Ang isa sa mga lugar ng pinaka-epektibong aplikasyon ng mga pamamaraan ng 2-spinor ay naging pag-aaral ng mga asymptotic na problema sa teorya ng relativity. Ang isang mahalagang halimbawa ng naturang mga problema ay ang pagpapasiya ng kabuuang enerhiya-momentum na nakapaloob sa isang asymptotically flat space-time at gravitational radiation. Sa kasong ito, ang mga pamamaraan ng spinor ay lalong epektibo sa kumbinasyon ng pamamaraan kung saan ang "infinity ay ginawang may hangganan" sa pamamagitan ng conformal transformation ng sukatan. Sa pamamaraang ito, binabago namin ang sukatan ng espasyo-oras sa pamamagitan ng pagpapalit sa orihinal na sukatan ng pisikal ng isang bagong sukatan na "hindi pisikal" na alinsunod na nauugnay sa

kung saan ang isang sapat na makinis at kahit saan positibong function na tinukoy sa panukat na tensor at ang kabaligtaran na tensor nito ay binago ng mga formula

Kung ito ay may naaangkop na asymptotic na istraktura at isang angkop na conformal factor ang pipiliin, kung gayon ang ilang hangganan sa ibabaw 3 ay maaaring "nakalakip" sa [ang notasyong ito ay nagbabasa ng "gilid" - isang pagdadaglat ng "script I"]. Ang ibabaw na ito ay ipinakilala sa paraang ang "di-pisikal" na sukatan ay maaaring mapalawak sa mga bagong puntong nasa hangganan nang walang pagkabulok at may isang tiyak na antas ng kinis. Ang function na J ay maaari ding palawigin nang may naaangkop na antas ng kinis, ngunit ito ay naglalaho sa ibabaw. Nangangahulugan ito na ang pisikal na sukatan ay dapat na nasa hangganan ng Y ng walang katapusan, at samakatuwid ay hindi maaaring palawigin dito. Kaya sa mga tuntunin ng pisikal na sukatan, ang mga bagong punto (ibig sabihin, ang mga punto sa ibabaw ay walang katapusan na malayo sa

mga puntong katabi nila. Sa pisika, ito ay tumutugma sa "mga punto sa kawalang-hanggan".

Ang paglalagay ng ibabaw sa ganitong uri ng espasyo-oras ay nagbibigay sa atin ng isang makinis na sari-sari na may hangganan, na ating tutukuyin sa pamamagitan ng simbolo at

Ang simbolo ng hangganan, ay ang simbolo ng panloob na rehiyon ng sari-sari). Ang bentahe ng iminungkahing diskarte ay posible na ngayong mag-aplay sa mga makapangyarihang lokal na pamamaraan ng differential geometry at spinor algebra, na magbibigay ng impormasyon tungkol sa space-time asymptotics. sa asymptotically flat space-time, hindi na kailangan ng mga kumplikadong passage hanggang sa limitasyon. At ang mismong kahulugan ng asymptotic Euclidean sa pangkalahatang teorya ng relativity ay maaari na ngayong ibigay sa isang maginhawang "coordinate-free" na anyo. Ang mga conformal na pamamaraan ay napakaangkop para sa teorya ng relativity para sa simpleng dahilan na karamihan sa mga ito ay conformally invariant: mga equation para sa isang massless free field, ang conformal Weyl tensor, isotropic geodesics, isotropic hypersurfaces, relativistic causality, at (lalo na sa kaso ng Minkowski space) twistor theory. Ang iminungkahing pamamaraan ay katulad ng ginamit sa kumplikadong pagsusuri, kung saan ang isang "punto sa kawalang-hanggan" ay idinagdag sa eroplano ng Argand upang makakuha ng isang Riemannian sphere (Kabanata 1, § 2), gayundin sa paraang ginamit sa projective geometry.

Paglalarawan sa tahasang coordinate form

Una, isaalang-alang ang pamamaraan para sa pagbuo ng conformal infinity para sa Minkowski space M. Sa kasong ito, ang pisikal na sukatan sa spherical coordinates ay may anyo

Para sa kaginhawahan, ipinakilala namin ang dalawang parameter ng oras: retarded at advanced. Nakukuha namin

Ang kalayaan sa pagpili ng conformal factor ay medyo malaki. Gayunpaman, sa kaso ng space-time na interes sa amin dito (ibig sabihin, asymptotically simple) mula sa mga pangkalahatang pagsasaalang-alang [tingnan. text pagkatapos ng formula (9.7.22)], dapat piliin ang function upang ito ay maging zero sa anumang ray (parehong nakaraan at sa hinaharap) bilang kapalit ng affine parameter ng ray A, (ibig sabihin, para kapag kasama ang sinag) . Anumang hypersurface ay isang light cone ng hinaharap, na binuo mula sa mga sinag (isotropic straight lines), kung saan ang mga halaga 0 at nananatiling pare-pareho. Ang coordinate ay gumaganap ng papel ng affine parameter ng hinaharap ng bawat isa sa mga radial ray na ito. Katulad nito, ang coordinate ay nagsisilbing affine parameter ng nakaraan ng mga sinag na ito. Samakatuwid, kailangan nating hilingin na ang mga kundisyon para sa at sa sinag ay masiyahan para sa at sa sinag Kung nais din nating maging maayos ang paggana sa mga may hangganang piraso ng espasyo-oras, kung gayon ang pagpili ay nagmumungkahi ng sarili nito

(ang kadahilanan 2 ay ipinakilala para sa kaginhawahan sa kung ano ang sumusunod), at pagkatapos

Maraming iba pang mga anyo ng function ang posible, ngunit ang isang ito, tulad ng makikita natin sa lalong madaling panahon, ay lalong maginhawa.

Upang ang aming "mga punto sa kawalang-hanggan" ay tumutugma sa mga panghuling halaga ng mga coordinate, ang pareho at o ay dapat mapalitan ng mga parameter tulad na

Ang mga limitasyon ng pagkakaiba-iba ng mga variable at ipinapakita sa Fig. 9.1, kung saan ang bawat punto ay kumakatawan sa isang 2-sphere ng radius Ang patayong linya ay tumutugma sa spatial na pinagmulan at kumakatawan lamang sa isang coordinate singularity. Ang parehong space-time sa linyang ito (at saanman), siyempre, ay hindi isahan. Ang mga pahilig na linya ay kumakatawan sa (isotropic) infinity (na tinutukoy ng mga simbolo ayon sa pagkakabanggit) ng Minkowski space (dahil ang mga linyang ito ay tumutugma sa mga halaga Ngunit ang sukatan (9.1.5) ay malinaw na regular sa mga linyang ito. Asahan natin na ang space-time

kanin. 9.1. Ang rehiyon ng espasyo na tumutugma sa espasyo M. Ang tuwid na linya ay nangangahulugang, at ang axis ng spherical symmetry.

at ang sukatan nito ay magiging di-isahan kahit sa labas ng mga rehiyong ito. Ang vertical line ay isa ring coordinate singularity na eksaktong kapareho ng uri ng straight line. Ang buong vertical strip ay maaaring gamitin upang tukuyin ang space-time na ang global na istraktura ay tumutugma sa produkto ng isang spacelike 3-sphere at isang walang katapusang timelike line (" static na uniberso ni Einstein"). Para i-verify ito, pipili kami ng mga bagong coordinate

Ang bahagi ng sukatang ito na nakapaloob sa mga kulot na bracket ay ang sukatan ng unit 3-sphere.

Ang bahagi ng space-time conformal sa orihinal na Minkowski space ay maaaring ituring bilang ang puwang na nakapaloob sa pagitan ng mga light cone ng mga punto Ang punto ay may mga coordinate at ang punto ay may mga coordinate Ang bahaging ito ay "nababalot" sa paligid

kanin. 9.2. Ang lugar sa Einstein cylinder na tumutugma sa space M.

at nagsasara sa "likod" na bahagi sa isang puntong may mga coordinate. Tandaan na sa puntong a, nangangahulugan ito na ang punto ay dapat isaalang-alang bilang isang punto, at hindi isang 2-sphere. Ang sitwasyong isinasaalang-alang ay ipinapakita sa Fig. 9.2, kung saan ang dalawang dimensyon ay bumaba. Ang dalawang-Minkowski na espasyo ay naaayon sa loob ng parisukat (inilalarawang nakatagilid sa 45°). Ang parisukat na ito ay bumabalot sa isang silindro, na isang two-dimensional na bersyon ng static na uniberso ni Einstein. Ang accounting para sa mga nawawalang sukat ay hindi nagbabago nang malaki. Malapit sa punto, ang rehiyon ng interes ay nasa loob ng light cone ng hinaharap na nauugnay sa punto. Ang light cone na ito (ibig sabihin, ang point set ay "tinatangay" ng mga sinag mula sa punto patungo sa hinaharap) ay nakatutok sa likurang bahagi ng Einstein universe sa isang punto (na sa kalawakan na may kaugnayan sa diametrical na kabaligtaran sa puntong Malapit sa punto ng interes; sa amin ang lugar (Minkowski space) ay umaabot sa mga direksyon na parang kalawakan mula sa Future light cone para muling tumutok ang punto sa isang punto spatial na posisyon

Una sa lahat, tandaan namin na ang projective plane, hindi katulad ng Euclidean plane, ay walang walang katapusang extension. Alamin natin kung ano ang pagkakaiba sa pagitan nila, at sa kabilang banda, paano sila nauugnay? Upang gawin ito, linawin natin kung aling mga posisyon ng Euclidean plane ang ginagamit sa projective geometry. Ang projective geometry ay batay sa sarili nitong sistema ng mga axiom. At kahit na ang mga lohikal na konstruksyon sa isang axiomatic na pundasyon ay isang kahanga-hangang paglalarawan ng pamamaraang matematika, gayunpaman, ang pagiging diborsiyado mula sa Euclidean geometry, ang gayong pagtatanghal ng projective geometry ay masyadong abstract. Samakatuwid, para sa higit na konkreto at kalinawan, ipinapayong magpatuloy mula sa modelo ng Euclidean plane.

Alam na ang isang tuwid na linya sa eroplanong Euclidean ay nagpapatuloy sa magkabilang direksyon nang walang katiyakan at na sa pagitan ng mga punto ng tuwid na linya at lahat ng tunay na mga numero ay maaaring magtatag ng isa-sa-isang pagsusulatan, kung saan ang natural na pagkakasunud-sunod ng mga puntos sa ang tuwid na linya ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng mga numero sa kanilang magnitude.

Pupunan natin ngayon ang tuwid na linya "sa kaliwa at sa kanan" na may parehong kondisyon na punto, na tatawagin nating punto sa infinity.

Malinaw na lumitaw ang isang pagdududa - posible bang magsalita tungkol sa katotohanan ng mga hindi umiiral na mga punto? Gayunpaman, sa modernong mga teorya ito ay madalas na nangyayari. Kaya, halimbawa, kahit na walang walang katapusang malalaking numero sa mga tunay na numero, sa mathematical analysis ang simbolo ng katotohanan ay ginagamit hindi bilang isang numero, ngunit upang tukuyin ang walang limitasyong paglago. (Sa parehong kahulugan, ang simbolo ay ginagamit na may kaugnayan sa trigonometriko function.) Pagkatapos magdagdag ng isang walang katapusan na malayong punto sa isang ordinaryong tuwid na linya, ang "nakumpleto" na tuwid na linya ay magiging sarado. Idagdag natin ngayon sa: bawat ordinaryong linya sa kahabaan ng isang punto sa infinity, at sumasang-ayon tayo na kapag ang mga linya ay parallel, pagkatapos ay ang mga puntos na idinagdag sa kanila ay nag-tutugma, kapag ang mga linya ay hindi parallel, kung gayon ang kanilang mga punto sa infinity ay iba.

Dalawang linya na nagsasalubong sa Euclidean plane ay nagsalubong sa isang ordinaryong punto, at ang mga punto sa infinity ng mga linyang ito ay hindi nagtutugma. Samakatuwid, sa bagong geometry na ito ay walang mga parallel na linya, bawat dalawang linya ay dapat

bumalandra sa isang punto. Ang isang pamilya ng mga linya na parallel sa isa't isa sa ordinaryong geometry ay may isang karaniwang punto sa infinity, habang ang mga linya sa magkasalungat na direksyon ay may iba't ibang mga punto sa infinity. Sa pagsasaalang-alang na ito, mayroong walang katapusang maraming mga punto sa kawalang-hanggan.

Ang hanay ng mga puntong ito sa infinity, muli sa pamamagitan ng kahulugan, ay bumubuo ng isang tinatawag na linya sa infinity

Kaya nakakakuha tayo ng geometry kung saan ang isang linya sa infinity ay idinagdag sa Euclidean plane.

Sa esensya, ang geometry na ito ay hindi pa masyadong naiiba sa Euclidean geometry. Sa halip na ang pahayag tungkol sa parallelism ng dalawang linya, ang pahayag tungkol sa kanilang intersection sa isang walang katapusang malayong punto ay ipinakilala.

Ang mga pangunahing axiom na tinatanggap sa projective geometry ay nagsasaad na ang dalawang punto ay tumutukoy sa isang linya (kung ang parehong mga punto ay nasa kawalang-hanggan, kung gayon ang mga ito ay tumutukoy sa isang linya sa kawalang-hanggan at ang dalawang linya ay palaging nagsalubong sa isang punto. At bagaman ang mga probisyon ng dalawang axiom na ito ay napakahalaga. , pero hangga't naglalaan tayo

ilang mga punto sa isang linya sa infinity, halos hindi namin binabago ang kakanyahan ng Euclidean geometry at hindi nagpapakilala ng anumang bago sa geometry.

- (English assemblage point) isa sa mga pangunahing konsepto na ginamit ng esoteric thinker at mystic na si Carlos Castaneda sa kanyang mga libro. Isa sa mga pinaka-dramatikong katangian ng kalikasan ng tao ay ang kakila-kilabot na koneksyon sa pagitan ng ... Wikipedia

Ang graph ng isang function, ang limitasyon kung saan, kapag ang argument ay may posibilidad na infinity, ay katumbas ng L. Ang limitasyon ng isang function ay isa sa mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis. Ang function na f (x) ay may limitasyon A sa puntong x0 kung para sa lahat ng mga halaga ng x ay sapat na malapit sa x0, ... ... Wikipedia

Mga puntos dito. Tingnan din ang isahan na punto (differential equation). Ang tampok o singularidad sa matematika ay isang punto kung saan ang isang bagay sa matematika (karaniwang isang function) ay hindi tinukoy o may hindi regular na pag-uugali (halimbawa, isang punto kung saan ... ... Wikipedia

Ang mga espesyal na punto ay tumuturo dito. Tingnan din ang isahan na punto (differential equation). Ang isang tampok o singularity sa matematika ay isang punto kung saan ang isang bagay sa matematika (karaniwang isang function) ay hindi tinukoy o may hindi regular na pag-uugali (halimbawa, ... ... Wikipedia

- ∞ Ang terminong infinity ay tumutugma sa ilang magkakaibang konsepto, depende sa larangan ng aplikasyon, maging ito man ay matematika, pisika, pilosopiya, teolohiya o pang-araw-araw na buhay. Tinatanggihan ng Finitism ang konsepto ng Infinity. Infinity sa karamihan ... ... Wikipedia

Ang temperatura (mga 2.17 K) sa ibaba kung saan ang likidong helium (helium I) ay pumasa sa estado ng superfluidity (helium II). Upang maging mas tumpak, mayroong mas mababang lambda point (sa 2.172 K at 0.0497 atm) at isang upper lambda point (sa 1.76 K at 29.8 atm). ... ... Wikipedia

1) Ang isang quantum point of order ay tulad ng isang punto ng isang complex plane kung saan ang ang function na f(z) ay regular, at ang derivative nito na f(z) ay may zero ng order m, kung saan ang m ay isang natural na numero. Sa madaling salita, ang K.t. ay tinutukoy ng mga kundisyon: Walang katapusan na malayong K. t. ... ... Mathematical Encyclopedia

Ang analytic function ay isang punto kung saan nilalabag ang mga kundisyon ng analyticity. Kung ang isang analytic function na f(z) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong z0 kahit saan ... Pisikal na Encyclopedia

Sa teorya ng differential equation na may masalimuot na oras, ang isang punto ay tinatawag na Fuchsian singular point ng isang linear differential equation kung ang system matrix A(t) ay mayroong first-order pole dito. Ito ang pinakasimpleng posibleng tampok ... ... Wikipedia

Hindi tamang saddle point, dynamic na uri ng lokasyon ng trajectory. mga sistema. Sabi nila dynamic daw. ang system ft (o, sa madaling salita, f (, p), tingnan ang ) na ibinigay sa, ay may S. sa b., kung may mga puntos at numero na ang mga sequence ay nagtatagpo, at ... Mathematical Encyclopedia

Ang gawain ni Apollonius ay bumuo ng isang bilog na padaplis sa tatlong ibinigay na bilog gamit ang isang compass at straightedge. Ayon sa alamat, ang problema ay binuo ni Apollonius ng Perga noong mga 220 BC. e. sa aklat na "Touch", na nawala ... Wikipedia

Mga libro

• , David Deutsch. Sipi "... Ang pag-unlad ay hindi kinakailangang magkaroon ng wakas, ngunit ito ay palaging may panimulang punto - ang dahilan kung bakit ito nagsimula, ang kaganapang nag-ambag dito, o ang kinakailangang ...
• Simula ng infinity. Mga Paliwanag na Nagbabago sa Mundo, David Deutsch. Quote `... Ang pag-unlad ay hindi kinakailangang magkaroon ng katapusan, ngunit ito ay palaging may panimulang punto - isang dahilan kung bakit ito nagsimula, isang kaganapan na nag-ambag dito, o isang kinakailangang ...

Kung ang ilang sequence ay nagtatagpo sa isang may hangganang numero a , pagkatapos ay isusulat namin
.
Mas maaga, ipinakilala namin ang walang katapusang malalaking pagkakasunud-sunod bilang pagsasaalang-alang. Tinanggap namin na ang mga ito ay convergent at tinutukoy ang kanilang mga limitasyon sa pamamagitan ng mga simbolo at . Ang mga simbolong ito ay kumakatawan tumuturo sa infinity. Hindi sila kabilang sa hanay ng mga tunay na numero. Ngunit ang konsepto ng isang limitasyon ay nagpapahintulot sa isa na ipakilala ang mga naturang punto at nagbibigay ng isang tool para sa pag-aaral ng kanilang mga ari-arian sa tulong ng mga tunay na numero.

Kahulugan
punto ng kawalang-hanggan, o unsigned infinity, ay ang limitasyon kung saan patungo ang isang walang katapusang malaking sequence.
point sa infinity plus infinity, ay ang limitasyon kung saan patungo ang isang walang katapusang malaking sequence na may positibong termino.
punto sa infinity minus infinity, ay ang limitasyon kung saan patungo ang isang walang katapusang malaking sequence na may mga negatibong termino.

Para sa anumang tunay na bilang a, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
;
.

Gamit ang mga tunay na numero, ipinakilala namin ang konsepto kapitbahayan ng isang punto sa infinity.
Ang kapitbahayan ng isang punto ay ang set .
Sa wakas, ang kapitbahayan ng punto ay ang set .
Narito ang M ay isang arbitrary, arbitrarily large real number.

Kaya, pinalawak namin ang hanay ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng pagpapasok ng mga bagong elemento dito. Kaugnay nito, nagaganap ang sumusunod na kahulugan:

Pinalawak na linya ng numero o pinahabang hanay ng mga tunay na numero ay tinatawag na hanay ng mga tunay na numero, na kinukumpleto ng mga elemento at :
.

Una, isulat namin ang mga katangian na mayroon ang mga puntos at mayroon. Susunod, isinasaalang-alang namin ang tanong ng isang mahigpit na kahulugan ng matematika ng mga operasyon para sa mga puntong ito at ang patunay ng mga katangiang ito.

Mga katangian ng mga punto sa infinity

Kabuuan at Pagkakaiba.
; ;
; ;

Trabaho at pribado.
; ; ;
;
;
; ; .

Koneksyon sa mga totoong numero.
Hayaan ang isang arbitrary na tunay na numero. Pagkatapos
; ;
; ; ; .
Hayaan ang a > 0 . Pagkatapos
; ; .
Hayaan ang a < 0 . Pagkatapos
; .

Mga Hindi Natukoy na Operasyon.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Mga patunay para sa mga katangian ng mga punto sa infinity

Kahulugan ng mga operasyong matematikal

Nagbigay na kami ng mga kahulugan para sa mga punto sa infinity. Ngayon kailangan nating tukuyin ang mga operasyong matematika para sa kanila. Dahil tinukoy namin ang mga puntong ito sa mga tuntunin ng mga pagkakasunud-sunod, ang mga operasyon sa mga puntong ito ay dapat ding tukuyin sa mga tuntunin ng mga pagkakasunud-sunod.

Kaya, kabuuan ng dalawang puntos
c = a + b
kabilang sa pinalawig na hanay ng mga tunay na numero,
,
tatawagin natin ang limitasyon
,
kung saan at ang mga arbitrary na pagkakasunud-sunod ay may mga limitasyon
at .

Ang mga operasyon ng pagbabawas, pagpaparami, at paghahati ay tinukoy sa katulad na paraan. Tanging, sa kaso ng paghahati, ang mga elemento sa denominator ng fraction ay hindi dapat katumbas ng zero.
Pagkatapos ay ang pagkakaiba ng dalawang puntos:
ay ang limitasyon: .
Produktong tuldok:
ay ang limitasyon: .
Pribado:
ay ang limitasyon: .
Narito at ang mga arbitrary na pagkakasunud-sunod na ang mga limitasyon ay a at b , ayon sa pagkakabanggit. Sa dating kaso, .

Mga Katibayan ng Ari-arian

Upang patunayan ang mga katangian ng mga punto sa kawalang-hanggan, kailangan nating gamitin ang mga katangian ng walang katapusang malalaking sequence.

Isaalang-alang ang isang ari-arian:
.
Upang patunayan ito, dapat nating ipakita iyon
,

Sa madaling salita, kailangan nating patunayan na ang kabuuan ng dalawang sequence na nagtatagpo sa plus infinity ay nagtatagpo sa plus infinity.

1 ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
;
.
Pagkatapos para sa at mayroon kaming:
.
Hayaan mong . Pagkatapos
sa ,
saan .
Nangangahulugan ito na .

Ang iba pang mga katangian ay napatunayan sa katulad na paraan. Bilang halimbawa, nagpapakita kami ng isa pang patunay.

Patunayan natin na:
.
Para magawa ito, dapat nating ipakita iyon
,
kung saan at ay mga arbitrary na pagkakasunud-sunod, na may mga limitasyon at .

Ibig sabihin, kailangan nating patunayan na ang produkto ng dalawang walang katapusang malalaking sequence ay isang walang katapusang malaking sequence.

Patunayan natin. Dahil at , pagkatapos ay mayroong ilang mga function at , para sa anumang positibong numero M 1 ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
;
.
Pagkatapos para sa at mayroon kaming:
.
Hayaan mong . Pagkatapos
sa ,
saan .
Nangangahulugan ito na .

Mga Hindi Natukoy na Operasyon

Ang ilan sa mga mathematical operation na may mga puntos sa infinity ay hindi tinukoy. Upang ipakita ang kanilang kawalan ng katiyakan, kailangan nating magbigay ng ilang mga espesyal na kaso kapag ang resulta ng operasyon ay nakasalalay sa pagpili ng mga pagkakasunud-sunod na kasama sa kanila.

Isaalang-alang ang operasyong ito:
.
Madaling ipakita na kung at , kung gayon ang limitasyon ng kabuuan ng mga pagkakasunud-sunod ay nakasalalay sa pagpili ng mga pagkakasunud-sunod at .

Talaga, kunin natin. Ang mga limitasyon ng mga sequence na ito ay pantay. Limitasyon sa halaga

ay katumbas ng infinity.

Ngayon kunin natin. Ang mga limitasyon ng mga sequence na ito ay pantay din. Ngunit ang limitasyon ng kanilang kabuuan

katumbas ng zero.

Iyon ay, sa kondisyon na at , ang halaga ng limitasyon sa kabuuan ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga. Samakatuwid, ang operasyon ay hindi tinukoy.

Sa katulad na paraan, maaaring ipakita ang kawalan ng katiyakan ng mga natitirang operasyong ipinakita sa itaas.

Kahulugan
Kasunod (βn) ay tinatawag na infinite sequence, kung para sa anumang arbitraryong malaking bilang na M , mayroong isang natural na numerong N M , depende sa M , para sa lahat ng natural na numero n > N M , ang hindi pagkakapantay-pantay
|β n | >M.
Sa kasong ito, sumulat
.
O sa .
Sinasabi nila na ito ay may posibilidad na infinity, o nagtatagpo sa kawalang-hanggan.

Kung , simula sa ilang numero N 0 , pagkatapos
( nagtatagpo sa plus infinity).
Kung , kung gayon
( nagtatagpo sa minus infinity).

Isinulat namin ang mga kahulugang ito gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan:
(1) .
(2) .
(3) .

Ang mga sequence na may mga limitasyon (2) at (3) ay mga espesyal na kaso ng isang walang katapusang malaking sequence (1). Mula sa mga kahulugang ito, sumusunod na kung ang limitasyon ng isang sequence ay plus o minus infinity, kung gayon ito ay katumbas din ng infinity:
.
Ang kabaligtaran, siyempre, ay hindi totoo. Maaaring may mga alternating character ang mga miyembro ng sequence. Sa kasong ito, ang limitasyon ay maaaring katumbas ng infinity, ngunit walang tiyak na tanda.

Tandaan din na kung ang isang partikular na property ay may hawak para sa isang arbitrary na sequence na may limitasyon na katumbas ng infinity, ang parehong property ay magkakaroon para sa isang sequence na ang limitasyon ay plus o minus infinity.

Sa maraming mga aklat-aralin sa calculus, ang kahulugan ng isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod ay nagsasaad na ang bilang M ay positibo: M > 0 . Gayunpaman, ang pangangailangang ito ay kalabisan. Kung ito ay kinansela, pagkatapos ay walang mga kontradiksyon na lumitaw. Maliit lang o negatibong halaga ay walang interes sa amin. Interesado kami sa pag-uugali ng pagkakasunud-sunod para sa arbitraryong malalaking positibong halaga ng M . Samakatuwid, kung kinakailangan, ang M ay maaaring limitahan mula sa ibaba ng anumang ibinigay na numero a, iyon ay, ipagpalagay na M > a.

Kapag tinukoy namin ang ε - ang kapitbahayan ng end point, pagkatapos ay ang kinakailangan ε > 0 ay isang mahalaga. Para sa mga negatibong halaga, hindi maaaring tumagal ang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga kapitbahayan ng mga punto sa infinity

Nang isaalang-alang namin ang mga may hangganang limitasyon, ipinakilala namin ang konsepto ng isang kapitbahayan ng isang punto. Alalahanin na ang kapitbahayan ng isang end point ay isang bukas na pagitan na naglalaman ng puntong ito. Maaari rin nating ipakilala ang konsepto ng mga kapitbahayan ng mga punto sa infinity.

Hayaan ang M na isang arbitrary na numero.
Ang kapitbahayan ng puntong "infinity", , ay tinatawag na set .
Ang kapitbahayan ng puntong "plus infinity", , ay tinatawag na set .
Ang kapitbahayan ng puntong "minus infinity", , ay tinatawag na set .

Sa mahigpit na pagsasalita, ang kapitbahayan ng puntong "infinity" ay ang set
(4) ,
kung saan si M 1 at M 2 ay mga di-makatwirang positibong numero. Gagamitin natin ang unang kahulugan, , dahil ito ay mas simple. Bagaman, lahat ng sinabi sa ibaba ay totoo din kapag gumagamit ng kahulugan (4).

Maaari na tayong magbigay ng pinag-isang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence na nalalapat sa parehong may hangganan at walang katapusan na mga limitasyon.

Pangkalahatang Depinisyon ng Limit ng Pagkakasunud-sunod.
Ang isang punto a (finite o infinity) ay ang limitasyon ng isang sequence kung para sa alinmang kapitbahayan ng puntong ito ay mayroong isang natural na numero N upang ang lahat ng mga elemento ng sequence na may mga numero ay nabibilang sa neighborhood na ito.

Kaya, kung ang limitasyon ay umiiral, pagkatapos ay sa labas ng kapitbahayan ng punto a maaari lamang magkaroon ng isang may hangganang bilang ng mga miyembro ng sequence, o isang walang laman na hanay. Ang kundisyong ito ay kailangan at sapat. Ang patunay ng ari-arian na ito ay eksaktong kapareho ng para sa mga may hangganang limitasyon.

Pag-aari ng kapitbahayan ng isang convergent sequence
Upang ang point a (finite o infinity) ay maging limitasyon ng sequence , kinakailangan at sapat na sa labas ng alinmang kapitbahayan ng puntong ito ay may hangganang bilang ng mga miyembro ng sequence o isang walang laman na set.
Patunay .

Gayundin, ang mga konsepto ng ε - mga kapitbahayan ng walang katapusan na malalayong mga punto ay ipinakilala minsan.
Tandaan na ang ε - neighborhood ng end point a ay ang set .
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon. Let denotes ε - neighborhood ng isang point a . Pagkatapos para sa dulong punto,
.
Para sa mga puntos sa infinity:
;
;
.
Gamit ang mga konsepto ng ε - mga kapitbahayan, ang isa pang unibersal na kahulugan ng limitasyon ng isang sequence ay maaaring ibigay:

Ang punto a (finite o infinity) ay ang limitasyon ng isang sequence kung para sa anumang positibong numero ε > 0 mayroong natural na bilang N ε depende sa ε para sa lahat ng numero n > N ε ang mga terminong x n ay nabibilang sa ε kapitbahayan ng punto a :
.

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pag-iral at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.

Mga halimbawa ng walang katapusang malalaking sequence

Isasaalang-alang muna natin ang tatlong simpleng katulad na mga halimbawa, at pagkatapos ay lutasin ang isang mas kumplikado.

Halimbawa 1

.

.
Isinulat namin ang kahulugan ng isang walang katapusang malaking pagkakasunud-sunod:
(1) .
Sa kaso natin
.

Ipinakilala namin ang mga numero at , iniuugnay ang mga ito sa mga hindi pagkakapantay-pantay:
.
Ayon sa mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay , kung at , pagkatapos
.
Tandaan na kapag ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa anumang n . Kaya maaari kang pumili tulad nito:
sa ;
sa .

Kaya, para sa sinuman ay makakahanap ng natural na numero na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay . Pagkatapos para sa lahat
.
Ibig sabihin nito ay . Iyon ay, ang pagkakasunud-sunod ay walang katapusan na malaki.

Halimbawa 2

Gamit ang kahulugan ng isang walang katapusang malaking sequence, ipakita iyon
.

(2) .
Ang karaniwang termino ng ibinigay na pagkakasunud-sunod ay may anyo:
.

Ipasok ang mga numero at:
.
.

Pagkatapos, para sa sinuman ay makakahanap ng natural na numero na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay, upang para sa lahat,
.
Ibig sabihin nito ay .

.

Halimbawa 3

Gamit ang kahulugan ng isang walang katapusang malaking sequence, ipakita iyon
.

Isulat natin ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence na katumbas ng minus infinity:
(3) .
Ang karaniwang termino ng ibinigay na pagkakasunud-sunod ay may anyo:
.

Ipasok ang mga numero at:
.
Ipinapakita nito na kung at , pagkatapos
.

Dahil para sa sinuman ay makakahanap ng natural na numero na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay , kung gayon
.

Dahil , bilang N, maaari kang kumuha ng anumang natural na numero na nakakatugon sa sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.

Halimbawa 4

Gamit ang kahulugan ng isang walang katapusang malaking sequence, ipakita iyon
.

Isulat natin ang karaniwang termino ng sequence:
.
Isulat natin ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence na katumbas ng plus infinity:
(2) .

Dahil ang n ay isang natural na numero, n = 1, 2, 3, ... , pagkatapos
;
;
.

Ipinakilala namin ang mga numero at M , na iniuugnay ang mga ito sa pamamagitan ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
.
Ipinapakita nito na kung at , pagkatapos
.

Kaya, para sa anumang numerong M, makakahanap ka ng natural na numero na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay . Pagkatapos para sa lahat
.
Ibig sabihin nito ay .

Mga sanggunian:
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.