PaksaMga kumplikadong numero at polynomial

Lektura 22

§isa. Mga kumplikadong numero: mga pangunahing kahulugan

Simbolo ipasok ang ratio
at tinatawag na imaginary unit. Sa ibang salita,
.

Kahulugan. Pagpapahayag ng anyo
, saan
, ay tinatawag na isang kumplikadong numero, at ang numero tinatawag na tunay na bahagi ng isang kumplikadong numero at magpakilala
, numero - haka-haka na bahagi at magpakilala
.

Mula sa kahulugang ito ay sumusunod na ang tunay na mga numero ay ang mga kumplikadong numero na ang haka-haka na bahagi ay katumbas ng zero.

Maginhawang kumatawan sa mga kumplikadong numero bilang mga punto ng isang eroplano kung saan ibinigay ang isang Cartesian rectangular coordinate system, ibig sabihin: isang kumplikadong numero
match point
at vice versa. sa ehe
totoong mga numero ay ipinapakita at ito ay tinatawag na tunay na axis. Mga kumplikadong numero ng form

ay tinatawag na puro haka-haka. Ang mga ito ay ipinapakita bilang mga tuldok sa axis.
, na tinatawag na imaginary axis. Ang eroplanong ito, na nagsisilbing kumakatawan sa mga kumplikadong numero, ay tinatawag na kumplikadong eroplano. Isang kumplikadong numero na hindi totoo, i.e. ganyan
, minsan tinatawag na haka-haka.

Ang dalawang kumplikadong numero ay sinasabing pantay-pantay kung at kung sila ay may parehong tunay at haka-haka na mga bahagi.

Ang pagdaragdag, pagbabawas at pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa karaniwang mga patakaran ng polynomial algebra, na isinasaalang-alang ang katotohanan na

. Ang operasyon ng paghahati ay maaaring tukuyin bilang kabaligtaran ng pagpaparami ng pagpaparami at maaaring patunayan ng isa ang pagiging natatangi ng resulta (kung ang divisor ay iba sa zero). Gayunpaman, sa pagsasagawa, ibang diskarte ang ginagamit.

Mga kumplikadong numero
at
ay tinatawag na conjugate, sa kumplikadong eroplano sila ay kinakatawan ng mga puntong simetriko tungkol sa totoong axis. Ito ay malinaw na:

1)

;

2)
;

3)
.

Ngayon split sa maaaring gawin tulad ng sumusunod:

.

Hindi mahirap ipakita iyon

,

kung saan simbolo ay kumakatawan sa anumang operasyon ng aritmetika.

Hayaan
ilang haka-haka na numero, at ay isang tunay na variable. Ang produkto ng dalawang binomial

ay isang parisukat na trinomial na may mga tunay na coefficient.

Ngayon, ang pagkakaroon ng mga kumplikadong numero sa aming pagtatapon, maaari naming malutas ang anumang quadratic equation
.Kung , kung gayon

at ang equation ay may dalawang kumplikadong conjugate roots

.

Kung ang
, pagkatapos ang equation ay may dalawang magkaibang tunay na ugat. Kung ang
, pagkatapos ang equation ay may dalawang magkaparehong ugat.

§2. Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang kumplikadong numero
maginhawa upang ilarawan sa isang tuldok
. Maaari ding kilalanin ng isa ang naturang numero gamit ang radius vector ng puntong ito
. Sa interpretasyong ito, ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa mga patakaran ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga vectors. Para sa pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero, ang isa pang anyo ay mas maginhawa.

Ipinakilala namin sa kumplikadong eroplano
polar coordinate system. Tapos saan
,
at kumplikadong numero
maaaring isulat bilang:

Ang anyo ng notasyong ito ay tinatawag na trigonometric (sa kaibahan sa algebraic form
). Sa form na ito, ang numero ay tinatawag na modyul at - argumento ng kumplikadong numero . Sila ay minarkahan:
,

. Para sa module, mayroon kaming formula

Ang argumento ng numero ay hindi malinaw na tinukoy, ngunit hanggang sa isang termino
,
. Ang halaga ng argumento na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay
, ay tinatawag na principal at denoted
. pagkatapos,
. Para sa pangunahing halaga ng argumento, maaari mong makuha ang mga sumusunod na expression:

,

argumento ng numero
itinuturing na hindi natukoy.

Ang kundisyon para sa pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong numero sa trigonometric form ay may anyo: ang mga module ng mga numero ay pantay-pantay, at ang mga argumento ay nagkakaiba ng maramihang
.

Hanapin ang produkto ng dalawang kumplikadong numero sa anyong trigonometric:

Kaya, kapag nagpaparami ng mga numero, ang kanilang mga module ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag.

Katulad nito, maaari itong maitatag na kapag naghahati, ang mga module ng mga numero ay nahahati, at ang mga argumento ay binabawasan.

Ang pag-unawa sa exponentiation bilang multiple multiplication, makukuha natin ang formula para sa pagpapataas ng complex number sa isang power:

Kumuha kami ng formula para sa
- ugat ika kapangyarihan ng isang kumplikadong numero (hindi dapat malito sa arithmetic root ng isang tunay na numero!). Ang operasyon ng pagkuha ng ugat ay ang kabaligtaran ng operasyon ng exponentiation. Kaya
ay isang kumplikadong numero ganyan
.

Hayaan
kilala, at
kailangang matagpuan. Pagkatapos

Mula sa pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong mga numero sa trigonometric form, ito ay sumusunod na

,
,
.

Mula rito
(ito ay isang arithmetic root!),

,
.

Madaling i-verify iyon maaari lamang tanggapin mahalagang magkaibang mga halaga, halimbawa, kapag
. Sa wakas mayroon kaming formula:

,
.

Kaya ang ugat ika degree mula sa isang kumplikadong numero ay may iba't ibang halaga. Sa kumplikadong eroplano, ang mga halagang ito ay matatagpuan nang tama sa mga vertice -gon na nakasulat sa isang bilog ng radius
nakasentro sa pinanggalingan. Ang "unang" ugat ay may argumento
, ang mga argumento ng dalawang "kapitbahay" na ugat ay naiiba sa pamamagitan ng
.

Halimbawa. Kunin natin ang cube root ng haka-haka na yunit:
,
,
. Pagkatapos:

,

Ang paksang "Mga kumplikadong numero" ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral, ngunit sa katunayan ay walang kakila-kilabot sa kanila, na tila sa unang tingin.

Kaya, ngayon ay susuriin natin at isasaalang-alang gamit ang mga simpleng halimbawa kung ano ang isang kumplikadong numero, kung paano ito tinutukoy at kung ano ang binubuo nito. Pagpapahayag z = a + bi ay tinatawag na complex number. Ito ay isang solong numero, hindi isang karagdagan.

Halimbawa 1 : z = 6 + 4i

Ano ang isang kumplikadong numero?

Ang isang kumplikadong numero ay may tunay at isang haka-haka na bahagi sa komposisyon nito.

Ang numerong a ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong numero at tinutukoy a = Re(z). At narito ang ibig sabihin ng liham i- ibig sabihin. numero b ay tinatawag na koepisyent ng haka-haka na bahagi ng isang kumplikadong numero at tinutukoy b = Ako(z). Magkasama bi bumubuo ng haka-haka na bahagi ng isang kumplikadong numero.

Ito ay madaling hulaan at madaling tandaan na ang pagdadaglat "Muling" nanggaling sa salita totoo- tunay, tunay na bahagi. Kaugnay nito, "ako" ay abbreviation ng salita "Imaginary" haka-haka na bahagi.

Halimbawa 2 : z = 0.5 + 9i. Narito ang tunay na bahagi a=Re(z)=0.5, at ang haka-haka na bahagi b = Im(z) = 9i

Halimbawa 3 : z = -5 + 19i. Narito ang tunay na bahagi a=Re(z)=-5, at ang haka-haka na bahagi b=Im(z)=19.

Puro imaginary complex number

Isang kumplikadong numero na walang tunay na bahagi, i.e. Re(z) = 0, ay tinatawag na puro haka-haka.

Halimbawa 4 : z = 2i. Ang tunay na bahagi ay nawawala a = Re(z) = 0, at ang haka-haka na bahagi b = Im(z) = 2.

Halimbawa 5 . z=-8i. Narito ang imaginary part b=Im(z)=-8, totoong bahagi a = Re(z) = 0.

Conjugate complex number

Ang kumplikadong conjugate number ay tinutukoy "z" na may bar at ginagamit, halimbawa, upang mahanap ang quotient ng dalawang kumplikadong numero, sa madaling salita, upang ipatupad ang paghahati ng mga numero. Ang mga nag-iisip ngayon, narito ka - basahin ang tungkol sa dibisyon ng mga kumplikadong numero.

Ang mga numero ay tinatawag na kumplikadong conjugate, mayroon silang parehong tunay na mga bahagi at naiiba lamang sa tanda ng mga haka-haka na bahagi. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Halimbawa 6 . Complex conjugate ng isang numero z = 7 + 13i ay isang numero.

Imaginary unit ng complex number

At sa wakas, pag-usapan natin ang liham i. Ang parehong titik na bumubuo ng haka-haka na bahagi sa isang kumplikadong numero. Kahit may expression kami z=5, nangangahulugan lamang ito na ang haka-haka na bahagi ng ibinigay na numero ay zero at ang tunay na bahagi ay lima.

Halaga i tinawag haka-haka na yunit.

Ang haka-haka na yunit ay kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga quadratic equation sa kaso kapag ang discriminant ay mas mababa sa zero. Nakasanayan na nating maniwala na kung ito ay negatibo, walang solusyon, walang ugat. Hindi ito ganap na tama. Ang mga ugat ay umiiral, sila ay kumplikado lamang. Ngunit higit pa sa na mamaya. At ngayon, lumipat tayo sa susunod na artikulo sa pag-aaral ng mga kumplikadong numero, matututunan natin kung paano magkalkula

Alalahanin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyo a + bi, saan a, b ay tunay na mga numero, at i- tinatawag na haka-haka na yunit, ang simbolo na ang parisukat ay -1, i.e. i 2 = -1. Numero a tinawag tunay na bahagi, at ang numero b - haka-haka na bahagi kumplikadong numero z = a + bi. Kung ang b= 0, pagkatapos ay sa halip na a + 0i magsulat ng simple a. Makikita na ang mga tunay na numero ay isang espesyal na kaso ng mga kumplikadong numero.

Ang mga operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ay pareho sa mga tunay: maaari silang idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin sa bawat isa. Ang pagdaragdag at pagbabawas ay nagpapatuloy ayon sa panuntunan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, at pagpaparami - ayon sa panuntunan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Ad + bc)i(dito ginagamit lang yan i 2 = -1). Numero = a – bi tinawag kumplikadong conjugate sa z = a + bi. Pagkakapantay-pantay z · = a 2 + b 2 ay nagbibigay-daan sa iyo na maunawaan kung paano hatiin ang isang kumplikadong numero sa isa pang (hindi zero) kumplikadong numero:

(Halimbawa, .)

Ang mga kumplikadong numero ay may maginhawa at visual na geometric na representasyon: ang numero z = a + bi ay maaaring katawanin bilang isang vector na may mga coordinate ( a; b) sa eroplano ng Cartesian (o, na halos pareho, isang punto - ang dulo ng vector na may mga coordinate na ito). Sa kasong ito, ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero ay inilalarawan bilang kabuuan ng mga katumbas na vectors (na maaaring matagpuan ng parallelogram rule). Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, ang haba ng vector na may mga coordinate ( a; b) ay katumbas ng . Ang halagang ito ay tinatawag modyul kumplikadong numero z = a + bi at ipinapahiwatig ng | z|. Ang anggulo na ginagawa ng vector na ito sa positibong direksyon ng x-axis (counted counterclockwise) ay tinatawag argumento kumplikadong numero z at tinutukoy ng Arg z. Ang argumento ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa pagdaragdag lamang ng isang maramihang ng 2 π radians (o 360°, kung binibilang mo sa mga degree) - pagkatapos ng lahat, malinaw na ang pagliko sa gayong anggulo sa paligid ng pinagmulan ay hindi magbabago sa vector. Ngunit kung ang vector ng haba r bumubuo ng isang anggulo φ na may positibong direksyon ng x-axis, kung gayon ang mga coordinate nito ay katumbas ng ( r cos φ ; r kasalanan φ ). Kaya naman lumalabas trigonometriko notasyon kumplikadong numero: z = |z| (cos(Arg z) + i kasalanan (Arg z)). Ito ay madalas na maginhawa upang magsulat ng mga kumplikadong numero sa form na ito, dahil ito ay lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ang multiplikasyon ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form ay mukhang napakasimple: z isa · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i kasalanan (Arg z 1+arg z 2)) (kapag nagpaparami ng dalawang kumplikadong numero, ang kanilang moduli ay pinarami at ang mga argumento ay idinagdag). Mula dito sumunod Mga formula ng De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i kasalanan( n(Arg z))). Sa tulong ng mga formula na ito, madaling matutunan kung paano kunin ang mga ugat ng anumang antas mula sa mga kumplikadong numero. nth root ng z ay isang kumplikadong numero w, Ano w n = z. Malinaw na , At saan k maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa set (0, 1, ..., n- isa). Ibig sabihin, laging may eksakto n mga ugat n ika degree mula sa isang kumplikadong numero (sa eroplano sila ay matatagpuan sa vertices ng isang regular n-gon).