Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Teorya sa paksa: "Paglutas ng problema para sa interes."

Uri 1: I-convert ang porsyento sa decimal. porsyento  fraction A%  A hinati sa 100 Gawain: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... Punan ang talahanayan 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Uri 2: Pag-convert ng isang fraction sa isang porsyento. numero  porsyento A  A beses 100% I-convert ang mga praksiyon sa porsyento: 3/4; 0.07; 2.4. (GIA, mga gawaing pampakay) Itugma ang mga fraction na nagpapahayag ng mga bahagi ng isang tiyak na halaga, at ang mga porsyento na naaayon sa kanila. A.1/4; B) 3/5; C) 0.5; D) 0.05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Sagot: A B C D

Uri 3: Paghahanap ng porsyento ng isang numero. X% ng A 1) Ang X% ay kinakatawan bilang isang decimal fraction 2) Ang numerong A ay pinarami ng decimal na fraction. Ang gawain ay isang halimbawa. Sa isang buwan, gumawa ang kumpanya ng 500 device. Nabigo ang 20% ​​ng mga ginawang device na makapasa sa kontrol sa kalidad. Ilang device ang nabigong kontrolin ang kalidad? Desisyon. Kailangan mong hanapin ang 20% ​​ng kabuuang bilang ng mga ginawang device (500). 20% = 0.2. 500 * 0.2 = 100. 100 sa kabuuang bilang ng mga manufactured device ay hindi pumasa sa quality control.

Uri 4: Maghanap ng isang numero ayon sa porsyento nito. At ito ay X%: 1) X% ay kinakatawan bilang isang decimal fraction 2) A ay hinati sa isang decimal fraction. Ang gawain ay isang halimbawa. Paghahanda para sa pagsusulit, nalutas ng mag-aaral ang 38 mga gawain mula sa manwal para sa sariling pag-aaral. Alin ang 25% ng bilang ng lahat ng gawain sa manwal. Ilang mga gawain ang nakolekta sa manwal na ito sa sariling pag-aaral? Desisyon. Hindi namin alam kung gaano karaming mga gawain ang nasa manwal. Ngunit sa kabilang banda, alam natin na ang 38 na gawain ay 25% ng kanilang kabuuang bilang. 25%=0.25 38/0.25 = 152. Mayroong 152 problema sa koleksyong ito.

Uri 5: Hanapin ang porsyento ng dalawang numero. A at B na mga numero. Ano ang % ng B ng A? 1) B / A 2) I-multiply ang resultang quotient sa 100% Ang gawain ay isang sample. Mayroong 30 mag-aaral sa klase. 15 sa kanila ay mga babae. Ilang porsyento ng mga babae ang nasa klase? Desisyon. Upang malaman kung anong porsyento ang isang numero mula sa isa pa, kailangan mo ang numerong gusto mong hanapin, hatiin sa kabuuang bilang at i-multiply sa 100%. Kaya, 1) 15 / 30 = 0.5 2) 0.5 * 100% = 50% Ang gawain ay isang sample. Sa loob ng 1 oras, gumawa ang awtomatikong makina ng 240 bahagi. Matapos ang muling pagtatayo ng makinang ito, nagsimula siyang gumawa ng 288 ng parehong mga bahagi bawat oras. Sa ilang porsyento tumaas ang produktibidad ng makina? Desisyon. Ang pagiging produktibo ng makina ay tumaas ng 288-240=48 bahagi kada oras. Kailangan mong malaman kung anong porsyento ng 240 bahagi ang 48 bahagi. Upang malaman kung gaano karaming porsyento ng numero 48 ang mula sa numerong 240, kailangan mong hatiin ang numero 48 sa 240 at i-multiply ang resulta sa 100%. 48/240 *100% =20% Sagot: ang produktibidad ng makina ay tumaas ng 20%

Uri 6: Taasan ang bilang ng porsyento. Bawasan ang bilang ng porsyento. Ang A ay isang numero; tumaas ng X%, pagkatapos ay tumaas ito ng (1 + x / 100) beses. : 1) ang bilang A ay pinarami ng 2) (1 + x / 100). Ang gawain ay isang halimbawa. . Sa pagsusulit sa matematika noong nakaraang taon, 140 estudyante sa high school ang nakakuha ng A. Sa taong ito ang bilang ng mga mahuhusay na mag-aaral ay tumaas ng 15%. Ilang tao ang nakakuha ng A sa kanilang pagsusulit sa matematika ngayong taon? Desisyon. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - numero; bumababa tayo ng X%, pagkatapos ay bumaba ito ng (1 - x / 100) beses. : 1) ang bilang A ay pinarami ng 2) (1 - x / 100). Ang gawain ay isang halimbawa. Isang taon na ang nakalipas, 100 bata ang nagtapos sa paaralan. At sa taong ito mayroong 25% na mas kaunting mga nagtapos. Ilang graduates ngayong taon? Desisyon. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Uri7: Konsentrasyon ng Solusyon. Ang gawain ay isang halimbawa. Ang isang kilo ng asin ay natunaw sa 9 na litro ng tubig. Ano ang konsentrasyon ng nagresultang solusyon? (Ang masa ng 1 litro ng tubig ay 1 kg) (Peterson 6 na mga cell.) Solusyon 1) Ang masa ng solute ay 1 kg 2) Ang masa ng buong solusyon 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg ay ang masa ng tubig sa solusyon (hindi malito sa kabuuang masa ng solusyon ) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - konsentrasyon ng solusyon

Uri 8: Ang porsyento ng metal sa haluang metal. Gawain - sample 1. Mayroong isang piraso ng isang haluang metal ng tanso at lata na may kabuuang masa na 12 kg, na naglalaman ng 45% na tanso. Gaano karaming purong lata ang dapat idagdag sa piraso ng haluang metal na ito upang ang resultang haluang metal ay naglalaman ng 40% tanso? Solusyon.1)12 . 0.45= 5.4 (kg) - purong tanso sa unang haluang metal; 2) 5.4: 0.4= 13.5 (kg) - bigat ng bagong haluang metal; 3) 13.5- 12= 1.5 (kg) lata. Sagot: kailangan mo ng 1.5 kg ng lata.

Gawain - sample 2. Mayroong dalawang haluang metal, na binubuo ng tanso, sink at lata. Ito ay kilala na ang unang haluang metal ay naglalaman ng 40% lata, at ang pangalawa - 26% tanso. Ang porsyento ng zinc sa una at pangalawang haluang metal ay pareho. Ang pagkakaroon ng natunaw na 150 kg ng unang haluang metal at 250 kg ng pangalawa, isang bagong haluang metal ang nakuha, kung saan ang 30% na zinc ay naging. Tukuyin kung gaano karaming kilo ng lata ang nakapaloob sa nagreresultang bagong haluang metal. Dahil ang porsyento ng zinc sa una at pangalawang haluang metal ay pareho at sa ikatlong haluang metal ito ay naging 30%, pagkatapos ay sa una at pangalawang haluang metal ang porsyento ng zinc ay 30%. 250 * 0.3 \u003d 75 (kg) - sink sa pangalawang haluang metal; 250 * 0.26 \u003d 65 (kg) - tanso sa pangalawang haluang metal; 250-(75+65)= 110 (kg) lata sa pangalawang haluang metal; 150 . 0.4= 60 (kg) - lata sa unang haluang metal; 110 + 60 = 170 (kg) - lata sa ikatlong haluang metal. Sagot: 170 kg. 1 haluang metal 2 haluang metal Bagong haluang metal (3) Copper 26% Zinc 30% 30% 30% Tin 40% ?kg timbang 150kg 250kg 150+250=400

Uri 9: Sa "dry matter". Halos anumang produkto - mansanas, pakwan, mushroom, patatas, cereal, tinapay, atbp. binubuo ng tubig at tuyong bagay. Bukod dito, ang parehong sariwa at tuyo na pagkain ay naglalaman ng tubig. Sa panahon ng proseso ng pagpapatayo, ang tubig lamang ang sumingaw, at ang masa ng tuyong bagay ay hindi nagbabago. A.G. Mordkovich "Mathematics 6" Problema Blg. 362 Ang problema ay isang sample. Ang sariwang kabute ay naglalaman ng 90% na tubig, at tuyo - 15%. Ilang tuyong mushroom ang makukuha mula sa 17 kg ng mga sariwa? Ilang sariwang mushroom ang kailangan mong kunin para makakuha ng 3.4 kg na tuyo? Desisyon. Gumawa tayo ng table: 1 bahagi ng problema: substance Mass of substance (kg) Porsiyento ng tubig Porsiyento ng dry matter Mass of dry matter (kg) Fresh mushroom 17kg 90% 10% 17*0.1=1.7 Dried mushroom X kg 15% 85% X * o.85 \u003d 0.85x Dahil ang masa ng tuyong bagay sa tuyo at sariwang mushroom ay nananatiling hindi nagbabago, nakuha namin ang equation: 0.85x \u003d 1.7, x \u003d 1.7: 0.85, x \u003d 2.

Bahagi 2 ng problema: Substance Mass ng substance (kg) Porsiyento ng tubig Porsiyento ng tubig Mass of dry matter (kg) Fresh mushroom х 90% 10% 0.1х Dried mushroom 3.4 15% 85% 3.4*0.85=2 .89 0.1x = 2.89, x = 2.89: 0.1, x = 28.9. Sagot: mula sa 17 kg ng sariwang mushroom makakakuha ka ng 2 kg ng mga tuyo; upang makakuha ng 3.4 kg ng mga tuyong mushroom, kailangan mong kumuha ng 28.9 kg ng mga sariwa.

Ngayon ay lilihis tayo ng kaunti mula sa karaniwang logarithms, integral, trigonometrya, atbp., at sama-sama nating isasaalang-alang ang isang mas mahalagang gawain mula sa Unified State Examination sa matematika, na direktang nauugnay sa ating atrasadong ekonomiyang nakabase sa mapagkukunan ng Russia. At upang maging tumpak, isasaalang-alang namin ang problema ng mga deposito, interes at mga pautang. Dahil ito ay ang mga gawain na may mga porsyento na kamakailan ay idinagdag sa ikalawang bahagi ng pinag-isang pagsusulit ng estado sa matematika. Magsasagawa ako kaagad ng reserbasyon na para sa paglutas ng problemang ito, ayon sa mga detalye ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri, tatlong pangunahing punto ang inaalok nang sabay-sabay, ibig sabihin, itinuturing ng mga tagasuri ang gawaing ito na isa sa pinakamahirap.

Kasabay nito, upang malutas ang alinman sa mga gawaing ito mula sa Unified State Examination sa matematika, kailangan mong malaman lamang ang dalawang pormula, na ang bawat isa ay lubos na naa-access sa sinumang nagtapos sa paaralan, gayunpaman, para sa mga kadahilanang hindi ko maintindihan, ang mga formula na ito ay ganap na binabalewala ng parehong mga guro ng paaralan at mga tagabuo ng iba't ibang mga gawain para sa paghahanda sa pagsusulit. Samakatuwid, ngayon ay hindi ko lang sasabihin sa iyo kung ano ang mga formula na ito at kung paano ilapat ang mga ito, ngunit kukunin ko ang bawat isa sa mga formula na ito nang literal sa harap ng iyong mga mata, na kumukuha bilang batayan ng mga gawain mula sa bukas na USE bank sa matematika.

Samakatuwid, ang aralin ay naging medyo masigla, medyo makabuluhan, kaya gawing komportable ang iyong sarili, at magsisimula kami.

Paglalagay ng pera sa bangko

Una sa lahat, nais kong gumawa ng isang maliit na lyrical digression na may kaugnayan sa pananalapi, mga bangko, mga pautang at mga deposito, sa batayan kung saan makakakuha tayo ng mga formula na gagamitin natin upang malutas ang problemang ito. Kaya, lumihis tayo ng kaunti mula sa mga pagsusulit, mula sa mga paparating na problema sa paaralan, at tumingin sa hinaharap.

Sabihin nating lumaki ka na at bibili ka ng apartment. Sabihin nating bibili ka ng hindi isang masamang apartment sa labas, ngunit isang magandang kalidad na apartment para sa 20 milyong rubles. Kasabay nito, ipagpalagay din natin na nakakuha ka ng higit o mas kaunting normal na trabaho at kumita ng 300 libong rubles sa isang buwan. Sa kasong ito, para sa taon maaari mong i-save ang tungkol sa tatlong milyong rubles. Siyempre, kumikita ng 300,000 rubles sa isang buwan, para sa taon makakakuha ka ng isang bahagyang mas malaking halaga - 3,600,000 - ngunit hayaan itong 600,000 na gastusin sa pagkain, damit at iba pang pang-araw-araw na kagalakan sa bahay. Ang kabuuang data ng pag-input ay ang mga sumusunod: kinakailangan na kumita ng dalawampung milyong rubles, habang mayroon kaming nasa aming pagtatapon lamang ng tatlong milyong rubles sa isang taon. Isang natural na tanong ang lumitaw: ilang taon ang kailangan nating magtabi ng tatlong milyon upang makuha ang parehong dalawampung milyon. Ito ay itinuturing na elementarya:

\[\frac(20)(3)=6,....\to 7\]

Gayunpaman, tulad ng nabanggit na namin, kumikita ka ng 300 libong rubles sa isang buwan, na nangangahulugang ikaw ay matalinong tao at hindi makatipid ng pera "sa ilalim ng unan", ngunit dalhin ito sa bangko. At, samakatuwid, taun-taon sa mga depositong iyon na dinadala mo sa bangko, sisingilin ang interes. Sabihin nating pumili ka ng isang maaasahang, ngunit sa parehong oras mas marami o hindi gaanong kumikitang bangko, at samakatuwid ang iyong mga deposito ay lalago ng 15% bawat taon taun-taon. Sa madaling salita, maaari naming sabihin na ang halaga sa iyong mga account ay tataas ng 1.15 beses bawat taon. Hayaan akong ipaalala sa iyo ang formula:

Kalkulahin natin kung magkano ang pera sa iyong mga account pagkatapos ng bawat taon:

Sa unang taon, kapag nagsimula ka lamang mag-ipon ng pera, walang interes na maipon, iyon ay, sa pagtatapos ng taon ay makakatipid ka ng tatlong milyong rubles:

Sa pagtatapos ng ikalawang taon, ang interes ay maiipon na sa tatlong milyong rubles na natitira mula sa unang taon, i.e. kailangan nating i-multiply ng 1.15. Gayunpaman, sa ikalawang taon, nag-ulat ka rin ng isa pang tatlong milyong rubles. Siyempre, ang tatlong milyon na ito ay hindi pa nakakaipon ng interes, dahil sa pagtatapos ng ikalawang taon, ang tatlong milyon na ito ay lumabas lamang sa account:

Kaya, ang ikatlong taon. Sa pagtatapos ng ikatlong taon, ang interes ay maiipon sa halagang ito, iyon ay, kinakailangang i-multiply ang buong halagang ito sa 1.15. At muli, sa buong taon ay nagsumikap ka at nagtabi ng tatlong milyong rubles:

\[\kaliwa(3m\cdot 1.15+3m \kanan)\cdot 1.15+3m\]

Magkalkula tayo ng isa pang ikaapat na taon. Muli, ang buong halaga na mayroon tayo sa pagtatapos ng ikatlong taon ay pinarami ng 1.15, ibig sabihin. Sisingilin ang interes sa buong halaga. Kabilang dito ang interes sa interes. At tatlong milyon pa ang idinagdag sa halagang ito, dahil sa ikaapat na taon ay nagtrabaho ka rin at nakaipon din ng pera:

\[\kaliwa(\kaliwa(3m\cdot 1.15+3m \kanan)\cdot 1.15+3m \kanan)\cdot 1.15+3m\]

At ngayon buksan natin ang mga bracket at tingnan kung anong halaga ang makukuha natin sa pagtatapos ng ika-apat na taon ng pag-iipon ng pera:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \kanan)= \\& =3m\kaliwa(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \kanan) \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, sa mga bracket mayroon kaming mga elemento ng isang geometric na pag-unlad, ibig sabihin, mayroon kaming kabuuan ng mga elemento ng isang geometric na pag-unlad.

Ipaalala ko sa iyo na kung ang geometric progression ay ibinigay ng elementong $((b)_(1))$, pati na rin ang denominator na $q$, kung gayon ang kabuuan ng mga elemento ay kakalkulahin ayon sa sumusunod na formula:

Ang formula na ito ay dapat na kilala at malinaw na inilapat.

Mangyaring tandaan: ang formula n ang elemento ay ganito ang tunog:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Dahil sa degree na ito, maraming estudyante ang nalilito. Sa kabuuan, mayroon lang kami n para sa kabuuan n- mga elemento, at n-th elemento ay may degree na $n-1$. Sa madaling salita, kung susubukan nating kalkulahin ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, kailangan nating isaalang-alang ang sumusunod:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Kalkulahin natin ang numerator nang hiwalay:

\[((1,15)^(4))=((\kaliwa(((1,15)^(2)) \kanan))^(2))=((\kaliwa(1,3225 \kanan) ))^(2))=1.74900625\approx 1.75\]

Sa kabuuan, ang pagbabalik sa kabuuan ng geometric na pag-unlad, nakukuha natin:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Dahil dito, nakukuha natin na sa apat na taong pag-iipon, hindi tataas ng apat na beses ang ating paunang halaga, na parang hindi tayo nagdeposito ng pera sa bangko, ngunit limang beses, iyon ay, labinlimang milyon. Isulat natin ito nang hiwalay:

4 na taon → 5 beses

Sa hinaharap, sasabihin ko na kung hindi kami nag-iipon hindi sa loob ng apat na taon, ngunit sa loob ng limang taon, kung gayon bilang resulta, ang aming halaga ng ipon ay tataas ng 6.7 beses:

5 taon → 6.7 beses

Sa madaling salita, sa pagtatapos ng ikalimang taon, magkakaroon kami ng sumusunod na halaga sa account:

Iyon ay, sa pagtatapos ng ikalimang taon ng pag-iimpok, na isinasaalang-alang ang interes sa deposito, nakatanggap na kami ng higit sa dalawampung milyong rubles. Kaya, ang kabuuang savings account mula sa interes ng bangko ay bababa mula sa halos pitong taon hanggang limang taon, ibig sabihin, ng halos dalawang taon.

Kaya, kahit na sa kabila ng katotohanan na ang bangko ay naniningil ng medyo mababang interes sa aming mga deposito (15%), pagkatapos ng limang taon ang parehong 15% na ito ay nagbibigay ng pagtaas na makabuluhang lumampas sa aming taunang kita. Kasabay nito, ang pangunahing multiplier effect ay nangyayari sa mga nakaraang taon at kahit na, sa halip, sa huling taon ng pagtitipid.

Bakit ko isinulat ang lahat ng ito? Syempre, hindi para agitate ka na magdala ng pera sa bangko. Dahil kung gusto mo talagang dagdagan ang iyong mga ipon, kailangan mong i-invest ang mga ito hindi sa isang bangko, ngunit sa isang tunay na negosyo, kung saan ang parehong mga porsyento, i.e. kakayahang kumita sa mga kondisyon ng ekonomiya ng Russia, ay bihirang bumaba sa ibaba 30%, ibig sabihin, dalawang beses. ang daming deposito sa bangko.

Ngunit ang talagang kapaki-pakinabang sa lahat ng pangangatwiran na ito ay isang pormula na nagpapahintulot sa amin na mahanap ang huling halaga ng deposito sa pamamagitan ng halaga ng taunang mga pagbabayad, gayundin sa pamamagitan ng interes na sinisingil ng bangko. Kaya't magsulat tayo:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Sa sarili nito, ang % ay kinakalkula gamit ang sumusunod na formula:

Kailangan ding malaman ang formula na ito, gayundin ang pangunahing formula para sa halaga ng kontribusyon. At, sa turn, ang pangunahing formula ay maaaring makabuluhang bawasan ang mga kalkulasyon sa mga problemang iyon na may mga porsyento kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang kontribusyon.

Bakit gumamit ng mga formula sa halip na mga talahanayan?

Marahil marami ang magkakaroon ng tanong, bakit lahat ng mga paghihirap na ito, posible bang isulat lamang ang bawat taon sa isang tablet, tulad ng ginagawa nila sa maraming mga aklat-aralin, kalkulahin ang bawat taon nang hiwalay, at pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuang halaga ng kontribusyon? Siyempre, maaari mong karaniwang kalimutan ang tungkol sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad at bilangin ang lahat gamit ang mga klasikong tablet - ginagawa ito sa karamihan ng mga koleksyon upang maghanda para sa pagsusulit. Gayunpaman, una, ang dami ng mga kalkulasyon ay tumataas nang husto, at pangalawa, bilang isang resulta, ang posibilidad ng paggawa ng isang error ay tumataas.

At sa pangkalahatan, ang paggamit ng mga talahanayan sa halip na ang kahanga-hangang formula na ito ay kapareho ng paghuhukay ng mga trenches gamit ang iyong mga kamay sa isang construction site sa halip na gumamit ng excavator na nakatayo sa malapit at ganap na gumagana.

Well, o ang parehong bagay bilang pagpaparami ng lima sa sampu hindi gamit ang multiplication table, ngunit pagdaragdag ng lima sa sarili nito sampung beses sa isang hilera. Gayunpaman, lumihis na ako, kaya uulitin ko muli ang pinakamahalagang ideya: kung mayroong ilang paraan upang pasimplehin at paikliin ang mga kalkulasyon, kung gayon ito ang paraan upang magamit.

Interes sa mga pautang

Naisip namin ang mga deposito, kaya lumipat kami sa susunod na paksa, ibig sabihin, sa interes sa mga pautang.

Kaya, habang nag-iipon ka ng pera, maingat na pinaplano ang iyong badyet, iniisip ang tungkol sa iyong apartment sa hinaharap, ang iyong kaklase, at ngayon ay isang simpleng taong walang trabaho, nagpasya na mabuhay para sa ngayon at kumuha na lamang ng pautang. At the same time, aasarin at tatawanan ka pa niya, sabi nila, may credit phone siya at used car, taken on credit, tapos sumakay ka pa sa subway at gumamit ng lumang push-button na telephone. Syempre, sa lahat ng mga murang "show-offs" na ito ay kailangang magbayad ng mahal ng dati mong kaklase. Gaano kamahal - ito ang kakalkulahin natin ngayon.

Una, isang maikling pagpapakilala. Sabihin nating ang iyong dating kaklase ay kumuha ng dalawang milyong rubles sa utang. Kasabay nito, ayon sa kontrata, dapat siyang magbayad ng x rubles bawat buwan. Sabihin nating kumuha siya ng pautang sa rate na 20% kada taon, na sa kasalukuyang mga kondisyon ay mukhang medyo disente. Gayundin, ipagpalagay na ang termino ng pautang ay tatlong buwan lamang. Subukan nating ikonekta ang lahat ng mga dami na ito sa isang formula.

So, sa umpisa pa lang, pag-alis ng dati mong kaklase sa bangko, may dalawang milyon na siya sa bulsa, at ito ang utang niya. Kasabay nito, hindi isang taon ang lumipas, at hindi isang buwan, ngunit ito ay simula pa lamang:

Pagkatapos, pagkatapos ng isang buwan, ang interes ay maiipon sa halagang dapat bayaran. Tulad ng alam na natin, upang makalkula ang interes, sapat na upang i-multiply ang orihinal na utang sa pamamagitan ng isang koepisyent, na kinakalkula gamit ang sumusunod na formula:

Sa aming kaso, pinag-uusapan natin ang isang rate na 20% kada taon, ibig sabihin, maaari tayong sumulat:

Ito ang ratio ng halaga na sisingilin bawat taon. Gayunpaman, ang aming kaklase ay hindi masyadong matalino at hindi niya binasa ang kontrata, at sa katunayan siya ay binigyan ng pautang hindi sa 20% bawat taon, ngunit sa 20% bawat buwan. At sa pagtatapos ng unang buwan, ang interes ay maiipon sa halagang ito, at tataas ito ng 1.2 beses. Kaagad pagkatapos nito, kakailanganin ng tao na magbayad ng napagkasunduang halaga, ibig sabihin, x rubles bawat buwan:

\[\kaliwa(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

At muli, ang aming anak ay nagbabayad sa halagang $x$ rubles.

Pagkatapos, sa pagtatapos ng ikatlong buwan, ang halaga ng kanyang utang ay tataas muli ng 20%:

\[\kaliwa(\kaliwa(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

At ayon sa kondisyon para sa tatlong buwan, dapat siyang magbayad nang buo, iyon ay, pagkatapos gawin ang huling ikatlong pagbabayad, ang kanyang halaga ng utang ay dapat na katumbas ng zero. Maaari nating isulat ang equation na ito:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Magpasya tayo:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

Sa harap natin ay muli ang isang geometric na pag-unlad, o sa halip, ang kabuuan ng tatlong elemento ng isang geometriko na pag-unlad. Isulat muli natin ito sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga elemento:

Ngayon kailangan nating hanapin ang kabuuan ng tatlong elemento ng isang geometric na pag-unlad. Sumulat tayo:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Ngayon hanapin natin ang kabuuan ng geometric progression:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Dapat alalahanin na ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad na may ganitong mga parameter na $\left(((b)_(1));q \right)$ ay kinakalkula ng formula:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Ito ang formula na ginamit namin. Palitan ang formula na ito sa aming expression:

Para sa karagdagang mga kalkulasyon, kailangan nating malaman kung ano ang katumbas ng $((1,2)^(3))$. Sa kasamaang palad, sa kasong ito, hindi na kami makakapagpinta bilang huling pagkakataon sa anyo ng isang double square, ngunit maaari naming kalkulahin tulad nito:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Isinulat namin muli ang aming expression:

Ito ay isang klasikong linear na expression. Bumalik tayo sa susunod na formula:

Sa katunayan, kung i-generalize natin ito, makakakuha tayo ng formula na nag-uugnay sa interes, mga pautang, mga pagbabayad at mga tuntunin. Ang formula ay ganito:

Narito ito, ang pinakamahalagang pormula ng aralin sa video ngayon, sa tulong kung saan hindi bababa sa 80% ng lahat ng mga gawaing pang-ekonomiya mula sa Unified State Exam sa matematika sa ikalawang bahagi ay isinasaalang-alang.

Kadalasan, sa mga totoong gawain, hihilingin sa iyo ang isang pagbabayad, o medyo mas madalas para sa isang pautang, iyon ay, ang kabuuang halaga ng utang na mayroon ang aming kaklase sa simula ng mga pagbabayad. Sa mas kumplikadong mga gawain, hihilingin sa iyo na makahanap ng isang porsyento, ngunit para sa mga napakasalimuot, na susuriin namin sa isang hiwalay na aralin sa video, hihilingin sa iyo na hanapin ang time frame kung saan, kasama ang ibinigay na mga parameter ng pautang at pagbabayad, ang kaklase nating walang trabaho ay makakapagbayad ng buo sa bangko.

Marahil ay may mag-iisip ngayon na ako ay isang mahigpit na kalaban ng mga pautang, pananalapi at ang sistema ng pagbabangko sa pangkalahatan. Kaya, walang ganoon! Sa kabaligtaran, naniniwala ako na ang mga instrumento ng kredito ay lubhang kapaki-pakinabang at mahalaga para sa ating ekonomiya, ngunit sa kondisyon lamang na ang utang ay kinuha para sa pagpapaunlad ng negosyo. Sa matinding mga kaso, maaari kang kumuha ng pautang upang bumili ng bahay, iyon ay, isang mortgage o para sa emerhensiyang medikal na paggamot - iyon lang, walang iba pang mga dahilan upang kumuha ng pautang. At lahat ng uri ng mga taong walang trabaho na umuutang para makabili ng mga "show-off" at kasabay nito ay hindi iniisip ang mga kahihinatnan sa huli at nagiging sanhi ng mga krisis at problema sa ating ekonomiya.

Pagbabalik sa paksa ng aralin ngayon, nais kong tandaan na kailangan ding malaman ang formula na ito na nagkokonekta sa mga pautang, pagbabayad at interes, pati na rin ang halaga ng isang geometric na pag-unlad. Ito ay sa tulong ng mga formula na ito na ang mga tunay na problemang pang-ekonomiya mula sa Unified State Examination sa matematika ay malulutas. Buweno, ngayon na alam mo na ang lahat ng ito, kapag naunawaan mo kung ano ang isang pautang at kung bakit hindi mo ito dapat kunin, magpatuloy tayo sa paglutas ng mga tunay na problema sa ekonomiya mula sa Unified State Examination sa matematika.

Niresolba namin ang mga totoong problema mula sa pagsusulit sa matematika

Halimbawa #1

Kaya ang unang gawain ay:

Noong Disyembre 31, 2014, kumuha si Alexei ng pautang ng 9,282,000 rubles mula sa bangko sa 10% bawat taon. Ang scheme ng pagbabayad ng utang ay ang mga sumusunod: sa Disyembre 31 ng bawat susunod na taon, ang bangko ay nakakaipon ng interes sa natitirang halaga ng utang (iyon ay, pinapataas ang utang ng 10%), pagkatapos ay inilipat ni Alexey ang X rubles sa bangko. Ano ang dapat na halagang X para mabayaran ni Alexey ang utang sa apat na pantay na pagbabayad (ibig sabihin, sa loob ng apat na taon)?

Kaya, ito ay isang problema tungkol sa isang pautang, kaya agad naming isulat ang aming formula:

Alam namin ang utang - 9,282,000 rubles.

Haharapin natin ang mga porsyento ngayon. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa 10% ng problema. Samakatuwid, maaari nating isalin ang mga ito:

Maaari tayong gumawa ng equation:

Nakakuha kami ng ordinaryong linear equation na may kinalaman sa $x$, bagama't may medyo mabigat na coefficients. Subukan nating lutasin ito. Una, hanapin natin ang expression na $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Ngayon ay muling isulat natin ang equation:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Yun nga lang, solve na yung problema natin sa percentage.

Siyempre, ito lamang ang pinakasimpleng gawain na may mga porsyento mula sa Unified State Examination sa matematika. Sa totoong pagsusulit, malamang na walang ganoong gawain. At kung nangyari ito, isaalang-alang ang iyong sarili na napakaswerte. Well, para sa mga mahilig magbilang at hindi mahilig makipagsapalaran, magpatuloy tayo sa susunod na mas mahihirap na gawain.

Halimbawa #2

Noong Disyembre 31, 2014, humiram si Stepan ng 4,004,000 rubles mula sa isang bangko sa 20% bawat taon. Ang pamamaraan ng pagbabayad ng utang ay ang mga sumusunod: sa Disyembre 31 ng bawat susunod na taon, ang bangko ay nag-iipon ng interes sa natitirang halaga ng utang (i.e., pinapataas ang utang ng 20%), pagkatapos ay nagbabayad si Stepan sa bangko. Binayaran ni Stepan ang buong utang sa 3 pantay na bayad. Ilang rubles ang mas mababa ang ibibigay niya sa bangko kung mababayaran niya ang utang sa 2 pantay na pagbabayad.

Bago sa amin ay isang problema tungkol sa mga pautang, kaya isulat namin ang aming formula:

\[\]\

Ano ang alam natin? Una, alam natin ang kabuuang kredito. Alam din natin ang porsyento. Hanapin natin ang ratio:

Para sa $n$, kailangan mong maingat na basahin ang kalagayan ng problema. Ibig sabihin, kailangan muna nating kalkulahin kung magkano ang binayaran niya sa loob ng tatlong taon, ibig sabihin, $n=3$, at pagkatapos ay gawin muli ang parehong mga hakbang ngunit kalkulahin ang mga pagbabayad para sa dalawang taon. Sumulat tayo ng isang equation para sa kaso kung saan ang pagbabayad ay binayaran sa loob ng tatlong taon:

Lutasin natin ang equation na ito. Ngunit una, hanapin natin ang expression na $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Isinulat namin muli ang aming expression:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Sa kabuuan, ang aming pagbabayad ay magiging 1900800 rubles. Gayunpaman, bigyang-pansin: sa gawain, kailangan naming makahanap ng hindi isang buwanang pagbabayad, ngunit kung magkano ang babayaran ni Stepan sa kabuuan para sa tatlong pantay na pagbabayad, iyon ay, para sa buong panahon ng paggamit ng utang. Samakatuwid, ang resultang halaga ay dapat na muling i-multiply ng tatlo. Magbilang tayo:

Sa kabuuan, magbabayad si Stepan ng 5,702,400 rubles para sa tatlong pantay na pagbabayad. Ganyan ang magagastos niya sa paggamit ng loan sa loob ng tatlong taon.

Ngayon isaalang-alang ang pangalawang sitwasyon, nang si Stepan ay hinila ang kanyang sarili, naghanda at binayaran ang buong utang hindi sa tatlo, ngunit sa dalawang pantay na pagbabayad. Isinulat namin ang aming parehong formula:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Ngunit hindi lang iyon, dahil ngayon ay nakalkula na namin ang isa lamang sa dalawang mga pagbabayad, kaya sa kabuuang babayaran ni Stepan ang eksaktong dalawang beses nang mas marami:

Mahusay, ngayon ay malapit na tayo sa huling sagot. Ngunit bigyang-pansin: sa anumang kaso ay hindi pa kami nakatanggap ng pangwakas na sagot, dahil para sa tatlong taon ng mga pagbabayad ay magbabayad si Stepan ng 5,702,400 rubles, at para sa dalawang taong pagbabayad ay magbabayad siya ng 5,241,600 rubles, iyon ay, mas kaunti. gaano pa kaunti? Upang malaman, kailangan mong ibawas ang pangalawang halaga ng pagbabayad mula sa unang halaga ng pagbabayad:

Ang kabuuang huling sagot ay 460,800 rubles. Eksakto kung magkano ang matitipid ni Stepan kung magbabayad siya ng hindi tatlong taon, ngunit dalawa.

Tulad ng nakikita mo, ang formula na nag-uugnay sa interes, mga tuntunin at mga pagbabayad ay lubos na nagpapasimple sa mga kalkulasyon kumpara sa mga klasikong talahanayan at, sa kasamaang-palad, para sa hindi kilalang mga kadahilanan, karamihan sa mga koleksyon ng problema, gayunpaman, ay gumagamit pa rin ng mga talahanayan.

Hiwalay, nais kong iguhit ang iyong pansin sa termino kung saan kinuha ang utang, at ang halaga ng buwanang pagbabayad. Ang katotohanan ay ang koneksyon na ito ay hindi direktang nakikita mula sa mga formula na isinulat namin, ngunit ang pag-unawa nito ay kinakailangan para sa mabilis at epektibong solusyon ng mga tunay na problema sa pagsusulit. Sa katunayan, ang koneksyon na ito ay napaka-simple: kung mas matagal ang utang, mas maliit ang halaga sa buwanang pagbabayad, ngunit mas malaki ang halaga na maipon sa buong panahon ng paggamit ng utang. At vice versa: mas maikli ang termino, mas mataas ang buwanang pagbabayad, ngunit mas mababa ang huling overpayment at mas mababa ang kabuuang halaga ng utang.

Siyempre, ang lahat ng mga pahayag na ito ay magiging pantay lamang sa kondisyon na ang halaga ng utang at ang rate ng interes sa parehong mga kaso ay pareho. Sa pangkalahatan, sa ngayon, tandaan lamang ang katotohanang ito - ito ay gagamitin upang malutas ang pinakamahirap na problema sa paksang ito, ngunit sa ngayon ay susuriin namin ang isang mas simpleng problema, kung saan kailangan mo lamang hanapin ang kabuuang halaga ng orihinal na pautang.

Halimbawa #3

Kaya, isa pang gawain para sa isang pautang at, sa kumbinasyon, ang huling gawain sa video tutorial ngayon.

Noong Disyembre 31, 2014, kinuha ni Vasily ang isang tiyak na halaga mula sa bangko sa kredito sa 13% bawat taon. Ang scheme ng pagbabayad ng utang ay ang mga sumusunod: sa Disyembre 31 ng bawat susunod na taon, ang bangko ay nakakaipon ng interes sa natitirang halaga ng utang (iyon ay, pinapataas nito ang utang ng 13%), pagkatapos ay inilipat ni Vasily ang 5,107,600 rubles sa bangko. Anong halaga ang hiniram ni Vasily sa bangko kung binayaran niya ang utang sa dalawang pantay na pag-install (sa loob ng dalawang taon)?

Kaya, una sa lahat, ang problemang ito ay muli tungkol sa mga pautang, kaya isinulat namin ang aming kahanga-hangang formula:

Tingnan natin kung ano ang nalalaman natin mula sa kalagayan ng problema. Una, ang pagbabayad - ito ay katumbas ng 5,107,600 rubles sa isang taon. Pangalawa, ang mga porsyento, upang mahanap natin ang ratio:

Bilang karagdagan, ayon sa kondisyon ng problema, si Vasily ay kumuha ng pautang mula sa bangko sa loob ng dalawang taon, i.e. binayaran sa dalawang pantay na installment, kaya $n=2$. Palitan natin ang lahat at tandaan din na ang utang ay hindi natin alam, i.e. ang halaga ng kanyang kinuha, at sabihin natin ito bilang $x$. Nakukuha namin:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Isulat muli natin ang ating equation na nasa isip ang katotohanang ito:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Iyon lang, ito ang huling sagot. Ito ang halaga na kinuha ni Vasily sa kredito sa pinakadulo simula.

Ngayon ay malinaw na kung bakit sa problemang ito hinihiling sa amin na kumuha ng pautang sa loob lamang ng dalawang taon, dahil ang double-digit na mga rate ng interes ay lilitaw dito, ibig sabihin, 13%, na kung saan, squared, ay nagbibigay na ng medyo "brutal" na numero. Ngunit hindi ito ang limitasyon - sa susunod na hiwalay na aralin, isasaalang-alang natin ang mas kumplikadong mga gawain kung saan kakailanganing hanapin ang termino ng pautang, at ang rate ay isa, dalawa o tatlong porsyento.

Sa pangkalahatan, matutong lutasin ang mga problema para sa mga deposito at pautang, maghanda para sa mga pagsusulit at ipasa ang mga ito nang "mahusay". At kung ang isang bagay ay hindi malinaw sa mga materyales ng aralin sa video ngayon, pagkatapos ay huwag mag-atubiling - sumulat, tumawag, at susubukan kong tulungan ka.

Paglutas ng mga problema sa matematika sa aplikasyon ng mga pangunahing konsepto ng interes.

Ang mga problema sa mga porsyento ay itinuro upang malutas mula sa ika-5 baitang.

Ang paglutas ng mga problema ng ganitong uri ay malapit na nauugnay sa tatlong mga algorithm:

1. paghahanap ng porsyento ng isang numero
2. paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito,
3. paghahanap ng porsyento.

Sa mga aralin sa mga mag-aaral, naiintindihan nila na ang isang daan ng isang metro ay isang sentimetro, isang daan ng isang ruble ay isang sentimos, isang daan ng isang sentimo ay isang kilo. Matagal nang napansin ng mga tao na ang daan-daang mga halaga ay maginhawa sa pagsasanay. Samakatuwid, ang isang espesyal na pangalan ay nilikha para sa kanila - porsyento.

Kaya ang isang sentimo ay isang porsyento ng isang ruble, at isang sentimetro ay isang porsyento ng isang metro.

Ang isang porsyento ay isang daan ng isang numero. Sa matematika, ang isang porsyento ay nakasulat tulad ng sumusunod: 1%.

Ang kahulugan ng isang porsyento ay maaaring isulat bilang: 1% \u003d 0.01. a

5%=0.05, 23%=0.23, 130%=1.3 atbp.

Paano mahahanap ang 1% ng isang numero?

Dahil ang 1% ay isang daan, kailangan mong hatiin ang numero sa 100. Ang paghahati sa 100 ay maaaring palitan ng multiply sa 0.01. Samakatuwid, upang mahanap ang 1% ng isang naibigay na numero, kailangan mong i-multiply ito sa 0.01. At kung kailangan mong hanapin ang 5% ng numero, pagkatapos ay i-multiply ang numerong ito sa 0.05, atbp.

Halimbawa. Hanapin: 25% ng 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Panuntunan 1. Upang makahanap ng ibinigay na bilang ng mga porsyento ng isang numero, kailangan mong isulat ang mga porsyento bilang isang decimal fraction, at pagkatapos ay i-multiply ang numero sa pamamagitan ng decimal na fraction na ito.

Halimbawa. Lumiko ang turner ng 40 bahagi sa isang oras. Gamit ang pamutol na gawa sa mas matibay na bakal, nagsimula siyang umikot ng 10 higit pang bahagi kada oras. Sa anong porsyento tumaas ang produktibidad ng paggawa?

Upang malutas ang problemang ito, kailangan nating alamin kung gaano karaming porsyento ang 10 bahagi mula sa 40. Upang gawin ito, hanapin muna natin kung anong bahagi ang bilang 10 mula sa bilang 40. Alam natin na kailangan nating hatiin ang 10 sa 40. Ito ay lumabas na 0.25. Ngayon ay isulat natin ito bilang isang porsyento - 25%.

Sagot: Ang produktibidad ng Turner ay tumaas ng 25%.

Panuntunan 2. Upang malaman kung gaano karaming porsyento ang isang numero mula sa isa pa, kailangan mong hatiin ang unang numero sa pangalawa at isulat ang resultang fraction bilang isang porsyento.

Halimbawa. Sa nakaplanong target na 60 sasakyan bawat araw, gumawa ang planta ng 66 na sasakyan. Sa anong porsyento natupad ng halaman ang plano?

66: 60 \u003d 1.1 - ang bahaging ito ay binubuo ng mga gawang kotse mula sa bilang ng mga kotse ayon sa plano. Isulat natin sa porsyento = 110%.

Sagot: 110%.

Halimbawa. Ang tanso ay isang haluang metal ng lata at tanso. Ilang porsyento ng haluang metal ang tanso sa isang piraso ng tanso, na binubuo ng 6 kg ng lata at 34 kg ng tanso?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - ang masa ng buong haluang metal.
2. 34: 40 = 0.85 = 85 (%) - ang haluang metal ay tanso.

Sagot: 85%.

Halimbawa. Ang sanggol na elepante ay nawalan ng 20% ​​sa tagsibol, pagkatapos ay nakakuha ng 30% sa tag-araw, muling nawalan ng 20% ​​sa taglagas, at nakakuha ng 10% sa taglamig. Nananatili ba ang kanyang timbang sa taong ito? Kung binago, sa ilang porsyento at sa anong direksyon?

1. 100 - 20 = 80 (%) - pagkatapos ng tagsibol.
2. 80 + 80 . 0.3 = 104 (%) - pagkatapos ng tag-araw.
3. 104-104. 0.2 = 83.2 (%) - pagkatapos ng taglagas.
4. 83.2 + 83.2. 0.1 = 91.52 (%) - pagkatapos ng taglamig.

Sagot: nawalan ng timbang ng 8.48%.

Halimbawa. Umalis kami para sa pag-iimbak ng 20 kg ng mga gooseberry, ang mga berry na naglalaman ng 99% na tubig. Ang nilalaman ng tubig sa mga berry ay bumaba sa 98%. Ilang gooseberries ang magiging resulta?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0.01 - ang proporsyon ng tuyong bagay sa mga gooseberry muna.
2. 20 . 0.01 \u003d 0.2 (kg) - tuyong bagay.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0.02 - ang proporsyon ng dry matter sa gooseberries pagkatapos ng imbakan.
4. 0.2: 0.02 \u003d 10 (kg) - naging gooseberries.

Sagot: 10 kg.

Halimbawa. Ano ang mangyayari sa presyo ng isang produkto kung ito ay unang tumaas ng 25% at pagkatapos ay ibababa ng 25%?

Hayaang ang presyo ng produkto ay x rubles, pagkatapos pagkatapos ng pagtaas ang produkto ay nagkakahalaga ng 125% ng nakaraang presyo, i.e. 1.25x, at pagkatapos ng pagbaba ng 25%, ang halaga nito ay 75% o 0.75 ng tumaas na presyo, i.e.

0.75 .1.25x = 0.9375x,

pagkatapos ay bumaba ang presyo ng mga bilihin ng 6.25%.

x - 0.9375x = 0.0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Sagot: Ang orihinal na presyo ng produkto ay bumaba ng 6.25%.

Panuntunan 3. Upang mahanap ang porsyento ng dalawang numero A at B, kailangan mong i-multiply ang ratio ng mga numerong ito sa 100%, iyon ay, kalkulahin (A: B). 100%.

Halimbawa. Maghanap ng numero kung ang 15% nito ay 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x ay isang ibinigay na numero;
0.15 . x = 300;
x = 200.

Sagot: 200.

Halimbawa. Ang hilaw na koton ay gumagawa ng 24% na hibla. Gaano karaming hilaw na koton ang dapat inumin upang makakuha ng 480 kg ng hibla?

Isulat natin ang 24% bilang isang decimal na bahagi ng 0.24 at makuha ang problema sa paghahanap ng isang numero mula sa kilalang bahagi nito (fraction).
480: 0.24= 2000 kg = 2 t

Sagot: 2 t.

Halimbawa. Ilang kg ng porcini mushroom ang dapat anihin upang makakuha ng 1 kg ng tuyong mushroom, kung 50% ng kanilang masa ay nananatili sa panahon ng pagproseso ng mga sariwang mushroom, at 10% ng masa ng naprosesong mushroom ay nananatili sa panahon ng pagpapatayo?

1 kg ng pinatuyong mushroom ay 10% o 0.01 bahagi ng naproseso, i.e.
1 kg: 0.1=10 kg ng mga naprosesong mushroom, na 50% o 0.5 ng mga inani na mushroom, i.e.
10 kg: 0.05=20 kg.

Sagot: 20 kg.

Halimbawa. Ang mga sariwang mushroom ay naglalaman ng 90% na tubig ayon sa timbang, at tuyo 12%. Ilang tuyong mushroom ang makukuha mula sa 22 kg ng mga sariwa?

1. 22. 0.1 = 2.2 (kg) - mga mushroom ayon sa timbang sa mga sariwang mushroom; (0.1 ay 10% dry matter);
2. 2.2: 0.88 \u003d 2.5 (kg) - mga tuyong kabute na nakuha mula sa sariwa (ang dami ng tuyong bagay ay hindi nagbago, ngunit ang porsyento nito sa mga kabute ay nagbago at ngayon 2.2 kg ay 88% o 0.88 tuyong kabute ).

Sagot: 2.5 kg.

Panuntunan 4. Upang mahanap ang isang numero na ibinigay sa mga porsyento nito, kailangan mong ipahayag ang mga porsyento bilang isang fraction, at pagkatapos ay hatiin ang halaga ng porsyento sa fraction na ito.

Sa mga problema para sa mga kalkulasyon sa bangko, ang simple at tambalang interes ay karaniwang matatagpuan. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng simple at compound na paglago ng interes? Sa simpleng paglago, ang porsyento ay kinakalkula sa bawat oras batay sa paunang halaga, at sa kumplikadong paglago, ito ay kinakalkula mula sa nakaraang halaga. Sa simpleng paglago, 100% ang paunang halaga, at sa kumplikadong paglago, 100% ay bago sa bawat pagkakataon at katumbas ng dating halaga.

Halimbawa. Ang bangko ay nagbabayad ng kita na 4% bawat buwan mula sa halaga ng deposito. 300 libong rubles ang inilagay sa account, ang kita ay naipon bawat buwan. Kalkulahin ang halaga ng kontribusyon pagkatapos ng 3 buwan.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1.04 - ang bahagi ng pagtaas sa deposito kumpara sa nakaraang buwan.
2. 300 . 1.04 \u003d 312 (libong rubles) - ang halaga ng kontribusyon pagkatapos ng 1 buwan.
3. 312 . 1.04 \u003d 324.48 (libong rubles) - ang halaga ng kontribusyon pagkatapos ng 2 buwan.
4. 324.48. 1.04 = 337.4592 (thousand r) = 337 459.2 (r) - ang halaga ng kontribusyon pagkatapos ng 3 buwan.

O maaari mong palitan ang mga talata 2-4 ng isa, ulitin ang konsepto ng degree sa mga bata: 300.1.043 \u003d 337.4592 (libong rubles) \u003d 337,459.2 (r) - ang halaga ng kontribusyon pagkatapos ng 3 buwan.

Sagot: 337,459.2 rubles

Halimbawa. Nabasa ni Vasya sa pahayagan na sa nakalipas na 3 buwan, ang mga presyo ng pagkain ay tumaas ng average na 10% bawat buwan. Sa ilang porsyento tumaas ang mga presyo sa loob ng 3 buwan?

Halimbawa. Ang pera na namuhunan sa mga bahagi ng isang kilalang kumpanya ay nagdudulot ng 20% ​​ng kita taun-taon. Sa ilang taon magdodoble ang pamumuhunan?

Isaalang-alang natin ang isang katulad na plano ng gawain gamit ang mga partikular na halimbawa.

Halimbawa. (Pagpipilian 1 Blg. 16. OGE-2016. Mathematics. Mga karaniwang gawain sa pagsusulit_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Ang sports store ay nagpapatakbo ng promosyon. Ang anumang lumulukso ay nagkakahalaga ng 400 rubles. Kapag bumibili ng dalawang jumper - 75% na diskwento sa pangalawang jumper. Ilang rubles ang kailangan kong bayaran para sa pagbili ng dalawang jumper sa panahon ng promosyon?

Ayon sa kondisyon ng problema, lumalabas na ang unang lumulukso ay binili para sa 100% ng orihinal na gastos nito, at ang pangalawa para sa 100 - 75 = 25 (%), i.e. sa kabuuan, dapat magbayad ang mamimili ng 100 + 25 = 125 (%) ng orihinal na halaga. Ang solusyon ay maaaring isaalang-alang sa tatlong paraan.

1 paraan.

Tumatanggap kami ng 400 rubles bilang 100%. Pagkatapos 1% ay naglalaman ng 400: 100 = 4 (rubles), at 125%
4 . 125 = 500 (rubles)

2 paraan.

Ang isang porsyento ng isang numero ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-multiply ng isang numero sa isang fraction na tumutugma sa isang porsyento, o sa pamamagitan ng pag-multiply ng isang numero sa isang ibinigay na porsyento at paghahati sa 100.
400 . 1.25 = 500 o 400. 125/100 = 500.

3 paraan.

Paglalapat ng proporsyon ng ari-arian:
400 kuskusin. - 100 %
x kuskusin. - 125%, nakukuha namin ang x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (rubles)

Sagot: 500 rubles.

Halimbawa. (Pagpipilian 4 Blg. 16. OGE-2016. Mathematics. Mga karaniwang gawain sa pagsusulit_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Ang average na bigat ng mga lalaki na kapareho ng edad ni Gosha ay 57 kg. Ang timbang ni Gosha ay 150% ng average na timbang. Ilang kilo ang timbang ni Gosha?

Katulad ng halimbawang tinalakay sa itaas, maaari kang gumawa ng proporsyon:

57 kg - 100%
x kg - 150%, nakukuha namin ang x \u003d 57. 150 / 100 = 85.5 (kg)

Sagot: 85.5 kg.

Halimbawa. (Opsyon 7 No. 16. OGE-2016. Mathematics. Mga tipikal na gawain sa pagsusulit_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Pagkatapos ng markdown ng TV, ang bagong presyo nito ay 0.52 ng luma. Ilang porsyento ang pagbaba ng presyo bilang resulta ng markdown?

1 paraan.

Hanapin muna natin ang bahagi ng pagbabawas ng presyo. Kung ang orihinal na presyo ay kinuha bilang 1, pagkatapos ay 1 - 0.52 = 0.48 ang bahagi ng pagbawas ng presyo. Pagkatapos makuha namin, 0.48. 100% = 48%. Yung. bumaba ang presyo ng 48% bilang resulta ng markdown.

2 paraan.

Kung ang paunang gastos ay kinuha bilang A, pagkatapos pagkatapos ng markdown, ang bagong presyo ng TV ay magiging 0.52A, i.e. bababa ito ng A - 0.52A = 0.48A.

Gumawa tayo ng isang proporsyon:
A - 100%
0.48A - x%, nakukuha namin ang x = 0.48A. 100 / A = 48 (%).

Sagot: bumaba ang presyo ng 48% bilang resulta ng markdown.

Halimbawa. (Opsyon 9 No. 16. OGE-2016. Mathematics. Mga karaniwang gawain sa pagsusulit_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Ang produkto sa pagbebenta ay nabawasan ng 15%, habang nagsimula itong nagkakahalaga ng 680 rubles. Magkano ang halaga ng item bago ang pagbebenta?

Bago ang pagbaba ng presyo, ang produkto ay nagkakahalaga ng 100%. Ang presyo ng produkto pagkatapos ng pagbebenta ay bumaba ng 15%, i.е. naging 100 - 15 = 85 (%), sa rubles ang halagang ito ay katumbas ng 680 rubles.

1 paraan.

680: 85 = 8 (rubles) - sa 1%
walo . 100 \u003d 800 (rubles) - ang halaga ng mga kalakal bago ang pagbebenta.

2 paraan.

Ito ang problema ng paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng porsyento nito, ito ay nalulutas sa pamamagitan ng paghahati ng numero sa katumbas na porsyento at sa pamamagitan ng pag-convert ng nagresultang fraction sa isang porsyento, pagpaparami ng 100, o sa pamamagitan ng paghahati sa fraction na nakuha sa pamamagitan ng pag-convert mula sa mga porsyento.
680:85. 100 \u003d 800 (rubles) o 680: 0.85 \u003d 800 (rubles)

3 paraan.

May proporsyon:
680 kuskusin. - 85%
x kuskusin. - 100%, nakukuha namin ang x = 680. 100 / 85 = 800 (rubles)

Sagot: 800 rubles ang halaga ng mga kalakal bago ang pagbebenta.

Paglutas ng mga problema para sa mga mixtures at alloys, gamit ang mga konsepto ng "porsiyento", "konsentrasyon", "% solusyon".

Ang pinakasimpleng mga gawain ng ganitong uri ay nakalista sa ibaba.

Halimbawa. Ilang kg ng asin sa 10 kg ng tubig-alat kung ang porsyento ng asin ay 15%.

sampu . 0.15 = 1.5 (kg) asin.

Sagot: 1.5 kg.

Ang porsyento ng isang sangkap sa isang solusyon (hal. 15%), kung minsan ay tinutukoy bilang isang % na solusyon (hal. 15% na solusyon sa asin).

Halimbawa. Ang haluang metal ay naglalaman ng 10 kg ng lata at 15 kg ng zinc. Ano ang porsyento ng lata at sink sa haluang metal?

Ang porsyento ng isang sangkap sa isang haluang metal ay ang bahagi na binubuo ng bigat ng isang ibinigay na sangkap mula sa bigat ng buong haluang metal.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - haluang metal;
2. 10:25 a.m. 100% = 40% - porsyento ng lata sa haluang metal;
3. 15:25. 100% = 60% - porsyento ng zinc sa haluang metal.

Sagot: 40%, 60%.

Sa mga gawain ng ganitong uri, ang konsepto ng "konsentrasyon" ay ang pangunahing isa. Ano ito?

Isaalang-alang, halimbawa, ang isang solusyon ng isang acid sa tubig.

Hayaang maglaman ang sisidlan ng 10 litro ng solusyon, na binubuo ng 3 litro ng acid at 7 litro ng tubig. Pagkatapos ay ang kamag-anak (na may kaugnayan sa buong dami) acid na nilalaman sa solusyon ay pantay. Tinutukoy ng numerong ito ang konsentrasyon ng acid sa solusyon. Minsan pinag-uusapan nila ang porsyento ng acid sa solusyon. Sa ibinigay na halimbawa, ang porsyento ay ang mga sumusunod: . Tulad ng nakikita mo, ang paglipat mula sa konsentrasyon hanggang sa porsyento at kabaligtaran ay napaka-simple.

Kaya, hayaan ang isang halo ng mass M na maglaman ng ilang sangkap ng mass m.

• ang konsentrasyon ng isang naibigay na sangkap sa isang halo (haluang metal) ay isang dami;
• ang porsyento ng isang ibinigay na sangkap ay tinatawag na c × 100%;

Ito ay sumusunod mula sa huling formula na sa mga kilalang konsentrasyon ng isang sangkap at ang kabuuang masa ng isang halo (haluang metal), ang masa ng isang ibinigay na sangkap ay tinutukoy ng formula m=c×M.

Ang mga problema sa mga mixtures (alloys) ay maaaring nahahati sa dalawang uri:

1. Halimbawa, ang dalawang mixtures (alloys) na may masa m1 at m2 at mga konsentrasyon ng ilang sangkap sa kanila na katumbas ng c1 at c2, ayon sa pagkakabanggit, ay ibinibigay. Ang mga mixtures (alloys) ay pinatuyo (fused). Kinakailangan upang matukoy ang masa ng sangkap na ito sa isang bagong halo (haluang metal) at ang bagong konsentrasyon nito. Malinaw na sa bagong pinaghalong (haluang metal) ang masa ng ibinigay na sangkap ay katumbas ng c1m1+c2m2, at ang konsentrasyon.
2. Ang isang tiyak na dami ng pinaghalong (haluang metal) ay nakatakda, at mula sa dami na ito nagsisimula silang mag-cast (mag-alis) ng isang tiyak na halaga ng pinaghalong (haluang metal), at pagkatapos ay magdagdag (magdagdag) ng pareho o ibang halaga ng pinaghalong (haluang metal). ) na may parehong konsentrasyon ng sangkap na ito o may ibang konsentrasyon. Ang operasyon na ito ay isinasagawa nang maraming beses.

Kapag nilulutas ang mga naturang problema, kinakailangan na magtatag ng kontrol sa dami ng isang naibigay na sangkap at ang konsentrasyon nito sa bawat ebb, gayundin sa bawat pagdaragdag ng pinaghalong. Bilang resulta ng naturang kontrol, nakakakuha kami ng isang equation sa paglutas. Isaalang-alang natin ang mga tiyak na gawain.

Kung ang konsentrasyon ng isang sangkap sa isang tambalan sa pamamagitan ng masa ay P%, nangangahulugan ito na ang masa ng sangkap na ito ay P% ng masa ng buong tambalan.

Halimbawa. Ang konsentrasyon ng pilak sa isang haluang metal na 300 g ay 87%. Nangangahulugan ito na ang purong pilak sa haluang metal ay 261 g.

300 . 0.87 = 261 (g).

Sa halimbawang ito, ang konsentrasyon ng isang sangkap ay ipinahayag bilang isang porsyento.

Ang ratio ng dami ng isang purong sangkap sa solusyon sa kabuuang dami ng pinaghalong ay tinatawag na volumetric na konsentrasyon ng sangkap na ito.

Ang kabuuan ng mga konsentrasyon ng lahat ng mga sangkap na bumubuo sa pinaghalong ay 1.

Kung ang porsyento ng isang sangkap ay kilala, kung gayon ang konsentrasyon nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
K \u003d P / 100%,
kung saan ang K ay ang konsentrasyon ng sangkap;
Ang P ay ang porsyento ng sangkap (sa porsyento).

Halimbawa. (Opsyon 8 No. 22. OGE-2016. Mathematics. Mga karaniwang gawain sa pagsusulit_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Ang mga sariwang prutas ay naglalaman ng 75% na tubig, habang ang mga pinatuyong prutas ay naglalaman ng 25%. Gaano karaming sariwang prutas ang kailangan para makapaghanda ng 45 kg ng pinatuyong prutas?

Kung ang mga sariwang prutas ay naglalaman ng 75% na tubig, kung gayon ang tuyong bagay ay magiging 100 - 75 = 25 (%), at tuyo - 25%, kung gayon ang tuyong bagay sa kanila ay magiging 100 - 25 = 75 (%).

Kapag nilulutas ang isang problema, maaari mong gamitin ang talahanayan:

Sariwang prutas x 25% = 0.25 0.25. X

Mga pinatuyong prutas 45 75% = 0.75 0.75. 45 = 33.75

kasi ang masa ng tuyong bagay para sa sariwa at pinatuyong prutas ay hindi nagbabago, nakukuha natin ang equation:

0.25 . x = 33.75;
x = 33.75: 0.25;
x = 135 (kg) - kailangan ang sariwang prutas.

Sagot: 135 kg.

Halimbawa. (Pagpipilian 8 Blg. 11. Pinag-isang Estado na Pagsusuri-2016. Matematika. Karaniwang. Pagsusulit. Mga Gawain. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Sa pamamagitan ng paghahalo ng 70% at 60% acid solution at pagdaragdag ng 2 kg ng purong tubig, nakuha ang 50% acid solution. Kung, sa halip na 2 kg ng tubig, 2 kg ng isang 90% na solusyon ng parehong acid ang idinagdag, kung gayon ang isang 70% na solusyon ng acid ay makukuha. Ilang kilo ng isang 70% na solusyon ang ginamit upang gawin ang timpla?

Kabuuang timbang, kg | Konsentrasyon ng dry matter | Mass ng dry matter
I x 70% \u003d 0.7 0.7. X
II sa 60% = 0.6 0.6. sa
tubig 2 - -
I + II + tubig x + y + 2 50% \u003d 0.5 0.5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0.9 0.9. 2 = 1.8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0.7 0.7. (x + y + 2)

Gamit ang huling column mula sa talahanayan, bubuo kami ng 2 equation:

0.7. x + 0.6. y = 0.5. (x + y + 2) at 0.7. x + 0.6. y + 1.8 = 0.7. (x + y + 2).

Ang pagsasama-sama ng mga ito sa isang sistema, at paglutas nito, nakukuha natin na x = 3 kg.

Sagot: 3 kilo ng 70% na solusyon ang ginamit upang makakuha ng timpla.

Halimbawa. (Pagpipilian 2 Blg. 11. Pinag-isang Estado na Pagsusuri-2016. Matematika. Karaniwang. Pagsusulit. Mga Takdang-aralin. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Ang tatlong kilo ng seresa ay katumbas ng limang kilo ng seresa, at ang tatlong kilo ng seresa ay katumbas ng dalawang kilo ng mga strawberry. Sa anong porsyento ang isang kilo ng strawberry ay mas mura kaysa sa isang kilo ng seresa?

Mula sa unang pangungusap ng problema, nakukuha natin ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

3h = 5v,
3v = 2k.
Mula sa kung saan maaari naming ipahayag: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Kaya, maaari kang gumawa ng isang proporsyon:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, nakakakuha kami ng x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% ang halaga ng isang kilo ng strawberry mula sa halaga ng isang kilo ng seresa.

Kaya, sa pamamagitan ng 100 - 90 = 10 (%) - isang kilo ng strawberry ay mas mura kaysa sa isang kilo ng seresa.

Sagot: ang isang kilo ng strawberry ay 10 porsiyentong mas mura kaysa sa isang kilo ng seresa.

Paglutas ng mga problema para sa "compound" na interes, gamit ang konsepto ng isang pagtaas (pagbaba) na koepisyent.

Upang pataasin ang positibong bilang A ng p porsyento, i-multiply ang bilang A sa kadahilanan ng pagtaas K = (1 + 0.01p).

Upang bawasan ang positibong bilang A ng p porsyento, i-multiply ang bilang A sa kadahilanan ng pagbabawas K = (1 - 0.01p).

Halimbawa. (Opsyon 29 No. 22. OGE-2015. Mathematics. Karaniwang opsyon sa pagsusulit: 36 na opsyon / inedit ni Yashchenko, 2015 - 224c)

Ang presyo ng isang bilihin ay binawasan ng dalawang beses ng parehong porsyento. Sa anong porsyento ang presyo ng mga kalakal ay bumaba sa bawat oras kung ang paunang gastos nito ay 5,000 rubles at ang huling halaga ay 4,050 rubles?

1 paraan.

kasi ang presyo ng isang bilihin ay bumaba ng parehong bilang ng %, sabihin natin ang bilang ng % bilang x. Hayaang ibaba ang presyo ng produkto ng x% sa una at pangalawang pagkakataon, pagkatapos pagkatapos ng unang pagbaba ang presyo ng produkto ay naging (100 - x)%.

Gumawa tayo ng isang proporsyon
5000 kuskusin. - 100%
sa kuskusin. - (100 - x)%, nakukuha namin ang y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rubles - ang halaga ng mga kalakal pagkatapos ng unang pagbawas.

Gumawa tayo ng bagong proporsyon para sa bagong presyo:
limampu . (100 - x) kuskusin. - 100%
z kuskusin. - (100 - x)%, nakakakuha kami ng z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0.5. (100 - x) 2 rubles - ang halaga ng mga kalakal pagkatapos ng pangalawang pagbawas.

Nakukuha namin ang equation na 0.5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Nang malutas ito, nakukuha namin iyon x \u003d 10%.

2 paraan.

kasi ang presyo ng isang kalakal ay nabawasan ng parehong bilang ng%, sabihin natin ang bilang ng% bilang x, x% = 0.01 x.

Gamit ang konsepto ng kadahilanan ng pagbabawas, agad naming nakuha ang equation:
5000 . (1 - 0.01x) 2 = 4050.

Sagot: ang presyo ng mga bilihin ay bumaba ng 10% sa bawat pagkakataon.

Halimbawa. (Opsyon 30 No. 22. OGE-2015. Mathematics. Karaniwang opsyon sa pagsusulit: 36 na opsyon / inedit ni Yashchenko, 2015 - 224c)

Ang presyo ng isang bilihin ay tumaas ng dalawang beses sa parehong porsyento. Sa anong porsyento tumaas ang presyo ng mga kalakal sa bawat pagkakataon kung ang paunang halaga nito ay 3,000 rubles at ang huling halaga ay 3,630 rubles?

kasi ang presyo ng isang kalakal ay tumaas ng parehong bilang ng %, sabihin natin ang bilang ng % ng x, x % = 0.01 x.

Gamit ang konsepto ng magnification factor, agad naming nakuha ang equation:
3000 . (1 + 0.01x) 2 = 3630.

Ang paglutas nito, nakukuha natin na x = 10%.

Sagot: 10% pagtaas ng presyo ng mga bilihin sa bawat pagkakataon.

Halimbawa. (Pagpipilian 4 Blg. 11. Pinag-isang Estado na Pagsusuri-2016. Matematika. Karaniwang. Pagsusulit. Ass. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Noong Huwebes, tumaas ang presyo ng mga bahagi ng kumpanya sa isang tiyak na bilang ng porsyento, at noong Biyernes ay bumagsak sila sa presyo ng parehong bilang ng porsyento. Bilang resulta, nagsimula silang gumastos ng 9% na mas mura kaysa sa pagbubukas ng kalakalan noong Huwebes. Sa anong porsyento tumaas ang presyo ng mga bahagi ng kumpanya noong Huwebes?

Hayaang tumaas at bumaba ang presyo ng kumpanya ng x%, x% = 0.01 x, at ang unang halaga ng mga share ay A. Gamit ang lahat ng kundisyon ng problema, nakuha natin ang equation:

(1 + 0.01 x) (1 - 0.01 x) A \u003d (1 - 0.09) A,
1 - (0.01 x) 2 \u003d 0.91,
(0.01 x)2 = (0.3)2,
0.01 x \u003d 0.3,
x = 30%.

Sagot: Tumaas ng 30 percent ang shares ng kumpanya noong Huwebes.

Paglutas ng mga problema sa "banking" sa bagong bersyon ng USE-2016 sa matematika.

Halimbawa. (Pagpipilian 2 Blg. 17. Pinag-isang Pagsusulit ng Estado-2016. Matematika. 50 uri. rev. ed. Yashchenko 2016)

Sa Enero 15, planong kumuha ng pautang mula sa bangko sa loob ng 15 buwan. Ang mga kondisyon para sa pagbabalik nito ay ang mga sumusunod:

Ito ay kilala na ang ikawalong pagbabayad ay umabot sa 108 libong rubles. Magkano ang dapat bayaran sa bangko sa buong termino ng pautang?

Mula sa ika-2 hanggang ika-14, ang A/15 +0.01A ay binabayaran.

Pagkatapos nito, ang halaga ng utang ay magiging 1.01A - A / 15 - 0.01A \u003d 14A / 15.

Pagkatapos ng 2 buwan, nakukuha namin ang: 1.01. 14A/15.

Pangalawang pagbabayad A/15 + 0.01. 14A/15.

Pagkatapos ang utang pagkatapos ng pangalawang pagbabayad ay 13A/15.

Katulad nito, nakuha namin na ang ikawalong pagbabayad ay magiging ganito ang hitsura:

A/15 + 0.01. 8A/15 = A/15. (1 + 0.08) = 1.08A / 15.

At ayon sa kondisyon, ito ay katumbas ng 108 libong rubles. Kaya, maaari nating isulat at lutasin ang equation:

1.08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (libong rubles) - ang paunang halaga ng utang.

2) Upang mahanap ang halaga na kailangang ibalik sa bangko sa buong panahon ng pautang, kailangan nating hanapin ang halaga ng lahat ng bayad sa utang.

Ang kabuuan ng lahat ng pagbabayad sa utang ay magiging ganito:

(A / 15 + 0.01A) + (A / 15 + 0.01. 14A / 15) + (A / 15 + 0.01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0.01. A /15) \u003d A + 0.01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0.01. 120A)/15 = 1.08 A.

Kaya 1.08. 1500 \u003d 1620 (libong rubles) \u003d 1620000 rubles ay dapat ibalik sa bangko sa buong panahon ng pautang.

Sagot: 1620000 rubles.

Halimbawa. (Pagpipilian 6 Blg. 17. Pinag-isang Pagsusulit ng Estado-2016. Matematika. 50 uri. rev. ed. Yashchenko 2016)

Sa Enero 15, planong kumuha ng pautang mula sa bangko sa loob ng 24 na buwan. Ang mga kondisyon para sa pagbabalik nito ay ang mga sumusunod:

• Sa ika-1 ng bawat buwan, ang utang ay tumataas ng 1% kumpara sa katapusan ng nakaraang buwan;
• mula ika-2 hanggang ika-14 ng bawat buwan, bahagi ng utang ang dapat bayaran;
• Sa ika-15 araw ng bawat buwan, ang utang ay dapat na mas mababa sa parehong halaga kaysa sa utang sa ika-15 araw ng nakaraang buwan.

Ito ay kilala na sa unang 12 buwan kinakailangan na magbayad ng 177.75 libong rubles sa bangko. Magkano ang balak mong hiramin?

1) Hayaan ang A ang halaga ng pautang, 1% = 0.01.

Pagkatapos 1.01A utang pagkatapos ng unang buwan.

Mula sa ika-2 hanggang ika-14, ang A/24 +0.01A ay binabayaran.

Pagkatapos nito, ang halaga ng utang ay magiging 1.01A - A / 24 - 0.01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

Sa ilalim ng pamamaraang ito, ang utang ay magiging kaparehong halaga na mas mababa kaysa sa utang sa ika-15 araw ng nakaraang buwan.

Pagkatapos ng 2 buwan, nakukuha namin ang: 1.01. 23A/24.

Pangalawang pagbabayad A/24 + 0.01. 23A/24.

Pagkatapos ang utang pagkatapos ng pangalawang pagbabayad ay 1.01. 23A/24 - A/24 - 0.01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1.01 - 0.01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Kaya, nakuha namin na sa unang 12 buwan kailangan mong bayaran sa bangko ang sumusunod na halaga:
A/24 +0.01A. 24/24 + A/24 + 0.01. 23A/24 + A/24 + 0.01. 22A/24 + ... + A/24 + 0.01. 13A/24 = 12A/24 + 0.01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

At ayon sa kondisyon, ito ay katumbas ng 177.375 libong rubles. Kaya, maaari nating isulat at lutasin ang equation:
711A / 1200 \u003d 177.75,
A = 300 (libong rubles) = 300,000 rubles - pinlano na kumuha ng pautang.

Sagot: 300,000 rubles.

Upang magawa nang tama at mabilis na malutas ang mga problema sa teksto na may mga porsyento ay kinakailangan hindi lamang para sa mga mag-aaral na malapit nang makapasa sa pagsusulit sa matematika sa isang basic o dalubhasang antas, kundi pati na rin para sa lahat ng mga nasa hustong gulang, dahil ang mga naturang gawain ay patuloy na nakakaharap sa pang-araw-araw na buhay. Ang pagtataas ng mga presyo, pagpaplano ng badyet ng pamilya, kumikitang pamumuhunan ng mga pondo at marami pang ibang isyu ay hindi malulutas kung wala ang mga kasanayang ito. Bilang paghahanda para sa pagpasa sa pagsusulit sa sertipikasyon, kinakailangang ulitin kung paano lutasin ang mga problema para sa mga porsyento: sa PAGGAMIT sa matematika, matatagpuan ang mga ito sa basic at sa antas ng profile.

Kailangang tandaan

Ang isang porsyento ay \(\frac(1)(100)\) bahagi ng ilang numero. Nagsasaad ng proporsyon ng isang bagay na may kaugnayan sa kabuuan. Ang nakasulat na karakter ay \(\%\) . Kapag naghahanda para sa Unified State Examination sa paksang "Interes", dapat tandaan ng mga mag-aaral sa Moscow at sa iba pang bahagi ng Russian Federation ang sumusunod na pormula:

\

Paano ito ilapat?

Upang malutas ang isang simpleng gawain na may mga porsyento sa pagsusulit sa matematika, kailangan mo:

1. Hatiin ang ibinigay na numero sa \(100\) .
2. I-multiply ang resultang value sa halagang \(\%\) na makikita.

Halimbawa, upang kalkulahin ang \(10\%\) mula sa \(300\) , mahahanap mo ang \(1\) na porsyento sa pamamagitan ng paghahati ng \(300:100=3\) . At ang numerong \(3\cdot10=30\) na nakuha mula sa nakaraang aksyon. Sagot: \(30\).

Ito ang mga pinakasimpleng gawain. Ang mga mag-aaral sa ika-11 baitang sa USE ay nahaharap sa pangangailangang lutasin ang mga kumplikadong problema na may mga porsyento. Bilang isang tuntunin, pinag-uusapan nila ang tungkol sa mga deposito sa bangko o mga pagbabayad. Maaari kang maging pamilyar sa mga formula at mga patakaran para sa kanilang aplikasyon sa pamamagitan ng pagpunta sa seksyong "Theoretical Reference". Dito maaari mong hindi lamang ulitin ang mga pangunahing kahulugan, ngunit maging pamilyar din sa mga pagpipilian para sa paglutas ng mga kumplikadong problema para sa interes sa isang pautang sa bangko, pati na rin sa mga pagsasanay mula sa iba pang mga seksyon ng algebra, halimbawa,

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Nagdeposito si Elena sa bangko sa halagang 5500 rubles. Ang interes sa deposito ay kinakalkula isang beses sa isang taon at idinaragdag sa kasalukuyang halaga ng deposito. Makalipas ang isang taon, idineposito ni Natalia ang parehong halaga sa parehong bangko at sa parehong mga termino. Makalipas ang isang taon, sabay na isinara nina Elena at Natalya ang kanilang mga deposito at kinuha ang pera. Bilang resulta, nakatanggap si Elena ng 739.2 rubles nang higit pa sa natanggap ni Natalya. Hanapin kung anong porsyento kada taon ang sinisingil ng bangko sa mga deposito?

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Hayaang x ang porsyento kada taon, pagkatapos pagkatapos ng isang taon ang kontribusyon ni Elena ay:

5500 + 0.01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0.01x) rubles, at makalipas ang isang taon - 5500(1 + 0.01x)^2 rubles. Isang taon lang ang deposito ni Natalia sa bangko, kaya katumbas ito ng 5500(1 + 0.01x) rubles. At ang pagkakaiba sa pagitan ng mga nagresultang kontribusyon nina Elena at Natalia ay umabot sa 739.2 rubles.

Gawin at lutasin natin ang equation:

5500(1+0.01x)^2-5500(1+0.01x)= 739,2,

(1+0.01x)^2-(1+0.01x)=0.1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Ang bangko ay naniningil ng 12% kada taon.

Sagot

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Ang negosyanteng si Petrov ay kumita ng 12,000 rubles noong 2005. Bawat kasunod na taon, tumaas ang kanyang kita ng 110% kumpara sa nakaraang taon. Ilang rubles ang kinita ng Petrov noong 2008?

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Noong 2005, ang kita ay 12\,000 rubles, bawat susunod na taon ay tumaas ito ng 110\%, iyon ay, naging 210\% \u003d 2.1 mula sa nakaraang taon. Sa tatlong taon ay magiging 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 ruble.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Mayroong dalawang haluang metal. Ang unang haluang metal ay naglalaman ng 12% na bakal, ang pangalawa - 28% na bakal. Ang masa ng pangalawang haluang metal ay mas malaki kaysa sa masa ng una sa pamamagitan ng 2 kg. Mula sa dalawang haluang ito, ang ikatlong haluang metal ay ginawa na may nilalamang bakal na 21% . Hanapin ang masa ng ikatlong haluang metal. Ibigay ang iyong sagot sa kilo.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Tukuyin natin ang masa ng unang haluang metal bilang x kg. Pagkatapos ang masa ng pangalawang haluang metal ay (x + 2) kg. Ang nilalaman ng bakal sa unang haluang metal ay 0.12x kg, sa pangalawang haluang metal - 0.28(x + 2) kg. Ang ikatlong haluang metal ay may mass x + x + 2 = 2x + 2 (kg), at ang nilalamang bakal nito ay 2(x + 1) \cdot 0.21 = 0.42(x + 1) kg.

Gawin at lutasin natin ang equation:

0.12x+ 0.28(x + 2) = 0.42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Ang ikatlong haluang metal ay may mass na 2 \cdot 7 + 2 = 16 (kg).

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Bumababa ang presyo ng isang TV set sa isang tindahan kada quarter (tatlong buwan sa isang quarter) ng parehong porsyento ng nakaraang presyo. Ito ay kilala na ang isang TV na nagkakahalaga ng 50,000 rubles ay naibenta dalawang quarter mamaya para sa 41,405 rubles. Hanapin ang porsyento kung saan bumaba ang halaga ng TV kada quarter.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang presyo ng TV ay orihinal na 50,000 rubles. Pagkalipas ng isang quarter naging siya 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0.01x) rubles, kung saan ang x ay ang porsyento kung saan ang presyo ng TV ay nabawasan kada quarter. Pagkatapos ng dalawang quarter, naging presyo nito

50\,000(1-0.01x)(1-0.01x)=50\,000(1-0.01x)^2.

Gawin at lutasin natin ang equation:

50\,000(1-0.01x)^2=41\,405,

(1-0.01x)^2=0.8281,

1-0.01x=0.91,

x=9.

Kaya, ang presyo ng TV ay bumaba ng 9 na porsyento kada quarter.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Noong 2005, 55,000 katao ang nanirahan sa nayon. Noong 2006, bilang resulta ng pagtatayo ng mga bagong bahay, ang bilang ng mga residente ay tumaas ng 6%, at noong 2007 - ng 10% kumpara noong 2006. Hanapin ang bilang ng mga naninirahan sa nayon noong 2007.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Noong 2006, ang bilang ng mga residente ng nayon ay tumaas ng 6%, i.е. naging 106%, na katumbas ng 55\,000 \cdot 1.06 = 58\,300 (mga naninirahan). Noong 2007, ang bilang ng mga residente ng nayon ay tumaas ng 10% (naging 110%) kumpara noong 2006, i.е. ang bilang ng mga naninirahan sa nayon ay naging 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 katao.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang 3 litro ng isang 14% na may tubig na solusyon ay naglalaman ng 3 \ cdot0.14 \u003d 0.42 litro. ilang sangkap. Nagdagdag ng 4 na litro ng tubig, naging 7 litro ng solusyon. Sa mga 7 litro ng isang bagong solusyon - 0.42 litro ng ilang sangkap. Hanapin natin ang konsentrasyon ng bagong solusyon: 0.42:7\cdot100=6%.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 11
Paksa: Mga gawain para sa porsyento

Kundisyon

Ang mga kumpanya ng konstruksiyon ay nagtatag ng isang kumpanya na may awtorisadong kapital na 150 milyong rubles. Ang unang kumpanya ay nag-ambag ng 20% ​​ng awtorisadong kapital, ang pangalawang kumpanya - 22.5 milyong rubles, ang pangatlo - 0.3 ng awtorisadong kapital, ang pang-apat na kumpanya ay nag-ambag sa iba.