Buksan ang aralin sa matematika "Bernoulli scheme. Paglutas ng mga problema gamit ang Bernoulli at Laplace scheme"

Didactic: ang pagkuha ng mga kasanayan at kakayahan upang gumana sa Bernoulli scheme upang makalkula ang mga probabilidad.

Pagbuo: pag-unlad ng mga kasanayan para sa paglalapat ng kaalaman sa pagsasanay, pagbuo at pag-unlad ng functional na pag-iisip ng mga mag-aaral, pag-unlad ng mga kasanayan sa paghahambing, pagsusuri at synthesis, mga kasanayan sa pagtatrabaho sa mga pares, pagpapalawak ng propesyonal na bokabularyo.

Paano laruin ang larong ito:

Pang-edukasyon: pagpapaunlad ng interes sa paksa sa pamamagitan ng praktikal na aplikasyon ng teorya, pagkamit ng isang sinasadyang asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon ng mga mag-aaral, ang pagbuo ng kakayahang magtrabaho sa isang pangkat, ang tamang paggamit ng mga termino sa computer, interes sa agham, paggalang sa propesyon sa hinaharap.

Kaalaman sa agham: B

Uri ng aralin: pinagsamang aralin:

• pagsasama-sama ng materyal na sakop sa mga nakaraang klase;
• pampakay, teknolohiyang may problema sa impormasyon;
• paglalahat at pagsasama-sama ng materyal na pinag-aralan sa araling ito.

Paraan ng pagtuturo: nagpapaliwanag - naglalarawan, may problema.

Kontrol ng kaalaman: pangharap na survey, paglutas ng problema, pagtatanghal.

Materyal at teknikal na kagamitan ng aralin. computer, multimedia projector.

Suporta sa metodolohikal: mga sangguniang materyales, presentasyon sa paksa ng aralin, crossword puzzle.

Sa panahon ng mga klase

1. Sandali ng organisasyon: 5 min.

(pagbati, kahandaan ng pangkat para sa aralin).

2. Pagsusuri ng kaalaman:

Suriin nang harapan ang mga tanong sa mga slide: 10 min.

• mga kahulugan ng seksyong "Teorya ng Probability"
• ang pangunahing konsepto ng seksyong "Probability Theory"
• anong mga pangyayari ang pinag-aaralan ng “Probability Theory”
• katangian ng isang random na kaganapan
• klasikal na kahulugan ng mga probabilidad

Pagbubuod. 5 minuto.

3. Paglutas ng mga problema sa mga hilera: 5 min.

Gawain 1. Inihagis ang isang dice. Ano ang posibilidad na makakuha ng even number na mas mababa sa 5?

Gawain 2. Mayroong siyam na magkatulad na tubo ng radyo sa isang kahon, tatlo sa mga ito ay ginagamit. Sa araw ng trabaho, ang master ay kailangang kumuha ng dalawang radio tubes upang ayusin ang kagamitan. Ano ang posibilidad na ang parehong lamp ay ginamit?

Gawain 3. May tatlong magkakaibang pelikula sa tatlong bulwagan ng sinehan. Ang posibilidad na mayroong mga tiket para sa isang tiyak na oras sa box office ng 1st hall ay 0.3, sa box office ng 2nd hall - 0.2, at sa box office ng 3rd hall - 0.4. Ano ang posibilidad na sa isang partikular na oras ay posible na bumili ng tiket para sa kahit isang pelikula?

4. Pagsusuri sa pisara kung paano lutasin ang mga problema. Paglalapat 1. 5 min.

Ika-5 Konklusyon sa paglutas ng mga problema:

Ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan ay pareho para sa bawat gawain: m at n - const

6. Pagtatakda ng layunin sa pamamagitan ng gawain: 5 min.

Gawain. Dalawang pantay na manlalaro ng chess ang naglalaro ng chess. Ano ang posibilidad na manalo ng dalawang laro sa apat?

Ano ang posibilidad na manalo ng tatlong laro sa anim (hindi isinasaalang-alang ang mga draw)?

Tanong. Isipin at pangalanan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga tanong ng problemang ito at ng mga tanong ng mga nakaraang problema?

Sa pamamagitan ng pangangatwiran, sa pamamagitan ng paghahambing, makamit ang isang sagot: sa mga tanong na m at n ay magkaiba.

7. Paksa ng aralin:

Pagkalkula ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan k beses out sa n eksperimento na may p-const.

Kung ang mga pagsubok ay ginawa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay hindi nakasalalay sa mga kinalabasan ng iba pang mga pagsubok, kung gayon ang mga naturang pagsubok ay tinatawag na independiyenteng may kinalaman sa kaganapan A. Mga Pagsubok, kung saan ang bawat isa ay ang posibilidad ng paglitaw ng ang kaganapan ay pareho.

Bernoulli formula. Ang posibilidad na sa n independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan ay katumbas ng p (0

o Appendix 2 Bernoulli formula, kung saan k,n-maliit na numero kung saan q = 1-p

Solusyon: Pantay-pantay na mga manlalaro ng chess ang naglalaro, kaya ang posibilidad na manalo ay p=1/2; kaya ang posibilidad na mawala ang q ay 1/2 din. Dahil pare-pareho ang posibilidad na manalo sa lahat ng laro at hindi mahalaga kung anong pagkakasunud-sunod ng mga laro ang napanalunan, naaangkop ang Bernoulli formula. 5 minuto

Hanapin ang posibilidad na ang dalawang laro sa apat ay mapanalunan:

Hanapin ang posibilidad na tatlo sa anim na laro ang mapanalunan:

Dahil P4 (2) > P6 (3), mas malamang na manalo ng dalawang laro sa apat kaysa tatlo sa anim.

8. Gawain.

Hanapin ang posibilidad na ang kaganapan A ay nangyari nang eksaktong 70 beses sa 243 mga pagsubok kung ang posibilidad ng kaganapang ito na nagaganap sa bawat pagsubok ay 0.25.

k=70, n=243 Ito ay nagpapahiwatig na ang k at n ay malalaking numero. Nangangahulugan ito na mahirap kalkulahin ayon sa Bernoulli formula. Para sa mga ganitong kaso, inilapat ang lokal na formula ng Laplace:

Ang Appendix 3 para sa mga positibong halaga ng x ay ibinibigay sa Appendix 4; para sa mga negatibong halaga ng x gamitin ang parehong talahanayan at = .

9. Gumawa ng algorithm para sa paglutas ng problema: 5 min.

• hanapin ang halaga ng x at i-round up sa hundredths (0.01);
• ayon sa talahanayan ng Laplace function na makikita natin;
• pinapalitan namin ang halaga ng Laplace function sa Laplace formula

10. Paglutas ng problema sa pagsusuri sa pisara. Annex 5. 10 min.

11. Pagbubuod ng impormasyon ng aralin sa pamamagitan ng mga presentasyon

• maikling impormasyon tungkol sa seksyong "Teorya ng Probability"; 5 minuto.
• makasaysayang materyales tungkol sa mga siyentipiko na sina Bernoulli at Laplace. 5 minuto.

Seksyon 2. Lohikal na pagkakapareho ng mga formula. Mga Normal na Form para sa Propositional Algebra Formula

Relasyon ng equivalence

Sa tulong ng mga talahanayan ng katotohanan, matutukoy ng isa sa ilalim ng kung anong mga hanay ng mga halaga ng katotohanan ng mga variable ng input ang formula ay kukuha ng totoo o maling halaga (pati na rin ang isang pahayag na may kaukulang lohikal na istraktura), kung aling mga formula ang magiging tautologies o mga kontradiksyon, at itatag din kung dalawang ibinigay na mga formula katumbas.

Sa lohika, ang dalawang pangungusap ay sinasabing katumbas kung pareho silang totoo o parehong mali. Ang salitang "sabay-sabay" sa pariralang ito ay malabo. Kaya, para sa mga pangungusap na "Bukas ay Martes" at "Kahapon ay Linggo" ang salitang ito ay may literal na kahulugan: sa Lunes pareho silang totoo, at sa natitirang bahagi ng linggo pareho silang mali. Para sa mga equation" x = 2"at" 2x = 4» Ang ibig sabihin ng "sabay-sabay" ay "na may parehong mga halaga ng variable". Ang mga hula na "Bukas ay uulan" at "Hindi totoo na bukas ay hindi uulan" ay sabay-sabay na makumpirma (lumalabas na totoo) o hindi makumpirma (lumalabas na mali). Sa esensya, ito ang parehong forecast, na ipinahayag sa dalawang magkaibang anyo, na maaaring katawanin ng mga formula X at . Ang mga formula na ito ay sabay-sabay na kumukuha ng value na "true" o ang value na "false". Upang suriin, ito ay sapat na upang gumawa ng talahanayan ng katotohanan:

X
1	0	1
0	1	0

Nakikita namin na ang mga halaga ng katotohanan sa una at huling mga hanay ay pareho. Ang mga naturang formula, pati na rin ang mga pangungusap na naaayon sa kanila, ay natural na itinuturing na katumbas.

Ang mga formula na F 1 at F 2 ay tinatawag na katumbas kung ang katumbas nito ay isang tautolohiya.

Ang equivalence ng dalawang formula ay nakasulat tulad ng sumusunod: (basahin: formula F1 ay katumbas ng formula F2).

Mayroong tatlong mga paraan upang suriin kung ang mga formula ay katumbas: 1) gawin ang kanilang katumbas at gamitin ang talahanayan ng katotohanan upang suriin kung ito ay isang tautolohiya; 2) para sa bawat formula, gumawa ng talahanayan ng katotohanan at ihambing ang mga huling resulta; kung sa kabuuang mga hanay para sa parehong mga hanay ng mga variable na halaga ang mga halaga ng katotohanan ng parehong mga formula ay magiging pantay, kung gayon ang mga formula ay katumbas; 3) sa tulong ng mga katumbas na pagbabago.

Halimbawa 2.1: Alamin kung ang mga formula ay katumbas ng: 1) , ; 2), .

1) Gamitin natin ang unang paraan upang matukoy ang equivalence, iyon ay, alamin kung ang equivalence ng mga formula ay isang tautolohiya.

Gumawa tayo ng equivalence ng mga formula: . Ang resultang formula ay naglalaman ng dalawang magkaibang variable ( PERO at AT) at 6 na operasyon: 1); 2); 3); 4); 5); 6). Nangangahulugan ito na ang kaukulang talahanayan ng katotohanan ay magkakaroon ng 5 row at 8 column:

PERO	AT
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Mula sa huling hanay ng talahanayan ng katotohanan, makikita na ang pinagsama-samang equivalence ay isang tautolohiya at, samakatuwid, .

2) Upang malaman kung ang mga formula at ay katumbas, ginagamit namin ang pangalawang paraan, iyon ay, nag-compile kami ng isang talahanayan ng katotohanan para sa bawat isa sa mga formula at ihambing ang mga huling hanay. ( Magkomento. Upang epektibong magamit ang pangalawang pamamaraan, kinakailangan na ang lahat ng pinagsama-samang talahanayan ng katotohanan ay magsimula sa parehong paraan, iyon ay, ang mga hanay ng mga variable na halaga ay pareho sa kani-kanilang mga hilera .)

Ang formula ay may dalawang magkaibang mga variable at 2 mga operasyon, na nangangahulugan na ang katumbas na talahanayan ng katotohanan ay may 5 mga hilera at 4 na mga haligi:

PERO	AT
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

Ang formula ay may dalawang magkaibang variable at 3 operasyon, na nangangahulugan na ang katumbas na talahanayan ng katotohanan ay may 5 row at 5 column:

PERO	AT
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Ang paghahambing ng mga huling column ng pinagsama-samang mga talahanayan ng katotohanan (dahil ang mga talahanayan ay nagsisimula sa parehong paraan, maaari nating balewalain ang mga hanay ng mga variable na halaga), nakikita natin na hindi sila tumutugma at, samakatuwid, ang mga formula ay hindi katumbas ().

Ang expression ay hindi isang formula (dahil ang simbolong " " ay hindi tumutukoy sa anumang lohikal na operasyon). Nagpapahayag ito saloobin sa pagitan ng mga formula (pati na rin ang pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga numero, paralelismo sa pagitan ng mga linya, atbp.).

Ang teorama sa mga katangian ng katumbas na ugnayan ay wasto:

Teorama 2.1. Pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga propositional algebra formula:

1) reflexively: ;

2) simetriko: kung , pagkatapos ;

3) palipat-lipat: kung at , pagkatapos .

Mga batas ng lohika

Ang mga katumbas ng propositional logic formula ay madalas na tinatawag ang mga batas ng lohika. Inililista namin ang pinakamahalaga sa kanila:

1. - ang batas ng pagkakakilanlan.

2. - ang batas ng ibinukod na gitna

3. - ang batas ng kontradiksyon

4. - disjunction na may zero

5. - kasabay ng zero

6. - disjunction sa yunit

7. - kaugnay ng yunit

8. - ang batas ng double negation

9. - commutativity ng conjunction

10. – commutativity ng disjunction

11. - pagkakaugnay ng pang-ugnay

12. - disjunction associativity

13. – distributivity ng conjunction

14. – distributive disjunction

15. - mga batas ng idempotency

16. ; - mga batas sa pagsipsip

17. ; - Mga batas ni De Morgan

18. ay ang batas na nagpapahayag ng implikasyon sa pamamagitan ng disjunction

19. - batas ng kontraposisyon

20. - mga batas na nagpapahayag ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng iba pang lohikal na operasyon

Ang mga batas ng lohika ay ginagamit upang pasimplehin ang mga kumplikadong formula at upang patunayan na ang mga formula ay magkaparehong totoo o mali.

Mga katumbas na pagbabago. Pinapasimple ang mga Formula

Kung sa mga katumbas na formula sa lahat ng dako ay papalitan natin ang parehong formula sa halip na ilang variable, ang mga bagong nakuhang formula ay magiging katumbas din alinsunod sa tuntunin ng pagpapalit. Sa ganitong paraan, maaaring makuha ang anumang bilang ng mga bagong equivalence mula sa bawat equivalence.

Halimbawa 1: Kung sa batas ni De Morgan sa halip na X kapalit , sa halip na Y kapalit , pagkatapos ay makakakuha tayo ng bagong katumbas . Ang bisa ng nakuhang katumbas ay madaling suriin gamit ang talahanayan ng katotohanan.

Kung anumang formula na bahagi ng formula F, ay papalitan ng isang formula na katumbas ng formula , at ang resultang formula ay magiging katumbas ng formula F.

Pagkatapos, para sa formula mula sa Halimbawa 2, maaari nating gawin ang mga sumusunod na pamalit:

- ang batas ng double negation;

- Batas ni De Morgan;

- ang batas ng double negation;

– ang batas ng pagkakaisa;

ay ang batas ng kawalan ng lakas.

Sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity ng equivalence relation, maaari nating igiit iyon .

Ang pagpapalit ng isang formula ng isa pa, katumbas nito, ay tinatawag katumbas na pagbabago mga formula.

Sa ilalim pagpapasimple nauunawaan ng mga formula na walang implikasyon at equivalence sign ang katumbas na pagbabagong-anyo na humahantong sa isang formula na hindi naglalaman ng mga negasyon ng mga non-elementary na formula (sa partikular, double negations) o naglalaman sa kabuuan ng mas maliit na bilang ng conjunction at disjunction sign kaysa sa orihinal isa.

Halimbawa 2.2: Pasimplehin natin ang formula .

Sa unang hakbang, inilapat namin ang batas na nagbabago sa implikasyon sa isang disjunction. Sa pangalawang hakbang, inilapat ang commutative law. Sa ikatlong hakbang, inilapat ang batas ng idempotency. Sa ikaapat - ang batas ni De Morgan. At sa ikalima - ang batas ng double negation.

Puna 1. Kung ang isang tiyak na pormula ay isang tautolohiya, kung gayon ang anumang pormula na katumbas nito ay isa ring tautolohiya.

Kaya, ang mga katumbas na pagbabago ay maaari ding gamitin upang patunayan ang magkatulad na katotohanan ng ilang mga formula. Upang gawin ito, ang formula na ito ay dapat bawasan ng katumbas na pagbabago sa isa sa mga formula na tautologies.

Puna 2. Ang ilang tautologies at equivalence ay pinagsama sa mga pares (ang batas ng kontradiksyon at ang batas ng alternatibo, commutative, associative na batas, atbp.). Sa mga sulat na ito, ang tinatawag na prinsipyo ng duality .

Dalawang pormula na hindi naglalaman ng mga palatandaan ng implikasyon at katumbas ay tinatawag dalawahan , kung ang bawat isa sa kanila ay maaaring makuha mula sa isa sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga palatandaan ng , ayon sa pagkakabanggit.

Ang prinsipyo ng duality ay nagsasaad ng mga sumusunod:

Teorama 2.2: Kung magkatumbas ang dalawang formula na walang implikasyon at equivalence sign, katumbas din ang dalawa nilang formula.

mga normal na anyo

normal na anyo ay isang syntactically hindi malabo na paraan ng pagsulat ng isang formula na nagpapatupad ng isang ibinigay na function.

Gamit ang mga kilalang batas ng lohika, ang anumang pormula ay maaaring mabago sa isang katumbas na pormula ng anyo , kung saan at ang bawat isa ay isang variable, o ang negation ng isang variable, o isang conjunction ng mga variable o ang kanilang mga negations. Sa madaling salita, ang anumang pormula ay maaaring bawasan sa isang katumbas na pormula ng isang simpleng karaniwang anyo, na magiging isang disjunction ng mga elemento, na ang bawat isa ay pinagsama ng magkakahiwalay na magkakaibang lohikal na mga variable, mayroon man o walang negation sign.

Halimbawa 2.3: Sa malalaking pormula o may maraming pagbabago, kaugalian na tanggalin ang tanda ng pangatnig (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa tanda ng multiplikasyon): . Nakikita natin na pagkatapos ng mga pagbabagong isinagawa, ang pormula ay isang disjunction ng tatlong pang-ugnay.

Ang form na ito ay tinatawag na disjunctive normal na anyo (DNF). Ang isang solong elemento ng isang DNF ay tinatawag pang-elementarya na pang-ugnay o constituent unit.

Katulad nito, ang anumang pormula ay maaaring bawasan sa isang katumbas na pormula, na magiging isang pinagsamang mga elemento, na ang bawat isa ay magiging isang disjunction ng mga lohikal na variable na mayroon o walang negation sign. Iyon ay, ang bawat formula ay maaaring bawasan sa isang katumbas na formula ng form , kung saan at ang bawat isa ay isang variable, o ang negation ng isang variable, o isang disjunction ng mga variable o ang kanilang mga negations. Ang form na ito ay tinatawag na conjunctive normal na anyo (KNF).

Halimbawa 2.4:

Isang elemento ng CNF ang tinatawag elementarya disjunction o ang bumubuo ng zero.

Malinaw, ang bawat formula ay may walang katapusang maraming DNF at CNF.

Halimbawa 2.5: Maghanap tayo ng ilang DNF para sa formula .

Perpektong normal na mga anyo

Ang SDNF (perpektong DNF) ay isang DNF kung saan ang bawat elementarya na pangatnig ay naglalaman ng lahat ng elementarya na pahayag, o ang kanilang mga negasyon nang isang beses, ang mga elementarya na pangatnig ay hindi inuulit.

Ang SKNF (perpektong CNF) ay isang CNF kung saan ang bawat elementarya na disjunction ay naglalaman ng lahat ng elementarya na proposisyon o ang kanilang mga negasyon nang isang beses, ang mga elementarya na disjunction ay hindi inuulit.

Halimbawa 2.6: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

Bumuo tayo ng mga katangian ng SDNF (SKNF).

1) Iba-iba ang lahat ng miyembro ng disjunction (conjunction);

2) Ang lahat ng miyembro ng bawat pang-ugnay (disjunction) ay magkakaiba;

3) Walang conjunction (disjunction) na naglalaman ng parehong variable at negasyon nito;

4) Ang bawat conjunction (disjunction) ay naglalaman ng lahat ng mga variable na kasama sa orihinal na formula.

Tulad ng nakikita natin, ang mga katangian (ngunit hindi mga anyo!) ay nagbibigay-kasiyahan sa kahulugan ng duality, kaya sapat na upang maunawaan ang isang anyo upang matutunan kung paano makuha ang pareho.

Madaling makuha ang SDNF (SKNF) mula sa DNF (CNF) sa tulong ng mga katumbas na pagbabago. Dahil dalawahan din ang mga tuntunin para sa pagkuha ng mga perpektong normal na anyo, susuriin namin nang detalyado ang panuntunan para sa pagkuha ng SMNF, at bubuo ng panuntunan para sa pagkuha ng SKNF nang nakapag-iisa gamit ang kahulugan ng duality.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa pagbabawas ng isang formula sa SDNF gamit ang mga katumbas na pagbabago ay:

Upang maibigay ang formula F, na hindi magkaparehong mali, sa SDNF, ito ay sapat na:

1) dalhin ito sa ilang DNF;

2) alisin ang mga miyembro ng disjunction na naglalaman ng variable kasama ang negation nito (kung mayroon);

3) mula sa parehong mga miyembro ng disjunction (kung mayroon man), alisin ang lahat maliban sa isa;

4) tanggalin ang lahat maliban sa isa sa magkakaparehong miyembro ng bawat pang-ugnay (kung mayroon);

5) kung ang anumang conjunction ay hindi naglalaman ng variable mula sa mga variable na kasama sa orihinal na formula, magdagdag ng termino sa conjunction na ito at ilapat ang kaukulang distributive law;

6) kung ang resultang disjunction ay naglalaman ng parehong mga termino, gamitin ang reseta 3.

Ang resultang formula ay ang SDNF ng formula na ito.

Halimbawa 2.7: Hanapin natin ang SDNF at SKNF para sa formula .

Dahil natagpuan na ang DNF para sa formula na ito (tingnan ang Halimbawa 2.5), magsisimula tayo sa pagkuha ng SDNF:

2) sa resultang disjunction walang mga variable kasama ng kanilang mga negations;

3) walang magkatulad na miyembro sa disjunction;

4) walang magkaparehong mga variable sa anumang kaugnay;

5) ang unang elementary conjunction ay naglalaman ng lahat ng variable na kasama sa orihinal na formula, at ang pangalawang elementary conjunction ay walang variable. z, kaya magdagdag tayo ng termino dito at ilapat ang distributive law: ;

6) madaling makita na ang parehong mga termino ay lumitaw sa disjunction, kaya tinanggal namin ang isa (reseta 3);

3) alisin ang isa sa mga magkatulad na disjunctions: ;

4) walang magkaparehong termino sa natitirang mga disjunction;

5) wala sa mga elementarya na disjunction ang naglalaman ng lahat ng mga variable na kasama sa orihinal na formula, kaya dinadagdagan namin ang bawat isa sa kanila ng conjunction : ;

6) walang magkatulad na disjunctions sa resultang conjunction, kaya perpekto ang natagpuang conjunctive form.

Dahil sa pinagsama-samang SKNF at SDNF ang mga formula F 8 miyembro, pagkatapos ay malamang na sila ay natagpuan nang tama.

Ang bawat kasiya-siyang (mapapabulaanan) na formula ay may isang solong SDNF at isang solong SKNF. Ang isang tautolohiya ay walang SKNF, at ang isang kontradiksyon ay walang SDNF.

1. Dalawang pantay na manlalaro ang naglalaro ng laro kung saan ang mga draw ay hindi kasama. Ano ang posibilidad na manalo ang unang manlalaro: a) isang laro sa dalawa? b) dalawa sa apat? c) tatlo sa anim?

Sagot: a) ; b); sa)

3. Putulin AB pinaghihiwalay ng isang tuldok Sa sa ratio na 2:1. Apat na puntos ang itinapon nang random sa segment na ito. Hanapin ang posibilidad na ang dalawa sa kanila ay nasa kaliwa ng point C, at ang dalawa ay nasa kanan.

Sagot:

4. Hanapin ang posibilidad na ang kaganapan A ay nangyari nang eksaktong 70 beses sa 243 na pagsubok kung ang posibilidad ng kaganapang ito na naganap sa bawat pagsubok ay 0.25.

Sagot: .

5. Ang posibilidad na magkaroon ng isang lalaki ay 0.515. Hanapin ang posibilidad na sa 100 bagong panganak na lalaki at babae ay pantay na mahahati.

Sagot: 0,0782

6. Nakatanggap ang tindahan ng 500 bote sa mga lalagyang salamin. Ang posibilidad na ang alinman sa mga bote ay mababasag sa panahon ng transportasyon ay 0.003. Hanapin ang posibilidad na ang tindahan ay makakatanggap ng mga basag na bote: a) eksaktong dalawa; b) mas mababa sa dalawa; c) hindi bababa sa dalawa; d) kahit isa.

Sagot: a) 0.22; b) 0.20; c) 0.80; d) 0.95

7. Ang planta ng sasakyan ay gumagawa ng 80% ng mga sasakyan na walang makabuluhang depekto. Ano ang posibilidad na sa 600 mga kotse na nagmula sa pabrika patungo sa palitan ng automotive, magkakaroon ng hindi bababa sa 500 mga kotse na walang makabuluhang mga depekto?

Sagot: 0,02.

8. Ilang beses mo kailangang i-flip ang isang barya upang may posibilidad na 0.95 maaari mong asahan na ang relatibong frequency ng coat of arms ay lilihis mula sa probabilidad R\u003d 0.5 na hitsura ng coat of arms sa isang paghagis ng barya ng hindi hihigit sa 0.02?

Sagot: n ≥ 2401.

9. Ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa bawat isa sa 100 independiyenteng mga kaganapan ay pare-pareho at katumbas ng p=0.8. Hanapin ang posibilidad na mangyari ang kaganapan: a) hindi bababa sa 75 beses at hindi hihigit sa 90 beses; b) hindi bababa sa 75 beses; c) hindi hihigit sa 74 beses.

Sagot: a B C).

10. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa bawat isa sa mga independiyenteng pagsubok ay 0.2. Hanapin kung anong paglihis ng relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan mula sa posibilidad nito ang maaaring asahan na may posibilidad na 0.9128 sa 5000 na pagsubok.

Sagot:

11. Ilang beses dapat ihagis ang isang barya upang may posibilidad na 0.6 ay inaasahan na ang paglihis ng relatibong dalas ng paglitaw ng coat of arms mula sa probabilidad p=0.5 ay hindi hihigit sa 0.01 sa ganap na halaga.

Sagot: n = 1764.

12. Ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa bawat isa sa 10,000 independiyenteng pagsubok ay 0.75. Hanapin ang posibilidad na ang relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan ay lumihis mula sa posibilidad nito sa ganap na halaga ng hindi hihigit sa 0.01.

Sagot: .

13. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa bawat isa sa mga independiyenteng pagsubok ay 0.5. Hanapin ang bilang ng mga pagsubok n, kung saan may posibilidad na 0.7698 maaaring asahan na ang relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan ay lumihis mula sa posibilidad nito sa ganap na halaga ng hindi hihigit sa 0.02.