Kabilang sa maraming mga kalkulasyon na ginawa upang makalkula ang ilang mga dami ng iba't ibang ay ang paghahanap ng hypotenuse ng tatsulok. Alalahanin na ang isang tatsulok ay isang polyhedron na may tatlong anggulo. Nasa ibaba ang ilang mga paraan upang makalkula ang hypotenuse ng iba't ibang mga tatsulok.

Una, tingnan natin kung paano hanapin ang hypotenuse ng isang right triangle. Para sa mga nakalimutan, ang tamang tatsulok ay isang tatsulok na may anggulo na 90 degrees. Ang gilid ng isang tatsulok na nasa kabaligtaran ng kanang anggulo ay tinatawag na hypotenuse. Bilang karagdagan, ito ang pinakamahabang bahagi ng tatsulok. Depende sa mga kilalang halaga, ang haba ng hypotenuse ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

• Ang haba ng mga binti ay kilala. Ang hypotenuse sa kasong ito ay kinakalkula gamit ang Pythagorean theorem, na kung saan ay ang mga sumusunod: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Kung isasaalang-alang natin ang isang tamang tatsulok na BKF, kung saan ang BK at KF ay mga binti, at ang FB ay ang hypotenuse, kung gayon ang FB2= BK2+ KF2. Mula sa naunang nabanggit, ito ay sumusunod na kapag kinakalkula ang haba ng hypotenuse, ito ay kinakailangan upang parisukat ang bawat isa sa mga halaga ng binti sa turn. Pagkatapos ay idagdag ang mga numero at kunin ang square root ng resulta.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: Ibinigay ang isang tatsulok na may tamang anggulo. Ang isang binti ay 3 cm, ang isa ay 4 cm. Hanapin ang hypotenuse. Mukhang ganito ang solusyon.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. I-extract at kunin ang FB=5cm.

• Kilalang binti (BK) at ang anggulo na katabi nito, na nabuo ng hypotenuse at binti na ito. Paano mahahanap ang hypotenuse ng isang tatsulok? Tukuyin natin ang kilalang anggulo bilang α. Ayon sa ari-arian na nagsasabing ang ratio ng haba ng binti sa haba ng hypotenuse ay katumbas ng cosine ng anggulo sa pagitan ng binti na ito at ng hypotenuse. Isinasaalang-alang ang isang tatsulok, ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: FB= BK*cos(α).
• Ang binti (KF) at ang parehong anggulo α ay kilala, ngayon lamang ito ay magiging kabaligtaran. Paano mahahanap ang hypotenuse sa kasong ito? Lumiko tayo sa parehong mga katangian ng isang tamang tatsulok at alamin na ang ratio ng haba ng binti sa haba ng hypotenuse ay katumbas ng sine ng anggulo sa tapat ng binti. Ibig sabihin, FB= KF * sin (α).

Tingnan natin ang isang halimbawa. Ibinigay ang parehong tamang tatsulok na BKF na may hypotenuse FB. Hayaan ang anggulo F katumbas ng 30 degrees, ang pangalawang anggulo B ay tumutugma sa 60 degrees. Ang leg BK ay kilala rin, ang haba nito ay tumutugma sa 8 cm. Maaari mong kalkulahin ang nais na halaga tulad ng sumusunod:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Kilala para sa (R), na nakapaligid sa isang tatsulok na may tamang anggulo. Paano mahahanap ang hypotenuse kapag isinasaalang-alang ang gayong problema? Mula sa mga katangian ng isang bilog na nakapaligid sa isang tatsulok na may tamang anggulo, alam na ang gitna ng naturang bilog ay tumutugma sa hypotenuse point na naghahati nito sa kalahati. Sa simpleng mga termino, ang radius ay tumutugma sa kalahati ng hypotenuse. Kaya ang hypotenuse ay katumbas ng dalawang radii. FB=2*R. Kung ang isang katulad na problema ay ibinigay, kung saan hindi ang radius, ngunit ang median ay kilala, pagkatapos ay dapat bigyang pansin ng isa ang pag-aari ng isang bilog na nakapaligid sa isang tatsulok na may tamang anggulo, na nagsasabing ang radius ay katumbas ng median na iginuhit sa hypotenuse. Gamit ang lahat ng mga katangiang ito, ang problema ay malulutas sa parehong paraan.

Kung ang tanong ay kung paano hanapin ang hypotenuse ng isang isosceles right triangle, pagkatapos ay kinakailangan na lumiko sa parehong Pythagorean theorem. Ngunit, una sa lahat, tandaan na ang isosceles triangle ay isang tatsulok na may dalawang magkaparehong panig. Sa kaso ng isang tamang tatsulok, ang mga binti ay magkaparehong panig. Mayroon kaming FB2= BK2+ KF2, ngunit dahil BK= KF mayroon kaming sumusunod: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Tulad ng nakikita mo, ang pag-alam sa Pythagorean theorem at ang mga katangian ng isang right triangle, ang paglutas ng mga problema kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang haba ng hypotenuse ay napaka-simple. Kung mahirap matandaan ang lahat ng mga pag-aari, alamin ang mga yari na formula, palitan ang mga kilalang halaga kung saan maaari mong kalkulahin ang kinakailangang haba ng hypotenuse.

Ang pag-alam ng isa sa mga binti sa isang tamang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangalawang binti at ang hypotenuse gamit ang mga trigonometric na relasyon - ang sine at tangent ng isang kilalang anggulo. Dahil ang ratio ng binti sa tapat ng anggulo sa hypotenuse ay katumbas ng sine ng anggulong ito, samakatuwid, upang mahanap ang hypotenuse, ang binti ay dapat nahahati sa sine ng anggulo. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Ang pangalawang binti ay matatagpuan mula sa tangent ng kilalang anggulo, bilang ratio ng kilalang binti sa tangent. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Upang kalkulahin ang hindi kilalang anggulo sa isang tamang tatsulok, kailangan mong ibawas ang anggulo α mula sa 90 degrees. β=90°-α

Ang perimeter at lugar ng isang tamang tatsulok ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng binti at ang kabaligtaran na anggulo sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga dating nakuha na expression para sa pangalawang binti at hypotenuse sa mga formula. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Maaari mo ring kalkulahin ang taas sa pamamagitan ng mga trigonometriko na relasyon, ngunit nasa panloob na kanang tatsulok na may gilid a, na nabuo nito. Upang gawin ito, kailangan mo ng side a, bilang hypotenuse ng naturang tatsulok, na pinarami ng sine ng anggulo β o ang cosine ng α, dahil ayon sa mga trigonometric na pagkakakilanlan ay katumbas sila. (fig. 79.2) h=a cos⁡α

Ang median ng hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse o ang kilalang leg a na hinati ng dalawang sines α. Upang mahanap ang median ng mga binti, dinadala namin ang mga formula sa naaangkop na anyo para sa kilalang panig at mga anggulo. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Dahil ang bisector ng isang tamang anggulo sa isang tatsulok ay ang produkto ng dalawang panig at ang ugat ng dalawa, na hinati sa kabuuan ng mga panig na ito, na pinapalitan ang isa sa mga binti na may ratio ng kilalang binti sa tangent, nakuha namin ang sumusunod pagpapahayag. Katulad nito, sa pamamagitan ng pagpapalit ng ratio sa pangalawa at pangatlong mga formula, maaaring kalkulahin ng isa ang mga bisector ng mga anggulo α at β. (fig.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Ang gitnang linya ay tumatakbo parallel sa isa sa mga gilid ng tatsulok, habang bumubuo ng isa pang katulad na right-angled na tatsulok na may parehong mga anggulo, kung saan ang lahat ng panig ay kalahati ng laki ng orihinal. Batay dito, ang mga gitnang linya ay matatagpuan gamit ang mga sumusunod na formula, alam lamang ang binti at ang anggulo sa tapat nito. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Ang radius ng inscribed na bilog ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga binti at hypotenuse na hinati ng dalawa, at upang mahanap ang radius ng circumscribed circle, kailangan mong hatiin ang hypotenuse sa dalawa. Pinapalitan namin ang pangalawang binti at ang hypotenuse na may mga ratios ng binti a sa sine at tangent, ayon sa pagkakabanggit. (Larawan 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Bago mo mahanap ang hypotenuse ng isang tatsulok, kailangan mong malaman kung anong mga tampok ang figure na ito. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing:

1. Sa isang tamang tatsulok, ang parehong matinding anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 90º.
2. Ang isang binti na nakahiga sa tapat ng isang anggulo na 30º ay magiging katumbas ng ½ ng hypotenuse.
3. Kung ang binti ay katumbas ng ½ ng halaga ng hypotenuse, ang pangalawang anggulo ay magkakaroon ng parehong halaga - 30º.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang hypotenuse sa isang right triangle. Ang pinakasimpleng solusyon ay ang pagkalkula sa pamamagitan ng mga binti. Sabihin nating alam mo ang mga halaga ng mga binti ng mga gilid A at B. Pagkatapos ay ang Pythagorean theorem ay dumating upang iligtas, na nagsasabi sa amin na kung i-square ang bawat halaga ng binti at susumahin ang data na nakuha, malalaman natin kung ano ang hypotenuse ay. Kaya, kailangan lang nating kunin ang square root value:

Halimbawa, kung ang binti A = 3 cm at binti B = 4 cm, ang pagkalkula ay magiging ganito:

Paano mahahanap ang hypotenuse sa pamamagitan ng isang anggulo?

Ang isa pang paraan upang makatulong na malaman kung ano ang katumbas ng hypotenuse sa isang right triangle ay ang pagkalkula sa pamamagitan ng isang naibigay na anggulo. Upang gawin ito, kailangan nating makuha ang halaga sa pamamagitan ng formula ng sine. Ipagpalagay na alam natin ang halaga ng binti (A) at ang halaga ng kabaligtaran na anggulo (α). Pagkatapos ang buong solusyon ay nasa isang formula: С=А/sin(α).

Halimbawa, kung ang haba ng binti ay 40 cm at ang anggulo ay 45°, kung gayon ang haba ng hypotenuse ay maaaring makuha tulad ng sumusunod:

Maaari mo ring matukoy ang nais na halaga sa pamamagitan ng cosine ng isang naibigay na anggulo. Ipagpalagay na alam natin ang halaga ng isang binti (B) at isang matinding kasamang anggulo (α). Pagkatapos ay kailangan ng isang formula upang malutas ang problema: С=В/ cos(α).

Halimbawa, kung ang haba ng binti ay 50 cm at ang anggulo ay 45°, kung gayon ang hypotenuse ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:

Kaya, sinuri namin ang mga pangunahing paraan upang malaman ang hypotenuse sa isang tatsulok. Sa kurso ng paglutas ng gawain, mahalagang tumuon sa magagamit na data, kung gayon ang paghahanap ng hindi kilalang halaga ay magiging simple. Kailangan mong malaman ang isang pares ng mga formula at ang proseso ng paglutas ng mga problema ay magiging simple at kasiya-siya.

Pagtuturo

Ang mga anggulo sa tapat ng mga binti a at b ay ilalarawan ng A at B, ayon sa pagkakabanggit. Ang hypotenuse, ayon sa kahulugan, ay ang gilid ng isang right-angled na tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo (sa parehong oras, ang hypotenuse ay bumubuo ng talamak mga anggulo sa iba pang panig ng tatsulok). Tukuyin natin ang haba ng hypotenuse sa pamamagitan ng s.

Kakailanganin mong:
Calculator.

Gamitin ang sumusunod na expression para sa binti: a=sqrt(c^2-b^2), kung alam mo ang mga halaga ng hypotenuse at ang kabilang binti. Ang expression na ito ay nagmula sa Pythagorean theorem, na nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Ang sqrt operator ay kumakatawan sa pagkuha ng square root. Ang sign na "^2" ay nangangahulugan ng pagtaas sa pangalawang kapangyarihan.

Gamitin ang formula na a=c*sinA kung alam mo ang hypotenuse (c) at ang anggulo sa tapat ng gustong binti (itinalaga namin ang anggulong ito bilang A).
Gamitin ang expression na a=c*cosB upang mahanap ang binti kung alam mo ang hypotenuse (c) at ang anggulo na katabi ng gustong binti (itinalaga namin ang anggulong ito bilang B).
Kalkulahin ang binti gamit ang formula a = b * tgA sa kaso kapag ang binti b at ang anggulo sa tapat ng nais na binti ay ibinigay (napagkasunduan naming tukuyin ang anggulong ito bilang A).

Tandaan:
Kung sa iyong gawain ang binti ay hindi natagpuan ng alinman sa mga inilarawan na pamamaraan, malamang na maaari itong mabawasan sa isa sa kanila.

Nakatutulong na mga Pahiwatig:
Ang lahat ng mga expression na ito ay nakuha mula sa mga kilalang kahulugan ng trigonometric function, kaya kahit na nakalimutan mo ang isa sa mga ito, maaari mong palaging mabilis na makuha ito sa mga simpleng operasyon. Gayundin, ito ay kapaki-pakinabang na malaman ang mga halaga ng trigonometriko function para sa pinaka-karaniwang mga anggulo 30, 45, 60, 90, 180 degrees.

Gumamit ng calculator upang mahanap ang square root ng pagkakaiba sa pagitan ng squared hypotenuse at ng kilalang leg, na squared din. Ang binti ay tinatawag na gilid ng isang kanang tatsulok na katabi ng tamang anggulo. Ang expression na ito ay nagmula sa Pythagorean theorem, na nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Bago natin tingnan ang iba't ibang paraan upang mahanap ang isang binti sa tamang tatsulok, kumuha tayo ng ilang notasyon. Suriin kung alin sa mga nakalistang kaso ang tumutugma sa kondisyon ng iyong problema at, depende dito, sundin ang kaukulang talata. Alamin kung anong mga dami sa tatsulok na isinasaalang-alang ang alam mo. Gamitin ang sumusunod na expression upang kalkulahin ang binti: a=sqrt(c^2-b^2), kung alam mo ang mga halaga ng hypotenuse at ang kabilang binti.

Ang mga relasyon sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng geometric figure na ito ay tinalakay nang detalyado sa matematikal na disiplina ng trigonometrya. Upang mailapat ang equation na ito, kailangan mong malaman ang haba ng alinmang dalawang gilid ng isang right triangle.

Kalkulahin ang haba ng isa sa mga binti, kung ang mga sukat ng hypotenuse at ang kabilang binti ay kilala. Kung ang hypotenuse at isa sa mga talamak na anggulo na katabi nito ay ibinigay sa problema, gamitin ang mga talahanayan ng Bradys.

Ang panloob na tatsulok ay magiging katulad ng panlabas, dahil ang mga median na linya ay kahanay sa mga binti at hypotenuse, at katumbas ng kanilang mga halves, ayon sa pagkakabanggit. Dahil hindi alam ang hypotenuse, upang mahanap ang midline M_c, kailangan mong palitan ang radical mula sa Pythagorean theorem.

Ang hypotenuse ay ang pinakamahabang bahagi ng isang right triangle. Nakahiga ito sa tapat ng tamang anggulo. Ang haba ng hypotenuse ay matatagpuan sa iba't ibang paraan. Kung ang haba ng parehong mga binti ay kilala, kung gayon ang laki nito ay kinakalkula ng Pythagorean theorem: ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse. Alam na ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ay 180 °, binabawasan namin ang tamang anggulo at ang kilala na.

Kapag kinakalkula ang mga parameter ng isang tamang tatsulok, mahalagang bigyang-pansin ang mga kilalang halaga at lutasin ang problema gamit ang pinakasimpleng formula. Una, tandaan natin kung ano ang tamang tatsulok. Ang tamang tatsulok ay isang geometric na figure ng tatlong mga segment na nag-uugnay sa mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at ang isa sa mga anggulo ng figure na ito ay 90 degrees. Mayroong ilang mga paraan upang malaman ang haba ng binti.

Formula: c²=a²+b², kung saan ang c ay ang hypotenuse, ang a at b ay ang mga binti

Kung alam natin ang hypotenuse at ang binti, makikita natin ang haba ng hindi kilalang binti gamit ang Pythagorean theorem. Parang ganito: "Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Mayroong apat na pagpipilian para sa paghahanap ng binti gamit ang mga trigonometric function: sa pamamagitan ng sine, cosine, tangent, cotangent. Ang sine ng isang anggulo (sin) ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Formula: sin \u003d a / c, kung saan ang a ay ang binti sa tapat ng ibinigay na anggulo, at c ay ang hypotenuse.

Ang mga hindi pangkaraniwang katangian ng mga right triangle ay natuklasan ng sinaunang Greek scientist na si Pythagoras, na natuklasan na ang parisukat ng hypotenuse sa naturang mga tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Ang altitude ay ang patayo mula sa anumang vertex ng isang tatsulok hanggang sa kabaligtaran na bahagi (o ang extension nito, para sa isang tatsulok na may obtuse angle). Ang taas ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto, na tinatawag na orthocenter. Kung ito ay isang arbitrary right triangle, kung gayon walang sapat na data.

Gayundin, ito ay kapaki-pakinabang na malaman ang mga halaga ng trigonometriko function para sa pinaka-karaniwang mga anggulo 30, 45, 60, 90, 180 degrees. Kung tinukoy ng mga kondisyon ang mga sukat ng mga binti, hanapin ang haba ng hypotenuse. Sa buhay, madalas na kailangan nating harapin ang mga problema sa matematika: sa paaralan, sa unibersidad, at pagkatapos ay tulungan ang ating anak sa takdang-aralin.

Susunod, binabago natin ang formula at makuha ang: a=sin*c

Upang malutas ang mga problema, ang talahanayan sa ibaba ay makakatulong sa amin. Isaalang-alang natin ang mga opsyong ito. Ang isang kawili-wiling espesyal na kaso ay kapag ang isa sa mga talamak na anggulo ay katumbas ng 30 degrees.

Ang mga tao ng ilang mga propesyon ay makakatagpo ng matematika araw-araw.

Posible rin na makahanap ng hindi kilalang binti kung alam ang anumang iba pang panig at anumang matinding anggulo ng tamang tatsulok. Hanapin ang gilid ng isang right triangle gamit ang Pythagorean theorem. Gayundin, ang mga gilid ng isang tamang tatsulok ay matatagpuan gamit ang iba't ibang mga formula, depende sa bilang ng mga kilalang variable.