"Ang pagiging random ay hindi sinasadya"... Parang sinabi ng isang pilosopo, ngunit sa katunayan, ang pag-aaral ng mga aksidente ay ang kapalaran ng mahusay na agham ng matematika. Sa matematika, ang pagkakataon ay ang teorya ng posibilidad. Ang mga pormula at mga halimbawa ng mga gawain, pati na rin ang mga pangunahing kahulugan ng agham na ito ay ipapakita sa artikulo.

Ano ang Probability Theory?

Ang teorya ng posibilidad ay isa sa mga disiplina sa matematika na nag-aaral ng mga random na kaganapan.

Upang gawing mas malinaw ito, magbigay tayo ng isang maliit na halimbawa: kung maghagis ka ng barya, maaari itong mahulog sa ulo o buntot. Hangga't ang barya ay nasa himpapawid, ang parehong mga posibilidad na ito ay posible. Iyon ay, ang posibilidad ng mga posibleng kahihinatnan ay nauugnay sa 1:1. Kung ang isa ay iginuhit mula sa isang deck na may 36 na baraha, ang posibilidad ay ipahiwatig bilang 1:36. Tila walang dapat tuklasin at mahulaan, lalo na sa tulong ng mga mathematical formula. Gayunpaman, kung uulitin mo ang isang tiyak na aksyon nang maraming beses, maaari mong matukoy ang isang tiyak na pattern at, sa batayan nito, mahulaan ang kinalabasan ng mga kaganapan sa ibang mga kundisyon.

Upang ibuod ang lahat ng nasa itaas, pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad sa klasikal na kahulugan ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga posibleng kaganapan sa isang numerical na kahulugan.

Mula sa mga pahina ng kasaysayan

Ang teorya ng probabilidad, mga pormula at mga halimbawa ng mga unang gawain ay lumitaw sa malayong Middle Ages, nang ang mga pagtatangka na hulaan ang kinalabasan ng mga laro ng card ay unang lumitaw.

Sa una, ang teorya ng probabilidad ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay nabigyang-katwiran sa pamamagitan ng mga empirical na katotohanan o mga katangian ng isang kaganapan na maaaring kopyahin sa pagsasanay. Ang mga unang gawa sa lugar na ito bilang isang disiplina sa matematika ay lumitaw noong ika-17 siglo. Ang mga tagapagtatag ay sina Blaise Pascal at Pierre Fermat. Sa mahabang panahon nag-aral sila ng pagsusugal at nakakita ng ilang mga pattern, na nagpasya silang sabihin sa publiko.

Ang parehong pamamaraan ay naimbento ni Christian Huygens, bagaman hindi siya pamilyar sa mga resulta ng pananaliksik nina Pascal at Fermat. Ang konsepto ng "probability theory", mga pormula at mga halimbawa, na itinuturing na una sa kasaysayan ng disiplina, ay ipinakilala niya.

Walang maliit na kahalagahan ang mga gawa ni Jacob Bernoulli, Laplace at Poisson's theorems. Ginawa nila ang teorya ng posibilidad na mas katulad ng isang disiplina sa matematika. Ang teorya ng posibilidad, mga pormula at mga halimbawa ng mga pangunahing gawain ay nakuha ang kanilang kasalukuyang anyo salamat sa mga axiom ni Kolmogorov. Bilang resulta ng lahat ng mga pagbabago, ang teorya ng probabilidad ay naging isa sa mga sangay ng matematika.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Mga kaganapan

Ang pangunahing konsepto ng disiplinang ito ay "kaganapan". Ang mga kaganapan ay may tatlong uri:

• Maaasahan. Yung mangyayari pa rin (malalaglag ang barya).
• Imposible. Mga kaganapan na hindi mangyayari sa anumang senaryo (ang barya ay mananatiling nakabitin sa hangin).
• Random. Yung mangyayari o hindi. Maaari silang maimpluwensyahan ng iba't ibang mga kadahilanan na napakahirap hulaan. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang barya, kung gayon ang mga random na kadahilanan na maaaring makaapekto sa resulta: ang mga pisikal na katangian ng barya, hugis nito, paunang posisyon nito, lakas ng paghagis, atbp.

Ang lahat ng mga kaganapan sa mga halimbawa ay tinutukoy ng malalaking titik na Latin, maliban sa R, na may ibang papel. Halimbawa:

• A = "dumating ang mga mag-aaral sa lecture."
• Ā = "hindi dumating ang mga mag-aaral sa lecture".

Sa mga praktikal na gawain, ang mga kaganapan ay karaniwang naitala sa mga salita.

Ang isa sa pinakamahalagang katangian ng mga kaganapan ay ang kanilang pantay na posibilidad. Iyon ay, kung i-flip mo ang isang barya, ang lahat ng mga pagpipilian para sa orihinal na pagkahulog ay posible hanggang sa ito ay bumagsak. Ngunit ang mga kaganapan ay hindi rin pantay na posibilidad. Nangyayari ito kapag ang isang tao ay sadyang nakakaimpluwensya sa kinalabasan. Halimbawa, "minarkahan" ang paglalaro ng mga baraha o dice, kung saan inililipat ang sentro ng grabidad.

Ang mga kaganapan ay magkatugma at hindi magkatugma. Ang mga magkatugmang kaganapan ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng bawat isa. Halimbawa:

• A = "dumating ang estudyante sa lecture."
• B = "dumating ang estudyante sa lecture."

Ang mga kaganapang ito ay independyente sa bawat isa, at ang hitsura ng isa sa mga ito ay hindi nakakaapekto sa hitsura ng isa pa. Ang hindi magkatugma na mga kaganapan ay tinukoy sa pamamagitan ng katotohanan na ang paglitaw ng isa ay humahadlang sa paglitaw ng isa pa. Kung pinag-uusapan natin ang parehong barya, kung gayon ang pagkawala ng "mga buntot" ay ginagawang imposible para sa hitsura ng "mga ulo" sa parehong eksperimento.

Mga aksyon sa mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay maaaring paramihin at idagdag, ayon sa pagkakabanggit, ang mga lohikal na connective na "AT" at "O" ay ipinakilala sa disiplina.

Ang halaga ay natutukoy sa pamamagitan ng katotohanan na ang alinman sa kaganapan A, o B, o pareho ay maaaring mangyari sa parehong oras. Sa kaso kapag ang mga ito ay hindi tugma, ang huling opsyon ay imposible, alinman sa A o B ay mawawala.

Ang pagpaparami ng mga kaganapan ay binubuo sa hitsura ng A at B sa parehong oras.

Ngayon ay maaari kang magbigay ng ilang mga halimbawa upang mas matandaan ang mga pangunahing kaalaman, teorya ng posibilidad at mga formula. Mga halimbawa ng paglutas ng problema sa ibaba.

Ehersisyo 1: Ang kumpanya ay nagbi-bid para sa mga kontrata para sa tatlong uri ng trabaho. Mga posibleng kaganapan na maaaring mangyari:

• A = "tatanggap ng kompanya ang unang kontrata."
• A 1 = "hindi matatanggap ng kompanya ang unang kontrata."
• B = "ang kompanya ay makakatanggap ng pangalawang kontrata."
• B 1 = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng pangalawang kontrata"
• C = "ang kompanya ay makakatanggap ng ikatlong kontrata."
• C 1 = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng ikatlong kontrata."

Subukan nating ipahayag ang mga sumusunod na sitwasyon gamit ang mga aksyon sa mga kaganapan:

• K = "tatanggap ng kompanya ang lahat ng kontrata."

Sa mathematical form, ang equation ay magiging ganito: K = ABC.

• M = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng isang kontrata."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Ginagawa naming kumplikado ang gawain: H = "ang kompanya ay makakatanggap ng isang kontrata." Dahil hindi alam kung aling kontrata ang matatanggap ng kompanya (ang una, pangalawa o pangatlo), kinakailangang itala ang buong hanay ng mga posibleng kaganapan:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

At ang 1 BC 1 ay isang serye ng mga kaganapan kung saan ang kompanya ay hindi tumatanggap ng una at ikatlong kontrata, ngunit natatanggap ang pangalawa. Ang iba pang posibleng mga kaganapan ay naitala din sa pamamagitan ng kaukulang pamamaraan. Ang simbolo υ sa disiplina ay nagpapahiwatig ng isang grupo ng "O". Kung isasalin natin ang halimbawa sa itaas sa wika ng tao, ang kumpanya ay makakatanggap ng alinman sa ikatlong kontrata, o ang pangalawa, o ang una. Katulad nito, maaari kang sumulat ng iba pang mga kundisyon sa disiplina na "Teorya ng Probability". Ang mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na ipinakita sa itaas ay makakatulong sa iyo na gawin ito sa iyong sarili.

Sa totoo lang, ang posibilidad

Marahil, sa mathematical na disiplina na ito, ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang sentral na konsepto. Mayroong 3 kahulugan ng posibilidad:

• klasiko;
• istatistika;
• geometriko.

Ang bawat isa ay may lugar sa pag-aaral ng mga probabilidad. Ang teorya ng posibilidad, mga formula, at mga halimbawa (Grade 9) ay kadalasang gumagamit ng klasikong kahulugan, na parang ganito:

• Ang posibilidad ng sitwasyon A ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kinalabasan na pumapabor sa paglitaw nito sa bilang ng lahat ng posibleng resulta.

Ang formula ay ganito ang hitsura: P (A) \u003d m / n.

At, sa totoo lang, isang kaganapan. Kung ang kabaligtaran ng A ay nangyayari, maaari itong isulat bilang Ā o A 1 .

m ay ang bilang ng mga posibleng paborableng kaso.

n - lahat ng pangyayari na maaaring mangyari.

Halimbawa, A \u003d "hugot ng heart suit card." Mayroong 36 na card sa isang karaniwang deck, 9 sa mga ito ay mga puso. Alinsunod dito, ang formula para sa paglutas ng problema ay magiging ganito:

P(A)=9/36=0.25.

Bilang resulta, ang posibilidad na ang isang heart suit card ay makukuha mula sa deck ay magiging 0.25.

sa mas mataas na matematika

Ngayon ay medyo kilala na kung ano ang teorya ng probabilidad, mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng mga gawain na makikita sa kurikulum ng paaralan. Gayunpaman, ang teorya ng probabilidad ay matatagpuan din sa mas mataas na matematika, na itinuturo sa mga unibersidad. Kadalasan, gumagana ang mga ito sa mga geometriko at istatistikal na kahulugan ng teorya at mga kumplikadong formula.

Ang teorya ng posibilidad ay lubhang kawili-wili. Ang mga formula at halimbawa (mas mataas na matematika) ay mas mahusay na magsimulang matuto mula sa isang maliit - mula sa isang istatistikal (o dalas) na kahulugan ng posibilidad.

Ang diskarte sa istatistika ay hindi sumasalungat sa klasikal na diskarte, ngunit bahagyang pinalawak ito. Kung sa unang kaso kinakailangan upang matukoy kung anong antas ng posibilidad ang isang kaganapan ay magaganap, kung gayon sa pamamaraang ito kinakailangan upang ipahiwatig kung gaano kadalas ito mangyayari. Dito ipinakilala namin ang isang bagong konsepto ng "relative frequency", na maaaring tukuyin ng W n (A). Ang formula ay hindi naiiba sa klasiko:

Kung ang klasikal na formula ay kinakalkula para sa pagtataya, ang istatistika ay kinakalkula ayon sa mga resulta ng eksperimento. Kunin, halimbawa, ang isang maliit na gawain.

Sinusuri ng departamento ng teknolohikal na kontrol ang mga produkto para sa kalidad. Sa 100 produkto, 3 ang nakitang hindi maganda ang kalidad. Paano mahahanap ang dalas ng posibilidad ng isang kalidad na produkto?

A = "ang hitsura ng isang kalidad na produkto."

W n (A)=97/100=0.97

Kaya, ang dalas ng isang kalidad na produkto ay 0.97. Saan mo nakuha ang 97? Sa 100 mga produkto na nasuri, 3 ay naging mahina ang kalidad. Ibawas natin ang 3 mula sa 100, makakakuha tayo ng 97, ito ang dami ng isang kalidad na produkto.

Medyo tungkol sa combinatorics

Ang isa pang paraan ng probability theory ay tinatawag na combinatorics. Ang pangunahing prinsipyo nito ay kung ang isang tiyak na pagpipilian A ay maaaring gawin sa m iba't ibang paraan, at isang pagpipilian B sa n iba't ibang paraan, kung gayon ang pagpili ng A at B ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpaparami.

Halimbawa, mayroong 5 kalsada mula sa lungsod A hanggang sa lungsod B. Mayroong 4 na ruta mula sa lungsod B patungo sa lungsod C. Ilang paraan ang mayroon upang makapunta mula sa lungsod A patungo sa lungsod C?

Ito ay simple: 5x4 = 20, ibig sabihin, mayroong dalawampung magkakaibang paraan upang makarating mula sa punto A hanggang sa punto C.

Gawin nating mas mahirap ang gawain. Ilang paraan ang mayroon para maglaro ng mga baraha sa solitaire? Sa isang deck ng 36 card, ito ang panimulang punto. Upang malaman ang bilang ng mga paraan, kailangan mong "ibawas" ang isang card mula sa panimulang punto at i-multiply.

Iyon ay, 36x35x34x33x32…x2x1= ang resulta ay hindi magkasya sa screen ng calculator, kaya maaari lamang itong italagang 36!. Tanda "!" sa tabi ng numero ay nagpapahiwatig na ang buong serye ng mga numero ay pinarami sa kanilang mga sarili.

Sa combinatorics, mayroong mga konsepto tulad ng permutation, placement at combination. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling formula.

Ang isang nakaayos na hanay ng mga elemento ng hanay ay tinatawag na layout. Maaaring paulit-ulit ang mga placement, ibig sabihin, ang isang elemento ay maaaring gamitin nang maraming beses. At nang walang pag-uulit, kapag ang mga elemento ay hindi paulit-ulit. n ang lahat ng elemento, ang m ay ang mga elementong lumalahok sa paglalagay. Ang formula para sa paglalagay nang walang pag-uulit ay magiging ganito:

A n m =n!/(n-m)!

Ang mga koneksyon ng n elemento na naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng pagkakalagay ay tinatawag na permutations. Sa matematika, ganito ang hitsura: P n = n!

Ang mga kumbinasyon ng n elemento sa pamamagitan ng m ay mga compound kung saan mahalaga kung aling mga elemento sila at kung ano ang kanilang kabuuang bilang. Magiging ganito ang formula:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli formula

Sa teorya ng probabilidad, gayundin sa bawat disiplina, may mga gawa ng mga natitirang mananaliksik sa kanilang larangan na nagdala nito sa isang bagong antas. Ang isa sa mga gawang ito ay ang Bernoulli formula, na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang posibilidad ng isang partikular na kaganapan na nagaganap sa ilalim ng mga independiyenteng kondisyon. Iminumungkahi nito na ang hitsura ng A sa isang eksperimento ay hindi nakasalalay sa hitsura o hindi paglitaw ng parehong kaganapan sa nakaraan o kasunod na mga pagsubok.

Bernoulli equation:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Ang posibilidad (p) ng paglitaw ng kaganapan (A) ay hindi nagbabago para sa bawat pagsubok. Ang posibilidad na ang sitwasyon ay mangyayari nang eksakto m beses sa n bilang ng mga eksperimento ay kakalkulahin ng formula na ipinakita sa itaas. Alinsunod dito, ang tanong ay lumitaw kung paano malalaman ang numero q.

Kung ang kaganapan A ay nangyari p bilang ng beses, naaayon, ito ay maaaring hindi mangyari. Ang unit ay isang numero na ginagamit upang italaga ang lahat ng resulta ng isang sitwasyon sa isang disiplina. Samakatuwid, ang q ay isang numero na nagsasaad ng posibilidad na hindi mangyari ang kaganapan.

Ngayon alam mo na ang Bernoulli formula (probability theory). Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema (ang unang antas) ay isasaalang-alang sa ibaba.

Gawain 2: Ang isang bisita sa tindahan ay bibili na may posibilidad na 0.2. 6 na bisita ang pumasok sa tindahan nang nakapag-iisa. Ano ang posibilidad na bibili ang isang bisita?

Solusyon: Dahil hindi alam kung ilang bisita ang dapat bumili, isa o lahat ng anim, kinakailangang kalkulahin ang lahat ng posibleng probabilidad gamit ang Bernoulli formula.

A = "mamimili ang bisita."

Sa kasong ito: p = 0.2 (tulad ng ipinahiwatig sa gawain). Alinsunod dito, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (dahil mayroong 6 na customer sa tindahan). Ang bilang na m ay magbabago mula 0 (walang customer na bibili) hanggang 6 (lahat ng mga bisita sa tindahan ay bibili ng isang bagay). Bilang resulta, nakuha namin ang solusyon:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Wala sa mga mamimili ang bibili na may posibilidad na 0.2621.

Paano pa ginagamit ang Bernoulli formula (probability theory)? Mga halimbawa ng paglutas ng problema (ikalawang antas) sa ibaba.

Pagkatapos ng halimbawa sa itaas, lumitaw ang mga tanong tungkol sa kung saan napunta ang C at p. Sa paggalang sa p, ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay magiging katumbas ng isa. Tulad ng para sa C, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Dahil sa unang halimbawa m = 0, ayon sa pagkakabanggit, C=1, na sa prinsipyo ay hindi nakakaapekto sa resulta. Gamit ang bagong formula, subukan nating alamin kung ano ang posibilidad ng pagbili ng mga kalakal ng dalawang bisita.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Ang teorya ng posibilidad ay hindi masyadong kumplikado. Ang Bernoulli formula, ang mga halimbawa nito ay ipinakita sa itaas, ay isang direktang patunay nito.

Poisson formula

Ang Poisson equation ay ginagamit upang kalkulahin ang mga hindi malamang na random na sitwasyon.

Pangunahing formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Sa kasong ito, λ = n x p. Narito ang isang simpleng Poisson formula (probability theory). Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema ay isasaalang-alang sa ibaba.

Gawain 3 A: Ang pabrika ay gumawa ng 100,000 bahagi. Ang hitsura ng isang may sira na bahagi = 0.0001. Ano ang posibilidad na magkakaroon ng 5 may sira na bahagi sa isang batch?

Tulad ng nakikita mo, ang kasal ay isang hindi malamang na kaganapan, at samakatuwid ang Poisson formula (probability theory) ay ginagamit para sa pagkalkula. Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema ng ganitong uri ay hindi naiiba sa iba pang mga gawain ng disiplina, pinapalitan namin ang kinakailangang data sa formula sa itaas:

A = "isang random na napiling bahagi ay may depekto."

p = 0.0001 (ayon sa kondisyon ng pagtatalaga).

n = 100000 (bilang ng mga bahagi).

m = 5 (mga may sira na bahagi). Pinapalitan namin ang data sa formula at makuha ang:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

Tulad ng Bernoulli formula (probability theory), mga halimbawa ng mga solusyon na ginagamit na nakasulat sa itaas, ang Poisson equation ay may hindi kilalang e. Sa esensya, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Gayunpaman, mayroong mga espesyal na talahanayan na naglalaman ng halos lahat ng mga halaga ng e.

De Moivre-Laplace theorem

Kung sa scheme ng Bernoulli ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa lahat ng mga scheme ay pareho, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang tiyak na bilang ng beses sa isang serye ng mga pagsubok ay matatagpuan sa pamamagitan ng ang Laplace formula:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Para mas matandaan ang Laplace formula (probability theory), mga halimbawa ng mga gawaing makakatulong sa ibaba.

Una naming mahanap X m , pinapalitan namin ang data (lahat sila ay ipinahiwatig sa itaas) sa formula at makakuha ng 0.025. Gamit ang mga talahanayan, makikita natin ang numerong ϕ (0.025), ang halaga nito ay 0.3988. Ngayon ay maaari mong palitan ang lahat ng data sa formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Kaya ang posibilidad na ang flyer ay tamaan ng eksaktong 267 beses ay 0.03.

Formula ng Bayes

Ang pormula ng Bayes (teoryang probabilidad), mga halimbawa ng paglutas ng mga gawain gamit ang ibibigay sa ibaba, ay isang equation na naglalarawan sa posibilidad ng isang kaganapan batay sa mga pangyayari na maaaring maiugnay dito. Ang pangunahing formula ay ang mga sumusunod:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

Ang A at B ay mga tiyak na pangyayari.

P(A|B) - conditional probability, ibig sabihin, maaaring mangyari ang event A, basta't totoo ang event B.

Р (В|А) - may kondisyong posibilidad ng kaganapan В.

Kaya, ang huling bahagi ng maikling kurso na "Teorya ng Probability" ay ang pormula ng Bayes, mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na nasa ibaba.

Gawain 5: Dinala sa bodega ang mga telepono mula sa tatlong kumpanya. Kasabay nito, ang bahagi ng mga teleponong ginawa sa unang halaman ay 25%, sa pangalawa - 60%, sa pangatlo - 15%. Alam din na ang average na porsyento ng mga may sira na produkto sa unang pabrika ay 2%, sa pangalawa - 4%, at sa pangatlo - 1%. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na ang isang random na napiling telepono ay may depekto.

A = "randomly taken phone."

B 1 - ang telepono na ginawa ng unang pabrika. Alinsunod dito, lalabas ang panimulang B 2 at B 3 (para sa pangalawa at pangatlong pabrika).

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - kaya natagpuan namin ang posibilidad ng bawat pagpipilian.

Ngayon ay kailangan mong hanapin ang mga kondisyon na probabilidad ng nais na kaganapan, iyon ay, ang posibilidad ng mga may sira na produkto sa mga kumpanya:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

Ngayon pinapalitan namin ang data sa formula ng Bayes at makuha ang:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Ang artikulo ay nagpapakita ng teorya ng posibilidad, mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng problema, ngunit ito ay dulo lamang ng malaking bato ng yelo ng isang malawak na disiplina. At pagkatapos ng lahat ng naisulat, magiging lohikal na itanong kung kailangan ba ang teorya ng posibilidad sa buhay. Mahirap sumagot ang isang simpleng tao, mas mabuting magtanong sa taong naka-jackpot ng higit sa isang beses sa tulong niya.

Ang teorya ng probabilidad ay isang matematikal na agham na nagpapahintulot, sa pamamagitan ng mga probabilidad ng ilang mga random na kaganapan, upang mahanap ang mga probabilidad ng iba pang mga random na kaganapan na nauugnay sa ilang paraan sa una.

Isang pahayag kung saan nangyayari ang isang kaganapan probabilidad, katumbas, halimbawa, ½, ay hindi pa kumakatawan sa kanyang sarili ang pangwakas na halaga, dahil kami ay nagsusumikap para sa maaasahang kaalaman. Ang panghuling cognitive value ay ang mga resulta ng theory of probability, na nagbibigay-daan sa amin na igiit na ang probabilidad ng paglitaw ng anumang kaganapan A ay napakalapit sa pagkakaisa o (na pareho) ang posibilidad ng hindi paglitaw ng kaganapan A ay napakaliit. . Alinsunod sa prinsipyo ng "pagpapabaya sa sapat na maliliit na probabilidad", ang naturang kaganapan ay wastong itinuturing na halos tiyak. Sa ibaba (sa seksyong Limit Theorems) ipinapakita na ang mga konklusyon ng ganitong uri na may interes sa siyensya at praktikal ay karaniwang batay sa pag-aakalang ang paglitaw o hindi paglitaw ng kaganapan A ay nakasalalay sa isang malaking bilang ng mga random na kadahilanan na maliit. may kaugnayan sa isa't isa. Samakatuwid, maaari rin nating sabihin na ang teorya ng probabilidad ay isang agham sa matematika na nagpapaliwanag sa mga pattern na lumitaw kapag ang isang malaking bilang ng mga random na kadahilanan ay nakikipag-ugnayan.

Ang paksa ng teorya ng posibilidad.

Upang ilarawan ang isang regular na koneksyon sa pagitan ng ilang partikular na kundisyon S at isang kaganapan A, ang paglitaw o hindi paglitaw nito sa ilalim ng mga partikular na kundisyon ay maaaring tiyak na maitatag, ang natural na agham ay karaniwang gumagamit ng isa sa mga sumusunod na dalawang pamamaraan:

a) sa bawat pagpapatupad ng mga kundisyon S, nangyayari ang isang kaganapan A. Halimbawa, ang lahat ng mga batas ng klasikal na mekanika ay may ganitong anyo, na nagsasaad na sa ilalim ng ibinigay na mga paunang kundisyon at pwersang kumikilos sa isang katawan o sistema ng mga katawan, ang paggalaw ay magaganap. sa isang natatanging tinukoy na paraan.

b) Sa ilalim ng mga kondisyon S, ang kaganapan A ay may tiyak na posibilidad na P (A / S) na katumbas ng p. Kaya, halimbawa, ang mga batas ng radioactive radiation ay nagsasaad na para sa bawat radioactive substance ay may tiyak na posibilidad na ang ilang bilang ng N ng mga atomo ay mabulok mula sa isang partikular na halaga ng substance sa isang takdang panahon.

Tawagan natin ang dalas ng kaganapan A sa isang naibigay na serye ng n pagsubok (iyon ay, ng n paulit-ulit na pagpapatupad ng mga kundisyon S) ang ratio h = m/n ng bilang m ng mga pagsubok na iyon kung saan nangyari ang A sa kanilang kabuuang bilang n . Ang katotohanan na ang kaganapan A sa ilalim ng mga kundisyon S ay may tiyak na posibilidad na katumbas ng p ay ipinakita sa katotohanan na sa halos bawat sapat na mahabang serye ng mga pagsubok ang dalas ng kaganapan A ay humigit-kumulang katumbas ng p.

Ang mga regular na istatistika, iyon ay, ang mga regular na inilalarawan ng isang scheme ng uri (b), ay unang natuklasan sa mga laro sa pagsusugal tulad ng dice. Ang mga istatistikal na pattern ng kapanganakan at kamatayan ay kilala rin sa napakatagal na panahon (halimbawa, ang posibilidad ng isang bagong panganak na lalaki ay 0.515). Huling bahagi ng ika-19 na siglo at unang kalahati ng ika-20 siglo. minarkahan ng pagtuklas ng malaking bilang ng mga istatistikal na regularidad sa pisika, kimika, biology, atbp.

Ang posibilidad ng paglalapat ng mga pamamaraan ng teorya ng probabilidad sa pag-aaral ng mga istatistikal na regularidad na may kaugnayan sa napakalayo na larangan ng agham ay batay sa katotohanan na ang mga probabilidad ng mga pangyayari ay palaging nakakatugon sa ilang mga simpleng relasyon, na tatalakayin sa ibaba (tingnan ang seksyong Pangunahing Konsepto ng Probability Teorya). Ang pag-aaral ng mga katangian ng mga probabilidad ng mga pangyayari batay sa mga simpleng ugnayang ito ay ang paksa ng teorya ng posibilidad.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.

Ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng probabilidad bilang isang disiplina sa matematika ay pinakasimpleng tinukoy sa loob ng balangkas ng tinatawag na elementarya na teorya ng posibilidad. Ang bawat pagsubok na T, na isinasaalang-alang sa elementarya na teorya ng posibilidad, ay nagtatapos sa isa at isa lamang sa mga kaganapang E1, E2, ..., ES (isa o iba pa, depende sa kaso). Ang mga kaganapang ito ay tinatawag na mga resulta ng pagsubok. Ang bawat kinalabasan Ek ay nauugnay sa isang positibong numero pk - ang posibilidad ng kinalabasan na ito. Ang mga numerong pk ay dapat magdagdag ng hanggang isa. Pagkatapos ay ang mga kaganapan A ay isinasaalang-alang, na binubuo sa katotohanan na "alinman sa Ei, o Ej, ..., o Ek ay nangyayari." Ang mga kinalabasan na Ei, Ej,..., Ek ay tinatawag na paborableng A, at ayon sa kahulugan, ang posibilidad na P (A) ng kaganapan A ay ipinapalagay na katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kanais-nais na resulta:

P(A) = pi + ps + … + pk. (isa)

Ang espesyal na kaso na p1 = p2 =... ps = 1/S ay humahantong sa formula

P(A) = r/s. (2)

Ang Formula (2) ay nagpapahayag ng tinatawag na klasikal na kahulugan ng probabilidad, ayon sa kung saan ang posibilidad ng anumang kaganapan A ay katumbas ng ratio ng bilang r ng mga kinalabasan na pumapabor sa A sa bilang ng s ng lahat ng "pantay na posibleng" kinalabasan. Ang klasikal na kahulugan ng probabilidad ay binabawasan lamang ang paniwala ng "probability" sa paniwala ng "equipossibility", na nananatiling walang malinaw na kahulugan.

Halimbawa. Kapag naghahagis ng dalawang dice, ang bawat isa sa 36 na posibleng resulta ay maaaring italaga (i, j), kung saan ang i ay ang bilang ng mga puntos na nahuhulog sa unang die, j - sa pangalawa. Ang mga resulta ay ipinapalagay na pantay na posibilidad. Event A - "ang kabuuan ng mga puntos ay 4", ay pinapaboran ng tatlong resulta (1; 3), (2; 2), (3; 1). Samakatuwid, P(A) = 3/36 = 1/12.

Batay sa anumang data ng mga kaganapan, dalawang bagong kaganapan ang maaaring tukuyin: ang kanilang unyon (kabuuan) at kumbinasyon (produkto). Ang isang kaganapan B ay tinatawag na isang unyon ng mga kaganapan A 1, A 2,..., Ar,-, kung ito ay may anyo: "alinman sa A1, o A2,..., o Ar ay nangyayari".

Ang isang kaganapan C ay tinatawag na kumbinasyon ng mga kaganapan A1, A.2,..., Ar, kung ito ay may anyo: "A1, A2,..., at Ar nangyari". Ang kumbinasyon ng mga kaganapan ay tinutukoy ng sign È, at ang kumbinasyon - ng sign Ç. Kaya, isinulat nila:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

Ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na hindi magkatugma kung ang kanilang sabay na pagpapatupad ay imposible, iyon ay, kung walang isang solong kanais-nais na resulta ng pagsubok para sa parehong A at B.

Ang dalawang pangunahing theorems ng V. t., ang theorems ng karagdagan at pagpaparami ng mga probabilities, ay konektado sa ipinakilala na mga operasyon ng pagsasama-sama at pagpapatong ng mga kaganapan.

Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad. Kung ang mga kaganapang A1, A2,..., Ar ay ganoon na ang bawat dalawa sa kanila ay hindi magkatugma, kung gayon ang posibilidad ng kanilang pagsasama ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad.

Kaya, sa halimbawa sa itaas na may paghagis ng dalawang dice, ang kaganapan B - "ang kabuuan ng mga puntos ay hindi lalampas sa 4", ay ang unyon ng tatlong hindi magkatugma na mga kaganapan A2, A3, A4, na binubuo sa katotohanan na ang kabuuan ng mga puntos ay 2 , 3, 4, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga probabilidad ng mga pangyayaring ito 1/36; 2/36; 3/36. Sa pamamagitan ng addition theorem, ang probabilidad na P(B) ay katumbas ng

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Ang kondisyong posibilidad ng isang kaganapan B sa ilalim ng kundisyon A ay tinutukoy ng formula

na, gaya ng maipapakita, ay ganap na sumasang-ayon sa mga katangian ng mga frequency. Ang mga kaganapang A1, A2,..., Ar ay tinatawag na independiyente kung ang kondisyonal na posibilidad ng bawat isa sa kanila, sa kondisyon na ang alinman sa iba ay nangyari, ay katumbas ng "walang kondisyon" nitong posibilidad.

Probability multiplication theorem. Ang posibilidad ng pagsasama-sama ng mga kaganapang A1, A2,..., Ar ay katumbas ng posibilidad ng kaganapang A1, na pinarami ng posibilidad ng kaganapang A2, na kinuha sa ilalim ng kondisyong naganap ang A1,..., na pinarami ng probabilidad ng kaganapang Ar, sa kondisyon na dumating ang A1, A2,.. ., Ar-1. Para sa mga independiyenteng kaganapan, ang multiplication theorem ay humahantong sa formula:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

ibig sabihin, ang posibilidad ng pagsasama-sama ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito. Ang formula (3) ay nananatiling wasto kung ang ilan sa mga kaganapan sa magkabilang bahagi nito ay papalitan ng magkasalungat.

Halimbawa. Nagpaputok ng 4 na putok sa target na may posibilidad na matamaan na 0.2 sa isang putok. Ang mga target na hit para sa iba't ibang mga shot ay ipinapalagay na mga independyenteng kaganapan. Ano ang posibilidad na tamaan ang target ng eksaktong tatlong beses?

Ang bawat resulta ng pagsubok ay maaaring ipahiwatig sa pamamagitan ng pagkakasunod-sunod ng apat na letra [hal., (y, n, n, y) ay nangangahulugan na ang una at ikaapat na shot ay tumama (tagumpay), at ang pangalawa at pangatlong hit ay hindi (nabigo)]. Sa kabuuan magkakaroon ng 2Ї2Ї2Ї2 = 16 na resulta. Alinsunod sa pagpapalagay ng kalayaan ng mga resulta ng mga indibidwal na pag-shot, formula (3) at isang tala dito ay dapat gamitin upang matukoy ang mga probabilidad ng mga resultang ito. Kaya, ang posibilidad ng kinalabasan (y, n. n, n) ay dapat itakda na katumbas ng 0.2 0.8 0.8 0.8 = 0.1024; dito 0.8 \u003d 1-0.2 - ang posibilidad ng isang miss na may isang solong shot. Ang kaganapang "natamaan ang target ng tatlong beses" ay pinapaboran ng mga kinalabasan (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), ang posibilidad ng bawat isa ay pareho:

0.2Ї0.2Ї0.2Ї0.8 \u003d ...... \u003d 0.8 0.2 0.2 0.2 \u003d 0.0064;

samakatuwid, ang nais na posibilidad ay katumbas ng

4Ї0.0064 = 0.0256.

Sa pangkalahatan ang pangangatwiran ng nasuri na halimbawa, maaari nating makuha ang isa sa mga pangunahing pormula ng teorya ng posibilidad: kung ang mga kaganapan A1, A2,..., An ay independyente at ang bawat isa ay may posibilidad na p, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng eksaktong m ng mga ito. ay katumbas ng

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

dito ang Cnm ay tumutukoy sa bilang ng mga kumbinasyon ng n elemento ng m. Para sa malaking n, nagiging mahirap ang mga kalkulasyon gamit ang formula (4). Hayaang ang bilang ng mga shot sa nakaraang halimbawa ay 100, at ang tanong ay upang mahanap ang probabilidad x na ang bilang ng mga hit ay nasa hanay mula 8 hanggang 32. Ang paglalapat ng formula (4) at ang addition theorem ay nagbibigay ng eksaktong, ngunit praktikal. hindi angkop na expression para sa nais na posibilidad

Ang tinatayang halaga ng probabilidad x ay matatagpuan gamit ang teorem ni Laplace

at ang error ay hindi lalampas sa 0.0009. Ang nahanap na resulta ay nagpapakita na ang kaganapan 8 £ m £ 32 ay halos tiyak. Ito ang pinakasimpleng ngunit tipikal na halimbawa ng paggamit ng limit theorems ng probability theory.

Kasama rin sa mga pangunahing pormula ng elementarya na teorya ng posibilidad ang tinatawag na kabuuang pormula ng posibilidad: kung ang mga kaganapan A1, A2,..., Ar ay magkapares na hindi magkatugma at ang kanilang unyon ay isang tiyak na kaganapan, kung gayon para sa anumang kaganapan B ang posibilidad nito ay pantay. sa kabuuan

Ang probabilities multiplication theorem ay lalong kapaki-pakinabang kapag isinasaalang-alang ang mga compound test. Ang isang pagsubok na T ay sinasabing binubuo ng mga pagsubok na T1, T2,..., Tn-1, Tn, kung ang bawat kinalabasan ng pagsubok T ay kumbinasyon ng ilang kinalabasan Ai, Bj,..., Xk, Yl ng katumbas na mga pagsubok T1, T2,... , Tn-1, Tn. Mula sa isang kadahilanan o iba pa, ang mga probabilidad ay madalas na kilala

Mahalagang tala!
1. Kung sa halip na mga formula ang makikita mo abracadabra, i-clear ang cache. Kung paano ito gawin sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago mo simulan ang pagbabasa ng artikulo, bigyang pansin ang aming navigator para sa pinakakapaki-pakinabang na mapagkukunan para sa

Ano ang posibilidad?

Nahaharap sa terminong ito sa unang pagkakataon, hindi ko maintindihan kung ano ito. Kaya susubukan kong ipaliwanag sa paraang naiintindihan.

Ang probabilidad ay ang pagkakataon na mangyari ang nais na kaganapan.

Halimbawa, nagpasya kang bisitahin ang isang kaibigan, tandaan ang pasukan at maging ang sahig kung saan siya nakatira. Ngunit nakalimutan ko ang numero at lokasyon ng apartment. At ngayon ay nakatayo ka sa hagdanan, at sa harap mo ay ang mga pintuan na mapagpipilian.

Ano ang pagkakataon (probability) na kung mag-doorbell ka sa unang pagkakataon, bubuksan ito ng iyong kaibigan para sa iyo? Buong apartment, at ang isang kaibigan ay nakatira lamang sa likod ng isa sa kanila. Sa pantay na pagkakataon, maaari tayong pumili ng anumang pinto.

Ngunit ano ang pagkakataong ito?

Mga pintuan, ang kanang pinto. Ang posibilidad ng paghula sa pamamagitan ng pag-ring sa unang pinto: . Ibig sabihin, one time out of three ay siguradong hulaan mo.

Gusto naming malaman sa pamamagitan ng pagtawag nang isang beses, gaano kadalas namin hulaan ang pinto? Tingnan natin ang lahat ng mga pagpipilian:

1. tinawagan mo 1st isang pinto
2. tinawagan mo ika-2 isang pinto
3. tinawagan mo ika-3 isang pinto

At ngayon isaalang-alang ang lahat ng mga opsyon kung saan ang isang kaibigan ay maaaring maging:

a. sa likod 1st pinto
b. sa likod ika-2 pinto
sa. sa likod ika-3 pinto

Ihambing natin ang lahat ng mga pagpipilian sa anyo ng isang talahanayan. Ang isang tik ay nagpapahiwatig ng mga pagpipilian kapag ang iyong pinili ay tumugma sa lokasyon ng isang kaibigan, isang krus - kapag hindi ito tumugma.

Paano mo nakikita ang lahat posibleng mga pagpipilian lokasyon ng kaibigan at ang iyong pagpili kung aling pinto ang tatawagan.

PERO kanais-nais na resulta ng lahat . Iyon ay, mahulaan mo ang mga oras mula sa pamamagitan ng pag-ring sa pinto nang isang beses, i.e. .

Ito ang posibilidad - ang ratio ng isang kanais-nais na kinalabasan (kapag ang iyong pinili ay nag-tutugma sa lokasyon ng isang kaibigan) sa bilang ng mga posibleng kaganapan.

Ang kahulugan ay ang formula. Ang posibilidad ay karaniwang tinutukoy na p, kaya:

Hindi masyadong maginhawang magsulat ng gayong pormula, kaya kukunin namin para sa - ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, at para sa - ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan.

Ang posibilidad ay maaaring isulat bilang isang porsyento, para dito kailangan mong i-multiply ang resultang resulta sa pamamagitan ng:

Marahil, ang salitang "mga kinalabasan" ay nakakuha ng iyong mata. Dahil tinatawag ng mga mathematician ang iba't ibang aksyon (para sa amin, ang naturang aksyon ay isang doorbell) na mga eksperimento, kaugalian na tawagan ang resulta ng naturang mga eksperimento bilang isang resulta.

Well, ang mga kinalabasan ay paborable at hindi paborable.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sabihin nating tumawag kami sa isa sa mga pinto, ngunit isang estranghero ang nagbukas nito para sa amin. Hindi namin nahulaan. Ano ang posibilidad na kung tatawagin natin ang isa sa mga natitirang pinto, bubuksan ito ng ating kaibigan para sa atin?

Kung naisip mo iyon, kung gayon ito ay isang pagkakamali. Alamin natin ito.

May natitira kaming dalawang pinto. Kaya mayroon kaming mga posibleng hakbang:

1) Tumawag sa 1st isang pinto
2) Tumawag ika-2 isang pinto

Ang isang kaibigan, kasama ang lahat ng ito, ay talagang nasa likod ng isa sa kanila (pagkatapos ng lahat, hindi siya nasa likod ng tinawag namin):

a) kaibigan 1st pinto
b) isang kaibigan para sa ika-2 pinto

Iguhit natin muli ang talahanayan:

Tulad ng nakikita mo, mayroong lahat ng mga pagpipilian, kung saan - kanais-nais. Ibig sabihin, pantay ang posibilidad.

Bakit hindi?

Ang sitwasyon na aming isinasaalang-alang ay halimbawa ng mga dependent na pangyayari. Ang unang kaganapan ay ang unang doorbell, ang pangalawang kaganapan ay ang pangalawang doorbell.

At sila ay tinatawag na umaasa dahil sila ay nakakaapekto sa mga sumusunod na aksyon. Pagkatapos ng lahat, kung binuksan ng isang kaibigan ang pinto pagkatapos ng unang ring, ano ang posibilidad na nasa likod siya ng isa sa dalawa? Tama, .

Ngunit kung mayroong umaasa na mga kaganapan, dapat na mayroon malaya? Totoo, mayroon.

Ang isang halimbawa ng aklat-aralin ay ang paghagis ng barya.

1. Naghahagis kami ng barya. Ano ang posibilidad na, halimbawa, ang mga ulo ay lalabas? Iyan ay tama - dahil ang mga pagpipilian para sa lahat ng bagay (alinman sa mga ulo o buntot, mapabayaan namin ang posibilidad ng isang barya upang tumayo sa gilid), ngunit nababagay lamang sa amin.
2. Ngunit ang mga buntot ay nahulog. Okay, ulitin natin. Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo ngayon? Walang nagbago, lahat ay pareho. Ilang mga pagpipilian? Dalawa. Gaano tayo nasisiyahan? Isa.

At hayaang mahulog ang mga buntot nang hindi bababa sa isang libong beses sa isang hilera. Magiging pareho ang posibilidad ng pagbagsak ng ulo nang sabay-sabay. Mayroong palaging mga pagpipilian, ngunit kanais-nais.

Madali ang pagkilala sa mga umaasa na kaganapan mula sa mga independiyenteng kaganapan:

1. Kung ang eksperimento ay isinasagawa nang isang beses (kapag ang isang barya ay inihagis, ang doorbell ay tumunog nang isang beses, atbp.), kung gayon ang mga kaganapan ay palaging independyente.
2. Kung ang eksperimento ay isinasagawa nang maraming beses (isang barya ay itinapon nang isang beses, ang doorbell ay tumunog nang maraming beses), kung gayon ang unang kaganapan ay palaging independyente. At pagkatapos, kung ang bilang ng mga kanais-nais o ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nagbabago, ang mga kaganapan ay nakasalalay, at kung hindi, sila ay independyente.

Magsanay tayo ng kaunti upang matukoy ang posibilidad.

Halimbawa 1

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad ng pagbangon ng dalawang beses sa isang hilera?

Desisyon:

Isaalang-alang ang lahat ng posibleng opsyon:

1. agila agila
2. buntot na agila
3. buntot-agila
4. Tails-tails

Tulad ng nakikita mo, lahat ng mga pagpipilian. Sa mga ito, nasiyahan lang kami. Iyon ang posibilidad:

Kung ang kundisyon ay nagtatanong lamang upang mahanap ang posibilidad, kung gayon ang sagot ay dapat ibigay bilang isang decimal fraction. Kung ito ay ipinahiwatig na ang sagot ay dapat na ibinigay bilang isang porsyento, pagkatapos ay kami ay multiply sa.

Sagot:

Halimbawa 2

Sa isang kahon ng mga tsokolate, lahat ng mga kendi ay nakaimpake sa parehong balot. Gayunpaman, mula sa mga matamis - na may mga mani, cognac, seresa, karamelo at nougat.

Ano ang posibilidad ng pagkuha ng isang kendi at makakuha ng isang kendi na may mga mani. Ibigay ang iyong sagot sa porsyento.

Desisyon:

Ilang posibleng resulta ang mayroon? .

Iyon ay, ang pagkuha ng isang kendi, ito ay magiging isa sa mga nasa kahon.

At gaano karaming mga kanais-nais na resulta?

Dahil ang kahon ay naglalaman lamang ng mga tsokolate na may mga mani.

Sagot:

Halimbawa 3

Sa isang kahon ng mga bola. kung saan ay puti at itim.

1. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola?
2. Nagdagdag kami ng higit pang mga itim na bola sa kahon. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola ngayon?

Desisyon:

a) May mga bola lamang sa kahon. na kung saan ay puti.

Ang posibilidad ay:

b) Ngayon ay may mga bola sa kahon. At marami na rin kasing puti.

Sagot:

Buong Probability

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay ().

Halimbawa, sa isang kahon ng pula at berdeng mga bola. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola? berdeng bola? Pula o berdeng bola?

Ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola

berdeng bola:

Pula o berdeng bola:

Gaya ng nakikita mo, ang kabuuan ng lahat ng posibleng kaganapan ay katumbas ng (). Ang pag-unawa sa puntong ito ay makakatulong sa iyong malutas ang maraming problema.

Halimbawa 4

May mga felt-tip pen sa kahon: berde, pula, asul, dilaw, itim.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng HINDI isang pulang marker?

Desisyon:

Bilangin natin ang bilang kanais-nais na mga kinalabasan.

HINDI pulang marker, ibig sabihin ay berde, asul, dilaw, o itim.

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan

Alam mo na kung ano ang mga independent na kaganapan.

At kung kailangan mong hanapin ang posibilidad na dalawang (o higit pa) independyenteng mga kaganapan ang magkakasunod na magaganap?

Sabihin nating gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na sa paghahagis ng barya ng isang beses, dalawang beses tayong makakakita ng agila?

Napag-isipan na namin - .

Paano kung maghagis tayo ng barya? Ano ang posibilidad na makakita ng agila ng dalawang beses na magkasunod?

Kabuuang posibleng mga opsyon:

1. Agila-agila-agila
2. Agila-ulo-buntot
3. Head-tails-agila
4. Ulo-buntot-buntot
5. buntot-agila-agila
6. Mga buntot-ulo-buntot
7. Mga buntot-buntot-ulo
8. Tails-tails-tails

Hindi ko alam tungkol sa iyo, ngunit ginawa kong mali ang listahang ito minsan. Wow! At tanging pagpipilian (ang una) ang nababagay sa amin.

Para sa 5 roll, maaari kang gumawa ng isang listahan ng mga posibleng resulta sa iyong sarili. Ngunit ang mga mathematician ay hindi kasing sipag mo.

Samakatuwid, una nilang napansin, at pagkatapos ay napatunayan, na ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay bumababa sa bawat oras sa pamamagitan ng posibilidad ng isang kaganapan.

Sa ibang salita,

Isaalang-alang ang halimbawa ng parehong, masamang kapalaran, barya.

Ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo sa isang pagsubok? . Ngayon kami ay naghahagis ng barya.

Ano ang posibilidad na makakuha ng mga buntot sa isang hilera?

Ang panuntunang ito ay hindi lamang gagana kung hihilingin sa amin na hanapin ang posibilidad na ang parehong kaganapan ay magaganap nang maraming beses nang magkakasunod.

Kung gusto naming hanapin ang pagkakasunod-sunod ng TAILS-EAGLE-TAILS sa magkakasunod na pag-flip, gagawin namin ang pareho.

Ang posibilidad na makakuha ng mga buntot - , ulo - .

Ang posibilidad na makuha ang sequence TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Maaari mong suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan.

Kaya tumigil ka na! Bagong kahulugan.

Alamin natin ito. Kunin natin ang luma nating barya at i-flip ito ng isang beses.
Mga posibleng opsyon:

1. Agila-agila-agila
2. Agila-ulo-buntot
3. Head-tails-agila
4. Ulo-buntot-buntot
5. buntot-agila-agila
6. Mga buntot-ulo-buntot
7. Mga buntot-buntot-ulo
8. Tails-tails-tails

Kaya narito ang mga hindi magkatugma na mga kaganapan, ito ay isang tiyak, ibinigay na pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan. ay mga pangyayaring hindi magkatugma.

Kung gusto naming matukoy kung ano ang posibilidad ng dalawa (o higit pa) na hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay idagdag namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Kailangan mong maunawaan na ang pagkawala ng isang agila o buntot ay dalawang malayang kaganapan.

Kung gusto naming matukoy kung ano ang posibilidad ng isang sequence na bumagsak) (o anumang iba pa), pagkatapos ay gagamitin namin ang panuntunan ng pag-multiply ng mga probabilidad.
Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo sa unang paghagis at buntot sa pangalawa at pangatlo?

Ngunit kung gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng isa sa ilang mga pagkakasunud-sunod, halimbawa, kapag ito ay dumating nang eksakto nang isang beses, i.e. mga pagpipilian at, pagkatapos ay dapat nating idagdag ang mga probabilidad ng mga pagkakasunud-sunod na ito.

Ang kabuuang mga pagpipilian ay nababagay sa amin.

Makukuha natin ang parehong bagay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng paglitaw ng bawat sequence:

Kaya, nagdaragdag kami ng mga probabilidad kapag gusto naming matukoy ang posibilidad ng ilan, hindi magkatugma, mga pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan.

Mayroong isang mahusay na panuntunan upang matulungan kang hindi malito kung kailan dapat mag-multiply at kung kailan magdagdag:

Bumalik tayo sa halimbawa kung saan naghagis tayo ng isang beses ng barya at gustong malaman ang posibilidad na makakita ng mga ulo nang isang beses.
Ano kaya ang mangyayari?

Dapat ibagsak:
(mga ulo AT buntot AT buntot) O (buntot AT ulo AT buntot) O (buntot AT buntot AT ulo).
At kaya lumalabas:

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5

May mga lapis sa kahon. pula, berde, orange at dilaw at itim. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pula o berdeng lapis?

Desisyon:

Halimbawa 6

Ang isang die ay inihagis ng dalawang beses, ano ang posibilidad na magkaroon ng kabuuang 8?

Desisyon.

Paano tayo makakakuha ng puntos?

(at) o (at) o (at) o (at) o (at).

Ang posibilidad ng pagkahulog sa isa (anumang) mukha ay .

Kinakalkula namin ang posibilidad:

Pag-eehersisyo.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa iyo kung kailan mo kailangan kung paano bilangin ang mga probabilidad, kung kailan idadagdag ang mga ito, at kung kailan dapat i-multiply ang mga ito. Hindi ba? Mag exercise tayo.

Mga gawain:

Kumuha tayo ng isang deck ng mga baraha kung saan ang mga baraha ay mga pala, puso, 13 club at 13 tamburin. Mula hanggang Ace ng bawat suit.

1. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng mga club sa isang hilera (inilagay namin ang unang card na iginuhit pabalik sa deck at shuffle)?
2. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na card (mga pala o mga club)?
3. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang larawan (jack, queen, king o ace)?
4. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng dalawang larawan sa isang hilera (inaalis namin ang unang card na iginuhit mula sa deck)?
5. Ano ang posibilidad, pagkuha ng dalawang card, upang mangolekta ng isang kumbinasyon - (Jack, Queen o King) at Ace Ang pagkakasunod-sunod kung saan ang mga card ay iguguhit ay hindi mahalaga.

Mga sagot:

Kung nagawa mong lutasin ang lahat ng mga problema sa iyong sarili, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa! Ngayon ang mga gawain sa teorya ng posibilidad sa pagsusulit ay mag-click ka tulad ng mga mani!

TEORYANG PROBABILIDAD. GITNANG ANTAS

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Sabihin nating magtapon tayo ng die. Anong klaseng buto ito, alam mo ba? Ito ang pangalan ng isang kubo na may mga numero sa mga mukha. Ilang mukha, napakaraming numero: mula hanggang ilan? dati.

Kaya't gumulong kami ng isang mamatay at nais itong magkaroon ng isang o. At nahuhulog kami.

Sa probability theory sinasabi nila kung ano ang nangyari kanais-nais na kaganapan(hindi dapat malito sa mabuti).

Kung ito ay nahulog, ang kaganapan ay magiging mapalad din. Sa kabuuan, dalawang paborableng kaganapan lamang ang maaaring mangyari.

Ilang masama? Dahil ang lahat ng posibleng mga kaganapan, kung gayon ang hindi pabor sa kanila ay mga kaganapan (ito ay kung ito ay bumagsak o).

Kahulugan:

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.. Ibig sabihin, ipinapakita ng probabilidad kung anong proporsyon ng lahat ng posibleng kaganapan ang paborable.

Tinutukoy nila ang posibilidad na may isang Latin na titik (tila, mula sa salitang Ingles na probability - probability).

Nakaugalian na sukatin ang posibilidad bilang isang porsyento (tingnan ang paksa,). Upang gawin ito, ang halaga ng posibilidad ay dapat na i-multiply sa. Sa halimbawa ng dice, probability.

At sa porsyento: .

Mga halimbawa (magpasya para sa iyong sarili):

1. Ano ang posibilidad na ang paghagis ng isang barya ay mapunta sa mga ulo? At ano ang posibilidad ng isang buntot?
2. Ano ang posibilidad na magkaroon ng even na numero kapag inihagis ang isang dice? At sa ano - kakaiba?
3. Sa isang drawer ng plain, blue at red na mga lapis. Kami ay random na gumuhit ng isang lapis. Ano ang posibilidad na mabunot ang isang simple?

Mga solusyon:

1. Ilang mga pagpipilian ang mayroon? Mga ulo at buntot - dalawa lang. At ilan sa kanila ang paborable? Isa lang ang agila. Kaya ang posibilidad

   Pareho sa mga buntot: .

2. Kabuuang mga pagpipilian: (kung gaano karaming mga gilid ang isang kubo, napakaraming iba't ibang mga pagpipilian). Mga kanais-nais: (lahat ito ay mga even na numero :).
   Probability. Sa kakaiba, siyempre, ang parehong bagay.
3. Kabuuan: . Kanais-nais: . Probability: .

Buong Probability

Lahat ng lapis sa drawer ay berde. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang lapis? Walang mga pagkakataon: posibilidad (pagkatapos ng lahat, kanais-nais na mga kaganapan -).

Ang ganitong pangyayari ay tinatawag na imposible.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis? Mayroong eksaktong maraming paborableng kaganapan gaya ng kabuuang kaganapan (lahat ng mga kaganapan ay paborable). Kaya ang posibilidad ay o.

Ang ganitong pangyayari ay tinatawag na tiyak.

Kung may berde at pulang lapis sa kahon, ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula? Muli pa. Tandaan ang sumusunod na bagay: ang posibilidad ng pagguhit ng berde ay pantay, at ang pula ay .

Sa kabuuan, ang mga probabilidad na ito ay eksaktong pantay. I.e, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng pangyayari ay katumbas ng o.

Halimbawa:

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, simple, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde?

Desisyon:

Tandaan na ang lahat ng mga probabilidad ay nagdaragdag. At ang posibilidad ng pagguhit ng berde ay pantay. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde ay pantay.

Tandaan ang trick na ito: Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Mga independiyenteng kaganapan at ang panuntunan sa pagpaparami

I-flip mo ang isang barya ng dalawang beses at gusto mo itong lumabas nang dalawang beses. Ano ang posibilidad nito?

Suriin natin ang lahat ng posibleng opsyon at tukuyin kung ilan ang mayroon:

Agila-Agila, Tails-Agila, Eagle-Tails, Tails-Tails. Ano pa?

Ang buong variant. Sa mga ito, isa lang ang nababagay sa atin: Eagle-Eagle. Kaya, ang posibilidad ay pantay.

Mabuti. Ngayon ay i-flip natin ang isang barya. Bilangin mo ang iyong sarili. Nangyari? (sagot).

Maaaring napansin mo na sa pagdaragdag ng bawat susunod na paghagis, ang posibilidad ay nababawasan ng isang kadahilanan. Ang pangkalahatang tuntunin ay tinatawag tuntunin sa pagpaparami:

Ang mga posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay nagbabago.

Ano ang mga malayang kaganapan? Ang lahat ay lohikal: ito ang mga hindi umaasa sa isa't isa. Halimbawa, kapag naghagis tayo ng barya ng ilang beses, sa bawat oras na may gagawing bagong paghagis, ang resulta nito ay hindi nakadepende sa lahat ng nakaraang paghagis. Sa parehong tagumpay, maaari tayong magtapon ng dalawang magkaibang barya sa parehong oras.

Higit pang mga halimbawa:

1. Ang isang mamatay ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na ito ay lalabas sa dalawang beses?
2. Ang isang barya ay inihagis ng ilang beses. Ano ang posibilidad na mauna ang mga ulo at pagkatapos ay dalawang beses na buntot?
3. Ang manlalaro ay nagpapagulong ng dalawang dice. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ng mga numero sa kanila ay magiging pantay?

Mga sagot:

1. Ang mga kaganapan ay independyente, na nangangahulugang gumagana ang panuntunan sa pagpaparami: .
2. Ang posibilidad ng isang agila ay pantay. Tails probability din. Kami ay nagpaparami:
3. 12 ay makukuha lamang kung ang dalawang -ki ay bumagsak: .

Mga hindi tugmang kaganapan at ang panuntunan sa pagdaragdag

Ang mga hindi magkatugma na kaganapan ay mga kaganapan na umakma sa isa't isa sa ganap na posibilidad. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, hindi sila maaaring mangyari nang sabay. Halimbawa, kung maghahagis tayo ng barya, maaaring malaglag ang ulo o buntot.

Halimbawa.

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, simple, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula?

Desisyon .

Ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis ay pantay. Pula - .

Mga mapalad na kaganapan sa lahat: berde + pula. Kaya ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula ay pantay.

Ang parehong posibilidad ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo: .

Ito ang panuntunan sa karagdagan: ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Pinaghalong gawain

Halimbawa.

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na mag-iba ang resulta ng mga rolyo?

Desisyon .

Nangangahulugan ito na kung ang mga ulo ay unang lumabas, ang mga buntot ay dapat na pangalawa, at kabaliktaran. Lumalabas na mayroong dalawang pares ng mga independiyenteng kaganapan dito, at ang mga pares na ito ay hindi tugma sa isa't isa. Paano hindi malito kung saan dadami at kung saan idadagdag.

Mayroong isang simpleng tuntunin para sa mga ganitong sitwasyon. Subukang ilarawan kung ano ang dapat mangyari sa pamamagitan ng pag-uugnay ng mga kaganapan sa mga unyon na "AT" o "O". Halimbawa, sa kasong ito:

Dapat gumulong (ulo at buntot) o (buntot at ulo).

Kung saan mayroong unyon na "at", magkakaroon ng multiplikasyon, at kung saan ang "o" ay karagdagan:

Subukan ito sa iyong sarili:

1. Ano ang posibilidad na magkaroon ng magkaparehong panig ang dalawang coin tosses?
2. Ang isang mamatay ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ay bumaba ng mga puntos?

Mga solusyon:

Isa pang halimbawa:

Naghahagis kami ng barya minsan. Ano ang posibilidad na lumitaw ang mga ulo kahit isang beses?

Desisyon:

TEORYANG PROBABILIDAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.

Mga malayang kaganapan

Ang dalawang kaganapan ay independyente kung ang paglitaw ng isa ay hindi nagbabago sa posibilidad ng isa pang naganap.

Buong Probability

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay ().

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan

Ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapan.

Mga pangyayaring hindi magkatugma

Ang mga hindi tugmang kaganapan ay ang mga kaganapang hindi maaaring mangyari nang sabay-sabay bilang resulta ng isang eksperimento. Ang isang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.

Ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Ang pagkakaroon ng inilarawan kung ano ang dapat mangyari, gamit ang mga unyon na "AT" o "O", sa halip na "AT" inilalagay namin ang tanda ng pagpaparami, at sa halip na "OR" - karagdagan.

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naisip mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

PUNO ANG IYONG KAMAY, PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.

At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - Bumili ng isang aklat-aralin - 499 rubles

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!

Ang teorya ng probabilidad ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga pattern ng mga random na phenomena: mga random na kaganapan, mga random na variable, ang kanilang mga katangian at mga operasyon sa kanila.

Sa mahabang panahon, ang teorya ng posibilidad ay walang malinaw na kahulugan. Ito ay nabuo lamang noong 1929. Ang paglitaw ng teorya ng probabilidad bilang isang agham ay iniuugnay sa Middle Ages at ang mga unang pagtatangka sa mathematical analysis ng pagsusugal (toss, dice, roulette). Natuklasan ng mga French mathematician noong ika-17 siglo na sina Blaise Pascal at Pierre de Fermat ang unang probabilistic pattern na lumitaw kapag naghahagis ng dice habang pinag-aaralan ang hula ng mga panalo sa pagsusugal.

Ang teorya ng probabilidad ay lumitaw bilang isang agham mula sa paniniwala na ang ilang mga regularidad ay sumasailalim sa napakalaking random na mga kaganapan. Pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad ang mga pattern na ito.

Ang teorya ng probabilidad ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga pangyayari, na ang paglitaw nito ay hindi tiyak na alam. Pinapayagan ka nitong hatulan ang antas ng posibilidad ng paglitaw ng ilang mga kaganapan kumpara sa iba.

Halimbawa: imposibleng malinaw na matukoy ang resulta ng paghuhugas ng mga ulo o buntot ng barya, ngunit sa paulit-ulit na paghagis, humigit-kumulang sa parehong bilang ng mga ulo at buntot ang nahuhulog, na nangangahulugan na ang posibilidad na mahulog ang mga ulo o buntot ", ay pantay. hanggang 50%.

pagsusulit sa kasong ito, ang pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kondisyon ay tinatawag, iyon ay, sa kasong ito, ang paghuhugas ng isang barya. Ang hamon ay maaaring laruin ng walang limitasyong bilang ng beses. Sa kasong ito, ang kumplikado ng mga kondisyon ay kinabibilangan ng mga random na kadahilanan.

Ang resulta ng pagsusulit ay kaganapan. Nangyayari ang kaganapan:

1. Maaasahan (palaging nangyayari bilang resulta ng pagsubok).
2. Imposible (hindi mangyayari).
3. Random (maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng pagsubok).

Halimbawa, kapag naghahagis ng barya, isang imposibleng kaganapan - ang barya ay mapupunta sa gilid, isang random na kaganapan - ang pagkawala ng "mga ulo" o "mga buntot". Ang tiyak na resulta ng pagsubok ay tinatawag kaganapan sa elementarya. Bilang resulta ng pagsusulit, mga elementarya lamang na kaganapan ang nagaganap. Tinatawag ang kabuuan ng lahat ng posibleng, iba, partikular na resulta ng pagsubok elementarya na espasyo ng kaganapan.

Pangunahing konsepto ng teorya

Probability- ang antas ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan. Kapag ang mga dahilan para sa ilang posibleng kaganapan ay aktwal na naganap kaysa sa kabaligtaran na mga dahilan, kung gayon ang kaganapang ito ay tinatawag na malamang, kung hindi - malamang o hindi malamang.

Random na halaga- ito ay isang halaga na, bilang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal ng isa o isa pang halaga, at hindi alam nang maaga kung alin. Halimbawa: ang bilang ng mga istasyon ng bumbero bawat araw, ang bilang ng mga hit na may 10 putok, atbp.

Ang mga random na variable ay maaaring nahahati sa dalawang kategorya.

1. Discrete random variable ang naturang dami ay tinatawag, na, bilang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal sa ilang mga halaga na may isang tiyak na posibilidad, na bumubuo ng isang mabibilang na hanay (isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin). Ang set na ito ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target ay isang discrete random variable, dahil ang halagang ito ay maaaring tumagal sa isang walang katapusan, bagama't mabibilang, bilang ng mga halaga.
2. Patuloy na random variable ay isang dami na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang pagitan. Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan.

Lugar ng posibilidad- ang konseptong ipinakilala ni A.N. Kolmogorov noong 1930s upang gawing pormal ang konsepto ng probabilidad, na nagbunga ng mabilis na pag-unlad ng probability theory bilang isang mahigpit na disiplina sa matematika.

Ang probability space ay isang triple (minsan naka-frame sa mga angle bracket: , kung saan

Ito ay isang arbitrary set, ang mga elemento nito ay tinatawag na elementarya na mga kaganapan, kinalabasan o puntos;
- sigma-algebra ng mga subset na tinatawag na (random) na mga kaganapan;
- probabilistic measure o probabilidad, i.e. sigma-additive na may hangganan na sukat tulad na .

De Moivre-Laplace theorem- isa sa mga naglilimitang theorems ng probability theory, na itinatag ni Laplace noong 1812. Sinabi niya na ang bilang ng mga tagumpay sa pag-uulit ng parehong random na eksperimento na may dalawang posibleng resulta ay humigit-kumulang na karaniwang ipinamamahagi. Pinapayagan ka nitong makahanap ng tinatayang halaga ng posibilidad.

Kung, para sa bawat isa sa mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng paglitaw ng ilang random na kaganapan ay katumbas ng () at ang bilang ng mga pagsubok kung saan ito aktwal na nangyayari, kung gayon ang posibilidad ng bisa ng hindi pagkakapantay-pantay ay malapit (para sa malaki ) sa halaga ng integral ng Laplace.

Distribution function sa probability theory- isang function na nagpapakilala sa pamamahagi ng isang random variable o isang random vector; ang posibilidad na ang isang random na variable na X ay kukuha ng isang halaga na mas mababa sa o katumbas ng x, kung saan ang x ay isang arbitrary na tunay na numero. Sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ganap nitong tinutukoy ang isang random na variable.

Inaasahang halaga- ang average na halaga ng isang random variable (ito ang probability distribution ng isang random variable, na isinasaalang-alang sa probability theory). Sa panitikang Ingles, ito ay tinutukoy ng, sa Russian -. Sa mga istatistika, madalas na ginagamit ang notasyon.

Hayaang magbigay ng probability space at isang random variable na tinukoy dito. Iyon ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang masusukat na function. Pagkatapos, kung mayroong Lebesgue integral ng over space , kung gayon ito ay tinatawag na mathematical expectation, o mean value, at tinutukoy ng .

Pagkakaiba-iba ng isang random na variable- isang sukatan ng pagkalat ng isang naibigay na random na variable, ibig sabihin, ang paglihis nito mula sa inaasahan sa matematika. Itinalaga sa panitikang Ruso at sa dayuhan. Sa mga istatistika, ang pagtatalaga o ay kadalasang ginagamit. Ang square root ng variance ay tinatawag na standard deviation, standard deviation, o standard spread.

Hayaan ang isang random na variable na tinukoy sa ilang probability space. Pagkatapos

kung saan ang simbolo ay nagsasaad ng matematikal na inaasahan.

Sa teorya ng posibilidad, dalawang random na kaganapan ang tinatawag malaya kung ang paglitaw ng isa sa kanila ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Katulad nito, dalawang random na variable ang tinatawag umaasa kung ang halaga ng isa sa mga ito ay nakakaapekto sa posibilidad ng mga halaga ng isa pa.

Ang pinakasimpleng anyo ng batas ng malalaking numero ay ang theorem ni Bernoulli, na nagsasaad na kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay pareho sa lahat ng mga pagsubok, kung gayon habang ang bilang ng mga pagsubok ay tumataas, ang dalas ng kaganapan ay may posibilidad na mangyari ang kaganapan at huminto sa pagiging random.

Ang batas ng malalaking numero sa probability theory ay nagsasaad na ang arithmetic mean ng isang finite sample mula sa fixed distribution ay malapit sa theoretical mean ng distribution na iyon. Depende sa uri ng convergence, ang isang mahinang batas ng malalaking numero ay nakikilala, kapag ang convergence sa probability ay naganap, at isang malakas na batas ng malalaking numero, kapag ang convergence ay halos tiyak na magaganap.

Ang pangkalahatang kahulugan ng batas ng malalaking numero ay ang magkasanib na pagkilos ng isang malaking bilang ng magkapareho at independiyenteng random na mga kadahilanan ay humahantong sa isang resulta na, sa limitasyon, ay hindi nakasalalay sa pagkakataon.

Ang mga pamamaraan para sa pagtatantya ng probabilidad batay sa pagsusuri ng isang limitadong sample ay batay sa property na ito. Ang isang magandang halimbawa ay ang hula ng mga resulta ng halalan batay sa isang survey ng isang sample ng mga botante.

Central limit theorems- isang klase ng theorems sa probability theory na nagsasaad na ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mahinang umaasa na random variable na may humigit-kumulang sa parehong sukat (wala sa mga termino ang nangingibabaw, hindi gumagawa ng isang mapagpasyang kontribusyon sa kabuuan) ay may distribusyon na malapit sa normal.

Dahil maraming mga random na variable sa mga aplikasyon ang nabuo sa ilalim ng impluwensya ng ilang mahinang umaasa na random na mga kadahilanan, ang kanilang pamamahagi ay itinuturing na normal. Sa kasong ito, dapat na obserbahan ang kondisyon na wala sa mga salik ang nangingibabaw. Ang mga sentral na teorema ng limitasyon sa mga kasong ito ay nagbibigay-katwiran sa paggamit ng normal na pamamahagi.

Maaaring hatiin sa 3 grupo ang mga pangyayaring nangyayari sa realidad o sa ating imahinasyon. Ito ang mga tiyak na kaganapan na tiyak na mangyayari, imposibleng mga kaganapan, at mga random na kaganapan. Ang teorya ng probabilidad ay nag-aaral ng mga random na kaganapan, i.e. mga pangyayari na maaaring mangyari o hindi. Ipapakita ng artikulong ito ang teorya ng mga pormula ng posibilidad at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa teorya ng probabilidad, na nasa ika-4 na gawain ng Unified State Examination sa matematika (antas ng profile).

Bakit kailangan natin ang teorya ng posibilidad

Sa kasaysayan, ang pangangailangang pag-aralan ang mga problemang ito ay lumitaw noong ika-17 siglo na may kaugnayan sa pag-unlad at propesyonalisasyon ng pagsusugal at ang paglitaw ng mga casino. Ito ay isang tunay na kababalaghan na nangangailangan ng pag-aaral at pagsasaliksik nito.

Ang paglalaro ng mga baraha, dice, roulette ay lumikha ng mga sitwasyon kung saan maaaring mangyari ang alinman sa isang limitadong bilang ng mga pantay na posibleng kaganapan. Nagkaroon ng pangangailangan na magbigay ng mga numerical na pagtatantya ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Noong ika-20 siglo, naging malinaw na ang tila walang kuwentang agham na ito ay may mahalagang papel sa pag-unawa sa mga pangunahing proseso na nagaganap sa microcosm. Ang modernong teorya ng posibilidad ay nilikha.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Ang object ng pag-aaral ng probability theory ay ang mga pangyayari at ang kanilang mga probabilities. Kung ang kaganapan ay kumplikado, pagkatapos ay maaari itong hatiin sa mga simpleng bahagi, ang mga posibilidad na madaling mahanap.

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o mga kaganapan A at B ay nangyari sa parehong oras.

Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na parehong nangyari ang kaganapan A at ang kaganapan B.

Ang mga pangyayaring A at B ay sinasabing hindi magkatugma kung hindi sila magkakasabay.

Ang isang pangyayari A ay sinasabing imposible kung hindi ito mangyayari. Ang ganitong kaganapan ay tinutukoy ng simbolo.

Ang isang kaganapan A ay tinatawag na tiyak kung ito ay tiyak na magaganap. Ang ganitong kaganapan ay tinutukoy ng simbolo.

Hayaang ang bawat kaganapan A ay mabigyan ng numerong P(A). Ang numerong ito na P(A) ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan A kung ang mga sumusunod na kondisyon ay nasiyahan sa naturang sulat.

Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kung saan may parehong posibleng elementarya na mga kinalabasan, at arbitraryo ng mga kinalabasan na ito ay bumubuo ng mga kaganapan A. Sa kasong ito, ang probabilidad ay maaaring ipakilala ng formula . Ang posibilidad na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinatawag na klasikal na posibilidad. Mapapatunayan na ang mga katangian 1-4 ay hawak sa kasong ito.

Ang mga problema sa teorya ng probabilidad, na matatagpuan sa pagsusulit sa matematika, ay pangunahing nauugnay sa klasikal na posibilidad. Ang ganitong mga gawain ay maaaring maging napakasimple. Partikular na simple ang mga problema sa teorya ng probabilidad sa mga bersyon ng pagpapakita. Madaling kalkulahin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, ang bilang ng lahat ng mga resulta ay direktang nakasulat sa kondisyon.

Nakukuha namin ang sagot ayon sa formula.

Isang halimbawa ng isang gawain mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Mayroong 20 pie sa mesa - 5 may repolyo, 7 may mansanas at 8 may kanin. Gusto ni Marina na kumuha ng pie. Ano ang posibilidad na kunin niya ang rice cake?

Desisyon.

Mayroong 20 equiprobable elementary na resulta sa kabuuan, iyon ay, maaaring kunin ni Marina ang alinman sa 20 pie. Ngunit kailangan nating tantiyahin ang posibilidad na kunin ni Marina ang rice patty, iyon ay, kung saan A ang pagpipilian ng rice patty. Nangangahulugan ito na mayroon tayong kabuuang 8 paborableng resulta (pagpili ng mga rice pie). Pagkatapos ay matutukoy ang probabilidad ng formula:

Independent, Opposite, at Arbitrary Events

Gayunpaman, ang mas kumplikadong mga gawain ay nagsimulang lumitaw sa bukas na bangko ng mga gawain. Samakatuwid, ilabas natin ang atensyon ng mambabasa sa iba pang mga tanong na pinag-aralan sa teorya ng posibilidad.

Ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na independiyente kung ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang kaganapan ay naganap.

Ang Kaganapang B ay binubuo sa katotohanan na ang kaganapan A ay hindi naganap, ibig sabihin. Ang kaganapan B ay kabaligtaran ng kaganapan A. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay katumbas ng isang minus ang posibilidad ng direktang kaganapan, i.e. .

Mga teorema ng pagdaragdag at pagpaparami, mga formula

Para sa mga arbitrary na kaganapan A at B, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad nang walang posibilidad ng kanilang magkasanib na kaganapan, i.e. .

Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang posibilidad ng produkto ng mga kaganapang ito ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad, i.e. sa kasong ito.

Ang huling 2 pahayag ay tinatawag na theorems of addition at multiplication of probabilities.

Hindi palaging binibilang ang bilang ng mga resulta ay napakasimple. Sa ilang mga kaso, kinakailangang gumamit ng mga pormula ng combinatorics. Ang pinakamahalagang bagay ay bilangin ang bilang ng mga kaganapan na nakakatugon sa ilang mga kundisyon. Minsan ang gayong mga kalkulasyon ay maaaring maging mga independiyenteng gawain.

Sa ilang paraan maaaring maupo ang 6 na estudyante sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na lugar. Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay tumutugma sa 5 paraan upang ilagay ang pangalawang estudyante. Para sa ikatlong mag-aaral mayroong 4 na libreng puwesto, para sa ikaapat - 3, para sa ikalima - 2, ang ikaanim ay kukuha ng tanging natitirang lugar. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto, na tinutukoy ng simbolo 6! at basahin ang "six factorial".

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga permutasyon ng n elemento. Sa aming kaso, .

Isaalang-alang ngayon ang isa pang kaso sa aming mga mag-aaral. Sa ilang paraan maaaring maupo ang 2 estudyante sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na lugar. Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay tumutugma sa 5 paraan upang ilagay ang pangalawang estudyante. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga opsyon, kailangan mong hanapin ang produkto.

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga pagkakalagay ng n elemento ng k elemento

Sa kaso natin .

At ang huli sa seryeng ito. Ilang paraan ang mayroon para pumili ng 3 mag-aaral sa 6? Maaaring piliin ang unang mag-aaral sa 6 na paraan, ang pangalawa sa 5 paraan, at ang pangatlo sa 4 na paraan. Ngunit kabilang sa mga opsyong ito, ang parehong tatlong mag-aaral ay nangyayari nang 6 na beses. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga opsyon, kailangan mong kalkulahin ang halaga: . Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ng mga elemento:

Sa kaso natin .

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Gawain 1. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Mayroong 30 pie sa isang plato: 3 na may karne, 18 na may repolyo at 9 na may seresa. Sasha ay random na pumili ng isang pie. Hanapin ang posibilidad na mapunta siya sa isang cherry.

.

Sagot: 0.3.

Suliranin 2. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Sa bawat batch ng 1000 light bulbs, isang average ng 20 na may sira. Hanapin ang posibilidad na ang isang bumbilya na pinili nang random mula sa isang batch ay mabuti.

Solusyon: Ang bilang ng magagamit na mga bombilya ay 1000-20=980. Kung gayon ang posibilidad na ang isang bumbilya na kinuha nang random mula sa batch ay magagamit ay:

Sagot: 0.98.

Ang posibilidad na ang mag-aaral na si U. ay makalutas nang tama ng higit sa 9 na mga problema sa isang pagsusulit sa matematika ay 0.67. Ang posibilidad na malutas ng U. nang tama ang higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na ang U. ay nalutas nang tama ang eksaktong 9 na problema.

Kung akala natin ang isang linya ng numero at markahan ang mga puntos 8 at 9 dito, makikita natin na ang kondisyong "U. wastong lutasin ang eksaktong 9 na problema" ay kasama sa kondisyong "U. wastong malutas ang higit sa 8 mga problema", ngunit hindi nalalapat sa kondisyong "W. wastong lutasin ang higit sa 9 na problema.

Gayunpaman, ang kondisyong "U. wastong lutasin ang higit sa 9 na problema" ay nakapaloob sa kondisyong "U. wastong malutas ang higit sa 8 mga problema. Kaya, kung itinalaga natin ang mga kaganapan: "W. wastong lutasin ang eksaktong 9 na problema" - sa pamamagitan ng A, "U. wastong malutas ang higit sa 8 mga problema" - sa pamamagitan ng B, "U. wastong malutas ang higit sa 9 na mga problema ”sa pamamagitan ng C. Pagkatapos ang solusyon ay magiging ganito:

Sagot: 0.06.

Sa pagsusulit sa geometry, sinasagot ng mag-aaral ang isang tanong mula sa listahan ng mga tanong sa pagsusulit. Ang posibilidad na ito ay isang tanong na trigonometrya ay 0.2. Ang posibilidad na ito ay isang Outer Corners na tanong ay 0.15. Walang mga tanong na nauugnay sa dalawang paksang ito sa parehong oras. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng tanong ang mag-aaral sa isa sa dalawang paksang ito sa pagsusulit.

Isipin natin kung anong mga kaganapan ang mayroon tayo. Binigyan tayo ng dalawang hindi magkatugmang pangyayari. Iyon ay, alinman sa tanong ay nauugnay sa paksang "Trigonometry", o sa paksang "Mga panlabas na anggulo". Ayon sa probability theorem, ang posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng bawat kaganapan, dapat nating hanapin ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, iyon ay:

Sagot: 0.35.

Ang silid ay iluminado ng isang parol na may tatlong lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa isang taon ay 0.29. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa loob ng isang taon.

Isaalang-alang natin ang mga posibleng kaganapan. Mayroon kaming tatlong bombilya, na ang bawat isa ay maaaring masunog o hindi maubos nang hiwalay sa anumang iba pang bumbilya. Ito ay mga malayang kaganapan.

Pagkatapos ay ipahiwatig namin ang mga variant ng naturang mga kaganapan. Tinatanggap namin ang notasyon: - ang bumbilya ay nakabukas, - ang bumbilya ay nasunog. At kaagad sa susunod na kinakalkula namin ang posibilidad ng isang kaganapan. Halimbawa, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan ang tatlong independiyenteng kaganapan ay "nasunog ang bombilya", "nakabukas ang bumbilya", "nakabukas ang bumbilya": .