Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay online

Bago lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangang maunawaang mabuti kung paano nalutas ang mga equation.

Hindi mahalaga kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit () o hindi mahigpit (≤, ≥), ang unang hakbang ay upang malutas ang equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng inequality sign ng equality (=).

Ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay?

Matapos pag-aralan ang mga equation, ang mag-aaral ay may sumusunod na larawan sa kanyang ulo: kailangan mong hanapin ang mga naturang halaga ng variable kung saan ang parehong mga bahagi ng equation ay kumukuha ng parehong mga halaga. Sa madaling salita, hanapin ang lahat ng mga punto kung saan pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay. Lahat ay tama!

Kapag pinag-uusapan ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang ibig nilang sabihin ay ang paghahanap ng mga pagitan (mga segment) kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak. Kung mayroong dalawang mga variable sa hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang solusyon ay hindi na mga pagitan, ngunit ang ilang mga lugar sa eroplano. Hulaan kung ano ang magiging solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa tatlong variable?

Paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay?

Ang paraan ng mga agwat (aka ang paraan ng mga agwat) ay itinuturing na isang unibersal na paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na binubuo sa pagtukoy sa lahat ng mga pagitan kung saan ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay matutupad.

Nang walang pagpunta sa uri ng hindi pagkakapantay-pantay, sa kasong ito ay hindi ito ang kakanyahan, kinakailangan upang malutas ang kaukulang equation at matukoy ang mga ugat nito, na sinusundan ng pagtatalaga ng mga solusyon na ito sa numerical axis.

Ano ang tamang paraan ng pagsulat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay?

Kapag natukoy mo ang mga agwat para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong isulat nang tama ang solusyon mismo. Mayroong isang mahalagang nuance - kasama ba ang mga hangganan ng mga agwat sa solusyon?

Simple lang ang lahat dito. Kung ang solusyon ng equation ay nakakatugon sa ODZ at ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kung gayon ang hangganan ng pagitan ay kasama sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay. Kung hindi, hindi.

Isinasaalang-alang ang bawat pagitan, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ang agwat mismo, o isang kalahating pagitan (kapag ang isa sa mga hangganan nito ay nasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay), o isang segment - isang agwat kasama ang mga hangganan nito.

Mahalagang punto

Huwag isipin na ang mga pagitan, kalahating pagitan at mga segment lamang ang maaaring maging solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay. Hindi, ang mga indibidwal na puntos ay maaari ding isama sa solusyon.

Halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay |x|≤0 ay may isang solusyon lamang - punto 0.

At ang hindi pagkakapantay-pantay |x|

Para saan ang inequality calculator?

Ang inequality calculator ay nagbibigay ng tamang huling sagot. Sa kasong ito, sa karamihan ng mga kaso, binibigyan ang isang paglalarawan ng isang numerical axis o eroplano. Maaari mong makita kung ang mga hangganan ng mga pagitan ay kasama sa solusyon o hindi - ang mga punto ay ipinapakita na puno o butas.

Salamat sa online na inequality calculator, maaari mong suriin kung nahanap mo nang tama ang mga ugat ng equation, minarkahan ang mga ito sa linya ng numero at sinuri ang mga kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa mga pagitan (at mga hangganan)?

Kung ang iyong sagot ay naiiba sa sagot ng calculator, tiyak na kailangan mong i-double check ang iyong solusyon at tukuyin ang pagkakamaling nagawa.

Ngayon, mga kaibigan, walang uhog at damdamin. Sa halip, ipapadala kita sa labanan kasama ang isa sa mga pinakakakila-kilabot na kalaban sa kursong algebra sa ika-8-9 na baitang nang walang karagdagang tanong.

Oo, naunawaan mo nang tama ang lahat: pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus. Titingnan namin ang apat na pangunahing pamamaraan kung saan matututunan mong lutasin ang tungkol sa 90% ng mga problemang ito. Paano ang iba pang 10%? Well, pag-uusapan natin sila sa isang hiwalay na aralin. :)

Gayunpaman, bago pag-aralan ang anumang mga trick doon, nais kong alalahanin ang dalawang katotohanan na kailangan mo nang malaman. Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang materyal ng aralin ngayon.

Ang kailangan mo nang malaman

Ang Captain Evidence, kumbaga, ay nagpapahiwatig na upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang modulus, kailangan mong malaman ang dalawang bagay:

1. Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay?
2. Ano ang modyul.

Magsimula tayo sa pangalawang punto.

Depinisyon ng Module

Simple lang ang lahat dito. Mayroong dalawang kahulugan: algebraic at graphic. Magsimula tayo sa algebra:

Kahulugan. Ang module ng numerong $x$ ay alinman sa numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, o ang bilang na kabaligtaran nito, kung ang orihinal na $x$ ay negatibo pa rin.

Ito ay nakasulat tulad nito:

\[\kaliwa| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay nasa duality na ito (sa isang lugar na hindi mo kailangang gumawa ng anuman sa orihinal na numero, ngunit sa isang lugar kailangan mong alisin ang ilang minus doon) at ang lahat ng kahirapan para sa mga baguhan na mag-aaral ay namamalagi.

Mayroon ding geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman ito, ngunit tatalakayin lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa totoong linya. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:

Depinisyon ng graphical na module

Sa isang paraan o iba pa, ang pangunahing katangian nito ay agad na sumusunod mula sa kahulugan ng module: ang modulus ng isang numero ay palaging isang hindi negatibong halaga. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa buong kwento natin ngayon.

Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng Spacing

Ngayon harapin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay kayang lutasin ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga ito. Ang mga nabawasan sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng mga agwat.

Mayroon akong dalawang malalaking tutorial sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda ko ang pag-aaral):

1. Ang paraan ng agwat para sa mga hindi pagkakapantay-pantay (lalo na panoorin ang video);
2. Ang mga fractional-rational na hindi pagkakapantay-pantay ay isang napakalaking aralin, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang tanong na natitira.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay tungo sa equation" ay hindi mo gustong pumatay sa pader, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin. :)

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na "Module less than function"

Ito ay isa sa mga pinaka-madalas na nakakaharap na mga gawain na may mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang anumang bagay ay maaaring kumilos bilang mga function na $f$ at $g$, ngunit kadalasan ang mga ito ay polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\kanan| \ltx+7; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kaliwa(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))-2\kaliwa| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Lahat ng mga ito ay literal na malulutas sa isang linya ayon sa scheme:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na inaalis natin ang module, ngunit sa halip ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na pareho, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat ng posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng module ay positibo, ang pamamaraan ay gumagana; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba mas madali? Sa kasamaang palad, hindi mo magagawa. Ito ang buong punto ng modyul.

Ngunit sapat na ang pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3\kanan| \ltx+7\]

Desisyon. Kaya, mayroon kaming isang klasikal na hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "ang module ay mas mababa kaysa sa" - kahit na walang pagbabago. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3\kanan| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga bracket na nauuna sa isang "minus": posible na dahil sa pagmamadali ay makakagawa ka ng nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Pansinin namin ang kanilang mga solusyon sa parallel real lines:

Intersection ng marami

Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Desisyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Upang magsimula, ihiwalay namin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, muli tayong nahaharap sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas mababa ang module", kaya't inalis natin ang module ayon sa kilalang algorithm:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng mga bracket na ito. Ngunit muli kong ipinapaalala sa iyo na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong pinagkadalubhasaan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mong ilihis ang iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga minus, atbp.

At para sa mga panimula, aalisin lang namin ang double minus sa kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1\kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya't sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Dumaan kami sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay naging isang hindi kumpletong quadratic equation, na nalutas sa elementarya. Ngayon harapin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang nakuha na mga numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):

Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa tingin ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

1. Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabaligtaran ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module tulad ng inilarawan sa itaas. Sa ilang mga punto, kakailanganing lumipat mula sa isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaaring malutas nang hiwalay.
3. Sa wakas, nananatili lamang ang pagtawid sa mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Ang isang katulad na algorithm ay umiiral para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sumusunod na uri, kapag ang modulus ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong "Module is greater than function"

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\]

Katulad ng nauna? Mukhang. Gayunpaman, ang mga naturang gawain ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

1. Una, binabalewala lang natin ang module - nilulutas natin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
2. Pagkatapos, sa katunayan, binubuksan namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply namin ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, na may isang palatandaan.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming kumbinasyon ng dalawang kinakailangan.

Magbayad ng pansin muli: bago sa amin ay hindi isang sistema, ngunit isang pinagsama-samang, samakatuwid sa sagot, ang mga set ay pinagsama, hindi intersected. Ito ay isang pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang talata!

Sa pangkalahatan, maraming mga mag-aaral ang may maraming pagkalito sa mga unyon at interseksyon, kaya't tingnan natin ang isyung ito minsan at para sa lahat:

• Ang "∪" ay isang tanda ng pagkakadugtong. Sa katunayan, ito ay isang naka-istilong titik na "U", na dumating sa amin mula sa wikang Ingles at isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
• Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang pagsalungat sa "∪".

Para mas madaling matandaan, idagdag lang ang mga binti sa mga palatandaang ito upang gumawa ng mga baso (huwag mo lang akong akusahan na nagsusulong ng pagkagumon sa droga at alkoholismo ngayon: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, kung gayon ikaw ay adik na sa droga):

Pagkakaiba sa pagitan ng intersection at unyon ng mga set

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (koleksyon) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid, hindi bababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong nasa unang hanay at sa pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Iyan ay mahusay. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Desisyon. Kumilos kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Niresolba namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:

Unyon ng mga hanay

Malinaw na ang sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]

Desisyon. Well? Hindi, pareho lang. Dumaan tayo mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus patungo sa isang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat ay hindi magiging napakahusay doon:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, mayroon ding kaunting laro:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon kailangan nating markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, kailangan mong markahan ang mga puntos sa tamang pagkakasunud-sunod: kung mas malaki ang numero, lalo pang lumilipat ang punto sa kanan.

At narito kami ay naghihintay para sa isang setup. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas maliit din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wala ring kahirapan (isang positibong numero na halatang mas negatibo), ngunit sa huling mag-asawa, ang lahat ay hindi gaanong simple. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang pag-aayos ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ibinukod namin ang ugat, nakakuha ng mga di-negatibong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, sa wakas ang mga punto sa mga palakol ay isasaayos tulad nito:

Kaso pangit ang ugat

Ipaalala ko sa iyo na nilulutas namin ang isang set, kaya ang sagot ay ang unyon, at hindi ang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Gaya ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa mga simpleng gawain at para sa napakahirap na gawain. Ang tanging "mahina na lugar" sa diskarteng ito ay kailangan mong ihambing nang tama ang mga hindi makatwiran na numero (at maniwala ka sa akin: hindi lamang ito mga ugat). Ngunit isang hiwalay (at napakaseryosong aral) ang ilalaan sa mga tanong ng paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Kaya nakarating kami sa pinakakawili-wili. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt\left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay totoo lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga di-negatibong buntot, ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. Walang karagdagang mga paghihigpit.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit ito ay isang ganap na naiibang kuwento (ito ay, kumbaga, hindi makatwiran na mga equation), kaya hindi na natin ito papasok ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Desisyon. Agad nating napapansin ang dalawang bagay:

1. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay puputulin.
2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Sa huling hakbang, dinaya ko ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunod-sunod ng mga termino, gamit ang parity ng modulus (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Markahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!

Pag-alis ng module sign

Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso, ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ayan yun. Nalutas ang problema.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Desisyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkokomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

I-square natin ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng espasyo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:

Ang sagot ay isang buong saklaw

Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga expression ng submodule sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong tawaging kondisyon na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol sa kanya - sa isang hiwalay na aralin. At ngayon lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at isaalang-alang ang isang unibersal na algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan. :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga trick na ito ay hindi gumana? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring bawasan sa hindi negatibong mga buntot, kung imposibleng ihiwalay ang modyul, kung sa lahat ng sakit-kalungkutan-pagnanasa?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay pumasok sa eksena - ang paraan ng enumeration. Tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

1. Isulat ang lahat ng mga expression ng submodule at ipantay ang mga ito sa zero;
2. Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga natagpuang ugat sa isang linya ng numero;
3. Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may nakapirming sign at samakatuwid ay hindi malabo na lumalawak;
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat ng hangganan na nakuha sa talata 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot. :)

Well, paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt\kaliwa| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Desisyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt\kaliwa| g \right|$, kaya sige na.

Isinulat namin ang mga expression ng submodule, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, sa loob kung saan ang bawat module ay natatangi:

Hinahati ang linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng submodular function

Isaalang-alang natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga expression ng submodule ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isinulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nakakuha kami ng medyo simpleng hadlang. I-intersect natin ito sa orihinal na pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 ngunit mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Magkahiwalay nating isaalang-alang ang boundary case: $x=-2$. I-substitute na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: may hawak ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \kaliwa| -3 \kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw, ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa maling hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Ngayon hayaan ang $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay may "minus" pa rin. Meron kami:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang walang laman na hanay ng mga solusyon, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli isang espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \kaliwa| 3\kanan| \lt\kaliwa| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Dito lahat ng module ay pinalawak na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli, i-intersect namin ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \kanan)\]

Sa wakas! Natagpuan namin ang pagitan, na siyang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Sa wakas, isang tala na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga module ay karaniwang tuluy-tuloy na mga hanay sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay mas bihira. At kahit na mas bihira, nangyayari na ang mga hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay nag-tutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Samakatuwid, kung ang mga hangganan (mga "espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, ang mga lugar sa kaliwa-kanan ng mga hangganang ito ay halos tiyak na hindi rin isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok bilang tugon, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga tugon din.

Isaisip ito kapag sinusuri mo ang iyong mga solusyon.

Ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag ang kaliwa at kanang bahagi nito ay mga linear na function na may paggalang sa hindi kilalang halaga. Kabilang dito, halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay: ax+b>0 o palakol+b<0

2) Hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay: ax+b≤0 o palakol+b≫ 0

Gawin natin ang gawaing ito. Ang isang gilid ng paralelogram ay 7cm. Ano ang dapat na haba ng kabilang panig upang ang perimeter ng paralelogram ay higit sa 44 cm?

Hayaan ang nais na panig X tingnan Sa kasong ito, ang perimeter ng parallelogram ay kakatawanin ng (14 + 2x) tingnan.Ang hindi pagkakapantay-pantay na 14 + 2x > 44 ay isang mathematical model ng problema ng perimeter ng isang parallelogram. Kung sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay pinapalitan natin ang variable X sa, halimbawa, ang numero 16, pagkatapos ay makuha namin ang tamang numerical inequality 14 + 32\u003e 44. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang numero 16 ay ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 14 + 2x\u003e 44.

Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay pangalanan ang halaga ng variable na nagiging tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Samakatuwid, ang bawat isa sa mga numero 15.1; Ang 20;73 ay nagsisilbing solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 14 + 2x > 44, at ang bilang na 10, halimbawa, ay hindi solusyon nito.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nangangahulugan na itatag ang lahat ng mga solusyon nito o patunayan na ang mga solusyon ay hindi umiiral.

Ang pagbabalangkas ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay katulad ng pagbabalangkas ng ugat ng equation. Gayunpaman, hindi kaugalian na italaga ang "ugat ng hindi pagkakapantay-pantay."

Ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero ay nakatulong sa amin na malutas ang mga equation. Katulad nito, ang mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay makakatulong sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang paglutas ng equation, binabago namin ito sa isa pa, mas simpleng equation, ngunit katumbas ng ibinigay. Sa katulad na paraan, ang sagot ay matatagpuan para sa hindi pagkakapantay-pantay. Kapag binabago ang equation sa isang equation na katumbas nito, ginagamit nila ang theorem sa paglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa kabaligtaran at sa multiplikasyon ng parehong bahagi ng equation sa parehong non-zero number. Kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, mayroong isang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan nito at ng isang equation, na nakasalalay sa katotohanan na ang anumang solusyon sa isang equation ay maaaring suriin sa pamamagitan lamang ng pagpapalit nito sa orihinal na equation. Sa mga hindi pagkakapantay-pantay, walang ganoong paraan, dahil hindi posible na palitan ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, mayroong isang mahalagang konsepto, ang mga arrow na ito<=>ay ang tanda ng katumbas, o katumbas, pagbabagong-anyo. Ang pagbabago ay tinatawag katumbas o katumbas kung hindi nila babaguhin ang set ng desisyon.

Katulad na mga patakaran para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Kung ang anumang termino ay inilipat mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa, habang pinapalitan ang sign nito ng kabaligtaran, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng ibinigay.

Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami (hinati) sa parehong positibong numero, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng ibinigay.

Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami (hinati) ng parehong negatibong numero, habang pinapalitan ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ng kabaligtaran, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng ibinigay.

Gamit ang mga ito mga regulasyon kinakalkula namin ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.

1) Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay 2x - 5 > 9.

Ito ay linear inequality, hanapin ang solusyon nito at talakayin ang mga pangunahing konsepto.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 ay inilipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda), pagkatapos ay hinati namin ang lahat ng 2 at mayroon kami x > 7. Naglalapat kami ng isang hanay ng mga solusyon sa axis x

Nakakuha kami ng positively directed beam. Pansinin namin ang hanay ng mga solusyon alinman sa anyo ng hindi pagkakapantay-pantay x > 7, o bilang isang pagitan x(7; ∞). At ano ang isang partikular na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito? Halimbawa, x=10 ay isang partikular na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, x=12 ay isa ring partikular na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.

Maraming partikular na solusyon, ngunit ang aming gawain ay hanapin ang lahat ng solusyon. At ang mga solusyon ay karaniwang walang hanggan.

Pag-aralan natin halimbawa 2:

2) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 4a - 11 > a + 13.

Solusyonan natin ito: a lumipat sa isang tabi 11 lumipat sa kabilang panig, makakakuha tayo ng 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 may anyo ang hindi pagkakapantay-pantay a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Ipapakita din namin ang set a< 8 , ngunit nasa axis na a.

Ang sagot ay nakasulat bilang hindi pagkakapantay-pantay a< 8, либо a(-∞;8), 8 ay hindi naka-on.

Hindi pagkakapantay-pantay ay isang ekspresyong may, ≤, o ≥. Halimbawa, 3x - 5 Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga halaga ng mga variable kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ang bawat isa sa mga numerong ito ay isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, at ang hanay ng lahat ng naturang mga solusyon ay nito maraming solusyon. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may parehong hanay ng mga solusyon ay tinatawag katumbas na hindi pagkakapantay-pantay.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga prinsipyo para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay katulad ng mga prinsipyo para sa paglutas ng mga equation.

Mga prinsipyo para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay
Para sa anumang tunay na numero a, b, at c :
Ang prinsipyo ng pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay: Kung ang Prinsipyo ng pagpaparami para sa hindi pagkakapantay-pantay: Kung ang isang 0 ay totoo, kung gayon ang ac Kung ang isang bc ay totoo rin.
Nalalapat din ang mga katulad na pahayag para sa isang ≤ b.

Kapag ang magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng isang negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay kailangang baligtarin.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa unang antas, tulad ng sa Halimbawa 1 (sa ibaba), ay tinatawag mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 1 Lutasin ang bawat isa sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay gumuhit ng isang hanay ng mga solusyon.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Desisyon
Ang anumang numerong mas mababa sa 11/5 ay isang solusyon.
Ang hanay ng mga solusyon ay (x|x
Upang gumawa ng tseke, maaari naming i-plot ang y 1 = 3x - 5 at y 2 = 6 - 2x. Pagkatapos ay makikita mula dito na para sa x
Ang hanay ng solusyon ay (x|x ≤ 1), o (-∞, 1]. Ang graph ng hanay ng solusyon ay ipinapakita sa ibaba.

Dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Kapag ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay pinagsama ng isang salita at, o, pagkatapos ito ay nabuo dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Double inequality like
-3 at 2x + 5 ≤ 7
tinawag konektado dahil ito ay gumagamit at. Itala -3 Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas gamit ang mga prinsipyo ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 2 Lutasin -3 Desisyon Meron kami

Set ng mga solusyon (x|x ≤ -1 o x > 3). Maaari din nating isulat ang solusyon gamit ang spacing notation at ang simbolo para sa mga asosasyon o mga inklusyon ng parehong set: (-∞ -1] (3, ∞) Ang graph ng set ng mga solusyon ay ipinapakita sa ibaba.

Upang subukan, iguhit ang y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, at y 3 = 1. Tandaan na para sa (x|x ≤ -1 o x > 3), y 1 ≤ y 2 o y 1 > y 3 .

Mga hindi pagkakapantay-pantay na may ganap na halaga (modulus)

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay kung minsan ay naglalaman ng mga module. Ang mga sumusunod na katangian ay ginagamit upang malutas ang mga ito.
Para sa isang > 0 at isang algebraic expression x:
|x| |x| > ang a ay katumbas ng x o x > a.
Mga katulad na pahayag para sa |x| ≤ a at |x| ≥ a.

Halimbawa,
|x| |y| Ang ≥ 1 ay katumbas ng y ≤ -1 o y ≥ 1;
at |2x + 3| Ang ≤ 4 ay katumbas ng -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Halimbawa 4 Lutasin ang bawat isa sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay. I-plot ang hanay ng mga solusyon.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Desisyon
a) |3x + 2|

Ang hanay ng solusyon ay (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Ang hanay ng solusyon ay (x|x ≤ 2 o x ≥ 3), o (-∞, 2] )