Unang antas
Arithmetic progression. Detalyadong teorya na may mga halimbawa (2019)
Numeric na pagkakasunud-sunod
Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami ng gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin sa mga ito ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:
Numeric na pagkakasunud-sunod
Halimbawa, para sa aming sequence:
Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang sequence number lamang. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.
Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .
Sa kaso natin: 
Sabihin nating mayroon tayong numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa: 
atbp.
Ang nasabing numerical sequence ay tinatawag na arithmetic progression.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "aritmetika" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na mga proporsyon, kung saan ang mga sinaunang Griyego ay nakikibahagi sa.
Ito ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at tinutukoy.
Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:
a)
b)
c)
d)
Nakuha ko? Ihambing ang aming mga sagot:
Ay isang pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.
Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-miyembro nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.
1. Pamamaraan
Maaari tayong magdagdag sa dating halaga ng numero ng pag-unlad hanggang sa maabot natin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:
Kaya, ang -ika miyembro ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.
2 paraan
Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin kami ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi kami magkakamali sa pagdaragdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi mo kailangang idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan ... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:
Halimbawa, tingnan natin kung ano ang bumubuo sa halaga ng -th miyembro ng arithmetic progression na ito: 
Sa ibang salita:
Subukang independyenteng mahanap sa ganitong paraan ang halaga ng isang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito.
Kinakalkula? Ihambing ang iyong mga entry sa sagot:
Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dinadala natin ito sa isang pangkalahatang anyo at makuha ang:
|
Arithmetic progression equation. |
Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay tumataas o bumababa.
Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:
Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:
Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Tingnan natin ito sa pagsasanay.
Binigyan kami ng aritmetika na pag-unlad na binubuo ng mga sumusunod na numero:
Simula noon:
Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana kapwa sa pagpapababa at sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang -th at -th na miyembro ng arithmetic progression na ito nang mag-isa.
Ihambing natin ang mga resulta:
Arithmetic progression property
Gawin nating kumplikado ang gawain - nakukuha natin ang ari-arian ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ipagpalagay na binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali lang, sabi mo, at simulang magbilang ayon sa formula na alam mo na:
Hayaan, a, pagkatapos:
Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin, posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre, oo, at susubukan naming ilabas ito ngayon.
Tukuyin natin ang nais na termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, alam natin ang pormula para sa paghahanap nito - ito ang parehong pormula na hinango natin sa simula:
, pagkatapos:
- ang dating miyembro ng progression ay:
- ang susunod na termino ng pag-unlad ay:
Isama natin ang nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression:
Lumalabas na ang kabuuan ng nauna at kasunod na mga miyembro ng progression ay dalawang beses ang halaga ng miyembro ng progression na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang miyembro ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kinakailangang idagdag ang mga ito at hatiin sa.
Tama, pareho kami ng numero. Ayusin natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, dahil ito ay hindi mahirap sa lahat.
Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng oras, ang "hari ng mga mathematician" - si Karl Gauss, ay madaling nahulaan para sa kanyang sarili ...
Noong si Carl Gauss ay 9 na taong gulang, ang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral mula sa iba pang mga klase, ay nagtanong ng sumusunod na gawain sa aralin: "Kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng natural na mga numero mula hanggang sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama. " Ano ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga mag-aaral (ito ay si Karl Gauss) pagkatapos ng isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang ang karamihan sa mga kaklase ng daredevil pagkatapos ng mahabang kalkulasyon ay nakatanggap ng maling resulta ...
Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang pattern na madali mong mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong arithmetic progression na binubuo ng -ti na mga miyembro: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga ibinigay na miyembro ng arithmetic progression. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga termino nito sa gawain, tulad ng hinahanap ni Gauss?
Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila. 
Sinubukan? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay
Ngayon sagutin mo, ilang pares ang magkakaroon sa progression na ibinigay sa atin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay, at magkatulad na magkaparehong mga pares, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:
Sa ilang mga problema, hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan sa sum formula, ang formula ng ika-miyembro.
Ano ang nakuha mo?
Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problema na ibinigay kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th ay, at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th.
Magkano ang nakuha mo?
Napag-alaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Ganyan ka ba nagdesisyon?
Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pinatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ginamit ng mga matalinong tao ang mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika nang may lakas at pangunahing.
Halimbawa, isipin ang Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking lugar ng pagtatayo noong panahong iyon - ang pagtatayo ng isang pyramid ... Ang pigura ay nagpapakita ng isang bahagi nito. 
Nasaan ang progression dito na sinasabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall. 
Bakit hindi isang arithmetic progression? Bilangin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbilang sa pamamagitan ng paggalaw ng iyong daliri sa monitor, naaalala mo ba ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?
Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura:
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression.
Palitan natin ang aming data sa mga huling formula (binibilang namin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).
Paraan 1.
Paraan 2.
At ngayon maaari mo ring kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Pumayag ba ito? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:
Pag-eehersisyo
Mga gawain:
- Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses mag-squat si Masha sa mga linggo kung nag-squats siya sa unang ehersisyo.
- Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
- Kapag nag-iimbak ng mga log, ang mga magtotroso ay nagsasalansan ng mga ito sa paraang ang bawat tuktok na layer ay naglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang base ng masonerya ay troso.
Mga sagot:
- Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng arithmetic. Sa kasong ito
(linggo = araw).Sagot: Sa dalawang linggo, dapat maglupasay si Masha isang beses sa isang araw.
- Unang odd na numero, huling numero.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga kakaibang numero sa - kalahati, gayunpaman, suriin ang katotohanang ito gamit ang formula para sa paghahanap ng -ika miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
Pinapalitan namin ang magagamit na data sa formula:Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay katumbas ng.
- Alalahanin ang problema tungkol sa mga pyramids. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, mayroon lamang isang bungkos ng mga layer, iyon ay.
Palitan ang data sa formula:Sagot: May mga troso sa pagmamason.
Summing up
- - isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Ito ay tumataas at bumababa.
- Paghahanap ng formula ika-miyembro ng isang arithmetic progression ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa progression.
- Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan - ang bilang ng mga numero sa progression.
- Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa dalawang paraan:
, kung saan ang bilang ng mga halaga.
ARITMETIKONG PAG-UNLAD. GITNANG ANTAS
Numeric na pagkakasunud-sunod
Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo. Ngunit palagi mong masasabi kung alin sa kanila ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, iyon ay, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.
Numeric na pagkakasunud-sunod ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.
Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isa lamang. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.
Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.
Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .
Ito ay lubos na maginhawa kung ang -th miyembro ng sequence ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng ilang formula. Halimbawa, ang formula
nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:
At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba). O (, pagkakaiba).
pormula ng ika-apat na termino
Tinatawag namin ang paulit-ulit na pormula kung saan, upang malaman ang -th term, kailangan mong malaman ang nauna o ilang nauna:
Upang mahanap, halimbawa, ang ika-kataga ng pag-unlad gamit ang gayong formula, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan. Pagkatapos:
Well, ngayon malinaw na kung ano ang formula?
Sa bawat linya, idinaragdag namin sa, pinarami ng ilang numero. Para saan? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:
Mas komportable ngayon, tama ba? Sinusuri namin:
Magpasya para sa iyong sarili:
Sa isang pag-usad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-10 termino at hanapin ang ika-100 termino.
Desisyon:
Ang unang termino ay pantay. At ano ang pagkakaiba? At narito kung ano:
(pagkatapos ng lahat, ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng mga sunud-sunod na miyembro ng pag-unlad).
Kaya ang formula ay:
Pagkatapos ang ika-daang termino ay:
Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?
Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ang ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng numero, kumbaga. Kaya,
Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:
Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na multiple.
Desisyon:
Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat susunod ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang numero sa nauna. Kaya, ang mga bilang ng interes sa amin ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.
Ang pormula para sa ika-taon para sa pag-unlad na ito ay:
Ilang termino ang nasa progress kung dapat silang lahat ay dalawang digit?
Napakadaling: .
Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:
Sagot: .
Ngayon magpasya para sa iyong sarili:
- Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng 1m higit pa kaysa sa nakaraang araw. Ilang kilometro ang kanyang tatakbo sa mga linggo kung tumakbo siya ng km m sa unang araw?
- Ang isang siklista ay sumasakay ng mas maraming milya bawat araw kaysa sa nauna. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang magmaneho para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng paglalakbay?
- Ang presyo ng refrigerator sa tindahan ay binabawasan ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.
Mga sagot:
- Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
.
Sagot: - Narito ito ay ibinigay:, ito ay kinakailangan upang mahanap.
Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
.
Palitan ang mga halaga:Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot.
Kalkulahin natin ang distansyang nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng -th term:
(km).
Sagot: - Ibinigay: . Hanapin: .
Hindi ito nagiging mas madali:
(kuskusin).
Sagot:
ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Ito ay isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumataas () at bumababa ().
Halimbawa:
Ang formula para sa paghahanap ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression
ay nakasulat bilang isang formula, kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.
Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression
Pinapadali nito ang paghahanap ng miyembro ng progression kung kilala ang mga kalapit na miyembro nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.
Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression
Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang kabuuan:
Nasaan ang bilang ng mga halaga.
Nasaan ang bilang ng mga halaga.
Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):
Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.
Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.
At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.
Arithmetic progression notation
Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.
Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).
Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang pag-unlad ng arithmetic, ngunit may isang numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.
Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika
Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng arithmetic (kabilang ang mga inaalok sa OGE).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Desisyon:
Sagot: \(b_5=23\)
Halimbawa (OGE).
Ang unang tatlong termino ng isang pag-usad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Desisyon:
|
Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba mula sa kalapit na isa sa pamamagitan ng parehong numero. Alamin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa nais na (unang negatibo) na elemento. |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(-3\)
Halimbawa (OGE).
Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elemento na tinutukoy ng titik \(x\).
Desisyon:
|
|
Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba sa pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
At ngayon nakita namin ang aming hinahanap nang walang anumang mga problema: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(7,5\).
Halimbawa (OGE).
Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Desisyon:
|
Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan, binibigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kinakalkula ang mga halaga, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Nahanap na ang hiniling na halaga. |
Sagot: \(S_6=9\).
Halimbawa (OGE).
Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Desisyon:
Sagot: \(d=7\).
Mahahalagang Arithmetic Progression Formula
Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).
Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses na magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...
Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.
Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Halimbawa.
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Desisyon:
Sagot: \(b_(246)=1850\).
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan
Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Desisyon:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang elemento, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Kaya, ngayon ay kinakalkula namin ang kinakailangang halaga nang walang anumang mga problema. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(25)=1090\).
Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan
\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.
Halimbawa.
Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Desisyon:
Sagot: \(S_(33)=-231\).
Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika
Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)
Halimbawa (OGE).
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-labinsiyam\); \(-18.7\)…
Desisyon:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Sinimulan namin ang paglutas sa parehong paraan: una naming mahanap ang \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ngayon ay papalitan namin ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan ... at narito ang isang maliit na nuance ay nagpa-pop up - hindi namin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi natin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Hihinto kami sa pagdaragdag ng mga elemento kapag nakarating na kami sa unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang arithmetic progression: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kailangan natin ang \(a_n\) na mas malaki sa zero. Alamin natin kung ano \(n\) ang mangyayari. |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Nagko-compute... |
|
|
\(n>65,333…\) |
…at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Kaya, kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(65)=-630.5\).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Desisyon:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Sa problemang ito, kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Wala kaming formula para dito. Paano magdesisyon? |
|
|
Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, nagdaragdag kami ng apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-uh elemento. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\)-th na mga elemento. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Sagot: \(S=1683\).
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilang higit pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.
Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang kung ano ang pagkakasunod-sunod ng numero, dahil ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero.
Ang numerical sequence ay isang numerical set, ang bawat elemento ay may sariling serial number. Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang ordinal na numero ng isang elemento ng sequence ay ipinahiwatig ng isang index:
Ang unang elemento ng pagkakasunud-sunod;
Ang ikalimang elemento ng sequence;
- "nth" na elemento ng sequence, i.e. ang elementong "nakatayo sa pila" sa numero n.
May dependency sa pagitan ng value ng isang sequence element at ng ordinal number nito. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng isang elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi ng isa iyan ang sequence ay isang function ng natural na argumento:
Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod sa tatlong paraan:
1 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.
Halimbawa, nagpasya ang isang tao na gumawa ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, upang kalkulahin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Sa pamamagitan ng pagsulat ng oras sa isang talahanayan, makakakuha siya ng isang sequence na binubuo ng pitong elemento:
Ang unang linya ng talahanayan ay naglalaman ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes May gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, noong Biyernes, 15 lamang.
2 . Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin gamit ang nth member formula.
Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng isang elemento ng sequence sa numero nito ay direktang ipinahayag bilang isang formula.
Halimbawa, kung , pagkatapos
Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod na may isang ibinigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula para sa ika-na miyembro.
Ginagawa namin ang parehong kung kailangan naming hanapin ang halaga ng isang function kung ang halaga ng argument ay kilala. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa halip sa equation ng function:
Kung, halimbawa, 
, pagkatapos
Muli, tandaan ko na sa isang pagkakasunud-sunod, sa kaibahan sa isang arbitrary na pag-andar ng numero, isang natural na numero lamang ang maaaring maging isang argumento.
3 . Maaaring tukuyin ang sequence gamit ang isang formula na nagpapahayag ng dependence ng halaga ng miyembro ng sequence na may numero n sa halaga ng mga nakaraang miyembro. Sa kasong ito, hindi sapat para sa amin na malaman lamang ang bilang ng isang sequence member upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o unang ilang miyembro ng sequence.
Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod 
, 
Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng isang sequence sa pagkakasunod-sunod, simula sa pangatlo:
Iyon ay, sa bawat oras upang mahanap ang halaga ng ika-na miyembro ng pagkakasunud-sunod, bumalik kami sa nakaraang dalawa. Ang ganitong paraan ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag paulit-ulit, mula sa salitang Latin recurro- bumalik.
Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang simpleng espesyal na kaso ng isang numerical sequence.
Arithmetic progression ay tinatawag na numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero.
Tinatawag ang numero ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression. Ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o zero.
Kung title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} dumarami.
Halimbawa, 2; 5; walo; labing-isa;...
Kung , kung gayon ang bawat termino ng pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay humihina.
Halimbawa, 2; -isa; -4; -7;...
Kung , ang lahat ng miyembro ng progression ay katumbas ng parehong numero, at ang progression ay nakatigil.
Halimbawa, 2;2;2;2;...
Ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika:
Tingnan natin ang larawan.
Nakikita natin yan
, at sa parehong oras
Ang pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin:
.
Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 2:
Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:
Bukod dito, dahil
, at sa parehong oras
, pagkatapos
, at samakatuwid
Ang bawat miyembro ng arithmetic progression na nagsisimula sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
ika-miyembro na pormula.
Nakikita namin na para sa mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, ang mga sumusunod na ugnayan ay nagtataglay:
at sa wakas
Nakakuha kami formula ng nth term.
MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng at . Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga miyembro nito.
Ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression.
Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika, ang mga kabuuan ng mga termino na pantay na may pagitan mula sa mga sukdulan ay katumbas ng bawat isa:
Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n mga miyembro. Hayaang ang kabuuan ng n miyembro ng pag-unlad na ito ay katumbas ng .
Ayusin muna ang mga tuntunin ng pag-unlad sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:
Ipares natin ito:
Ang kabuuan sa bawat panaklong ay , ang bilang ng mga pares ay n.
Nakukuha namin:
Kaya, ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan gamit ang mga formula:
Isipin mo paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika.
1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng formula ng ika-n na termino: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.
Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing miyembro ng sequence ay katumbas ng parehong numero.
Nakuha namin na ang pagkakaiba ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakadepende sa kanilang numero at isang pare-pareho. Samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang sequence na ito ay isang aritmetika na pag-unlad.
2 . Nabigyan ng aritmetika na pag-unlad -31; -27;...
a) Hanapin ang 31 terms ng progression.
b) Tukuyin kung ang bilang 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.
a) Nakikita natin na;
Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino para sa ating pag-unlad.
Sa pangkalahatan 
Sa kaso natin 
, Kaya naman 
Nakukuha namin:
b) Ipagpalagay na ang numero 41 ay isang miyembro ng sequence. Hanapin natin number niya. Upang gawin ito, lutasin namin ang equation:
Nakakuha kami ng natural na halaga ng n, samakatuwid, oo, ang numero 41 ay miyembro ng progression. Kung ang nahanap na halaga ng n ay hindi isang natural na numero, sasagutin namin na ang numerong 41 ay HINDI miyembro ng progression.
3 . a) Sa pagitan ng mga numero 2 at 8, magpasok ng 4 na numero upang sila, kasama ang mga ibinigay na numero, ay bumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.
b) Hanapin ang kabuuan ng mga tuntunin ng nagresultang pag-unlad.
a) Magpasok tayo ng apat na numero sa pagitan ng mga numero 2 at 8:
Nakakuha kami ng pag-unlad ng arithmetic, kung saan mayroong 6 na termino. 
Hanapin natin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula para sa ika-n na termino:
Ngayon ay madaling mahanap ang mga halaga ng mga numero:
3,2; 4,4; 5,6; 6,8
b) 
Sagot: a) oo; b) 30
4. Ang trak ay nagdadala ng isang batch ng durog na bato na tumitimbang ng 240 tonelada, araw-araw na pinapataas ang rate ng transportasyon sa parehong bilang ng mga tonelada. Nabatid na 2 toneladang durog na bato ang naihatid sa unang araw. Tukuyin kung gaano karaming tonelada ng dinurog na bato ang dinala sa ikalabindalawang araw kung ang lahat ng gawain ay natapos sa loob ng 15 araw.
Ayon sa kondisyon ng problema, ang dami ng durog na bato na dinadala ng trak araw-araw ay tumataas sa parehong bilang. Samakatuwid, kami ay nakikitungo sa isang pag-unlad ng aritmetika.
Binubalangkas namin ang problemang ito sa mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika.
Sa unang araw, 2 tonelada ng dinurog na bato ang dinala: a_1=2.
Nakumpleto ang lahat ng trabaho sa loob ng 15 araw: .
Ang trak ay nagdadala ng isang batch ng durog na bato na tumitimbang ng 240 tonelada:
Kailangan nating hanapin.
Una, hanapin natin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Gamitin natin ang formula para sa kabuuan ng n miyembro ng progression.
Sa kaso natin:
IV Yakovlev | Mga materyales sa matematika | MathUs.ru
Arithmetic progression
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na uri ng pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, bago tukuyin ang isang aritmetika (at pagkatapos ay geometriko) na pag-unlad, kailangan nating maikling talakayin ang mahalagang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero.
Kasunod
Isipin ang isang aparato sa screen kung saan ang ilang mga numero ay ipinapakita nang paisa-isa. Sabihin nating 2; 7; labintatlo; isa; 6; 0; 3; : : : Ang ganitong set ng mga numero ay isang halimbawa lamang ng isang sequence.
Kahulugan. Ang numerical sequence ay isang set ng mga numero kung saan ang bawat numero ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero (iyon ay, ilagay sa mga sulat na may isang solong natural na numero)1. Ang numerong may numero n ay tinatawag na ika-na miyembro ng sequence.
Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang unang numero ay may numero 2, na siyang unang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin ng a1 ; ang numerong lima ay may numerong 6 na siyang ikalimang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin na a5 . Sa pangkalahatan, ang ika-na miyembro ng isang sequence ay tinutukoy ng isang (o bn , cn , atbp.).
Ang isang napaka-maginhawang sitwasyon ay kapag ang ika-na miyembro ng sequence ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula an = 2n 3 ay tumutukoy sa sequence: 1; isa; 3; 5; 7; : : : Tinutukoy ng formula na an = (1)n ang sequence: 1; isa; isa; isa; : : :
Hindi lahat ng hanay ng mga numero ay isang pagkakasunod-sunod. Kaya, ang isang segment ay hindi isang sequence; naglalaman ito ng ¾napakaraming¿ na mga numero upang muling lagyan ng numero. Ang set R ng lahat ng tunay na numero ay hindi rin isang sequence. Ang mga katotohanang ito ay napatunayan sa kurso ng mathematical analysis.
Arithmetic progression: pangunahing mga kahulugan
Ngayon ay handa na kaming tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika.
Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino (nagsisimula sa pangalawa) ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang termino at ilang nakapirming numero (tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika).
Halimbawa, sequence 2; 5; walo; labing-isa; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 2 at pagkakaiba 3. Sequence 7; 2; 3; walo; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 7 at pagkakaiba 5. Sequence 3; 3; 3; : : : ay isang arithmetic progression na may zero difference.
Katumbas na kahulugan: Ang isang sequence an ay tinatawag na isang arithmetic progression kung ang pagkakaiba ng an+1 an ay isang pare-parehong halaga (hindi nakadepende sa n).
Ang isang arithmetic progression ay sinasabing tumataas kung ang pagkakaiba nito ay positibo, at bumababa kung ang pagkakaiba nito ay negatibo.
1 At narito ang isang mas maigsi na kahulugan: ang sequence ay isang function na tinukoy sa set ng mga natural na numero. Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero ay ang function na f: N! R.
Bilang default, ang mga pagkakasunud-sunod ay itinuturing na walang hanggan, iyon ay, naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga numero. Ngunit walang sinuman ang nag-aabala upang isaalang-alang ang mga may hangganang pagkakasunud-sunod din; sa katunayan, anumang may hangganan na hanay ng mga numero ay maaaring tawaging may hangganang pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang huling sequence 1; 2; 3; 4; Ang 5 ay binubuo ng limang numero.
Formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic
Madaling maunawaan na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ganap na tinutukoy ng dalawang numero: ang unang termino at ang pagkakaiba. Samakatuwid, ang tanong ay lumitaw: paano, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, makahanap ng isang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika?
Hindi mahirap makuha ang nais na pormula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang
arithmetic progression na may pagkakaiba d. Meron kami: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Sa partikular, sumulat kami: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
at ngayon ay nagiging malinaw na ang formula para sa isang ay: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Gawain 1. Sa arithmetic progression 2; 5; walo; labing-isa; : : : hanapin ang formula ng nth term at kalkulahin ang hundredth term.
Desisyon. Ayon sa formula (1) mayroon tayong:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Pag-aari at tanda ng pag-unlad ng arithmetic
ari-arian ng isang arithmetic progression. Sa arithmetic progression an for any
Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng arithmetic progression (simula sa pangalawa) ay ang arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro.
Patunay. Meron kami: | ||||
a n 1+ a n+1 | (isang d) + (isang + d) | |||
na kung ano ang kinakailangan.
Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay
a n = a n k+ a n+k
para sa anumang n > 2 at anumang natural na k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Lumalabas na ang formula (2) ay hindi lamang isang kinakailangan kundi isang sapat na kundisyon para ang isang sequence ay maging isang arithmetic progression.
Tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika. Kung ang pagkakapantay-pantay (2) ay humahawak para sa lahat ng n > 2, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.
Patunay. Isulat muli natin ang formula (2) gaya ng sumusunod:
a na n 1= a n+1a n:
Ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba ng an+1 an ay hindi nakadepende sa n, at ito ay nangangahulugan lamang na ang pagkakasunod-sunod na an ay isang arithmetic progression.
Ang ari-arian at tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring buuin bilang isang pahayag; para sa kaginhawahan, gagawin namin ito para sa tatlong numero (ito ang sitwasyon na madalas na nangyayari sa mga problema).
Paglalarawan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang tatlong numerong a, b, c ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika kung at kung 2b = a + c lamang.
Suliranin 2. (Moscow State University, Faculty of Economics, 2007) Tatlong numero na 8x, 3 x2 at 4 sa tinukoy na pagkakasunud-sunod ay bumubuo ng isang nagpapababang pag-unlad ng aritmetika. Hanapin ang x at isulat ang pagkakaiba ng progression na ito.
Desisyon. Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang arithmetic progression, mayroon tayong:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Kung x = 1, kung gayon ang isang bumababa na pag-unlad ng 8, 2, 4 ay nakuha na may pagkakaiba na 6. Kung x = 5, kung gayon ang pagtaas ng pag-unlad ng 40, 22, 4 ay nakuha; hindi gumagana ang kasong ito.
Sagot: x = 1, ang pagkakaiba ay 6.
Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic
Sinasabi ng alamat na minsan sinabi ng guro sa mga bata na hanapin ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 100 at umupo upang tahimik na magbasa ng pahayagan. Gayunpaman, sa loob ng ilang minuto, sinabi ng isang batang lalaki na nalutas na niya ang problema. Ito ay ang 9 na taong gulang na si Carl Friedrich Gauss, nang maglaon ay isa sa mga pinakadakilang mathematician sa kasaysayan.
Ang ideya ni Little Gauss ay ito. Hayaan
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Isulat natin ang kabuuan na ito sa reverse order:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
at idagdag ang dalawang formula na ito:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Ang bawat termino sa mga bracket ay katumbas ng 101, at mayroong 100 ganoong termino sa kabuuan. Samakatuwid
2S = 101 100 = 10100;
Ginagamit namin ang ideyang ito upang makuha ang sum formula
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Ang isang kapaki-pakinabang na pagbabago ng formula (3) ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng formula para sa ika-n term na an = a1 + (n 1)d dito:
2a1 + (n 1)d | |||||
Gawain 3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong tatlong-digit na numero na nahahati sa 13.
Desisyon. Ang tatlong-digit na mga numero na multiple ng 13 ay bumubuo ng isang arithmetic progression na may unang termino na 104 at ang pagkakaiba 13; Ang ikasiyam na termino ng pag-unlad na ito ay:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Alamin natin kung ilang miyembro ang nilalaman ng ating progression. Upang gawin ito, lutasin namin ang hindi pagkakapantay-pantay:
isang 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Kaya mayroong 69 na miyembro sa aming pag-unlad. Ayon sa formula (4) nakita namin ang kinakailangang halaga:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")
Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa nauna sa parehong halaga.
Ang paksang ito ay kadalasang mahirap at hindi maintindihan. Mga indeks ng titik, ang ika-1 termino ng pag-unlad, ang pagkakaiba ng pag-unlad - lahat ng ito ay nakakalito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at lahat ay gagana kaagad.)
Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.
Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Maaari mo bang pahabain ang linyang ito? Anong mga numero ang susunod na pupunta, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh ..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp.
Gawin nating kumplikado ang gawain. Nagbibigay ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Maaari mong makuha ang pattern, pahabain ang serye, at pangalanan ikapito numero ng hilera?
Kung naisip mo na ang numerong ito ay 20 - binabati kita! Hindi mo lang naramdaman mga pangunahing punto ng pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo maintindihan, basahin mo.
Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)
Unang mahalagang punto.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...
ayos lang. Ang mga pag-unlad lamang ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)
Pangalawang mahalagang punto.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nauna sa parehong halaga.
Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anuman ang bilang na kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang kasunod na mga numero.
Pangatlong pangunahing punto.
Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Nandiyan siya: bawat progression number ay nasa lugar nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, at iba pa. Kung malito mo sila nang biglaan, mawawala ang pattern. Mawawala din ang arithmetic progression. Ito ay isang serye lamang ng mga numero.
Iyon ang buong punto.
Siyempre, lalabas ang mga bagong termino at notasyon sa bagong paksa. Kailangan nilang malaman. Kung hindi, hindi mo mauunawaan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:
Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n) kung a 2 = 5, d = -2.5.
Nakaka-inspire ba ito?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at notasyon. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.
Mga tuntunin at pagtatalaga.
Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.
Ang halagang ito ay tinatawag . Haharapin natin ang konseptong ito nang mas detalyado.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa ang nauna.
Isang mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression sa nakaraang numero.
Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng hilera, ito ay kinakailangan upang una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag sa pang-apat mabuti, atbp.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika maaaring positibo pagkatapos ang bawat numero ng serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Narito ang bawat numero pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.
Halimbawa:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Dito nakuha din ang bawat numero pagdaragdag sa dati, ngunit negatibong numero na, -5.
Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa isang pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang maitutulong upang mahanap ang iyong mga paniniwala sa desisyon, upang makita ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.
Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang bilang ng mga serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)
Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kinukuha namin ang anumang numero ng row na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas dito ang dating numero mga. walo:
Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, tatlo ang pagkakaiba.
Maaari mo lamang kunin anumang bilang ng mga pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero walang nauna.)
Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Nagdaragdag kami ng 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Nagdaragdag kami ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu't.
Tukuyin natin d para sa isang bumababang pag-unlad ng aritmetika:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pinipili namin ang anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, any.
Iba pang mga termino at pagtatalaga.
Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.
Ang bawat miyembro ng pag-unlad may number niya. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo ...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero- mahigpit sa pagkakasunud-sunod!
Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat numero sa serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, bilang panuntunan, ginagamit ang titik a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinulat na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 ay ang unang numero a 3- pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito nang maikli tulad nito: (isang n).
May mga pag-unlad may hangganan at walang katapusan.
Ultimate ang pag-unlad ay may limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.
Walang katapusang progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)
Maaari kang magsulat ng panghuling pag-unlad sa pamamagitan ng isang seryeng tulad nito, lahat ng miyembro at isang tuldok sa dulo:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
O tulad nito, kung maraming miyembro:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Sa isang maikling entry, kailangan mong ipahiwatig din ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:
(a n), n = 20
Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.
Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.
Mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-unlad ng aritmetika.
Tingnan natin ang gawain sa itaas:
1. Isulat ang unang anim na miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.
Isinasalin namin ang gawain sa naiintindihang wika. Dahil sa walang katapusang pag-unlad ng aritmetika. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Kilalang pagkakaiba sa pag-unlad: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na miyembro ng pag-unlad na ito.
Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang pangalawang miyembro ay lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Pinapalitan namin sa expression a 2 = 5 at d=-2.5. Huwag kalimutan ang minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Ang ikatlong termino ay mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo halaga, kaya ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ikaapat na miyembro ng aming serye:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
isang 5 = a 4 + d
isang 5=0+(-2,5)= - 2,5
isang 6 = isang 5 + d
isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang sa ikaanim ay nakalkula. Nagresulta ito sa isang serye:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Ito ay nananatili upang mahanap ang unang termino a 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika d hindi dapat idagdag sa a 2, a alisin:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Iyon lang ang mayroon. Tugon sa gawain:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Sa pagpasa, tandaan ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugang, tanging, ang paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng nakaraang (katabing) numero. Ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad ay tatalakayin sa ibang pagkakataon.
Isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.
Tandaan:
Kung alam natin ang kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng progression na ito.
Tandaan? Ang simpleng konklusyon na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema ng kurso sa paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang arithmetic progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng isang progression. Lahat.
Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.
Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na gawain sa paksang ito.
2. Isulat ang huling pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye kung n=5, d=0.4, at isang 1=3.6.
Simple lang ang lahat dito. Lahat binigay na. Kailangan mong tandaan kung paano kinakalkula, binibilang, at isinulat ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maipapayo na huwag laktawan ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Upang hindi na mabilang hanggang sa ikaw ay ganap na bughaw sa mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa pag-unlad na ito:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Ito ay nananatiling isulat ang sagot:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Isa pang gawain:
3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hmm... Sinong nakakaalam? Paano tukuyin ang isang bagay?
Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito o wala! Naniniwala kami:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ngayon ay malinaw na nakikita na kami ay pito lamang nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.
Sagot: hindi.
At narito ang isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
4. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; labinlimang; X; siyam; 6; ...
Narito ang isang serye na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang magagawa natin matuklasan mula sa linyang ito? Ano ang mga parameter ng tatlong pangunahing mga?
Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.
Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "magkasunod" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba sa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron ako! Ito ay 9 at 6. Para makalkula natin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic! Ibawas namin sa anim dati numero, i.e. siyam:
May natitira pang mga bakanteng espasyo. Anong numero ang magiging nauna para sa x? labinlima. Kaya ang x ay madaling mahanap sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Sa 15 idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Iyon lang. Sagot: x=12
Kami mismo ang nagresolba sa mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga puzzle na ito ay hindi para sa mga formula. Purely for understanding the meaning of an arithmetic progression.) Nagsusulat lang kami ng serye ng mga numero-titik, tingnan at isipin.
5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.
6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng terminong ito.
7. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng 3.
8. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.
9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, unti-unting tumataas ang bilis nito ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
10. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.
Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; siyam; 0.3; 4.
Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Maaari mong matutunan ang pag-unlad ng aritmetika sa mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.
Hindi ba natuloy ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga problemang ito ay pinaghiwa-hiwalay.) At, siyempre, ang isang simpleng praktikal na pamamaraan ay inilarawan na agad na nagha-highlight sa solusyon ng naturang mga gawain nang malinaw, malinaw, tulad ng sa iyong palad!
Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Isa - puro sa pamamagitan ng pag-unlad, at ang pangalawa - karaniwan sa anumang mga gawain sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.
Sa araling ito, sinuri namin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, ang lahat ay magpapasya.
Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng serye, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas mahirap ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" lalala ang problema.)
At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit lubos na walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
At ano, dadagdagan natin ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Posible bang magpakamatay!?
Maaari mo.) Kung hindi mo alam ang isang simpleng pormula kung saan maaari mong malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang iyon ay nalutas doon. Sa isang minuto.)
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
