Ang teorya ng probabilidad at mga istatistika ng matematika. Teorya ng posibilidad

Si Nanay ang naghugas ng frame

Sa pagtatapos ng mahabang bakasyon sa tag-araw, oras na para dahan-dahang bumalik sa mas matataas na matematika at taimtim na magbukas ng walang laman na Verd file upang magsimulang lumikha ng bagong seksyon - . Inaamin ko na ang mga unang linya ay hindi madali, ngunit ang unang hakbang ay kalahati ng paraan, kaya iminumungkahi ko sa lahat na maingat na pag-aralan ang panimulang artikulo, pagkatapos nito ay magiging 2 beses na mas madaling makabisado ang paksa! Hindi naman ako nag-e-exaggerate. ... Sa bisperas ng susunod na Setyembre 1, naalala ko ang unang baitang at primer .... Ang mga titik ay bumubuo ng mga pantig, mga pantig sa mga salita, mga salita sa mga maikling pangungusap - Si Nanay ay naghugas ng frame. Ang pag-master ng terver at mathematical statistics ay kasingdali ng pag-aaral na magbasa! Gayunpaman, para dito kinakailangan na malaman ang mga pangunahing termino, konsepto at pagtatalaga, pati na rin ang ilang mga tiyak na patakaran, kung saan nakatuon ang araling ito.

Ngunit una, mangyaring tanggapin ang aking pagbati sa simula (pagpapatuloy, pagkumpleto, naaangkop na tala) ng taon ng akademiko at tanggapin ang regalo. Ang pinakamagandang regalo ay isang libro, at para sa sariling pag-aaral, inirerekomenda ko ang sumusunod na literatura:

1) Gmurman V.E. Teorya ng Probability at Mathematical Statistics

Isang maalamat na aklat-aralin na dumaan sa higit sa sampung muling pag-print. Naiiba ito sa pagiging madaling maunawaan at ang pinakasimpleng presentasyon ng materyal, at ang mga unang kabanata ay ganap na naa-access, sa palagay ko, para na sa mga mag-aaral sa grade 6-7.

2) Gmurman V.E. Gabay sa Paglutas ng Problema sa Probability at Mathematical Statistics

Reshebnik ng parehong Vladimir Efimovich na may detalyadong mga halimbawa at gawain.

KINAKAILANGAN i-download ang parehong mga libro mula sa Internet o kunin ang kanilang mga orihinal na papel! Ang isang 60s-70s na bersyon ay magagawa, na mas mahusay para sa mga dummies. Bagaman ang pariralang "teorya ng probabilidad para sa mga dummies" ay parang katawa-tawa, dahil halos lahat ay limitado sa elementarya na mga operasyon sa aritmetika. Nadulas sila, gayunpaman, sa mga lugar derivatives at integral, ngunit ito ay sa mga lugar lamang.

Susubukan kong makamit ang parehong kalinawan ng pagtatanghal, ngunit dapat kong balaan ka na ang aking kurso ay nakatuon sa pagtugon sa suliranin at ang mga teoretikal na kalkulasyon ay pinananatiling pinakamababa. Kaya, kung kailangan mo ng detalyadong teorya, mga patunay ng theorems (oo, theorems!), mangyaring sumangguni sa aklat-aralin.

Para sa mga gusto matutong lutasin ang mga problema sa loob ng ilang araw, nilikha crash course sa pdf format (ayon sa site). Well, sa ngayon, nang hindi ipinagpaliban ang usapin sa isang mahabang file, nagsisimula kaming mag-aral ng terver at matstat - sundan mo ako!

Sapat na para makapagsimula =)

Habang binabasa mo ang mga artikulo, kapaki-pakinabang na makilala (kahit sandali lang) sa mga karagdagang problema ng mga uri na isinasaalang-alang. Sa pahina Mga handa nang solusyon para sa mas mataas na matematika ang kaukulang pdf-ki na may mga halimbawa ng mga solusyon ay inilalagay. Gayundin, malaking tulong ang ibibigay IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(mas madali) at nalutas ang IDZ ayon sa koleksyon ng Chudesenko(mas mahirap).

1) sum dalawang pangyayari at tinatawag na pangyayari na binubuo sa katotohanang o kaganapan o kaganapan o magkasabay na pangyayari. Kung sakaling ang mga pangyayari hindi magkatugma, ang huling opsyon ay nawawala, iyon ay, maaari itong mangyari o kaganapan o kaganapan.

Nalalapat din ang panuntunan sa higit pang mga termino, halimbawa, isang kaganapan ay kung ano ang mangyayari kahit isa mula sa mga pangyayari , a kung hindi magkatugma ang mga pangyayari – ang isa at isa lamang kaganapan mula sa kabuuan na ito: o kaganapan, o kaganapan, o kaganapan, o kaganapan, o kaganapan.

Maraming mga halimbawa:

Ang kaganapan (kapag ang paghagis ng dice ay hindi bababa ng 5 puntos) ay iyon o 1, o 2, o 3, o 4, o 6 na puntos.

Kaganapan (ay babagsak wala na dalawang puntos) ay iyon 1 o 2puntos.

Kaganapan (magkakaroon ng kahit na bilang ng mga puntos) ay ang o 2 o 4 o 6 na puntos.

Ang kaganapan ay ang isang card ng pulang suit (puso) ay iguguhit mula sa deck o tamburin), at ang kaganapan - na ang "larawan" ay makukuha (jack o ginang o hari o alas).

Ang isang maliit na mas kawili-wiling ay ang kaso sa magkasanib na mga kaganapan:

Ang kaganapan ay ang isang club ay iguguhit mula sa deck o pito o pitong club Ayon sa kahulugan sa itaas, kahit ano- o anumang club o anumang pito o ang kanilang "pagtatawid" - pitong club. Madaling kalkulahin na ang kaganapang ito ay tumutugma sa 12 elementarya na kinalabasan (9 club card + 3 natitirang pito).

Ang kaganapan ay bukas sa 12.00 KAHIT ISA sa mga summable joint event, ibig sabihin:

- o magkakaroon lamang ng ulan / kulog lamang / araw lamang;
- o ilang pares lang ng mga kaganapan ang darating (ulan + bagyo / ulan + araw / bagyo + araw);
– o lahat ng tatlong kaganapan ay lilitaw sa parehong oras.

Ibig sabihin, kasama sa kaganapan ang 7 posibleng resulta.

Ang pangalawang haligi ng algebra ng mga kaganapan:

2) trabaho dalawang kaganapan at tawagan ang kaganapan, na binubuo sa magkasanib na hitsura ng mga kaganapang ito, sa madaling salita, ang pagpaparami ay nangangahulugan na sa ilalim ng ilang mga pangyayari ay darating at kaganapan, at kaganapan. Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa mas malaking bilang ng mga kaganapan, halimbawa, ang gawain ay nagpapahiwatig na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, magkakaroon ng at kaganapan, at kaganapan, at kaganapan, …, at kaganapan.

Isaalang-alang ang isang pagsubok kung saan ang dalawang barya ay inihagis at ang mga sumusunod na kaganapan:

- ang mga ulo ay mahuhulog sa 1st coin;
- ang unang barya ay makakarating ng mga buntot;
- ang 2nd coin ay makakarating sa mga ulo;
- lalabas ang 2nd coin.

Pagkatapos:
at sa ika-2) ang isang agila ay mahuhulog;
- ang kaganapan ay binubuo sa katotohanan na sa parehong mga barya (sa 1st at sa ika-2) mga buntot ay mahuhulog;
– ang kaganapan ay ang 1st coin ay makakarating sa mga ulo at sa 2nd coin tails;
- ang kaganapan ay ang 1st coin ay lalabas ng mga buntot at sa 2nd coin isang agila.

Ito ay madaling makita na ang mga kaganapan hindi magkatugma (dahil hindi ito, halimbawa, mahuhulog ng 2 ulo at 2 buntot sa parehong oras) at anyo buong grupo (mula nang isaalang-alang lahat posibleng resulta ng paghagis ng dalawang barya). Ibuod natin ang mga pangyayaring ito: . Paano i-interpret ang entry na ito? Napakasimple - ang pagpaparami ay nangangahulugang lohikal na koneksyon At, at ang karagdagan ay O. Kaya, ang kabuuan ay madaling basahin sa naiintindihan na wika ng tao: “dalawang agila ang babagsak o dalawang buntot o ulo sa 1st coin at sa 2nd tail o ulo sa 1st coin at agila sa ika-2 barya »

Ito ay isang halimbawa noong sa isang pagsubok ilang bagay ang kasangkot, sa kasong ito ay dalawang barya. Ang isa pang pamamaraan na karaniwang ginagamit sa pagsasanay ay paulit-ulit na pagsusulit kapag, halimbawa, ang parehong dice ay itinapon ng 3 beses sa isang hilera. Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang mga sumusunod na kaganapan:

- sa 1st throw, 4 na puntos ang mahuhulog;
- sa 2nd roll, 5 puntos ang mahuhulog;
- sa 3rd throw, 6 points ang mahuhulog.

Tapos yung event ay binubuo sa katotohanan na sa 1st roll 4 na puntos ang mahuhulog at sa 2nd roll ay bababa ng 5 puntos at sa 3rd roll, 6 points ang babagsak. Malinaw, sa kaso ng isang die, magkakaroon ng mas maraming kumbinasyon (mga resulta) kaysa sa kung tayo ay naghahagis ng barya.

…Naiintindihan ko na, marahil, hindi masyadong kawili-wiling mga halimbawa ang sinusuri, ngunit ito ay mga bagay na madalas na nakakaharap sa mga problema at walang pag-iwas sa kanila. Bilang karagdagan sa isang barya, isang die at isang deck ng mga baraha, may mga urn na may mga makukulay na bola, maraming hindi kilalang tao na bumaril sa mga target, at isang walang kapagurang manggagawa na patuloy na gumiling ng ilang mga detalye =)

Probability ng Kaganapan

Probability ng Kaganapan ay isang sentral na konsepto sa teorya ng posibilidad. ...Isang nakamamatay na lohikal na bagay, ngunit kailangan mong magsimula sa isang lugar =) Mayroong ilang mga diskarte sa kahulugan nito:

;
Geometric na kahulugan ng posibilidad ;
Istatistikong kahulugan ng posibilidad .

Sa artikulong ito, tututuon ko ang klasikal na kahulugan ng mga probabilidad, na pinakamalawak na ginagamit sa mga gawaing pang-edukasyon.

Notasyon. Ang posibilidad ng ilang kaganapan ay tinutukoy ng isang malaking Latin na titik , at ang kaganapan mismo ay kinuha sa mga bracket, na kumikilos bilang isang uri ng argumento. Halimbawa:

Gayundin, ang isang maliit na titik ay malawakang ginagamit upang kumatawan sa posibilidad. Sa partikular, maaaring iwanan ng isa ang masalimuot na pagtatalaga ng mga kaganapan at ang kanilang mga probabilidad pabor sa sumusunod na istilo:

ay ang posibilidad na ang paghagis ng isang barya ay magreresulta sa mga ulo;
- ang posibilidad na mahulog ang 5 puntos bilang resulta ng paghagis ng dice;
ay ang posibilidad na makuha ang isang card ng club suit mula sa deck.

Ang pagpipiliang ito ay popular sa paglutas ng mga praktikal na problema, dahil pinapayagan ka nitong makabuluhang bawasan ang pagpasok ng solusyon. Tulad ng sa unang kaso, ito ay maginhawa upang gamitin ang "pakikipag-usap" subscripts/superscripts dito.

Matagal nang nahulaan ng lahat ang tungkol sa mga numero na isinulat ko lang sa itaas, at ngayon malalaman natin kung paano sila naging:

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad:

Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa ilang pagsubok ay ang ratio , kung saan:

ay ang kabuuang bilang ng lahat pare-parehong posible, elementarya kinalabasan ng pagsusulit na ito, na bumubuo buong pangkat ng mga kaganapan;

- dami elementarya kinalabasan kanais-nais kaganapan.

Kapag ang isang barya ay inihagis, alinman sa mga ulo o buntot ay maaaring mahulog - ang mga kaganapang ito ay nabuo buong grupo, sa gayon, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan ; habang ang bawat isa sa kanila elementarya at pare-parehong posible. Ang kaganapan ay pinapaboran ng kinalabasan (mga ulo). Ayon sa klasikal na kahulugan ng mga probabilidad: .

Katulad nito, bilang isang resulta ng isang roll ng isang die, elementarya pantay na posibleng mga resulta ay maaaring lumitaw, na bumubuo ng isang kumpletong grupo, at ang kaganapan ay pinapaboran ng isang solong resulta (rolling out sa lima). Kaya: .HINDI ITO TINANGGAP NA GAWIN (bagama't hindi ipinagbabawal na alamin ang mga porsyento sa iyong isipan).

Nakaugalian na ang paggamit ng mga fraction ng isang yunit, at, malinaw naman, ang posibilidad ay maaaring mag-iba sa loob ng . Bukod dito, kung , kung gayon ang kaganapan ay imposible, kung - maaasahan, at kung , kung gayon ang pinag-uusapan natin random kaganapan.

! Kung sa kurso ng paglutas ng anumang problema makakakuha ka ng ilang iba pang halaga ng posibilidad - maghanap ng isang error!

Sa klasikal na diskarte sa kahulugan ng posibilidad, ang mga matinding halaga (zero at isa) ay nakuha sa pamamagitan ng eksaktong parehong pangangatwiran. Hayaang mabunot ng random ang 1 bola mula sa isang urn na naglalaman ng 10 pulang bola. Isaalang-alang ang mga sumusunod na kaganapan:

sa isang pagsubok, hindi mangyayari ang isang hindi malamang na kaganapan.

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ka tatama sa Jackpot sa lottery kung ang posibilidad ng kaganapang ito ay, sabihin nating, 0.00000001. Oo, oo, ikaw ito - na may tanging tiket sa isang partikular na sirkulasyon. Gayunpaman, hindi gaanong makakatulong sa iyo ang mas maraming tiket at mas maraming draw. ... Kapag sinasabi ko sa iba ang tungkol dito, halos lagi kong naririnig bilang tugon: "ngunit may nanalo." Okay, pagkatapos ay gawin natin ang sumusunod na eksperimento: mangyaring bumili ng anumang tiket sa lottery ngayon o bukas (huwag mag-antala!). At kung manalo ka ... mabuti, hindi bababa sa higit sa 10 kilo rubles, siguraduhing mag-unsubscribe - ipapaliwanag ko kung bakit nangyari ito. Para sa isang porsyento, siyempre =) =)

Ngunit hindi kailangang malungkot, dahil mayroong isang kabaligtaran na prinsipyo: kung ang posibilidad ng ilang kaganapan ay napakalapit sa pagkakaisa, kung gayon sa isang pagsubok ito halos tiyak mangyayari. Samakatuwid, bago ang isang parachute jump, huwag matakot, sa kabaligtaran - ngumiti! Pagkatapos ng lahat, ganap na hindi maiisip at hindi kapani-paniwalang mga pangyayari ay dapat lumitaw para mabigo ang parehong mga parasyut.

Bagaman ang lahat ng ito ay tula, dahil, depende sa nilalaman ng kaganapan, ang unang prinsipyo ay maaaring maging masaya, at ang pangalawa - malungkot; o kahit pareho ay parallel.

Malamang sapat na sa ngayon, sa klase Mga gawain para sa klasikal na kahulugan ng posibilidad pipigain natin ang maximum sa formula. Sa huling bahagi ng artikulong ito, isinasaalang-alang namin ang isang mahalagang teorama:

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay katumbas ng isa. Sa halos pagsasalita, kung ang mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, pagkatapos ay may 100% na posibilidad na isa sa mga ito ang mangyayari. Sa pinakasimpleng kaso, ang magkasalungat na mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, halimbawa:

- bilang resulta ng paghagis ng barya, mahuhulog ang isang agila;
- bilang resulta ng paghahagis ng barya, mahuhulog ang mga buntot.

Ayon sa theorem:

Malinaw na ang mga kaganapang ito ay pantay na posibilidad at ang kanilang mga probabilidad ay pareho. .

Dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga probabilidad, madalas na tinatawag ang mga pantay na posibleng pangyayari equiprobable . At narito ang twister ng dila para sa pagtukoy ng antas ng pagkalasing na lumabas =)

Halimbawa ng dice: ang mga kaganapan ay kabaligtaran, kaya .

Ang teorama na isinasaalang-alang ay maginhawa dahil pinapayagan ka nitong mabilis na mahanap ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan. Kaya, kung alam mo ang posibilidad na ang lima ay mahuhulog, madaling kalkulahin ang posibilidad na hindi ito mahuhulog:

Ito ay mas madali kaysa sa pagbubuod ng mga probabilidad ng limang elementarya na kinalabasan. Para sa elementarya na kinalabasan, sa pamamagitan ng paraan, ang teorama na ito ay wasto din:
. Halimbawa, kung ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target, kung gayon ay ang posibilidad na makaligtaan siya.

! Sa teorya ng posibilidad, hindi kanais-nais na gamitin ang mga titik at para sa anumang iba pang layunin.

Bilang karangalan sa Araw ng Kaalaman, hindi ako magbibigay ng takdang-aralin =), ngunit napakahalaga na masagot mo ang mga sumusunod na tanong:

Anong mga uri ng mga kaganapan ang mayroon?
– Ano ang pagkakataon at pantay na posibilidad ng isang kaganapan?
– Paano mo naiintindihan ang mga terminong compatibility / incompatibility ng mga event?
– Ano ang isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, magkasalungat na mga kaganapan?
Ano ang ibig sabihin ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga pangyayari?
– Ano ang kakanyahan ng klasikal na kahulugan ng posibilidad?
– Bakit kapaki-pakinabang ang addition theorem para sa mga probabilities ng mga pangyayaring bumubuo ng kumpletong grupo?

Hindi, hindi mo kailangang magsiksik ng anuman, ito ay mga pangunahing kaalaman lamang sa teorya ng posibilidad - isang uri ng panimulang aklat na mabilis na babagay sa iyong ulo. At upang mangyari ito sa lalong madaling panahon, iminumungkahi kong basahin mo ang mga aralin

Marami, na nahaharap sa konsepto ng "teorya ng posibilidad", ay natatakot, iniisip na ito ay isang bagay na napakalaki, napakasalimuot. Ngunit ito ay talagang hindi lahat na trahedya. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad, alamin kung paano lutasin ang mga problema gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Ang agham

Ano ang pinag-aaralan ng sangay ng matematika bilang "teoryang probabilidad"? Naitala niya ang mga pattern at magnitude. Sa unang pagkakataon, naging interesado ang mga siyentipiko sa isyung ito noong ikalabing walong siglo, nang mag-aral sila ng pagsusugal. Ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan. Ito ay anumang katotohanan na tinitiyak ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Isa pang pangunahing konsepto ng probability theory. Nangangahulugan ito na ang komposisyon ng mga pangyayari ay hindi nilikha ng pagkakataon, ngunit para sa isang tiyak na layunin. Tulad ng para sa pagmamasid, dito ang mananaliksik mismo ay hindi nakikilahok sa eksperimento, ngunit isang saksi lamang sa mga kaganapang ito, hindi niya naiimpluwensyahan ang nangyayari sa anumang paraan.

Mga kaganapan

Nalaman namin na ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan, ngunit hindi isinasaalang-alang ang pag-uuri. Ang lahat ng mga ito ay nabibilang sa mga sumusunod na kategorya:

Maaasahan.
Imposible.
Random.

Anuman ang uri ng mga kaganapan na naobserbahan o nilikha sa kurso ng karanasan, lahat sila ay napapailalim sa pag-uuri na ito. Nag-aalok kami upang maging pamilyar sa bawat isa sa mga species nang hiwalay.

Kapanipaniwalang Kaganapan

Ito ay isang pangyayari bago naisagawa ang kinakailangang hanay ng mga hakbang. Upang mas maunawaan ang kakanyahan, mas mahusay na magbigay ng ilang mga halimbawa. Ang pisika, kimika, ekonomiya, at mas mataas na matematika ay napapailalim sa batas na ito. Ang teorya ng probabilidad ay kinabibilangan ng isang mahalagang konsepto bilang isang tiyak na kaganapan. Narito ang ilang halimbawa:

Nagtatrabaho tayo at tumatanggap ng kabayaran sa anyo ng sahod.
Naipasa namin nang maayos ang mga pagsusulit, naipasa ang kumpetisyon, para dito nakatanggap kami ng gantimpala sa anyo ng pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon.
Nag-invest kami ng pera sa bangko, kung kinakailangan, babawi kami.

Ang mga ganitong kaganapan ay maaasahan. Kung natupad natin ang lahat ng kinakailangang kondisyon, tiyak na makukuha natin ang inaasahang resulta.

Mga pangyayaring imposible

Isinasaalang-alang namin ngayon ang mga elemento ng teorya ng posibilidad. Iminumungkahi naming magpatuloy sa isang paliwanag ng susunod na uri ng kaganapan, ibig sabihin, ang imposible. Upang magsimula, itatakda namin ang pinakamahalagang tuntunin - ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.

Imposibleng lumihis mula sa pagbabalangkas na ito kapag nilulutas ang mga problema. Upang linawin, narito ang mga halimbawa ng mga naturang kaganapan:

Ang tubig ay nagyelo sa temperatura na plus sampu (ito ay imposible).
Ang kakulangan ng kuryente ay hindi nakakaapekto sa produksyon sa anumang paraan (tulad ng imposible tulad ng sa nakaraang halimbawa).

Higit pang mga halimbawa ang hindi dapat ibigay, dahil ang mga inilarawan sa itaas ay napakalinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Ang imposibleng kaganapan ay hindi mangyayari sa panahon ng karanasan sa anumang pagkakataon.

mga random na pangyayari

Kapag pinag-aaralan ang mga elemento, dapat bigyan ng espesyal na pansin ang partikular na uri ng kaganapang ito. Iyan ang pinag-aaralan ng siyensya. Bilang resulta ng karanasan, maaaring may mangyari o hindi. Bilang karagdagan, ang pagsubok ay maaaring ulitin ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang mga kilalang halimbawa ay:

Ang paghagis ng barya ay isang karanasan, o isang pagsubok, ang heading ay isang kaganapan.
Ang paghila ng bola mula sa bag nang walang taros ay isang pagsubok, ang isang pulang bola ay nahuli ay isang kaganapan, at iba pa.

Maaaring mayroong isang walang limitasyong bilang ng mga naturang halimbawa, ngunit, sa pangkalahatan, ang kakanyahan ay dapat na malinaw. Upang maibuod at ma-systematize ang kaalaman na nakuha tungkol sa mga kaganapan, isang talahanayan ang ibinigay. Pinag-aaralan lamang ng teorya ng probabilidad ang huling uri ng lahat ng ipinakita.

pamagat	kahulugan
Credible	Mga kaganapang nagaganap na may 100% na garantiya, napapailalim sa ilang partikular na kundisyon.	Pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon na may mahusay na pagpasa sa pagsusulit sa pasukan.
Imposible	Mga kaganapang hindi mangyayari sa anumang pagkakataon.	Umuulan ng niyebe sa temperatura ng hangin na plus tatlumpung degrees Celsius.
Random	Isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi sa panahon ng isang eksperimento/pagsusulit.	Hit o miss kapag naghahagis ng basketball sa hoop.

Ang mga batas

Ang teorya ng probabilidad ay isang agham na nag-aaral ng posibilidad ng isang pangyayaring naganap. Tulad ng iba, mayroon itong ilang mga patakaran. Mayroong mga sumusunod na batas ng teorya ng posibilidad:

Convergence ng mga sequence ng random variables.
Ang batas ng malalaking numero.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng kumplikado, ang isang kumplikadong mga simpleng kaganapan ay maaaring magamit upang makamit ang resulta sa isang mas madali at mas mabilis na paraan. Tandaan na ang mga batas ng probability theory ay madaling napatunayan sa tulong ng ilang theorems. Magsimula tayo sa unang batas.

Convergence ng mga sequence ng random variables

Tandaan na mayroong ilang uri ng convergence:

Ang pagkakasunod-sunod ng mga random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad.
Halos imposible.
RMS convergence.
Distribution Convergence.

Kaya, sa mabilisang paraan, napakahirap na makarating sa ilalim nito. Narito ang ilang mga kahulugan upang matulungan kang maunawaan ang paksang ito. Magsimula tayo sa unang tingin. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag convergent in probability, kung matugunan ang sumusunod na kundisyon: n ay may posibilidad na infinity, ang bilang kung saan ang sequence ay mas malaki kaysa sa zero at malapit sa isa.

Lumipat tayo sa susunod, halos tiyak. Ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing nagtatagpo halos tiyak sa isang random na variable na may n tending to infinity, at P tending sa isang value na malapit sa unity.

Ang susunod na uri ay RMS convergence. Kapag gumagamit ng SC convergence, ang pag-aaral ng mga random na proseso ng vector ay binabawasan sa pag-aaral ng kanilang mga random na proseso ng coordinate.

Nananatili ang huling uri, pag-aralan natin ito nang maikli upang direktang magpatuloy sa paglutas ng mga problema. Ang convergence ng pamamahagi ay may isa pang pangalan - "mahina", ipapaliwanag namin kung bakit sa ibaba. Mahinang convergence ay ang convergence ng distribution functions sa lahat ng punto ng continuity ng limiting distribution function.

Talagang tutuparin natin ang pangako: ang mahinang convergence ay naiiba sa lahat ng nasa itaas dahil ang random variable ay hindi tinukoy sa probability space. Posible ito dahil ang kundisyon ay nabuo nang eksklusibo gamit ang mga function ng pamamahagi.

Batas ng Malaking Bilang

Ang mga mahuhusay na katulong sa pagpapatunay ng batas na ito ay ang mga theorems ng probability theory, tulad ng:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.
Ang teorama ni Chebyshev.
Pangkalahatan ang teorama ni Chebyshev.
Ang teorama ni Markov.

Kung isasaalang-alang namin ang lahat ng mga theorems na ito, ang tanong na ito ay maaaring mag-drag sa ilang sampu-sampung mga sheet. Ang aming pangunahing gawain ay ilapat ang teorya ng posibilidad sa pagsasanay. Iniimbitahan ka naming gawin ito ngayon. Ngunit bago iyon, isaalang-alang natin ang mga axioms ng probability theory, sila ang magiging pangunahing katulong sa paglutas ng mga problema.

Mga Axiom

Nagkita na kami nung una nung napag-usapan namin ang imposibleng pangyayari. Tandaan natin: ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Nagbigay kami ng napakatingkad at di malilimutang halimbawa: bumagsak ang snow sa temperatura ng hangin na tatlumpung degrees Celsius.

Ang pangalawa ay ang mga sumusunod: ang isang tiyak na kaganapan ay nangyayari na may posibilidad na katumbas ng isa. Ngayon ay ipakita natin kung paano ito isulat gamit ang matematikal na wika: P(B)=1.

Pangatlo: Ang isang random na kaganapan ay maaaring mangyari o hindi, ngunit ang posibilidad ay palaging nasa saklaw mula sa zero hanggang isa. Kung mas malapit ang halaga sa isa, mas malaki ang pagkakataon; kung ang halaga ay lumalapit sa zero, ang posibilidad ay napakababa. Isulat natin ito sa wikang matematika: 0<Р(С)<1.

Isaalang-alang ang huling, ikaapat na aksiom, na parang ganito: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad. Sumulat kami sa wikang matematika: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Ang axioms ng probability theory ay ang pinakasimpleng panuntunan na madaling matandaan. Subukan nating lutasin ang ilang mga problema, batay sa kaalaman na nakuha na.

Ticket sa lottery

Upang magsimula, isaalang-alang ang pinakasimpleng halimbawa - ang loterya. Isipin na bumili ka ng isang tiket sa lottery para sa suwerte. Ano ang posibilidad na manalo ka ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Sa kabuuan, isang libong tiket ang lumahok sa sirkulasyon, ang isa ay may premyo na limang daang rubles, sampu sa isang daang rubles, limampu sa dalawampung rubles, at isang daan sa lima. Ang mga problema sa probability theory ay batay sa paghahanap ng posibilidad ng suwerte. Sama-sama nating tingnan ang solusyon sa problema sa itaas.

Kung tinutukoy natin sa pamamagitan ng titik A ang isang panalo ng limang daang rubles, kung gayon ang posibilidad na makakuha ng A ay magiging 0.001. Paano natin ito nakuha? Kailangan mo lamang na hatiin ang bilang ng mga "masaya" na tiket sa kanilang kabuuang bilang (sa kasong ito: 1/1000).

Ang B ay isang panalo ng isang daang rubles, ang posibilidad ay magiging katumbas ng 0.01. Ngayon ay kumilos kami sa parehong prinsipyo tulad ng sa nakaraang aksyon (10/1000)

C - ang mga panalo ay katumbas ng dalawampung rubles. Nahanap namin ang posibilidad, ito ay katumbas ng 0.05.

Ang natitirang mga tiket ay walang interes sa amin, dahil ang kanilang premyong pondo ay mas mababa kaysa sa tinukoy sa kundisyon. Ilapat natin ang ikaapat na axiom: Ang posibilidad na manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles ay P(A)+P(B)+P(C). Ang titik P ay nagsasaad ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito, nahanap na namin ang mga ito sa mga nakaraang hakbang. Ito ay nananatiling lamang upang magdagdag ng mga kinakailangang data, sa sagot ay makakakuha tayo ng 0.061. Ang numerong ito ang magiging sagot sa tanong ng gawain.

deck ng card

Ang mga problema sa teorya ng posibilidad ay mas kumplikado, halimbawa, gawin ang sumusunod na gawain. Bago ka ay isang deck ng tatlumpu't anim na baraha. Ang iyong gawain ay upang gumuhit ng dalawang card sa isang hilera nang hindi paghahalo ng pile, ang una at pangalawang card ay dapat na aces, ang suit ay hindi mahalaga.

Upang magsimula, nakita namin ang posibilidad na ang unang card ay isang ace, para dito hinahati namin ang apat sa tatlumpu't anim. Itinabi nila ito. Inalis namin ang pangalawang card, ito ay magiging isang alas na may posibilidad na tatlong tatlumpu't lima. Ang posibilidad ng pangalawang kaganapan ay nakasalalay sa kung aling card ang una naming iginuhit, interesado kami kung ito ay isang alas o hindi. Kasunod nito na ang kaganapan B ay nakasalalay sa kaganapan A.

Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang posibilidad ng sabay-sabay na pagpapatupad, iyon ay, pinarami namin ang A at B. Ang kanilang produkto ay matatagpuan tulad ng sumusunod: pinarami namin ang posibilidad ng isang kaganapan sa kondisyon na posibilidad ng isa pa, na aming kinakalkula, sa pag-aakalang ang una nangyari ang kaganapan, ibig sabihin, gumuhit kami ng isang ace gamit ang unang card.

Upang maging malinaw ang lahat, bigyan natin ng pagtatalaga ang naturang elemento bilang mga kaganapan. Kinakalkula ito sa pag-aakalang naganap ang kaganapan A. Kinakalkula bilang sumusunod: P(B/A).

Ipagpatuloy natin ang solusyon sa ating problema: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) o P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Ang posibilidad ay (4/36) * ((3/35)/(4/36). Kalkulahin sa pamamagitan ng pag-round sa hundredths. Mayroon tayong: 0.11 * (0.09/0.11)=0.11 * 0, 82 = 0.09 Ang posibilidad na tayo ay gumuhit ng dalawang ace sa isang hilera ay siyam na raan. Ang halaga ay napakaliit, mula dito sumusunod na ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan ay napakaliit.

Nakalimutang numero

Iminumungkahi naming suriin ang ilang higit pang mga opsyon para sa mga gawain na pinag-aaralan ng probability theory. Nakakita ka na ng mga halimbawa ng paglutas ng ilan sa mga ito sa artikulong ito, subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: nakalimutan ng batang lalaki ang huling digit ng numero ng telepono ng kanyang kaibigan, ngunit dahil napakahalaga ng tawag, sinimulan niyang i-dial ang lahat. Kailangan nating kalkulahin ang posibilidad na tatawag siya nang hindi hihigit sa tatlong beses. Ang solusyon ng problema ay ang pinakasimpleng kung ang mga tuntunin, batas at axioms ng probability theory ay alam.

Bago tingnan ang solusyon, subukang lutasin ito sa iyong sarili. Alam namin na ang huling digit ay maaaring mula sa zero hanggang siyam, iyon ay, mayroong sampung halaga sa kabuuan. Ang posibilidad na makuha ang tama ay 1/10.

Susunod, kailangan nating isaalang-alang ang mga pagpipilian para sa pinagmulan ng kaganapan, ipagpalagay na ang batang lalaki ay nahulaan ng tama at agad na nakapuntos ng tama, ang posibilidad ng naturang kaganapan ay 1/10. Ang pangalawang opsyon: ang unang tawag ay isang miss, at ang pangalawa ay nasa target. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: i-multiply ang 9/10 sa 1/9, bilang isang resulta nakakakuha din kami ng 1/10. Ang pangatlong opsyon: ang una at pangalawang tawag ay nasa maling address, mula lamang sa pangatlo nakuha ng batang lalaki kung saan niya gusto. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: pinarami namin ang 9/10 sa 8/9 at sa pamamagitan ng 1/8, nakakuha kami ng 1/10 bilang isang resulta. Ayon sa kondisyon ng problema, hindi kami interesado sa iba pang mga pagpipilian, kaya nananatili para sa amin na magdagdag ng mga resulta, bilang isang resulta mayroon kaming 3/10. Sagot: Ang posibilidad na tumawag ang batang lalaki ng hindi hihigit sa tatlong beses ay 0.3.

Mga card na may mga numero

Mayroong siyam na card sa harap mo, ang bawat isa ay naglalaman ng isang numero mula isa hanggang siyam, ang mga numero ay hindi nauulit. Inilagay ang mga ito sa isang kahon at pinaghalo nang maigi. Kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na iyon

lalabas ang isang even number;
dalawang-digit.

Bago lumipat sa solusyon, itakda natin na ang m ay ang bilang ng mga matagumpay na kaso, at ang n ay ang kabuuang bilang ng mga opsyon. Hanapin ang posibilidad na ang numero ay pantay. Hindi magiging mahirap na kalkulahin na mayroong apat na kahit na mga numero, ito ang magiging aming m, mayroong siyam na pagpipilian sa kabuuan, iyon ay, m = 9. Pagkatapos ang posibilidad ay 0.44 o 4/9.

Isinasaalang-alang namin ang pangalawang kaso: ang bilang ng mga pagpipilian ay siyam, at maaaring walang matagumpay na mga resulta, iyon ay, ang m ay katumbas ng zero. Ang posibilidad na ang iginuhit na card ay naglalaman ng dalawang-digit na numero ay zero din.

Ano ang posibilidad?

Nahaharap sa terminong ito sa unang pagkakataon, hindi ko maintindihan kung ano ito. Kaya susubukan kong ipaliwanag sa paraang naiintindihan.

Ang probabilidad ay ang pagkakataon na mangyari ang nais na kaganapan.

Halimbawa, nagpasya kang bisitahin ang isang kaibigan, tandaan ang pasukan at maging ang sahig kung saan siya nakatira. Ngunit nakalimutan ko ang numero at lokasyon ng apartment. At ngayon ay nakatayo ka sa hagdanan, at sa harap mo ay ang mga pintuan na mapagpipilian.

Ano ang pagkakataon (probability) na kung mag-doorbell ka sa unang pagkakataon, bubuksan ito ng iyong kaibigan para sa iyo? Buong apartment, at ang isang kaibigan ay nakatira lamang sa likod ng isa sa kanila. Sa pantay na pagkakataon, maaari tayong pumili ng anumang pinto.

Ngunit ano ang pagkakataong ito?

Mga pintuan, ang kanang pinto. Ang posibilidad ng paghula sa pamamagitan ng pag-ring sa unang pinto: . Ibig sabihin, one time out of three ay siguradong hulaan mo.

Nais naming malaman sa pamamagitan ng pagtawag nang isang beses, gaano kadalas namin hulaan ang pinto? Tingnan natin ang lahat ng mga pagpipilian:

tinawagan mo 1st isang pinto
tinawagan mo ika-2 isang pinto
tinawagan mo ika-3 isang pinto

At ngayon isaalang-alang ang lahat ng mga opsyon kung saan ang isang kaibigan ay maaaring maging:

a. sa likod 1st pinto
b. sa likod ika-2 pinto
sa. sa likod ika-3 pinto

Ihambing natin ang lahat ng mga pagpipilian sa anyo ng isang talahanayan. Ang isang tik ay nagpapahiwatig ng mga pagpipilian kapag ang iyong pinili ay tumugma sa lokasyon ng isang kaibigan, isang krus - kapag hindi ito tumugma.

Paano mo nakikita ang lahat posibleng mga pagpipilian lokasyon ng kaibigan at ang iyong pagpili kung aling pinto ang tatawagan.

PERO kanais-nais na resulta ng lahat . Iyon ay, mahulaan mo ang mga oras mula sa pamamagitan ng pag-ring sa pinto nang isang beses, i.e. .

Ito ang posibilidad - ang ratio ng isang kanais-nais na kinalabasan (kapag ang iyong pinili ay nag-tutugma sa lokasyon ng isang kaibigan) sa bilang ng mga posibleng kaganapan.

Ang kahulugan ay ang formula. Ang posibilidad ay karaniwang tinutukoy na p, kaya:

Hindi masyadong maginhawang magsulat ng gayong pormula, kaya't kunin natin - ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, at para - ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan.

Ang posibilidad ay maaaring isulat bilang isang porsyento, para dito kailangan mong i-multiply ang resultang resulta sa pamamagitan ng:

Marahil, ang salitang "mga kinalabasan" ay nakakuha ng iyong mata. Dahil tinatawag ng mga mathematician ang iba't ibang mga aksyon (para sa amin, ang naturang aksyon ay isang doorbell) na mga eksperimento, kaugalian na tawagan ang resulta ng naturang mga eksperimento bilang isang resulta.

Well, ang mga kinalabasan ay paborable at hindi paborable.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sabihin nating tumawag kami sa isa sa mga pinto, ngunit isang estranghero ang nagbukas nito para sa amin. Hindi namin nahulaan. Ano ang posibilidad na kung tatawagin natin ang isa sa mga natitirang pinto, bubuksan ito ng ating kaibigan para sa atin?

Kung naisip mo iyon, kung gayon ito ay isang pagkakamali. Alamin natin ito.

May natitira kaming dalawang pinto. Kaya mayroon kaming mga posibleng hakbang:

1) Tumawag sa 1st isang pinto
2) Tumawag ika-2 isang pinto

Ang isang kaibigan, kasama ang lahat ng ito, ay talagang nasa likod ng isa sa kanila (pagkatapos ng lahat, hindi siya nasa likod ng tinawag namin):

a) kaibigan 1st pinto
b) isang kaibigan para sa ika-2 pinto

Iguhit natin muli ang talahanayan:

Tulad ng nakikita mo, mayroong lahat ng mga pagpipilian, kung saan - kanais-nais. Ibig sabihin, pantay ang posibilidad.

Bakit hindi?

Ang sitwasyon na aming isinasaalang-alang ay halimbawa ng mga dependent na pangyayari. Ang unang kaganapan ay ang unang doorbell, ang pangalawang kaganapan ay ang pangalawang doorbell.

At sila ay tinatawag na umaasa dahil sila ay nakakaapekto sa mga sumusunod na aksyon. Pagkatapos ng lahat, kung binuksan ng isang kaibigan ang pinto pagkatapos ng unang ring, ano ang posibilidad na nasa likod siya ng isa sa dalawa? Tama, .

Ngunit kung mayroong umaasa na mga kaganapan, dapat na mayroon malaya? Totoo, mayroon.

Ang isang halimbawa ng aklat-aralin ay ang paghagis ng barya.

Naghahagis kami ng barya. Ano ang posibilidad na, halimbawa, ang mga ulo ay lalabas? Iyan ay tama - dahil ang mga pagpipilian para sa lahat ng bagay (alinman sa mga ulo o buntot, mapabayaan namin ang posibilidad ng isang barya upang tumayo sa gilid), ngunit nababagay lamang sa amin.
Ngunit ang mga buntot ay nahulog. Okay, ulitin natin. Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo ngayon? Walang nagbago, lahat ay pareho. Ilang mga pagpipilian? Dalawa. Gaano tayo nasisiyahan? Isa.

At hayaang mahulog ang mga buntot nang hindi bababa sa isang libong beses sa isang hilera. Magiging pareho ang posibilidad ng pagbagsak ng ulo nang sabay-sabay. Mayroong palaging mga pagpipilian, ngunit kanais-nais.

Madali ang pagkilala sa mga umaasa na kaganapan mula sa mga independiyenteng kaganapan:

Kung ang eksperimento ay isinasagawa nang isang beses (kapag ang isang barya ay inihagis, ang doorbell ay tumunog nang isang beses, atbp.), kung gayon ang mga kaganapan ay palaging independyente.
Kung ang eksperimento ay isinasagawa nang maraming beses (isang barya ay itinapon nang isang beses, ang doorbell ay tumunog nang maraming beses), kung gayon ang unang kaganapan ay palaging independyente. At pagkatapos, kung ang bilang ng mga kanais-nais o ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nagbabago, ang mga kaganapan ay nakasalalay, at kung hindi, sila ay independyente.

Magsanay tayo ng kaunti upang matukoy ang posibilidad.

Halimbawa 1

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad ng pagbangon ng dalawang beses sa isang hilera?

Desisyon:

Isaalang-alang ang lahat ng posibleng opsyon:

agila agila
buntot na agila
buntot-agila
Tails-tails

Tulad ng nakikita mo, lahat ng mga pagpipilian. Sa mga ito, kami lamang ang nasisiyahan. Iyon ang posibilidad:

Kung ang kundisyon ay nagtatanong lamang upang mahanap ang posibilidad, kung gayon ang sagot ay dapat ibigay bilang isang decimal fraction. Kung ito ay ipinahiwatig na ang sagot ay dapat na ibinigay bilang isang porsyento, pagkatapos ay kami ay multiply sa.

Sagot:

Halimbawa 2

Sa isang kahon ng mga tsokolate, lahat ng mga kendi ay nakaimpake sa parehong balot. Gayunpaman, mula sa mga matamis - na may mga mani, cognac, seresa, karamelo at nougat.

Ano ang posibilidad ng pagkuha ng isang kendi at makakuha ng isang kendi na may mga mani. Ibigay ang iyong sagot sa porsyento.

Desisyon:

Ilang posibleng resulta ang mayroon? .

Iyon ay, ang pagkuha ng isang kendi, ito ay magiging isa sa mga nasa kahon.

At gaano karaming mga kanais-nais na resulta?

Dahil ang kahon ay naglalaman lamang ng mga tsokolate na may mga mani.

Sagot:

Halimbawa 3

Sa isang kahon ng mga bola. kung saan ay puti at itim.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola?
Nagdagdag kami ng higit pang mga itim na bola sa kahon. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola ngayon?

Desisyon:

a) May mga bola lamang sa kahon. na kung saan ay puti.

Ang posibilidad ay:

b) Ngayon ay may mga bola sa kahon. At marami na rin kasing puti.

Sagot:

Buong Probability

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay ().

Halimbawa, sa isang kahon ng pula at berdeng mga bola. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola? berdeng bola? Pula o berdeng bola?

Ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola

berdeng bola:

Pula o berdeng bola:

Gaya ng nakikita mo, ang kabuuan ng lahat ng posibleng kaganapan ay katumbas ng (). Ang pag-unawa sa puntong ito ay makakatulong sa iyong malutas ang maraming problema.

Halimbawa 4

May mga felt-tip pen sa kahon: berde, pula, asul, dilaw, itim.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng HINDI isang pulang marker?

Desisyon:

Bilangin natin ang bilang kanais-nais na mga resulta.

HINDI pulang marker, ibig sabihin ay berde, asul, dilaw, o itim.

Probability ng lahat ng pangyayari. At ang posibilidad ng mga kaganapan na itinuturing naming hindi kanais-nais (kapag naglabas kami ng pulang felt-tip pen) ay .

Kaya, ang posibilidad ng pagguhit ng HINDI isang pulang felt-tip pen ay -.

Sagot:

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan

Alam mo na kung ano ang mga independent na kaganapan.

At kung kailangan mong hanapin ang posibilidad na dalawang (o higit pa) independyenteng mga kaganapan ang magkakasunod na magaganap?

Sabihin nating gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na sa paghahagis ng barya ng isang beses, dalawang beses tayong makakakita ng agila?

Napag-isipan na namin - .

Paano kung maghagis tayo ng barya? Ano ang posibilidad na makakita ng agila ng dalawang beses na magkasunod?

Kabuuang posibleng mga opsyon:

Agila-agila-agila
Agila-ulo-buntot
Head-tails-agila
Ulo-buntot-buntot
buntot-agila-agila
Mga buntot-ulo-buntot
Mga buntot-buntot-ulo
Tails-tails-tails

Hindi ko alam tungkol sa iyo, ngunit ginawa kong mali ang listahang ito minsan. Wow! At tanging pagpipilian (ang una) ang nababagay sa amin.

Para sa 5 roll, maaari kang gumawa ng isang listahan ng mga posibleng resulta sa iyong sarili. Ngunit ang mga mathematician ay hindi kasing sipag mo.

Samakatuwid, una nilang napansin, at pagkatapos ay napatunayan, na ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay bumababa sa bawat oras sa pamamagitan ng posibilidad ng isang kaganapan.

Sa ibang salita,

Isaalang-alang ang halimbawa ng parehong, masamang kapalaran, barya.

Ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo sa isang pagsubok? . Ngayon kami ay naghahagis ng barya.

Ano ang posibilidad na makakuha ng mga buntot sa isang hilera?

Ang panuntunang ito ay hindi lamang gagana kung hihilingin sa amin na hanapin ang posibilidad na ang parehong kaganapan ay magaganap nang maraming beses nang magkakasunod.

Kung gusto naming hanapin ang pagkakasunod-sunod ng TAILS-EAGLE-TAILS sa magkakasunod na pag-flip, gagawin namin ang pareho.

Ang posibilidad na makakuha ng mga buntot - , ulo - .

Ang posibilidad na makuha ang sequence TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Maaari mong suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan.

Kaya tumigil ka na! Bagong kahulugan.

Alamin natin ito. Kunin natin ang luma nating barya at i-flip ito ng isang beses.
Mga posibleng opsyon:

Agila-agila-agila
Agila-ulo-buntot
Head-tails-agila
Ulo-buntot-buntot
buntot-agila-agila
Mga buntot-ulo-buntot
Mga buntot-buntot-ulo
Tails-tails-tails

Kaya narito ang mga hindi magkatugma na mga kaganapan, ito ay isang tiyak, ibinigay na pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan. ay mga pangyayaring hindi magkatugma.

Kung gusto naming matukoy kung ano ang posibilidad ng dalawa (o higit pa) na hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay idagdag namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Kailangan mong maunawaan na ang pagkawala ng isang agila o buntot ay dalawang malayang kaganapan.

Kung gusto nating matukoy kung ano ang posibilidad ng isang sequence) (o anumang iba pa) na bumagsak, pagkatapos ay gagamitin natin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga probabilidad.
Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo sa unang paghagis at buntot sa pangalawa at pangatlo?

Ngunit kung gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng isa sa ilang mga pagkakasunud-sunod, halimbawa, kapag ang mga ulo ay dumating nang eksaktong isang beses, i.e. mga pagpipilian at, pagkatapos ay dapat nating idagdag ang mga probabilidad ng mga pagkakasunud-sunod na ito.

Ang kabuuang mga pagpipilian ay nababagay sa amin.

Makukuha natin ang parehong bagay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng paglitaw ng bawat sequence:

Kaya, nagdaragdag kami ng mga probabilidad kapag gusto naming matukoy ang posibilidad ng ilan, hindi magkatugma, mga pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan.

Mayroong isang mahusay na panuntunan upang matulungan kang hindi malito kung kailan dapat mag-multiply at kung kailan magdagdag:

Bumalik tayo sa halimbawa kung saan naghagis tayo ng isang beses ng barya at gustong malaman ang posibilidad na makakita ng mga ulo nang isang beses.
Ano kaya ang mangyayari?

Dapat ibagsak:
(mga ulo AT buntot AT buntot) O (buntot AT ulo AT buntot) O (buntot AT buntot AT ulo).
At kaya lumalabas:

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5

May mga lapis sa kahon. pula, berde, orange at dilaw at itim. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pula o berdeng lapis?

Desisyon:

Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating bunutin (pula O berde).

Ngayon ay malinaw na, idinaragdag namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Sagot:

Halimbawa 6

Ang isang die ay inihagis ng dalawang beses, ano ang posibilidad na magkaroon ng kabuuang 8?

Desisyon.

Paano tayo makakakuha ng puntos?

(at) o (at) o (at) o (at) o (at).

Ang posibilidad ng pagkahulog sa isa (anumang) mukha ay .

Kinakalkula namin ang posibilidad:

Sagot:

Pag-eehersisyo.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa iyo kung kailan mo kailangan kung paano bilangin ang mga probabilidad, kung kailan idadagdag ang mga ito, at kung kailan dapat i-multiply ang mga ito. Hindi ba? Mag-ehersisyo tayo.

Mga gawain:

Kumuha tayo ng isang deck ng mga baraha kung saan ang mga baraha ay mga pala, puso, 13 club at 13 tamburin. Mula hanggang Ace ng bawat suit.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng mga club sa isang hilera (inilagay namin ang unang card na iginuhit pabalik sa deck at shuffle)?
Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na card (mga pala o mga club)?
Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang larawan (jack, queen, king o ace)?
Ano ang posibilidad ng pagguhit ng dalawang larawan sa isang hilera (inaalis namin ang unang card na iginuhit mula sa deck)?
Ano ang posibilidad, pagkuha ng dalawang card, upang mangolekta ng isang kumbinasyon - (Jack, Queen o King) at Ace Ang pagkakasunod-sunod kung saan ang mga card ay iguguhit ay hindi mahalaga.

Mga sagot:

Sa isang deck ng mga card ng bawat halaga, ang ibig sabihin nito ay:
Ang mga kaganapan ay nakasalalay, dahil pagkatapos ng unang card na iginuhit, ang bilang ng mga card sa deck ay nabawasan (pati na rin ang bilang ng "mga larawan"). Kabuuang mga jack, reyna, hari at ace sa deck sa simula, na nangangahulugang ang posibilidad ng pagguhit ng "larawan" gamit ang unang card:
Dahil aalisin namin ang unang card mula sa deck, nangangahulugan ito na mayroon nang isang card na natitira sa deck, kung saan mayroong mga larawan. Ang posibilidad ng pagguhit ng isang larawan gamit ang pangalawang card:
Dahil interesado kami sa sitwasyon kapag nakakuha kami mula sa deck: "larawan" AT "larawan", pagkatapos ay kailangan nating i-multiply ang mga probabilidad:
Sagot:
Pagkatapos mabunot ang unang card, bababa ang bilang ng mga card sa deck. Kaya, mayroon kaming dalawang opsyon:
1) Gamit ang unang card na inilabas namin si Ace, ang pangalawa - jack, queen o king
2) Gamit ang unang card kumuha kami ng jack, queen o king, ang pangalawa - isang ace. (ace at (jack o reyna o hari)) o ((jack o reyna o hari) at alas). Huwag kalimutan ang tungkol sa pagbabawas ng bilang ng mga card sa deck!

Kung nagawa mong lutasin ang lahat ng mga problema sa iyong sarili, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa! Ngayon ang mga gawain sa teorya ng posibilidad sa pagsusulit ay mag-click ka tulad ng mga mani!

TEORYANG PROBABILIDAD. GITNANG ANTAS

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Sabihin nating magtapon tayo ng die. Anong klaseng buto ito, alam mo ba? Ito ang pangalan ng isang kubo na may mga numero sa mga mukha. Ilang mukha, napakaraming numero: mula hanggang ilan? dati.

Kaya't gumulong kami ng isang mamatay at nais itong magkaroon ng isang o. At nahuhulog kami.

Sa probability theory sinasabi nila kung ano ang nangyari kanais-nais na kaganapan(hindi dapat malito sa mabuti).

Kung ito ay nahulog, ang kaganapan ay magiging mapalad din. Sa kabuuan, dalawang paborableng kaganapan lamang ang maaaring mangyari.

Ilang masama? Dahil ang lahat ng posibleng mga kaganapan, kung gayon ang hindi pabor sa kanila ay mga kaganapan (ito ay kung ito ay bumagsak o).

Kahulugan:

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.. Ibig sabihin, ipinapakita ng probabilidad kung anong proporsyon ng lahat ng posibleng kaganapan ang paborable.

Tinutukoy nila ang posibilidad na may isang Latin na titik (tila, mula sa salitang Ingles na probability - probability).

Nakaugalian na sukatin ang posibilidad bilang isang porsyento (tingnan ang mga paksa at). Upang gawin ito, ang halaga ng posibilidad ay dapat na i-multiply sa. Sa halimbawa ng dice, probability.

At sa porsyento: .

Mga halimbawa (magpasya para sa iyong sarili):

Ano ang posibilidad na ang paghagis ng isang barya ay mapunta sa mga ulo? At ano ang posibilidad ng isang buntot?
Ano ang posibilidad na magkaroon ng even na numero kapag inihagis ang isang dice? At sa ano - kakaiba?
Sa isang drawer ng plain, blue at red na mga lapis. Kami ay random na gumuhit ng isang lapis. Ano ang posibilidad na mabunot ang isang simple?

Mga solusyon:

Ilang mga pagpipilian ang mayroon? Mga ulo at buntot - dalawa lang. At ilan sa kanila ang paborable? Isa lang ang agila. Kaya ang posibilidad
Pareho sa mga buntot: .
Kabuuang mga pagpipilian: (kung gaano karaming mga gilid ang isang kubo, napakaraming iba't ibang mga pagpipilian). Mga kanais-nais: (lahat ito ay mga even na numero :).
Probability. Sa kakaiba, siyempre, ang parehong bagay.
Kabuuan: . Kanais-nais: . Probability: .

Buong Probability

Lahat ng lapis sa drawer ay berde. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang lapis? Walang mga pagkakataon: posibilidad (pagkatapos ng lahat, kanais-nais na mga kaganapan -).

Ang ganitong pangyayari ay tinatawag na imposible.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis? Mayroong eksaktong maraming paborableng kaganapan gaya ng kabuuang kaganapan (lahat ng mga kaganapan ay paborable). Kaya ang posibilidad ay o.

Ang ganitong kaganapan ay tinatawag na tiyak.

Kung may berde at pulang lapis sa kahon, ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula? Muli pa. Tandaan ang sumusunod na bagay: ang posibilidad ng pagguhit ng berde ay pantay, at ang pula ay .

Sa kabuuan, ang mga probabilidad na ito ay eksaktong pantay. I.e, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng pangyayari ay katumbas ng o.

Halimbawa:

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, simple, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde?

Desisyon:

Tandaan na ang lahat ng mga probabilidad ay nagdaragdag. At ang posibilidad ng pagguhit ng berde ay pantay. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde ay pantay.

Tandaan ang trick na ito: Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Mga independiyenteng kaganapan at ang panuntunan sa pagpaparami

I-flip mo ang isang barya ng dalawang beses at gusto mo itong lumabas nang dalawang beses. Ano ang posibilidad nito?

Suriin natin ang lahat ng posibleng opsyon at tukuyin kung ilan ang mayroon:

Agila-Agila, Tails-Agila, Eagle-Tails, Tails-Tails. Ano pa?

Ang buong variant. Sa mga ito, isa lang ang nababagay sa atin: Eagle-Eagle. Kaya, ang posibilidad ay pantay.

Mabuti. Ngayon ay i-flip natin ang isang barya. Bilangin mo ang iyong sarili. Nangyari? (sagot).

Maaaring napansin mo na sa pagdaragdag ng bawat susunod na paghagis, ang posibilidad ay nababawasan ng isang kadahilanan. Ang pangkalahatang tuntunin ay tinatawag tuntunin sa pagpaparami:

Ang mga posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay nagbabago.

Ano ang mga malayang kaganapan? Ang lahat ay lohikal: ito ang mga hindi umaasa sa isa't isa. Halimbawa, kapag naghagis tayo ng barya ng ilang beses, sa bawat oras na may gagawing bagong paghagis, ang resulta nito ay hindi nakadepende sa lahat ng nakaraang paghagis. Sa parehong tagumpay, maaari tayong magtapon ng dalawang magkaibang barya sa parehong oras.

Higit pang mga halimbawa:

Ang isang mamatay ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na ito ay lalabas sa dalawang beses?
Ang isang barya ay inihagis ng ilang beses. Ano ang posibilidad na mauna ang mga ulo at pagkatapos ay dalawang beses na buntot?
Ang manlalaro ay nagpapagulong ng dalawang dice. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ng mga numero sa kanila ay magiging pantay?

Mga sagot:

Ang mga kaganapan ay independyente, na nangangahulugang gumagana ang panuntunan sa pagpaparami: .
Ang posibilidad ng isang agila ay pantay. Tails probability din. Kami ay nagpaparami:
12 ay makukuha lamang kung ang dalawang -ki ay bumagsak: .

Mga hindi tugmang kaganapan at ang panuntunan sa pagdaragdag

Ang mga hindi magkatugma na kaganapan ay mga kaganapan na umakma sa isa't isa sa ganap na posibilidad. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, hindi sila maaaring mangyari nang sabay. Halimbawa, kung maghahagis tayo ng barya, maaaring malaglag ang ulo o buntot.

Halimbawa.

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, simple, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula?

Desisyon .

Ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis ay pantay. Pula - .

Mga mapalad na kaganapan sa lahat: berde + pula. Kaya ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula ay pantay.

Ang parehong posibilidad ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo: .

Ito ang panuntunan sa pagdaragdag: ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Pinaghalong gawain

Halimbawa.

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na mag-iba ang resulta ng mga rolyo?

Desisyon .

Nangangahulugan ito na kung ang mga ulo ay unang lumabas, ang mga buntot ay dapat na pangalawa, at kabaliktaran. Lumalabas na mayroong dalawang pares ng mga independiyenteng kaganapan dito, at ang mga pares na ito ay hindi tugma sa isa't isa. Paano hindi malito kung saan dadami at kung saan idadagdag.

Mayroong isang simpleng tuntunin para sa mga ganitong sitwasyon. Subukang ilarawan kung ano ang dapat mangyari sa pamamagitan ng pag-uugnay ng mga kaganapan sa mga unyon na "AT" o "O". Halimbawa, sa kasong ito:

Dapat gumulong (ulo at buntot) o (buntot at ulo).

Kung saan mayroong unyon na "at", magkakaroon ng multiplikasyon, at kung saan ang "o" ay karagdagan:

Subukan ito sa iyong sarili:

Ano ang posibilidad na magkaroon ng magkaparehong panig ang dalawang coin tosses?
Ang isang mamatay ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ay bumaba ng mga puntos?

Mga solusyon:

(Tumulong at tumungo) o (buntot at buntot): .
Ano ang mga pagpipilian? at. Pagkatapos:
Pinagulong (at) o (at) o (at): .

Isa pang halimbawa:

Naghahagis kami ng barya minsan. Ano ang posibilidad na lumitaw ang mga ulo kahit isang beses?

Desisyon:

Naku, ayaw kong pag-uri-uriin ang mga opsyon ... Mga buntot sa ulo, buntot-buntot ng agila, ... Ngunit hindi mo na kailangan! Pag-usapan natin ang buong posibilidad. Naalala? Ano ang posibilidad na ang agila hinding-hindi bababa? Ito ay simple: ang mga buntot ay lumilipad sa lahat ng oras, ibig sabihin.

TEORYANG PROBABILIDAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.

Mga malayang kaganapan

Ang dalawang kaganapan ay independyente kung ang paglitaw ng isa ay hindi nagbabago sa posibilidad ng isa pang naganap.

Buong Probability

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay ().

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan

Ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapan.

Mga pangyayaring hindi magkatugma

Ang mga hindi tugmang kaganapan ay ang mga kaganapang hindi maaaring mangyari nang sabay-sabay bilang resulta ng isang eksperimento. Ang isang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.

Ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Ang pagkakaroon ng inilarawan kung ano ang dapat mangyari, gamit ang mga unyon na "AT" o "O", sa halip na "AT" inilalagay namin ang tanda ng pagpaparami, at sa halip na "OR" - karagdagan.

ANG NATITING 2/3 NA MGA ARTIKULO AY AVAILABLE LAMANG SA INYONG MGA MAG-AARAL NA MATALINO!

Maging isang mag-aaral ng YouClever,

Maghanda para sa OGE o PAGGAMIT sa matematika sa presyong "isang tasa ng kape kada buwan",

At makakuha din ng walang limitasyong pag-access sa "YouClever" na aklat-aralin, ang "100gia" na programa sa pagsasanay (solution book), walang limitasyong pagsubok na PAGGAMIT at OGE, 6000 mga gawain na may pagsusuri ng mga solusyon at iba pang serbisyo ng YouClever at 100gia.

Kapag ang isang barya ay inihagis, masasabing ito ay maglalapag ng ulo, o probabilidad ito ay 1/2. Siyempre, hindi ito nangangahulugan na kung ang isang barya ay ihagis ng 10 beses, ito ay kinakailangang mapunta sa mga ulo ng 5 beses. Kung ang barya ay "patas" at kung ito ay ihahagis ng maraming beses, ang mga ulo ay lalabas nang malapit sa kalahati ng oras. Kaya, mayroong dalawang uri ng mga probabilidad: eksperimental at teoretikal .

Eksperimental at teoretikal na posibilidad

Kung hahagisan natin ang isang barya nang maraming beses - sabihin nating 1,000 - at bilangin kung gaano karaming beses itong lumalabas, matutukoy natin ang posibilidad na ito ay lalabas. Kung ang mga ulo ay lumabas ng 503 beses, maaari nating kalkulahin ang posibilidad na ito ay darating:
503/1000, o 0.503.

Ito ay eksperimental kahulugan ng probabilidad. Ang kahulugan ng probabilidad na ito ay nagmumula sa pagmamasid at pag-aaral ng data at medyo karaniwan at lubhang kapaki-pakinabang. Halimbawa, narito ang ilang probabilidad na natukoy sa eksperimento:

1. Ang posibilidad na magkaroon ng breast cancer ang isang babae ay 1/11.

2. Kung hahalikan mo ang taong may sipon, 0.07 ang probabilidad na sipon ka rin.

3. Ang isang taong kalalabas lang sa bilangguan ay may 80% na pagkakataong makabalik sa bilangguan.

Kung isasaalang-alang natin ang paghagis ng isang barya at isinasaalang-alang na ito ay pantay na malamang na magkaroon ng mga ulo o buntot, maaari nating kalkulahin ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo: 1 / 2. Ito ang teoretikal na kahulugan ng posibilidad. Narito ang ilang iba pang mga probabilidad na ayon sa teorya ay natukoy gamit ang matematika:

1. Kung mayroong 30 tao sa isang silid, ang posibilidad na dalawa sa kanila ay may parehong kaarawan (hindi kasama ang taon) ay 0.706.

2. Sa isang paglalakbay, may nakilala ka at sa takbo ng pag-uusap ay natuklasan mong may kakilala ka sa isa't isa. Karaniwang reaksyon: "Hindi pwede iyon!" Sa katunayan, ang pariralang ito ay hindi magkasya, dahil ang posibilidad ng naturang kaganapan ay medyo mataas - higit sa 22%.

Samakatuwid, ang probabilidad na pang-eksperimento ay natutukoy sa pamamagitan ng pagmamasid at pagkolekta ng data. Ang mga teoretikal na probabilidad ay tinutukoy ng matematikal na pangangatwiran. Ang mga halimbawa ng eksperimental at teoretikal na probabilidad, tulad ng mga tinalakay sa itaas, at lalo na ang mga hindi natin inaasahan, ay humahantong sa atin sa kahalagahan ng pag-aaral ng probabilidad. Maaari mong itanong, "Ano ang tunay na posibilidad?" Actually, wala naman. Posibleng eksperimento upang matukoy ang mga probabilidad sa loob ng ilang mga limitasyon. Maaari silang tumugma o hindi sa mga probabilidad na nakuha natin ayon sa teorya. May mga sitwasyon kung saan mas madaling tukuyin ang isang uri ng posibilidad kaysa sa iba. Halimbawa, magiging sapat na upang mahanap ang posibilidad na magkaroon ng sipon gamit ang teoretikal na posibilidad.

Pagkalkula ng mga probabilidad na pang-eksperimento

Isaalang-alang muna ang pang-eksperimentong kahulugan ng posibilidad. Ang pangunahing prinsipyo na ginagamit namin upang kalkulahin ang mga probabilidad ay ang mga sumusunod.

Prinsipyo P (pang-eksperimento)

Kung sa isang eksperimento kung saan ang n obserbasyon ay ginawa, ang sitwasyon o kaganapan E ay nangyayari nang m beses sa n obserbasyon, kung gayon ang pang-eksperimentong posibilidad ng kaganapan ay sinasabing P (E) = m/n.

Halimbawa 1 Sociological survey. Isang pang-eksperimentong pag-aaral ang isinagawa upang matukoy ang bilang ng mga kaliwete, kanang kamay at mga taong pantay na nabuo ang parehong mga kamay. Ang mga resulta ay ipinapakita sa graph.

a) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kanang kamay.

b) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kaliwete.

c) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay.

d) Karamihan sa mga paligsahan sa PBA ay mayroong 120 manlalaro. Batay sa eksperimentong ito, ilang manlalaro ang maaaring maging kaliwete?

Desisyon

a) Ang bilang ng mga taong kanang kamay ay 82, ang bilang ng mga kaliwete ay 17, at ang bilang ng mga taong pantay na matatas sa magkabilang kamay ay 1. Ang kabuuang bilang ng mga obserbasyon ay 100. Kaya, ang posibilidad na ang isang tao ay kanang kamay ay P
P = 82/100, o 0.82, o 82%.

b) Ang posibilidad na ang isang tao ay kaliwete ay P, kung saan
P = 17/100 o 0.17 o 17%.

c) Ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa parehong mga kamay ay P, kung saan
P = 1/100 o 0.01 o 1%.

d) 120 bowlers at mula sa (b) maaari nating asahan na 17% ang kaliwa kamay. Mula rito
17% ng 120 = 0.17.120 = 20.4,
iyon ay, maaari naming asahan ang tungkol sa 20 mga manlalaro na kaliwete.

Halimbawa 2 Kontrol sa kalidad . Napakahalaga para sa isang tagagawa na panatilihin ang kalidad ng kanilang mga produkto sa isang mataas na antas. Sa katunayan, ang mga kumpanya ay kumukuha ng mga quality control inspector upang matiyak ang prosesong ito. Ang layunin ay ilabas ang pinakamababang posibleng bilang ng mga may sira na produkto. Ngunit dahil ang kumpanya ay gumagawa ng libu-libong mga item araw-araw, hindi nito kayang suriin ang bawat item upang matukoy kung ito ay may depekto o hindi. Upang malaman kung anong porsyento ng mga produkto ang may depekto, ang kumpanya ay sumusubok ng mas kaunting mga produkto.
Ang USDA ay nangangailangan na 80% ng mga buto na ibinebenta ng mga grower ay tumubo. Upang matukoy ang kalidad ng mga buto na ginagawa ng kumpanya ng agrikultura, 500 na mga buto ang itinanim mula sa mga na-produce. Pagkatapos nito, nakalkula na 417 na buto ang tumubo.

a) Ano ang posibilidad na tumubo ang binhi?

b) Ang mga binhi ba ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan?

Desisyon a) Alam natin na sa 500 buto na itinanim, 417 ang tumubo. Ang posibilidad ng pagtubo ng binhi P, at
P = 417/500 = 0.834, o 83.4%.

b) Dahil ang porsyento ng mga tumubo na buto ay lumampas sa 80% on demand, ang mga buto ay nakakatugon sa mga pamantayan ng estado.

Halimbawa 3 Mga rating sa TV. Ayon sa istatistika, mayroong 105,500,000 TV household sa United States. Bawat linggo, ang impormasyon tungkol sa pagtingin sa mga programa ay kinokolekta at pinoproseso. Sa loob ng isang linggo, 7,815,000 na sambahayan ang na-tune sa hit comedy series ng CBS na Everybody Loves Raymond at 8,302,000 na sambahayan ang na-tune sa hit na Law & Order ng NBC (Source: Nielsen Media Research). Ano ang posibilidad na ang TV ng isang tahanan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" sa isang partikular na linggo? sa "Law & Order"?

Solusyon Ang posibilidad na ang TV sa isang sambahayan ay nakatakda sa "Everybody Loves Raymond" ay P, at
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Ang posibilidad na ang pambahay na TV ay itinakda sa "Law & Order" ay P, at
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Ang mga porsyentong ito ay tinatawag na mga rating.

teoretikal na posibilidad

Ipagpalagay na gumagawa tayo ng isang eksperimento, tulad ng paghahagis ng barya o dart, pagguhit ng card mula sa isang deck, o pagsubok ng mga produkto para sa kalidad sa isang assembly line. Ang bawat posibleng resulta ng naturang eksperimento ay tinatawag Exodo . Ang hanay ng lahat ng posibleng resulta ay tinatawag espasyo ng kinalabasan . Kaganapan ito ay isang hanay ng mga kinalabasan, iyon ay, isang subset ng espasyo ng mga kinalabasan.

Halimbawa 4 Paghahagis ng darts. Ipagpalagay na sa eksperimento na "throwing darts", ang dart ay tumama sa target. Hanapin ang bawat isa sa mga sumusunod:

b) Outcome space

Desisyon
a) Ang mga kinalabasan ay: pagtama ng itim (H), pagtama ng pula (K) at pagtama ng puti (B).

b) Mayroong puwang sa kinalabasan (hit black, hit red, hit white), na maaaring isulat nang simple bilang (B, R, B).

Halimbawa 5 Paghahagis ng dice. Ang isang die ay isang kubo na may anim na gilid, bawat isa ay may isa hanggang anim na tuldok.

Ipagpalagay na naghahagis tayo ng isang mamatay. Hanapin
a) Mga kinalabasan
b) Outcome space

Desisyon
a) Mga Resulta: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Outcome space (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tinutukoy namin ang posibilidad na ang isang kaganapan E ay nangyayari bilang P(E). Halimbawa, "the coin will land on tails" can denoted by H. Then P(H) is the probability that the coin will land on tails. Kapag ang lahat ng kinalabasan ng isang eksperimento ay may parehong posibilidad na mangyari, sinasabing pareho ang posibilidad ng mga ito. Upang makita ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kaganapan na pantay na malamang at mga kaganapan na hindi pantay na posibilidad, isaalang-alang ang target na ipinapakita sa ibaba.

Para sa target A, ang itim, pula, at puting mga hit na kaganapan ay pantay na posibilidad, dahil pareho ang mga sektor ng itim, pula, at puti. Gayunpaman, para sa target B, ang mga zone na may ganitong mga kulay ay hindi pareho, ibig sabihin, ang pagtama sa kanila ay hindi pantay na posibilidad.

Prinsipyo P (Teoretikal)

Kung ang isang kaganapan E ay maaaring mangyari sa m paraan sa labas ng n posibleng equiprobable na mga resulta mula sa kinalabasang espasyo S, kung gayon teoretikal na posibilidad kaganapan, ang P(E) ay
P(E) = m/n.

Halimbawa 6 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng 3 sa pamamagitan ng pag-roll ng isang die?

Desisyon Mayroong 6 na pantay na posibilidad na resulta sa die at mayroon lamang isang posibilidad na ihagis ang numero 3. Pagkatapos ang posibilidad na P ay magiging P(3) = 1/6.

Halimbawa 7 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng even number sa die?

Desisyon Ang kaganapan ay ang paghagis ng kahit na numero. Ito ay maaaring mangyari sa 3 paraan (kung gumulong ka ng 2, 4 o 6). Ang bilang ng mga equiprobable na resulta ay 6. Pagkatapos ang probability P(even) = 3/6, o 1/2.

Gagamit kami ng ilang halimbawa na nauugnay sa isang karaniwang 52-card deck. Ang nasabing deck ay binubuo ng mga card na ipinapakita sa figure sa ibaba.

Halimbawa 8 Ano ang posibilidad ng pagguhit ng alas mula sa isang mahusay na binasa na deck ng mga baraha?

Desisyon Mayroong 52 na resulta (ang bilang ng mga card sa deck), pareho silang malamang (kung ang deck ay maayos na pinaghalo), at mayroong 4 na paraan upang gumuhit ng alas, kaya ayon sa prinsipyo ng P, ang posibilidad
P(pagguhit ng alas) = 4/52, o 1/13.

Halimbawa 9 Ipagpalagay na pipili tayo nang hindi tumitingin ng isang marmol mula sa isang bag ng 3 pulang marmol at 4 na berdeng marmol. Ano ang posibilidad ng pagpili ng pulang bola?

Desisyon Mayroong 7 pantay na posibilidad na mga resulta upang makakuha ng anumang bola, at dahil ang bilang ng mga paraan upang gumuhit ng pulang bola ay 3, nakukuha namin
P(pagpili ng pulang bola) = 3/7.

Ang mga sumusunod na pahayag ay mga resulta mula sa prinsipyo ng P.

Mga Katangian ng Probability

a) Kung ang kaganapang E ay hindi maaaring mangyari, kung gayon ang P(E) = 0.
b) Kung ang kaganapang E ay tiyak na mangyari, ang P(E) = 1.
c) Ang posibilidad na mangyari ang kaganapang E ay isang numero sa pagitan ng 0 at 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Halimbawa, sa paghagis ng barya, ang kaganapan na ang barya ay dumapo sa gilid nito ay walang posibilidad. Ang posibilidad na ang isang barya ay alinman sa mga ulo o buntot ay may posibilidad na 1.

Halimbawa 10 Ipagpalagay na ang 2 card ay nakuha mula sa isang deck na may 52 card. Ano ang posibilidad na pareho silang mga pala?

Desisyon Ang bilang ng mga paraan n ng pagguhit ng 2 card mula sa isang well-shuffled 52-card deck ay 52 C 2 . Dahil ang 13 sa 52 na baraha ay mga pala, ang bilang ng m ng mga paraan upang gumuhit ng 2 mga pala ay 13 C 2 . pagkatapos,
P(lumalawak ng 2 peak) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Halimbawa 11 Ipagpalagay na 3 tao ang random na pinili mula sa isang grupo ng 6 na lalaki at 4 na babae. Ano ang posibilidad na 1 lalaki at 2 babae ang mapipili?

Desisyon Bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong tao mula sa isang grupo ng 10 tao 10 C 3 . Maaaring pumili ng isang lalaki sa 6 C 1 paraan at 2 babae sa 4 C 2 paraan. Ayon sa pangunahing prinsipyo ng pagbibilang, ang bilang ng mga paraan upang piliin ang unang lalaki at 2 babae ay 6 C 1 . 4C2. Pagkatapos, ang posibilidad na mapili ang 1 lalaki at 2 babae ay
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Halimbawa 12 Paghahagis ng dice. Ano ang posibilidad ng paghagis ng kabuuang 8 sa dalawang dice?

Desisyon Mayroong 6 na posibleng resulta sa bawat dice. Dinoble ang mga resulta, ibig sabihin, mayroong 6.6 o 36 na posibleng paraan kung saan maaaring mahulog ang mga numero sa dalawang dice. (Mas maganda kung magkaiba ang mga cube, sabihin nating ang isa ay pula at ang isa ay asul - makakatulong ito na makita ang resulta.)

Ang mga pares ng mga numero na nagdaragdag ng hanggang 8 ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Mayroong 5 posibleng paraan upang makuha ang kabuuan na katumbas ng 8, kaya ang posibilidad ay 5/36.

PANIMULA

Maraming bagay ang hindi natin maintindihan, hindi dahil mahina ang ating mga konsepto;
ngunit dahil ang mga bagay na ito ay hindi pumapasok sa bilog ng ating mga konsepto.
Kozma Prutkov

Ang pangunahing layunin ng pag-aaral ng matematika sa pangalawang dalubhasang institusyong pang-edukasyon ay upang bigyan ang mga mag-aaral ng isang hanay ng kaalaman at kasanayan sa matematika na kinakailangan para sa pag-aaral ng iba pang mga disiplina ng programa na gumagamit ng matematika sa isang antas o iba pa, para sa kakayahang magsagawa ng mga praktikal na kalkulasyon, para sa pagbuo at pag-unlad. ng lohikal na pag-iisip.

Sa papel na ito, ang lahat ng mga pangunahing konsepto ng seksyon ng matematika na "Mga Pundamental ng Probability Theory at Mathematical Statistics", na ibinigay ng programa at ang State Educational Standards of Secondary Vocational Education (Ministry of Education of the Russian Federation. M., 2002). ), ay patuloy na ipinakilala, ang mga pangunahing theorems ay nabuo, karamihan sa mga ito ay hindi napatunayan. Ang mga pangunahing gawain at pamamaraan para sa kanilang solusyon at mga teknolohiya para sa paglalapat ng mga pamamaraang ito sa paglutas ng mga praktikal na problema ay isinasaalang-alang. Ang pagtatanghal ay sinamahan ng mga detalyadong komento at maraming mga halimbawa.

Ang mga tagubiling pamamaraan ay maaaring gamitin para sa paunang pagkilala sa pinag-aralan na materyal, kapag kumukuha ng mga tala ng mga lektura, para sa paghahanda para sa mga praktikal na pagsasanay, para sa pagsasama-sama ng nakuha na kaalaman, kasanayan at kakayahan. Bilang karagdagan, ang manwal ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga undergraduate na mag-aaral bilang isang reference tool na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na maibalik sa memorya ang naunang pinag-aralan.

Sa pagtatapos ng gawain, ibinibigay ang mga halimbawa at gawain na maaaring gawin ng mga mag-aaral sa self-control mode.

Ang mga tagubiling metodolohikal ay inilaan para sa mga mag-aaral ng sulat at full-time na mga anyo ng edukasyon.

MGA BATAYANG KONSEPTO

Pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad ang mga layunin na regularidad ng mass random na mga kaganapan. Ito ay isang teoretikal na batayan para sa mga istatistika ng matematika, na tumatalakay sa pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagkolekta, paglalarawan at pagproseso ng mga resulta ng mga obserbasyon. Sa pamamagitan ng mga obserbasyon (mga pagsubok, eksperimento), i.e. karanasan sa malawak na kahulugan ng salita, mayroong isang kaalaman sa mga phenomena ng tunay na mundo.

Sa aming mga praktikal na aktibidad, madalas kaming nakatagpo ng mga phenomena, ang kinalabasan nito ay hindi mahuhulaan, ang resulta nito ay nakasalalay sa pagkakataon.

Ang isang random na kababalaghan ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng ratio ng bilang ng mga paglitaw nito sa bilang ng mga pagsubok, sa bawat isa, sa ilalim ng parehong mga kondisyon ng lahat ng mga pagsubok, maaari itong mangyari o hindi mangyari.

Ang teorya ng probabilidad ay isang sangay ng matematika kung saan ang mga random na phenomena (mga kaganapan) ay pinag-aaralan at ang mga regularidad ay ipinahayag sa panahon ng kanilang mass repetition.

Ang matematikal na istatistika ay isang sangay ng matematika na ang paksa nito ay ang pag-aaral ng mga pamamaraan para sa pagkolekta, pagsasaayos, pagpoproseso at paggamit ng mga istatistikal na datos upang makakuha ng mga konklusyong nakabatay sa siyentipiko at gumawa ng mga desisyon.

Kasabay nito, ang istatistikal na data ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga numero na kumakatawan sa mga quantitative na katangian ng mga tampok ng mga pinag-aralan na bagay na interesado sa amin. Ang data ng istatistika ay nakuha bilang resulta ng mga espesyal na idinisenyong eksperimento at obserbasyon.

Ang data ng istatistika sa kakanyahan nito ay nakasalalay sa maraming random na mga kadahilanan, kaya ang mga istatistika ng matematika ay malapit na nauugnay sa teorya ng posibilidad, na siyang teoretikal na batayan.

I. PROBABILIDAD. THEOREMS NG ADDITION AT PROBABILITY MULTIPLICATION

1.1. Mga pangunahing konsepto ng combinatorics

Sa seksyon ng matematika na tinatawag na combinatorics, ang ilang mga problema ay nalutas na may kaugnayan sa pagsasaalang-alang ng mga set at ang pagsasama-sama ng iba't ibang kumbinasyon ng mga elemento ng mga set na ito. Halimbawa, kung kukuha tayo ng 10 magkakaibang numero 0, 1, 2, 3,:, 9 at gagawa tayo ng mga kumbinasyon ng mga ito, makakakuha tayo ng iba't ibang numero, halimbawa 143, 431, 5671, 1207, 43, atbp.

Nakikita namin na ang ilan sa mga kumbinasyong ito ay naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga digit (halimbawa, 143 at 431), ang iba sa mga numerong kasama sa mga ito (halimbawa, 5671 at 1207), at ang iba ay iba rin sa bilang ng mga digit ( halimbawa, 143 at 43).

Kaya, ang nakuha na mga kumbinasyon ay nakakatugon sa iba't ibang mga kondisyon.

Depende sa mga patakaran ng compilation, tatlong uri ng mga kumbinasyon ay maaaring makilala: permutasyon, pagkakalagay, kumbinasyon.

Kilalanin muna natin ang konsepto factorial.

Ang produkto ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang n inclusive ay tinatawag n-paktoral at magsulat.

Kalkulahin: a); b); sa) .

Desisyon. a) .

b) pati na rin , pagkatapos ay maaari mo itong alisin sa mga bracket

Pagkatapos makuha namin

sa) .

Mga permutasyon.

Ang kumbinasyon ng n elemento na naiiba sa isa't isa lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay tinatawag na permutation.

Ang mga permutasyon ay tinutukoy ng simbolo P n , kung saan ang n ay ang bilang ng mga elemento sa bawat permutation. ( R- ang unang titik ng salitang Pranses permutasyon- permutasyon).

Ang bilang ng mga permutasyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

o may factorial:

Tandaan natin yan 0!=1 at 1!=1.

Halimbawa 2. Sa ilang paraan maaaring ayusin ang anim na magkakaibang aklat sa isang istante?

Desisyon. Ang nais na bilang ng mga paraan ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon ng 6 na elemento, i.e.

Mga tirahan.

Mga pagkakalagay mula sa m mga elemento sa n sa bawat isa, ang mga naturang compound ay tinatawag na naiiba sa bawat isa alinman sa pamamagitan ng mga elemento mismo (kahit isa), o sa pagkakasunud-sunod ng lokasyon.

Ang mga lokasyon ay tinutukoy ng simbolo , kung saan m ay ang bilang ng lahat ng magagamit na elemento, n ay ang bilang ng mga elemento sa bawat kumbinasyon. ( PERO- unang titik ng salitang Pranses kaayusan, na nangangahulugang "paglalagay, pag-aayos").

Kasabay nito, ipinapalagay na nm.

Maaaring kalkulahin ang bilang ng mga placement gamit ang formula

mga. ang bilang ng lahat ng posibleng pagkakalagay mula sa m mga elemento sa pamamagitan ng n ay katumbas ng produkto n magkakasunod na integer, kung saan ang mas malaki ay m.

Isinulat namin ang formula na ito sa factorial form:

Halimbawa 3. Ilang mga opsyon para sa pamamahagi ng tatlong voucher sa isang sanatorium ng iba't ibang profile ang maaaring gawin para sa limang aplikante?

Desisyon. Ang nais na bilang ng mga opsyon ay katumbas ng bilang ng mga pagkakalagay ng 5 elemento ng 3 elemento, i.e.

Mga kumbinasyon.

Ang mga kumbinasyon ay lahat ng posibleng kumbinasyon ng m mga elemento sa pamamagitan ng n, na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng hindi bababa sa isang elemento (dito m at n- natural na mga numero, at nm).

Bilang ng mga kumbinasyon mula sa m mga elemento sa pamamagitan ng n ay tinutukoy ( Sa- ang unang titik ng salitang Pranses kumbinasyon- kumbinasyon).

Sa pangkalahatan, ang bilang ng m mga elemento sa pamamagitan ng n katumbas ng bilang ng mga pagkakalagay mula sa m mga elemento sa pamamagitan ng n hinati sa bilang ng mga permutasyon mula sa n mga elemento:

Gamit ang mga factorial na formula para sa placement at permutation number, nakukuha namin ang:

Halimbawa 4. Sa isang pangkat ng 25 tao, kailangan mong maglaan ng apat para magtrabaho sa isang partikular na lugar. Sa ilang paraan ito magagawa?

Desisyon. Dahil ang pagkakasunud-sunod ng napiling apat na tao ay hindi mahalaga, ito ay maaaring gawin sa mga paraan.

Natagpuan namin sa pamamagitan ng unang formula

Bilang karagdagan, kapag nilutas ang mga problema, ginagamit ang mga sumusunod na formula na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga kumbinasyon:

(sa pamamagitan ng kahulugan, at ipinapalagay);

1.2. Paglutas ng mga problemang kombinatorial

Gawain 1. 16 na asignatura ang pinag-aaralan sa faculty. Sa Lunes, kailangan mong maglagay ng 3 paksa sa iskedyul. Sa ilang paraan ito magagawa?

Desisyon. Mayroong maraming mga paraan upang mag-iskedyul ng tatlong item sa 16 dahil mayroong mga pagkakalagay ng 16 na elemento ng 3 bawat isa.

Gawain 2. Sa 15 bagay, 10 bagay ang dapat piliin. Sa ilang paraan ito magagawa?

Gawain 3. Apat na pangkat ang lumahok sa kompetisyon. Gaano karaming mga pagpipilian para sa pamamahagi ng mga upuan sa pagitan nila ang posible?

Suliranin 4. Sa ilang paraan mabubuo ang patrol ng tatlong sundalo at isang opisyal kung mayroong 80 sundalo at 3 opisyal?

Desisyon. Maaaring pumili ng sundalong nagpapatrol

paraan, at paraan ng mga opisyal. Dahil ang sinumang opisyal ay maaaring sumama sa bawat pangkat ng mga sundalo, mayroon lamang mga paraan.

Gawain 5. Hanapin kung alam na .

Since , nakukuha namin

Sa pamamagitan ng kahulugan ng kumbinasyon ito ay sumusunod na , . yun. .

1.3. Ang konsepto ng isang random na kaganapan. Mga uri ng kaganapan. Probability ng Kaganapan

Anumang aksyon, kababalaghan, pagmamasid na may iba't ibang mga resulta, na natanto sa ilalim ng isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon, ay tatawagin pagsusulit.

Ang resulta ng aksyon o pagmamasid na ito ay tinatawag kaganapan .

Kung ang isang kaganapan sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay maaaring mangyari o hindi mangyari, kung gayon ito ay tinatawag random . Kung sakaling tiyak na maganap ang isang kaganapan, ito ay tinatawag maaasahan , at sa kaso kung kailan tiyak na hindi ito mangyayari, - imposible.

Tinatawag ang mga pangyayari hindi magkatugma kung isa lamang sa kanila ang maaaring lumitaw sa bawat oras.

Tinatawag ang mga pangyayari magkadugtong kung, sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon, ang paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa sa parehong pagsubok.

Tinatawag ang mga pangyayari kabaligtaran , kung sa ilalim ng mga kundisyon ng pagsubok ang mga ito, bilang mga resulta lamang nito, ay hindi magkatugma.

Ang mga kaganapan ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin: A B C D, : .

Ang kumpletong sistema ng mga kaganapan A 1 , A 2 , A 3 , : , A n ay isang hanay ng mga hindi tugmang kaganapan, ang paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito ay sapilitan para sa isang naibigay na pagsubok.

Kung ang isang kumpletong sistema ay binubuo ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan, kung gayon ang mga naturang kaganapan ay tinatawag na kabaligtaran at tinutukoy ng A at .

Halimbawa. Mayroong 30 may bilang na bola sa isang kahon. Tukuyin kung alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, tiyak, kabaligtaran:

nakakuha ng numbered ball (PERO);

gumuhit ng pantay na bilang na bola (AT);

gumuhit ng bola na may kakaibang numero (MAY);

nakakuha ng bola na walang numero (D).

Sino sa kanila ang bumubuo ng isang kumpletong grupo?

Desisyon . PERO- tiyak na kaganapan; D- imposibleng kaganapan;

Sa at Sa- magkasalungat na pangyayari.

Ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan ay PERO at D, V at Sa.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isinasaalang-alang bilang isang sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang random na kaganapan.

1.4. Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Ang numero, na isang pagpapahayag ng sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan, ay tinatawag probabilidad kaganapang ito at ipinapahiwatig ng simbolo P(A).

Kahulugan. Probability ng isang kaganapan PERO ay ang ratio ng bilang ng mga resulta m na pabor sa paglitaw ng isang naibigay na kaganapan PERO, sa numero n lahat ng kinalabasan (hindi tugma, natatangi at pantay na posible), i.e. .

Samakatuwid, upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan, kinakailangan, pagkatapos isaalang-alang ang iba't ibang mga resulta ng pagsubok, upang kalkulahin ang lahat ng posibleng hindi magkatugma na mga resulta. n, piliin ang bilang ng mga resulta na interesado kami sa m at kalkulahin ang ratio m sa n.

Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa kahulugang ito:

Ang posibilidad ng anumang pagsubok ay isang hindi negatibong numero na hindi hihigit sa isa.

Sa katunayan, ang bilang m ng mga gustong kaganapan ay nasa loob ng . Hinahati ang dalawang bahagi sa n, nakukuha namin

2. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, dahil .

3. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero dahil .

Problema 1. Mayroong 200 nanalo sa 1000 na tiket sa lottery. Ang isang tiket ay iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na manalo ang tiket na ito?

Desisyon. Ang kabuuang bilang ng iba't ibang resulta ay n=1000. Ang bilang ng mga resulta na pumapabor sa panalo ay m=200. Ayon sa formula, nakukuha natin

Gawain 2. Sa isang batch ng 18 bahagi, mayroong 4 na may sira. 5 piraso ay pinili nang random. Hanapin ang posibilidad na dalawa sa 5 bahaging ito ay may depekto.

Desisyon. Bilang ng lahat ng pantay na posibleng independiyenteng resulta n ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 18 hanggang 5 i.e.

Kalkulahin natin ang bilang na m na pabor sa kaganapan A. Sa 5 random na napiling bahagi, dapat mayroong 3 mataas ang kalidad at 2 may sira. Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang may sira na bahagi mula sa 4 na magagamit na may sira na bahagi ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 4 hanggang 2:

Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong bahagi ng kalidad mula sa 14 na magagamit na mga bahagi ng kalidad ay katumbas ng

Anumang pangkat ng mga de-kalidad na bahagi ay maaaring isama sa anumang pangkat ng mga may sira na bahagi, kaya ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon m ay

Ang gustong probabilidad ng kaganapan A ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga resulta m na pumapabor sa kaganapang ito sa bilang n ng lahat ng pantay na posibleng independiyenteng mga resulta:

Ang kabuuan ng isang may hangganang bilang ng mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

Ang kabuuan ng dalawang kaganapan ay tinutukoy ng simbolong A + B, at ang kabuuan n simbolo ng mga pangyayari A 1 +A 2 + : +A n .

Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad.

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito.

Corollary 1. Kung ang kaganapan А 1 , А 2 , : , А n ay bumubuo ng isang kumpletong sistema, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito ay katumbas ng isa.

Corollary 2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na pangyayari at katumbas ng isa.

Problema 1. Mayroong 100 tiket sa lottery. Ito ay kilala na ang 5 tiket ay makakakuha ng panalo ng 20,000 rubles, 10 - 15,000 rubles, 15 - 10,000 rubles, 25 - 2,000 rubles. at wala para sa iba. Hanapin ang posibilidad na ang binili na tiket ay manalo ng hindi bababa sa 10,000 rubles.

Desisyon. Hayaang ang A, B, at C ay mga kaganapan na binubuo ng katotohanan na ang isang premyo na katumbas ng 20,000, 15,000 at 10,000 rubles ay nahuhulog sa binili na tiket. dahil ang mga kaganapan A, B at C ay hindi magkatugma, kung gayon

Gawain 2. Ang departamento ng pagsusulatan ng paaralang teknikal ay tumatanggap ng mga pagsusulit sa matematika mula sa mga lungsod A, B at Sa. Ang posibilidad ng pagtanggap ng control work mula sa lungsod PERO katumbas ng 0.6, mula sa lungsod AT- 0.1. Hanapin ang posibilidad na ang susunod na gawaing kontrol ay magmumula sa lungsod Sa.

Ang pinakasimpleng halimbawa ng isang koneksyon sa pagitan ng dalawang mga kaganapan ay isang sanhi na relasyon, kapag ang paglitaw ng isa sa mga kaganapan ay kinakailangang humantong sa paglitaw ng isa pa, o vice versa, kapag ang paglitaw ng isa ay hindi kasama ang posibilidad ng paglitaw ng isa pa.

Upang makilala ang pag-asa ng ilang mga kaganapan sa iba, ang konsepto ay ipinakilala kondisyon na maaaring mangyari.

Kahulugan. Hayaan PERO at AT- dalawang random na kaganapan ng parehong pagsubok. Pagkatapos ay ang kondisyon na posibilidad ng kaganapan PERO o ang posibilidad ng kaganapan A, sa kondisyon na ang kaganapan B ay naganap, ay tinatawag na numero.

Ang pagtukoy sa kondisyon na posibilidad , makuha namin ang formula

, .

Gawain 1. Kalkulahin ang posibilidad na maipanganak ang pangalawang lalaki sa isang pamilyang may isang batang lalaki.

Desisyon. Hayaan ang kaganapan PERO ay binubuo sa katotohanan na mayroong dalawang lalaki sa pamilya, at ang kaganapan AT- ang isang batang lalaki.

Isaalang-alang ang lahat ng posibleng resulta: lalaki at lalaki; lalaki at babae; babae at lalaki; babae at babae.

Pagkatapos , at sa pamamagitan ng formula na nakikita natin

Kaganapan PERO tinawag malaya mula sa kaganapan AT kung ang paglitaw ng pangyayari AT ay walang epekto sa posibilidad ng isang kaganapan na magaganap PERO.

Probability multiplication theorem

Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Ang posibilidad ng paglitaw ng ilang mga kaganapan na independyente sa pinagsama-samang ay kinakalkula ng formula

Problema 2. Ang unang urn ay naglalaman ng 6 na itim at 4 na puting bola, ang pangalawang urn ay naglalaman ng 5 itim at 7 puting bola. Isang bola ang kinukuha mula sa bawat urn. Ano ang posibilidad na ang parehong bola ay puti.

A at AT may event AB. Kaya naman,

b) Kung ang unang elemento ay gumagana, kung gayon ang isang kaganapan ay magaganap (ang kabaligtaran ng kaganapan PERO- ang kabiguan ng elementong ito); kung gumagana ang pangalawang elemento - kaganapan AT. Hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan at:

Kung gayon ang kaganapan na binubuo sa katotohanan na ang parehong mga elemento ay gagana ay, at, samakatuwid,

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Probability ng Kaganapan

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad:

Ang agham

Mga kaganapan

Kapanipaniwalang Kaganapan

Mga pangyayaring imposible

mga random na pangyayari

Ang mga batas

Convergence ng mga sequence ng random variables

Batas ng Malaking Bilang

Mga Axiom

Ticket sa lottery

deck ng card

Nakalimutang numero

Mga card na may mga numero

Buong Probability

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan.

Pag-eehersisyo.

TEORYANG PROBABILIDAD. GITNANG ANTAS

Buong Probability

Mga independiyenteng kaganapan at ang panuntunan sa pagpaparami

Mga hindi tugmang kaganapan at ang panuntunan sa pagdaragdag

Pinaghalong gawain

TEORYANG PROBABILIDAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

ANG NATITING 2/3 NA MGA ARTIKULO AY AVAILABLE LAMANG SA INYONG MGA MAG-AARAL NA MATALINO!

Eksperimental at teoretikal na posibilidad

Pagkalkula ng mga probabilidad na pang-eksperimento

Prinsipyo P (pang-eksperimento)

teoretikal na posibilidad

Prinsipyo P (Teoretikal)

Mga Katangian ng Probability

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO