Mga gawain para sa klasikal na kahulugan ng posibilidad.
Mga halimbawa ng solusyon

Sa ikatlong aralin, isasaalang-alang natin ang iba't ibang mga problema na nauugnay sa direktang aplikasyon ng klasikal na kahulugan ng posibilidad. Upang mabisang pag-aralan ang mga materyales ng artikulong ito, inirerekumenda kong pamilyar ka sa mga pangunahing konsepto teorya ng posibilidad at mga pangunahing kaalaman sa combinatorics. Ang problema ng klasikal na pagpapasiya ng probabilidad na may posibilidad na umasa sa isa ay makikita sa iyong independyente / kontrol na gawain sa terver, kaya naghahanda kami para sa seryosong trabaho. Ano ang seryoso, tanong mo? ... isang primitive formula lang. Nagbabala ako laban sa kawalang-galang - ang mga gawaing pampakay ay medyo magkakaibang, at marami sa kanila ang madaling malito. Kaugnay nito, bilang karagdagan sa paggawa ng pangunahing aralin, subukang pag-aralan ang mga karagdagang gawain sa paksa na nasa alkansya. handa na mga solusyon sa mas mataas na matematika. Ang mga pamamaraan ng pagpapasya ay mga paraan ng pagpapasya, ngunit ang "mga kaibigan" ay "kailangan pa ring makilala sa pamamagitan ng paningin", dahil kahit na ang isang mayamang imahinasyon ay limitado at mayroon ding sapat na tipikal na mga gawain. Well, susubukan kong gawin ang maximum na bilang ng mga ito sa magandang kalidad.

Tandaan natin ang mga klasiko ng genre:

Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa ilang pagsubok ay katumbas ng ratio , kung saan:

ay ang kabuuang bilang ng lahat pare-parehong posible, elementarya kinalabasan ng pagsusulit na ito, na bumubuo buong pangkat ng mga kaganapan;

- dami elementarya kinalabasan na pumapabor sa kaganapan.

At agad na isang agarang pit stop. Naiintindihan mo ba ang mga salitang may salungguhit? Nangangahulugan ito ng malinaw, hindi intuitive na pag-unawa. Kung hindi, pagkatapos ay mas mahusay pa ring bumalik sa 1st artikulo sa teorya ng posibilidad at pagkatapos lamang ay magpatuloy.

Mangyaring huwag laktawan ang mga unang halimbawa - sa kanila ay uulitin ko ang isang pangunahing mahalagang punto, at sasabihin din sa iyo kung paano maayos na i-format ang isang solusyon at sa kung anong mga paraan ito magagawa:

Gawain 1

Ang isang urn ay naglalaman ng 15 puti, 5 pula at 10 itim na bola. 1 bola ay iginuhit nang random, hanapin ang posibilidad na ito ay: a) puti, b) pula, c) itim.

Desisyon: ang pinakamahalagang kinakailangan para sa paggamit ng klasikal na kahulugan ng posibilidad ay ang kakayahang kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan.

Mayroong 15 + 5 + 10 = 30 bola sa urn, at malinaw na totoo ang mga sumusunod na katotohanan:

– ang pagkuha ng anumang bola ay pantay na posible (pantay na pagkakataon kinalabasan), habang ang mga kinalabasan elementarya at anyo buong pangkat ng mga kaganapan (ibig sabihin, bilang resulta ng pagsubok, isa sa 30 bola ay tiyak na aalisin).

Kaya, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan:

Isaalang-alang ang sumusunod na kaganapan: – isang puting bola ang kukunin mula sa urn. Ang kaganapang ito ay pinapaboran elementarya kinalabasan, kaya ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot mula sa urn.

Kakatwa, kahit na sa isang simpleng problema, ang isang tao ay maaaring gumawa ng isang seryosong kamalian, na napagtuunan ko ng pansin sa unang artikulo sa teorya ng posibilidad. Nasaan ang patibong dito? Ito ay hindi tamang makipagtalo dito na "Dahil ang kalahati ng mga bola ay puti, kung gayon ang posibilidad ng pagguhit ng isang puting bola» . Ang klasikong kahulugan ng probabilidad ay ELEMENTARYO kinalabasan, at dapat na isulat ang fraction!

Sa iba pang mga punto na katulad nito, isaalang-alang ang mga sumusunod na kaganapan:

- isang pulang bola ang kukunin mula sa urn;
- Isang itim na bola ang kukunin mula sa urn.

Ang kaganapan ay pinapaboran ng 5 elementarya na resulta, at ang kaganapan ay pinapaboran ng 10 elementarya na resulta. Kaya ang mga kaukulang probabilidad ay:

Ang isang karaniwang pag-verify ng maraming problema sa terver ay ginagawa gamit theorems sa kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong grupo. Sa aming kaso, ang mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat, na nangangahulugan na ang kabuuan ng mga katumbas na probabilidad ay dapat na katumbas ng isa: .

Tingnan natin kung ito nga: , na gusto kong tiyakin.

Sagot:

Sa prinsipyo, ang sagot ay maaaring isulat nang mas detalyado, ngunit sa personal nasanay ako na maglagay lamang ng mga numero doon - sa kadahilanang kapag sinimulan mo ang "pagtatatak" ng mga gawain sa daan-daan at libu-libo, nagsusumikap kang mabawasan ang pagpasok ng solusyon. Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa kaiklian: sa pagsasagawa, ang isang "mataas na bilis" na pagpipilian sa disenyo ay karaniwan. mga solusyon:

Kabuuan: 15 + 5 + 10 = 30 bola sa urn. Ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad na ang isang puting bola ay nakuha mula sa urn;
ay ang posibilidad na ang isang pulang bola ay nakuha mula sa urn;
ay ang posibilidad na ang isang itim na bola ay mabubunot mula sa urn.

Sagot:

Gayunpaman, kung mayroong ilang mga punto sa kondisyon, kung gayon ang solusyon ay madalas na mas maginhawa upang gumuhit sa unang paraan, na tumatagal ng kaunting oras, ngunit pagkatapos ay "inilalagay nito ang lahat sa mga istante" at ginagawang mas madali ang pag-navigate sa gawain.

Warm up:

Gawain 2

Nakatanggap ang tindahan ng 30 refrigerator, lima sa mga ito ay may depekto sa pabrika. Isang refrigerator ang random na pinili. Ano ang posibilidad na ito ay walang depekto?

Piliin ang pagpipiliang disenyo na nababagay sa iyo at suriin ang template sa ibaba ng pahina.

Sa pinakasimpleng mga halimbawa, ang bilang ng karaniwan at ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay nasa ibabaw, ngunit sa karamihan ng mga kaso kailangan mong maghukay ng patatas sa iyong sarili. Ang canonical na serye ng mga problema tungkol sa malilimutin na subscriber:

Gawain 3

Kapag nagdial ng numero ng telepono, nakalimutan ng subscriber ang huling dalawang digit, ngunit naaalala na ang isa sa mga ito ay zero, at ang isa ay kakaiba. Hanapin ang posibilidad na idial niya ang tamang numero.

Tandaan : ang zero ay isang even na numero (nahahati ng 2 nang walang natitira)

Desisyon: unang hanapin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan. Sa kondisyon, naaalala ng subscriber na ang isa sa mga digit ay zero, at ang isa pang digit ay kakaiba. Dito mas makatwiran na huwag maging mas matalino sa combinatorics at paggamit direktang enumeration ng mga kinalabasan . Iyon ay, kapag gumagawa ng isang desisyon, isusulat lang namin ang lahat ng mga kumbinasyon:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

At binibilang namin sila - sa kabuuan: 10 resulta.

Mayroon lamang isang kanais-nais na resulta: ang tamang numero.

Ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad na idial ng subscriber ang tamang numero

Sagot: 0,1

Ang mga desimal na fraction sa teorya ng posibilidad ay mukhang angkop, ngunit maaari mo ring sundin ang tradisyonal na istilo ng Vyshmatov, na gumagana lamang sa mga ordinaryong fraction.

Advanced na gawain para sa independiyenteng solusyon:

Gawain 4

Nakalimutan ng subscriber ang pin code para sa kanyang SIM card, ngunit natatandaan na naglalaman ito ng tatlong "fives", at ang isa sa mga numero ay alinman sa "pito" o "walo". Ano ang posibilidad ng matagumpay na awtorisasyon sa unang pagtatangka?

Dito maaari mo pa ring mabuo ang ideya ng probabilidad na ang isang parusa sa anyo ng isang fart code ay naghihintay para sa subscriber, ngunit, sa kasamaang-palad, ang pangangatwiran ay lalampas na sa saklaw ng araling ito.

Solusyon at sagot sa ibaba.

Minsan ang mga kumbinasyon ng listahan ay lumalabas na isang napakaingat na gawain. Sa partikular, ito ang kaso sa susunod, hindi gaanong sikat na grupo ng mga problema, kung saan itinapon ang 2 dice (mas madalas - higit pa):

Gawain 5

Hanapin ang posibilidad na kapag ang dalawang dice ay itinapon, ang kabuuan ay:

a) limang puntos
b) hindi hihigit sa apat na puntos;
c) mula 3 hanggang 9 na puntos kasama.

Desisyon: hanapin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan:

Maaaring malaglag ng mga paraan ang mukha ng 1st die at ang mukha ng 2nd die ay maaaring mahulog sa mga paraan; sa tuntunin sa pagpaparami ng kumbinasyon, Kabuuan: posibleng kumbinasyon. Sa ibang salita, bawat isa ang mukha ng 1st cube ay maaaring maayos mag-asawa sa bawat isa mukha ng 2nd cube. Sumasang-ayon kaming magsulat ng ganoong pares sa form , kung saan ang numerong nahulog sa 1st die, ay ang numerong nahulog sa 2nd die. Halimbawa:

- 3 puntos sa unang mamatay, 5 puntos sa pangalawa, kabuuang puntos: 3 + 5 = 8;
- sa unang mamatay 6 na puntos ang nahulog, sa pangalawa - 1 punto, ang kabuuan ng mga puntos: 6 + 1 = 7;
- ang parehong dice ay pinagsama ng 2 puntos, kabuuan: 2 + 2 = 4.

Malinaw, ang pinakamaliit na halaga ay ibinibigay ng isang pares, at ang pinakamalaki ay dalawang "sixes".

a) Isaalang-alang ang kaganapan: - kapag naghagis ng dalawang dice, 5 puntos ang mahuhulog. Isulat natin at bilangin ang bilang ng mga resulta na pabor sa kaganapang ito:

Kabuuan: 4 na kanais-nais na resulta. Ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang nais na posibilidad.

b) Isaalang-alang ang kaganapan: - hindi hihigit sa 4 na puntos ang mahuhulog. Iyon ay, alinman sa 2, o 3, o 4 na puntos. Muli, inilista namin at binibilang ang mga kanais-nais na kumbinasyon, sa kaliwa ay isusulat ko ang kabuuang bilang ng mga puntos, at pagkatapos ng colon - angkop na mga pares:

Kabuuan: 6 na paborableng kumbinasyon. kaya:
- ang posibilidad na hindi hihigit sa 4 na puntos ang mahuhulog.

c) Isaalang-alang natin ang kaganapan: - mula 3 hanggang 9 na puntos ay mawawalan ng kasama. Dito maaari kang pumunta sa isang tuwid na kalsada, ngunit ... isang bagay ay hindi tulad nito. Oo, ang ilang mga pares ay nakalista na sa mga nakaraang talata, ngunit marami pa ring kailangang gawin.

Ano ang pinakamahusay na paraan upang gawin ito? Sa ganitong mga kaso, ang isang detour ay lumalabas na makatuwiran. Isipin mo kasalungat na pangyayari: - 2 o 10 o 11 o 12 puntos ang mahuhulog.

Ano ang punto? Ang kabaligtaran na kaganapan ay pinapaboran ng isang mas maliit na bilang ng mga pares:

Kabuuan: 7 kanais-nais na resulta.

Ayon sa klasikal na kahulugan:
- ang posibilidad na mas mababa sa tatlo o higit sa 9 na puntos ang mahuhulog.

Bilang karagdagan sa direktang enumeration at pagkalkula ng mga kinalabasan, iba't-ibang kombinatoryal na mga pormula. At muli ang epic na gawain tungkol sa elevator:

Gawain 7

3 tao ang pumasok sa elevator ng isang 20-palapag na gusali sa unang palapag. At tayo na. Hanapin ang posibilidad na:

a) lalabas sila sa iba't ibang palapag
b) dalawa ang lalabas sa parehong palapag;
c) lahat ay lalabas sa parehong palapag.

Ang aming kamangha-manghang aralin ay natapos na, at sa wakas, muli, lubos kong inirerekumenda, kung hindi upang malutas, pagkatapos ay unawain man lang karagdagang mga gawain sa klasikal na kahulugan ng posibilidad. Tulad ng nabanggit ko, ang "pagpupuno ng kamay" ay mahalaga din!

Sa ibaba ng kurso - Geometric na kahulugan ng posibilidad at Theorems ng karagdagan at pagpaparami ng mga probabilidad at ... swerte sa pangunahing!

Mga solusyon at sagot:

Gawain 2: Desisyon: 30 - 5 = 25 refrigerator ay walang depekto.

ay ang posibilidad na ang isang random na piniling refrigerator ay walang depekto.
Sagot :

Gawain 4: Desisyon: hanapin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan:
mga paraan na maaari mong piliin ang lugar kung saan matatagpuan ang kahina-hinalang pigura at sa bawat isa sa 4 na lugar na ito, 2 digit ang maaaring matagpuan (pito o walo). Ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga kumbinasyon, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan: .
Bilang kahalili, sa solusyon, maaari mo lamang ilista ang lahat ng mga kinalabasan (sa kabutihang palad ay hindi marami sa kanila):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Mayroon lamang isang kanais-nais na kinalabasan (tamang pin code).
Kaya, sa pamamagitan ng klasikal na kahulugan:
- ang posibilidad na ang subscriber ay awtorisado sa unang pagtatangka
Sagot :

Gawain 6: Desisyon: hanapin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan:
Ang mga paraan ay maaaring mag-drop ng mga numero sa 2 dice.

a) Isaalang-alang ang kaganapan: - kapag naghahagis ng dalawang dice, ang produkto ng mga puntos ay magiging katumbas ng pito. Para sa kaganapang ito, walang mga kanais-nais na resulta, ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:
, ibig sabihin. imposible ang kaganapang ito.

b) Isaalang-alang natin ang kaganapan: - kapag naghahagis ng dalawang dice, ang produkto ng mga puntos ay hindi bababa sa 20. Ang kaganapang ito ay pinapaboran ng mga sumusunod na resulta:

Kabuuan: 8
Ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang nais na posibilidad.

c) Isaalang-alang ang kasalungat na mga pangyayari:
– ang produkto ng mga puntos ay magiging pantay;
– ang produkto ng mga puntos ay magiging kakaiba.
Ilista natin ang lahat ng kinalabasan na pabor sa kaganapan:

Kabuuan: 9 na kanais-nais na resulta.
Ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:
Ang magkasalungat na mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, kaya:
ay ang nais na posibilidad.

Sagot :

Gawain 8: Desisyon: kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan: 10 barya ay maaaring mahulog sa mga paraan.
Isa pang paraan: Maaaring mahulog ang unang coin sa mga paraan at Ang 2nd coin ay maaaring mahulog sa mga paraan at … at mga paraan na maaaring mahulog ang ika-10 barya. Ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga kumbinasyon, 10 barya ang maaaring mahulog mga paraan.
a) Isaalang-alang ang kaganapan: - lahat ng mga barya ay mahuhulog. Ang kaganapang ito ay pinapaboran ng isang resulta, ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad: .
b) Isaalang-alang ang kaganapan: - 9 na barya ang lalabas, at ang isa ay lalabas.
May mga barya na maaaring mapunta sa mga buntot. Ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad: .
c) Isaalang-alang natin ang sumusunod na kaganapan: - ang mga ulo ay mahuhulog sa kalahati ng mga barya.
Umiiral natatanging kumbinasyon ng limang barya na maaaring mapunta sa mga ulo. Ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:
Sagot :

Probability Ang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga elementarya na kinalabasan na pumapabor sa isang partikular na kaganapan sa bilang ng lahat ng pantay na posibleng resulta ng karanasan kung saan maaaring mangyari ang kaganapang ito. Ang posibilidad ng isang kaganapan A ay tinutukoy ng P(A) (dito ang P ay ang unang titik ng salitang Pranses na probabilite - probabilidad). Ayon sa kahulugan
(1.2.1)
nasaan ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan na pumapabor sa kaganapan A; - ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na resulta ng karanasan, na bumubuo ng kumpletong grupo ng mga kaganapan.
Ang kahulugan ng posibilidad na ito ay tinatawag na klasiko. Ito ay lumitaw sa paunang yugto ng pagbuo ng teorya ng posibilidad.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay may mga sumusunod na katangian:
1. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa. Magtalaga tayo ng isang partikular na kaganapan sa pamamagitan ng liham . Para sa isang tiyak na kaganapan, samakatuwid
(1.2.2)
2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Tinutukoy namin ang imposibleng kaganapan sa pamamagitan ng titik. Para sa isang imposibleng kaganapan, samakatuwid
(1.2.3)
3. Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay ipinahayag bilang isang positibong numero na mas mababa sa isa. Dahil ang mga hindi pagkakapantay-pantay , o nasiyahan para sa isang random na kaganapan, kung gayon
(1.2.4)
4. Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay
(1.2.5)
Ito ay sumusunod mula sa mga relasyon (1.2.2) -(1.2.4).

Halimbawa 1 Ang isang urn ay naglalaman ng 10 bola na may parehong laki at timbang, kung saan 4 ay pula at 6 ay asul. Isang bola ang nakuha mula sa urn. Ano ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay asul?

Desisyon. Ang kaganapan na "ang iginuhit na bola ay naging asul" ay ilalarawan ng letrang A. Ang pagsusulit na ito ay may 10 pantay na posibleng resulta sa elementarya, kung saan 6 ang pumapabor sa kaganapang A. Alinsunod sa formula (1.2.1), nakukuha namin

Halimbawa 2 Ang lahat ng natural na numero mula 1 hanggang 30 ay nakasulat sa magkatulad na mga card at inilalagay sa isang urn. Matapos maihalo nang mabuti ang mga card, isang card ang aalisin sa urn. Ano ang posibilidad na ang numero sa card na iginuhit ay isang multiple ng 5?

Desisyon. Ipahiwatig sa pamamagitan ng A ang kaganapan na "ang numero sa kinuhang card ay isang multiple ng 5". Sa pagsusulit na ito, mayroong 30 pantay na posibleng resulta sa elementarya, kung saan 6 na resulta ang pumapabor sa kaganapan A (mga numero 5, 10, 15, 20, 25, 30). Kaya naman,

Halimbawa 3 Dalawang dice ay itinapon, ang kabuuan ng mga puntos sa itaas na mga mukha ay kinakalkula. Hanapin ang posibilidad ng kaganapan B, na binubuo sa katotohanan na ang mga tuktok na mukha ng mga cube ay magkakaroon ng kabuuang 9 na puntos.

Desisyon. Mayroong 6 2 = 36 na pantay na posibleng resulta ng elementarya sa pagsubok na ito. Ang Event B ay pinapaboran ng 4 na resulta: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), kaya

Halimbawa 4. Ang natural na bilang na hindi hihigit sa 10 ay pinili nang random. Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay prime?

Desisyon. Ipahiwatig sa titik C ang kaganapang "ang napiling numero ay prime". Sa kasong ito, n = 10, m = 4 (primes 2, 3, 5, 7). Samakatuwid, ang nais na posibilidad

Halimbawa 5 Dalawang simetriko na barya ang inihagis. Ano ang posibilidad na ang parehong mga barya ay may mga digit sa itaas na gilid?

Desisyon. Tukuyin natin sa letrang D ang kaganapang "may numero sa itaas na bahagi ng bawat barya". Mayroong 4 na pantay na posibleng resulta ng elementarya sa pagsusulit na ito: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Ang notasyon (G, C) ay nangangahulugan na sa unang barya ay may coat of arms, sa pangalawa - isang numero). Ang Kaganapang D ay pinapaboran ng isang elementarya na kinalabasan (C, C). Dahil m = 1, n = 4, kung gayon

Halimbawa 6 Ano ang posibilidad na ang mga digit sa isang random na piniling dalawang-digit na numero ay pareho?

Desisyon. Ang dalawang-digit na numero ay mga numero mula 10 hanggang 99; may kabuuang 90 tulad ng mga numero. 9 na numero ang may parehong mga digit (ito ang mga numero 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Dahil sa kasong ito m = 9, n = 90, kung gayon
,
kung saan ang A ay ang "number na may parehong mga digit" na kaganapan.

Halimbawa 7 Mula sa mga titik ng salita kaugalian isang titik ang pinipili nang random. Ano ang posibilidad na ang titik na ito ay: a) patinig b) katinig c) titik h?

Desisyon. Mayroong 12 titik sa salitang differential, kung saan 5 ay patinig at 7 ay consonants. Mga liham h ang salitang ito ay hindi. Tukuyin natin ang mga pangyayari: A - "patinig", B - "katinig", C - "titik h". Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta sa elementarya: - para sa kaganapan A, - para sa kaganapan B, - para sa kaganapan C. Dahil n \u003d 12, pagkatapos
, at .

Halimbawa 8 Dalawang dice ang itinatapon, ang bilang ng mga puntos sa tuktok na mukha ng bawat dice ay nabanggit. Hanapin ang posibilidad na ang parehong dice ay may parehong bilang ng mga puntos.

Desisyon. Tukuyin natin ang kaganapang ito sa pamamagitan ng titik A. Ang Kaganapang A ay pinapaboran ng 6 elementarya na kinalabasan: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Sa kabuuan, mayroong pantay na posibleng mga resulta sa elementarya na bumubuo ng kumpletong pangkat ng mga kaganapan, sa kasong ito n=6 2 =36. Kaya ang nais na posibilidad

Halimbawa 9 Ang libro ay may 300 na pahina. Ano ang posibilidad na ang isang random na binuksan na pahina ay magkakaroon ng sequence number na isang multiple ng 5?

Desisyon. Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na magkakaroon ng n = 300 ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na mga resulta na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.Sa mga ito, ang m = 60 ay pumapabor sa paglitaw ng tinukoy na kaganapan. Sa katunayan, ang isang numero na isang multiple ng 5 ay may anyo na 5k, kung saan ang k ay isang natural na numero, at , kung saan . Kaya naman,
, kung saan ang A - ang kaganapang "pahina" ay may sequence number na isang multiple ng 5".

Halimbawa 10. Dalawang dice ay itinapon, ang kabuuan ng mga puntos sa itaas na mga mukha ay kinakalkula. Ano ang mas malamang na makakuha ng kabuuang 7 o 8?

Desisyon. Italaga natin ang mga kaganapan: A - "7 points fell out", B - "8 points fell out". Ang Kaganapang A ay pinapaboran ng 6 na elementarya na kinalabasan: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), at kaganapan B - ni 5 kinalabasan: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Mayroong n = 6 2 = 36 sa lahat ng pantay na posibleng resulta sa elementarya. at .

Kaya, ang P(A)>P(B), ibig sabihin, ang pagkuha ng kabuuang 7 puntos ay isang mas malamang na kaganapan kaysa sa pagkuha ng kabuuang 8 puntos.

Mga gawain

1. Ang natural na bilang na hindi hihigit sa 30 ay pinili nang random. Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay isang multiple ng 3?
2. Sa urn a pula at b mga asul na bola na may parehong laki at timbang. Ano ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na bola mula sa urn na ito ay asul?
3. Ang isang numero na hindi hihigit sa 30 ay pinili nang random. Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay isang divisor ng zo?
4. Sa urn a asul at b pulang bola na may parehong laki at timbang. Isang bola ang kinuha mula sa urn na ito at itabi. Ang bola na ito ay pula. Pagkatapos ay isa pang bola ang iginuhit mula sa urn. Hanapin ang posibilidad na ang pangalawang bola ay pula din.
5. Ang natural na bilang na hindi hihigit sa 50 ay pinili nang random. Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay prime?
6. Tatlong dice ay itinapon, ang kabuuan ng mga puntos sa itaas na mga mukha ay kinakalkula. Ano ang mas malamang - upang makakuha ng kabuuang 9 o 10 puntos?
7. Tatlong dice ang inihagis, ang kabuuan ng mga nalaglag na puntos ay kinakalkula. Ano ang mas malamang na makakuha ng kabuuang 11 (kaganapan A) o 12 puntos (kaganapan B)?

Mga sagot

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - ang posibilidad na makakuha ng 9 na puntos sa kabuuan; p 2 \u003d 27/216 - ang posibilidad na makakuha ng 10 puntos sa kabuuan; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Mga tanong

1. Ano ang tinatawag na posibilidad ng isang pangyayari?
2. Ano ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan?
3. Ano ang posibilidad ng isang imposibleng pangyayari?
4. Ano ang mga limitasyon ng posibilidad ng isang random na kaganapan?
5. Ano ang mga limitasyon ng posibilidad ng anumang kaganapan?
6. Anong kahulugan ng probabilidad ang tinatawag na classical?

Mga Batayan ng Teorya ng Probability

Plano:

1. Random na mga kaganapan

2. Klasikal na kahulugan ng posibilidad

3. Pagkalkula ng mga probabilidad ng kaganapan at combinatorics

4. Geometric na posibilidad

Teoretikal na impormasyon

Random na mga kaganapan.

random phenomenon- isang kababalaghan, ang kinalabasan nito ay hindi malabo na tinutukoy. Ang konsepto na ito ay maaaring bigyang-kahulugan sa isang medyo malawak na kahulugan. Namely: lahat ng bagay sa kalikasan ay medyo hindi sinasadya, ang hitsura at kapanganakan ng sinumang indibidwal ay isang random na kababalaghan, ang pagpili ng mga kalakal sa isang tindahan ay isang random na kababalaghan, ang pagkuha ng marka sa isang pagsusulit ay isang random na kababalaghan, ang sakit at pagbawi ay random. phenomena, atbp.

Mga halimbawa ng random phenomena:

~ Ang pagbaril ay isinasagawa mula sa isang baril na nakatakda sa isang partikular na anggulo sa abot-tanaw. Ang pagtama nito sa target ay hindi sinasadya, ngunit ang pagtama ng projectile sa isang tiyak na "tinidor" ay isang pattern. Maaari mong tukuyin ang distansya na mas malapit kaysa sa kung saan ang projectile ay hindi lilipad. Kumuha ng ilang "fork dispersion of shells"

~ Ang parehong katawan ay tinitimbang ng ilang beses. Sa mahigpit na pagsasalita, iba't ibang mga resulta ang makukuha sa bawat pagkakataon, kahit na magkakaiba sa isang maliit na halaga, ngunit naiiba.

~ Ang isang sasakyang panghimpapawid na lumilipad sa parehong ruta ay may isang tiyak na koridor ng paglipad kung saan maaaring magmaniobra ang sasakyang panghimpapawid, ngunit hindi ito magkakaroon ng eksaktong parehong ruta

~ Ang isang atleta ay hindi kailanman makakatakbo sa parehong distansya sa parehong oras. Ang kanyang mga resulta ay nasa loob din ng isang tiyak na hanay ng numero.

Ang karanasan, eksperimento, obserbasyon ay mga pagsubok

Pagsubok- pagmamasid o katuparan ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon na paulit-ulit na isinasagawa, at regular na paulit-ulit dito at sa parehong pagkakasunud-sunod, tagal, habang inoobserbahan ang iba pang magkaparehong mga parameter.

Isaalang-alang natin ang pagganap ng sportsman ng isang shot sa isang target. Upang magawa ito, kinakailangan upang matupad ang mga kondisyon tulad ng paghahanda ng atleta, pag-load ng armas, pagpuntirya, atbp. Ang "hit" at "miss" ay mga kaganapan bilang resulta ng isang shot.

Kaganapan- resulta ng pagsusulit ng husay.

Ang isang kaganapan ay maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari. Ang mga kaganapan ay ipinahiwatig ng malalaking titik na Latin. Halimbawa: D ="Natamaan ng tagabaril ang target". S="Iginuhit na puting bola". K="Random na tiket sa lottery nang hindi nanalo.".

Ang paghagis ng barya ay isang pagsubok. Ang pagbagsak ng kanyang "coat of arms" ay isang kaganapan, ang pagbagsak ng kanyang "numero" ay ang pangalawang kaganapan.

Ang anumang pagsubok ay nagsasangkot ng paglitaw ng ilang mga kaganapan. Ang ilan sa mga ito ay maaaring kailanganin sa isang takdang panahon ng mananaliksik, habang ang iba ay maaaring hindi kailangan.

Ang kaganapan ay tinatawag na random, kung sa ilalim ng pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon S maaaring mangyari ito o hindi. Sa mga sumusunod, sa halip na sabihin na "natupad ang hanay ng mga kundisyon S," sasabihin natin nang maikli: "natupad ang pagsubok." Kaya, ang kaganapan ay isasaalang-alang bilang resulta ng pagsusulit.

~ Ang tagabaril ay bumaril sa isang target na nahahati sa apat na lugar. Ang pagbaril ay isang pagsubok. Ang pagpindot sa isang tiyak na lugar ng target ay isang kaganapan.

~ May mga kulay na bola sa urn. Isang bola ang kinukuha ng random mula sa urn. Ang pag-alis ng bola sa isang urn ay isang pagsubok. Ang hitsura ng isang bola ng isang tiyak na kulay ay isang kaganapan.

Mga uri ng random na kaganapan

1. Ang mga kaganapan ay sinasabing hindi magkatugma kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng iba pang mga kaganapan sa parehong pagsubok.

~ Ang isang bahagi ay kinuha nang random mula sa isang kahon na may mga bahagi. Ang hitsura ng isang karaniwang bahagi ay hindi kasama ang hitsura ng isang hindi karaniwang bahagi. Mga kaganapan € isang karaniwang bahagi ang lumitaw" at may hindi karaniwang bahagi na lumitaw" - hindi tugma.

~ Isang barya ang inihagis. Ang hitsura ng "coat of arms" ay hindi kasama ang hitsura ng inskripsiyon. Hindi magkatugma ang mga kaganapan na "lumitaw ang isang coat of arms" at "isang inskripsiyon".

Ang ilang mga kaganapan ay nabuo buong grupo, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang lumitaw bilang isang resulta ng pagsubok. Sa madaling salita, ang paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan ng kumpletong grupo ay isang tiyak na kaganapan.

Sa partikular, kung ang mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay magkapares na hindi magkatugma, kung gayon isa at isa lamang sa mga kaganapang ito ang lalabas bilang resulta ng pagsubok. Ang espesyal na kaso na ito ay higit na interesado sa amin, dahil ito ay ginagamit sa ibaba.

~ Dalawang tiket ng pera at loterya ng damit ang binili. Isa at isa lamang sa mga sumusunod na kaganapan ang dapat mangyari:

1. "ang mga panalo ay nahulog sa unang tiket at hindi nahulog sa pangalawa",

2. "ang mga panalo ay hindi nahulog sa unang tiket at nahulog sa pangalawa",

3. "ang mga panalo ay nahulog sa parehong mga tiket",

4. "parehong hindi nanalo ang tiket."

Ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan,

~ Nagpaputok ng putok ang bumaril sa target. Siguradong magaganap ang isa sa sumusunod na dalawang kaganapan: hit, miss. Ang dalawang magkahiwalay na pangyayaring ito ay bumubuo rin ng isang kumpletong grupo.

2. Tinatawag ang mga pangyayari pare-parehong posible kung may dahilan upang paniwalaan na wala ang mas posible kaysa sa isa.

~ Ang hitsura ng isang "coat of arms" at ang hitsura ng isang inskripsiyon kapag ang isang barya ay inihagis ay parehong posibleng mga kaganapan. Sa katunayan, ipinapalagay na ang barya ay gawa sa isang homogenous na materyal, ay may regular na cylindrical na hugis, at ang pagkakaroon ng isang coinage ay hindi nakakaapekto sa pagkawala ng isa o ibang bahagi ng barya.

~ Ang hitsura ng isa o ibang bilang ng mga puntos sa isang itinapon na dice ay isang pantay na posibilidad na kaganapan. Sa katunayan, ipinapalagay na ang die ay gawa sa isang homogenous na materyal, ay may hugis ng isang regular na polyhedron, at ang pagkakaroon ng mga puntos ay hindi nakakaapekto sa pagkawala ng anumang mukha.

3. Ang pangyayari ay tinatawag na tunay, kung hindi mangyayari

4. Ang pangyayari ay tinatawag na hindi mapagkakatiwalaan kung hindi pwedeng mangyari.

5. Ang pangyayari ay tinatawag na kabaligtaran sa ilang kaganapan kung ito ay binubuo ng hindi paglitaw ng ibinigay na kaganapan. Ang magkasalungat na mga kaganapan ay hindi magkatugma, ngunit ang isa sa mga ito ay dapat mangyari. Ang mga magkasalungat na kaganapan ay karaniwang tinutukoy bilang mga negasyon, i.e. isang gitling ang nakasulat sa itaas ng titik. Ang mga pangyayari ay magkasalungat: A at Ā; U at Ū, atbp. .

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Ang probabilidad ay isa sa mga pangunahing konsepto ng probability theory.

Mayroong ilang mga kahulugan ng konseptong ito. Magbigay tayo ng depinisyon na tinatawag na classical. Susunod, itinuturo namin ang mga kahinaan ng kahulugan na ito at nagbibigay ng iba pang mga kahulugan na ginagawang posible upang mapagtagumpayan ang mga pagkukulang ng klasikal na kahulugan.

Isaalang-alang ang sitwasyon: Ang isang kahon ay naglalaman ng 6 na magkaparehong bola, 2 ay pula, 3 ay asul at 1 ay puti. Malinaw, ang posibilidad ng pagguhit ng may kulay (i.e., pula o asul) na bola nang random mula sa isang urn ay mas malaki kaysa sa posibilidad na gumuhit ng puting bola. Ang posibilidad na ito ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng isang numero, na tinatawag na posibilidad ng isang kaganapan (ang hitsura ng isang kulay na bola).

Probability- isang numero na nagpapakilala sa antas ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan.

Sa sitwasyong isinasaalang-alang, tinutukoy namin:

Event A = "Pagbunot ng may kulay na bola".

Ang bawat isa sa mga posibleng resulta ng pagsusulit (ang pagsusulit ay binubuo sa pagkuha ng bola mula sa urn) ay tinatawag elementarya (posible) kinalabasan at pangyayari. Ang mga resulta sa elementarya ay maaaring tukuyin ng mga titik na may mga index sa ibaba, halimbawa: k 1 , k 2 .

Sa aming halimbawa, mayroong 6 na bola, kaya mayroong 6 na posibleng resulta: isang puting bola ang lumitaw; isang pulang bola ang lumitaw; isang asul na bola ang lumitaw, at iba pa. Madaling makita na ang mga kinalabasan na ito ay bumubuo ng isang kumpletong grupo ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan (isang bola lamang ang lilitaw) at ang mga ito ay pantay na posibilidad (ang bola ay kinuha nang random, ang mga bola ay pareho at lubusang pinaghalo).

Ang mga resulta ng elementarya, kung saan nangyayari ang kaganapan ng interes sa amin, tatawag kami kanais-nais na mga kinalabasan ang kaganapang ito. Sa aming halimbawa, ang kaganapan ay pinapaboran PERO(ang hitsura ng isang may kulay na bola) ang sumusunod na 5 kinalabasan:

Kaya ang kaganapan PERO sinusunod kung ang isa ay naganap sa pagsusulit, kahit na alin man, sa mga elementarya na kinalabasan na pumapabor PERO. Ito ang hitsura ng anumang may kulay na bola, kung saan mayroong 5 piraso sa kahon

Sa isinasaalang-alang na halimbawa ng elementarya na kinalabasan 6; kung saan 5 ang pabor sa kaganapan PERO. Kaya naman, P(A)= 5/6. Ang numerong ito ay nagbibigay ng dami ng antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang may kulay na bola.

Kahulugan ng posibilidad:

Ang posibilidad ng kaganapan A ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi tugmang mga resulta sa elementarya na bumubuo ng isang kumpletong grupo.

P(A)=m/n o P(A)=m: n, kung saan:

m ay ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan na pumapabor NGUNIT;

P- ang bilang ng lahat ng posibleng elementarya na resulta ng pagsusulit.

Ipinapalagay dito na ang mga elementary na kinalabasan ay hindi tugma, pantay na posibilidad at bumubuo ng isang kumpletong grupo.

Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa kahulugan ng posibilidad:

1. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa.

Sa katunayan, kung ang kaganapan ay maaasahan, ang bawat elementarya na kinalabasan ng pagsusulit ay pinapaboran ang kaganapan. Sa kasong ito m = n kaya p=1

2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.

Sa katunayan, kung imposible ang kaganapan, wala sa mga elementarya na resulta ng pagsubok ang pabor sa kaganapan. Sa kasong ito m=0, kaya p=0.

3.Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay isang positibong numero sa pagitan ng zero at isa. 0t< n.

Sa kasunod na mga paksa, ibibigay ang mga theorems na nagpapahintulot, mula sa mga kilalang probabilidad ng ilang mga kaganapan, upang mahanap ang mga probabilidad ng iba pang mga kaganapan.

Pagsukat. Mayroong 6 na babae at 4 na lalaki sa grupo ng mga estudyante. Ano ang posibilidad na ang isang random na napiling mag-aaral ay magiging isang babae? magiging binata?

p dev = 6 / 10 = 0.6 p jun = 4 / 10 = 0.4

Ang konsepto ng "probability" sa modernong mahigpit na kurso ng probability theory ay binuo sa set-theoretic na batayan. Tingnan natin ang ilan sa diskarteng ito.

Ipagpalagay na bilang resulta ng pagsubok isa at isa lamang sa mga sumusunod na kaganapan ang nangyari: w i(i=1, 2, .... n). Mga kaganapan w i, ay tinatawag na elementarya na mga pangyayari (elementaryong kinalabasan). O ito ay sumusunod na ang elementarya na mga kaganapan ay magkapares na hindi magkatugma. Ang hanay ng lahat ng elementarya na kaganapan na maaaring lumitaw sa isang pagsubok ay tinatawag elementarya na espasyo ng kaganapanΩ (Greek letter omega capital), at ang mga elementarya na kaganapan mismo - mga punto sa puwang na ito..

Kaganapan PERO nakilala sa isang subset (ng espasyo Ω) na ang mga elemento ay pinapaboran ang mga resultang elementarya NGUNIT; kaganapan AT ay isang subset Ω na ang mga elemento ay mga kinalabasang pabor SA, atbp Kaya, ang set ng lahat ng kaganapan na maaaring mangyari sa pagsubok ay ang set ng lahat ng subset ng Ω. Ang Ω mismo ay nangyayari para sa anumang kinalabasan ng pagsubok, samakatuwid ang Ω ay isang tiyak na kaganapan; ang isang walang laman na subset ng espasyo Ω ay isang -impossible na kaganapan (hindi ito nangyayari para sa anumang kinalabasan ng pagsubok).

Ang mga pangunahing kaganapan ay nakikilala mula sa lahat ng mga kaganapan ayon sa mga paksa, "bawat isa sa kanila ay naglalaman lamang ng isang elemento Ω

Sa bawat elementary na kinalabasan w i tumugma sa isang positibong numero p i ay ang posibilidad ng kinalabasan na ito, at ang kabuuan ng lahat p i katumbas ng 1 o may tanda ng kabuuan, ang katotohanang ito ay isusulat bilang isang expression:

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang posibilidad P(A) mga pangyayari PERO ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng elementarya na mga kinalabasan na pumapabor PERO. Samakatuwid, ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, imposible - sa zero, arbitrary - ay nasa pagitan ng zero at isa.

Isaalang-alang natin ang isang mahalagang partikular na kaso, kapag ang lahat ng mga kinalabasan ay pantay na maaaring mangyari.Ang bilang ng mga kinalabasan ay katumbas ng n, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng mga kinalabasan ay katumbas ng isa; kaya ang posibilidad ng bawat kinalabasan ay 1/n. Hayaan ang kaganapan PERO pinapaboran ang m kinalabasan.

Probability ng Kaganapan PERO ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga resultang pumapabor PERO:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay nakuha.

meron pa axiomatic diskarte sa konsepto ng "probability". Sa sistema ng mga axiom na iminungkahi. Kolmogorov A.N., ang mga hindi natukoy na konsepto ay elementarya na kaganapan at posibilidad. Ang pagbuo ng isang lohikal na kumpletong teorya ng posibilidad ay batay sa axiomatic na kahulugan ng isang random na kaganapan at ang posibilidad nito.

Narito ang mga axiom na tumutukoy sa posibilidad:

1. Bawat pangyayari PERO nagtalaga ng hindi negatibong tunay na numero P(A). Ang numerong ito ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan. PERO.

2. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa:

3. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Batay sa mga axiom na ito, ang mga katangian ng mga probabilidad para sa relasyon sa pagitan ng mga ito ay hinango bilang theorems.

MUNICIPAL EDUCATIONAL INSTITUTION

GYMNASIUM Blg. 6

sa paksang "Klasikal na kahulugan ng posibilidad".

Nakumpleto ng isang mag-aaral ng ika-8 "B" na klase

Klimantova Alexandra.

Guro sa matematika: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Maraming laro ang gumagamit ng dice. Ang die ay may 6 na mukha, sa bawat mukha ay may iba't ibang bilang ng mga puntos na minarkahan - mula 1 hanggang 6. Inihagis ng manlalaro ang die at tinitingnan kung gaano karaming mga puntos ang nasa nalaglag na mukha (sa mukha na matatagpuan sa itaas). Kadalasan, ang mga tuldok sa gilid ng die ay pinapalitan ng kaukulang numero at pagkatapos ay pinag-uusapan nila ang tungkol sa isang rolyo ng 1, 2 o 6. Ang paghagis ng isang die ay maaaring ituring na isang karanasan, isang eksperimento, isang pagsubok, at ang resulta na nakuha. ay ang kinalabasan ng isang pagsubok o isang elementarya na kaganapan. Interesado ang mga tao na hulaan ang simula ng isang kaganapan, hulaan ang kinalabasan nito. Anong mga hula ang maaari nilang gawin kapag ang isang dice ay pinagsama? Halimbawa, ang mga ito:

1. kaganapan A - ang numero 1, 2, 3, 4, 5 o 6 ay bumagsak;
2. kaganapan B - ang numero 7, 8 o 9 ay bumagsak;
3. kaganapan C - ang numero 1 ay bumagsak.

Ang kaganapan A, na hinulaang sa unang kaso, ay tiyak na darating. Sa pangkalahatan, tinatawag ang isang kaganapan na tiyak na magaganap sa isang naibigay na karanasan tiyak na kaganapan.

Ang kaganapan B, na hinulaang sa pangalawang kaso, ay hindi mangyayari, ito ay imposible lamang. Sa pangkalahatan, tinatawag ang isang kaganapan na hindi maaaring mangyari sa isang partikular na eksperimento imposibleng pangyayari.

Mangyayari ba o hindi ang kaganapan C, na hinulaang sa ikatlong kaso? Hindi namin masasagot ang tanong na ito nang may kumpletong katiyakan, dahil ang 1 ay maaaring mahulog o hindi. Ang isang kaganapan na sa isang naibigay na karanasan ay maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari ay tinatawag na random na pangyayari.

Sa pag-iisip tungkol sa pagsisimula ng isang partikular na kaganapan, malamang na hindi namin gagamitin ang salitang "marahil". Halimbawa, kung ngayon ay Miyerkules, pagkatapos ay bukas ay Huwebes, ito ay isang tiyak na kaganapan. Sa Miyerkules hindi namin sasabihin: "Marahil bukas ay Huwebes", sasabihin namin nang maikli at malinaw: "Bukas ay Huwebes." Totoo, kung tayo ay madaling kapitan ng magagandang parirala, pagkatapos ay masasabi natin ito: "Sa isang daang porsyento na posibilidad na sinasabi ko na bukas ay Huwebes." Sa kabaligtaran, kung ngayon ay Miyerkules, ang darating na bukas ay Biyernes—isang imposibleng kaganapan. Kapag sinusuri ang kaganapang ito noong Miyerkules, masasabi natin ito: "Sigurado akong hindi Biyernes ang bukas." O tulad nito: "Hindi kapani-paniwala na bukas ay Biyernes." Kaya, kung tayo ay madaling kapitan ng magagandang parirala, maaari nating sabihin ito: "Ang posibilidad na bukas ay Biyernes ay zero." Kaya, ang isang tiyak na kaganapan ay isang kaganapan na nangyayari sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon. na may 100% na katiyakan(ibig sabihin, dumarating sa 10 kaso sa 10, sa 100 kaso sa 100, atbp.). Ang isang imposibleng kaganapan ay isang kaganapan na hindi kailanman nangyayari sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon, isang kaganapan na may zero na posibilidad.

Ngunit, sa kasamaang-palad (at marahil sa kabutihang-palad), hindi lahat ng bagay sa buhay ay napakalinaw at malinaw: ito ay palaging magiging (tiyak na kaganapan), hindi ito mangyayari (imposibleng kaganapan). Kadalasan, nahaharap tayo sa mga random na kaganapan, ang ilan ay mas malamang, ang iba ay mas malamang. Karaniwang ginagamit ng mga tao ang mga salitang "mas malamang" o "mas malamang", tulad ng sinasabi nila, sa isang kapritso, umaasa sa tinatawag na sentido komun. Ngunit kadalasan ang gayong mga pagtatantya ay lumalabas na hindi sapat, dahil mahalagang malaman ito magkano porsyento na malamang na isang random na kaganapan o Ilang beses ang isang random na kaganapan ay mas malamang kaysa sa isa pa. Sa madaling salita, kailangan natin ng eksakto dami mga katangian, kailangan mong matukoy ang posibilidad sa pamamagitan ng isang numero.

Nagawa na namin ang mga unang hakbang sa direksyong ito. Sinabi namin na ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay nailalarawan bilang isang daang porsyento, at ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan na nagaganap bilang sero. Dahil ang 100% ay katumbas ng 1, ang mga tao ay sumang-ayon sa mga sumusunod:

1. ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay itinuturing na katumbas ng 1;
2. ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay itinuturing na katumbas ng 0.

Paano mo kinakalkula ang posibilidad ng isang random na kaganapan? Pagkatapos ng lahat, nangyari ito kung sakali, na nangangahulugan na hindi ito sumusunod sa mga batas, algorithm, formula. Lumalabas na ang ilang mga batas ay nagpapatakbo sa mundo ng randomness, na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang mga probabilidad. Ito ang sangay ng matematika na tinatawag na- teorya ng posibilidad.

Ang matematika ay tumatalakay sa modelo ilang phenomenon ng realidad sa ating paligid. Sa lahat ng modelong ginamit sa probability theory, lilimitahan natin ang ating sarili sa pinakasimple.

Klasikong probabilistikong pamamaraan

Upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan A sa panahon ng ilang eksperimento, dapat:

1) hanapin ang bilang N ng lahat ng posibleng resulta ng eksperimentong ito;

2) tanggapin ang pagpapalagay na ang lahat ng mga resultang ito ay pantay na posibleng mangyari (parehong posible);

3) hanapin ang bilang N(A) ng mga kinalabasan ng karanasan kung saan nangyari ang kaganapan A;

4) maghanap ng private ; ito ay magiging katumbas ng posibilidad ng kaganapan A.

Nakaugalian na italaga ang posibilidad ng isang kaganapan A bilang P(A). Ang paliwanag para sa pagtatalaga na ito ay napaka-simple: ang salitang "probability" sa Pranses ay probabilidad, sa Ingles- probabilidad.Ang pagtatalaga ay gumagamit ng unang titik ng salita.

Gamit ang notasyong ito, ang posibilidad ng isang kaganapan A ayon sa klasikal na pamamaraan ay matatagpuan gamit ang formula

P(A)=.

Kadalasan ang lahat ng mga punto ng ibinigay na klasikal na probabilistikong pamamaraan ay ipinahayag sa isang medyo mahabang parirala.

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Ang posibilidad ng isang kaganapan A sa panahon ng isang tiyak na pagsubok ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan, bilang isang resulta kung saan ang kaganapan A ay nangyayari, sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng resulta ng pagsusulit na ito.

Halimbawa 1. Hanapin ang posibilidad na sa isang paghagis ng isang dice: a) 4; b) 5; c) isang pantay na bilang ng mga puntos; d) ang bilang ng mga puntos na higit sa 4; e) bilang ng mga puntos hindi isang maramihang ng tatlo.

Desisyon. Sa kabuuan, mayroong N=6 na posibleng resulta: pagbagsak ng mukha ng isang kubo na may bilang ng mga puntos na katumbas ng 1, 2, 3, 4, 5, o 6. Naniniwala kami na wala sa kanila ang may anumang mga pakinabang kaysa sa iba, ibig sabihin, tinatanggap namin ang pagpapalagay ng pagkakatulad ng mga kinalabasan na ito.

a) Eksakto sa isa sa mga kinalabasan, ang kaganapan ng interes sa amin A ay magaganap - ang pagkawala ng numero 4. Samakatuwid, N (A) \u003d 1 at

P(A)= =.

b) Ang solusyon at ang sagot ay pareho sa naunang talata.

c) Ang kaganapan B na interesado sa amin ay magaganap nang eksakto sa tatlong mga kaso kapag ang bilang ng mga puntos ay 2, 4 o 6. Kaya,

N(B)=3 atP(B)==.

d) Ang kaganapan C na interesado sa amin ay magaganap nang eksakto sa dalawang kaso kapag ang bilang ng mga puntos ay 5 o 6. Kaya,

N(C) =2 at P(C)=.

e) Sa anim na posibleng numero na iguguhit, apat (1, 2, 4 at 5) ay hindi multiple ng tatlo, at ang natitirang dalawa (3 at 6) ay nahahati sa tatlo. Nangangahulugan ito na ang kaganapan ng interes sa amin ay nangyayari nang eksakto sa apat sa anim na posible at pantay na posibilidad sa kanilang mga sarili at pantay na malamang sa kanilang mga sarili ang mga resulta ng karanasan. Kaya ang sagot ay .

Sagot: a); b); sa) ; G); e).

Ang isang tunay na paglalaro ng dice ay maaaring naiiba mula sa isang perpektong (modelo) na dice, samakatuwid, upang ilarawan ang pag-uugali nito, kinakailangan ang isang mas tumpak at detalyadong modelo, na isinasaalang-alang ang mga pakinabang ng isang mukha sa isa pa, ang posibleng pagkakaroon ng mga magnet, atbp. Ngunit "ang diyablo ay nasa mga detalye", at ang mas katumpakan ay may posibilidad na humantong sa mas kumplikado, at ang pagkuha ng sagot ay nagiging problema. Pinipigilan namin ang aming sarili sa pagsasaalang-alang sa pinakasimpleng probabilistikong modelo, kung saan ang lahat ng posibleng resulta ay pantay na posibilidad.

Puna 1. Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Tinanong ang tanong: "Ano ang posibilidad na makakuha ng tatlo sa isang roll ng mamatay?" Ang sagot ng estudyante ay ganito: "Ang posibilidad ay 0.5." At ipinaliwanag niya ang kanyang sagot: “Malalagas ang tatlo o hindi. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang kinalabasan sa kabuuan, at sa eksaktong isang kaganapan ay nangyayari ang kaganapan na interesado sa amin. Ayon sa klasikal na probabilistic scheme, nakuha namin ang sagot na 0.5. Mayroon bang pagkakamali sa pangangatwiran na ito? Sa unang tingin, hindi. Gayunpaman, naroroon pa rin ito, at sa isang pangunahing sandali. Oo, sa katunayan, ang triple ay mahuhulog o hindi, iyon ay, na may ganoong kahulugan ng kinalabasan ng paghagis, N = 2. Totoo rin na ang N(A)=1 at, siyempre, totoo na =0, ​​5, ibig sabihin, tatlong puntos ng probabilistic scheme ang isinasaalang-alang, ngunit ang katuparan ng punto 2) ay kaduda-duda. Siyempre, mula sa isang purong legal na pananaw, may karapatan tayong maniwala na ang pagkawala ng isang triple ay may posibilidad na mabigo. Ngunit maaari ba nating isipin ito nang hindi nilalabag ang ating sariling natural na mga pagpapalagay tungkol sa "pagkakapareho" ng mga mukha? Syempre hindi! Narito kami ay nakikitungo sa tamang pangangatwiran sa loob ng ilang modelo. Tanging ang modelong ito mismo ay "mali", hindi tumutugma sa tunay na kababalaghan.

Puna 2. Kapag tinatalakay ang posibilidad, huwag kalimutan ang sumusunod na mahalagang pangyayari. Kung sasabihin natin na kapag naghagis ng die, ang posibilidad na makakuha ng isang puntos ay katumbas ng , hindi ito nangangahulugan na sa pag-roll ng die ng 6 na beses, makakakuha ka ng isang puntos nang eksaktong isang beses, sa pamamagitan ng paghagis ng die 12 beses, ikaw ay makakuha ng isang punto nang eksaktong dalawang beses, sa pamamagitan ng pag-roll ng die nang 18 beses, makakakuha ka ng isang punto nang eksakto tatlong beses, at iba pa. Ang salita ay malamang na haka-haka. Ipinapalagay namin na malamang na mangyari iyon. Malamang kung igulong natin ang die ng 600 beses, ang isang punto ay lalabas ng 100 beses, o mga 100.

Ang teorya ng probabilidad ay lumitaw noong ika-17 siglo nang sinusuri ang iba't ibang mga laro sa pagsusugal. Ito ay hindi nakakagulat, samakatuwid, na ang mga unang halimbawa ay isang mapaglarong kalikasan. Mula sa mga halimbawa ng dice, lumipat tayo sa random na pagguhit ng mga baraha mula sa deck.

Halimbawa 2. Mula sa isang deck ng 36 na card, 3 card ang random na iginuhit nang sabay-sabay. Ano ang posibilidad na walang Queen of Spades sa kanila?

Desisyon. Mayroon kaming isang set ng 36 na elemento. Pumili kami ng tatlong elemento, ang pagkakasunud-sunod nito ay hindi mahalaga. Samakatuwid, posible na makakuha ng mga resulta ng N=C. Kikilos tayo ayon sa klasikal na probabilistikong pamamaraan, iyon ay, ipagpalagay natin na ang lahat ng mga resultang ito ay pantay na posibleng mangyari.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang kinakailangang probabilidad ayon sa klasikal na kahulugan:

At ano ang posibilidad na sa mga napiling tatlong baraha ay mayroong isang Reyna ng Spades? Ang bilang ng lahat ng ganoong resulta ay hindi mahirap kalkulahin, kailangan mo lamang ibawas sa lahat ng kinalabasan N lahat ng mga kinalabasan kung saan walang queen of spades, iyon ay, ibawas ang bilang na N(A) na makikita sa Halimbawa 3. Pagkatapos ang pagkakaibang ito N - N (A) alinsunod sa klasikal na probabilistikong pamamaraan ay dapat hatiin ng N. Ito ang makukuha natin:

Nakikita natin na mayroong isang tiyak na kaugnayan sa pagitan ng mga probabilidad ng dalawang pangyayari. Kung ang kaganapan A ay binubuo sa kawalan ng Queen of Spades, at ang kaganapan B ay binubuo sa kanyang presensya sa mga napiling tatlong baraha, kung gayon

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Sa kasamaang palad, sa pagkakapantay-pantay na P(A)+P(B)=1 ay walang impormasyon tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga kaganapan A at B; kailangan nating isaisip ang koneksyong ito. Magiging mas maginhawang bigyan ang kaganapan B ng isang pangalan at pagtatalaga nang maaga, na malinaw na nagpapahiwatig ng koneksyon nito sa A.

Kahulugan 1. Pangyayari B tinawag kabaligtaran ng kaganapan A at tukuyin ang B=Ā kung ang kaganapan B ay nangyayari kung at lamang kung ang kaganapan A ay hindi nangyari.

TTeorama 1. Upang mahanap ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan, ibawas ang posibilidad ng kaganapan mismo mula sa pagkakaisa: Р(Ā)= 1—Р(А). talaga,

Sa pagsasagawa, kinakalkula nila kung ano ang mas madaling hanapin: alinman sa P(A) o P(Ā). Pagkatapos nito, ginagamit nila ang formula mula sa theorem at hanapin, ayon sa pagkakabanggit, alinman sa P(Ā)= 1-P(A), o P(A)= 1-P(Ā).

Kadalasang ginagamit ay ang paraan ng paglutas ng isang partikular na problema sa pamamagitan ng "enumeration of cases", kapag ang mga kondisyon ng problema ay nahahati sa magkahiwalay na mga kaso, na ang bawat isa ay isinasaalang-alang nang hiwalay. Halimbawa, "kung pupunta ka sa kanan, mawawala ang iyong kabayo, kung dumiretso ka, malulutas mo ang isang problema ayon sa teorya ng posibilidad, kung pupunta ka sa kaliwa ...". O kapag binabalangkas ang function na y=│x+1│—│2x—5│, isaalang-alang ang mga kaso ng x

Halimbawa 3. Sa 50 tuldok, 17 ay may kulay na asul at 13 ay orange. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling punto ay malilim.

Desisyon. Sa kabuuan, 30 puntos sa 50 ang may kulay. Kaya, ang posibilidad ay = 0.6.

Sagot: 0.6.

Tingnan natin ang simpleng halimbawang ito, gayunpaman. Hayaan ang kaganapan A na ang napiling punto ay asul, at ang kaganapan B ay ang napiling punto ay orange. Sa pamamagitan ng convention, ang mga kaganapan A at B ay hindi maaaring mangyari sa parehong oras.

Tinutukoy namin sa pamamagitan ng letrang C ang kaganapan ng interes sa amin. Ang kaganapan C ay nangyayari kung at kung ito ay nangyari lamang kahit isa sa mga kaganapan A o B. Malinaw na ang N(C)= N(A)+N(B).

Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa N, ang bilang ng lahat ng posibleng resulta ng ibinigay na eksperimento; nakukuha natin

Nasuri namin ang isang mahalaga at madalas na nangyayaring sitwasyon gamit ang isang simpleng halimbawa. May espesyal na pangalan para sa kanya.

Kahulugan 2. Ang mga pangyayari A at B ay tinatawag hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari sa parehong oras.

Teorama 2. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad.

Kapag isinasalin ang teorama na ito sa wikang matematika, kinakailangan na kahit papaano ay pangalanan at italaga ang isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa dalawang ibinigay na mga kaganapan A at B. Ang nasabing kaganapan ay tinatawag na kabuuan ng mga kaganapan A at B at tinutukoy ng A+B.

Kung ang A at B ay hindi magkatugma, kung gayon ang P(A+B)= P(A)+P(B).

talaga,

Ang hindi pagkakatugma ng mga kaganapan A at B ay maaaring maginhawang ilarawan ng isang pigura. Kung ang lahat ng kinalabasan ng karanasan ay ilang hanay ng mga puntos sa figure, kung gayon ang mga kaganapan A at B ay ilan mga subset ng ibinigay na set. Ang hindi pagkakatugma ng A at B ay nangangahulugan na ang dalawang subset na ito ay hindi nagsalubong. Ang isang tipikal na halimbawa ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay ang anumang kaganapan A at ang kabaligtaran na kaganapan Ā.

Siyempre, ang theorem na ito ay totoo para sa tatlo, apat, at para sa anumang may hangganang bilang ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan. Ang posibilidad ng kabuuan ng anumang bilang ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito. Ang mahalagang pahayag na ito ay eksaktong tumutugma sa paraan ng paglutas ng mga problema sa pamamagitan ng "enumeration of cases".

Sa pagitan ng mga pangyayaring naganap bilang resulta ng ilang karanasan, at sa pagitan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, maaaring mayroong ilang mga relasyon, dependency, koneksyon, atbp. Halimbawa, ang mga kaganapan ay maaaring "idagdag", at ang posibilidad ng kabuuan ng hindi magkatugma ang mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad.

Sa konklusyon, tinatalakay natin ang sumusunod na pangunahing tanong: posible bang patunayan, na ang posibilidad na makakuha ng "mga buntot" sa isang paghagis ng barya ay katumbas ng

Ang sagot ay negatibo. Sa pangkalahatan, ang tanong mismo ay hindi tama, ang eksaktong kahulugan ng salitang "patunayan" ay hindi malinaw. Pagkatapos ng lahat, palagi kaming nagpapatunay ng isang bagay sa loob ng balangkas ng ilan mga modelo, kung saan alam na ang mga alituntunin, batas, axiom, formula, theorems, atbp. Kung ang pinag-uusapan natin ay isang haka-haka, "ideal" na barya, kaya nga ito ay itinuturing na perpekto dahil, a-prioryo, ang posibilidad na makakuha ng mga ulo ay katumbas ng posibilidad na makakuha ng mga ulo. At, sa prinsipyo, maaari nating isaalang-alang ang isang modelo kung saan ang posibilidad ng pagbagsak ng "mga buntot" ay dalawang beses ang posibilidad ng pagbagsak ng "mga ulo", o tatlong beses na mas kaunti, atbp. Pagkatapos ay lumitaw ang tanong: sa anong dahilan mula sa iba't ibang posibleng mga modelo para sa paghahagis ng barya pipili ba tayo ng isa kung saan ang parehong mga resulta ng paghagis ay pantay na posibilidad?

Ang isang ganap na frontal na sagot ay: "Ngunit ito ay mas madali, mas malinaw at mas natural para sa amin!" Ngunit may mga mas mahalagang argumento din. Galing sila sa practice. Ang karamihan sa mga aklat-aralin sa teorya ng probabilidad ay nagbibigay ng mga halimbawa ng French naturalist na si J. Buffon (ika-18 siglo) at ang English mathematician-statistician na si C. Pearson (late 19th century), na naghagis ng barya nang 4040 at 24000 beses, ayon sa pagkakabanggit, at binilang ang bilang ng mga bumabagsak na "agila" o "buntot". Ang kanilang "mga buntot" ay nahulog, ayon sa pagkakabanggit, 1992 at 11998 beses. Kung binibilang mo dalas ng pagbaba"tails", pagkatapos ay makakakuha ka ng = = 0.493069 ... para sa Buffon at = 0.4995 para sa Pearson. Lumitaw nang natural pagpapalagay na sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga tosses ng isang barya, ang dalas ng pagbagsak ng "mga buntot", pati na rin ang dalas ng pagbagsak ng "mga agila", ay lalapit sa 0.5. Ang pagpapalagay na ito, batay sa praktikal na data, ang batayan para sa pagpili ng isang modelo na may katumbas na mga resulta.

Ngayon ay maaari nating buod. Ang pangunahing konsepto ay posibilidad ng isang random na kaganapan, na kinakalkula sa loob ng balangkas ng pinakasimpleng modelo— klasikal na probabilistikong pamamaraan. Ang konsepto ay mahalaga kapwa sa teorya at sa praktika. kasalungat na pangyayari at ang formula Р(Ā)= 1—Р(А) para sa paghahanap ng probabilidad ng naturang kaganapan.

Sa wakas, nagkita kami mga pangyayaring hindi magkatugma at may mga formula.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

nagbibigay-daan upang mahanap ang mga probabilidad mga halaga mga ganitong pangyayari.

Bibliograpiya

1. Mga Pangyayari. Mga probabilidad. Pagproseso ng data ng istatistika: Magdagdag. mga talata sa kurso ng algebra 7-9 na mga cell. mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—ika-4 na ed.—M.: Mnemozina, 2006.—112 p.: ill.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Algebra. Mga elemento ng istatistika at teorya ng posibilidad.—Moscow, Enlightenment, 2006.