Ang figure ay isang arbitrary na hanay ng mga punto sa isang eroplano. Ang isang punto, isang linya, isang segment ng linya, isang sinag, isang tatsulok, isang bilog, isang parisukat, at iba pa ay lahat ng mga halimbawa ng mga geometric na hugis.

Ang pangunahing mga geometric na figure sa eroplano ay ang punto at ang linya. Ang mga figure na ito sa geometry ay hindi binibigyan ng mga kahulugan.

Ang hindi matukoy na mga geometric na numero sa eroplano ay isang punto at isang linya.

Nakaugalian na magtalaga ng mga punto sa malaking letrang Latin: A, B, C, D .... Ang mga tuwid na linya ay tinutukoy ng maliliit na letrang Latin: a, b, c, d ....

Mga figure na pinag-aralan ng planimetry:

3. Parallelogram (mga espesyal na kaso: parisukat, parihaba, rhombus)

4. Trapeze

5. Bilog

6. Tatsulok

7. Polygon

Sa geometry, topology at mga kaugnay na sangay ng matematika, ang isang punto ay isang abstract na bagay sa espasyo na walang volume, o area, o haba, o anumang iba pang katulad na katangian ng malalaking sukat. Kaya, ang isang zero-dimensional na bagay ay tinatawag na isang punto. Ang punto ay isa sa mga pangunahing konsepto sa matematika.

Ang isang punto ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry, kaya ang "punto" ay walang kahulugan. Tinukoy ni Euclid ang isang punto bilang isang bagay na hindi maaaring hatiin.

Gayundin sa geometry ay walang kahulugan ng "tuwid na linya" (ibig sabihin ay isang tuwid na linya).

Ang tuwid na linya ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry.

Ang isang geometric na tuwid na linya (tuwid na linya) ay isang hindi sarado sa magkabilang panig, pinalawak na hindi kurbadong geometric na bagay, ang cross section na may posibilidad na zero, at ang longitudinal projection papunta sa eroplano ay nagbibigay ng isang punto.

Sa isang sistematikong pagtatanghal ng geometry, ang isang tuwid na linya ay karaniwang kinukuha bilang isa sa mga unang konsepto, na hindi direktang tinutukoy ng mga axiom ng geometry.

Kung ang batayan para sa pagbuo ng geometry ay ang konsepto ng distansya sa pagitan ng dalawang punto sa espasyo, kung gayon ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin bilang isang linya kung saan ang landas ay katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos.

3) Paralelogram

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkaparehong magkaparehas, iyon ay, nakahiga sila sa magkatulad na linya. Ang mga espesyal na kaso ng paralelogram ay isang parihaba, isang parisukat at isang rhombus.

Mga espesyal na kaso:

Ang parisukat ay isang regular na may apat na gilid o rhombus, kung saan ang lahat ng mga anggulo ay tama, o isang paralelogram, kung saan ang lahat ng panig at anggulo ay pantay.

Ang isang parisukat ay maaaring tukuyin bilang:

isang parihaba na may dalawang magkatabing gilid na pantay

§ Isang rhombus na may lahat ng tamang anggulo (anumang parisukat ay isang rhombus, ngunit hindi bawat rhombus ay isang parisukat).

Ang isang parihaba ay isang paralelogram kung saan ang lahat ng mga anggulo ay mga tamang anggulo (katumbas ng 90 degrees).

Ang rhombus ay isang paralelogram na ang lahat ng panig ay pantay. Ang isang rhombus na may tamang mga anggulo ay tinatawag na parisukat.

4) Trapeze

Ang trapezoid ay isang quadrilateral na may eksaktong isang pares ng magkasalungat na panig na magkatulad.

Minsan ang isang trapezoid ay tinukoy bilang isang may apat na gilid kung saan ang isang pares ng magkasalungat na gilid ay parallel (ang isa ay hindi tinukoy), kung saan ang isang parallelogram ay isang espesyal na kaso ng isang trapezoid. Sa partikular, mayroong isang konsepto bilang isang curvilinear trapezoid.

Parihabang trapezoid

5) Bilog

Ang bilog ay isang locus ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na sentro, sa isang partikular na di-zero na distansya, na tinatawag na radius nito.

6) Tatsulok

Ang tatsulok ay ang pinakasimpleng polygon na mayroong 3 vertices (anggulo) at 3 gilid; isang bahagi ng isang eroplano na may hangganan ng tatlong puntos at tatlong segment ng linya na nagdudugtong sa mga puntong ito nang magkapares.

Kung ang lahat ng tatlong punto ng isang tatsulok ay nasa parehong tuwid na linya, ito ay tinatawag na degenerate.

7) Polygon

Ang polygon ay isang geometric na pigura, na tinukoy bilang isang saradong putol na linya. Mayroong tatlong magkakaibang kahulugan:

§ Flat na saradong sirang mga linya;

§ Flat na saradong sirang mga linya na walang mga intersection sa sarili;

§ Mga bahagi ng eroplano na napapalibutan ng mga putol na linya.

Ang vertices ng polyline ay tinatawag na vertices ng polygon, at ang mga segment ay tinatawag na mga gilid ng polygon.

Pahina 1 ng 3

§isa. mga tanong sa pagsusulit
Tanong 1. Magbigay ng mga halimbawa ng mga geometric na hugis.
Sagot. Mga halimbawa ng mga geometric na hugis: tatsulok, parisukat, bilog.

Tanong 2. Pangalanan ang mga pangunahing geometric na hugis sa eroplano.
Sagot. Ang pangunahing mga geometric na figure sa eroplano ay ang punto at ang linya.

Tanong 3. Paano tinukoy ang mga punto at linya?
Sagot. Ang mga puntos ay ipinahiwatig ng malalaking titik ng Latin: A, B, C, D, .... Ang mga tuwid na linya ay tinutukoy ng maliliit na letrang Latin: a, b, c, d, ....
Ang isang linya ay maaaring tukuyin ng dalawang puntos na nakahiga dito. Halimbawa, ang linya a sa figure 4 ay maaaring lagyan ng label na AC, at ang linya b ay maaaring lagyan ng label na BC.

Tanong 4. Bumuo ng mga pangunahing katangian ng pagiging kasapi ng mga puntos at linya.
Sagot. Anuman ang linya, may mga puntong kabilang sa linyang ito, at mga puntong hindi kabilang dito.
Sa pamamagitan ng anumang dalawang punto maaari kang gumuhit ng isang linya, at isa lamang.
Tanong 5. Ipaliwanag kung ano ang isang segment na may mga dulo sa mga ibinigay na punto.
Sagot. Ang isang segment ay isang bahagi ng isang tuwid na linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng tuwid na linya na ito na nasa pagitan ng dalawang ibinigay na mga punto nito. Ang mga puntong ito ay tinatawag na mga dulo ng segment. Ang isang segment ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng mga dulo nito. Kapag sinabi o isinulat nila: "segment AB", ang ibig nilang sabihin ay isang segment na may mga dulo sa mga puntong A at B.

Tanong 6. Bumuo ng pangunahing katangian ng lokasyon ng mga puntos sa isang tuwid na linya.
Sagot. Sa tatlong punto sa isang linya, isa at isa lamang ang nasa pagitan ng dalawa.
Tanong 7. Bumuo ng mga pangunahing katangian ng pagsukat ng mga segment.
Sagot. Ang bawat segment ay may partikular na haba na higit sa zero. Ang haba ng isang segment ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga bahagi kung saan ito ay nahahati sa alinman sa mga punto nito.
Tanong 8. Ano ang distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na puntos?
Sagot. Ang haba ng segment AB ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga punto A at B.
Tanong 9. Ano ang mga katangian ng paghahati ng isang eroplano sa dalawang kalahating eroplano?
Sagot. Ang pagkahati ng isang eroplano sa dalawang kalahating eroplano ay may sumusunod na katangian. Kung ang mga dulo ng anumang segment ay nabibilang sa parehong kalahating eroplano, kung gayon ang segment ay hindi bumalandra sa linya. Kung ang mga endpoint ng isang segment ay nabibilang sa iba't ibang kalahating eroplano, kung gayon ang segment ay nag-intersect sa linya.

Ang mga geometric na figure ay isang complex ng mga punto, linya, solid o surface. Ang mga elementong ito ay maaaring matatagpuan sa eroplano at sa kalawakan, na bumubuo ng isang may hangganang bilang ng mga linya.

Ang terminong "figure" ay nangangahulugang ilang hanay ng mga puntos. Ang mga ito ay dapat na matatagpuan sa isa o higit pang mga eroplano at sabay na limitado sa isang tiyak na bilang ng mga nakumpletong linya.

Ang mga pangunahing geometric na numero ay ang punto at ang linya. Flat sila. Bilang karagdagan sa mga ito, sa mga simpleng figure, isang ray, isang sirang linya at isang segment ay nakikilala.

Dot

Ito ay isa sa mga pangunahing figure ng geometry. Ito ay napakaliit, ngunit ito ay palaging ginagamit upang bumuo ng iba't ibang anyo sa isang eroplano. Ang punto ay ang pangunahing figure para sa ganap na lahat ng mga constructions, kahit na ang pinakamataas na kumplikado. Sa geometry, karaniwan itong tinutukoy ng isang titik ng alpabetong Latin, halimbawa, A, B, K, L.

Mula sa punto ng view ng matematika, ang isang punto ay isang abstract spatial object na walang mga katangian tulad ng area, volume, ngunit sa parehong oras ay nananatiling isang pangunahing konsepto sa geometry. Ang zero-dimensional na bagay na ito ay walang kahulugan.

Diretso

Ang figure na ito ay ganap na inilagay sa isang eroplano. Ang tuwid na linya ay walang isang tiyak na kahulugan ng matematika, dahil ito ay binubuo ng isang malaking bilang ng mga puntos na matatagpuan sa isang walang katapusang linya, na walang limitasyon at mga hangganan.

May hiwa din. Isa rin itong tuwid na linya, ngunit ito ay nagsisimula at nagtatapos sa isang punto, na nangangahulugang mayroon itong mga geometric na paghihigpit.

Gayundin, ang linya ay maaaring maging isang direksyon na sinag. Nangyayari ito kapag ang linya ay nagsisimula sa isang punto, ngunit walang malinaw na dulo. Kung maglagay ka ng isang punto sa gitna ng linya, pagkatapos ay mahahati ito sa dalawang ray (karagdagan), bukod pa rito, magkasalungat na nakadirekta sa bawat isa.

Ang ilang mga segment na magkakasunod na konektado sa isa't isa sa pamamagitan ng mga dulo sa isang karaniwang punto at hindi matatagpuan sa parehong tuwid na linya ay karaniwang tinatawag na putol na linya.

Iniksyon

Ang mga geometric na hugis, na ang mga pangalan ay tinalakay natin sa itaas, ay itinuturing na mga pangunahing elemento na ginagamit sa pagbuo ng mas kumplikadong mga modelo.

Ang anggulo ay isang konstruksyon na binubuo ng isang vertex at dalawang sinag na lumalabas dito. Iyon ay, ang mga gilid ng figure na ito ay konektado sa isang punto.

Eroplano

Isaalang-alang ang isa pang pangunahing konsepto. Ang eroplano ay isang pigura na walang katapusan o simula, pati na rin ang isang tuwid na linya at isang punto. Sa panahon ng pagsasaalang-alang ng geometric na elementong ito, isang bahagi lamang nito, na limitado ng mga contour ng isang sirang saradong linya, ay isinasaalang-alang.

Anumang makinis na bounded surface ay maaaring ituring na isang eroplano. Maaaring ito ay isang ironing board, isang sheet ng papel, o kahit isang pinto.

Quadrangles

Ang parallelogram ay isang geometric na pigura na ang magkabilang panig ay magkaparehas sa isa't isa. Kabilang sa mga pribadong uri ng disenyo na ito, ang isang rhombus, isang parihaba at isang parisukat ay nakikilala.

Ang parihaba ay isang paralelogram kung saan magkadikit ang lahat ng panig sa tamang mga anggulo.

Ang parisukat ay isang quadrilateral na may pantay na panig at anggulo.

Ang rhombus ay isang pigura kung saan ang lahat ng mga mukha ay pantay. Sa kasong ito, ang mga anggulo ay maaaring ganap na naiiba, ngunit sa mga pares. Ang bawat parisukat ay itinuturing na isang rhombus. Ngunit sa kabaligtaran ng direksyon, ang panuntunang ito ay hindi palaging gumagana. Hindi lahat ng rhombus ay isang parisukat.

Trapeze

Ang mga geometric na hugis ay ganap na naiiba at kakaiba. Ang bawat isa sa kanila ay may natatanging hugis at katangian.

Ang trapezoid ay isang pigura na medyo katulad ng isang quadrilateral. Mayroon itong dalawang magkatulad na magkabilang panig at itinuturing na curvilinear.

Isang bilog

Ang geometric figure na ito ay nagpapahiwatig ng lokasyon sa parehong eroplano ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa gitna nito. Sa kasong ito, ang isang ibinigay na di-zero na segment ay karaniwang tinatawag na radius.

Tatsulok

Ito ay isang simpleng geometric figure na madalas na nakatagpo at pinag-aralan.

Ang isang tatsulok ay itinuturing na isang subspecies ng isang polygon, na matatagpuan sa parehong eroplano at limitado ng tatlong mukha at tatlong punto ng contact. Ang mga elementong ito ay konektado sa pares.

Polygon

Ang vertices ng polygons ay ang mga puntong nagkokonekta sa mga segment. At ang huli, sa turn, ay itinuturing na mga partido.

Volumetric na mga geometric na hugis

• prisma;
• globo;
• kono;
• silindro;
• pyramid;

Ang mga katawan na ito ay may pagkakatulad. Ang lahat ng mga ito ay limitado sa isang saradong ibabaw, sa loob kung saan mayroong maraming mga punto.

Ang mga volumetric na katawan ay pinag-aralan hindi lamang sa geometry, kundi pati na rin sa crystallography.

Nakakagulat na mga katotohanan

Tiyak na magiging interesado kang basahin ang impormasyong ibinigay sa ibaba.

• Ang geometry ay nabuo bilang isang agham noong sinaunang panahon. Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay karaniwang nauugnay sa pag-unlad ng sining at iba't ibang mga crafts. At ang mga pangalan ng mga geometric na hugis ay nagpapahiwatig ng paggamit ng mga prinsipyo ng pagtukoy ng pagkakapareho at pagkakatulad.
• Isinalin mula sa sinaunang Griyego, ang terminong "trapezoid" ay nangangahulugang isang mesa para sa isang pagkain.
• Kung kukuha ka ng iba't ibang mga figure na ang perimeter ay pareho, kung gayon ang bilog ay garantisadong may pinakamalaking lugar.
• Isinalin mula sa Greek, ang terminong "kono" ay nangangahulugang isang pine cone.
• Mayroong isang sikat na pagpipinta ni Kazemir Malevich, na nakakaakit ng pansin ng maraming mga pintor mula noong huling siglo. Ang gawaing "Black Square" ay palaging mystical at misteryoso. Ang geometric na pigura sa isang puting canvas ay nalulugod at namamangha sa parehong oras.

Mayroong isang malaking bilang ng mga geometric na hugis. Ang lahat ng mga ito ay naiiba sa mga parameter, at kung minsan kahit na sorpresa sa mga form.

1. Ang konsepto ng isang geometric figure.

3. Parallel at perpendicular na mga linya.

4. Mga tatsulok.

5. Quadrangles.

6. Mga polygon.

7. Bilog at bilog.

8. Konstruksyon ng mga geometric na numero sa eroplano.

9. Mga pagbabagong-anyo ng mga geometric na numero. Konsepto ng pagbabago

Pangunahing panitikan;

karagdagang panitikan

Ang konsepto ng isang geometric na pigura

Geometric na pigura tinukoy bilang anumang hanay ng mga puntos.

Segment, tuwid na linya, bilog, bola- mga geometric na numero.

Kung ang lahat ng mga punto ng isang geometric figure ay nabibilang sa parehong eroplano, ito ay tinatawag patag .

Halimbawa, ang isang segment, isang parihaba ay mga flat figure. May mga figure na hindi flat. Ito ay, halimbawa, isang kubo, isang bola, isang pyramid.

Dahil ang konsepto ng isang geometric figure ay tinukoy sa pamamagitan ng konsepto ng isang set, maaari nating sabihin na ang isang figure ay kasama sa isa pa (o nakapaloob sa isa pa), maaari nating isaalang-alang ang unyon, intersection at pagkakaiba ng mga figure.

Halimbawa, pagsasama ng dalawang sinag AB at MK(Larawan 1) ay isang tuwid na linya KV, at ang intersection nila ay isang segment AM.

K A M V

Ang mga convex figure ay isang eroplano, isang linya, isang sinag, isang segment, isang punto. Madaling i-verify na ang isang convex figure ay isang bilog (Larawan 3). Kung ipagpapatuloy natin ang segment XY sa intersection sa bilog, makakakuha tayo ng chord AB. Dahil ang chord ay nakapaloob sa bilog, ang segment na XY ay nakapaloob din sa bilog at, samakatuwid, ang bilog ay isang convex figure.

Para sa mga polygon, kilala ang isa pang kahulugan: Ang polygon ay tinatawag na convex kung ito ay nasa isang gilid ng bawat linya na naglalaman ng gilid nito. .

Dahil napatunayan na ang katumbas ng kahulugang ito at ang ibinigay sa itaas para sa isang polygon, parehong magagamit.

Batay sa mga konseptong ito, isasaalang-alang natin ang iba pang mga geometric na hugis na pinag-aralan sa kursong planimetry ng paaralan. Isaalang-alang natin ang kanilang mga kahulugan at pangunahing katangian, tinatanggap ang mga ito nang walang patunay. Ang kaalaman sa materyal na ito at ang kakayahang ilapat ito sa solusyon ng mga simpleng geometric na problema ay ang batayan kung saan maaari kang bumuo ng isang pamamaraan para sa pagtuturo ng elementarya na geometry sa mga mas batang mag-aaral.

mga sulok

Tandaan mo yan Ang anggulo ay isang geometric na pigura na binubuo ng isang punto at dalawang sinag na nagmumula sa puntong iyon.

Ang mga sinag ay tinatawag na mga gilid ng anggulo, at ang kanilang karaniwang simula ay ang tuktok nito.

Ang anggulo ay tinutukoy sa iba't ibang paraan: ipahiwatig ang alinman sa vertex nito, o mga gilid nito, o tatlong puntos: ang vertex at dalawang punto sa mga gilid ng anggulo: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

Angle ang tawag ipinakalat , kung ang mga gilid nito ay nasa parehong tuwid na linya.

Ang isang anggulo na kalahati ng isang tuwid na anggulo ay tinatawag direkta. Ang isang anggulo na mas maliit kaysa sa isang tamang anggulo ay tinatawag matalas. Ang isang anggulo na mas malaki kaysa sa tamang anggulo ngunit mas mababa sa isang tuwid na anggulo ay tinatawag bobo .

Bilang karagdagan sa konsepto ng isang anggulo na ibinigay sa itaas, ang konsepto ng isang anggulo ng eroplano ay isinasaalang-alang sa geometry.

Ang flat angle ay isang bahagi ng isang eroplano na napapalibutan ng dalawang magkaibang sinag na nagmumula sa parehong punto.

Ang mga anggulo na isinasaalang-alang sa planimetry ay hindi lalampas sa nabuong anggulo.

Ang dalawang sulok ay tinatawag katabi, kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na kalahating linya.

Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°. Ang bisa ng property na ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng mga katabing anggulo.

Ang dalawang sulok ay tinatawag patayo, kung ang mga gilid ng isang anggulo ay ang mga pantulong na kalahating linya ng mga gilid ng isa. Ang mga anggulong AOB at SOV, pati na rin ang mga anggulong AOC at D0B, ay patayo (Larawan 4).

2.1. Mga geometric na figure sa eroplano

Sa mga nakalipas na taon, nagkaroon ng posibilidad na magsama ng malaking halaga ng geometric na materyal sa paunang kurso ng matematika. Ngunit upang maipakilala sa mga mag-aaral ang iba't ibang mga geometric na hugis, upang turuan sila kung paano ilarawan ang mga ito nang tama, kailangan niya ng naaangkop na pagsasanay sa matematika. Dapat na pamilyar ang guro sa mga nangungunang ideya ng kursong geometry, alam ang mga pangunahing katangian ng mga geometric na hugis, at magagawang buuin ang mga ito.

Kapag naglalarawan ng isang flat figure, walang mga geometric na problema. Ang pagguhit ay nagsisilbing alinman sa isang eksaktong kopya ng orihinal, o kumakatawan sa isang katulad na pigura dito. Isinasaalang-alang ang imahe ng isang bilog sa pagguhit, nakakakuha kami ng parehong visual na impression na parang isinasaalang-alang namin ang orihinal na bilog.

Samakatuwid, ang pag-aaral ng geometry ay nagsisimula sa planimetry.

Ang planimetry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga figure sa isang eroplano.

Ang isang geometric na pigura ay tinukoy bilang anumang hanay ng mga puntos.

Segment, linya, bilog - mga geometric na hugis.

Kung ang lahat ng mga punto ng isang geometric figure ay nabibilang sa parehong eroplano, ito ay tinatawag na flat.

Halimbawa, ang isang segment, isang parihaba ay mga flat figure.

May mga figure na hindi flat. Ito ay, halimbawa, isang kubo, isang bola, isang pyramid.

Dahil ang konsepto ng isang geometric figure ay tinukoy sa pamamagitan ng konsepto ng isang set, maaari nating sabihin na ang isang figure ay kasama sa isa pa, maaari nating isaalang-alang ang unyon, intersection at pagkakaiba ng mga figure.

Halimbawa, ang pagsasama ng dalawang sinag na AB at MK ay ang tuwid na linyang KB, at ang kanilang intersection ay ang segment na AM.

May mga convex at non-convex figure. Ang isang figure ay tinatawag na convex kung, kasama ng alinman sa dalawa sa mga punto nito, naglalaman din ito ng isang segment na nag-uugnay sa kanila.

Ang Figure F 1 ay convex, at ang figure F 2 ay non-convex.

Ang mga convex figure ay isang eroplano, isang linya, isang sinag, isang segment, isang punto. madaling i-verify na ang isang convex figure ay isang bilog.

Kung ipagpapatuloy natin ang segment XY sa intersection sa bilog, makukuha natin ang chord AB. Dahil ang chord ay nakapaloob sa bilog, ang segment na XY ay nakapaloob din sa bilog, at, samakatuwid, ang bilog ay isang convex figure.

Ang mga pangunahing katangian ng pinakasimpleng figure sa eroplano ay ipinahayag sa mga sumusunod na axioms:

1. Anuman ang linya, may mga puntong kabilang sa linyang ito at hindi kabilang dito.

Sa pamamagitan ng anumang dalawang punto maaari kang gumuhit ng isang linya, at isa lamang.

Ang axiom na ito ay nagpapahayag ng pangunahing pag-aari ng pag-aari ng mga punto at linya sa eroplano.

2. Sa tatlong punto sa isang linya, isa at isa lamang ang nasa pagitan ng dalawa.

Ang axiom na ito ay nagpapahayag ng pangunahing katangian ng lokasyon ng mga punto sa isang linya.

3. Ang bawat segment ay may partikular na haba na higit sa zero. Ang haba ng isang segment ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga bahagi kung saan ito ay nahahati sa alinman sa mga punto nito.

Malinaw, ang axiom 3 ay nagpapahayag ng pangunahing katangian ng pagsukat ng mga segment.

Ang pangungusap na ito ay nagpapahayag ng pangunahing katangian ng lokasyon ng mga punto na may kaugnayan sa isang tuwid na linya sa isang eroplano.

5. Ang bawat anggulo ay may isang tiyak na sukat ng antas, mas malaki sa zero. Ang pinalawak na anggulo ay 180 o. Ang sukat ng antas ng isang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng antas ng mga anggulo kung saan ito ay nahahati sa anumang sinag na dumadaan sa pagitan ng mga gilid nito.

Ang axiom na ito ay nagpapahayag ng pangunahing katangian ng pagsukat ng mga anggulo.

6. Sa alinmang kalahating linya mula sa panimulang punto nito, maaaring gumuhit ng isang segment ng isang partikular na haba, at isa lamang.

7. Mula sa anumang kalahating linya sa isang ibinigay na kalahating eroplano, maaari kang magtabi ng isang anggulo na may ibinigay na sukat na antas na mas mababa sa 180 O, at isa lamang.

Ang mga axiom na ito ay sumasalamin sa mga pangunahing katangian ng pagtanggal ng mga anggulo at mga segment.

Ang mga pangunahing katangian ng pinakasimpleng figure ay kinabibilangan ng pagkakaroon ng isang tatsulok na katumbas ng ibinigay.

8. Anuman ang tatsulok, mayroong isang pantay na tatsulok sa isang ibinigay na lokasyon na may paggalang sa isang ibinigay na kalahating linya.

Ang mga pangunahing katangian ng mga parallel na linya ay ipinahayag ng sumusunod na axiom.

9. Sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, hindi hihigit sa isang tuwid na linya na parallel sa ibinigay na linya ay maaaring iguguhit sa eroplano.

Isaalang-alang ang ilang mga geometric na hugis na pinag-aaralan sa elementarya.

Ang anggulo ay isang geometric figure na binubuo ng isang punto at dalawang ray na nagmumula sa puntong ito. Ang mga sinag ay tinatawag na mga gilid ng anggulo, at ang kanilang karaniwang simula ay ang tuktok nito.

Ang isang anggulo ay tinatawag na tuwid kung ang mga gilid nito ay nasa parehong tuwid na linya.

Ang isang anggulo na kalahating tuwid na anggulo ay tinatawag na tamang anggulo. Ang isang anggulo na mas mababa sa isang tamang anggulo ay tinatawag na isang acute angle. Ang isang anggulo na mas malaki kaysa sa tamang anggulo ngunit mas mababa sa isang tuwid na anggulo ay tinatawag na obtuse angle.

Bilang karagdagan sa konsepto ng isang anggulo na ibinigay sa itaas, ang konsepto ng isang anggulo ng eroplano ay isinasaalang-alang sa geometry.

Ang patag na sulok ay isang bahagi ng isang eroplanong napapaligiran ng dalawang magkaibang sinag na nagmumula sa parehong punto.

Mayroong dalawang patag na anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang sinag na may iisang pinagmulan. Tinatawag silang mga extra. Ang figure ay nagpapakita ng dalawang patag na sulok na may mga gilid na OA at OB, ang isa sa mga ito ay may kulay.

Ang mga sulok ay magkatabi at patayo.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na kalahating linya.

Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180 degrees.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay ang mga pantulong na kalahating linya ng mga gilid ng isa pa.

Ang mga anggulo ng AOD at SOV, pati na rin ang mga anggulo ng AOS at DOV, ay patayo.

Ang mga patayong anggulo ay pantay.

Parallel at perpendicular na mga linya.

Dalawang linya sa isang eroplano ay tinatawag na parallel kung hindi sila magsalubong.

Kung ang linya a ay parallel sa linya b, pagkatapos ay sumulat ng II c.

Ang dalawang linya ay tinatawag na patayo kung sila ay magsalubong sa isang tamang anggulo.

Kung ang linya a ay patayo sa linya b, pagkatapos ay isulat ang a.

Mga tatsulok.

Ang tatsulok ay isang geometric figure na binubuo ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at tatlong magkapares na mga segment na nagkokonekta sa kanila.

Ang anumang tatsulok ay naghahati sa eroplano sa dalawang bahagi: panloob at panlabas.

Sa anumang tatsulok, ang mga sumusunod na elemento ay nakikilala: mga gilid, anggulo, taas, bisector, median, midline.

Ang altitude ng isang tatsulok na bumaba mula sa isang naibigay na vertex ay ang patayo na iginuhit mula sa tuktok na iyon hanggang sa linya na naglalaman ng kabaligtaran na bahagi.

Ang bisector ng isang tatsulok ay ang segment ng bisector ng anggulo ng isang tatsulok na nag-uugnay sa isang vertex sa isang punto sa kabilang panig.

Ang median ng isang tatsulok na iginuhit mula sa isang naibigay na vertex ay ang segment na nag-uugnay sa vertex na ito sa midpoint ng kabaligtaran na bahagi.

Ang midline ng isang tatsulok ay ang segment ng linya na nag-uugnay sa mga midpoint ng dalawang panig nito.

Quadrangles.

Ang quadrangle ay isang figure na binubuo ng apat na puntos at apat na segment na nagkokonekta sa kanila sa serye, at walang tatlo sa mga puntong ito ang dapat na nasa parehong tuwid na linya, at ang mga segment na nagkokonekta sa kanila ay hindi dapat magsalubong. Ang mga puntong ito ay tinatawag na mga vertice ng tatsulok, at ang mga nagkokonektang mga segment ay tinatawag na mga gilid nito.

Ang mga gilid ng quadrilateral na nagmula sa parehong vertex ay tinatawag na magkasalungat na gilid.

Sa quadrilateral ABCD, ang vertices A at B ay magkatabi, at ang vertices A at C ay kabaligtaran; magkatabi ang mga gilid AB at BC, magkatapat ang BC at AD; ang mga segment na AC at BD ay ang mga dayagonal ng quadrilateral na ito.

Mayroong matambok at hindi matambok na quadrilaterals. Kaya, ang quadrilateral ABCD ay matambok, habang ang quadrilateral na KRMT ay hindi matambok.

Sa mga convex quadrilaterals, ang parallelograms at trapezoids ay nakikilala.

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay parallel.

Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan dalawang magkabilang panig lamang ang magkatulad. Ang mga magkatulad na panig na ito ay tinatawag na mga base ng trapezoid. Ang iba pang dalawang panig ay tinatawag na lateral. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid ay tinatawag na midline ng trapezoid.

Ang BC at AD ay ang mga base ng trapezium; AB at SD - lateral sides; KM - ang gitnang linya ng trapezoid.

Sa maraming parallelograms, ang mga parihaba at rhombus ay nakikilala.

Ang parihaba ay isang paralelogram na may lahat ng tamang anggulo.

Ang rhombus ay isang paralelogram kung saan ang lahat ng panig ay pantay.

Mula sa hanay ng mga parihaba, pinipili ang mga parisukat.

Ang parisukat ay isang parihaba kung saan ang lahat ng panig ay pantay.

Bilog.

Ang bilog ay isang pigura na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.

Ang distansya mula sa mga punto hanggang sa sentro nito ay tinatawag na radius. Ang isang segment ng linya na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang bilog ay tinatawag na chord. Ang chord na dumadaan sa gitna ay tinatawag na diameter. OA ang radius, SD ang chord, AB ang diameter.

Ang gitnang anggulo sa isang bilog ay isang patag na anggulo na may vertex sa gitna nito. Ang bahagi ng bilog na matatagpuan sa loob ng patag na anggulo ay tinatawag na arko ng bilog na naaayon sa gitnang anggulong ito.

Ayon sa mga bagong aklat-aralin sa mga bagong programa M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. Si Stepanova sa ika-4 na baitang ay binibigyan ng mga gawain sa pagtatayo, na walang nauna sa programa sa matematika sa elementarya. Ito ang mga gawain tulad ng:

Bumuo ng patayo sa linya;

Hatiin ang segment sa kalahati;

Bumuo ng isang tatsulok sa tatlong panig;

Bumuo ng isang regular na tatsulok, isang isosceles triangle;

Bumuo ng isang heksagono;

Bumuo ng isang parisukat gamit ang mga katangian ng mga diagonal ng isang parisukat;

Bumuo ng isang parihaba gamit ang mga katangian ng diagonal ng parihaba.

Isaalang-alang ang pagbuo ng mga geometric na figure sa eroplano.

Ang seksyon ng geometry na nag-aaral ng geometric constructions ay tinatawag na constructive geometry. Ang pangunahing konsepto ng constructive geometry ay ang konsepto ng "construct a figure". Ang mga pangunahing panukala ay nabuo sa anyo ng mga axiom at nabawasan sa mga sumusunod.

1. Ang bawat ibinigay na pigura ay itinayo.

2. Kung ang dalawa (o higit pa) na mga figure ay itinayo, pagkatapos ay ang unyon ng mga figure na ito ay itinayo din.

3. Kung ang dalawang figure ay itinayo, pagkatapos ay posible na matukoy kung ang kanilang intersection ay isang walang laman na hanay o hindi.

4. Kung ang intersection ng dalawang constructed figure ay hindi walang laman, pagkatapos ito ay itinayo.

5. Kung ang dalawang figure ay itinayo, pagkatapos ay posible na matukoy kung ang kanilang pagkakaiba ay isang walang laman na hanay o hindi.

6. Kung ang pagkakaiba ng dalawang constructed figure ay hindi isang walang laman na set, pagkatapos ito ay itinayo.

7. Maaari kang gumuhit ng puntong kabilang sa iginuhit na pigura.

8. Maaari kang bumuo ng isang punto na hindi nabibilang sa constructed figure.

Upang makabuo ng mga geometric na figure na may ilan sa mga tinukoy na katangian, ginagamit ang iba't ibang mga tool sa pagguhit. Ang pinakasimple sa mga ito ay: isang one-sided ruler (simula dito ay simpleng ruler), isang two-sided ruler, isang square, compass, atbp.

Pinapayagan ka ng iba't ibang mga tool sa pagguhit na magsagawa ng iba't ibang mga constructions. Ang mga katangian ng mga tool sa pagguhit na ginagamit para sa mga geometric na konstruksyon ay ipinahayag din sa anyo ng mga axiom.

Dahil ang pagtatayo ng mga geometric na figure sa tulong ng isang compass at isang ruler ay isinasaalang-alang sa kurso ng geometry ng paaralan, tatalakayin din natin ang mga pangunahing konstruksyon na ginawa ng mga partikular na guhit na ito na may mga tool.

Kaya, sa tulong ng isang pinuno, maaari mong gawin ang mga sumusunod na geometric na konstruksyon.

1. bumuo ng isang segment na nagkokonekta sa dalawang constructed point;

2. bumuo ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang constructed points;

3. bumuo ng isang sinag na nagsisimula mula sa constructed point at dumadaan sa constructed point.

Binibigyang-daan ka ng compass na gawin ang mga sumusunod na geometric na konstruksyon:

1. bumuo ng isang bilog kung ang sentro nito at isang segment na katumbas ng radius ng bilog ay itinayo;

2. bumuo ng alinman sa dalawang karagdagang mga arko ng bilog, kung ang gitna ng bilog at ang mga dulo ng mga arko na ito ay itinayo.

Mga gawain sa elementarya para sa pagtatayo.

Ang mga gawain sa pagtatayo ay marahil ang pinaka sinaunang mga problema sa matematika, nakakatulong sila upang mas maunawaan ang mga katangian ng mga geometric na hugis, mag-ambag sa pagbuo ng mga kasanayan sa graphic.

Ang problema sa pagtatayo ay itinuturing na lutasin kung ang paraan ng pagbuo ng pigura ay tinukoy at ito ay pinatunayan na bilang isang resulta ng mga tinukoy na constructions, ang isang figure na may mga kinakailangang katangian ay aktwal na nakuha.

Isaalang-alang ang ilang mga gawain sa pagtatayo ng elementarya.

1. Bumuo ng isang segment SD sa isang ibinigay na tuwid na linya, katumbas ng isang partikular na segment AB.

Ang posibilidad ng pagbuo lamang ay sumusunod mula sa axiom ng pagpapaliban ng isang segment. Sa tulong ng isang compass at isang ruler, ito ay isinasagawa bilang mga sumusunod. Hayaang magbigay ng linya a at segment AB. Minarkahan namin ang punto C sa tuwid na linya at bumuo ng isang bilog na may tuwid na linya na nakasentro sa punto C at ipahiwatig ang D. Nakukuha namin ang segment na SD na katumbas ng AB.

2. Sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto, gumuhit ng isang linya patayo sa ibinigay na linya.

Hayaang magbigay ng mga puntos O at isang linyang a. Dalawang kaso ang posible:

1. Ang punto O ay nasa linyang a;

2. Ang puntong O ay hindi nasa linya a.

Sa unang kaso mula sa tinutukoy namin ang isang punto C na hindi nakahiga sa linya a. Mula sa punto C bilang mula sa gitna ay isinusulat namin ang isang bilog ng di-makatwirang radius. Hayaang ang A at B ang mga punto ng intersection nito. Mula sa mga punto A at B inilalarawan namin ang isang bilog na may isang radius. Hayaang ang puntong O ang punto ng kanilang intersection, naiiba sa C. Pagkatapos ang kalahating linyang CO ay ang bisector ng nabuong anggulo, pati na rin ang patayo sa linya a.

Sa pangalawang kaso, mula sa punto O bilang mula sa gitna gumuhit kami ng isang bilog na intersecting sa tuwid na linya a, at pagkatapos ay mula sa mga punto A at B na may parehong radius gumuhit kami ng dalawa pang bilog. Hayaan ang O ang punto ng kanilang intersection na nakahiga sa isang kalahating eroplano na naiiba mula sa kung saan ang punto O ay namamalagi. Ang linyang OO/ ay ang patayo sa ibinigay na linya a. Patunayan natin.

Tukuyin sa pamamagitan ng C ang punto ng intersection ng mga linyang AB at OO/. Ang mga tatsulok na AOB at AO/B ay may tatlong pantay na panig. Samakatuwid, ang anggulo ng OAC ay katumbas ng anggulo ng O/AC ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Kaya mula sa mga anggulo ACO at ACO/ ay pantay. At dahil ang mga anggulo ay magkatabi, sila ay mga tamang anggulo. Kaya, ang OS ay isang patayo sa linya a.

3. Sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto, gumuhit ng isang linya parallel sa ibinigay na isa.

Hayaang magbigay ng linya a at punto A sa labas ng linyang ito. Kumuha tayo ng ilang punto B sa linya a at ikonekta ito sa punto A. Gumuhit ng linya C hanggang sa punto A, na bumubuo ng parehong anggulo sa AB bilang AB na nabuo sa ibinigay na linya a, ngunit sa tapat na bahagi mula sa AB. Ang itinayong linya ay magiging parallel sa linya a., na sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo na nabuo sa intersection ng mga linya a at sa secant AB.

4. Bumuo ng tangent sa bilog na dumadaan sa isang ibinigay na punto dito.

Ibinigay: 1) bilog X (O, h)

2) punto A x

Bumuo: padaplis AB.

Konstruksyon.

2. bilog X (A, h), kung saan ang h ay isang arbitrary na radius (axiom 1 ng compass)

3. puntos M at N ng intersection ng bilog x 1, at ang tuwid na linya AO, iyon ay, (M, N) = x 1 AO (axiom 4 ay pangkalahatan)

4. bilog x (M, r 2), kung saan ang r 2 ay isang arbitrary na radius, na ang r 2 r 1 (axiom 1 ng compass)

At sa panlabas - sa pamamagitan ng kanilang bukas na pag-uugali, at sa loob - sa pamamagitan ng kanilang mga proseso sa pag-iisip at damdamin. Mga konklusyon sa unang seksyon Para sa pagbuo ng lahat ng proseso ng pag-iisip ng isang nakababatang mag-aaral, ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat sundin: 1. Ang aktibidad na pang-edukasyon ay dapat na may layunin, pukawin at mapanatili ang isang patuloy na interes sa mga mag-aaral; 2. Palawakin at paunlarin ang mga interes na nagbibigay-malay ng ...

Ang buong pagsubok sa kabuuan, na nagpapahiwatig na ang kanilang mga antas ng pag-unlad ng mga pagpapatakbo ng kaisipan ng paghahambing at paglalahat ay mas mataas kaysa sa mga hindi mahusay na gumaganap na mga mag-aaral. Kung susuriin natin ang mga indibidwal na data sa pamamagitan ng mga subtest, ang kahirapan sa pagsagot sa mga indibidwal na tanong ay nagpapahiwatig ng mahinang kaalaman sa mga lohikal na operasyong ito. Ang mga paghihirap na ito ay kadalasang matatagpuan sa mga mag-aaral na mababa ang tagumpay. Ito ay...

Junior student. Layunin ng pag-aaral: ang pagbuo ng matalinghagang pag-iisip sa mga mag-aaral ng ika-2 baitang ng sekondaryang paaralan No. 1025. Paraan: pagsubok. Kabanata 1. Teoretikal na pundasyon ng pag-aaral ng matalinghagang pag-iisip 1.1. Ang konsepto ng pag-iisip Ang ating kaalaman sa nakapaligid na katotohanan ay nagsisimula sa mga sensasyon at pang-unawa at nagpapatuloy sa pag-iisip. Ang tungkulin ng pag-iisip ay palawakin ang mga hangganan ng kaalaman sa pamamagitan ng paglampas sa ...