Theorems ng karagdagan at pagpaparami ng mga probabilidad.

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng dalawang kaganapan. Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang posibilidad ng magkasanib na pangyayari.:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan. Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga ito:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Halimbawa 2.16. Ang tagabaril ay bumaril sa isang target na nahahati sa 3 lugar. Ang posibilidad na matamaan ang unang lugar ay 0.45, ang pangalawa - 0.35. Hanapin ang posibilidad na ang tagabaril ay tamaan ang una o ang pangalawang lugar sa isang shot.

Desisyon.

Mga kaganapan PERO- "ang tagabaril ay tumama sa unang lugar" at AT- "ang tagabaril ay tumama sa pangalawang lugar" - ay hindi pare-pareho (ang pagpindot sa isang lugar ay hindi kasama ang pagpasok sa isa pa), kaya ang addition theorem ay naaangkop.

Ang nais na posibilidad ay katumbas ng:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Pagdaragdag ng teorama P mga pangyayaring hindi magkatugma. Ang posibilidad ng kabuuan ng n hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga ito:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa:

Probability ng Kaganapan AT sa pag-aakalang may naganap na pangyayari PERO, ay tinatawag na conditional probability ng kaganapan AT at minarkahan ng ganito: P(B/A), o R A (B).

. Ang posibilidad ng produkto ng dalawang kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, sa kondisyon na ang unang kaganapan ay naganap:

P(AB)=P(A)P A(B).

Kaganapan AT hindi nakadepende sa kaganapan PERO, kung

PA (B) \u003d P (B),

mga. posibilidad ng kaganapan AT ay hindi nakasalalay sa kung ang kaganapan ay naganap PERO.

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng dalawang malayang kaganapan.Ang posibilidad ng produkto ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad:

P(AB)=P(A)P(B).

Halimbawa 2.17. Ang mga posibilidad na matamaan ang target kapag nagpaputok ng una at pangalawang baril ay pantay-pantay: p 1 = 0,7; p 2= 0.8. Hanapin ang posibilidad na tamaan ng isang volley (mula sa parehong baril) ng kahit isa sa mga baril.

Desisyon.

Ang posibilidad na matamaan ang target ng bawat isa sa mga baril ay hindi nakasalalay sa resulta ng pagpapaputok mula sa iba pang baril, kaya ang mga kaganapan PERO- "Unang tama ng baril" at AT– Ang "pangalawang tama ng baril" ay independyente.

Probability ng Kaganapan AB- "parehong tumama ang baril":

Ninanais na posibilidad

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Probability multiplication theorem P mga pangyayari.Ang posibilidad ng isang produkto ng n mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng mga kondisyon na probabilidad ng lahat ng iba pa, na kinakalkula sa pag-aakalang lahat ng nakaraang mga kaganapan ay naganap:

Halimbawa 2.18. Ang isang urn ay naglalaman ng 5 puti, 4 na itim at 3 asul na bola. Ang bawat pagsubok ay binubuo ng katotohanan na ang isang bola ay iginuhit nang random nang hindi ibinabalik ito pabalik. Hanapin ang posibilidad na may lalabas na puting bola sa unang pagsubok (kaganapan A), isang itim na bola sa pangalawang pagsubok (kaganapan B), at isang asul na bola sa ikatlong pagsubok (kaganapan C).

Desisyon.

Ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw sa unang pagsubok:

Ang posibilidad na lumitaw ang isang itim na bola sa ikalawang pagsubok, na kinakalkula sa pag-aakalang may lumitaw na puting bola sa unang pagsubok, ibig sabihin, ang may kondisyong posibilidad:

Ang posibilidad ng isang asul na bola na lumitaw sa ikatlong pagsubok, na kinakalkula sa pag-aakalang may puting bola na lumitaw sa unang pagsubok at isang itim na bola sa pangalawa, ibig sabihin, ang kondisyong posibilidad:

Ang nais na posibilidad ay katumbas ng:

Probability multiplication theorem P mga malayang kaganapan.Ang posibilidad ng isang produkto ng n independiyenteng mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Ang posibilidad na mangyari ang kahit isa sa mga kaganapan. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan A 1 , A 2 , ..., A p, independiyente sa pinagsama-samang, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaisa at ang produkto ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan:

.

Halimbawa 2.19. Ang mga posibilidad na matamaan ang target kapag nagpaputok mula sa tatlong baril ay ang mga sumusunod: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0.9. Hanapin ang posibilidad ng hindi bababa sa isang hit (kaganapan PERO) na may isang salvo mula sa lahat ng baril.

Desisyon.

Ang posibilidad ng pagtama ng target ng bawat isa sa mga baril ay hindi nakasalalay sa mga resulta ng pagpapaputok mula sa iba pang mga baril, kaya ang mga kaganapan na isinasaalang-alang A 1(tinamaan ng unang baril), A 2(tinamaan ng pangalawang baril) at A 3(tama ng ikatlong baril) ay independyente sa pinagsama-samang.

Mga probabilidad ng mga pangyayaring kabaligtaran ng mga pangyayari A 1, A 2 at A 3(i.e. mga probabilities sa miss), ayon sa pagkakabanggit, ay katumbas ng:

, , .

Ang nais na posibilidad ay katumbas ng:

Kung malayang pangyayari A 1, A 2, ..., A p may parehong posibilidad R, pagkatapos ay ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito ay ipinahayag ng formula:

Р(А)= 1 – q n ,

saan q=1-p

2.7. Kabuuang Formula ng Probability. Formula ng Bayes.

Hayaan ang kaganapan PERO maaaring mangyari kung ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan ay nangyari N 1, N 2, ..., N p, na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan. Dahil hindi alam nang maaga kung alin sa mga kaganapang ito ang magaganap, tinawag ang mga ito mga hypotheses.

Probability ng isang kaganapan na naganap PERO kinakalkula mula sa kabuuang formula ng posibilidad:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Ipagpalagay natin na ang isang eksperimento ay natupad, bilang isang resulta kung saan ang kaganapan PERO nangyari. Mga probabilidad ng may kondisyong kaganapan N 1, N 2, ..., N p patungkol sa kaganapan PERO determinado Mga formula ng Bayes:

,

Halimbawa 2.20. Sa grupo ng 20 mag-aaral na dumating sa pagsusulit, 6 ang mahusay, 8 ang mahusay, 4 ang kasiya-siya at 2 ang mahinang handa. Mayroong 30 katanungan sa mga papel ng pagsusulit. Masasagot ng isang handang mag-aaral ang lahat ng 30 tanong, ang isang handang mag-aaral ay makakasagot ng 24, ang isang kasiya-siyang mag-aaral ay makakasagot ng 15, at ang isang mahinang mag-aaral ay makakasagot ng 7.

Isang random na napiling mag-aaral ang sumagot ng tatlong random na tanong. Hanapin ang posibilidad na ang mag-aaral na ito ay handa: a) mahusay; b) masama.

Desisyon.

Hypotheses - "ang mag-aaral ay handa nang mabuti";

– “ang mag-aaral ay handa nang husto”;

– “ang mag-aaral ay handa nang kasiya-siya”;

- "ang mag-aaral ay mahinang handa."

Bago ang karanasan:

; ; ; ;

7. Ano ang tawag sa kumpletong pangkat ng mga pangyayari?

8. Anong mga pangyayari ang tinatawag na pantay na posibilidad? Magbigay ng mga halimbawa ng mga ganitong pangyayari.

9. Ano ang tinatawag na elementarya na kinalabasan?

10. Anong mga resulta ang tinatawag kong paborable sa kaganapang ito?

11. Anong mga operasyon ang maaaring isagawa sa mga pangyayari? Bigyan sila ng mga kahulugan. Paano sila itinalaga? Magbigay ng halimbawa.

12. Ano ang tinatawag na posibilidad?

13. Ano ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan?

14. Ano ang posibilidad ng isang imposibleng pangyayari?

15. Ano ang mga limitasyon ng posibilidad?

16. Paano tinutukoy ang geometric na probabilidad sa eroplano?

17. Paano tinukoy ang posibilidad sa kalawakan?

18. Paano natutukoy ang posibilidad sa isang tuwid na linya?

19. Ano ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang pangyayari?

20. Ano ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang pangyayari?

21. Ano ang posibilidad ng kabuuan ng n hindi magkatugmang mga pangyayari?

22. Ano ang conditional probability? Magbigay ng halimbawa.

23. Bumuo ng probabilities multiplication theorem.

24. Paano mahahanap ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan?

25. Anong mga pangyayari ang tinatawag na hypotheses?

26. Kailan ginagamit ang kabuuang probability formula at Bayes formula?

Pagdaragdag ng teorama

Isaalang-alang ang hindi magkatugma na mga random na kaganapan.

Alam na ang mga hindi magkatugma na random na kaganapan na $A$ at $B$ sa parehong pagsubok ay may mga probabilidad na $P\left(A\right)$ at $P\left(B\right)$ ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang posibilidad ng kabuuan na $A+B$ ng mga kaganapang ito, ibig sabihin, ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

Ipagpalagay na sa pagsusulit na ito ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n$. Sa mga ito, ang mga event na $A$ at $B$ ay pinapaboran ng $m_(A)$ at $m_(B)$ elementary event, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay hindi magkatugma, ang kaganapang $A+B$ ay pinapaboran ng $m_(A) +m_(B)$ elementarya na mga kaganapan. Mayroon kaming $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\kaliwa(A\kanan)+P\kaliwa(B\kanan)$.

Teorama 1

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad.

Tandaan 1

Bunga 1. Ang posibilidad ng kabuuan ng anumang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Bunga 2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan (ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng mga pangyayari sa elementarya) ay katumbas ng isa.

Bunga 3. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, dahil sila ay bumubuo ng isang kumpletong grupo ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan.

Halimbawa 1

Ang posibilidad na hindi uulan sa lungsod sa loob ng ilang panahon ay $p=0.7$. Hanapin ang posibilidad na $q$ na sa parehong oras ay uulan sa lungsod kahit isang beses.

Ang mga kaganapan na "sa loob ng ilang panahon ay hindi umulan sa lungsod" at "sa loob ng ilang oras ay umulan sa lungsod kahit isang beses" ay kabaligtaran. Samakatuwid $p+q=1$, kung saan $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Isaalang-alang ang magkasanib na random na mga kaganapan.

Alam na ang magkasanib na mga random na kaganapan na $A$ at $B$ sa parehong pagsubok ay may mga probabilidad na $P\left(A\right)$ at $P\left(B\right)$ ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang posibilidad ng kabuuan na $A+B$ ng mga kaganapang ito, ibig sabihin, ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

Ipagpalagay na sa pagsusulit na ito ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n$. Sa mga ito, ang mga event na $A$ at $B$ ay pinapaboran ng $m_(A)$ at $m_(B)$ elementary event, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay magkasanib, kung gayon mula sa kabuuang bilang ng $m_(A) +m_(B)$ elementarya na mga kaganapan, ang isang tiyak na bilang na $m_(AB)$ ay pinapaboran ang parehong kaganapan na $A$ at ang kaganapang $B$, iyon ay, ang kanilang magkasanib na pangyayari (ang produkto ng mga kaganapang $A\cdot B$). Ang dami na ito na $m_(AB)$ ay pumasok sa parehong $m_(A)$ at $m_(B)$. Kaya ang event na $A+B$ ay pinapaboran ng $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ mga pangyayari sa elementarya. Mayroon kaming: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\kaliwa(A\kanan)+P\kaliwa(B\kanan)-P\kaliwa(A\cdot B\ tama)$.

Teorama 2

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito na binawasan ang posibilidad ng kanilang produkto.

Magkomento. Kung ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay hindi magkatugma, ang kanilang produkto na $A\cdot B$ ay isang imposibleng kaganapan na ang posibilidad ay $P\left(A\cdot B\right)=0$. Samakatuwid, ang pormula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan ay isang espesyal na kaso ng pormula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan.

Halimbawa 2

Hanapin ang posibilidad na kapag ang dalawang dice ay itinapon sa parehong oras, ang numero 5 ay lalabas kahit isang beses.

Kapag naghahagis ng dalawang dice sa parehong oras, ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementary na kaganapan ay katumbas ng $n=36$, dahil ang anim na digit ng pangalawang die ay maaaring mahulog sa bawat digit ng unang dice. Sa mga ito, ang kaganapang $A$ - ang numerong 5 na iginulong sa unang kamatayan - ay nangyayari nang 6 na beses, ang kaganapang $B$ - ang numerong 5 na iginulong sa pangalawang die - ay nagaganap din ng 6 na beses. Sa lahat ng labindalawang beses, ang numero 5 ay lilitaw nang isang beses sa parehong dice. Kaya $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Probability multiplication theorem

Isaalang-alang ang mga independiyenteng kaganapan.

Ang mga kaganapang $A$ at $B$ na nangyari sa dalawang magkasunod na pagsubok ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $B$ ay hindi nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi naganap.

Halimbawa, ipagpalagay na mayroong 2 puti at 2 itim na bola sa isang urn. Ang pagsubok ay upang kunin ang bola. Ang kaganapang $A$ ay "isang puting bola ang iginuhit sa unang pagsubok". Probability $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Pagkatapos ng unang pagsubok, ibinalik ang bola at isinagawa ang pangalawang pagsubok. Kaganapang $B$ -- `` iginuhit ang puting bola sa ikalawang pagsubok''. Probability $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Ang posibilidad na $P\left(B\right)$ ay hindi nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi, kaya ang mga kaganapan na $A$ at $B$ ay independyente.

Alam na ang mga independiyenteng random na kaganapan na $A$ at $B$ ng dalawang magkasunod na pagsubok ay may mga probabilidad ng paglitaw ng $P\left(A\right)$ at $P\left(B\right)$ ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang posibilidad ng produktong $A\cdot B$ ng mga kaganapang ito, iyon ay, ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga ito.

Ipagpalagay na sa unang pagsubok ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n_(1) $. Sa mga ito, ang $A$ ay pinapaboran ng $m_(1)$ elementarya na mga kaganapan. Ipagpalagay din natin na sa pangalawang pagsubok ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n_(2) $. Sa mga ito, ang kaganapang $B$ ay pinapaboran ng $m_(2)$ elementarya na mga kaganapan. Ngayon isaalang-alang ang isang bagong elementarya na kaganapan, na binubuo sa sunud-sunod na paglitaw ng mga kaganapan mula sa una at pangalawang pagsubok. Ang kabuuang bilang ng mga katulad na posibleng elementarya na kaganapan ay katumbas ng $n_(1) \cdot n_(2) $. Dahil ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay independyente, kung gayon mula sa bilang na ito ang magkasanib na paglitaw ng kaganapang $A$ at ang kaganapang $B$ (ang produkto ng mga kaganapang $A\cdot B$) ay pinapaboran ng $m_ (1) \cdot m_(2) $ kaganapan . Mayroon kaming: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\kaliwa(A\kanan)\cdot P\kaliwa(B\kanan)$.

Teorama 3

Ang posibilidad ng produkto ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Isaalang-alang ang mga nakadependeng kaganapan.

Sa dalawang magkasunod na pagsubok, nangyari ang mga kaganapang $A$ at $B$. Ang isang kaganapang $B$ ay sinasabing nakadepende sa kaganapang $A$ kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi. Pagkatapos, ang probabilidad ng kaganapang $B$, na kinakalkula sa ilalim ng kundisyon na naganap ang kaganapang $A$, ay tinatawag na conditional probability ng kaganapang $B$ sa ilalim ng kundisyon na $A$ at tinutukoy ng $P\left (B/A\kanan)$.

Halimbawa, ipagpalagay na mayroong 2 puti at 2 itim na bola sa isang urn. Ang pagsubok ay ang pagkuha ng bola. Ang kaganapang $A$ ay "isang puting bola ang iginuhit sa unang pagsubok". Probability $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Pagkatapos ng unang pagsubok, ang bola ay hindi ibabalik at ang pangalawang pagsubok ay isinasagawa. Kaganapang $B$ -- `` iginuhit ang puting bola sa ikalawang pagsubok''. Kung ang isang puting bola ay nakuha sa unang pagsubok, ang posibilidad ay $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Kung ang isang itim na bola ay nakuha sa unang pagsubok, ang posibilidad ay $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Kaya ang posibilidad ng kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi, samakatuwid ang kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kaganapang $A$.

Ipagpalagay na ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay nangyari sa dalawang magkasunod na pagsubok. Alam na ang kaganapang $A$ ay may posibilidad na mangyari $P\left(A\right)$. Alam din na ang kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kaganapang $A$ at ang kondisyonal na posibilidad nito sa ilalim ng kundisyong $A$ ay katumbas ng $P\left(B/A\right)$.

Teorama 4

Ang posibilidad ng produkto ng kaganapang $A$ at ang kaganapang $B$ ay nakasalalay dito, iyon ay, ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga ito, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na $P\left(A\cdot B\right)= P\kaliwa(A\kanan)\cdot P\kaliwa(B/A\kanan)$.

Ang simetriko formula na $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ ay may bisa rin, kung saan ang kaganapang $A$ ay ipinapalagay na nakadepende sa kaganapang $ B$.

Para sa mga kondisyon ng huling halimbawa, nakita namin ang posibilidad na ang puting bola ay iguguhit sa parehong mga pagsubok. Ang nasabing kaganapan ay produkto ng mga kaganapang $A$ at $B$. Ang posibilidad nito ay $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Institusyon ng Edukasyon "Estado ng Belarus

akademya ng agrikultura"

Departamento ng Mas Mataas na Matematika

ADDITION AT MULTIPLICATION OF PROBABILITIES. PAULIT-ULIT NA MGA INDEPENDENTENG PAGSUSULIT

Lecture para sa mga mag-aaral ng Faculty of Land Management

pag-aaral ng malayo

Gorki, 2012

Pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad. Paulit-ulit

mga independiyenteng pagsusulit

Pagdaragdag ng mga probabilidad

Ang kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan PERO at AT tinatawag na isang kaganapan Sa, na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan PERO o AT. Katulad nito, ang kabuuan ng ilang magkasanib na mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito.

Ang kabuuan ng dalawang magkahiwalay na pangyayari PERO at AT tinatawag na isang kaganapan Sa, na binubuo ng pangyayari o pangyayari PERO, o mga kaganapan AT. Katulad nito, ang kabuuan ng ilang hindi magkatugma na mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng alinman sa mga kaganapang ito.

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito , ibig sabihin. . Ang theorem na ito ay maaaring palawigin sa anumang may hangganang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan.

Mula sa teorama na ito ay sumusunod:

ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong grupo ay katumbas ng isa;

ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.
.

Halimbawa 1 . Ang isang kahon ay naglalaman ng 2 puti, 3 pula at 5 asul na bola. Ang mga bola ay binabalasa at ang isa ay iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na ang bola ay may kulay?

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(natanggal ang kulay ng bola);

B=( iginuhit na puting bola);

C=( iginuhit na pulang bola);

D=(natanggal ang asul na bola).

Pagkatapos A= C+ D. Mula sa mga pangyayari C, D ay hindi magkatugma, pagkatapos ay ginagamit namin ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan: .

Halimbawa 2 . Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puting bola at 6 na itim na bola. 3 bola ang kinukuha ng random mula sa urn. Ano ang posibilidad na pareho silang lahat ng kulay?

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A\u003d (ang mga bola ng parehong kulay ay inalis);

B\u003d (inilabas ang mga puting bola);

C= (inilabas ang mga itim na bola).

Bilang A= B+ C at mga pangyayari AT at Sa ay hindi magkatugma, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan
. Probability ng Kaganapan AT ay katumbas ng
, saan
4,

. Kapalit k at n sa formula at kumuha
Katulad nito, nakikita natin ang posibilidad ng isang kaganapan Sa:
, saan
,
, ibig sabihin.
. Pagkatapos
.

Halimbawa 3 . Mula sa isang deck ng 36 na baraha, 4 na baraha ang iginuhit nang random. Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng hindi bababa sa tatlong ace sa kanila.

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A\u003d (kabilang sa mga iginuhit na card mayroong hindi bababa sa tatlong aces);

B\u003d (kabilang sa mga iginuhit na card mayroong tatlong aces);

C= (sa mga iginuhit na card ay may apat na aces).

Bilang A= B+ C, at ang mga pangyayari AT at Sa hindi pare-pareho, kung gayon
. Hanapin natin ang mga probabilidad ng mga pangyayari AT at Sa:

,
. Samakatuwid, ang posibilidad na sa mga iginuhit na card ay may hindi bababa sa tatlong aces ay katumbas ng

0.0022.

Pagpaparami ng posibilidad

trabaho dalawang pangyayari PERO at AT tinatawag na isang kaganapan Sa, na binubuo ng magkasanib na paglitaw ng mga kaganapang ito:
. Ang kahulugan na ito ay umaabot sa anumang tiyak na bilang ng mga kaganapan.

Tinatawag ang dalawang pangyayari malaya kung ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang kaganapan ay naganap o hindi. Mga kaganapan ,, … ,tinawag sama-samang independyente , kung ang posibilidad ng paglitaw ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang mga kaganapan ay naganap o hindi naganap.

Halimbawa 4 . Dalawang arrow ang bumaril sa isang target. Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(natamaan ng unang tagabaril ang target);

B= (natamaan ng pangalawang tagabaril ang target).

Malinaw, ang posibilidad na matamaan ang target ng unang tagabaril ay hindi nakasalalay sa kung ang pangalawang tagabaril ay tumama o hindi nakuha, at kabaliktaran. Samakatuwid, ang mga kaganapan PERO at AT malaya.

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng produkto ng dalawang malayang kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito : .

Ang teorama na ito ay wasto din para sa n mga kaganapang nagsasarili sa pinagsama-samang: .

Halimbawa 5 . Dalawang shooters ang bumaril sa parehong target. Ang posibilidad na matamaan ang unang tagabaril ay 0.9, at ang pangalawa ay 0.7. Magkasabay na nagpaputok ng isang putok ang dalawang bumaril. Tukuyin ang posibilidad na magkakaroon ng dalawang hit sa target.

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A

B

C=(Ang parehong mga arrow ay tatama sa target).

Bilang
, at ang mga pangyayari PERO at AT independyente, kung gayon
, ibig sabihin..

Mga kaganapan PERO at AT tinawag umaasa kung ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga ito ay depende sa kung ang iba pang kaganapan ay naganap o hindi. Probability ng isang kaganapan PERO sa kondisyon na ang kaganapan AT nandito na, tinatawag na kondisyon na maaaring mangyari at ipinapahiwatig
o
.

Halimbawa 6 . Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 7 itim na bola. Kinukuha ang mga bola mula sa urn. Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(natanggal ang puting bola);

B=(tinanggal ang itim na bola).

Bago ka magsimulang gumuhit ng mga bola mula sa urn
. Isang bola ang nakuha mula sa urn at ito ay naging itim. Pagkatapos ang posibilidad ng kaganapan PERO pagkatapos ng kaganapan AT ay magiging iba, pantay . Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng isang kaganapan PERO nakadepende sa kaganapan AT, ibig sabihin. ang mga kaganapang ito ay nakasalalay.

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng umaasa na mga kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng produkto ng dalawang umaasa na mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa palagay na ang unang kaganapan ay naganap na., ibig sabihin. o.

Halimbawa 7 . Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puting bola at 8 pulang bola. Dalawang bola ang kinukuha ng random mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang parehong bola ay itim.

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(naunang iginuhit ang itim na bola);

B=(Isang itim na bola ang iguguhit pangalawa).

Mga kaganapan PERO at AT umaasa kasi
, a
. Pagkatapos
.

Halimbawa 8 . Tatlong arrow ang pumutok sa target nang nakapag-iisa sa isa't isa. Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.5, para sa pangalawa - 0.6 at para sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na may dalawang hit na magaganap kung ang bawat tagabaril ay magpapaputok ng isang putok.

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(magkakaroon ng dalawang hit sa target);

B=(natamaan ng unang tagabaril ang target);

C=(Ang pangalawang tagabaril ay tatama sa target);

D=(Ang ikatlong tagabaril ay tatama sa target);

=(hindi tatama sa target ang unang bumaril);

=(hindi tatama sa target ang pangalawang tagabaril);

=(hindi tatama sa target ang pangatlong tagabaril).

Ayon sa halimbawa
,
,
,

,
,
. Dahil, gamit ang addition theorem para sa mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan at ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, nakukuha natin ang:

Hayaan ang mga kaganapan
bumuo ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan ng ilang pagsubok, at ang mga kaganapan PERO maaari lamang mangyari sa isa sa mga kaganapang ito. Kung alam ang mga probabilities at conditional probabilities ng kaganapan PERO, kung gayon ang posibilidad ng kaganapan A ay kinakalkula ng formula:

o
. Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang pormula ng posibilidad , at ang mga pangyayari
mga hypotheses .

Halimbawa 9 . Ang linya ng pagpupulong ay tumatanggap ng 700 bahagi mula sa unang makina at 300 bahagi mula sa pangalawa. Ang unang makina ay nagbibigay ng 0.5% na pagtanggi, at ang pangalawa - 0.7%. Hanapin ang posibilidad na ang item na kinuha ay may depekto.

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(Ang item na kinuha ay may depekto);

= (Ang bahagi ay ginawa sa unang makina);

= (ang bahagi ay ginawa sa pangalawang makina).

Ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa sa unang makina ay
. Para sa pangalawang makina
. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang posibilidad na makakuha ng isang may sira na bahagi na ginawa sa unang makina ay katumbas ng
. Para sa pangalawang makina, ang posibilidad na ito ay katumbas ng
. Kung gayon ang posibilidad na ang bahaging kinuha ay may depekto ay kinakalkula ng kabuuang pormula ng posibilidad

Kung ang isang kaganapan ay kilala na naganap bilang isang resulta ng isang pagsubok PERO, pagkatapos ay ang posibilidad na nangyari ang kaganapang ito kasama ng hypothesis
, ay katumbas ng
, saan
- kabuuang posibilidad ng kaganapan PERO. Ang formula na ito ay tinatawag na Formula ng Bayes at nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang mga probabilidad ng mga kaganapan
matapos malaman na ang kaganapan PERO dumating na.

Halimbawa 10 . Ang mga bahagi ng parehong uri para sa mga kotse ay ginawa sa dalawang pabrika at pumunta sa tindahan. Ang unang halaman ay gumagawa ng 80% ng kabuuang bilang ng mga bahagi, at ang pangalawa - 20%. Ang produksyon ng unang halaman ay naglalaman ng 90% ng mga karaniwang bahagi, at ang pangalawa - 95%. Bumili ng isang bahagi ang bumibili at ito ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa sa pangalawang pabrika.

Desisyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(bumili ng karaniwang bahagi);

= (Ang bahagi ay ginawa sa unang pabrika);

= (Ang bahagi ay ginawa sa pangalawang pabrika).

Ayon sa halimbawa
,
,
at
. Kalkulahin ang kabuuang posibilidad ng isang kaganapan PERO: 0.91. Ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa sa pangalawang planta ay kinakalkula gamit ang Bayes formula:

.

Mga gawain para sa malayang gawain

Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawa - 0.7 at para sa pangatlo - 0.9. Nagpaputok ng isang putok ang mga bumaril. Hanapin ang posibilidad na mayroong hindi bababa sa dalawang hit sa target.

Nakatanggap ang repair shop ng 15 traktora. Ito ay kilala na 6 sa kanila ay kailangang palitan ang makina, at ang natitira - upang palitan ang mga indibidwal na bahagi. Tatlong traktor ang random na pinili. Hanapin ang posibilidad na hindi hihigit sa dalawang napiling traktor ang nangangailangan ng pagpapalit ng makina.

Ang planta ng kongkreto ay gumagawa ng mga panel, 80% nito ay may pinakamataas na kalidad. Hanapin ang posibilidad na sa tatlong random na napiling mga panel, hindi bababa sa dalawa ang magiging pinakamataas na grado.

Tatlong manggagawa ang nag-assemble ng mga bearings. Ang posibilidad na ang tindig na binuo ng unang manggagawa ay may pinakamataas na kalidad ay 0.7, ang pangalawa - 0.8, at ang pangatlo - 0.6. Para sa kontrol, ang isang tindig ay kinuha nang random mula sa mga binuo ng bawat manggagawa. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawa sa kanila ang may pinakamataas na kalidad.

Ang posibilidad na manalo sa isang tiket sa lottery ng unang isyu ay 0.2, ang pangalawa - 0.3 at ang pangatlo - 0.25. Mayroong isang tiket para sa bawat isyu. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawang tiket ang manalo.

Ang accountant ay nagsasagawa ng mga kalkulasyon gamit ang tatlong reference na libro. Ang posibilidad na ang data ng interes sa kanya ay nasa unang direktoryo ay 0.6, sa pangalawa - 0.7, at sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na ang data ng interes sa accountant ay nakapaloob sa hindi hihigit sa dalawang direktoryo.

Tatlong makina ang gumagawa ng mga bahagi. Ang unang automat ay gumagawa ng isang bahagi ng pinakamataas na kalidad na may posibilidad na 0.9, ang pangalawa ay may posibilidad na 0.7, at ang pangatlo ay may posibilidad na 0.6. Isang item ang kinuha nang random mula sa bawat makina. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawa sa kanila ang may pinakamataas na kalidad.

Ang parehong uri ng mga bahagi ay pinoproseso sa dalawang makina. Ang posibilidad ng paggawa ng isang hindi karaniwang bahagi para sa unang makina ay 0.03, para sa pangalawa - 0.02. Ang mga naprosesong bahagi ay nakasalansan sa isang lugar. Kabilang sa mga ito, 67% ay mula sa unang makina, at ang iba ay mula sa pangalawa. Ang isang random na kinuhang bahagi ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay ginawa sa unang makina.

Nakatanggap ang workshop ng dalawang kahon ng parehong uri ng mga capacitor. Ang unang kahon ay naglalaman ng 20 capacitor, kung saan 2 ay may depekto. Sa pangalawang kahon mayroong 10 capacitor, kung saan 3 ay may sira. Ang mga capacitor ay inilipat sa isang kahon. Hanapin ang posibilidad na ang isang kapasitor na kinuha nang random mula sa kahon ay mabuti.

Sa tatlong makina, ang parehong uri ng mga bahagi ay ginawa, na pinapakain sa isang karaniwang conveyor. Sa lahat ng mga detalye, 20% mula sa unang makina, 30% mula sa pangalawa at 505 mula sa pangatlo. Ang posibilidad ng paggawa ng isang karaniwang bahagi sa unang makina ay 0.8, sa pangalawa - 0.6 at sa pangatlo - 0.7. Ang bahaging kinuha ay pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa sa ikatlong makina.

Ang picker ay tumatanggap ng 40% ng mga bahagi mula sa pabrika para sa pagpupulong PERO, at ang iba pa - mula sa pabrika AT. Ang posibilidad na ang bahagi mula sa pabrika PERO- ang pinakamataas na kalidad, katumbas ng 0.8, at mula sa pabrika AT– 0.9. Ang picker ay random na kumuha ng isang bahagi at hindi ito ang pinakamataas na kalidad. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay mula sa pabrika AT.

10 mag-aaral mula sa unang pangkat at 8 mag-aaral mula sa pangalawa ang napiling lumahok sa mga paligsahan sa palakasan ng mga mag-aaral. Ang posibilidad na ang isang mag-aaral mula sa unang grupo ay makapasok sa pambansang koponan ng akademya ay 0.8, at mula sa pangalawa - 0.7. Isang random na napiling mag-aaral ang napili para sa pambansang koponan. Hanapin ang posibilidad na siya ay mula sa unang pangkat.

Bernoulli formula

Ang mga pagsubok ay tinatawag malaya , kung para sa bawat isa sa kanila ang kaganapan PERO nangyayari na may parehong posibilidad
, hindi alintana kung ang kaganapang ito ay lumitaw o hindi lumitaw sa iba pang mga pagsubok. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan sa kasong ito ay katumbas
.

Halimbawa 11 . Paghahagis ng dice n minsan. Ipahiwatig ang kaganapan A= (pagbaba ng tatlong puntos). Probability ng isang kaganapan PERO sa bawat pagsubok ay katumbas at hindi nakadepende sa kung ang kaganapang ito ay naganap o hindi naganap sa ibang mga pagsubok. Samakatuwid, ang mga pagsusulit na ito ay independyente. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan
(hindi lumiligid ng tatlong puntos) ay katumbas ng
.

Ang posibilidad na sa n mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang bawat isa ay may posibilidad na mangyari ang isang kaganapan PERO ay katumbas ng p, eksaktong magaganap ang kaganapan k beses (kahit anong pagkakasunod-sunod), ay kinakalkula ng formula
, saan
. Ang formula na ito ay tinatawag na Bernoulli formula at ito ay maginhawa kung ang bilang ng mga pagsubok n ay hindi masyadong malaki.

Halimbawa 12 . Ang proporsyon ng mga fetus na nahawaan ng sakit sa isang latent form ay 25%. 6 na prutas ang random na pinili. Hanapin ang posibilidad na sa mga napili ay magkakaroon ng: a) eksaktong 3 nahawaang fetus; b) hindi hihigit sa dalawang nahawaang prutas.

Desisyon . Ayon sa halimbawa.

a) Ayon sa formula ng Bernoulli, ang posibilidad na ang eksaktong tatlo sa anim na napiling prutas ay mahawaan ay katumbas ng

0.132.

b) Ipahiwatig ang kaganapan A=(hindi hihigit sa dalawang fetus ang mahahawa). Tapos . Ayon sa Bernoulli formula:

0.297.

Kaya naman,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Theorems ng Laplace at Poisson

Ang Bernoulli formula ay ginagamit upang mahanap ang posibilidad na ang isang kaganapan PERO darating k minsan a n mga independyenteng pagsubok at sa bawat pagsubok ang posibilidad ng isang kaganapan PERO pare-pareho. Para sa malalaking halaga ng n, ang mga kalkulasyon gamit ang Bernoulli formula ay nagiging matagal. Sa kasong ito, upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan PERO mas mabuting gumamit ng ibang formula.

Lokal na Laplace theorem . Hayaan ang posibilidad p kaganapan PERO sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba mula sa zero at isa. Pagkatapos ang posibilidad na ang kaganapan PERO eksaktong dumating k beses para sa isang sapat na malaking bilang n ng mga pagsubok, ay kinakalkula ng formula

, saan
, at ang mga halaga ng function
ay ibinigay sa talahanayan.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar
ay:

Function
ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
.

Function
ay positibo, i.e.
>0.

Function
kahit, i.e.
.

Dahil ang function
ay pantay, pagkatapos ay ipinapakita ng talahanayan ang mga halaga nito para lamang sa mga positibong halaga X.

Halimbawa 13 . Ang pagtubo ng buto ng trigo ay 80%. 100 buto ang napili para sa eksperimento. Hanapin ang posibilidad na eksaktong 90 sa mga napiling buto ang tutubo.

Desisyon . Ayon sa halimbawa n=100, k=90, p=0.8, q=1-0.8=0.2. Pagkatapos
. Ayon sa talahanayan nakita namin ang halaga ng function
:
. Ang posibilidad na tumubo ang eksaktong 90 sa mga napiling buto ay
0.0044.

Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, nagiging kinakailangan upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap PERO sa n mga independiyenteng pagsusulit man lang minsan at hindi na minsan. Ang problemang ito ay malulutas sa tulong Laplace integral theorem : Hayaan ang posibilidad p kaganapan PERO sa bawat isa n ang mga independiyenteng pagsusulit ay pare-pareho at naiiba sa zero at pagkakaisa. Kung gayon ang posibilidad na mangyari ang kaganapan ay hindi bababa sa minsan at hindi na beses para sa isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok, ay kinakalkula ng formula

saan
,
.

Function
tinawag Laplace function at hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar. Ang mga halaga ng pagpapaandar na ito ay ibinibigay sa mga espesyal na talahanayan.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar
ay:

.

Function
pagtaas sa pagitan
.

sa
.

Function
kakaiba, i.e.
.

Halimbawa 14 . Ang kumpanya ay gumagawa ng mga produkto, kung saan 13% ay hindi ang pinakamataas na kalidad. Tukuyin ang posibilidad na sa isang hindi pa nasubok na batch ng 150 mga yunit ng pinakamataas na kalidad ng produkto ay magkakaroon ng hindi bababa sa 125 at hindi hihigit sa 135.

Desisyon . Tukuyin natin ang . Compute
,

Isinasaalang-alang ang isang eksperimento E. Ipinapalagay na maaari itong isagawa nang paulit-ulit. Bilang resulta ng eksperimento, maaaring lumitaw ang iba't ibang mga kaganapan na bumubuo sa isang tiyak na hanay F. Ang mga naobserbahang kaganapan ay nahahati sa tatlong uri: maaasahan, imposible, random.

mapagkakatiwalaan Ang isang kaganapan ay tinatawag na isang kaganapan na tiyak na magaganap bilang isang resulta ng isang eksperimento. E. Tinutukoy na Ω.

Imposible Ang isang kaganapan ay tinatawag na isang kaganapan na hindi alam na mangyayari bilang isang resulta ng isang eksperimento. E. Itinalagang .

Random tinatawag ang isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng isang eksperimento E.

Karagdagang (kabaligtaran) kaganapan PERO ay tinatawag na isang kaganapan, na tinutukoy ng , na nangyayari kung at kung hindi nangyari ang kaganapan PERO.

Sum (kumbinasyon) Ang mga kaganapan ay isang kaganapan na nangyayari kung at kung hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito ay nangyari (Figure 3.1). Mga pagtatalaga.

Larawan 3.1

Produkto (intersection) Ang mga kaganapan ay tinatawag na isang kaganapan na nangyayari kung at kung ang lahat ng mga kaganapang ito ay nangyayari nang magkasama (sabay-sabay) (Figure 3.2). Mga pagtatalaga. Malinaw, ang mga kaganapan A at B hindi magkatugma , kung .

Larawan 3.2

Buong pangkat ng mga kaganapan Ang isang hanay ng mga kaganapan ay tinatawag, ang kabuuan nito ay isang tiyak na kaganapan:

Kaganapan AT tinawag isang espesyal na kaso ng isang kaganapan PERO, kung sa hitsura ng kaganapan AT lumilitaw ang kaganapan PERO. Sinasabi rin na ang kaganapan AT nag-trigger ng isang kaganapan PERO(Larawan 3.3). Pagtatalaga .

Larawan 3.3

Mga kaganapan PERO at AT tinawag katumbas kung nangyari ang mga ito o hindi magkasama sa panahon ng eksperimento E. Pagtatalaga . Malinaw, kung

Masalimuot na pangyayari tinatawag na isang naobserbahang kaganapan na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga kaganapan na naobserbahan sa parehong eksperimento gamit ang algebraic na operasyon.

Ang posibilidad ng pagpapatupad ng isang partikular na kumplikadong kaganapan ay kinakalkula gamit ang mga formula para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad.

Pagdaragdag ng teorama

Mga kahihinatnan:

1) kung sakaling ang mga kaganapan PERO at AT ay hindi pare-pareho, ang addition theorem ay nasa anyo:

2) sa kaso ng tatlong termino, ang karagdagan theorem ay maaaring isulat bilang

3) ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na kaganapan ay katumbas ng 1:

Ang set ng mga pangyayari ,, ..., ay tinatawag buong pangkat ng mga kaganapan , kung

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay katumbas ng 1:

Probability ng isang kaganapan na naganap PERO sa kondisyon na ang kaganapan AT nangyari, tinawag kondisyon na maaaring mangyari at tukuyin o.

PERO at AT – mga pangyayaring nakasalalay , kung .

PERO at AT – mga malayang kaganapan , kung .

Probability multiplication theorem

Mga kahihinatnan:

1) para sa mga independiyenteng kaganapan PERO at AT

2) sa pangkalahatang kaso, para sa produkto ng tatlong kaganapan, ang probability multiplication theorem ay may anyo:

Mga Sample ng Paglutas ng Problema

Halimbawa1 - Tatlong elemento ay konektado sa serye sa isang electric circuit, gumagana nang nakapag-iisa sa bawat isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng una, pangalawa at pangatlong elemento ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng ,,. Hanapin ang posibilidad na walang kasalukuyang sa circuit.

Desisyon

Unang paraan.

Italaga natin ang mga kaganapan: - sa circuit nagkaroon ng kabiguan ng una, pangalawa at pangatlong elemento, ayon sa pagkakabanggit.

Kaganapan PERO- walang magiging kasalukuyang sa circuit (hindi bababa sa isa sa mga elemento ay mabibigo, dahil ang mga ito ay konektado sa serye).

Kaganapan - kasalukuyang sa circuit (tatlong elemento ang gumagana), . Ang posibilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay nauugnay sa pamamagitan ng formula (3.4). Ang isang kaganapan ay isang produkto ng tatlong mga kaganapan na magkapares na independyente. Sa pamamagitan ng multiplication theorem para sa mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, nakuha namin

Kung gayon ang posibilidad ng nais na kaganapan ay .

Ang pangalawang paraan.

Isinasaalang-alang ang notasyon na pinagtibay nang mas maaga, isinusulat namin ang nais na kaganapan PERO- hindi bababa sa isa sa mga elemento ang mabibigo:

Dahil magkatugma ang mga terminong kasama sa kabuuan, dapat nating ilapat ang probability addition theorem sa pangkalahatang anyo para sa kaso ng tatlong termino (3.3):

Sagot: 0,388.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1 Mayroong anim na aklat-aralin sa teorya ng posibilidad sa silid ng pagbabasa, tatlo sa mga ito ay nakatali. Kinuha ng librarian ang dalawang textbook nang random. Hanapin ang posibilidad na magkatali ang parehong mga aklat-aralin.

2 Ang mga thread ay halo-halong sa isang bag, kung saan 30% ay puti, at ang iba ay pula. Tukuyin ang mga probabilidad na ang dalawang thread na iginuhit nang random ay magiging: ng parehong kulay; iba't ibang Kulay.

3 Ang aparato ay binubuo ng tatlong elemento na gumagana nang nakapag-iisa. Ang mga probabilidad ng operasyon na walang kabiguan para sa isang tiyak na tagal ng panahon ng una, pangalawa at pangatlong elemento, ayon sa pagkakabanggit, ay 0.6; 0.7; 0.8. Hanapin ang mga probabilidad na sa panahong ito ang mga sumusunod ay gagana nang walang kabiguan: isang elemento lamang; dalawang elemento lamang; lahat ng tatlong elemento; hindi bababa sa dalawang elemento.

4 Tatlong dice ang itinapon. Hanapin ang mga probabilidad ng mga sumusunod na kaganapan:

a) limang puntos ang lalabas sa bawat panig ng mga nalaglag;

b) ang parehong bilang ng mga puntos ay lilitaw sa lahat ng mga nahulog na mukha;

c) isang punto ang lalabas sa dalawang nahulog na mukha, at isa pang bilang ng mga puntos ang lalabas sa ikatlong mukha;

d) ibang bilang ng mga puntos ang lalabas sa lahat ng mga nalaglag na mukha.

5 Ang posibilidad na matamaan ng isang tagabaril ang target sa isang shot ay 0.8. Gaano karaming mga putok ang dapat magpaputok ng tagabaril upang, na may posibilidad na mas mababa sa 0.4, maaari itong asahan na walang mga miss?

6 Mula sa mga numero 1, 2, 3, 4, 5, ang una ay napili, at pagkatapos ay mula sa natitirang apat - ang pangalawang digit. Ang lahat ng 20 posibleng resulta ay ipinapalagay na pantay ang posibilidad. Hanapin ang posibilidad na pipiliin ang isang kakaibang digit: sa unang pagkakataon; sa pangalawang pagkakataon; parehong beses.

7 Ang posibilidad na ang isang pares ng size 46 na sapatos ay muling ibebenta sa panlalaking seksyon ng sapatos ng tindahan ay 0.01. Ilang pares ng sapatos ang dapat ibenta sa tindahan upang may posibilidad na hindi bababa sa 0.9 ay maaaring asahan na hindi bababa sa isang pares ng size 46 na sapatos ang maibebenta?

8 Mayroong 10 bahagi sa isang kahon, kabilang ang dalawang hindi karaniwan. Hanapin ang posibilidad na sa anim na random na napiling mga bahagi ay magkakaroon ng hindi hihigit sa isang hindi pamantayan.

9 Sinusuri ng departamento ng teknikal na kontrol ang mga produkto para sa pamantayan. Ang posibilidad na ang produkto ay hindi pamantayan ay 0.1. Hanapin ang posibilidad na:

a) sa tatlong produktong nasubok, dalawa lang ang magiging non-standard;

b) tanging ang ikaapat na naka-check na produkto sa pagkakasunud-sunod ay magiging hindi pamantayan.

10 32 titik ng alpabetong Ruso ang nakasulat sa mga card ng split alphabet:

a) Tatlong kard ay iginuhit nang random nang sunud-sunod at inilalagay sa mesa sa pagkakasunud-sunod ng mga ito. Hanapin ang posibilidad na ang salitang "mundo" ay lalabas;

b) ang tatlong baraha na iginuhit ay maaaring palitan ng arbitraryo. Ano ang posibilidad na mabuo nila ang salitang "mundo"?

11 Inatake ng isang manlalaban ang isang bomber at nagpaputok ng dalawang independyenteng pagsabog dito. Ang posibilidad na mabaril ang isang bomber na may unang pagsabog ay 0.2, at ang pangalawa ay 0.3. Kung ang bombero ay hindi nabaril, ito ay nagpaputok sa manlalaban mula sa mga mahigpit na baril at binabaril ito na may posibilidad na 0.25. Hanapin ang posibilidad na ang isang bomber o manlalaban ay nabaril bilang resulta ng air combat.

Takdang aralin

1 Kabuuang Formula ng Probability. Formula ng Bayes.

2 lutasin ang mga problema

Gawain1 . Ang manggagawa ay nagpapanatili ng tatlong makina na gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang posibilidad na ang unang makina ay hindi nangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa sa loob ng isang oras ay 0.9, ang pangalawa - 0.8, ang pangatlo - 0.85. Hanapin ang posibilidad na sa loob ng isang oras kahit isang makina ay mangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa.

Gawain2 . Ang computer center, na dapat patuloy na magproseso ng papasok na impormasyon, ay may dalawang computing device. Ito ay kilala na ang bawat isa sa kanila ay may posibilidad ng pagkabigo sa ilang oras na katumbas ng 0.2. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang posibilidad:

a) ang katotohanan na ang isa sa mga aparato ay mabibigo, at ang pangalawa ay nasa mabuting pagkakasunud-sunod;

b) walang kabiguan na operasyon ng bawat isa sa mga aparato.

Gawain3 . Apat na mangangaso ang sumang-ayon na mag-shoot sa laro sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod: ang susunod na mangangaso ay magpapaputok lamang kung ang nauna ay napalampas. Ang posibilidad ng hit para sa unang mangangaso ay 0.6, para sa pangalawa - 0.7, para sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na maputok ang mga putok:

d) apat.

Gawain4 . Ang bahagi ay dumaan sa apat na operasyon ng machining. Ang posibilidad na magpakasal sa unang operasyon ay 0.01, sa pangalawa - 0.02, sa pangatlo - 0.03, sa ikaapat - 0.04. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng isang bahagi na walang mga depekto pagkatapos ng apat na operasyon, sa pag-aakalang ang mga kaganapan ng pagkuha ng mga depekto sa mga indibidwal na operasyon ay independyente.

Ang pangangailangan para sa mga aksyon sa mga probabilidad ay nangyayari kapag ang mga probabilidad ng ilang mga kaganapan ay alam, at ang mga probabilidad ng iba pang mga kaganapan na nauugnay sa mga kaganapang ito ay kailangang kalkulahin.

Ang pagdaragdag ng posibilidad ay ginagamit kapag kinakailangan upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kumbinasyon o isang lohikal na kabuuan ng mga random na kaganapan.

Kabuuan ng mga pangyayari A at B italaga A + B o A ∪ B. Ang kabuuan ng dalawang kaganapan ay isang kaganapan na nangyayari kung at kung hindi bababa sa isa sa mga kaganapan ang nangyari. Ibig sabihin nito ay A + B- isang kaganapan na nangyayari kung at kung ang isang kaganapan ay nangyari sa panahon ng pagmamasid A o pangyayari B, o sa parehong oras A at B.

Kung mga pangyayari A at B ay hindi magkatugma at ang kanilang mga probabilidad ay ibinigay, ang posibilidad na ang isa sa mga kaganapang ito ay magaganap bilang resulta ng isang pagsubok ay kinakalkula gamit ang pagdaragdag ng mga probabilidad.

Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad. Ang posibilidad na magaganap ang isa sa dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Halimbawa, dalawang putok ang ginawa habang nangangaso. Kaganapan PERO– pagtama ng pato mula sa unang shot, kaganapan AT– hit mula sa pangalawang shot, kaganapan ( PERO+ AT) - hit mula sa una o pangalawang shot o mula sa dalawang shot. Kaya kung dalawang pangyayari PERO at AT ay hindi magkatugma na mga kaganapan, kung gayon PERO+ AT- ang paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito o dalawang kaganapan.

Halimbawa 1 Ang isang kahon ay naglalaman ng 30 bola na may parehong laki: 10 pula, 5 asul at 15 puti. Kalkulahin ang posibilidad na ang isang may kulay (hindi puti) na bola ay nakuha nang hindi tumitingin.

Desisyon. Ipagpalagay natin na ang kaganapan PERO– “nakuha ang pulang bola”, at ang kaganapan AT- "Nakuha ang asul na bola." Pagkatapos ang kaganapan ay "isang kulay (hindi puti) na bola ang kinuha". Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan PERO:

at mga pangyayari AT:

Mga kaganapan PERO at AT- kapwa hindi tugma, dahil kung ang isang bola ay kinuha, kung gayon ang mga bola ng iba't ibang kulay ay hindi maaaring kunin. Samakatuwid, ginagamit namin ang pagdaragdag ng mga probabilidad:

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad para sa ilang hindi magkatugma na mga kaganapan. Kung ang mga kaganapan ay bumubuo sa kumpletong hanay ng mga kaganapan, kung gayon ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng 1:

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas din ng 1:

Ang magkasalungat na mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong hanay ng mga kaganapan, at ang posibilidad ng isang kumpletong hanay ng mga kaganapan ay 1.

Ang mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay karaniwang tinutukoy sa maliliit na titik. p at q. Sa partikular,

kung saan sumusunod ang mga sumusunod na formula para sa posibilidad ng magkasalungat na mga kaganapan:

Halimbawa 2 Ang target sa dash ay nahahati sa 3 zone. Ang posibilidad na ang isang tiyak na tagabaril ay bumaril sa isang target sa unang zone ay 0.15, sa pangalawang zone - 0.23, sa ikatlong zone - 0.17. Hanapin ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target at ang posibilidad na makaligtaan ng tagabaril ang target.

Solusyon: Hanapin ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target:

Hanapin ang posibilidad na hindi nakuha ng tagabaril ang target:

Mas mahirap na mga gawain kung saan kailangan mong ilapat ang parehong pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad - sa pahinang "Iba't ibang gawain para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad" .

Pagdaragdag ng mga posibilidad ng magkasanib na mga kaganapan

Ang dalawang random na kaganapan ay sinasabing magkasanib kung ang paglitaw ng isang kaganapan ay hindi humahadlang sa paglitaw ng pangalawang kaganapan sa parehong obserbasyon. Halimbawa, kapag naghahagis ng dice, ang kaganapan PERO ay itinuturing na ang paglitaw ng numero 4, at ang kaganapan AT- pag-drop ng even number. Dahil ang numero 4 ay isang even na numero, magkatugma ang dalawang kaganapan. Sa pagsasagawa, may mga gawain para sa pagkalkula ng mga probabilidad ng paglitaw ng isa sa magkasanib na mga kaganapan.

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad para sa magkasanib na mga kaganapan. Ang posibilidad na ang isa sa mga magkasanib na kaganapan ay magaganap ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, kung saan ang posibilidad ng karaniwang pangyayari ng parehong mga kaganapan ay ibinabawas, iyon ay, ang produkto ng mga probabilidad. Ang formula para sa mga posibilidad ng magkasanib na mga kaganapan ay ang mga sumusunod:

Dahil ang mga pangyayari PERO at AT magkatugma, kaganapan PERO+ AT nangyayari kung ang isa sa tatlong posibleng kaganapan ay nangyari: o AB. Ayon sa theorem ng pagdaragdag ng mga hindi tugmang kaganapan, kinakalkula namin ang mga sumusunod:

Kaganapan PERO nangyayari kung ang isa sa dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay nangyari: o AB. Gayunpaman, ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan mula sa ilang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng mga kaganapang ito:

Katulad nito:

Ang pagpapalit ng mga expression (6) at (7) sa expression (5), makuha namin ang probabilidad na formula para sa magkasanib na mga kaganapan:

Kapag gumagamit ng formula (8), dapat itong isaalang-alang na ang mga kaganapan PERO at AT ay maaaring maging:

• kapwa independyente;
• kapwa umaasa.

Ang pormula ng posibilidad para sa magkakahiwalay na mga kaganapan:

Ang pormula ng posibilidad para sa magkaparehong umaasa na mga kaganapan:

Kung mga pangyayari PERO at AT ay hindi pare-pareho, kung gayon ang kanilang pagkakataon ay isang imposibleng kaso at, sa gayon, P(AB) = 0. Ang pang-apat na pormula ng posibilidad para sa mga hindi tugmang kaganapan ay ang mga sumusunod:

Halimbawa 3 Sa auto racing, kapag nagmamaneho sa unang kotse, ang posibilidad na manalo, kapag nagmamaneho sa pangalawang kotse. Hanapin:

• ang posibilidad na ang parehong mga kotse ay manalo;
• ang posibilidad na hindi bababa sa isang kotse ang manalo;

1) Ang posibilidad na manalo ang unang kotse ay hindi nakasalalay sa resulta ng pangalawang kotse, kaya ang mga kaganapan PERO(panalo ang unang kotse) at AT(panalo ang pangalawang kotse) - mga independiyenteng kaganapan. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga kotse ay manalo:

2) Hanapin ang posibilidad na manalo ang isa sa dalawang sasakyan:

Mas mahirap na mga gawain kung saan kailangan mong ilapat ang parehong pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad - sa pahinang "Iba't ibang gawain para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad" .

Lutasin ang problema ng pagdaragdag ng mga probabilidad sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 4 Dalawang barya ang itinapon. Kaganapan A- pagkawala ng coat of arm sa unang barya. Kaganapan B- pagkawala ng coat of arms sa pangalawang barya. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan C = A + B .

Pagpaparami ng posibilidad

Ang pagpaparami ng mga probabilidad ay ginagamit kapag ang posibilidad ng isang lohikal na produkto ng mga kaganapan ay kinakalkula.

Sa kasong ito, ang mga random na kaganapan ay dapat na independyente. Ang dalawang pangyayari ay sinasabing mutually independent kung ang paglitaw ng isang pangyayari ay hindi makakaapekto sa posibilidad ng paglitaw ng pangalawang pangyayari.

Probability multiplication theorem para sa mga independiyenteng kaganapan. Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng dalawang independiyenteng mga kaganapan PERO at AT ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito at kinakalkula ng formula:

Halimbawa 5 Ang barya ay inihahagis ng tatlong beses sa isang hilera. Hanapin ang posibilidad na ang coat of arm ay mahuhulog lahat ng tatlong beses.

Desisyon. Ang posibilidad na mahulog ang coat of arms sa unang paghagis ng barya, sa pangalawang pagkakataon, at sa pangatlong beses. Hanapin ang posibilidad na ang coat of arm ay malaglag lahat ng tatlong beses:

Lutasin ang mga problema para sa pagpaparami ng mga probabilidad sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 6 May isang kahon na may siyam na bagong bola ng tennis. Tatlong bola ang kinuha para sa laro, pagkatapos ng laro ay ibinalik ang mga ito. Kapag pumipili ng mga bola, hindi nila nakikilala ang pagitan ng nilalaro at hindi nilalaro na mga bola. Ano ang posibilidad na pagkatapos ng tatlong laro ay walang mga hindi nilalaro na bola sa kahon?

Halimbawa 7 32 letra ng alpabetong Ruso ang nakasulat sa mga ginupit na alphabet card. Limang card ang iginuhit nang random nang sunud-sunod at inilagay sa mesa sa pagkakasunud-sunod kung saan sila lumabas. Hanapin ang posibilidad na ang mga titik ay bubuo ng salitang "katapusan".

Halimbawa 8 Mula sa isang buong deck ng mga card (52 sheet), apat na card ang kinuha nang sabay-sabay. Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng apat sa mga card na ito ay pareho ng suit.

Halimbawa 9 Ang parehong problema tulad ng sa halimbawa 8, ngunit ang bawat card ay ibinalik sa deck pagkatapos mabunot.

Mas kumplikadong mga gawain, kung saan kailangan mong ilapat ang parehong pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad, pati na rin kalkulahin ang produkto ng ilang mga kaganapan, sa pahinang "Iba't ibang mga gawain para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad" .

Ang posibilidad na ang hindi bababa sa isa sa mga magkakahiwalay na kaganapan ay magaganap ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagbabawas ng produkto ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan mula sa 1, iyon ay, sa pamamagitan ng formula:

Halimbawa 10 Ang mga kargamento ay inihahatid sa pamamagitan ng tatlong paraan ng transportasyon: ilog, riles at kalsada. Ang posibilidad na ang kargamento ay maihahatid sa pamamagitan ng transportasyon sa ilog ay 0.82, sa pamamagitan ng tren 0.87, sa pamamagitan ng kalsada 0.90. Hanapin ang posibilidad na ang mga kalakal ay maihahatid ng hindi bababa sa isa sa tatlong paraan ng transportasyon.