Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (grade 9), isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga numerical sequence, na kinabibilangan ng mga progression - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang arithmetic progression?

Upang maunawaan ito, kinakailangang magbigay ng kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na higit pang gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Arithmetic o isang set ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng aritmetika.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang susunod na sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Mahahalagang Formula

Ibinibigay na namin ngayon ang mga pangunahing formula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang n tukuyin ang ika-na miyembro ng sequence, kung saan ang n ay isang integer. Ang pagkakaiba ay tinutukoy ng Latin na letrang d. Kung gayon ang mga sumusunod na expression ay totoo:

1. Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang formula ay angkop: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n + a 1)*n/2.

Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na pinag-uusapan ay binuo sa kanilang paggamit. Gayundin, huwag kalimutan na ang pagkakaiba sa pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1 .

Halimbawa #1: Paghahanap ng Hindi Kilalang Miyembro

Nagbibigay kami ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na dapat gamitin upang malutas.

Hayaang ibigay ang pagkakasunod-sunod na 10, 8, 6, 4, ..., kailangan na makahanap ng limang termino dito.

Ito ay sumusunod na mula sa mga kondisyon ng problema na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

1. Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Katulad nito, ang isa ay maaaring tumagal ng anumang dalawang iba pang termino na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d \u003d a n - a n-1, pagkatapos ay d \u003d a 5 - a 4, mula sa kung saan kami makakakuha ng: a 5 \u003d a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ang pangalawang paraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-usad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang matukoy ito, tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humahantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba d ng pag-unlad ay negatibo. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na bumababa dahil ang bawat sunud-sunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad

Ngayon pasimplehin natin ang gawain nang kaunti, magbigay ng isang halimbawa kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pinapalitan namin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.

Upang maibalik ang sequence sa ika-7 miyembro, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 at 7 = 18.

Halimbawa #3: paggawa ng progreso

Lalo pa nating gawing kumplikado ang kalagayan ng problema. Ngayon ay kailangan mong sagutin ang tanong kung paano makahanap ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang sumusunod na halimbawa ay maaaring ibigay: dalawang numero ang ibinigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangang gumawa ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.

Bago simulan ang paglutas ng problemang ito, kinakailangang maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy kami sa isang gawain na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d isang 1 + 4 * d. Mula sa: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Dito ang pagkakaiba ay hindi isang integer na halaga, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang miyembro ng progression. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0,0 na kasabay ng kalagayan ng problema.

Halimbawa #4: Ang unang miyembro ng progression

Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap mula sa kung anong numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit hanggang ngayon ay may kaalaman sa isang 1 at d. Walang nalalaman tungkol sa mga numerong ito sa kondisyon ng problema. Gayunpaman, isulat natin ang mga expression para sa bawat termino kung saan mayroon tayong impormasyon: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang tinukoy na sistema ay pinakamadaling lutasin kung nagpapahayag ka ng 1 sa bawat equation, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 decimal na lugar lamang ang ibinigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1 . Halimbawa, una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na miyembro ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa #5: Sum

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, maaaring malutas ang problemang ito, iyon ay, sunud-sunod na pagdaragdag ng lahat ng mga numero, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay malulutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makukuha natin: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Nakakagulat na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian", dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, na nasa edad na 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung magdadagdag ka ng mga pares ng mga numero na matatagpuan sa mga gilid ng sequence, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100/2), kung gayon upang makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa #6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng isang serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi sapat na matrabaho. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2 sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito, at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), pagkatapos ay makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman ng expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago mo simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekumenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang gusto mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang gawain sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kapag naisip mo na, hindi na mahirap.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng Aralin:

• pagpapalawak at pagpapalalim ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga gawaing nalutas gamit ang arithmetic progression; pag-aayos ng aktibidad sa paghahanap ng mga mag-aaral sa pagkuha ng pormula para sa kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika;
• pag-unlad ng mga kasanayan upang malayang makakuha ng bagong kaalaman, gumamit ng nakuha na kaalaman upang makamit ang gawain;
• pag-unlad ng pagnanais at pangangailangan na gawing pangkalahatan ang mga katotohanang nakuha, ang pag-unlad ng kalayaan.

Mga gawain:

• gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang umiiral na kaalaman sa paksang "Arithmetic progression";
• kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic;
• ituro kung paano ilapat ang mga nakuhang formula sa paglutas ng iba't ibang problema;
• makuha ang atensyon ng mga mag-aaral sa pamamaraan para sa paghahanap ng halaga ng isang numerical expression.

Kagamitan:

• card na may mga gawain para sa trabaho sa mga grupo at pares;
• papel ng pagsusuri;
• pagtatanghal"Aritmetikong pag-unlad".

I. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.

1. Malayang gawain nang magkapares.

1st option:

Tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Sumulat ng isang recursive formula na tumutukoy sa isang pag-unlad ng arithmetic. Magbigay ng halimbawa ng pag-unlad ng arithmetic at ipahiwatig ang pagkakaiba nito.

2nd option:

Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hanapin ang 100th term ng isang arithmetic progression ( isang n}: 2, 5, 8 …
Sa oras na ito, dalawang estudyante sa likod ng pisara ang naghahanda ng mga sagot sa parehong mga tanong.
Sinusuri ng mga mag-aaral ang gawain ng kapareha sa pamamagitan ng paghahambing nito sa pisara. (Ang mga leaflet na may mga sagot ay ibibigay).

2. sandali ng laro.

Ehersisyo 1.

Guro. Naglihi ako ng ilang pag-unlad ng arithmetic. Magtanong lamang sa akin ng dalawang katanungan upang pagkatapos ng mga sagot ay mabilis mong pangalanan ang ika-7 miyembro ng pag-unlad na ito. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Mga tanong mula sa mga mag-aaral.

1. Ano ang ikaanim na termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?
2. Ano ang ikawalong termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?

Kung wala nang mga katanungan, maaari silang pasiglahin ng guro - isang "pagbabawal" sa d (pagkakaiba), iyon ay, hindi pinapayagan na magtanong kung ano ang pagkakaiba. Maaari kang magtanong: ano ang ika-6 na termino ng pag-unlad at ano ang ika-8 termino ng pag-unlad?

Gawain 2.

Mayroong 20 numero na nakasulat sa pisara: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nakatalikod ang guro sa pisara. Sinasabi ng mga estudyante ang numero ng numero, at agad na tinawag ng guro ang numero mismo. Ipaliwanag kung paano ko ito magagawa?

Naaalala ng guro ang pormula ng ika-1 termino isang n \u003d 3n - 2 at, pinapalitan ang ibinigay na mga halaga ng n, hinahanap ang kaukulang mga halaga a n .

II. Pahayag ng gawaing pang-edukasyon.

Iminumungkahi kong lutasin ang isang lumang problema noong ika-2 milenyo BC, na matatagpuan sa Egyptian papyri.

Gawain:“Sabihin sa inyo: hatiin ang 10 takal ng sebada sa 10 tao, ang pagkakaiba ng bawat tao at ng kanyang kapwa ay 1/8 ng sukat.”

• Paano nauugnay ang problemang ito sa paksa ng pag-unlad ng aritmetika? (Ang bawat susunod na tao ay makakakuha ng 1/8 na sukat pa, kaya ang pagkakaiba ay d=1/8, 10 tao, kaya n=10.)
• Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng numero 10? (Ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng progression.)
• Ano pa ang kailangan mong malaman para maging madali at simple ang paghahati ng barley ayon sa kondisyon ng problema? (Ang unang termino ng pag-unlad.)

Layunin ng aralin- pagkuha ng dependence ng kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad sa kanilang numero, ang unang termino at ang pagkakaiba, at pagsuri kung ang problema ay nalutas nang tama sa sinaunang panahon.

Bago makuha ang formula, tingnan natin kung paano nalutas ng mga sinaunang Egyptian ang problema.

At nalutas nila ito tulad nito:

1) 10 sukat: 10 = 1 sukat - average na bahagi;
2) 1 sukat ∙ = 2 sukat - nadoble karaniwan ibahagi.
nadoble karaniwan ang bahagi ay ang kabuuan ng mga bahagi ng ika-5 at ika-6 na tao.
3) 2 sukat - 1/8 sukat = 1 7/8 sukat - dalawang beses ang bahagi ng ikalimang tao.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ang bahagi ng ikalima; at iba pa, mahahanap mo ang bahagi ng bawat nauna at kasunod na tao.

Nakukuha namin ang pagkakasunud-sunod:

III. Ang solusyon sa gawain.

1. Magtrabaho sa mga pangkat

1st group: Hanapin ang kabuuan ng 20 magkakasunod na natural na numero: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Sa pangkalahatan

II pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 100 (Alamat ng Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Konklusyon:

III pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 21.

Solusyon: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Konklusyon:

IV pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 101.

Konklusyon:

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga itinuturing na problema ay tinatawag na "Gauss method".

2. Ang bawat pangkat ay naglalahad ng solusyon sa suliranin sa pisara.

3. Paglalahat ng mga iminungkahing solusyon para sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nahanap namin ang kabuuan na ito sa pamamagitan ng pagtatalo nang katulad:

4. Nalutas na ba natin ang gawain?(Oo.)

IV. Pangunahing pag-unawa at paggamit ng mga nakuhang formula sa paglutas ng mga problema.

1. Sinusuri ang solusyon ng isang lumang problema sa pamamagitan ng formula.

2. Paglalapat ng pormula sa paglutas ng iba't ibang suliranin.

3. Mga pagsasanay para sa pagbuo ng kakayahang magamit ang formula sa paglutas ng mga problema.

A) Blg. 613

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hanapin: S 1500

Desisyon: , at 1 = 1, at 1500 = 1500,

B) Ibinigay: ( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
(at n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Hanapin: n
Desisyon:

V. Malayang gawain na may mutual na pagpapatunay.

Nagtrabaho si Denis bilang isang courier. Sa unang buwan, ang kanyang suweldo ay 200 rubles, sa bawat kasunod na buwan ay tumaas ito ng 30 rubles. Magkano ang kinita niya sa isang taon?

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Hanapin: S 12
Desisyon:

Sagot: Nakatanggap si Denis ng 4380 rubles para sa taon.

VI. Pagtuturo sa takdang-aralin.

1. p. 4.3 - alamin ang derivation ng formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Bumuo ng isang problema na malulutas gamit ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

VII. Pagbubuod ng aralin.

1. Iskor sheet

2. Ipagpatuloy ang mga pangungusap

• Ngayon sa klase natutunan ko...
• Mga Natutunang Formula...
• Sa tingin ko …

3. Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 500? Anong paraan ang iyong gagamitin upang malutas ang problemang ito?

Bibliograpiya.

1. Algebra, ika-9 na baitang. Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscow: Enlightenment, 2009.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementary hanggang medyo solid.

Una, harapin natin ang kahulugan at pormula ng kabuuan. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay kasing simple ng pagbaba. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, nakakatipid ang formula.

Ang sum formula ay simple:

Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng marami.

S n ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una sa huling. Ito ay mahalaga. Idagdag nang eksakto lahat mga miyembro sa isang hilera, walang gaps at jumps. At, eksakto, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng mga terminong lima hanggang ikadalawampu, ang direktang paggamit ng formula ay magiging nakakadismaya.)

a 1 - una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.

isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng row. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit, kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.

n ay ang numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito tumutugma sa bilang ng mga idinagdag na termino.

Tukuyin natin ang konsepto huling miyembro isang n. Pagpuno ng tanong: anong uri ng miyembro ang gagawin huling, kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?

Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ... basahin nang mabuti ang takdang-aralin!)

Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang may hangganan, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung anong uri ng pag-unlad ang ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinibigay: sa pamamagitan ng isang serye ng mga numero, o ng formula ng ika-na miyembro.

Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang hitsura ng buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ay ibubunyag namin ang mga lihim na ito.)

Mga halimbawa ng mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:

Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.

Ini-encrypt ng mga may-akda ng mga takdang-aralin ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.

1. Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino.

Magaling. Madali.) Upang matukoy ang halaga ayon sa pormula, ano ang kailangan nating malaman? Unang Miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang bilang ng huling termino n.

Kung saan makukuha ang huling numero ng miyembro n? Oo, sa parehong lugar, sa kondisyon! Sinasabi nito na hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Aba, anong numero ito huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n papalitan natin sa formula isang 10, ngunit sa halip n- sampu. Muli, ang bilang ng huling miyembro ay kapareho ng bilang ng mga miyembro.

Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 at isang 10. Ito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng nth term, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi alam kung paano gawin ito? Bisitahin ang nakaraang aralin, nang wala ito - wala.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

isang 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ito ay nananatiling palitan ang mga ito, at bilangin:

Hanggang dito na lang. Sagot: 75.

Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:

2. Dahil sa isang arithmetic progression (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; isang 1 \u003d 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino.

Agad naming isinulat ang sum formula:

Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng pagpapalit:

isang 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:

Sagot: 423.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n palitan lamang ang pormula ng ika-n na termino, makukuha natin:

Nagbibigay kami ng mga katulad, nakakakuha kami ng bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression:

Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ang nth term dito. isang n. Sa ilang mga gawain, ang formula na ito ay nakakatulong nang malaki, oo ... Maaalala mo ang formula na ito. At maaari mo lamang itong bawiin sa tamang oras, tulad ng dito. Pagkatapos ng lahat, ang pormula para sa kabuuan at ang pormula para sa ika-n na termino ay dapat tandaan sa lahat ng paraan.)

Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):

3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na multiple ng tatlo.

Paano! Walang unang miyembro, walang huli, walang pag-unlad... Paano mabuhay!?

Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin mula sa kondisyon ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ano ang dalawang-digit na numero - alam natin. Binubuo sila ng dalawang numero.) Anong dalawang-digit na numero ang gagawin una? 10, siguro.) huling bagay dalawang digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng tatlong digit ...

Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na pantay na nahahati ng tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? tiyak! Ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna nang mahigpit na tatlo. Kung 2, o 4, ay idinagdag sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang isang bagong numero ay hindi na mahahati sa 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa heap: d = 3. Kapaki-pakinabang!)

Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:

Ano ang magiging numero n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay malubha na nagkakamali ... Mga Numero - palagi silang magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumalon sa nangungunang tatlo. Hindi sila magkatugma.

Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga miyembro gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa maalalahanin. Kailangan mong tandaan ang pormula para sa ika-n na termino. Kung ang formula ay inilapat sa aming problema, makuha namin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung miyembro ng pag-unlad. Yung. n = 30.

Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tumingin kami at nagagalak.) Inilabas namin ang lahat ng kailangan para sa pagkalkula ng halaga mula sa kondisyon ng problema:

a 1= 12.

isang 30= 99.

S n = S 30.

Ang natitira ay elementarya aritmetika. Palitan ang mga numero sa formula at kalkulahin:

Sagot: 1665

Isa pang uri ng mga sikat na puzzle:

4. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.

Tinitingnan namin ang sum formula at ... kami ay nabalisa.) Ang formula, hayaan mo akong ipaalala sa iyo, kinakalkula ang kabuuan mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.

Maaari mong, siyempre, ipinta ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at ilagay ang mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ...

May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ikalawang bahagi - dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga miyembro ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. Ganito:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ito ay nagpapakita na upang mahanap ang kabuuan S 20-34 maaaring gawin sa pamamagitan ng simpleng pagbabawas

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ang parehong mga kabuuan sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Nagsisimula na ba tayo?

Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa kondisyon ng gawain:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at ang unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Binibilang namin ang mga ito ayon sa pormula ng nth term, tulad ng sa problema 2:

isang 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

isang 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Walang natira. Ibawas ang kabuuan ng 19 na termino mula sa kabuuan ng 34 na termino:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Sagot: 262.5

Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na tampok sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin kung ano, tila, ay hindi kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa buong resulta. Ang ganitong "pagkukunwari sa mga tainga" ay kadalasang nagliligtas sa masasamang palaisipan.)

Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)

Praktikal na payo:

Kapag nilulutas ang anumang problema para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing formula mula sa paksang ito.

Formula ng nth term:

Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin, kung saan direksyon mag-iisip upang malutas ang problema. Tumutulong.

At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.

5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.

Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.

6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 =-5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino.

Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong palaisipan ay madalas na matatagpuan sa GIA.

7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa Holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang pinakamamahal na tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa bawat kasunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?

Mahirap ba?) Makakatulong ang karagdagang pormula mula sa gawain 2.

Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya na may mga halimbawa (2019)

Numeric na pagkakasunud-sunod

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami ng gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isusulat, palagi nating masasabi kung alin sa mga ito ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Numeric na pagkakasunud-sunod
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang sequence number lamang. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang nasabing numerical sequence ay tinatawag na arithmetic progression.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "arithmetic" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na mga proporsyon, kung saan ang mga sinaunang Greeks ay nakikibahagi sa.

Ito ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at tinutukoy.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Nakuha ko? Ihambing ang aming mga sagot:
Ay isang pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-miyembro nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari tayong magdagdag sa dating halaga ng numero ng pag-unlad hanggang sa maabot natin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang -ika miyembro ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin kami ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi kami magkakamali sa pagdaragdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi mo kailangang idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan ... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang bumubuo sa halaga ng -th na miyembro ng arithmetic progression na ito:


Sa ibang salita:

Subukang independyenteng mahanap sa ganitong paraan ang halaga ng isang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito.

Kinakalkula? Ihambing ang iyong mga entry sa sagot:

Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang paraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dinadala natin ito sa isang pangkalahatang anyo at makuha ang:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay tumataas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Tingnan natin ito sa pagsasanay.
Binigyan kami ng aritmetika na pag-unlad na binubuo ng mga sumusunod na numero:

Simula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana kapwa sa pagpapababa at sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang -th at -th na miyembro ng arithmetic progression na ito nang mag-isa.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin nating kumplikado ang gawain - nakukuha natin ang ari-arian ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ipagpalagay na binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali lang, sabi mo, at simulang magbilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, a, pagkatapos:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin, posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre, oo, at susubukan naming ilabas ito ngayon.

Tukuyin natin ang nais na termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, alam natin ang pormula para sa paghahanap nito - ito ang parehong pormula na hinango natin sa simula:
, pagkatapos:

• ang dating miyembro ng progression ay:
• ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Isama natin ang nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression:

Lumalabas na ang kabuuan ng nauna at kasunod na mga miyembro ng progression ay dalawang beses ang halaga ng miyembro ng progression na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang miyembro ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kinakailangang idagdag ang mga ito at hatiin sa.

Ayun, pareho kami ng number. Ayusin natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, dahil ito ay hindi mahirap sa lahat.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng oras, ang "hari ng mga mathematician" - si Karl Gauss, ay madaling nahulaan para sa kanyang sarili ...

Noong si Carl Gauss ay 9 na taong gulang, ang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral mula sa iba pang mga klase, ay nagtanong ng sumusunod na gawain sa aralin: "Kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng natural na mga numero mula hanggang sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama. " Ano ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga mag-aaral (ito ay si Karl Gauss) pagkatapos ng isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang ang karamihan sa mga kaklase ng daredevil pagkatapos ng mahabang kalkulasyon ay nakatanggap ng maling resulta ...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang pattern na madali mong mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong arithmetic progression na binubuo ng -ti na mga miyembro: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga ibinigay na miyembro ng arithmetic progression. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga termino nito sa gawain, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Sinubukan? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sagutin mo, ilang pares ang magkakaroon sa progression na ibinigay sa atin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay pantay, at magkatulad na magkaparehong mga pares, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema, hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan sa sum formula, ang formula ng ika-miyembro.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problema na ibinigay kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th ay, at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th.

Magkano ang nakuha mo?
Napag-alaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Ganyan ka ba nagdesisyon?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pinatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ginamit ng mga matalinong tao ang mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika nang may lakas at pangunahing.
Halimbawa, isipin ang Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking lugar ng pagtatayo noong panahong iyon - ang pagtatayo ng isang pyramid ... Ang pigura ay nagpapakita ng isang bahagi nito.

Nasaan ang progression dito na sinasabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Bakit hindi isang arithmetic progression? Bilangin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbilang sa pamamagitan ng paggalaw ng iyong daliri sa monitor, naaalala mo ba ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura:
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression.
Palitan natin ang aming data sa mga huling formula (binibilang namin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mo ring kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Pumayag ba ito? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pag-eehersisyo

Mga gawain:

1. Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses mag-squat si Masha sa mga linggo kung nag-squats siya sa unang ehersisyo.
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga log, ang mga magtotroso ay isinalansan ang mga ito sa paraang ang bawat tuktok na layer ay naglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang base ng masonerya ay troso.

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng arithmetic. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Sa dalawang linggo, dapat maglupasay si Masha isang beses sa isang araw.

2. Unang odd na numero, huling numero.
   Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa - kalahati, gayunpaman, suriin ang katotohanang ito gamit ang formula para sa paghahanap ng -th miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Pinapalitan namin ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay katumbas ng.

3. Alalahanin ang problema tungkol sa mga pyramids. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, mayroon lamang isang bungkos ng mga layer, iyon ay.
   Palitan ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Summing up

1. - isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Ito ay tumataas at bumababa.
2. Paghahanap ng formula ika-miyembro ng isang arithmetic progression ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa progression.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan - ang bilang ng mga numero sa progression.
4. Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. GITNANG ANTAS

Numeric na pagkakasunud-sunod

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo. Ngunit palagi mong masasabi kung alin sa kanila ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, iyon ay, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Numeric na pagkakasunud-sunod ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isa lamang. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Ito ay lubos na maginhawa kung ang -th miyembro ng sequence ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang paulit-ulit na pormula kung saan, upang malaman ang -th term, kailangan mong malaman ang nauna o ilang nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-kataga ng pag-unlad gamit ang gayong formula, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan. Pagkatapos:

Well, ngayon malinaw na kung ano ang formula?

Sa bawat linya, idinaragdag namin sa, pinarami ng ilang numero. Para saan? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas komportable ngayon, tama ba? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-usad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-10 termino at hanapin ang ika-100 termino.

Desisyon:

Ang unang termino ay pantay. At ano ang pagkakaiba? At narito kung ano:

(pagkatapos ng lahat, ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng mga sunud-sunod na miyembro ng pag-unlad).

Kaya ang formula ay:

Pagkatapos ang ika-daang termino ay:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ang ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang ganoong pares? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng numero, kumbaga. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na multiple.

Desisyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat susunod ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang numero sa nauna. Kaya, ang mga bilang ng interes sa amin ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Ang pormula para sa ika-taon para sa pag-unlad na ito ay:

Ilang termino ang nasa progress kung dapat silang lahat ay dalawang digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng 1m higit pa kaysa sa nakaraang araw. Ilang kilometro ang kanyang tatakbo sa mga linggo kung tumakbo siya ng km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay sumasakay ng mas maraming milya bawat araw kaysa sa nauna. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang magmaneho para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa tindahan ay binabawasan ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Narito ito ay ibinigay:, ito ay kinakailangan upang mahanap.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot.
   Kalkulahin natin ang distansyang nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng -th na miyembro:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay: . Hanapin: .
   Hindi ito nagiging mas madali:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ito ay isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumataas () at bumababa ().

Halimbawa:

Ang formula para sa paghahanap ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression

ay nakasulat bilang isang formula, kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Pinapadali nito ang paghahanap ng miyembro ng progression kung kilala ang mga kalapit na miyembro nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang kabuuan:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Ang konsepto ng isang numerical sequence ay nagpapahiwatig na ang bawat natural na numero ay tumutugma sa ilang tunay na halaga. Ang ganitong serye ng mga numero ay maaaring parehong arbitrary at may ilang partikular na katangian - isang pag-unlad. Sa huling kaso, ang bawat kasunod na elemento (miyembro) ng sequence ay maaaring kalkulahin gamit ang nauna.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numerong halaga kung saan ang mga kalapit na miyembro nito ay naiiba sa bawat isa sa parehong numero (lahat ng mga elemento ng serye, simula sa ika-2, ay may katulad na pag-aari). Ang numerong ito - ang pagkakaiba sa pagitan ng nauna at kasunod na miyembro - ay pare-pareho at tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.

Pagkakaiba ng Pag-unlad: Kahulugan

Isaalang-alang ang isang sequence na binubuo ng j values ​​​​A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j ay kabilang sa set ng mga natural na numero N. Isang arithmetic progression, ayon sa kahulugan nito, ay isang sequence , kung saan ang a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Ang halaga ng d ay ang nais na pagkakaiba ng pag-unlad na ito.

d = a(j) - a(j-1).

Ilaan:

• Isang tumataas na pag-unlad, kung saan d > 0. Halimbawa: 4, 8, 12, 16, 20, …
• bumababa ang pag-unlad, pagkatapos d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Pagkakaiba ng pag-unlad at mga di-makatwirang elemento nito

Kung ang 2 arbitrary na miyembro ng progression (i-th, k-th) ay kilala, kung gayon ang pagkakaiba para sa sequence na ito ay maaaring itatag batay sa kaugnayan:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, kaya d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Ang pagkakaiba sa pag-unlad at ang unang termino nito

Ang expression na ito ay makakatulong na matukoy ang hindi alam na halaga lamang sa mga kaso kung saan ang bilang ng elemento ng pagkakasunud-sunod ay kilala.

Pagkakaiba ng pag-unlad at ang kabuuan nito

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ay ang kabuuan ng mga termino nito. Upang kalkulahin ang kabuuang halaga ng unang j elemento nito, gamitin ang kaukulang formula:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ngunit mula noon a(j) = a(1) + d(j – 1), pagkatapos ay S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.