Susuriin namin ang dalawang uri ng mga sistema ng paglutas ng mga equation:
1. Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.
2. Solusyon ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system.
Upang malutas ang sistema ng mga equation paraan ng pagpapalit kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:
1. Ipinapahayag namin. Mula sa anumang equation, nagpapahayag kami ng isang variable.
2. Kapalit. Pinapalitan namin sa isa pang equation sa halip na ang ipinahayag na variable, ang resultang halaga.
3. Nilulutas namin ang resultang equation na may isang variable. Nakahanap kami ng solusyon sa system.
Lutasin sistema sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) kailangan:
1. Pumili ng variable kung saan gagawa tayo ng parehong coefficient.
2. Idinaragdag o binabawasan natin ang mga equation, bilang resulta nakakakuha tayo ng equation na may isang variable.
3. Nilulutas namin ang nagresultang linear equation. Nakahanap kami ng solusyon sa system.
Ang solusyon ng system ay ang mga intersection point ng mga graph ng function.
Isaalang-alang natin nang detalyado ang solusyon ng mga system gamit ang mga halimbawa.
Halimbawa #1:
Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit
Paglutas ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit2x+5y=1 (1 equation)
x-10y=3 (2nd equation)
1. Ipahayag
Makikita na sa pangalawang equation ay mayroong variable x na may coefficient na 1, kaya lumalabas na pinakamadaling ipahayag ang variable x mula sa pangalawang equation.
x=3+10y
2. Pagkatapos ipahayag, pinapalitan natin ang 3 + 10y sa unang equation sa halip na ang variable na x.
2(3+10y)+5y=1
3. Nilulutas namin ang resultang equation na may isang variable.
2(3+10y)+5y=1 (mga bukas na bracket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang mga intersection point ng mga graph, kaya't kailangan nating hanapin ang x at y, dahil ang intersection point ay binubuo ng x at y. Hanapin natin ang x, sa unang talata kung saan ipinahayag natin ay pinapalitan natin ang y doon.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Nakaugalian na magsulat ng mga puntos sa unang lugar, isinusulat namin ang variable na x, at sa pangalawang lugar ang variable na y.
Sagot: (1; -0.2)
Halimbawa #2:
Lutasin natin sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas).
Paglutas ng isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag3x-2y=1 (1 equation)
2x-3y=-10 (2nd equation)
1. Pumili ng variable, sabihin nating pipiliin natin ang x. Sa unang equation, ang variable x ay may coefficient na 3, sa pangalawa - 2. Kailangan nating gawin ang mga coefficient na pareho, para dito may karapatan tayong i-multiply ang mga equation o hatiin sa anumang numero. I-multiply namin ang unang equation sa pamamagitan ng 2, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 3 at makakuha ng kabuuang koepisyent ng 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Mula sa unang equation, ibawas ang pangalawa upang maalis ang variable na x. Lutasin ang linear equation.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Hanapin ang x. Pinapalitan natin ang nahanap na y sa alinman sa mga equation, sabihin natin sa unang equation.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
Ang punto ng intersection ay magiging x=4.6; y=6.4
Sagot: (4.6; 6.4)
Gusto mo bang maghanda para sa mga pagsusulit nang libre? Tutor online libre. Walang biro.
Algebraic na paraan ng pagdaragdag
Maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam sa iba't ibang paraan - isang graphical na paraan o isang variable na paraan ng pagbabago.
Sa araling ito, makikilala natin ang isa pang paraan ng paglutas ng mga sistema na tiyak na magugustuhan mo - ito ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic.
At saan nagmula ang ideya - maglagay ng isang bagay sa mga system? Kapag nilulutas ang mga sistema, ang pangunahing problema ay ang pagkakaroon ng dalawang variable, dahil hindi natin malulutas ang mga equation na may dalawang variable. Kaya, kinakailangang ibukod ang isa sa kanila sa ilang legal na paraan. At ang gayong mga lehitimong paraan ay mga tuntunin at katangian ng matematika.
Ganito ang tunog ng isa sa mga katangiang ito: ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Nangangahulugan ito na kung may mga kabaligtaran na coefficient para sa isa sa mga variable, ang kanilang kabuuan ay magiging katumbas ng zero at magagawa nating ibukod ang variable na ito mula sa equation. Malinaw na wala tayong karapatang magdagdag lamang ng mga termino na may variable na kailangan natin. Kinakailangang idagdag ang mga equation sa kabuuan, i.e. hiwalay na magdagdag ng mga katulad na termino sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay sa kanan. Bilang resulta, makakakuha tayo ng bagong equation na naglalaman lamang ng isang variable. Tingnan natin ang mga partikular na halimbawa.
Nakikita natin na sa unang equation mayroong isang variable na y, at sa pangalawa ang kabaligtaran na numero ay y. Kaya't ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.
Ang isa sa mga equation ay naiwan kung ano ito. Kahit sinong pinakagusto mo.
Ngunit ang pangalawang equation ay makukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation na ito sa pamamagitan ng termino. Yung. Magdagdag ng 3x sa 2x, magdagdag ng y sa -y, magdagdag ng 8 hanggang 7.
Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation
Ang pangalawang equation ng sistemang ito ay isang simpleng equation na may isang variable. Mula dito nakita namin ang x \u003d 3. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga sa unang equation, nakita namin ang y \u003d -1.
Sagot: (3; - 1).
sample ng disenyo:
Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng algebraic addition
Walang mga variable na may kabaligtaran na mga coefficient sa sistemang ito. Ngunit alam natin na ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply sa parehong numero. I-multiply natin ang unang equation ng system sa 2.
Pagkatapos ang unang equation ay kukuha ng anyo:
Ngayon nakita natin na sa variable na x mayroong mga kabaligtaran na coefficient. Kaya, gagawin natin ang katulad ng sa unang halimbawa: iiwan natin ang isa sa mga equation na hindi nagbabago. Halimbawa, 2y + 2x \u003d 10. At nakukuha namin ang pangalawa sa pamamagitan ng pagdaragdag.
Ngayon mayroon kaming isang sistema ng mga equation:
Madali nating mahanap mula sa pangalawang equation na y = 1, at pagkatapos ay mula sa unang equation x = 4.
sample ng disenyo:
Ibuod natin:
Natutunan namin kung paano lutasin ang mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang algebraic addition method. Kaya, alam na natin ngayon ang tatlong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema: ang graphical na pamamaraan, ang pagbabago ng variable na paraan, at ang paraan ng pagdaragdag. Halos anumang sistema ay maaaring malutas gamit ang mga pamamaraang ito. Sa mas kumplikadong mga kaso, isang kumbinasyon ng mga pamamaraan na ito ang ginagamit.
Listahan ng ginamit na panitikan:
- Mordkovich A.G., Algebra grade 7 sa 2 bahagi, Part 1, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. - 10th ed., binago - Moscow, "Mnemosyne", 2007.
- Mordkovich A.G., Algebra grade 7 sa 2 bahagi, Part 2, Task book para sa mga institusyong pang-edukasyon / [A.G. Mordkovich at iba pa]; inedit ni A.G. Mordkovich - ika-10 edisyon, binago - Moscow, Mnemosyne, 2007.
- SIYA. Tulcinskaya, Algebra Baitang 7. Blitz survey: isang gabay para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, ika-4 na edisyon, binago at dinagdagan, Moscow, Mnemozina, 2008.
- Alexandrova L.A., Algebra Baitang 7. Thematic test papers sa isang bagong anyo para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, na na-edit ni A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011.
- Alexander L.A. Algebra ika-7 baitang. Malayang gawain para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich - ika-6 na edisyon, stereotypical, Moscow, "Mnemosyne", 2010.
Ang mga sistema ng equation ay malawakang ginagamit sa industriya ng ekonomiya sa matematikal na pagmomodelo ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.
Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.
Ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang termino para sa dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.
Linear Equation
Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.
Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation
Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.
F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.
Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.
Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.
Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.
Ang mga homogenous na sistema ng mga linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.
Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.
Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.
Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation
Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong matematika sa paaralan ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at matrix method, ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss method.
Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano wastong pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.
Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.
Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit
Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system
Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga kahirapan at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.
Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong masalimuot para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.
Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:
Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan
Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation na may isang variable.
Ang mga aplikasyon ng paraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang pagdaragdag ng algebraic ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.
Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:
- I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Bilang resulta ng operasyon ng aritmetika, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
- Idagdag ang nagresultang termino ng expression sa pamamagitan ng termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
- I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.
Pamamaraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable
Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.
Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.
Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.
Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, mayroong dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.
Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.
Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema
Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.
Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa visual na paraan.
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.
Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.
Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.
Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.
Matrix at mga varieties nito
Ginagamit ang mga matrice upang maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.
Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.
Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.
Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix
Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, ang isang equation ay isang hilera ng matrix.
Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ito ay kinakailangan upang ipasok ang zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.
Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.
Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.
Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix
Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.
Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column para hindi na maulit ang column at row number ng mga elemento sa produkto.
Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method
Ginagawang posible ng matrix na paraan ng paghahanap ng solusyon na bawasan ang masalimuot na mga notasyon kapag nilulutas ang mga system gamit ang malaking dami mga variable at equation.
Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.
Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss
Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer method of solving. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga sistema na may malaking bilang ng mga linear equation.
Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.
Matapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.
Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyong Gaussian ay inilarawan bilang sumusunod:
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.
Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasabi na kung ang isa sa mga equation ng system ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.
Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral sa gitnang paaralan, ngunit isa ito sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mapaunlad ang katalinuhan ng mga batang nag-aaral sa advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.
Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:
Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.
Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang mga kinakailangang algebraic operation hanggang sa makamit ang resulta.
Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.
Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na huwag magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.
Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng mga pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.
Ang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawa o higit pang mga linear na equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng kanilang mga karaniwang solusyon. Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam. Ang isang pangkalahatang view ng isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam ay ipinapakita sa figure sa ibaba:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Dito ang x at y ay mga hindi kilalang variable, ang a1, a2, b1, b2, c1, c2 ay ilang tunay na numero. Ang solusyon sa isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay isang pares ng mga numero (x, y) na kung ang mga numerong ito ay ihalili sa mga equation ng system, ang bawat isa sa mga equation ng system ay magiging isang tunay na pagkakapantay-pantay. Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear equation. Isaalang-alang ang isa sa mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation, katulad ng paraan ng pagdaragdag.
Algorithm para sa paglutas sa pamamagitan ng paraan ng karagdagan
Isang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation na may dalawang hindi kilalang paraan ng pagdaragdag.
1. Kung kinakailangan, sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, i-equalize ang mga coefficient para sa isa sa mga hindi kilalang variable sa parehong mga equation.
2. Pagdaragdag o pagbabawas ng mga resultang equation upang makakuha ng linear equation na may isang hindi alam
3. Lutasin ang resultang equation na may isang hindi alam at hanapin ang isa sa mga variable.
4. Palitan ang resultang expression sa alinman sa dalawang equation ng system at lutasin ang equation na ito, kaya makuha ang pangalawang variable.
5. Suriin ang solusyon.
Isang halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag
Para sa higit na kalinawan, nilulutas namin ang sumusunod na sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Dahil wala sa mga variable ang may parehong coefficients, equalize namin ang coefficients ng variable y. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa tatlo, at ang pangalawang equation sa dalawa.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Kunin ang sumusunod na sistema ng mga equation:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Ngayon ibawas ang una mula sa pangalawang equation. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino at nilulutas ang nagresultang linear equation.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa unang equation mula sa aming orihinal na sistema at nilulutas ang resultang equation.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
Ang resulta ay isang pares ng mga numerong x=6 at y=14. Sinusuri namin. Gumagawa kami ng pagpapalit.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Tulad ng nakikita mo, nakakuha kami ng dalawang tunay na pagkakapantay-pantay, samakatuwid, natagpuan namin ang tamang solusyon.
Kadalasan, nahihirapan ang mga mag-aaral na pumili ng paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.
Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang malutas ang mga sistema - ang paraan ng pagpapalit.
Kung ang isang karaniwang solusyon ng dalawang equation ay natagpuan, ang mga equation na ito ay sinasabing bumubuo ng isang sistema. Sa isang sistema ng mga equation, ang bawat hindi kilala ay kumakatawan sa parehong numero sa lahat ng mga equation. Upang ipakita na ang mga equation na ito ay bumubuo ng isang sistema, ang mga ito ay karaniwang nakasulat sa ibaba ng isa at pinagsama sa isang kulot na bracket, halimbawa.
Pansinin namin na para sa x = 15, at y = 5, ang parehong mga equation ng system ay tama. Ang pares ng mga numero ay ang solusyon sa sistema ng mga equation. Ang bawat pares ng hindi kilalang mga halaga na sabay-sabay na nakakatugon sa parehong mga equation ng system ay tinatawag na solusyon sa system.
Ang isang sistema ay maaaring magkaroon ng isang solusyon (tulad ng sa aming halimbawa), walang katapusang maraming solusyon, at walang solusyon.
Paano malulutas ang mga sistema gamit ang paraan ng pagpapalit? Kung ang mga coefficient para sa ilang hindi alam sa parehong mga equation ay pantay-pantay sa ganap na halaga (kung hindi sila pantay, pagkatapos ay equalize namin), pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga equation (o pagbabawas ng isa mula sa isa), maaari kang makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Pagkatapos ay lutasin namin ang equation na ito. Tinukoy namin ang isang hindi alam. Pinapalitan namin ang nakuhang halaga ng hindi alam sa isa sa mga equation ng system (sa una o sa pangalawa). Nakahanap kami ng isa pang hindi kilala. Tingnan natin ang mga halimbawa ng aplikasyon ng pamamaraang ito.
Halimbawa 1 Lutasin ang System of Equation
Dito ang mga coefficient sa y ay pantay sa ganap na halaga, ngunit kabaligtaran sa sign. Subukan natin ang termino sa pamamagitan ng termino upang idagdag ang mga equation ng system.
Ang nagresultang halaga x \u003d 4, pinapalitan namin sa ilang equation ng system (halimbawa, sa una) at hanapin ang halaga ng y:
2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.
Ang aming system ay may solusyon na x = 4, y = 3. O ang sagot ay maaaring isulat sa panaklong, bilang mga coordinate ng isang punto, sa unang lugar x, sa pangalawang y.
Sagot: (4; 3)
Halimbawa 2. Lutasin ang isang sistema ng mga equation
Pinapantay namin ang mga coefficient para sa variable x, para dito pinarami namin ang unang equation ng 3, at ang pangalawa sa pamamagitan ng (-2), nakukuha namin
Mag-ingat Kapag Nagdadagdag ng Mga Equation
Pagkatapos y \u003d - 2. Pinapalitan namin ang numero (-2) sa halip na y sa unang equation, nakukuha namin
4x + 3 (-2) \u003d - 4. Lutasin namin ang equation na ito 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.
Sagot: (1/2; - 2)
Halimbawa 3 Lutasin ang System of Equation
I-multiply ang unang equation sa (-2)
Paglutas ng sistema
nakukuha namin ang 0 = - 13.
Walang sistema ng solusyon, dahil ang 0 ay hindi katumbas ng (-13).
Sagot: Walang solusyon.
Halimbawa 4 Lutasin ang System of Equation
Tandaan na ang lahat ng mga coefficient ng pangalawang equation ay nahahati sa 3,
hatiin natin ang pangalawang equation ng tatlo at makakuha tayo ng isang sistema na binubuo ng dalawang magkaparehong equation.
Ang sistemang ito ay may walang katapusang maraming mga solusyon, dahil ang una at pangalawang equation ay pareho (nakakuha lamang kami ng isang equation na may dalawang variable). Paano ipapakita ang solusyon ng sistemang ito? Ipahayag natin ang variable na y mula sa equation na x + y = 5. Nakukuha natin ang y = 5 - x.
Pagkatapos sagot ay isusulat na ganito: (x; 5-x), x ay anumang numero.
Isinaalang-alang namin ang solusyon ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Kung mayroon kang anumang mga katanungan o isang bagay na hindi malinaw, mag-sign up para sa isang aralin at aayusin namin ang lahat ng mga problema sa iyo.
blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.
