Impormasyon mula sa kasaysayan ng paglitaw ng derivative: Ang slogan ng maraming mathematician noong ika-17 siglo. ay: "Sumulong, at manampalataya sa katumpakan ng mga resulta sa iyo
darating."
Ang terminong "derivative" - ​​​​(French derive - behind, behind) ay ipinakilala noong 1797 ni J. Lagrange. Nagpakilala din siya
modernong mga pagtatalaga y ", f'.
ang pagtatalagang lim ay isang pagdadaglat ng salitang Latin na limes (hangganan, hangganan). Ang terminong "limitasyon" ay ipinakilala ni I. Newton.
I. Tinawag ni Newton ang derivative na isang flux, at ang function mismo - isang matatas.
Nagsalita si G. Leibniz tungkol sa ugnayang pagkakaiba at tinukoy ang hinalaw bilang sumusunod:
Lagrange Joseph Louis (1736-1813)
French mathematician at mekaniko

Newton:

“Ang mundong ito ay nababalot ng malalim na kadiliman. Magkaroon ng liwanag! At kaya
Lumitaw si Newton. A. Pogue.
Isaac Newton (1643-1727) isa sa mga tagapagtatag
differential calculus.
Ang kanyang pangunahing gawain ay "Mga prinsipyo sa matematika
natural na pilosopiya "-nagkaroon ng napakalaki
impluwensya sa pag-unlad ng natural na agham
turning point sa kasaysayan ng natural science.
Ipinakilala ni Newton ang konsepto ng derivative habang pinag-aaralan ang mga batas
mekanika, sa gayo'y inilalantad ang mekanikal nito
ibig sabihin.

Ano ang derivative ng isang function?

Ang derivative ng isang function sa isang naibigay na punto ay tinatawag na limitasyon
ang ratio ng pagtaas ng function sa puntong ito sa
argument increment kapag argument increment
may posibilidad na maging zero.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative.

Ang bilis ay ang derivative ng distansya na may kinalaman sa oras:
v(t) = S′(t)
Ang acceleration ay isang derivative
bilis sa paglipas ng panahon:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

Ang geometric na kahulugan ng derivative:

Slope ng tangent sa graph
ang function ay katumbas ng derivative ng function na ito,
kinakalkula sa punto ng contact.
f′(x) = k = tga

Derivative sa electrical engineering:

Sa aming mga tahanan, sa transportasyon, sa mga pabrika: ito ay gumagana sa lahat ng dako
kuryente. Sa pamamagitan ng electric current ay sinadya
nakadirekta sa paggalaw ng libreng de-kuryenteng sisingilin
mga particle.
Ang quantitative na katangian ng electric current ay ang puwersa
kasalukuyang.
AT
electric current circuits nagbabago ang singil ng kuryente mula sa
sa paglipas ng panahon ayon sa batas q=q (t). Ang kasalukuyang lakas I ay isang derivative
singilin q sa paglipas ng panahon.
Sa electrical engineering, ang operasyon ng AC ay pangunahing ginagamit.
Ang isang electric current na nagbabago sa panahon ay tinatawag
mga variable. Ang isang AC circuit ay maaaring maglaman ng iba't-ibang
elemento: heater, coils, capacitors.
Ang pagkuha ng alternating electric current ay batay sa batas
electromagnetic induction, ang pagbabalangkas nito ay naglalaman ng
derivative ng magnetic flux.

Derivative sa kimika:

◦ At sa chemistry, differential
calculus para sa pagbuo ng mga mathematical na modelo ng kemikal
mga reaksyon at kasunod na paglalarawan ng kanilang mga katangian.
◦ Ang Chemistry ay ang agham ng mga sangkap, ng mga pagbabagong kemikal
mga sangkap.
◦ Pinag-aaralan ng Chemistry ang mga pattern ng iba't ibang reaksyon.
◦ Ang bilis ng isang kemikal na reaksyon ay ang pagbabago
konsentrasyon ng mga reactant bawat yunit ng oras.
◦ Dahil ang bilis ng reaksyon v ay patuloy na nagbabago habang
proseso, ito ay karaniwang ipinahayag bilang isang derivative ng konsentrasyon
mga reaksyon sa paglipas ng panahon.

Derivative sa heograpiya:

Ang ideya ng modelong sosyolohikal ni Thomas Malthus ay ang paglaki ng populasyon
proporsyonal sa populasyon sa isang takdang oras t hanggang N(t), . modelo
Mahusay na ginawa ni Malthus ang paglalarawan sa populasyon ng US mula 1790 hanggang 1860.
taon. Ang modelong ito ay hindi na wasto sa karamihan ng mga bansa.

Ang integral at ang aplikasyon nito:

Isang kaunting kasaysayan:

Ang kasaysayan ng konsepto ng integral ay bumalik sa
sa mga mathematician ng Sinaunang Greece at Sinaunang
Roma.
Ang mga gawa ng siyentipiko ng Sinaunang Greece, Eudoxus ng Knidos (c. 408-c. 355 BC), ay kilala noong
paghahanap ng mga volume ng katawan at mga kalkulasyon
mga lugar ng mga figure ng eroplano.

Ang integral calculus ay naging laganap noong ika-17 siglo. Mga siyentipiko:
Malayang natuklasan nina G. Leibniz (1646-1716) at I. Newton (1643-1727)
kaibigan at halos sabay-sabay ang formula, sa kalaunan ay tinawag na formula
Newton - Leibniz, na ginagamit namin. Na ang mathematical formula
dinala pilosopo at pisisista ay hindi nakakagulat sa sinuman, dahil ang matematika ay ang wika kung saan
ang kalikasan mismo ang nagsasalita.

Pumasok ang simbolo
Leibniz (1675). Ang tanda na ito ay
pagbabago ng letrang Latin na S
(ang unang titik ng salitang sum). Ang mismong salitang integral
naimbento
J. Bernoulli (1690). Malamang nanggaling ito
Latin integero, na isinasalin bilang
ibalik sa orihinal nitong estado.
Ang mga limitasyon ng pagsasama ay ipinahiwatig na ni L. Euler
(1707-1783). Noong 1697 lumitaw ang pangalan
bagong sangay ng matematika - integral
calculus. Ipinakilala ito ni Bernoulli.

Sa mathematical analysis, ang integral ng isang function ay tinatawag
extension ng konsepto ng sum. Ang proseso ng paghahanap ng integral
ay tinatawag na integrasyon. Ang prosesong ito ay karaniwang ginagamit para sa
paghahanap ng mga dami gaya ng area, volume, mass, displacement, atbp.
kapag ang rate o distribusyon ng mga pagbabago sa dami na ito ay ibinigay
na may paggalang sa ilang iba pang dami (posisyon, oras, atbp.).

Ano ang integral?

Ang integral ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis, na
arises kapag nilutas ang mga problema ng paghahanap ng lugar sa ilalim ng curve, ang distansya na nilakbay noong
hindi pantay na paggalaw, ang masa ng isang hindi magkakatulad na katawan, atbp., pati na rin sa problema ng
pagpapanumbalik ng isang function mula sa hinango nito

Sinusubukan ng mga siyentipiko ang lahat ng pisikal
phenomena na ipahayag sa anyo
mathematical formula. paano
may formula lang tayo, further
posible na kasama nito
magbilang ng kahit ano. At ang integral
ay isa sa mga pangunahing
mga tool para sa pagtatrabaho sa
mga function.

Mga paraan ng pagsasama:

1.Tabular.
2. Pagbawas sa tabular na pagbabago ng integrand
mga ekspresyon sa kabuuan o pagkakaiba.
3.Pagsasama-sama gamit ang pagbabago ng variable (pagpapalit).
4. Integrasyon ayon sa mga bahagi.

Paglalapat ng integral:

◦ Matematika
◦ Compute S na mga hugis.
◦ Haba ng curve arc.
◦ V katawan sa S parallel
mga seksyon.
◦ V mga katawan ng rebolusyon, atbp.
Physics
Trabaho Isang variable na puwersa.
S - (landas) ng paggalaw.
Pagkalkula ng masa.
Pagkalkula ng sandali ng pagkawalang-galaw ng linya,
bilog, silindro.
◦ Compute center coordinate
grabidad.
◦ Dami ng init, atbp.
◦
◦
◦
◦

Wala pang HTML na bersyon ng trabaho.

Mga Katulad na Dokumento

Pagkilala sa kasaysayan ng konsepto ng integral. Pamamahagi ng integral calculus, pagtuklas ng Newton-Leibniz formula. Simbolo ng halaga; extension ng konsepto ng sum. Paglalarawan ng pangangailangan na ipahayag ang lahat ng pisikal na phenomena sa anyo ng isang mathematical formula.

pagtatanghal, idinagdag noong 01/26/2015


Mga ideya ng integral calculus sa mga gawa ng mga sinaunang mathematician. Mga tampok ng paraan ng pagkaubos. Ang kasaysayan ng paghahanap ng Kepler torus volume formula. Theoretical substantiation ng prinsipyo ng integral calculus (prinsipyo ni Cavalieri). Ang konsepto ng isang tiyak na integral.

pagtatanghal, idinagdag 07/05/2016


Kasaysayan ng integral calculus. Kahulugan at katangian ng dobleng integral. Ang geometric na interpretasyon nito, pagkalkula sa Cartesian at polar coordinates, ang pagbawas nito sa paulit-ulit. Application sa economics at geometry upang makalkula ang mga volume at lugar.

term paper, idinagdag noong 10/16/2013


Kahulugan ng isang curvilinear integral sa mga coordinate, ang mga pangunahing katangian at pagkalkula nito. Kondisyon ng pagsasarili ng curvilinear integral mula sa landas ng pagsasama. Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure gamit ang double integral. Gamit ang formula ni Green.

pagsubok, idinagdag noong 02/23/2011


Mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral. Paglalapat ng integral calculus. Integral calculus sa geometry. Mekanikal na aplikasyon ng tiyak na integral. Integral na calculus sa biology. Integral calculus sa ekonomiya.

term paper, idinagdag noong 01/21/2008


Kasaysayan ng integral at differential calculus. Mga aplikasyon ng tiyak na integral sa solusyon ng ilang problema ng mekanika at pisika. Mga sandali at sentro ng masa ng mga kurba ng eroplano, ang teorama ni Gulden. Differential equation. Mga halimbawa ng paglutas ng problema sa MatLab.

abstract, idinagdag 09/07/2009


Ang konsepto ng Stieltjes integral. Pangkalahatang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng Stieltjes integral, mga klase ng mga kaso ng pagkakaroon nito, at pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng sign nito. Ang pagbabawas ng integral ng Stieltjes sa integral ng Riemann. Application sa probability theory at quantum mechanics.

thesis, idinagdag noong 07/20/2009


Kahulugan ng hindi tiyak na integral, antiderivative ng isang tuluy-tuloy na function, kaugalian ng hindi tiyak na integral. Derivation ng formula para sa pagpapalit ng isang variable sa isang hindi tiyak na integral at integration ng mga bahagi. Kahulugan ng isang fractional rational function.

cheat sheet, idinagdag noong 08/21/2009


Pagkilala sa konsepto at pangunahing katangian ng isang tiyak na integral. Representasyon ng formula para sa pagkalkula ng integral sum para sa function na y=f(x) sa segment [a, b]. Pagkakapantay-pantay sa zero ng integral sa ilalim ng kondisyon na ang lower at upper limits ng integration ay pantay.

pagtatanghal, idinagdag noong 09/18/2013


Ang ilang mga aplikasyon ng derivative. Gamit ang mga pangunahing teorema ng differential calculus upang patunayan ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Antiderivative at integral sa mga problema ng elementarya na matematika. Monotonicity ng integral. Ang ilang mga klasikal na hindi pagkakapantay-pantay.

Paksa ng pananaliksik

Paglalapat ng integral calculus sa pagpaplano ng mga gastos sa pamilya

Kaugnayan ng problema

Ang pagtaas, sa mga panlipunan at pang-ekonomiyang spheres, kapag kinakalkula ang antas ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamahagi ng kita, ginagamit ang matematika, ibig sabihin, integral calculus. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng praktikal na aplikasyon ng integral, natututo tayo:

• Paano nakakatulong ang integral at pagkalkula ng lugar gamit ang integral sa paglalaan ng mga gastos sa materyal?

• Paano makakatulong ang integral sa pag-iipon ng pera para sa bakasyon.

Target

planuhin ang mga gastusin ng pamilya gamit ang integral kalkulasyon

Mga gawain

• Alamin ang geometric na kahulugan ng integral.
• Isaalang-alang ang mga paraan ng pagsasama-sama sa panlipunan at pang-ekonomiyang larangan ng buhay.
• Gumawa ng isang pagtataya ng mga gastos sa materyal ng pamilya kapag nag-aayos ng isang apartment gamit ang integral.
• Kalkulahin ang dami ng pagkonsumo ng enerhiya ng pamilya para sa isang taon, na isinasaalang-alang ang integral na pagkalkula.
• Kalkulahin ang halaga ng isang savings deposit sa Sberbank para sa bakasyon.

Hypothesis

ang integral calculus ay nakakatulong sa matipid na mga kalkulasyon kapag nagpaplano ng kita at gastos ng pamilya.

Mga yugto ng pananaliksik

• Pinag-aralan namin ang geometric na kahulugan ng integral at mga pamamaraan ng integrasyon sa panlipunan at pang-ekonomiyang spheres ng buhay.
• Kinakalkula namin ang mga gastos sa materyal na kinakailangan para sa pagkumpuni ng isang apartment gamit ang integral.
• Kinakalkula namin ang dami ng konsumo ng kuryente sa apartment at ang halaga ng kuryente para sa pamilya sa loob ng isang taon.
• Isinasaalang-alang namin ang isa sa mga opsyon para sa pagkolekta ng kita ng pamilya sa pamamagitan ng mga deposito sa Sberbank gamit ang integral.

Layunin ng pag-aaral

integral calculus sa panlipunan at pang-ekonomiyang larangan ng buhay.

Paraan

• Pagsusuri ng panitikan sa paksang "Praktikal na aplikasyon ng integral calculus"
• Ang pag-aaral ng mga pamamaraan ng pagsasama sa paglutas ng mga problema sa pagkalkula ng mga lugar at dami ng mga numero gamit ang integral.
• Pagsusuri ng mga gastos at kita ng pamilya gamit ang integral na pagkalkula.

Proseso ng paggawa

• Pagsusuri sa panitikan sa paksang "Praktikal na aplikasyon ng integral calculus"
• Paglutas ng isang sistema ng mga problema para sa pagkalkula ng mga lugar at dami ng mga numero gamit ang integral.
• Pagkalkula ng mga gastos at kita ng pamilya gamit ang isang mahalagang kalkulasyon: pagkukumpuni ng silid, dami ng kuryente, mga deposito sa Sberbank para sa bakasyon.

Ang aming mga resulta

Paano nakakatulong ang integral at pagkalkula ng volume sa tulong ng integral sa paghula sa dami ng konsumo ng kuryente?

natuklasan

• Ang pagkalkula ng ekonomiya ng mga kinakailangang pondo para sa pagkumpuni ng isang apartment ay maaaring maisagawa nang mas mabilis at mas tumpak gamit ang isang integral na pagkalkula.

• Mas madali at mas mabilis na kalkulahin ang konsumo ng kuryente ng pamilya gamit ang integral na kalkulasyon at Microsoft Office Excel, na nangangahulugang hulaan ang mga gastos sa kuryente ng pamilya sa loob ng isang taon.

• Ang kita mula sa mga deposito sa Sberbank ay maaaring kalkulahin gamit ang isang mahalagang kalkulasyon, na nangangahulugang pagpaplano ng bakasyon ng pamilya.

Listahan ng mga mapagkukunan

Mga nakalimbag na edisyon:

• Teksbuk. Algebra at ang simula ng pagsusuri 10-11 grade. A.G. Mordkovich. Mnemosyne. M: 2007
• Teksbuk. Algebra at ang simula ng pagsusuri 10-11 grade. A. Kolmogorov Enlightenment. M: 2007
• Matematika para sa mga sosyologo at ekonomista. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
• Integral na pagkalkula. Handbook of Higher Mathematics ni M. Ya. Vygodsky, Enlightenment, 2000

Ang motto ng aralin: "Ang matematika ay ang wika na sinasalita ng lahat ng eksaktong agham" N.I. Lobachevsky

Ang layunin ng aralin: upang gawing pangkalahatan ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang "Integral", "Paglalapat ng integral"; upang palawakin ang kanilang mga abot-tanaw, kaalaman tungkol sa posibleng aplikasyon ng integral sa pagkalkula ng iba't ibang dami; pagsamahin ang mga kasanayan sa paggamit ng integral upang malutas ang mga inilapat na problema; magtanim ng isang nagbibigay-malay na interes sa matematika, bumuo ng isang kultura ng komunikasyon at isang kultura ng matematikal na pagsasalita; matutong makipag-usap sa mga mag-aaral at guro.

Uri ng aralin: iterative-generalizing.

Uri ng aralin: aralin - pagtatanggol sa proyektong "Paglalapat ng integral".

Kagamitan: magnetic board, mga poster na "Application of the integral", mga card na may mga formula at gawain para sa malayang gawain.

Plano ng aralin:

1. Proteksyon ng proyekto:

1. mula sa kasaysayan ng integral calculus;
2. mahalagang katangian;
3. aplikasyon ng integral sa matematika;
4. aplikasyon ng integral sa pisika;

2. Solusyon ng mga pagsasanay.

Sa panahon ng mga klase

Guro: Ang isang makapangyarihang kasangkapan sa pagsasaliksik sa matematika, pisika, mekanika at iba pang mga disiplina ay isang tiyak na integral - isa sa mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis. Ang geometric na kahulugan ng integral ay ang lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ang pisikal na kahulugan ng integral ay 1) ang masa ng isang inhomogeneous rod na may density, 2) ang displacement ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis sa loob ng isang yugto ng panahon.

Guro: Ang mga lalaki sa aming klase ay gumawa ng mahusay na trabaho, kinuha nila ang mga gawain kung saan inilalapat ang isang tiyak na integral. May salita sila.

2 mag-aaral: Mga katangian ng integral

3 mag-aaral: Paglalapat ng integral (talahanayan sa magnetic board).

4 na mag-aaral: Isinasaalang-alang namin ang paggamit ng integral sa matematika upang makalkula ang lugar ng mga figure.

Ang lugar ng anumang figure ng eroplano, na isinasaalang-alang sa isang rectangular coordinate system, ay maaaring binubuo ng mga lugar ng curvilinear trapezoids na katabi ng axis Oh at mga palakol OU. Lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapalibutan ng isang curve y = f(x), aksis Oh at dalawang tuwid x=a at x=b, saan a x b, f(x) 0 kinakalkula ng formula cm. kanin. Kung ang curvilinear trapezoid ay katabi ng axis OU, pagkatapos ay kinakalkula ang lugar nito sa pamamagitan ng formula , cm. kanin. Kapag kinakalkula ang mga lugar ng mga figure, ang mga sumusunod na kaso ay maaaring lumitaw: a) Ang figure ay matatagpuan sa itaas ng Ox axis at limitado ng Ox axis, ang curve y \u003d f (x) at dalawang tuwid na linya x \u003d a at x \u003d b. (Tingnan. kanin.) Ang lugar ng figure na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula 1 o 2. b) Ang figure ay matatagpuan sa ilalim ng Ox axis at nililimitahan ng Ox axis, ang curve y \u003d f (x) at dalawang tuwid na linya x \u003d a at x \u003d b (tingnan. kanin.). Ang lugar ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula . c) Ang figure ay matatagpuan sa itaas at ibaba ng Ox axis at limitado ng Ox axis, ang curve y \u003d f (x) at dalawang tuwid na linya x \u003d a at x \u003d b ( kanin.). d) Ang lugar ay nalilimitahan ng dalawang intersecting curve y \u003d f (x) at y \u003d (x) ( kanin.)

5 mag-aaral: Lutasin ang problema

x-2y+4=0 at x+y-5+0 at y=0

7 mag-aaral: Isang integral na malawakang ginagamit sa pisika. Isang salita sa mga physicist.

1. PAGKUKULALA NG DAAN NA BINABAYAN NG ISANG PUNTO

Ang landas na dinaanan ng isang punto sa panahon ng hindi pare-parehong paggalaw sa isang tuwid na linya na may variable na bilis para sa pagitan ng oras mula hanggang ay kinakalkula ng formula.

Mga halimbawa:

1. Bilis ng paggalaw ng punto MS. Hanapin ang landas na dinaanan ng punto sa loob ng 4 na segundo.

Solusyon: ayon sa kondisyon, . Kaya naman,

2. Dalawang katawan ang nagsimulang gumalaw nang sabay-sabay mula sa parehong punto sa parehong direksyon sa isang tuwid na linya. Ang unang katawan ay gumagalaw nang may bilis m / s, ang pangalawa - na may bilis v = (4t+5) MS. Gaano kalayo ang agwat nila pagkatapos ng 5 segundo?

Solusyon: malinaw na ang nais na halaga ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya na nilakbay ng una at pangalawang katawan sa 5 s:

3. Ang isang katawan ay itinapon nang patayo pataas mula sa ibabaw ng lupa na may bilis na u = (39.2-9.8^) m/s. Hanapin ang pinakamataas na taas ng katawan.

Solusyon: maaabot ng katawan ang pinakamataas na taas ng pag-angat sa isang oras t kapag v = 0, i.e. 39.2- 9.8t = 0, kung saan ako= 4 s. Sa pamamagitan ng formula (1), makikita natin

2. PAGKUKULANG NG LAKAS NG TRABAHO

Ang gawaing ginawa ng variable force f(x) kapag gumagalaw sa kahabaan ng axis Oh materyal na punto mula sa x = a dati x=b, ay matatagpuan ayon sa formula Kapag nilulutas ang mga problema para sa pagkalkula ng gawain ng isang puwersa, ang G y k a batas ay kadalasang ginagamit: F=kx, (3) kung saan si F - puwersa N; X-ganap na pagpahaba ng tagsibol, m, sanhi ng puwersa F, a k- koepisyent ng proporsyonalidad, N/m.

Halimbawa:

1. Ang spring at rest ay may haba na 0.2 m. Ang puwersang 50 N ay umaabot sa spring ng 0.01 m. Anong gawain ang dapat gawin upang maabot ito mula 0.22 hanggang 0.32 m?

Solusyon: gamit ang pagkakapantay-pantay (3), mayroon tayong 50=0.01k, ibig sabihin, kK = 5000 N/m. Nahanap namin ang mga limitasyon ng pagsasama: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (m), b=0.32- 0.2 = 0.12(m). Ngayon, ayon sa formula (2), nakukuha natin

3. PAGKUKULALA NG GAWAING GINAWA SA PAG-AAS NG LOAD

Gawain. Ang isang cylindrical tank na may base radius na 0.5 m at taas na 2 m ay puno ng tubig. Kalkulahin ang gawaing kailangang gawin upang magbomba ng tubig palabas ng tangke.

Solusyon: pumili ng pahalang na layer sa lalim x na may taas dx ( kanin.). Ang gawain A na dapat gawin upang itaas ang isang layer ng tubig na may timbang na P sa taas na x ay katumbas ng Px.

Ang pagbabago sa lalim x ng maliit na halaga dx ay magdudulot ng pagbabago sa volume V ng dV = pr 2 dx at pagbabago sa timbang Р sa pamamagitan ng * dР = 9807 r 2 dх; sa kasong ito, ang gawaing isinagawa A ay magbabago sa halagang dА=9807пr 2 xdх. Ang pagsasama ng pagkakapantay-pantay na ito habang nagbabago ang x mula 0 hanggang H, nakukuha namin

4. PAGKUKULANG NG LIQUID PRESSURE FORCE

Ang kahulugan ng lakas R Ang presyon ng likido sa isang pahalang na plataporma ay nakasalalay sa lalim ng paglulubog X ang site na ito, ibig sabihin, mula sa distansya ng site hanggang sa ibabaw ng likido.

Ang puwersa ng presyon (N) sa isang pahalang na plataporma ay kinakalkula ng formula P = 9807Sx,

saan - density ng likido, kg/m 3; S - lugar ng site, m 2; X - platform immersion depth, m

Kung ang lugar sa ilalim ng presyon ng likido ay hindi pahalang, kung gayon ang presyon dito ay naiiba sa iba't ibang lalim, samakatuwid, ang puwersa ng presyon sa lugar ay isang function ng lalim ng paglulubog nito P(x).

5. HABA NG ARC

Hayaan ang isang patag na kurba AB(bigas.) ibinigay ng equation y \u003d f (x) (axb) at f(x) at f ?(x) ay tuluy-tuloy na mga function sa pagitan [а, b]. Tapos yung differential dl haba ng arko AB ay ipinahayag ng pormula o , at ang haba ng arko AB kinakalkula ng formula (4)

kung saan ang a at b ay ang mga halaga ng malayang variable X sa mga puntong A at B. Kung ang kurba ay ibinigay ng equation x =(y)(na may yd) pagkatapos ay ang haba ng arko AB ay kinakalkula ng formula (5) saan kasama at d mga independiyenteng variable na halaga sa sa mga punto PERO at V.

6. SENTRO NG MISA

Kapag hinahanap ang sentro ng masa, ginagamit ang mga sumusunod na patakaran:

1) x coordinate ? ang sentro ng masa ng sistema ng mga materyal na puntos А 1 , А 2 ,..., А n na may masa m 1 , m 2 , ..., m n matatagpuan sa isang tuwid na linya sa mga punto na may mga coordinate x 1 , x 2 , ..., x n , ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

(*); 2) Kapag kinakalkula ang coordinate ng sentro ng masa, ang anumang bahagi ng pigura ay maaaring mapalitan ng isang materyal na punto, ilagay ito sa gitna ng masa ng bahaging ito, at italaga dito ang isang masa na katumbas ng masa ng itinuturing na bahagi ng pigura. Halimbawa. Hayaan kasama ang rod-segment [a;b] ng axis Ox - ang masa ay ibinahagi sa density (x), kung saan ang (x) ay isang tuluy-tuloy na function. Ipakita natin iyan a) ang kabuuang masa M ng baras ay katumbas ng; b) coordinate ng sentro ng masa x " ay katumbas ng .

Hatiin natin ang segment [a; b] sa n pantay na bahagi na may mga puntos na a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (kanin.). Sa bawat isa sa mga n segment na ito, ang density ay maaaring ituring na pare-pareho para sa malaking n at humigit-kumulang katumbas ng (x k - 1) sa k-th segment (dahil sa continuity ng (x). Pagkatapos ay ang mass ng k-th segment ay tinatayang katumbas ng at ang masa ng buong pamalo ay

Ang konsepto ng integral ay malawakang nalalapat sa buhay. Ang mga integral ay ginagamit sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang mga pangunahing gawain na kinakalkula gamit ang mga integral ay mga gawain para sa:

1. Paghahanap ng volume ng katawan

2. Paghahanap ng sentro ng masa ng katawan.

Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado. Dito at sa ibaba, upang tukuyin ang isang tiyak na integral ng ilang function na f(x), na may mga limitasyon sa pagsasama mula a hanggang b, gagamitin namin ang sumusunod na notasyon ∫ a b f(x).

Paghahanap ng volume ng isang katawan

Isaalang-alang ang sumusunod na pigura. Ipagpalagay na mayroong ilang katawan na ang volume ay katumbas ng V. Mayroon ding isang tuwid na linya na kung tayo ay kukuha ng isang tiyak na eroplano na patayo sa tuwid na linya na ito, ang cross-sectional area S ng katawan na ito sa pamamagitan ng eroplanong ito ay malalaman.

Ang bawat naturang eroplano ay magiging patayo sa x-axis, at samakatuwid ay mag-intersect ito sa isang punto x. Iyon ay, ang bawat punto x mula sa segment ay itatalaga ang numero S (x) - ang cross-sectional area ng katawan, ang eroplano na dumadaan sa puntong ito.

Lumalabas na ang ilang function na S(x) ay ibibigay sa segment. Kung tuloy-tuloy ang function na ito sa segment na ito, magiging wasto ang sumusunod na formula:

V = ∫ a b S(x)dx.

Ang patunay ng pahayag na ito ay lampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan.

Pagkalkula ng sentro ng masa ng isang katawan

Ang sentro ng masa ay kadalasang ginagamit sa pisika. Halimbawa, mayroong ilang katawan na gumagalaw sa anumang bilis. Ngunit hindi maginhawang isaalang-alang ang isang malaking katawan, at samakatuwid sa pisika ang katawan na ito ay itinuturing na paggalaw ng isang punto, sa pag-aakalang ang puntong ito ay may parehong masa ng buong katawan.

At ang gawain ng pagkalkula ng sentro ng masa ng katawan ay ang pangunahing isa sa bagay na ito. Dahil malaki ang katawan, at aling punto ang dapat kunin bilang sentro ng masa? Baka yung nasa gitna ng katawan? O marahil ang pinakamalapit na punto sa nangungunang gilid? Dito pumapasok ang pagsasama.

Ang sumusunod na dalawang panuntunan ay ginagamit upang mahanap ang sentro ng masa:

1. Coordinate x' ng sentro ng masa ng ilang sistema ng materyal na mga punto A1, A2,A3, … An na may mga masa m1, m2, m3, … mn, ayon sa pagkakabanggit, na matatagpuan sa isang tuwid na linya sa mga puntong may mga coordinate x1, x2, x3, … xn ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Kapag kinakalkula ang mga coordinate ng sentro ng masa, anumang bahagi ng pigura na isinasaalang-alang ay maaaring mapalitan ng isang materyal na punto, habang inilalagay ito sa gitna ng masa ng hiwalay na bahaging ito ng pigura, at ang masa ay maaaring kunin nang pantay. sa masa ng bahaging ito ng pigura.

Halimbawa, kung ang isang mass ng density p(x) ay ibinahagi sa kahabaan ng baras - isang segment ng Ox axis, kung saan ang p(x) ay isang tuluy-tuloy na function, kung gayon ang coordinate ng sentro ng mass x' ay magiging katumbas ng.