Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng pagkakaisa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: ang logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng zero, iyon ay, log a 1=0 para sa alinmang a>0 , a≠1 . Ang patunay ay diretso: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nakakatugon sa mga kundisyon sa itaas a>0 at a≠1 , pagkatapos ay ang napatunayang equality log a 1=0 ay agad na sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0 , lg1=0 at .
Lumipat tayo sa susunod na pag-aari: ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay katumbas ng isa, ibig sabihin, log a a=1 para sa a>0 , a≠1 . Sa katunayan, dahil a 1 =a para sa anumang a , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm log a a=1 .
Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay log 5 5=1 , log 5.6 5.6 at lne=1 .
Halimbawa, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 at 
.
Logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng produkto. Dahil sa mga katangian ng degree a log a x+log a y =a log a x a log a y, at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y , pagkatapos ay isang log a x a log a y =x y . Kaya, ang isang log a x+log a y =x y , kung saan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay ay sinusundan ng kahulugan ng logarithm.
Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at 
.
Ang product logarithm property ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng isang finite number n ng positive numbers x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay madaling napatunayan.
Halimbawa, ang natural na logarithm ng isang produkto ay maaaring palitan ng kabuuan ng tatlong natural na logarithm ng mga numero 4 , e , at .
Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang quotient logarithm property ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0 , a≠1 , x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay pinatunayan tulad ng formula para sa logarithm ng produkto: since 
, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .
Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: 
.
Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng degree. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isinulat namin ang pag-aari na ito ng logarithm ng degree sa anyo ng isang formula: log a b p =p log a |b|, kung saan ang a>0 , a≠1 , b at p ay mga numero na ang antas ng b p ay may katuturan at b p >0 .
Pinatunayan muna namin ang property na ito para sa positive b . Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang resultang expression, dahil sa kapangyarihan ng ari-arian, ay katumbas ng isang p log a b . Kaya dumating tayo sa pagkakapantay-pantay b p =a p log a b , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan natin na log a b p =p log a b .
Ito ay nananatiling patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibong b . Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponent p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p . Pagkatapos b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, saan mag-log a b p =p mag-log a |b| .
Halimbawa, 
at ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Ito ay sumusunod mula sa nakaraang pag-aari ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng ugat ng nth degree ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n at ang logarithm ng root expression, iyon ay, 
, kung saan ang a>0 , a≠1 , n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, b>0 .
Ang patunay ay batay sa pagkakapantay-pantay (tingnan ), na wasto para sa anumang positibong b , at ang pag-aari ng logarithm ng antas: 
.
Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: 
.
Ngayon patunayan natin conversion formula sa bagong base ng logarithm mabait 
. Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b log c a . Ang pangunahing logarithmic identity ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Ito ay nananatiling gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree: log c a log a b = log a b log c a. Kaya, ang equality log c b=log a b log c a ay napatunayan, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay napatunayan din.
Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paglalapat ng katangiang ito ng logarithms: at 
.
Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, maaari itong magamit upang pumunta sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng logarithm mula sa talahanayan ng logarithms. Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay nagpapahintulot din sa ilang mga kaso na mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm, kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.
Kadalasang ginagamit ay isang espesyal na kaso ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm para sa c=b ng form 
. Ipinapakita nito na ang log a b at log b a – . Halimbawa, 
.
Madalas ding ginagamit ang formula 
, na kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano kinakalkula ang halaga ng logarithm ng form gamit ito. Meron kami 
. Upang patunayan ang formula 
sapat na na gamitin ang formula ng paglipat sa bagong base ng logarithm a: 
.
Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.
Patunayan natin na para sa anumang positibong numero b 1 at b 2 , b 1 log a b 2 , at para sa a>1, ang inequality log a b 1 Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng logarithms. Nililimitahan natin ang ating sarili sa pagpapatunay sa unang bahagi nito, ibig sabihin, pinapatunayan natin na kung ang isang 1 >1 , isang 2 >1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b>log a 2 b . Ang natitirang mga pahayag ng pag-aari na ito ng logarithms ay pinatunayan ng isang katulad na prinsipyo. Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1 >1 , isang 2 >1 at isang 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ay totoo. Sa pamamagitan ng mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang 
at 
ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat masiyahan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya, nakarating kami sa isang kontradiksyon sa kundisyon a 1
Bibliograpiya.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).
Ang logarithm ng isang numero N sa pamamagitan ng dahilan a ay tinatawag na exponent X , kung saan kailangan mong itaas a para makuha ang numero N
Provided na 
,
,
Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na 
, ibig sabihin.
- ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang pangunahing logarithmic identity.
Ang mga logarithm hanggang base 10 ay tinatawag na decimal logarithms. sa halip na 
magsulat 
.
base logarithms e
ay tinatawag na natural at denoted 
.
Mga pangunahing katangian ng logarithms.
Ang logarithm ng pagkakaisa para sa anumang base ay zero
Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.
3) Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms
Salik 
ay tinatawag na modulus ng paglipat mula sa logarithms sa base a
sa logarithms sa base b
.
Gamit ang mga katangian 2-5, madalas na posible na bawasan ang logarithm ng isang kumplikadong expression sa resulta ng mga simpleng operasyon ng arithmetic sa logarithms.
Halimbawa, 
Ang ganitong mga pagbabago sa logarithm ay tinatawag na logarithms. Ang mga pagbabagong katumbas ng logarithms ay tinatawag na potentiation.
Kabanata 2. Mga Elemento ng mas mataas na matematika.
1. Mga limitasyon
limitasyon ng pag-andar 
ay isang may hangganang bilang A kung, kapag nagsusumikap xx
0
para sa bawat paunang natukoy 
, may numero 
na sa lalong madaling panahon 
, pagkatapos 
.
Ang isang function na may limitasyon ay naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang napakaliit na halaga: 
, kung saan - b.m.w., ibig sabihin. 
.
Halimbawa. Isaalang-alang ang function 
.
Kapag nagsusumikap 
, function y
napupunta sa zero: 
1.1. Mga pangunahing teorema tungkol sa mga limitasyon.
Ang limitasyon ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-parehong halaga na ito
.
Ang limitasyon ng kabuuan (difference) ng isang may hangganang bilang ng mga function ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga limitasyon ng mga function na ito.
Ang limitasyon ng isang produkto ng isang may hangganan na bilang ng mga function ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon ng mga function na ito.
Ang limitasyon ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon ng mga function na ito kung ang limitasyon ng denominator ay hindi katumbas ng zero.
Kapansin-pansin na mga Limitasyon
,
, saan 
1.2. Limitahan ang Mga Halimbawa ng Pagkalkula
Gayunpaman, hindi lahat ng mga limitasyon ay kinakalkula nang ganoon kadali. Mas madalas, ang pagkalkula ng limitasyon ay binabawasan sa pagsisiwalat ng uri ng kawalan ng katiyakan: 
o .
.
2. Derivative ng isang function
Magkaroon tayo ng function 
, tuloy-tuloy sa segment 
.
Pangangatwiran 
nakakuha ng kaunting tulong 
. Pagkatapos ang function ay dagdagan 
.
Halaga ng argumento 
tumutugma sa halaga ng function 
.
Halaga ng argumento 
tumutugma sa halaga ng function.
Kaya naman, .
Hanapin natin ang limitasyon ng kaugnayang ito sa 
. Kung umiiral ang limitasyong ito, ito ay tinatawag na derivative ng ibinigay na function.
Kahulugan ng 3derivative ng isang ibinigay na function 
sa pamamagitan ng argumento 
ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, kapag ang pagtaas ng argumento ay arbitraryong nagiging zero.
Function derivative 
ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod:
;
;
;
.
Depinisyon 4Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag pagkakaiba-iba.
2.1. Ang mekanikal na kahulugan ng derivative.
Isaalang-alang ang rectilinear motion ng ilang matibay na katawan o materyal na punto.
Hayaan sa isang punto ng oras 
gumagalaw na punto 
ay nasa malayo 
mula sa panimulang posisyon 
.
Pagkaraan ng ilang panahon 
lumipat siya ng distansya 
. Saloobin 
=
- average na bilis ng isang materyal na punto 
. Hanapin natin ang limitasyon ng ratio na ito, na isinasaalang-alang iyon 
.
Dahil dito, ang pagpapasiya ng madalian na bilis ng isang materyal na punto ay nabawasan sa paghahanap ng hinango ng landas na may paggalang sa oras.
2.2. Geometric na halaga ng derivative
Ipagpalagay na mayroon tayong graphically na tinukoy na ilang function 
.
kanin. 1. Ang geometric na kahulugan ng derivative
Kung ang 
, pagkatapos ay ang punto 
, ay lilipat sa kurba, papalapit sa punto 
.
Kaya naman 
, ibig sabihin. ang halaga ng hinalaw na ibinigay ang halaga ng argumento 
numerical na katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng tangent sa isang naibigay na punto na may positibong direksyon ng axis 
.
2.3. Talaan ng mga pangunahing formula ng pagkakaiba-iba.
Pag-andar ng kapangyarihan
|
|
|
|
|
|
|
Exponential function
|
|
|
|
|
logarithmic function
|
|
|
|
|
trigonometriko function
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Inverse trigonometriko function
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.
Hinango ng 
Derivative ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga function
Derivative ng produkto ng dalawang function
Ang derivative ng quotient ng dalawang function
2.5. Derivative ng isang kumplikadong function.
Hayaan ang function 
tulad na ito ay maaaring kinakatawan bilang
at 
, kung saan ang variable 
ay isang intermediate argument, kung gayon 
Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng ibinigay na function na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may paggalang sa x.
Halimbawa1. 
Halimbawa2. 
3. Function differential.
Hayaan na 
, naiba sa ilang pagitan 
bumitaw sa
ang function na ito ay may derivative
,
pagkatapos ay maaari kang magsulat
(1),
saan 
- isang infinitesimal na dami,
dahil sa 
Pagpaparami ng lahat ng tuntunin ng pagkakapantay-pantay (1) sa 
meron kami:
saan 
- b.m.v. mas mataas na pagkakasunud-sunod.
Halaga 
ay tinatawag na differential ng function 
at ipinapahiwatig 
.
3.1. Ang geometric na halaga ng kaugalian.
Hayaan ang function 
.
Fig.2. Ang geometric na kahulugan ng kaugalian.
.
Malinaw, ang pagkakaiba ng pag-andar 
ay katumbas ng pagtaas ng ordinate ng tangent sa ibinigay na punto.
3.2. Mga derivatives at differentials ng iba't ibang mga order.
Kung meron 
, pagkatapos 
ay tinatawag na unang derivative.
Ang derivative ng unang derivative ay tinatawag na second order derivative at nakasulat 
.
Derivative ng nth order ng function 
ay tinatawag na derivative ng (n-1) order at nakasulat:
.
Ang differential ng differential ng isang function ay tinatawag na second differential o ang second order differential.
.
.
3.3 Paglutas ng mga biyolohikal na problema gamit ang pagkita ng kaibahan.
Gawain 1. Ipinakita ng mga pag-aaral na ang paglaki ng isang kolonya ng mga mikroorganismo ay sumusunod sa batas 
, saan N
– bilang ng mga mikroorganismo (sa libu-libo), t
– oras (araw).
b) Tataas o bababa ba ang populasyon ng kolonya sa panahong ito?
Sagot. Ang kolonya ay lalago sa laki.
Gawain 2. Ang tubig sa lawa ay pana-panahong sinusuri upang makontrol ang nilalaman ng pathogenic bacteria. Sa pamamagitan ng t araw pagkatapos ng pagsubok, ang konsentrasyon ng bakterya ay tinutukoy ng ratio
.
Kailan darating ang pinakamababang konsentrasyon ng bakterya sa lawa at posibleng lumangoy dito?
Solusyon Ang isang function ay umabot sa max o min kapag ang derivative nito ay zero.
,
Tukuyin natin ang max o min sa loob ng 6 na araw. Upang gawin ito, kinukuha namin ang pangalawang derivative.
Sagot: Pagkatapos ng 6 na araw magkakaroon ng pinakamababang konsentrasyon ng bacteria.
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Ngayon ay pag-uusapan natin mga formula ng logarithm at magbigay ng demonstrasyon mga halimbawa ng solusyon.
Sa kanilang sarili, sila ay nagpapahiwatig ng mga pattern ng solusyon ayon sa mga pangunahing katangian ng logarithms. Bago ilapat ang mga formula ng logarithm sa solusyon, naaalala namin para sa iyo, una ang lahat ng mga katangian:
Ngayon, batay sa mga formula na ito (properties), ipinapakita namin mga halimbawa ng paglutas ng logarithms.
Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms batay sa mga formula.
Logarithm ang isang positibong numero b sa base a (tinutukoy na log a b) ay ang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makakuha ng b, na may b > 0, a > 0, at 1.
Ayon sa kahulugan log a b = x, na katumbas ng isang x = b, kaya log a a x = x.
Logarithms, mga halimbawa:
log 2 8 = 3, dahil 2 3 = 8
log 7 49 = 2 kasi 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, dahil 5 -1 = 1/5
Decimal logarithm ay isang ordinaryong logarithm, ang base nito ay 10. Denoted bilang lg.
log 10 100 = 2 kasi 10 2 = 100
natural na logarithm- din ang karaniwang logarithm logarithm, ngunit may base e (e \u003d 2.71828 ... - isang hindi makatwiran na numero). Tinutukoy bilang ln.
Ito ay kanais-nais na tandaan ang mga formula o katangian ng logarithms, dahil kakailanganin natin ang mga ito sa paglutas ng mga logarithms, logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Gawin nating muli ang bawat formula na may mga halimbawa.
- Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
isang log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithms
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Mga katangian ng antas ng isang logarithmable na numero at ang base ng logarithm
Ang exponent ng isang logarithm number log a b m = mlog a b
Exponent ng base ng logarithm log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
kung m = n, makakakuha tayo ng log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Paglipat sa isang bagong pundasyon
log a b = log c b / log c a,kung c = b, makakakuha tayo ng log b b = 1
pagkatapos ay mag-log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Tulad ng nakikita mo, ang mga formula ng logarithm ay hindi kasing kumplikado ng tila. Ngayon, sa pagsasaalang-alang ng mga halimbawa ng paglutas ng mga logarithms, maaari tayong magpatuloy sa mga logarithmic equation. Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga logarithmic equation nang mas detalyado sa artikulo: "". Huwag palampasin!
Kung mayroon ka pa ring mga katanungan tungkol sa solusyon, isulat ang mga ito sa mga komento sa artikulo.
Tandaan: nagpasya na kumuha ng edukasyon sa ibang klase ng pag-aaral sa ibang bansa bilang isang opsyon.
So, meron tayong powers of two. Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong magtaas ng dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.
At ngayon - sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm:
Ang logarithm sa base a ng argumentong x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x .
Notasyon: log a x \u003d b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, ang b ay talagang katumbas ng logarithm.
Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Maaari ring mag-log 2 64 = 6 dahil 2 6 = 64 .
Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang ibinigay na base ay tinatawag na logarithm. Kaya't magdagdag tayo ng bagong hilera sa ating talahanayan:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay itinuturing na madali. Halimbawa, subukang hanapin ang log 2 5 . Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Ang ganitong mga numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat nang walang katiyakan, at hindi na mauulit. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito ng ganito: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (base at argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:
Sa harap natin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: ang logarithm ay ang kapangyarihan, kung saan kailangan mong itaas ang base upang makuha ang argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - sa larawan ito ay naka-highlight sa pula. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko ang napakagandang tuntuning ito sa aking mga mag-aaral sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan.
Nalaman namin ang kahulugan - nananatili itong matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:
- Ang argument at base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng antas ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng logarithm ay nabawasan.
- Ang base ay dapat na naiiba sa pagkakaisa, dahil ang isang yunit sa anumang kapangyarihan ay isang yunit pa rin. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganoong degree!
Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag wastong saklaw(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Tandaan na walang mga paghihigpit sa bilang b (ang halaga ng logarithm) ay hindi ipinataw. Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 \u003d -1, dahil 0.5 = 2 −1 .
Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang ODZ ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay kinuha na sa account ng mga compiler ng mga problema. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang mga kinakailangan sa DHS ay magiging mandatory. Sa katunayan, sa batayan at argumento ay maaaring mayroong napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.
Ngayon isaalang-alang ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:
- Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamaliit na posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Kasama ang paraan, ito ay mas mahusay na upang mapupuksa ang decimal fractions;
- Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
- Ang resultang numero b ang magiging sagot.
Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napaka-kaugnay: binabawasan nito ang posibilidad ng error at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Katulad din sa mga decimal fraction: kung agad mong iko-convert ang mga ito sa ordinaryo, magkakaroon ng maraming beses na mas kaunting mga error.
Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito sa mga partikular na halimbawa:
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25
- Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Nakatanggap ng sagot: 2.
Gawin at lutasin natin ang equation:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Gawain. Kalkulahin ang logarithm:
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64
- Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Gawin at lutasin natin ang equation:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Nakatanggap ng sagot: 3.
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1
- Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Gawin at lutasin natin ang equation:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Nakatanggap ng tugon: 0.
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14
- Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; Ang 14 ay hindi kinakatawan bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
- Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na ang logarithm ay hindi isinasaalang-alang;
- Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.
Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano makasigurado na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple - i-decompose lang ito sa prime factors. Kung mayroong hindi bababa sa dalawang natatanging mga kadahilanan sa pagpapalawak, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.
Gawain. Alamin kung ang eksaktong kapangyarihan ng numero ay: 8; 48; 81; 35; labing apat.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ang eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ay hindi eksaktong kapangyarihan dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 5 - muli hindi isang eksaktong antas;
14 \u003d 7 2 - muli hindi isang eksaktong antas;
Tandaan din na ang mga prime number mismo ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang mga sarili.
Decimal logarithm
Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at pagtatalaga.
Ang decimal logarithm ng x argument ay ang base 10 logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x .
Halimbawa, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.
Mula ngayon, kapag may lumabas na pariralang tulad ng "Find lg 0.01" sa textbook, alamin na hindi ito isang typo. Ito ang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka sanay sa gayong pagtatalaga, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x
Lahat ng totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay totoo din para sa mga decimal.
natural na logarithm
May isa pang logarithm na may sariling notasyon. Sa isang kahulugan, ito ay mas mahalaga kaysa decimal. Ito ang natural na logarithm.
Ang natural na logarithm ng x ay ang base e logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x .
Marami ang magtatanong: ano pa ba ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero, ang eksaktong halaga nito ay hindi mahanap at maisulat. Narito lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459...
Hindi natin susuriin kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ang base ng natural logarithm:
ln x = log e x
Kaya ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang rational na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, pagkakaisa: ln 1 = 0.
Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.
