Tinatalakay ng artikulong ito kung paano hanapin ang mga halaga ng mga expression sa matematika. Magsimula tayo sa mga simpleng numerical expression at pagkatapos ay isasaalang-alang natin ang mga kaso habang tumataas ang pagiging kumplikado ng mga ito. Sa dulo, nagbibigay kami ng expression na naglalaman ng mga pagtatalaga ng titik, bracket, ugat, espesyal na mga palatandaan sa matematika, degree, function, atbp. Ang buong teorya, ayon sa tradisyon, ay bibigyan ng masagana at detalyadong mga halimbawa.
Paano mahahanap ang halaga ng isang numeric na expression?
Ang mga numeric na expression, bukod sa iba pang mga bagay, ay tumutulong upang ilarawan ang kalagayan ng problema sa matematikal na wika. Sa pangkalahatan, ang mga mathematical expression ay maaaring maging napaka-simple, na binubuo ng isang pares ng mga numero at arithmetic sign, o napaka-kumplikado, na naglalaman ng mga function, degrees, ugat, bracket, atbp. Bilang bahagi ng gawain, madalas na kinakailangan upang mahanap ang halaga ng isang expression. Kung paano ito gagawin ay tatalakayin sa ibaba.
Ang pinakasimpleng mga kaso
Ito ang mga kaso kung saan ang expression ay naglalaman ng walang anuman kundi mga numero at aritmetika. Upang matagumpay na mahanap ang mga halaga ng naturang mga expression, kakailanganin mo ng kaalaman sa pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga operasyon ng aritmetika nang walang mga bracket, pati na rin ang kakayahang magsagawa ng mga operasyon na may iba't ibang mga numero.
Kung ang expression ay naglalaman lamang ng mga numero at arithmetic sign na " + " , " · " , " - " , " ÷ " , kung gayon ang mga operasyon ay isinasagawa mula kaliwa hanggang kanan sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: unang multiplikasyon at paghahati, pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas. Magbigay tayo ng mga halimbawa.
Halimbawa 1. Ang halaga ng isang numeric na expression
Hayaang kailanganin upang mahanap ang mga halaga ng expression 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .
Gawin muna natin ang multiplication at division. Nakukuha namin ang:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .
Ngayon ay ibawas namin at makuha ang huling resulta:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Halimbawa 2. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kalkulahin natin: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .
Una, ginagawa namin ang conversion ng mga fraction, dibisyon at multiplikasyon:
0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .
Ngayon gawin natin ang pagdaragdag at pagbabawas. Ipangkat natin ang mga fraction at dalhin ang mga ito sa isang karaniwang denominator:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Ang nais na halaga ay matatagpuan.
Mga expression na may mga bracket
Kung ang isang expression ay naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay tinutukoy nila ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa expression na ito. Una, ang mga aksyon sa mga bracket ay ginanap, at pagkatapos ay ang lahat ng iba pa. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa 3. Ang halaga ng isang numeric na expression
Hanapin ang halaga ng expression na 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .
Ang expression ay naglalaman ng mga bracket, kaya una naming ginagawa ang operasyon ng pagbabawas sa mga bracket, at pagkatapos lamang ang multiplikasyon.
0.5 (0.76 - 0.06) = 0.5 0.7 = 0.35.
Ang halaga ng mga expression na naglalaman ng mga bracket sa mga bracket ay matatagpuan ayon sa parehong prinsipyo.
Halimbawa 4. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kalkulahin natin ang halaga 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .
Magsasagawa kami ng mga aksyon simula sa pinakaloob na mga bracket, lumipat sa mga panlabas.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .
Sa paghahanap ng mga halaga ng mga expression na may mga bracket, ang pangunahing bagay ay sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.
Mga ekspresyong may mga ugat
Ang mga ekspresyong matematika na ang mga halaga ay kailangan nating hanapin ay maaaring naglalaman ng mga palatandaan ng ugat. Bukod dito, ang ekspresyon mismo ay maaaring nasa ilalim ng tanda ng ugat. Paano maging sa kasong iyon? Una kailangan mong hanapin ang halaga ng expression sa ilalim ng ugat, at pagkatapos ay kunin ang ugat mula sa resultang numero. Kung maaari, mas mahusay na alisin ang mga ugat sa mga numerical na expression, palitan mula sa mga numerical na halaga.
Halimbawa 5. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kalkulahin natin ang halaga ng expression na may mga ugat - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .
Una, kinakalkula namin ang mga radikal na expression.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang halaga ng buong expression.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Kadalasan, upang mahanap ang halaga ng isang expression na may mga ugat, madalas na kinakailangan upang unang baguhin ang orihinal na expression. Ipaliwanag natin ito sa isa pang halimbawa.
Halimbawa 6. Ang halaga ng isang numeric na expression
Ano ang 3 + 1 3 - 1 - 1
Tulad ng nakikita mo, wala kaming kakayahang palitan ang ugat ng isang eksaktong halaga, na nagpapalubha sa proseso ng pagbibilang. Gayunpaman, sa kasong ito, maaari mong ilapat ang pinaikling formula ng pagpaparami.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
kaya:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Mga ekspresyong may kapangyarihan
Kung ang expression ay naglalaman ng mga kapangyarihan, ang kanilang mga halaga ay dapat kalkulahin bago magpatuloy sa lahat ng iba pang mga aksyon. Ito ay nangyayari na ang exponent mismo o ang base ng degree ay mga expression. Sa kasong ito, unang kinakalkula ang halaga ng mga expression na ito, at pagkatapos ay ang halaga ng degree.
Halimbawa 7. Ang halaga ng isang numeric na expression
Hanapin ang halaga ng expression na 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .
Nagsisimula kaming kalkulahin sa pagkakasunud-sunod.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Ito ay nananatiling lamang upang isagawa ang operasyon ng pagdaragdag at alamin ang halaga ng expression:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .
Madalas ding ipinapayong gawing simple ang expression gamit ang mga katangian ng degree.
Halimbawa 8. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kalkulahin natin ang halaga ng sumusunod na expression: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Ang mga exponent ay muli na ang kanilang mga eksaktong numerong halaga ay hindi makuha. Pasimplehin ang orihinal na expression upang mahanap ang halaga nito.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Mga expression na may mga fraction
Kung ang isang expression ay naglalaman ng mga fraction, kung gayon kapag kinakalkula ang naturang expression, ang lahat ng mga fraction dito ay dapat na kinakatawan bilang mga ordinaryong fraction at ang kanilang mga halaga ay kinakalkula.
Kung mayroong mga expression sa numerator at denominator ng fraction, kung gayon ang mga halaga ng mga expression na ito ay unang kinakalkula, at ang pangwakas na halaga ng fraction mismo ay naitala. Ang mga operasyon sa aritmetika ay isinasagawa sa karaniwang pagkakasunud-sunod. Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.
Halimbawa 9. Ang halaga ng isang numeric na expression
Hanapin natin ang halaga ng expression na naglalaman ng mga fraction: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .
Tulad ng makikita mo, mayroong tatlong fraction sa orihinal na expression. Kalkulahin muna natin ang kanilang mga halaga.
3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .
Muli nating isulat ang ating expression at kalkulahin ang halaga nito:
1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1
Kadalasan, kapag hinahanap ang mga halaga ng mga expression, ito ay maginhawa upang mabawasan ang mga fraction. Mayroong isang hindi binibigkas na panuntunan: bago mahanap ang halaga nito, pinakamahusay na gawing simple ang anumang expression sa maximum, na bawasan ang lahat ng mga kalkulasyon sa pinakasimpleng mga kaso.
Halimbawa 10. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kalkulahin natin ang expression 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Hindi natin ganap na makuha ang ugat ng lima, ngunit maaari nating gawing simple ang orihinal na expression sa pamamagitan ng mga pagbabago.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Ang orihinal na expression ay tumatagal sa anyo:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Kalkulahin natin ang halaga ng expression na ito:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Mga expression na may logarithms
Kapag ang mga logarithms ay naroroon sa isang expression, ang kanilang halaga, kung maaari, ay kinakalkula mula pa sa simula. Halimbawa, sa expression na log 2 4 + 2 4, maaari mong agad na isulat ang halaga ng logarithm na ito sa halip na log 2 4, at pagkatapos ay isagawa ang lahat ng mga aksyon. Nakukuha namin ang: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .
Ang mga numeric na expression ay matatagpuan din sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito. Sa kasong ito, ang unang hakbang ay upang mahanap ang kanilang mga halaga. Kunin natin ang expression log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Meron kami:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .
Kung imposibleng kalkulahin ang eksaktong halaga ng logarithm, ang pagpapasimple ng expression ay nakakatulong upang mahanap ang halaga nito.
Halimbawa 11. Ang halaga ng isang numeric na expression
Hanapin ang halaga ng expression log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Ayon sa pag-aari ng logarithms:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .
Muling inilalapat ang mga katangian ng logarithms, para sa huling bahagi ng expression na nakukuha natin:
log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .
Ngayon ay maaari kang magpatuloy sa pagkalkula ng halaga ng orihinal na expression.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .
Mga expression na may trigonometriko function
Nangyayari na sa expression mayroong mga trigonometric function ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang mga function na kabaligtaran sa kanila. Mula sa halaga ay kinakalkula bago ang lahat ng iba pang mga pagpapatakbo ng aritmetika ay ginanap. Kung hindi, ang expression ay pinasimple.
Halimbawa 12. Ang halaga ng isang numeric na expression
Hanapin ang halaga ng expression: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Una, kinakalkula namin ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko na kasama sa expression.
kasalanan - 5 π 2 \u003d - 1
Palitan ang mga halaga sa expression at kalkulahin ang halaga nito:
t g 2 4 π 3 - kasalanan - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.
Ang halaga ng expression ay matatagpuan.
Kadalasan, upang mahanap ang halaga ng isang expression na may mga function na trigonometriko, kailangan muna itong ma-convert. Ipaliwanag natin gamit ang isang halimbawa.
Halimbawa 13. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kinakailangang hanapin ang halaga ng expression na cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Para sa pagbabagong-anyo, gagamitin namin ang mga trigonometric na formula para sa cosine ng double angle at cosine ng sum.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 cos π 1 - 1 = 0 .
Pangkalahatang kaso ng numeric na expression
Sa pangkalahatang kaso, ang isang trigonometric na expression ay maaaring maglaman ng lahat ng mga elemento na inilarawan sa itaas: mga bracket, degree, ugat, logarithms, function. Bumuo tayo ng isang pangkalahatang tuntunin para sa paghahanap ng mga halaga ng naturang mga expression.
Paano mahanap ang halaga ng isang expression
- Mga ugat, kapangyarihan, logarithms, atbp. ay pinalitan ng kanilang mga halaga.
- Isinasagawa ang mga aksyon sa panaklong.
- Ang natitirang mga hakbang ay isinasagawa sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan. Una - pagpaparami at paghahati, pagkatapos - pagdaragdag at pagbabawas.
Kumuha tayo ng isang halimbawa.
Halimbawa 14. Ang halaga ng isang numeric na expression
Kalkulahin natin kung ano ang halaga ng expression - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .
Ang ekspresyon ay medyo kumplikado at masalimuot. Ito ay hindi nagkataon na pinili lamang namin ang isang halimbawa, sinusubukang magkasya dito ang lahat ng mga kaso na inilarawan sa itaas. Paano mahahanap ang halaga ng gayong pagpapahayag?
Ito ay kilala na kapag kinakalkula ang halaga ng isang kumplikadong fractional form, una ang mga halaga ng numerator at denominator ng fraction ay matatagpuan nang hiwalay, ayon sa pagkakabanggit. Sunud-sunod nating babaguhin at pasimplehin ang ekspresyong ito.
Una sa lahat, kinakalkula namin ang halaga ng radical expression 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang halaga ng sine, at ang expression na argumento ng trigonometriko function.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Ngayon ay maaari mong malaman ang halaga ng sine:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .
Kinakalkula namin ang halaga ng radikal na expression:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Sa denominator ng isang fraction, mas madali ang lahat:
Ngayon ay maaari nating isulat ang halaga ng buong fraction:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Sa pag-iisip na ito, isinusulat namin ang buong expression:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Huling Resulta:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Sa kasong ito, nagawa naming kalkulahin ang mga eksaktong halaga para sa mga ugat, logarithms, sine, at iba pa. Kung hindi ito posible, maaari mong subukang alisin ang mga ito sa pamamagitan ng mga pagbabagong matematikal.
Pag-compute ng mga Ekspresyon sa Makatwirang Paraan
Ang mga numerong halaga ay dapat na kalkulahin nang pare-pareho at tumpak. Ang prosesong ito ay maaaring rasyonal at mapabilis sa pamamagitan ng paggamit ng iba't ibang katangian ng mga operasyon na may mga numero. Halimbawa, alam na ang produkto ay katumbas ng zero kung kahit isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Dahil sa pag-aari na ito, masasabi natin kaagad na ang expression 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, hindi kinakailangan na gawin ang mga hakbang sa pagkakasunud-sunod na inilarawan sa artikulo sa itaas.
Maginhawa din na gamitin ang pag-aari ng pagbabawas ng pantay na mga numero. Nang hindi nagsasagawa ng anumang mga aksyon, posibleng mag-order na ang halaga ng expression na 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 ay katumbas din ng zero.
Ang isa pang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong pabilisin ang proseso ay ang paggamit ng magkatulad na pagbabago tulad ng pagpapangkat ng mga termino at salik at pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket. Ang isang makatwirang diskarte sa pagkalkula ng mga expression na may mga fraction ay upang bawasan ang parehong mga expression sa numerator at denominator.
Halimbawa, kunin natin ang expression na 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Nang hindi nagsasagawa ng mga aksyon sa mga bracket, ngunit sa pamamagitan ng pagbabawas ng fraction, masasabi natin na ang halaga ng expression ay 1 3 .
Paghahanap ng mga halaga ng mga expression na may mga variable
Ang halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable ay matatagpuan para sa mga tiyak na ibinigay na mga halaga ng mga titik at mga variable.
Paghahanap ng mga halaga ng mga expression na may mga variable
Upang mahanap ang halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable, kailangan mong palitan ang ibinigay na mga halaga ng mga titik at mga variable sa orihinal na expression, at pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng resultang numeric expression.
Halimbawa 15. Ang halaga ng isang expression na may mga variable
Kalkulahin ang halaga ng expression na 0 , 5 x - y na ibinigay x = 2 , 4 at y = 5 .
Pinapalitan namin ang mga halaga ng mga variable sa expression at kinakalkula:
0 . 5 x - y = 0 . 5 2 . 4 - 5 = 1 . 2 - 5 = - 3. 8 .
Minsan posible na baguhin ang isang expression sa paraang makuha ang halaga nito anuman ang mga halaga ng mga titik at variable na kasama dito. Upang gawin ito, kinakailangan upang mapupuksa ang mga titik at mga variable sa expression, kung maaari, gamit ang magkatulad na mga pagbabagong-anyo, mga katangian ng mga operasyon ng aritmetika, at lahat ng posibleng iba pang mga pamamaraan.
Halimbawa, ang expression na x + 3 - x ay malinaw na may halagang 3, at hindi kinakailangang malaman ang halaga ng x upang makalkula ang halagang ito. Ang halaga ng expression na ito ay katumbas ng tatlo para sa lahat ng mga halaga ng variable x mula sa hanay ng mga wastong halaga nito.
Isa pang halimbawa. Ang halaga ng expression na x x ay katumbas ng isa para sa lahat ng positibong x.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Sa kursong algebra sa ika-7 baitang, kami ay nakikibahagi sa pagbabago ng mga integer na expression, iyon ay, mga expression na binubuo ng mga numero at mga variable gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at pagpaparami, pati na rin ang paghahati sa isang numero maliban sa zero. Kaya, ang mga expression ay integer
Sa kaibahan, mga expression
bilang karagdagan sa pagkilos ng karagdagan, pagbabawas at pagpaparami, naglalaman ang mga ito ng paghahati sa pamamagitan ng isang expression na may mga variable. Ang ganitong mga expression ay tinatawag na fractional expression.
Ang mga integer at fractional na expression ay tinatawag na rational expressions.
Ang isang integer na expression ay may katuturan para sa anumang mga halaga ng mga variable na kasama dito, dahil upang mahanap ang halaga ng isang buong expression, kailangan mong magsagawa ng mga aksyon na palaging posible.
Ang isang fractional na expression para sa ilang mga halaga ng mga variable ay maaaring hindi magkaroon ng kahulugan. Halimbawa, ang expression - ay hindi makatwiran para sa a = 0. Para sa lahat ng iba pang mga halaga ng a, ang expression na ito ay may katuturan. Ang expression ay may katuturan para sa mga halaga ng x at y kapag x ≠ y.
Ang mga variable na halaga kung saan ang expression ay may katuturan ay tinatawag na mga wastong variable na halaga.
Ang isang expression ng form ay tinatawag, tulad ng alam mo, isang fraction.
Ang isang fraction na ang numerator at denominator ay polynomials ay tinatawag na rational fraction.
Ang mga fraction ay mga halimbawa ng mga rational fraction.
Sa mga rational fraction, ang mga halaga ng mga variable ay tinatanggap kung saan ang denominator ng fraction ay hindi nawawala.
Halimbawa 1 Hanapin natin ang mga wastong halaga ng variable sa fraction
Desisyon Upang malaman kung anong mga halaga ng isang denominator ng fraction ang nawawala, kailangan mong lutasin ang equation na a (a - 9) \u003d 0. Ang equation na ito ay may dalawang ugat: 0 at 9. Samakatuwid, ang lahat ng mga numero maliban sa 0 at 9 ay mga wastong halaga para sa variable a.
Halimbawa 2 Sa anong halaga ng x ang halaga ng fraction 
katumbas ng zero?
Desisyon Ang isang fraction ay zero kung at kung ang a ay 0 at b ≠ 0.
Kaya, kung ang isang numerical expression ay binubuo ng mga numero at mga palatandaan +, −, · at:, pagkatapos ay sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, kailangan mo munang magsagawa ng multiplikasyon at paghahati, at pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas, na magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang ninanais. halaga ng pagpapahayag.
Tingnan natin ang ilang halimbawa para sa paglilinaw.
Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng expression na 14−2·15:6−3 .
Desisyon.
Upang mahanap ang halaga ng isang expression, kailangan mong isagawa ang lahat ng mga pagkilos na tinukoy dito alinsunod sa tinatanggap na pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga pagkilos na ito. Una, sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, nagsasagawa kami ng multiplikasyon at paghahati, nakukuha namin 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Ngayon, sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, ginagawa namin ang natitirang mga aksyon: 14−5−3=9−3=6 . Kaya natagpuan namin ang halaga ng orihinal na expression, ito ay katumbas ng 6 .
Sagot:
14−2 15:6−3=6 .
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng expression.
Desisyon.
Sa halimbawang ito, kailangan muna nating gawin ang multiplication 2 (−7) at division na may multiplication sa expression. Pag-alala kung paano , makikita natin ang 2 (−7)=−14 . At upang magsagawa ng mga aksyon sa expression, una 
, pagkatapos 
, at isagawa ang: 
.
Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa orihinal na expression: .
Ngunit paano kapag mayroong isang numeric na expression sa ilalim ng root sign? Upang makuha ang halaga ng naturang ugat, kailangan mo munang hanapin ang halaga ng root expression, kasunod ng tinatanggap na pagkakasunud-sunod ng mga operasyon. Halimbawa, .
Sa mga numerical na expression, ang mga ugat ay dapat na pinaghihinalaang bilang ilang mga numero, at ipinapayong agad na palitan ang mga ugat ng kanilang mga halaga, at pagkatapos ay hanapin ang halaga ng nagresultang expression na walang mga ugat, na gumaganap ng mga aksyon sa tinatanggap na pagkakasunud-sunod.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng expression na may mga ugat.
Desisyon.
Una, hanapin ang halaga ng ugat 
. Upang gawin ito, una, kinakalkula namin ang halaga ng radikal na expression, mayroon kami −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. At pangalawa, nakita natin ang halaga ng ugat.
Ngayon kalkulahin natin ang halaga ng pangalawang ugat mula sa orihinal na expression: .
Sa wakas, mahahanap natin ang halaga ng orihinal na expression sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat sa kanilang mga halaga: .
Sagot:
Kadalasan, upang gawing posible na mahanap ang halaga ng isang expression na may mga ugat, kailangan mo munang i-convert ito. Magpakita tayo ng isang halimbawang solusyon.
Halimbawa.
Ano ang kahulugan ng pagpapahayag 
.
Desisyon.
Hindi namin mapapalitan ang ugat ng tatlo ng eksaktong halaga nito, na hindi nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang halaga ng expression na ito sa paraang inilarawan sa itaas. Gayunpaman, maaari nating kalkulahin ang halaga ng expression na ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga simpleng pagbabago. Naaangkop pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: . Kung isasaalang-alang, nakukuha natin 
. Kaya ang halaga ng orihinal na expression ay 1 .
Sagot:
.
Na may mga degree
Kung ang base at exponent ay mga numero, kung gayon ang kanilang halaga ay kinakalkula sa pamamagitan ng kahulugan ng antas, halimbawa, 3 2 =3 3=9 o 8 −1 =1/8 . Mayroon ding mga entry kapag ang base at / o exponent ay ilang expression. Sa mga kasong ito, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression sa base, ang halaga ng expression sa exponent, at pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng degree mismo.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression na may mga kapangyarihan ng form 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4.
Desisyon.
Ang orihinal na expression ay may dalawang kapangyarihan 2 3 4−10 at (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Ang kanilang mga halaga ay dapat kalkulahin bago isagawa ang natitirang mga hakbang.
Magsimula tayo sa kapangyarihan 2 3·4−10 . Ang indicator nito ay naglalaman ng numeric na expression, kalkulahin natin ang halaga nito: 3·4−10=12−10=2 . Ngayon ay mahahanap mo na ang halaga ng degree mismo: 2 3 4−10 =2 2 =4 .
Mayroong mga expression sa base at exponent (1−1/2) 3.5−2 1/4, kinakalkula namin ang kanilang mga halaga upang mahanap ang halaga ng degree sa ibang pagkakataon. Meron kami (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Ngayon ay bumalik kami sa orihinal na expression, palitan ang mga degree sa loob nito ng kanilang mga halaga, at hanapin ang halaga ng expression na kailangan namin: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .
Sagot:
2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 =6.
Ito ay nagkakahalaga ng noting na may mga mas karaniwang mga kaso kapag ito ay ipinapayong magsagawa ng isang paunang pagpapasimple ng pagpapahayag na may mga kapangyarihan sa base.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression 
.
Desisyon.
Sa paghusga sa mga exponent sa expression na ito, ang eksaktong mga halaga ng mga degree ay hindi maaaring makuha. Subukan nating gawing simple ang orihinal na expression, marahil ito ay makakatulong upang mahanap ang halaga nito. Meron kami 
Sagot:
.
Ang mga kapangyarihan sa mga expression ay madalas na sumasabay sa logarithms, ngunit pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng mga halaga ng mga expression na may logarithms sa isa sa.
Paghahanap ng halaga ng isang expression na may mga fraction
Ang mga numeric na expression sa kanilang talaan ay maaaring maglaman ng mga fraction. Kapag nais mong mahanap ang halaga ng naturang expression, ang mga fraction maliban sa mga ordinaryong fraction ay dapat mapalitan ng kanilang mga halaga bago magsagawa ng iba pang mga hakbang.
Ang numerator at denominator ng mga fraction (na iba sa mga ordinaryong fraction) ay maaaring maglaman ng ilang mga numero at expression. Upang kalkulahin ang halaga ng naturang fraction, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng expression sa numerator, kalkulahin ang halaga ng expression sa denominator, at pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng fraction mismo. Ang pagkakasunud-sunod na ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang fraction na a/b, kung saan ang a at b ay ilang mga expression, sa katunayan ay isang quotient ng form (a):(b) , dahil .
Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression na may mga fraction 
.
Desisyon.
Sa orihinal na numerical expression, tatlong fraction 
at . Upang mahanap ang halaga ng orihinal na expression, kailangan muna natin ang mga fraction na ito at palitan ang mga ito ng kanilang mga halaga. Gawin natin.
Ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga numero. Upang mahanap ang halaga ng naturang fraction, pinapalitan namin ang fractional bar ng isang division sign, at ginagawa ang pagkilos na ito: 
.
Ang numerator ng fraction ay naglalaman ng expression na 7−2 3 , ang halaga nito ay madaling mahanap: 7−2 3=7−6=1 . Kaya, . Maaari kang magpatuloy sa paghahanap ng halaga ng ikatlong bahagi.
Ang ikatlong bahagi sa numerator at denominator ay naglalaman ng mga numeric na expression, samakatuwid, kailangan mo munang kalkulahin ang kanilang mga halaga, at ito ay magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang halaga ng fraction mismo. Meron kami 
.
Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga sa orihinal na expression, at gawin ang mga natitirang hakbang: .
Sagot:
.
Kadalasan, kapag hinahanap ang mga halaga ng mga expression na may mga fraction, kailangan mong gumanap pagpapasimple ng fractional expression, batay sa pagganap ng mga aksyon na may mga fraction at sa pagbabawas ng mga fraction.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression 
.
Desisyon.
Ang ugat ng lima ay hindi ganap na nakuha, kaya upang mahanap ang halaga ng orihinal na expression, pasimplehin muna natin ito. Para dito alisin ang irrationality sa denominator unang bahagi: 
. Pagkatapos nito, ang orihinal na expression ay kukuha ng anyo 
. Pagkatapos ng pagbabawas ng mga fraction, ang mga ugat ay mawawala, na magbibigay-daan sa amin upang mahanap ang halaga ng unang ibinigay na expression:.
Sagot:
.
Sa logarithms
Kung ang numeric na expression ay naglalaman ng , at kung posible na alisin ang mga ito, pagkatapos ito ay ginagawa bago magsagawa ng iba pang mga aksyon. Halimbawa, kapag hinahanap ang halaga ng expression log 2 4+2 3 , ang logarithm ng log 2 4 ay pinapalitan ng halaga nito 2 , pagkatapos nito ang iba pang mga operasyon ay ginaganap sa karaniwang pagkakasunud-sunod, iyon ay, log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .
Kapag mayroong mga numerical expression sa ilalim ng sign ng logarithm at / o sa base nito, kung gayon ang kanilang mga halaga ay unang matatagpuan, pagkatapos kung saan ang halaga ng logarithm ay kinakalkula. Halimbawa, isaalang-alang ang isang expression na may logarithm ng form 
. Sa base ng logarithm at sa ilalim ng sign nito ay mga numerical na expression, makikita natin ang kanilang mga halaga: . Ngayon nahanap namin ang logarithm, pagkatapos ay kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon: .
Kung ang logarithms ay hindi eksaktong kinakalkula, kung gayon ang paunang pagpapasimple nito gamit ang . Sa kasong ito, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na utos ng materyal ng artikulo. pagbabago ng logarithmic expression.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression na may logarithms 
.
Desisyon.
Magsimula tayo sa pagkalkula ng log 2 (log 2 256) . Dahil 256=2 8 , pagkatapos ay mag-log 2 256=8 , samakatuwid log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Maaaring pagsama-samahin ang logarithms log 6 2 at log 6 3. Ang kabuuan ng logarithms log 6 2+log 6 3 ay katumbas ng logarithm ng product log 6 (2 3) , kaya log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Ngayon ay haharapin natin ang mga fraction. Upang magsimula, muli naming isusulat ang base ng logarithm sa denominator bilang isang ordinaryong fraction bilang 1/5, pagkatapos nito ay gagamitin namin ang mga katangian ng logarithms, na magbibigay-daan sa amin upang makuha ang halaga ng fraction: 
.
Ito ay nananatiling lamang upang palitan ang mga resulta na nakuha sa orihinal na expression at tapusin ang paghahanap ng halaga nito: 
Sagot:
Paano mahahanap ang halaga ng isang trigonometric expression?
Kapag ang isang numeric na expression ay naglalaman ng o atbp., ang kanilang mga halaga ay kinakalkula bago magsagawa ng iba pang mga aksyon. Kung mayroong mga numerical na expression sa ilalim ng tanda ng trigonometriko function, pagkatapos ay ang kanilang mga halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos kung saan ang mga halaga ng trigonometriko function ay natagpuan.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression 
.
Desisyon.
Bumaling sa artikulo, nakukuha namin 
at cosπ=−1 . Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa orihinal na expression, ito ay tumatagal ng anyo 
. Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mo munang magsagawa ng exponentiation, at pagkatapos ay tapusin ang mga kalkulasyon: .
Sagot:
.
Dapat pansinin na ang pagkalkula ng mga halaga ng mga expression na may mga sine, cosine, atbp. madalas ay nangangailangan ng nauna pagbabagong-anyo ng trigonometriko expression.
Halimbawa.
Ano ang halaga ng trigonometric expression 
.
Desisyon.
Ibahin natin ang orihinal na expression gamit ang , sa kasong ito kailangan natin ang double angle cosine formula at ang sum cosine formula: 
Ang mga pagbabagong ginawa ay nakatulong sa amin na mahanap ang halaga ng expression.
Sagot:
.
Pangkalahatang kaso
Sa pangkalahatang kaso, ang isang numeric na expression ay maaaring maglaman ng mga ugat, degree, fraction, at anumang function, at bracket. Ang paghahanap ng mga halaga ng naturang mga expression ay binubuo sa pagsasagawa ng mga sumusunod na aksyon:
- unang ugat, degree, fraction, atbp. ay pinalitan ng kanilang mga halaga,
- karagdagang mga aksyon sa panaklong,
- at sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, ang natitirang mga operasyon ay isinasagawa - pagpaparami at paghahati, na sinusundan ng pagdaragdag at pagbabawas.
Ang mga aksyon sa itaas ay isinasagawa hanggang sa makuha ang pangwakas na resulta.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng isang expression 
.
Desisyon.
Ang anyo ng expression na ito ay medyo kumplikado. Sa expression na ito, nakikita natin ang isang fraction, roots, degrees, sine at logarithm. Paano mahahanap ang kahulugan nito?
Sa paglipat sa kahabaan ng talaan mula kaliwa pakanan, nakatagpo kami ng isang bahagi ng form 
. Alam namin na kapag nagtatrabaho sa mga fraction ng isang kumplikadong uri, kailangan naming hiwalay na kalkulahin ang halaga ng numerator, hiwalay - ang denominator, at, sa wakas, hanapin ang halaga ng fraction.
Sa numerator mayroon tayong ugat ng anyo 
. Upang matukoy ang halaga nito, kailangan mo munang kalkulahin ang halaga ng radical expression 
. May sine dito. Mahahanap lamang natin ang halaga nito pagkatapos kalkulahin ang halaga ng expression 
. Ito ang magagawa natin: . Pagkatapos mula saan at 
.
Sa denominator, ang lahat ay simple: .
kaya, 
.
Pagkatapos palitan ang resultang ito sa orihinal na expression, kukuha ito ng form . Ang resultang expression ay naglalaman ng degree. Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mo munang hanapin ang halaga ng tagapagpahiwatig, mayroon kami 
.
Kaya, .
Sagot:
.
Kung hindi posible na kalkulahin ang eksaktong mga halaga ng mga ugat, degree, atbp., pagkatapos ay maaari mong subukang alisin ang mga ito gamit ang anumang mga pagbabagong-anyo, at pagkatapos ay bumalik sa pagkalkula ng halaga ayon sa tinukoy na pamamaraan.
Mga Makatwirang Paraan para Kalkulahin ang Mga Halaga ng Mga Ekspresyon
Ang pagkalkula ng mga halaga ng mga numerical na expression ay nangangailangan ng pare-pareho at katumpakan. Oo, kinakailangang sumunod sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na naitala sa mga nakaraang talata, ngunit hindi ito dapat gawin nang walang taros at mekanikal. Ang ibig sabihin nito ay madalas na posible na i-rationalize ang proseso ng paghahanap ng halaga ng isang expression. Halimbawa, ang ilang mga katangian ng mga aksyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pabilisin at pasimplehin ang paghahanap ng halaga ng isang expression.
Halimbawa, alam natin ang katangiang ito ng multiplikasyon: kung ang isa sa mga salik sa produkto ay zero, kung gayon ang halaga ng produkto ay zero. Gamit ang pag-aari na ito, maaari naming agad na sabihin na ang halaga ng expression 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4+456:3 43) ay sero. Kung susundin natin ang karaniwang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, kailangan muna nating kalkulahin ang mga halaga ng masalimuot na mga expression sa mga bracket, at ito ay aabutin ng maraming oras, at ang resulta ay magiging zero pa rin.
Maginhawa din na gamitin ang pag-aari ng pagbabawas ng pantay na mga numero: kung ibawas mo ang isang pantay na numero mula sa isang numero, ang resulta ay magiging zero. Ang property na ito ay maaaring isaalang-alang nang mas malawak: ang pagkakaiba ng dalawang magkaparehong numerical na expression ay katumbas ng zero. Halimbawa, nang hindi kinakalkula ang halaga ng mga expression sa mga bracket, mahahanap mo ang halaga ng expression (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ito ay katumbas ng zero, dahil ang orihinal na expression ay ang pagkakaiba ng magkatulad na mga expression.
Ang magkatulad na mga pagbabago ay maaaring mag-ambag sa makatwirang pagkalkula ng mga halaga ng mga expression. Halimbawa, maaaring maging kapaki-pakinabang ang isang pagpapangkat ng mga termino at salik, ngunit madalas ay ang pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket. Kaya't ang halaga ng expression na 53 5+53 7−53 11+5 ay napakadaling mahanap pagkatapos alisin ang factor 53 sa mga bracket: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Ang direktang pagkalkula ay tatagal ng mas maraming oras.
Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang makatwirang diskarte sa pagkalkula ng mga halaga ng mga expression na may mga fraction - ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ng fraction ay nabawasan. Halimbawa, ang pagbabawas ng parehong mga expression sa numerator at denominator ng isang fraction 
nagbibigay-daan sa iyo upang agad na mahanap ang halaga nito, na 1/2 .
Paghahanap ng halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable
Ang halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable ay matatagpuan para sa mga tiyak na ibinigay na mga halaga ng mga titik at mga variable. Iyon ay, pinag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng halaga ng isang literal na expression para sa mga ibinigay na halaga ng titik o paghahanap ng halaga ng isang expression na may mga variable para sa mga napiling variable na halaga.
tuntunin ang paghahanap ng halaga ng isang literal na expression o isang expression na may mga variable para sa mga ibinigay na halaga ng mga titik o napiling mga halaga ng mga variable ay ang mga sumusunod: sa orihinal na expression, kailangan mong palitan ang ibinigay na mga halaga ng mga titik o variable, at kalkulahin ang halaga ng resultang numeric expression, ito ang nais na halaga.
Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng expression na 0.5 x−y para sa x=2.4 at y=5 .
Desisyon.
Upang mahanap ang kinakailangang halaga ng expression, kailangan mo munang palitan ang mga variable na halaga na ito sa orihinal na expression, at pagkatapos ay gawin ang mga sumusunod na aksyon: 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8 .
Sagot:
−3,8 .
Sa konklusyon, tandaan namin na kung minsan ang pagbabago ng mga literal na expression at expression na may mga variable ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang kanilang mga halaga, anuman ang mga halaga ng mga titik at variable. Halimbawa, ang expression na x+3−x ay maaaring gawing simple upang maging 3 . Mula dito maaari nating tapusin na ang halaga ng expression na x + 3 - x ay katumbas ng 3 para sa anumang mga halaga ng variable x mula sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODZ) . Isa pang halimbawa: ang halaga ng expression ay katumbas ng 1 para sa lahat ng positibong halaga x , kaya ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa variable na x sa orihinal na expression ay ang hanay ng mga positibong numero, at ang pagkakapantay-pantay ay nagaganap sa lugar na ito. .
Bibliograpiya.
- Mathematics: pag-aaral. para sa 5 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
- Mathematics. Baitang 6: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
