Functionally graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Paksa: "Exponential function

Paksa: "Exponential function. Functional-graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, inequalities, system"

Target : isaalang-alang ang mga problema ng ZNO gamit ang mga functional-graphic na pamamaraan gamit ang exponential function bilang isang halimbawa y \u003d a x, a > 0, a1

Layunin ng aralin:

ulitin ang pag-aari ng monotonicity at boundedness ng exponential function;

ulitin ang algorithm para sa pag-plot ng mga function graph gamit ang mga pagbabago;

hanapin ang hanay ng mga halaga at hanay ng mga kahulugan ng function ayon sa pormula at gamit ang isang tsart;

lutasin ang mga exponential equation, inequalities at system gamit ang mga graph at function properties.

gumana sa mga graph ng mga function na naglalaman ng isang module;

isaalang-alang ang mga graph ng isang kumplikadong function at ang kanilang hanay ng mga halaga;

Sa panahon ng mga klase:

1. Panimulang talumpati ng guro. Pagganyak sa pag-aaral ng paksang ito

slide 1 Exponential function. "Functional-graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay"

Ang functional-graphical na paraan ay batay sa paggamit ng mga graphic na ilustrasyon, ang aplikasyon ng mga katangian ng pag-andar at nagbibigay-daan sa paglutas ng maraming problema sa matematika.

Slide 2-3 Mga Layunin at mga gawain sa aralin.

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga problema ng ZNO ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado gamit ang mga functional-graphic na pamamaraan gamit ang halimbawa ng exponential function na y = a x, a > o, a1. Sa tulong ng isang graphic program, magsasagawa kami ng mga guhit para sa mga gawain.

slide 4 Bakit mahalagang malaman ang mga katangian ng isang exponential function?

Ayon sa batas ng exponential function, lahat ng buhay sa Earth ay dadami kung may mga kanais-nais na kondisyon para dito, i.e. walang likas na kaaway at maraming pagkain. Ang patunay nito ay ang pagkalat ng mga kuneho sa Australia, na wala pa noon. Ito ay sapat na upang palayain ang isang pares ng mga indibidwal, dahil pagkaraan ng ilang sandali ang kanilang mga supling ay naging isang pambansang sakuna.

Sa kalikasan, teknolohiya at ekonomiya, maraming proseso kung saan nagbabago ang halaga ng isang dami sa parehong bilang ng beses, i.e. ayon sa batas ng exponential function. Ang mga prosesong ito ay tinatawag na mga proseso organikong paglago o organikong pagkabulok.

Halimbawa, paglaki ng bakterya sa ilalim ng perpektong kondisyon ay tumutugma sa proseso ng organic na paglago; radioactive decay– ang proseso ng organic attenuation.

sumusunod sa mga batas ng organikong paglago paglago ng kontribusyon sa savings bank pagbawi ng hemoglobin sa dugo ng isang donor o isang taong nasugatan na nawalan ng maraming dugo.

Ibigay ang iyong mga halimbawa

Application sa totoong buhay (dosis ng gamot).

Notification ng dosis ng gamot:

Alam ng lahat na ang mga tabletas na inirerekomenda ng doktor para sa paggamot ay dapat na inumin nang maraming beses sa isang araw, kung hindi, sila ay hindi epektibo. Ang pangangailangan para sa paulit-ulit na pangangasiwa ng gamot upang mapanatili ang isang palaging konsentrasyon sa dugo ay sanhi ng pagkasira ng gamot sa katawan. Ipinapakita ng figure kung paano, sa karamihan ng mga kaso, ang konsentrasyon ng mga gamot sa dugo ng isang tao o hayop ay nagbabago pagkatapos ng isang iniksyon. Slide 5.

Ang pagbaba sa konsentrasyon ng gamot ay maaaring tantiyahin ng isang exponent na ang exponent ay naglalaman ng oras. Malinaw, ang rate ng pagkasira ng gamot sa katawan ay dapat na proporsyonal sa intensity ng metabolic process.

Isang trahedya na kaso ang kilala, na naganap dahil sa kamangmangan sa pag-asa na ito. Mula sa isang pang-agham na pananaw, ang gamot na LSD, na nagdudulot ng mga kakaibang guni-guni sa mga normal na tao, ay lubhang kawili-wili para sa mga psychiatrist at neurophysiologist. Nagpasya ang ilang mananaliksik na pag-aralan ang reaksyon ng elepante sa gamot na ito. Upang gawin ito, kinuha nila ang halaga ng LSD na nagpapagalit sa mga pusa at pinarami ito sa kadahilanan na ang masa ng elepante ay mas malaki kaysa sa masa ng pusa, na naniniwala na ang dosis ng gamot na ibinibigay ay dapat na direktang proporsyonal sa masa ng Ang hayop. Ang pagpapakilala ng naturang dosis ng LSD sa isang elepante ay humantong sa kanyang kamatayan pagkatapos ng 5 minuto, kung saan napagpasyahan ng mga may-akda na ang mga elepante ay may mas mataas na sensitivity sa gamot na ito. Ang isang pagsusuri sa gawaing ito na lumabas sa paglaon sa press ay tinawag itong isang "tulad ng elepante na pagkakamali" ng mga may-akda ng eksperimento.

2. Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral.

Ano ang ibig sabihin ng pag-aaral ng isang function? (bumuo ng isang kahulugan, ilarawan ang mga katangian, bumuo ng isang graph)

Ano ang exponential function? Magbigay ng halimbawa.

Ano ang mga pangunahing katangian ng exponential function?

Saklaw (Limitasyon)

domain

monotonicity (papataas-pababang kondisyon)

slide 6 . Tukuyin ang hanay ng mga halaga ng pag-andar (ayon sa natapos na pagguhit)

Slide 7. Pangalanan ang kundisyon para sa pagtaas at pagbaba ng function at iugnay ang formula ng function sa graph nito

slide 8. Ayon sa natapos na pagguhit, ilarawan ang algorithm para sa pag-plot ng mga function graph

Slide a) y \u003d 3 x + 2

b) y \u003d 3 x-2 - 2

3.Diagnostic independent work (gamit ang PC).

Ang klase ay nahahati sa dalawang pangkat. Ang pangunahing bahagi ng klase ay ang paggawa ng mga gawain sa pagsusulit. Ang mga malalakas na estudyante ay nagsasagawa ng mas mahihirap na gawain.

Malayang gawain sa programakapangyarihan punto(para sa pangunahing bahagi

Malayang gawain (para sa malakas na bahagi ng klase)

Slide 9. Isulat ang algorithm para sa paglalagay ng graph ng isang function, pangalanan ang domain ng kahulugan nito, hanay ng halaga, mga pagitan ng pagtaas, pagbaba.

slide 10. Itugma ang formula ng isang function sa graph nito

Sinusuri ng mga mag-aaral ang kanilang mga sagot nang hindi itinatama ang mga pagkakamali, ibigay ang independiyenteng gawain sa guro

Slides 11-21. Sinusuri ang pagsubok para sa pangunahing bahagi

4. Pag-aaral ng bagong paksa. Application ng functional-graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, pagtukoy ng hanay ng mga halaga ng isang kumplikadong function

Mga slide 22-23. Functionally graphical na paraan upang malutas ang mga equation

Upang malutas ang isang equation ng form f (x) \u003d g (x) sa pamamagitan ng functional-graphic na pamamaraan, kailangan mo:

Bumuo ng mga graph ng mga function y=f(x) at y=g(x) sa isang coordinate system.

Tukuyin ang mga coordinate ng intersection point ng mga graph ng mga function na ito.

Isulat ang sagot.

SOLUSYON NG EQUATIONS

Slide 24-25.

Ang equation ba ay may ugat, at kung gayon, ito ba ay positibo o negatibo?

SLIDE 26

5. Pagpapatupad ng praktikal na gawain.

SOLUSYON NG EQUATIONS. SLIDE 27-30

Ang equation na ito ay maaaring malutas sa graphical na paraan. Inaanyayahan ang mga mag-aaral na kumpletuhin ang gawain, at pagkatapos ay sagutin ang tanong na: "Kailangan bang bumuo ng mga graph ng mga function upang malutas ang equation na ito?". Sagot: "Ang function ay tumataas sa buong domain ng kahulugan, at ang function ay bumababa. Samakatuwid, ang mga graph ng naturang mga function ay may hindi hihigit sa isang intersection point, na nangangahulugan na ang equation ay may hindi hihigit sa isang ugat. Sa pamamagitan ng pagpili, nakita namin na .

Lutasin ang equation 3 x = (x-1) 2 + 3

Desisyon: inilalapat namin ang functional na paraan ng paglutas ng mga equation:

kasi ang sistemang ito ay may natatanging solusyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpili ay makikita natin ang x = 1

SOLUSYON NG HINDI KATUTURAN. Mga slide 31-33

G Ginagawang posible ng mga graphical na pamamaraan na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng iba't ibang function. Upang gawin ito, pagkatapos i-plot ang mga graph ng mga function sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at pagtukoy ng abscissa ng intersection point ng mga graph, kinakailangan upang matukoy ang agwat kung saan ang lahat ng mga punto ng isa sa mga graph ay nasa itaas. (sa ibaba ng 0 puntos ng pangalawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

a) cos x 1 + 3 x

Desisyon:

Sagot: ( ; )

Lutasin ang graphically inequality.

(Ang graph ng exponential function ay nasa itaas ng function na nakasulat sa kanang bahagi ng equation).

Sagot: x>2. O

.
Sagot: x>0.

Ang exponential function ay naglalaman ng sign ng modulus sa exponent.slide 34-35

Ulitin natin ang kahulugan ng modyul.

(nagsusulat sa pisara)

Gumawa ng mga tala sa iyong kuwaderno:

1).

2).

Ang isang graphic na paglalarawan ay ipinakita sa slide. Ipaliwanag kung paano binuo ang mga graph.

E(y)=(0;1]

Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong tandaan ang boundedness property ng exponential function. Ang function ay tumatagal ng mga halaga > 1, a - 1 < > 1, kaya ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kung ang magkabilang panig ng equation ay magkasabay na katumbas ng 1. Samakatuwid, Paglutas ng sistemang ito, makikita natin na X = 0.

.Paghahanap ng hanay ng mga halaga ng isang kumplikadong function. Mga slide 36-37.

Gamit ang kakayahang bumuo ng isang graph ng isang quadratic function, tukuyin nang sunud-sunod ang mga coordinate ng tuktok ng parabola, hanapin ang hanay.

, ay ang vertex ng parabola.

Tanong: matukoy ang likas na katangian ng monotonicity ng function.

Ang exponential function na y \u003d 16 t ay tumataas, mula noong 16>1.

Sa pinakamaliit na halaga ng index ng function

Ang graph ay naglalarawan ng aming konklusyon.

Ang ideya ng isang graphical na pamamaraan para sa paglutas ng isang equation ay simple. Kinakailangang bumuo ng mga graph ng mga function na nakapaloob sa parehong bahagi ng equation at hanapin ang abscissas ng mga intersection point. Ngunit ang pag-plot ng ilang mga function ay mahirap. Hindi palaging kinakailangan na gumawa ng mga graph. Ang mga equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng ugat, gamit ang mga katangian ng monotonicity at boundedness ng mga function. Binibigyang-daan ka nitong mabilis na malutas ang mga gawaing inaalok kapag pumasa sa pagsusulit.

I-download:

Preview:

Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo

"Gymnasium No. 24"

Functionally - graphical na paraan

Mga solusyon sa mga equation.

Inihanda ng guro

Danilina Olga Sergeevna

Magadan 2007

« Functional - graphical na paraan para sa paglutas ng mga equation "

Ang layunin ng aralin: upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga equation ng isang tiyak na uri sa pamamagitan ng isang functional-graphical na pamamaraan, gamit ang mga katangian ng pagiging limitado at monotonicity ng mga pag-andar

Istraktura ng aralin:

Panimulang pananalita ng guro, pagpapakilala sa paksa ng aralin, pagtatakda ng layunin

Aktwalisasyon ng dating nakuhang kaalaman na kinakailangan para sa mastering ng paksa ng aralin

Pagtatanghal ng mga moderator, na kinabibilangan ng pagtatanghal ng bagong materyal na may mga halimbawa ng paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation

Magtrabaho sa mga pangkat, na may layunin ng pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan

Pagsasagawa ng isang laro sa modelo ng laro: "Ano? saan? Kailan?"

Pagbubuod ng aralin.

Sa pambungad na talumpati, ibinahagi ng guro ang kanyang karanasan sa pagkilala sa bagong pamamaraan. nagsasalita ng pangangailangan para sa pag-unlad nito, ang kahalagahan nito, ang posibilidad ng pagkuha ng mga kasanayan para sa isang mas makatwirang solusyon ng mga equation
Aktwalisasyon ng kaalaman:: pagtaas at pagbaba ng mga function, mga halimbawa, mga katangian ng monotonicity at limitasyon ng mga function.
Paglalahad ng bagong paksa gamit ang mga slide na nagpapakita ng teoretikal na materyal na may mga halimbawa ng solusyon sa mga equation.(Tingnan ang Appendix).
Magtrabaho sa mga pangkat: Ang bawat pangkat ay binibigyan ng mga kard na may mga gawain, mga sample na solusyon at mga takdang-aralin. Ang mga mag-aaral na namumuno sa aralin - kinokontrol ng mga consultant ang pag-usad ng mga gawain, kung kinakailangan, sumagip. Sa kanilang trabaho, ang pagtatrabaho sa mga grupo ay maaaring gumamit ng mga computer na naka-configure para sa isang espesyal na programa na nagbibigay-daan sa iyo upang mag-plot ng mga function graph. kawastuhan ng solusyon at ang kawastuhan ng napiling paraan.
Proteksyon ng isang kinatawan ng isang pangkat ng mga natapos na gawain, gamit ang isang multimedia board, na nagpapakita ng solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng isang graphical na paraan upang kumpirmahin ang kawastuhan ng natapos na gawain. RA
Pagsasagawa ng laro. Para sa bawat pangkat, ang isang tanong ay maririnig mula sa screen ng monitor, na paunang naitala ng iba't ibang mga guro ng paaralan, isang minuto ang ibinigay para sa talakayan, pagkatapos nito ay dapat na ibigay ng mga lalaki ang kanilang makatwirang sagot. Pagkatapos nito, mula sa bagong bukas na screen, ang guro, na dati nang nagtanong, ay nagpapakita ng isang variant ng kanyang sagot. Ang paulit-ulit na pag-uulit ng pangangatwiran sa bagong pinag-aralan na paksa, lalo na ang wastong pagbigkas ng iba't ibang tao, ay nakakamit ang pinaka-kanais-nais na mga kondisyon para sa mastering ang bagong paksa. (Tingnan ang apendiks)
Summing up: Pagkilala sa pinakamahusay na "lima sa mga eksperto, ang pinakamahusay na manlalaro.

Mga tanong sa klase;

Ano ang natutunan mo sa aralin ngayon

Anong mga equation ang maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpili

Anong mga katangian ng mga pag-andar ang ginagamit sa kasong ito.

Mga tanong sa mga kalahok ng laro:

Minamahal na mga eksperto, sa isang minuto ay hanapin ang ugat ng equation na ito at patunayan na ito ay nag-iisa.

Sagot: Ang kabuuan ng dalawang pagtaas ng mga function ay isang pagtaas ng function. y \u003d - monotonically pagtaas, samakatuwid ang equation ay may isang ugat, dahil ang graph ng function na ito ay bumalandra sa tuwid na linya y=3 nang isang beses. Para sa x=1, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay. Sagot: x=1

Minamahal na mga eksperto, pagkatapos ng isang minuto, pangalanan ang mga function na nakapaloob sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at hanapin ang ugat ng equation na ito.

Sagot: y \u003d ay isang exponential function na tumataas sa hanay ng mga tunay na numero. y=6 - x ay isang linear function, ito ay bumababa nang monotonically sa hanay ng mga tunay na numero. Kaya't ang mga graph ng mga function ay bumalandra sa isang punto, ang equation ay may isang ugat. Para sa x=2, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay. Sagot: x=2

3. Mahal na mga eksperto, alam na ninyo na ang equation ay may iisang ugat x=3. Pagkatapos ng isang minuto, sagutin kung anong mga halaga ng x, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

Sagot: ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa x Є, dahil sa pagitan na ito, ang graph ng function y \u003d ay matatagpuan sa ibaba ng graph ng function y \u003d

4. Mahal na mga eksperto, marami ang nahihirapang lutasin ang equation. Sa isang minuto, hanapin ang ugat ng equation na ito at patunayan na ito ay natatangi.

Sagot: ang ugat ng equation x \u003d -3 ay nag-iisa, dahil ang kaliwang bahagi ng equation ay naglalaman ng isang bumababa na pag-andar, at ang kanang bahagi ay tumataas, na nangangahulugan na ang mga graph ng mga function ay bumalandra sa isang punto at ang ang equation ay may iisang ugat.

5. Mahal na mga eksperto, mayroon akong mahirap na tanong para sa iyo. Madali mong mahahanap ang ugat ng equation. Patunayan mo na siya lang. Sagot: x=1 ang tanging ugat.

Functionally - isang graphical na paraan para sa paglutas ng mga equation.

________________________________________________________________________

Ang layunin ng aralin: Matutong lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, gamit ang mga katangian ng monotonicity at boundedness ng mga function.

_________________________________________________________________________

Sangguniang materyal

Ang isang function ay tinatawag na pagtaas (pagbaba) sa isang set X kung sa set na ito, habang ang argument ay tumataas (bumababa), ang halaga ng function ay tumataas (bumababa).

Halimbawa 1:

ay tumataas ang mga function

Halimbawa 2:

ay nagpapababa ng mga function

Sangguniang materyal

2. Ang kabuuan ng dalawang pagtaas ng function ay isang pagtaas ng function.

Halimbawa:

3. Ang kabuuan ng dalawang nagpapababang function ay isang nagpapababang function.

Target: isaalang-alang ang mga problema ng ZNO gamit ang mga functional-graphic na pamamaraan gamit ang exponential function bilang isang halimbawa y \u003d a x, a > 0, a1

Layunin ng aralin:

ulitin ang pag-aari ng monotonicity at boundedness ng exponential function;
ulitin ang algorithm para sa pag-plot ng mga function graph gamit ang mga pagbabago;
maghanap ng isang hanay ng mga halaga at isang hanay ng mga kahulugan ng isang function sa pamamagitan ng anyo ng isang formula at gamit ang isang graph;
lutasin ang mga exponential equation, inequalities at system gamit ang mga graph at function properties.
gumana sa mga graph ng mga function na naglalaman ng isang module;
isaalang-alang ang mga graph ng isang kumplikadong function at ang kanilang hanay ng mga halaga;

Sa panahon ng mga klase:

1. Panimulang talumpati ng guro. Pagganyak sa pag-aaral ng paksang ito

slide 1 Exponential function. "Functional-graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay"

Ang functional-graphical na paraan ay batay sa paggamit ng mga graphic na ilustrasyon, ang aplikasyon ng mga katangian ng pag-andar at nagbibigay-daan sa paglutas ng maraming problema sa matematika.

slide 2 Mga gawain para sa aralin

slide 3 Bakit mahalagang malaman ang mga katangian ng isang exponential function?

Ayon sa batas ng exponential function, lahat ng buhay sa Earth ay dadami kung may mga kanais-nais na kondisyon para dito, i.e. walang likas na kaaway at maraming pagkain. Ang patunay nito ay ang pagkalat ng mga kuneho sa Australia, na wala pa noon. Ito ay sapat na upang palayain ang isang pares ng mga indibidwal, dahil pagkaraan ng ilang sandali ang kanilang mga supling ay naging isang pambansang sakuna.
Sa kalikasan, teknolohiya at ekonomiya, maraming proseso kung saan nagbabago ang halaga ng isang dami sa parehong bilang ng beses, i.e. ayon sa batas ng exponential function. Ang mga prosesong ito ay tinatawag na mga proseso organikong paglago o organikong pagkabulok.
Halimbawa, paglaki ng bakterya sa ilalim ng perpektong kondisyon ay tumutugma sa proseso ng organic na paglago; radioactive decay– ang proseso ng organic attenuation.
sumusunod sa mga batas ng organikong paglago paglago ng kontribusyon sa savings bank pagbawi ng hemoglobin sa dugo ng isang donor o isang taong nasugatan na nawalan ng maraming dugo.
Ibigay ang iyong mga halimbawa
Application sa totoong buhay (dosis ng gamot).

Notification ng dosis ng gamot:

Isang trahedya na kaso ang kilala, na naganap dahil sa kamangmangan sa pag-asa na ito. Mula sa isang pang-agham na pananaw, ang gamot na LSD, na nagdudulot ng mga kakaibang guni-guni sa mga normal na tao, ay lubhang kawili-wili para sa mga psychiatrist at neurophysiologist. Nagpasya ang ilang mananaliksik na pag-aralan ang reaksyon ng elepante sa gamot na ito. Upang gawin ito, kinuha nila ang halaga ng LSD na nagpapagalit sa mga pusa at pinarami ito sa dami ng beses na mas malaki ang masa ng isang elepante kaysa sa masa ng isang pusa, na naniniwalang ang dosis ng gamot na ibinibigay ay dapat na direktang proporsyonal sa masa. ng hayop. Ang pagpapakilala ng naturang dosis ng LSD sa isang elepante ay humantong sa kanyang kamatayan sa loob ng 5 minuto, kung saan napagpasyahan ng mga may-akda na ang mga elepante ay may mas mataas na sensitivity sa gamot na ito. Ang isang pagsusuri sa gawaing ito na lumabas sa paglaon sa press ay tinawag itong isang "tulad ng elepante na pagkakamali" ng mga may-akda ng eksperimento.

2. Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral.

Ano ang ibig sabihin ng pag-aaral ng isang function? (bumuo ng isang kahulugan, ilarawan ang mga katangian, bumuo ng isang graph)
Ano ang exponential function? Magbigay ng halimbawa.
Ano ang mga pangunahing katangian ng exponential function?
Saklaw (Limitasyon)
domain
monotonicity (papataas-pababang kondisyon)
slide 5 . Tukuyin ang hanay ng mga halaga ng pag-andar (ayon sa natapos na pagguhit)

slide 6. Pangalanan ang kundisyon para sa pagtaas at pagbaba ng function at iugnay ang formula ng function sa graph nito

Slide 7. Ayon sa natapos na pagguhit, ilarawan ang algorithm para sa pag-plot ng mga function graph

Slide a) y \u003d 3 x + 2

b) y \u003d 3 x-2 - 2

3.Diagnostic independent work (gamit ang PC).

Ang klase ay nahahati sa dalawang pangkat. Ang pangunahing bahagi ng klase ay ang paggawa ng mga gawain sa pagsusulit. Ang mga malalakas na estudyante ay nagsasagawa ng mas mahihirap na gawain.

Malayang gawain sa programakapangyarihan punto(para sa pangunahing bahagi ng klase ayon sa uri ng mga gawain sa pagsusulit mula sa ZNO na may saradong form ng sagot)
1. Aling exponential function ang tumataas?
2. Hanapin ang saklaw ng function.
3. Hanapin ang hanay ng function.
4. Ang graph ng function ay nakuha mula sa graph ng exponential function sa pamamagitan ng parallel translation sa kahabaan ng axis ... ng .. units ...
5. Ayon sa natapos na pagguhit, tukuyin ang saklaw at saklaw ng pag-andar
6. Tukuyin ang halaga ng a kung saan ang exponential function ay dumadaan sa punto.
7. Aling figure ang nagpapakita ng graph ng isang exponential function na may base na mas malaki sa isa.
8. Itugma ang graph ng function sa formula.
9. Ang graphical na solusyon kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay ipinapakita sa figure.
10. lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko (ayon sa natapos na pagguhit)
Malayang gawain (para sa malakas na bahagi ng klase)

slide 8. Isulat ang algorithm para sa paglalagay ng graph ng isang function, pangalanan ang domain ng kahulugan nito, hanay ng halaga, mga pagitan ng pagtaas, pagbaba.

slide 9. Itugma ang formula ng isang function sa graph nito

)

Sinusuri ng mga mag-aaral ang kanilang mga sagot nang hindi itinatama ang mga pagkakamali, ibigay ang independiyenteng gawain sa guro

Slide 10. Mga sagot sa mga gawain sa pagsubok

1) D 2) B 3) C 4) A

5) D 6) C 7) B 8) 1-D 2-A 3-C 4-B

9) A 10)(2;+ )

Slide 11 (tingnan ang gawain 8)

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function. Itugma ang graph ng function sa formula.

Slide 12. Functionally graphical na paraan upang malutas ang mga equation

Upang malutas ang isang equation ng form f (x) \u003d g (x) sa pamamagitan ng functional-graphic na pamamaraan, kailangan mo:

Bumuo ng mga graph ng mga function y=f(x) at y=g(x) sa isang coordinate system.

Tukuyin ang mga coordinate ng intersection point ng mga graph ng mga function na ito.

Isulat ang sagot.

GAWAIN №1 SOLUSYON NG EQUATIONS

Slide 13.

Ang equation ba ay may ugat, at kung gayon, ito ba ay positibo o negatibo?

6 x \u003d 1/6

(4/3) x = 4

SLIDE 14

5. Pagpapatupad ng praktikal na gawain.

slide 15.

Lutasin ang equation:

3x = (x-1) 2 + 3

slide 16. .Desisyon: inilalapat namin ang functional na paraan ng paglutas ng mga equation:

kasi ang sistemang ito ay may natatanging solusyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpili ay makikita natin ang x = 1

GAWAIN № 2 SOLUSYON NG MGA HINDI PANTAY

Ginagawang posible ng mga graphical na pamamaraan na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng iba't ibang function. Upang gawin ito, pagkatapos i-plot ang mga graph ng mga function sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at pagtukoy ng abscissa ng intersection point ng mga graph, kinakailangan upang matukoy ang agwat kung saan ang lahat ng mga punto ng isa sa mga graph ay nasa itaas. (sa ibaba ng 0 puntos ng pangalawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

slide 17.

a) cos x 1 + 3 x

slide 1 8. Desisyon:

Sagot: ( ; )

Lutasin ang graphically inequality.

Slide 19.

(Ang graph ng exponential function ay nasa itaas ng function na nakasulat sa kanang bahagi ng equation).

Sagot: x>2. O

.
Sagot: x>0.

TASK №3 Ang exponential function ay naglalaman ng sign ng modulus sa exponent.

Ulitin natin ang kahulugan ng modyul.

(nagsusulat sa pisara)

slide 20.

Gumawa ng mga tala sa iyong kuwaderno:

1).

2).

Ang isang graphic na paglalarawan ay ipinakita sa slide. Ipaliwanag kung paano binuo ang mga graph.

Slide 21.

Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong tandaan ang boundedness property ng exponential function. Ang function ay tumatagal ng mga halaga > 1, a - 1 > 1, kaya ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kung ang magkabilang panig ng equation ay magkasabay na katumbas ng 1. Samakatuwid, Paglutas ng sistemang ito, makikita natin na X = 0.

GAWAIN 4. Paghahanap ng hanay ng mga kumplikadong function.

slide 22.

Gamit ang kakayahang bumuo ng isang graph ng isang quadratic function, tukuyin nang sunud-sunod ang mga coordinate ng tuktok ng parabola, hanapin ang hanay.

slide 23.

, ay ang vertex ng parabola.

Tanong: matukoy ang likas na katangian ng monotonicity ng function.

Ang exponential function na y \u003d 16 t ay tumataas, mula noong 16>1.

Mga Seksyon: Mathematics

klase: 11

I-systematize, generalize, palawakin ang kaalaman, kasanayan ng mga mag-aaral na may kaugnayan sa paggamit ng functional-graphical na paraan para sa paglutas ng mga equation
Pag-unlad ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng functional-graphic na pamamaraan.
Pagbuo ng lohikal na pag-iisip, ang kakayahang mag-isip nang nakapag-iisa at sa labas ng kahon.
Paunlarin ang mga kasanayan sa komunikasyon sa pangkatang gawain.
Magsagawa ng produktibong pakikipag-ugnayan sa pangkat upang makamit ang pinakamataas na pangkalahatang resulta.
Pagsasanay ng kakayahang makinig sa isang kaibigan. Pag-aralan ang kanyang sagot at magtanong.

Upang maisagawa ang araling ito, ang mga grupo ng mga bata ay inayos sa klase, na dapat matandaan ang isang tiyak na paraan para sa paglutas ng mga equation, pumili ng 5-8 equation, lutasin ang mga ito at maghanda ng isang presentasyon.

Kagamitan: Computer, projector. Pagtatanghal .

Ang mga presentasyon ng mga lalaki ay ipinasok sa pagtatanghal ng guro, ngunit mayroon silang ibang background.

Sa panahon ng mga klase

Ngayon sa aralin ay tatandaan natin ang functional-graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, isaalang-alang kung kailan ito inilapat, kung anong mga paghihirap ang maaaring lumitaw sa paglutas at pipili tayo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.

Alalahanin ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.(slide number 2)

Sinusuri ng unang pangkat ang pamamaraang grapiko.

Ang pangalawang pangkat ay nagsasalita tungkol sa pangunahing pamamaraan.

Ang majorant method ay isang paraan para sa paghahanap ng boundedness ng isang function.

Majorization - paghahanap ng mga punto ng paghihigpit ng function. M - majorant.

Kung mayroon tayong f(x) = g(x) at ang ODZ ay kilala, at kung

.#1 Lutasin ang equation:

x = 4 - solusyon ng equation.

#2 Lutasin ang equation

Solusyon: Tantyahin ang kanan at kaliwang bahagi ng equation:

a) , bilang , a ;

b) , bilang .

Ang pagsusuri ng mga bahagi ng equation ay nagpapakita na ang kaliwang bahagi ay hindi mas mababa sa, at ang kanan ay hindi hihigit sa dalawa para sa anumang tinatanggap na mga halaga ng variable na x. Samakatuwid, ang equation na ito ay katumbas ng system

Ang unang equation ng system ay may isang ugat lamang x=-2. Ang pagpapalit ng halagang ito sa pangalawang equation, nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero:

Sagot: x=-2.

Ipinapaliwanag ng ikatlong pangkat ang paggamit ng pagiging natatangi ng root theorem.

Kung ang isa sa mga function (F(x)) ay bumababa at ang isa pa (G(x)) ay tumataas sa ilang domain ng kahulugan, kung gayon ang equation na F(x)=G(x) ay may hindi hihigit sa isang solusyon.

#1 Lutasin ang equation

Solusyon: ang domain ng ibinigay na equation ay x>0. Sinisiyasat namin ang monotonicity ng function . Ang una ay bumababa (dahil ito ay isang logarithmic function na may base na mas malaki kaysa sa zero ngunit mas mababa sa isa), at ang pangalawa ay tumataas (ito ay isang linear function na may positibong coefficient sa x). Ang pagpili ay madaling mahanap ang ugat ng equation x=3, na siyang tanging solusyon sa equation na ito.

Sagot: x=3.

Paalala ng guro. kung saan ang monotonicity ng isang function ay ginagamit din sa paglutas ng mga equation.

A) - Mula sa isang equation ng form h(f(x))=h(g(x)) pumasa tayo sa isang equation ng form f(x)=g(x)

Kapag ang function ay monotonic

#5 kasalanan (4x+?/6) = kasalanan 3x

MALI! (periodic function). At pagkatapos ay binibigkas namin ang tamang sagot.

MALI! (Even degree) At pagkatapos ay binibigkas namin ang tamang sagot:

B) Ang paraan ng paggamit ng mga functional equation.

Teorama. Kung ang function na y = f(x) ay isang tumataas (o bumababa) na function sa domain ng mga tinatanggap na halaga ng equation f(g(x)) = f(h(x)), kung gayon ang mga equation f(g (x)) = f(h(x)) at g(x)=f(x) ay katumbas.

#1 Lutasin ang equation:

Isaalang-alang ang functional equation f(2x+1) = f(-x), kung saan f(x) = f()

Hanapin ang derivative

Tukuyin ang tanda nito.

kasi ang derivative ay palaging positibo, pagkatapos ang function ay tumataas sa buong linya ng numero, pagkatapos ay pumasa tayo sa equation

Lutasin ang equation. X 6 -|13 + 12x| 3= 27cos x 2- 27cos(13 + 12x).

1) ang equation ay nabawasan sa anyo

x6 - 27cos x2 = |13 + 12x|3 - 27cos(13 + 12x),

f(x2) = f(13 + 12x),

kung saan f(t) = |t|3-27st;

2) Ang function na f ay pantay at para sa t > 0 ay may sumusunod na derivative

f"(t)= samakatuwid f"(t)> 0 para sa lahat

Dahil dito, ang function na f ay tumataas sa positibong semiaxis, na nangangahulugan na ang bawat isa sa mga halaga nito ay eksaktong dalawang punto na simetriko na may paggalang sa zero. Ang equation na ito ay katumbas ng

ang sumusunod na set:

Sagot: -1, 13, -6+?/23.

Mga gawain para sa paglutas sa aralin. Sagot

Pagninilay.

1. Ano ang iyong natutunan?

2. Aling paraan ang pinakamainam mong gawin?

pagtatalaga sa bahay: Pumili ng 2 equation para sa bawat paraan at lutasin ang mga ito.

Sa isang karaniwang kurso sa matematika ng paaralan, ang mga katangian ng mga function ay pangunahing ginagamit upang i-plot ang kanilang mga graph. Ang functional na paraan ng paglutas ng mga equation ay ginagamit kung at tanging kung ang equation na F(x) = G(x) bilang resulta ng mga pagbabago o pagbabago ng mga variable ay hindi maaaring bawasan sa isa o isa pang standard na equation na may isang tiyak na algorithm ng solusyon.

Hindi tulad ng graphical na pamamaraan, ang kaalaman sa mga katangian ng mga pag-andar ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang eksaktong mga ugat ng equation, nang hindi na kailangang mag-plot ng mga function graph. Ang paggamit ng mga katangian ng mga function ay nakakatulong sa rasyonalisasyon ng solusyon ng mga equation.

Isinasaalang-alang ng papel ang mga sumusunod na katangian ng isang function: ang saklaw ng function; saklaw ng pag-andar; monotonicity na mga katangian ng isang function; mga katangian ng convexity ng isang function; mga katangian ng pantay at kakaibang mga pag-andar.

Layunin ng gawain: upang isagawa ang ilang pag-uuri ng mga hindi pamantayang equation ayon sa paggamit ng mga pangkalahatang katangian ng mga pag-andar, upang ilarawan ang kakanyahan ng bawat ari-arian, upang magbigay ng mga rekomendasyon sa paggamit nito, mga tagubilin para sa paggamit.

Ang lahat ng trabaho ay sinamahan ng solusyon ng mga partikular na problema na iminungkahi sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado ng iba't ibang taon.

Kabanata 1. Gamit ang konsepto ng saklaw ng function.

Ipakilala natin ang ilang mahahalagang kahulugan.

Ang domain ng function na y = f(x) ay ang hanay ng mga value ng variable x kung saan may katuturan ang function.

Hayaang magbigay ng equation na f(x) = g(x), kung saan ang f(x) at g(x) ay mga elementary function na tinukoy sa set D1, D2. Kung gayon ang domain D ng mga tinatanggap na halaga ng equation ay ang set na binubuo ng mga halaga ng x na nabibilang sa parehong set, iyon ay, D = D1 ∩ D2. Malinaw na kapag ang set D ay walang laman (D= ∅), kung gayon ang equation ay walang mga solusyon. (Appendix Blg. 1).

1. arcsin(x+2) +2x- x2 = x-2.

ODZ:-1 =0⇔-3

Sagot: Walang solusyon.

2. (x2-4x+3 +1) log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.

ODZ: х2-4х+3>=0,х>0.8х-2х2-6>=0⇔х∈(-infinity;1∪ 3;infinity),х>01

Suriin: x = 1.

(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,

0 = 0 ay tama.

x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, mali ang log535 +13 = 0.

Madalas na lumalabas na sapat na upang isaalang-alang hindi ang buong domain ng isang function, ngunit ang subset lamang nito, kung saan ang function ay kumukuha ng mga halaga na nakakatugon sa ilang mga kundisyon (halimbawa, mga hindi negatibong halaga lamang).

1. x+27-x(x-9 +1) = 1.

ODZ: x-9>=0, x>=9.

Para sa x>=9 x+2>0, 7-x 0, kaya, ang produkto ng tatlong salik sa kaliwang bahagi ng equation ay negatibo, at ang kanang bahagi ng equation ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may walang solusyon.

Sagot: ∅.

2. 3-x2+ x+2 = x-2.

ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔

Sa hanay ng mga tinatanggap na halaga, ang kaliwang bahagi ng equation ay positibo, at ang kanang bahagi ay negatibo, na nangangahulugan na ang equation ay walang mga solusyon.

Sagot: Walang solusyon.

Kabanata 2. Gamit ang konsepto ng hanay ng isang function.

Ang saklaw ng function na y = f(x) ay ang hanay ng mga halaga ng variable y na may mga tinatanggap na halaga ng variable x.

Ang isang function na y = f(x) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba (ayon sa pagkakabanggit, mula sa itaas) sa set X kung mayroong ganoong numero M na ang hindi pagkakapantay-pantay fx>=M ay nasiyahan sa X (ayon sa pagkakabanggit, fx

Ang isang function na y = f(x) ay tinatawag na bounded sa isang naibigay na agwat (na nakapaloob sa domain ng kahulugan nito) kung mayroong isang bilang na M > 0 na para sa lahat ng mga halaga ng argumento na kabilang sa agwat na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay f( x)

Hayaang ibigay ang equation na f(x) = g(x), kung saan ang g(x) ay mga elementary function na tinukoy sa set D1, D2. Italaga natin ang hanay ng mga function na ito bilang E1 at E2, ayon sa pagkakabanggit. Kung ang x1 ay isang solusyon sa equation, ang numerical equality f(x1) = g(x1) ay mananatili, kung saan ang f(x1) ay ang value ng function na f(x) sa x = x1, at g(x1) ay ang halaga ng function na g(x) sa x = x1. Kaya, kung ang equation ay may solusyon, kung gayon ang mga saklaw ng mga function na f(x) at g(x) ay may mga karaniwang elemento (Е1∩Е2 !=∅). Kung ang mga hanay ng E1 at E2 ay hindi naglalaman ng mga karaniwang elemento, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

Ang mga pangunahing hindi pagkakapantay-pantay ay ginagamit upang suriin ang mga expression. (Appendix Blg. 2).

Hayaang ibigay ang equation na f(x) = g(x). Kung f(x)>=0 at g(x)

1. x2+2xsinxy+1=0.

Desisyon. May unit sa kaliwang bahagi, na nangangahulugan na maaari mong gamitin ang pangunahing trigonometric identity: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

Ang kabuuan ng unang tatlong termino ay isang perpektong parisukat:

(x+sinxy)2+cos2xy=0.

Samakatuwid, sa kaliwang bahagi, ang kabuuan ng mga parisukat, ito ay katumbas ng zero kapag ang mga expression sa mga parisukat ay sabay na katumbas ng zero. Isulat natin ang system: cosxy=0,x+sinxy=0.

Kung cosxy=0, kung gayon sinxy= +-1, kaya ang sistemang ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema: x+1=0,cosxy=0 o x-1=0,cosxy=0.

Ang kanilang mga solusyon ay mga pares ng mga numero x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, at x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.

Sagot: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, at x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.

Kung sa pagitan ng X ang pinakamalaking halaga ng isa sa mga function na y = f(x), y = g(x) ay katumbas ng A at ang pinakamaliit na halaga ng isa pang function ay katumbas din ng A, kung gayon ang equation na f(x) ) = g(x) ay katumbas sa pagitan ng X sa sistema ng mga equation fx=A, gx=A.

1. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang equation ay may solusyon

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

Pagkatapos palitan ang t= 22x-x2, dumating tayo sa equation cos(2t+PI3)=a-12.

Ang function na t=2m ay tumataas, na nangangahulugan na naabot nito ang pinakamataas na halaga nito sa pinakamataas na halaga ng m. Ngunit ang m=2x - x ang may pinakamalaking halaga na katumbas ng 1. Pagkatapos tmax = 22·1-1=2. Kaya, ang hanay ng mga halaga ng function t= 22x-x2 ay ang interval (0;2, at ang function cos(2t+PI3) ay ang interval -1;0.5). Samakatuwid, ang orihinal na equation ay may solusyon para sa mga iyon at tanging mga halaga ng a na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay -1Sagot: -12. Lutasin ang equation (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.

Sinasamantala ang mga halatang hindi pagkakapantay-pantay

Sagot: x= - 5+32 kung a=1+32 at x=-5+32 kung a= 1-32.

Ang iba pang mga equation ay maaaring isaalang-alang nang mas detalyado. (Appendix Blg. 3).

Kabanata 3. Paggamit ng monotonicity property ng isang function.

Ang function na y = f(x) ay tinatawag na pagtaas (ayon sa pagbabawas) sa set X kung sa set na ito ang mga halaga ng pagtaas ng function (ayon sa pagkakabanggit ay bumababa) habang tumataas ang argumento.

Sa madaling salita, ang function na y = f(x) ay tumataas sa set X kung mula sa x1∈X, x2∈X at x1Ito ay bumababa sa set na ito, kung mula sa x1∈X, x2∈X at x1 f(x2).

Ang isang function na y = f(x) ay tinatawag na hindi mahigpit na pagtaas (ayon sa pagkakabanggit, hindi mahigpit na pagbaba) sa X kung x1∈X, x2∈X at x1=f(x2)).

Ang mga function na tumataas at bumababa sa X ay tinatawag na monotonic sa X, at ang mga function na hindi mahigpit na tumataas o bumababa sa X ay tinatawag na nonstrictly monotonic sa X.

Ang mga sumusunod na pahayag ay ginagamit upang patunayan ang monotonicity ng mga function:

1. Kung ang function na f ay tumataas sa set X, kung gayon para sa anumang numero C ang function na f+C ay tumataas din sa X.

2. Kung ang function na f ay tumataas sa set X at C > 0, ang function na Cf ay tumataas din sa X.

3. Kung ang function f ay tumataas sa set X, kung gayon ang function - f ay bumababa sa set na ito.

4. Kung ang function na f ay tumataas sa set X at nananatili ang sign nito sa set X, kung gayon ang function na 1f ay bumababa sa set na ito.

5. Kung ang mga function na f at g ay tumaas sa set X, kung gayon ang kanilang kabuuan f + g ay tataas din sa set na ito.

6. Kung ang mga function na f at g ay tumataas at hindi negatibo sa set X, kung gayon ang kanilang produkto fg ay tumataas din sa X.

7. Kung ang function na f ay tumataas at hindi negatibo sa set X at n ay isang natural na numero, kung gayon ang function na fn ay tumataas din sa X.

8. Kung ang parehong function na f(x) at g(x) ay tumataas o parehong bumababa, kung gayon ang function na h(x) = f(g(x)) ay isang pagtaas ng function. Kung ang isa sa mga function ay tumataas. At ang isa ay bumababa, kung gayon ang h(x) = f(g(x)) ay isang nagpapababang function.

Bumuo tayo ng mga teorema tungkol sa mga equation.

Teorama 1.

Kung ang function na f(x) ay monotonic sa interval X, kung gayon ang equation na f(x) = C ay may hindi hihigit sa isang ugat sa interval X.

Teorama 2.

Kung ang function na f(x) ay monotonic sa interval X, kung gayon ang equation na f(g(x)) = f(h(x)) ay katumbas sa interval X sa equation na g(x) = h(x) .

Teorama 3.

Kung ang function na f(x) ay tumaas sa interval X, at ang g(x) ay bumaba sa interval X, kung gayon ang equation na g(x) = f(x) ay may hindi hihigit sa isang ugat sa interval X.

Teorama 4.

Kung ang function na f(x) ay tumaas sa interval X, kung gayon ang equation f(f(x)) = x ay katumbas ng interval X sa equation f(x) = x.

1. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang equation ay may eksaktong tatlong ugat

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

Desisyon. Ibahin natin ang equation na ito sa anyo

2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

Kung ilalagay namin ang u = x2-2x, v=2x-a-1, pagkatapos ay dumating kami sa equation

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

Ang function na f (t) = 2tlog3(t+3) ay tumataas nang monotonically para sa t >-2, kaya mula sa huling equation maaari tayong pumunta sa katumbas na u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1 )2=2x -a.

Ang equation na ito, gaya ng makikita sa figure, ay may eksaktong tatlong ugat sa mga sumusunod na kaso:

1. Ang vertex ng graph ng function na y \u003d 2x-a ay matatagpuan sa vertex ng parabola y \u003d (x-1) 2, na tumutugma sa isang \u003d 1;

2. Ang kaliwang sinag ng graph y \u003d 2x-a ay humipo sa parabola, at ang kanan ay nagsa-intersect dito sa dalawang punto; ito ay posible sa a=12;

3. Ang kanang sinag ay dumadampi, at ang kaliwa ay nagsalubong sa parabola, na nagaganap sa a=32.

Ipaliwanag natin ang pangalawang kaso. Kaliwang beam equation y = 2a-2x, ang slope nito ay -2. Samakatuwid, ang slope ng padaplis sa parabola ay

2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 at ang touch point ay may mga coordinate (0; 1). Mula sa kondisyon na ang puntong ito ay kabilang sa ray, makikita natin ang a=12.

Ang ikatlong kaso ay maaaring tratuhin sa katulad na paraan, o maaaring gamitin ang mga pagsasaalang-alang ng simetriya.

Sagot: 0.5; 1;1.5.

Ang iba pang mga equation ay maaaring isaalang-alang nang mas detalyado. (Appendix Blg. 4).

Kabanata 4. Gamit ang mga katangian ng convexity.

Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa pagitan ng X, ito ay tinatawag na mahigpit na convex pababa (pataas) sa X, kung para sa alinmang u at v mula sa X, u!=v at 0

Sa geometriko, nangangahulugan ito na anumang punto ng chord BC (iyon ay, isang segment na may mga dulo sa mga puntong B(u;f(u)) at C(v;f(v)) maliban sa mga puntong B at C ay nasa itaas ( sa ibaba) ang punto At ang graph ng function na f(x), na tumutugma sa parehong halaga ng argumento (Appendix No. 5).

Ang mga function na mahigpit na convex pataas at pababa ay tinatawag na mahigpit na convex.

Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo.

Teorama 1.

Hayaang ang function na f(x) ay mahigpit na pababang matambok sa pagitan ng X, u ,v ∈X, u

Ang Theorem 1 ay nagpapahiwatig ng sumusunod na assertion.

Teorama 2.

Kung ang function na f(x) ay mahigpit na matambok sa pagitan ng X, kung gayon ang mga function na u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) ay ganoon, para sa lahat ng x, ang mga equation ng ODZ f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) ang kanilang mga halaga u(x), v(x), u1(x), v1(x) ) ay nakapaloob sa X at ang kundisyong u +v = u1 +v1, kung gayon ang equation na f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) sa ODZ ay katumbas ng set ng mga equation u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

Desisyon. Kung ilalagay natin ang fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, ang equation na ito ay isusulat sa anyo (1). Dahil ang f "x \u003d -x24 (1-x2) 3, f "" x \u003d -2 + x244 (1-x2) 7, kung gayon ang function na fx ay mahigpit na paitaas na matambok sa segment -1; 1. Malinaw, ang natitirang mga kondisyon ay nasiyahan sa Theorem 2 at, samakatuwid, ang equation ay katumbas ng equation cos2x = 0.5, x = PI4 + PIk2, kung saan k∈Z.

Sagot: x = PI4 + PIk2, kung saan ang k∈Z.

Teorama 3.

Hayaang mahigpit na matambok ang function na fx sa pagitan ng X at u,v, λv+(1-λ)u∈X. Pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) ay totoo kung at kung alinman sa u=v o λ=0, o λ=1 .

Mga halimbawa: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

Ang equation ay may anyo (4) kung fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.

Malinaw, ang function na fx ay mahigpit na pababang matambok sa R. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 3, ang orihinal na equation ay katumbas ng set ng mga equation na sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.

Kaya't nakuha namin na ang mga solusyon nito ay magiging PIk2, PI12+PIn3, kung saan ang k,n∈Z.

Sagot: PIk2, PI12+PIn3, kung saan k,n∈Z.

Ang paggamit ng mga katangian ng convexity ay ginagamit din upang malutas ang mas kumplikadong mga equation. (Appendix Blg. 6).

Kabanata 5. Paggamit ng Even o Odd Properties ng Functions.

Ang function na fx ay tinatawag kahit na para sa anumang halaga na kinuha mula sa domain ng function, ang halaga - x ay kabilang din sa domain ng kahulugan at ang pagkakapantay-pantay na f-x= fx ay nasiyahan. Ang function na fx ay tinatawag na kakaiba kung para sa anumang halaga x na kinuha mula sa domain ng function, ang halaga - x ay kabilang din sa domain ng kahulugan at ang pagkakapantay-pantay na f-x=- fx ay nasiyahan.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang mga domain ng even at odd na mga function ay simetriko na may paggalang sa zero (isang kinakailangang kondisyon).

Para sa anumang dalawang simetriko na halaga ng argumento mula sa domain ng kahulugan, ang even function ay tumatagal ng pantay na mga numerical na halaga, at ang kakaiba ay tumatagal ng katumbas sa ganap na halaga, ngunit ng kabaligtaran na tanda.

Teorama 1.

Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto, at quotient ng dalawang even na function ay even functions.

Teorama 2.

Ang produkto at quotient ng dalawang kakaibang function ay even functions.

Hayaan nating magkaroon ng equation na F(x)=0, kung saan ang F(x) ay isang even o odd na function.

Upang malutas ang equation na F(x) = 0, kung saan ang F(x) ay isang even o odd na function, sapat na upang mahanap ang positibo (o negatibo) na mga ugat na simetriko sa mga nakuha, at para sa isang kakaibang function ang root ay x = 0 kung ang halagang ito ay kasama sa domain ng kahulugan F(x). Para sa pantay na function, ang value na x = 0 ay sinusuri sa pamamagitan ng direktang pagpapalit sa equation.

Mayroon kaming kahit na mga pag-andar sa magkabilang panig ng equation. Samakatuwid, sapat na upang makahanap ng mga solusyon para sa x>=0. Dahil ang x=0 ay hindi isang ugat ng equation, isaalang-alang ang dalawang pagitan: (0;2, 2;infinity.

a) Sa pagitan (0;2 mayroon kaming:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) Sa pagitan ng 2;infinity mayroon tayo:

8x= 2x+2+x-2.23x=22x, x=0.

Ngunit dahil ang x \u003d 0 ay hindi ang ugat ng equation, kung gayon para sa x> 0 ang equation na ito ay may ugat na x \u003d 43. Pagkatapos x \u003d - 43 din ang ugat ng equation.

Sagot: 43; - 43.

Naniniwala ang may-akda na ang gawain ay maaaring gamitin ng mga guro at mag-aaral ng mga uri ng pangkalahatang edukasyon sa mga opsyonal na klase, bilang paghahanda para sa mathematical olympiads, pagpasa sa pagsusulit, mga pagsusulit sa pasukan sa mga teknikal na institusyong pang-edukasyon.

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Paksa: "Exponential function. Functional-graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, inequalities, system"

I-download:

Preview:

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO