaring domain (Tingnan ang squaring domain), at ang function f(x, y) ay tuloy-tuloy sa D. K. i. may ilang mga katangian na katulad ng sa mga simpleng integral .
Para sa pagkalkula Sa. at. karaniwang humahantong ito sa iterated integral (Tingnan ang Iterated integral). Sa mga espesyal na kaso para sa impormasyon Kay. at. Ang mga formula ng Green at ang mga formula ng Ostrogradsky ay maaaring magsilbi para sa mga integral ng mas mababang dimensyon. K. i. may malawak na mga aplikasyon: ginagamit ang mga ito upang ipahayag ang mga volume ng mga katawan, ang kanilang mga masa, mga static na sandali, mga sandali ng pagkawalang-galaw, atbp.
Great Soviet Encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .
Tingnan kung ano ang "Multiple integral" sa ibang mga diksyunaryo:
Integral ng isang function ng ilang variable. Tinutukoy ito gamit ang integral sums, katulad ng definite integral ng isang function ng isang variable (tingnan ang Integral calculus). Depende sa bilang ng mga variable, mayroong doble, triple, n ... ... Malaking Encyclopedic Dictionary
Tiyak na integral ng isang function ng ilang variable. Mayroong iba't ibang mga konsepto To. at. (Riemann integral, Lebesgue integral, Lebesgue-Stieltjes integral, atbp.). Ang maramihang Riemann integral ay ipinakilala sa batayan ng sukat ng Jordan Hayaan ang E na masusukat ng Jordan ... ... Mathematical Encyclopedia
Sa mathematical analysis, ang multiple o multiple integral ay isang set ng integral na kinuha mula sa mga variable. Halimbawa: Tandaan: ang multiple integral ay isang tiyak na integral, at kapag ito ay kinakalkula, ang isang numero ay palaging nakukuha. Mga Nilalaman 1 ... ... Wikipedia
Integral ng isang function ng ilang variable. Tinutukoy ito gamit ang integral sums, katulad ng definite integral ng isang function ng isang variable (tingnan ang Integral calculus). Depende sa bilang ng mga variable, mayroong doble, triple, n ... ... encyclopedic Dictionary
Integral ng isang function ng ilang variable. Ito ay tinutukoy gamit ang integral sums, katulad na tinukoy. integral ng isang function ng isang variable (tingnan ang Integral calculus). Depende sa bilang ng mga variable, mayroong doble, triple, I ... ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary
Tandaan: Saanman sa artikulong ito, kung saan ginagamit ang tanda, ang (multiple) Riemann integral ay sinadya, maliban kung iba ang nakasaad; kahit saan sa artikulong ito, na tumutukoy sa pagsukat ng isang set, nangangahulugan ito ng pagsukat ng Jordan, kung hindi ... ... Wikipedia
Isang multiple integral ng form kung saan ang ibig sabihin ng halaga ng power 2k ng modulus ng trigonometric sum. Ang theorem ni Vinogradov sa halaga ng integral na ito, ang mean value theorem, ay sumasailalim sa mga pagtatantya ng mga kabuuan ng Weyl. Panitikan Vinogradov inter ... Wikipedia
Definite integral bilang area ng figure Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Integral (disambiguation). Function integral ... Wikipedia
Isang integral kung saan ang pagsasama-sama sa iba't ibang mga variable ay sunud-sunod na isinasagawa, ibig sabihin, isang integral ng form (1) ay sumusukat sa mx at my,… … Mathematical Encyclopedia
Isang integral na kinuha sa isang curve sa isang eroplano o sa kalawakan. Itangi ang K. at. 1st at 2nd type. K. i. Ang unang uri ay lumitaw, halimbawa, kapag isinasaalang-alang ang problema ng pagkalkula ng masa ng isang variable density curve; may label na... Great Soviet Encyclopedia
