Elementarya anggulo ng pag-ikot, angular velocity
Figure 9. Elementary anggulo ng pag-ikot ()
Ang mga pag-ikot ng elementarya (walang hanggan maliit) ay itinuturing bilang mga vector. Ang module ng vector ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot, at ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng paggalaw ng pagsasalin ng dulo ng tornilyo, ang ulo nito ay umiikot sa direksyon ng paggalaw ng punto sa kahabaan ng bilog, iyon ay , ito ay sumusunod sa panuntunan ng tamang turnilyo.
Angular na bilis
Ang vector ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pag-ikot ayon sa tamang panuntunan ng tornilyo, ibig sabihin, sa parehong paraan tulad ng vector (tingnan ang Larawan 10).
Larawan 10.
Larawan 11
Ang halaga ng vector na tinutukoy ng unang derivative ng anggulo ng pag-ikot ng katawan na may paggalang sa oras.
Relasyon sa pagitan ng mga module ng linear at angular velocities
Larawan 12
Relasyon sa pagitan ng linear at angular velocity vectors
Ang posisyon ng puntong isinasaalang-alang ay ibinibigay ng radius vector (iginuhit mula sa pinanggalingan 0 na nakahiga sa axis ng pag-ikot). Ang produkto ng vector ay tumutugma sa direksyon sa vector at may isang modulus na katumbas ng
Ang yunit ng angular velocity ay .
Ang mga Pseudovectors (axial vectors) ay mga vector na ang mga direksyon ay nauugnay sa direksyon ng pag-ikot (halimbawa,). Ang mga vector na ito ay walang tiyak na mga punto ng aplikasyon: maaari silang iguhit mula sa anumang punto sa axis ng pag-ikot.
Pare-parehong paggalaw ng isang materyal na punto sa kahabaan ng bilog
Uniform na paggalaw sa isang bilog - isang paggalaw kung saan ang isang materyal na punto (katawan) para sa pantay na mga yugto ng oras ay pumasa sa mga arko ng isang bilog na katumbas ng haba.
Angular na bilis
: (-- anggulo ng pag-ikot).
Ang panahon ng pag-ikot T ay ang oras kung kailan ang materyal na punto ay gumagawa ng isang kumpletong rebolusyon sa paligid ng circumference, ibig sabihin, umiikot sa isang anggulo.
Dahil ito ay tumutugma sa agwat ng oras, kung gayon.
Dalas ng pag-ikot - ang bilang ng mga kumpletong rebolusyon na ginawa ng isang materyal na punto na may pare-parehong paggalaw nito sa isang bilog, bawat yunit ng oras.
Larawan 13
Isang katangiang katangian ng pare-parehong paggalaw sa isang bilog
Ang uniporme circular motion ay isang espesyal na kaso ng curvilinear motion. Ang paggalaw sa kahabaan ng isang bilog na may bilis na pare-pareho ang modulo () ay pinabilis. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa isang pare-parehong modulus, ang direksyon ng bilis ay nagbabago sa lahat ng oras.
Pagpapabilis ng isang materyal na punto na pantay na gumagalaw sa isang bilog
Ang tangential component ng acceleration sa pare-parehong paggalaw ng isang punto kasama ang isang bilog ay katumbas ng zero.
Ang normal na bahagi ng acceleration (centripetal acceleration) ay nakadirekta sa radius patungo sa gitna ng bilog (tingnan ang Figure 13). Sa anumang punto sa bilog, ang normal na acceleration vector ay patayo sa velocity vector. Ang acceleration ng isang materyal na punto na gumagalaw nang pantay sa isang bilog sa alinman sa mga punto nito ay centripetal.
angular acceleration. Relasyon sa pagitan ng mga linear at angular na dami
Ang angular acceleration ay isang vector quantity na tinutukoy ng unang derivative ng angular velocity na may kinalaman sa oras.
Direksyon ng angular acceleration vector
Kapag ang katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis, ang angular acceleration vector ay nakadirekta kasama ang rotation axis patungo sa vector ng elementarya na pagtaas ng angular velocity.
Sa pinabilis na paggalaw, ang vector ay nakahanay sa vector, na may mabagal na paggalaw, ito ay kabaligtaran nito. Ang isang vector ay isang pseudo-vector.
Ang yunit ng angular acceleration ay .
Relasyon sa pagitan ng mga linear at angular na dami
(-- radius ng bilog; -- linear velocity; -- tangential acceleration; -- normal acceleration; -- angular velocity).
na may mga linear na halaga.
Angular na paggalaw- isang dami ng vector na nagpapakilala sa pagbabago sa angular coordinate sa proseso ng paggalaw nito.
Angular na bilis- pisikal na dami ng vector na nagpapakilala sa bilis ng pag-ikot ng katawan. Ang angular velocity vector ay katumbas ng magnitude sa anggulo ng pag-ikot ng katawan sa bawat yunit ng oras:
at nakadirekta kasama ang axis ng pag-ikot ayon sa panuntunan ng gimlet, iyon ay, sa direksyon kung saan ang gimlet na may kanang-kamay na sinulid ay i-screwed kung ito ay iikot sa parehong direksyon.
Ang yunit ng pagsukat ng angular velocity na pinagtibay sa SI at CGS system) ay mga radian bawat segundo. (Tandaan: ang radian, tulad ng anumang yunit ng pagsukat ng anggulo, ay pisikal na walang dimensyon, kaya ang pisikal na dimensyon ng angular na bilis ay simple ). Gumagamit din ang pamamaraan ng mga rebolusyon bawat segundo, mas madalas - mga degree sa bawat segundo, mga degree sa bawat segundo. Marahil, ang mga rebolusyon bawat minuto ay madalas na ginagamit sa teknolohiya - ito ay nangyayari mula noong mga oras na ang bilis ng pag-ikot ng mga low-speed na steam engine ay tinutukoy sa pamamagitan lamang ng "manu-manong" pagbibilang ng bilang ng mga rebolusyon bawat yunit ng oras.
Ang (instantaneous) velocity vector ng anumang punto ng isang (ganap na) matibay na katawan na umiikot sa isang angular na bilis ay ibinibigay ng:
kung saan matatagpuan ang radius vector sa ibinigay na punto mula sa pinanggalingan sa axis ng pag-ikot ng katawan, at ang mga square bracket ay tumutukoy sa produkto ng vector. Ang linear na bilis (kasabay ng modulus ng velocity vector) ng isang punto sa isang tiyak na distansya (radius) r mula sa axis ng pag-ikot ay maaaring isaalang-alang bilang mga sumusunod: v = rω. Kung ang ibang mga yunit ng mga anggulo ay ginagamit sa halip na mga radian, pagkatapos ay sa huling dalawang formula ay lilitaw ang isang multiplier na hindi katumbas ng isa.
Sa kaso ng pag-ikot ng eroplano, ibig sabihin, kapag ang lahat ng velocity vectors ng mga punto ng katawan ay namamalagi (palaging) sa parehong eroplano ("plane of rotation"), ang angular velocity ng katawan ay palaging patayo sa eroplanong ito, at sa katunayan - kung ang eroplano ng pag-ikot ay kilala nang maaga - maaaring mapalitan ng isang scalar - projection papunta sa isang axis orthogonal sa eroplano ng pag-ikot. Sa kasong ito, ang kinematics ng pag-ikot ay lubos na pinasimple, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang angular na bilis ay maaaring magbago ng direksyon sa paglipas ng panahon sa tatlong-dimensional na espasyo, at ang gayong pinasimple na larawan ay hindi gumagana.
Ang derivative ng angular velocity na may paggalang sa oras ay ang angular acceleration.
Ang paggalaw na may pare-parehong angular velocity vector ay tinatawag na unipormeng rotational motion (sa kasong ito, ang angular acceleration ay zero).
Ang angular velocity (tinuturing bilang isang libreng vector) ay pareho sa lahat ng inertial frames of reference, gayunpaman, sa iba't ibang inertial frame of reference, ang axis o sentro ng pag-ikot ng parehong partikular na katawan sa parehong sandali ng oras ay maaaring mag-iba (na ay, magkakaroon ng ibang "punto ng aplikasyon" ng angular na bilis).
Sa kaso ng paggalaw ng isang punto sa tatlong-dimensional na espasyo, maaari kang magsulat ng isang expression para sa angular na bilis ng puntong ito na nauugnay sa napiling pinagmulan:
Nasaan ang radius vector ng punto (mula sa pinanggalingan), ay ang bilis ng puntong ito. - produkto ng vector, - produkto ng scalar ng mga vector. Gayunpaman, ang formula na ito ay hindi natatanging tinutukoy ang angular velocity (sa kaso ng isang solong punto, maaari kang pumili ng iba pang mga vectors na angkop sa pamamagitan ng kahulugan, kung hindi - arbitraryo - pagpili ng direksyon ng axis ng pag-ikot), ngunit para sa pangkalahatang kaso (kapag ang katawan ay may kasamang higit sa isang materyal na punto) - ang formula na ito ay hindi totoo para sa angular na bilis ng buong katawan (dahil nagbibigay ito ng iba't ibang mga halaga para sa bawat punto, at sa panahon ng pag-ikot ng isang ganap na matibay na katawan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang angular velocity ng pag-ikot nito ay ang tanging vector). Sa lahat ng ito, sa dalawang-dimensional na kaso (ang kaso ng pag-ikot ng eroplano) ang pormula na ito ay sapat na, hindi malabo at tama, dahil sa partikular na kaso na ito ang direksyon ng axis ng pag-ikot ay tiyak na natatanging tinutukoy.
Sa kaso ng pare-parehong rotational motion (iyon ay, motion na may pare-parehong angular velocity vector), ang Cartesian coordinates ng mga punto ng katawan na umiikot sa ganitong paraan ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations na may angular (cyclic) frequency na katumbas ng modulus ng angular. vector ng bilis.
Kapag sinusukat ang angular velocity sa mga revolutions per second (r/s), ang modulus ng angular velocity ng pare-parehong rotational motion ay pareho sa rotational speed f, sinusukat sa hertz (Hz)
(iyon ay, sa naturang mga yunit).
Sa kaso ng paggamit ng karaniwang pisikal na yunit ng angular velocity - radians per second - ang modulus ng angular velocity ay nauugnay sa rotational speed tulad ng sumusunod:
Sa wakas, kapag gumagamit ng mga degree sa bawat segundo, ang kaugnayan sa RPM ay magiging:
Angular acceleration- pseudovector na pisikal na dami na nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng angular velocity ng isang matibay na katawan.
Kapag ang isang katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis, ang angular acceleration modulo ay:
Ang angular acceleration vector α ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pag-ikot (sa gilid na may pinabilis na pag-ikot at sa kabaligtaran - na may mabagal na pag-ikot).
Kapag umiikot sa paligid ng isang nakapirming punto, ang angular acceleration vector ay tinutukoy bilang ang unang derivative ng angular velocity vector ω na may paggalang sa oras, iyon ay
at nakadirekta nang tangential sa hodograph ng vector sa kaukulang punto nito.
May kaugnayan sa pagitan ng tangential at angular accelerations:
kung saan ang R ay ang radius ng curvature ng point trajectory sa isang naibigay na oras. Kaya, ang angular acceleration ay katumbas ng pangalawang derivative ng anggulo ng pag-ikot na may paggalang sa oras o ang unang derivative ng angular velocity na may paggalang sa oras. Ang angular acceleration ay sinusukat sa rad/sec2.
Angular Velocity at Angular Acceleration
Isaalang-alang ang isang matibay na katawan na umiikot sa isang nakapirming axis. Pagkatapos, ang mga indibidwal na punto ng katawan na ito ay maglalarawan ng mga bilog ng iba't ibang radii, ang mga sentro nito ay nasa axis ng pag-ikot. Hayaang gumalaw ang ilang punto sa isang bilog ng radius R(Larawan 6). Ang posisyon nito pagkatapos ng isang yugto ng panahon D t itakda ang anggulo D. Ang mga pag-ikot ng elementarya (walang hanggan maliit) ay maaaring ituring bilang mga vector (sila ay tinutukoy ng o ) . Ang module ng vector ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot, at ang direksyon nito ay nag-tutugma sa direksyon ng paggalaw ng pagsasalin ng dulo ng tornilyo, ang ulo nito ay umiikot sa direksyon ng paggalaw ng punto kasama ang bilog, i.e. sumusunod tamang panuntunan ng turnilyo(Larawan 6). Ang mga vector na ang mga direksyon ay nauugnay sa direksyon ng pag-ikot ay tinatawag mga pseudovector o axial vectors. Ang mga vector na ito ay walang tiyak na mga punto ng aplikasyon: maaari silang iguhit mula sa anumang punto sa rotation axis.
angular velocity ay tinatawag na dami ng vector na katumbas ng unang derivative ng anggulo ng pag-ikot ng katawan na may paggalang sa oras:
Ang vector ay nakadirekta sa kahabaan ng rotation axis ayon sa tamang panuntunan ng turnilyo, i.e. kapareho ng vector (Larawan 7). Dimensyon ng angular velocity dim w =T - 1 , at ang yunit nito ay radian bawat segundo (rad/s).
Point Linear Speed (Tingnan ang Fig. 6)
Sa vector form, ang formula para sa linear velocity ay maaaring isulat bilang cross product:
Sa kasong ito, ang module ng produkto ng vector, sa pamamagitan ng kahulugan, ay pantay, at ang direksyon ay tumutugma sa direksyon ng paggalaw ng pagsasalin ng kanang turnilyo kapag ito ay umiikot mula sa R.
Kung ( = const, ang pag-ikot ay pare-pareho at maaaring mailalarawan panahon ng pag-ikot T - ang oras kung saan ang punto ay gumagawa ng isang kumpletong rebolusyon, i.e. umiikot sa isang anggulo na 2p. Mula sa pagitan ng oras D t= T tumutugma sa = 2p, pagkatapos ay = 2p/ T, saan
Ang bilang ng mga kumpletong rebolusyon na ginawa ng katawan sa panahon ng pare-parehong paggalaw nito sa isang bilog bawat yunit ng oras ay tinatawag na dalas ng pag-ikot:
Ang angular acceleration ay isang vector quantity na katumbas ng unang derivative ng angular velocity na may kinalaman sa oras:
Kapag ang katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis, ang angular acceleration vector ay nakadirekta kasama ang rotation axis patungo sa vector ng elementarya na pagtaas ng angular velocity. Sa pinabilis na paggalaw, ang vector ay co-directed sa vector (Larawan 8), na may mabagal na paggalaw, ito ay kabaligtaran nito (Larawan 9).
Tangential component ng acceleration
Normal na bahagi ng acceleration
Kaya, ang ugnayan sa pagitan ng linear (haba ng landas s dumaan sa punto sa kahabaan ng arko ng isang bilog na radius R, linear na bilis v, tangential acceleration , normal na acceleration ) at angular na dami (anggulo ng pag-ikot j, angular velocity w, angular acceleration e) ay ipinahayag ng mga sumusunod na formula:
Sa kaso ng pare-parehong variable na paggalaw ng isang punto sa kahabaan ng bilog (e=const)
kung saan ang w 0 ay ang inisyal na angular velocity.
Mga batas ni Newton.
Ang unang batas ni Newton. Timbang. Puwersa
Ang dinamika ay ang pangunahing sangay ng mekanika, ito ay batay sa tatlong batas ni Newton, na binuo niya noong 1687. Ang mga batas ni Newton ay gumaganap ng isang pambihirang papel sa mekanika at (tulad ng lahat ng pisikal na batas) ay isang generalisasyon ng mga resulta ng malawak na karanasan ng tao. Itinuturing sila bilang sistema ng magkakaugnay na mga batas at hindi lahat ng isang batas ay sumasailalim sa eksperimental na pagpapatunay, ngunit ang buong sistema sa kabuuan.
Ang unang batas ni Newton: Ang anumang materyal na punto (katawan) ay nagpapanatili ng isang estado ng pahinga o pare-parehong rectilinear na paggalaw hanggang ang epekto mula sa ibang mga katawan ay nagpapabago sa estado na ito. Ang pagnanais ng isang katawan na mapanatili ang isang estado ng pahinga o pare-parehong rectilinear motion ay tinatawag pagkawalang-kilos. Samakatuwid, ang unang batas ni Newton ay tinatawag din batas ng pagkawalang-galaw.
Ang mekanikal na paggalaw ay kamag-anak, at ang kalikasan nito ay nakasalalay sa frame ng sanggunian. Ang unang batas ni Newton ay hindi wasto sa anumang balangkas ng sanggunian, at ang mga sistemang may kaugnayan sa kung saan ito isinasagawa ay tinatawag na inertial reference system. Ang inertial frame of reference ay isang frame of reference, kung saan ang isang materyal na punto, malaya sa panlabas na impluwensya, alinman sa pahinga o gumagalaw nang pare-pareho at sa isang tuwid na linya. Ang unang batas ni Newton ay nagsasaad ng pagkakaroon ng inertial frames of reference.
Eksperimento na itinatag na ang heliocentric (stellar) na frame ng sanggunian ay maaaring ituring na inertial (ang pinagmulan ng mga coordinate ay nasa gitna ng Araw, at ang mga axes ay iginuhit sa direksyon ng ilang mga bituin). Ang reference frame na nauugnay sa Earth, sa mahigpit na pagsasalita, ay non-inertial, ngunit ang mga epekto dahil sa non-inertiality nito (ang Earth ay umiikot sa sarili nitong axis at sa paligid ng Araw) ay bale-wala sa paglutas ng maraming problema, at sa mga kasong ito ito maaaring ituring na inertial.
Mula sa karanasan ay kilala na sa ilalim ng parehong mga impluwensya, ang iba't ibang mga katawan ay nagbabago ng bilis ng kanilang paggalaw nang hindi pantay, ibig sabihin, sa madaling salita, nakakakuha ng iba't ibang mga acceleration. Ang pagpabilis ay nakasalalay hindi lamang sa laki ng epekto, kundi pati na rin sa mga katangian ng katawan mismo (sa masa nito).
Timbang katawan - isang pisikal na dami, na isa sa mga pangunahing katangian ng bagay, na tumutukoy sa inertial nito ( inertial mass) at gravitational ( gravitational mass) ari-arian. Sa kasalukuyan, maaari itong isaalang-alang na napatunayan na ang inertial at gravitational mass ay katumbas ng bawat isa (na may katumpakan na hindi bababa sa 10-12 ng kanilang mga halaga).
Upang ilarawan ang mga epekto na binanggit sa unang batas ni Newton, ipinakilala ang konsepto ng puwersa. Sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa, binabago ng mga katawan ang kanilang bilis ng paggalaw, ibig sabihin, nakakakuha ng mga acceleration (dynamic na pagpapakita ng mga puwersa), o deform, ibig sabihin, baguhin ang kanilang hugis at sukat (static na pagpapakita ng mga puwersa). Sa bawat sandali ng oras, ang puwersa ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang numerical na halaga, isang direksyon sa espasyo, at isang punto ng aplikasyon. Kaya, puwersa- ito ay isang dami ng vector, na isang sukatan ng mekanikal na epekto sa katawan mula sa iba pang mga katawan o mga patlang, bilang isang resulta kung saan ang katawan ay nakakakuha ng acceleration o nagbabago ang hugis at sukat nito.
Pangalawang batas ni Newton
Pangalawang batas ni Newton - ang pangunahing batas ng dynamics ng translational motion - sumasagot sa tanong kung paano nagbabago ang mekanikal na paggalaw ng isang materyal na punto (katawan) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat dito.
Kung isasaalang-alang natin ang pagkilos ng iba't ibang pwersa sa parehong katawan, lumalabas na ang acceleration na nakuha ng katawan ay palaging direktang proporsyonal sa resulta ng inilapat na pwersa:
a~f(t=const). (6.1)
Sa ilalim ng pagkilos ng parehong puwersa sa mga katawan na may iba't ibang masa, ang kanilang mga acceleration ay naiiba, ibig sabihin
isang ~ 1 /t (F= const). (6.2)
Gamit ang mga expression (6.1) at (6.2) at isinasaalang-alang na ang puwersa at acceleration ay mga dami ng vector, maaari nating isulat
a = kF/m. (6.3)
Ang ugnayan (6.3) ay nagpapahayag ng pangalawang batas ni Newton: ang pagbilis na nakuha ng isang materyal na punto (katawan), proporsyonal sa puwersang nagdudulot nito, kasabay nito sa direksyon at inversely proporsyonal sa masa ng materyal na punto (katawan).
Sa SI, ang proportionality factor k= 1. Pagkatapos
(6.4)
Isinasaalang-alang na ang masa ng isang materyal na punto (katawan) sa klasikal na mekanika ay isang pare-parehong halaga, sa pagpapahayag (6.4) maaari itong dalhin sa ilalim ng tanda ng derivative:
Dami ng vector
numerical na katumbas ng produkto ng masa ng isang materyal na punto at ang bilis nito at may direksyon ng bilis, ay tinatawag na momentum (momentum) materyal na puntong ito.
Ang pagpapalit ng (6.6) sa (6.5), makuha namin
Ang ekspresyong ito - mas pangkalahatang pagbabalangkas ng ikalawang batas ni Newton: ang rate ng pagbabago ng momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng puwersang kumikilos dito. Ang expression (6.7) ay tinatawag ang equation ng paggalaw ng isang materyal na punto.
Yunit ng puwersa sa SI - newton(N): 1 N ay isang puwersa na nagbibigay ng acceleration ng 1 m / s 2 sa isang mass na 1 kg sa direksyon ng puwersa:
1 N \u003d 1 kg × m / s 2.
Ang pangalawang batas ni Newton ay may bisa lamang sa mga inertial frames of reference. Ang unang batas ni Newton ay maaaring hango sa pangalawa. Sa katunayan, kung ang resultang puwersa ay katumbas ng zero (sa kawalan ng impluwensya sa katawan mula sa ibang mga katawan), ang acceleration (tingnan ang (6.3)) ay katumbas din ng zero. Gayunpaman Ang unang batas ni Newton itinuturing bilang malayang batas(at hindi bilang kinahinatnan ng pangalawang batas), dahil siya ang naggigiit ng pagkakaroon ng inertial frames of reference, kung saan ang equation (6.7) lamang ang natutugunan.
Sa mekanika, ito ay napakahalaga prinsipyo ng kalayaan ng pagkilos ng mga pwersa: kung maraming puwersa ang kumikilos nang sabay-sabay sa isang materyal na punto, kung gayon ang bawat isa sa mga puwersang ito ay nagbibigay ng pagbilis sa materyal na punto ayon sa ikalawang batas ni Newton, na parang walang ibang pwersa. Ayon sa prinsipyong ito, ang mga puwersa at acceleration ay maaaring mabulok sa mga bahagi, ang paggamit nito ay humahantong sa isang makabuluhang pagpapasimple ng paglutas ng problema. Halimbawa, sa fig. 10 kumikilos na puwersa F= m a ay nabubulok sa dalawang bahagi: tangential force F t , (nakadirekta nang tangential sa trajectory) at normal na puwersa F n(nakadirekta kasama ang normal sa gitna ng curvature). Paggamit ng mga expression at , pati na rin , maaari kang sumulat:
Kung ang ilang mga puwersa ay kumikilos nang sabay-sabay sa isang materyal na punto, kung gayon, ayon sa prinsipyo ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa, ang F sa ikalawang batas ni Newton ay nauunawaan bilang ang nagresultang puwersa.
Pangatlong batas ni Newton
Ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga materyal na punto (katawan) ay tinutukoy ng Pangatlong batas ni Newton: anumang pagkilos ng mga materyal na punto (katawan) sa bawat isa ay may katangian ng pakikipag-ugnayan; ang mga puwersa kung saan kumikilos ang mga materyal na punto sa isa't isa ay palaging pantay sa ganap na halaga, magkasalungat na nakadirekta at kumikilos sa tuwid na linya na nagkokonekta sa mga puntong ito:
F 12 = - F 21, (7.1)
kung saan ang F 12 ay ang puwersang kumikilos sa unang materyal na punto mula sa pangalawa;
F 21 - puwersang kumikilos sa pangalawang materyal na punto mula sa una. Ang mga puwersang ito ay inilalapat sa magkaiba materyal na mga punto (katawan), palaging kumilos dalawahan at ang mga pwersa isang kalikasan.
Ang ikatlong batas ni Newton ay nagpapahintulot sa paglipat mula sa dinamika magkahiwalay materyal na punto sa dinamika mga sistema materyal na puntos. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na para sa isang sistema ng mga materyal na puntos, ang pakikipag-ugnayan ay nabawasan sa mga puwersa ng pares na pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga materyal na punto.
Ang paggalaw ng isang pinahabang katawan na ang mga sukat ay hindi maaaring pabayaan sa ilalim ng mga kondisyon ng problemang isinasaalang-alang. Ang katawan ay ituturing na hindi deformable, sa madaling salita, ganap na matibay.
Ang kilusan kung saan anuman ang isang tuwid na linya na konektado sa isang gumagalaw na katawan ay nananatiling parallel sa sarili nito, ay tinatawag progresibo.
Ang isang tuwid na linya na "mahigpit na konektado sa isang katawan" ay nauunawaan bilang isang tuwid na linya, ang distansya mula sa anumang punto kung saan sa anumang punto ng katawan ay nananatiling pare-pareho sa panahon ng paggalaw nito.
Ang paggalaw ng pagsasalin ng isang ganap na matibay na katawan ay maaaring makilala sa pamamagitan ng paggalaw ng anumang punto ng katawan na ito, dahil sa paggalaw ng pagsasalin ang lahat ng mga punto ng katawan ay gumagalaw na may parehong mga bilis at accelerations, at ang mga tilapon ng kanilang paggalaw ay magkatugma. Ang pagkakaroon ng pagtukoy sa paggalaw ng alinman sa mga punto ng isang matibay na katawan, sa parehong oras ay tutukuyin natin ang paggalaw ng lahat ng iba pang mga punto nito. Samakatuwid, kapag inilalarawan ang paggalaw ng pagsasalin, walang mga bagong problema ang lumitaw kung ihahambing sa kinematics ng isang materyal na punto. Ang isang halimbawa ng paggalaw ng pagsasalin ay ipinapakita sa fig. 2.20.
Fig.2.20. Pagsasalin ng paggalaw ng katawan
Ang isang halimbawa ng translational motion ay ipinapakita sa sumusunod na figure:
Fig.2.21. Planar na paggalaw ng katawan
Ang isa pang mahalagang partikular na kaso ng paggalaw ng isang matibay na katawan ay ang paggalaw kung saan ang dalawang punto ng katawan ay nananatiling nakatigil.
Ang isang paggalaw kung saan ang dalawang punto ng katawan ay nananatiling nakatigil ay tinatawag pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis.
Ang linya na nagkokonekta sa mga puntong ito ay naayos din at tinatawag axis ng pag-ikot.
Fig.2.22. Pag-ikot ng isang matibay na katawan
Sa gayong paggalaw, ang lahat ng mga punto ng katawan ay gumagalaw sa mga bilog na matatagpuan sa mga eroplano na patayo sa axis ng pag-ikot. Ang mga sentro ng mga bilog ay namamalagi sa axis ng pag-ikot. Sa kasong ito, ang axis ng pag-ikot ay maaari ding matatagpuan sa labas ng katawan.
Video 2.4. Mga paggalaw ng pagsasalin at pag-ikot.
Angular velocity, angular acceleration. Kapag ang isang katawan ay umiikot sa paligid ng isang axis, ang lahat ng mga punto nito ay naglalarawan ng mga bilog na may iba't ibang radii at, samakatuwid, ay may iba't ibang mga displacement, bilis, at accelerations. Gayunpaman, posibleng ilarawan ang rotational motion ng lahat ng punto ng katawan sa parehong paraan. Para dito, ginagamit ang iba pang (kumpara sa isang materyal na punto) mga kinematic na katangian ng paggalaw - anggulo ng pag-ikot, angular na bilis, angular na acceleration.
kanin. 2.23. Mga vector ng acceleration ng isang punto na gumagalaw sa isang bilog
Ang papel ng displacement sa rotational motion ay ginagampanan ng maliit na turn vector, sa paligid ng axis ng pag-ikot 00" (Larawan 2.24.). Magiging pareho ito para sa anumang punto ganap na matibay na katawan(halimbawa, mga tuldok 1, 2, 3 ).
kanin. 2.24. Pag-ikot ng isang perpektong matibay na katawan tungkol sa isang nakapirming axis
Ang module ng vector ng pag-ikot ay katumbas ng halaga ng anggulo ng pag-ikot, at ang anggulo ay sinusukat sa radians.
Ang vector ng isang infinitesimal na pag-ikot sa kahabaan ng axis ng pag-ikot ay nakadirekta patungo sa paggalaw ng kanang turnilyo (gimlet) na pinaikot sa parehong direksyon tulad ng katawan.
Video 2.5. Ang mga huling angular na displacement ay hindi mga vector, dahil hindi sila nagdaragdag ayon sa parallelogram rule. Ang mga walang katapusang maliit na angular na displacement ay mga vector.
Tinatawag ang mga vector na ang mga direksyon ay nauugnay sa panuntunan ng gimlet ng ehe(mula sa English. aksis- axis) bilang laban sa polar. vectors na ginamit natin kanina. Ang mga polar vector ay, halimbawa, ang radius vector, ang velocity vector, ang acceleration vector, at ang force vector. Ang mga axial vectors ay tinatawag ding mga pseudovectors, dahil naiiba sila sa mga true (polar) na vector sa kanilang pag-uugali sa panahon ng operasyon ng pagmuni-muni sa salamin (inversion o, na pareho, ang paglipat mula sa kanan patungo sa kaliwang coordinate system). Maaari itong ipakita (ito ay gagawin sa ibang pagkakataon) na ang pagdaragdag ng mga vector ng mga infinitesimal na pag-ikot ay nangyayari sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag ng mga tunay na vector, iyon ay, ayon sa parallelogram (tatsulok) na panuntunan. Samakatuwid, kung ang pagpapatakbo ng pagmuni-muni sa isang salamin ay hindi isinasaalang-alang, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pseudovector at totoong mga vector ay hindi nagpapakita ng sarili sa anumang paraan at posible at kinakailangan na tratuhin ang mga ito bilang mga ordinaryong (totoo) na mga vector.
Ang ratio ng vector ng isang infinitesimal na pag-ikot sa oras kung kailan naganap ang pag-ikot na ito
tinawag angular na bilis ng pag-ikot.
Ang pangunahing yunit para sa pagsukat ng magnitude ng angular velocity ay rad/s. Sa mga nakalimbag na publikasyon, para sa mga kadahilanang walang kinalaman sa pisika, madalas silang sumulat 1/s o mula sa -1 na, mahigpit na pagsasalita, ay hindi totoo. Ang anggulo ay isang walang sukat na dami, ngunit ang mga yunit ng pagsukat nito ay magkaiba (degrees, rhumbs, grads ...) at dapat silang ipahiwatig, kahit man lang upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan.
Video 2.6. Stroboscopic effect at ang paggamit nito para sa malayuang pagsukat ng angular velocity ng pag-ikot.
Ang angular velocity, tulad ng vector kung saan ito ay proporsyonal, ay isang axial vector. Kapag umiikot hindi gumagalaw axis angular velocity ay hindi nagbabago ng direksyon nito. Sa pare-parehong pag-ikot, ang halaga nito ay nananatiling pare-pareho, upang ang vector . Sa kaso ng sapat na constancy sa oras ng halaga ng angular velocity, ang pag-ikot ay maaaring maginhawang mailalarawan sa pamamagitan ng panahon nito T :
Panahon ng pag-ikot- ito ang oras kung saan ang katawan ay gumagawa ng isang rebolusyon (pag-ikot sa isang anggulo ng 2π) sa paligid ng axis ng pag-ikot.
Ang mga salitang "sapat na katatagan" ay malinaw na nangangahulugan na sa panahon (sa panahon ng isang rebolusyon) ang module ng angular velocity ay hindi gaanong nagbabago.
Madalas ding ginagamit bilang ng mga rebolusyon bawat yunit ng oras
Kasabay nito, sa mga teknikal na aplikasyon (una sa lahat, lahat ng uri ng mga makina), kaugalian na kumuha ng hindi isang segundo, ngunit isang minuto bilang isang yunit ng oras. Iyon ay, ang angular na bilis ng pag-ikot ay ipinahiwatig sa mga rebolusyon bawat minuto. Gaya ng madali mong nakikita, ang ugnayan sa pagitan ng (sa radians bawat segundo) at (sa mga rebolusyon kada minuto) ay ang mga sumusunod
Ang direksyon ng angular velocity vector ay ipinapakita sa fig. 2.25.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa linear acceleration, ang angular acceleration ay ipinakilala bilang ang rate ng pagbabago ng angular velocity vector. Ang angular acceleration ay isa ring axial vector (pseudovector).
Angular acceleration - axial vector na tinukoy bilang ang derivative ng oras ng angular velocity
Kapag umiikot tungkol sa isang nakapirming axis, mas pangkalahatan kapag umiikot tungkol sa isang axis na nananatiling parallel sa sarili nito, ang angular velocity vector ay nakadirekta din parallel sa axis ng pag-ikot. Sa pagtaas ng halaga ng angular velocity || angular acceleration ay kasabay nito sa direksyon, habang bumababa - ito ay nakadirekta sa tapat na direksyon. Binibigyang-diin namin na ito ay isang espesyal na kaso lamang ng invariance ng direksyon ng axis ng pag-ikot, sa pangkalahatang kaso (pag-ikot sa paligid ng isang punto) ang axis ng pag-ikot mismo ay umiikot at pagkatapos ay ang nasa itaas ay hindi totoo.
Koneksyon ng angular at linear velocities at accelerations. Ang bawat isa sa mga punto ng umiikot na katawan ay gumagalaw na may isang tiyak na linear na bilis na nakadirekta nang tangential sa kaukulang bilog (tingnan ang Fig. 19). Hayaang umikot ang punto ng materyal sa paligid ng axis 00" sa paligid ng isang bilog na may radius R. Para sa isang maliit na yugto ng panahon, ito ay dadaan sa landas na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot. Pagkatapos
Ang pagpasa sa limitasyon , nakakakuha kami ng isang expression para sa modulus ng linear velocity ng isang punto ng isang umiikot na katawan.
Recall dito R- distansya mula sa itinuturing na punto ng katawan hanggang sa axis ng pag-ikot.
kanin. 2.26.
Dahil ang normal na acceleration ay
pagkatapos, isinasaalang-alang ang relasyon para sa angular at linear na bilis, nakuha namin
Ang normal na acceleration ng mga puntos sa isang umiikot na matibay na katawan ay madalas na tinutukoy bilang centripetal acceleration.
Differentiating na may paggalang sa oras ang expression para sa , nakita namin
kung saan ay ang tangential acceleration ng isang punto na gumagalaw kasama ng isang bilog na may radius R.
Kaya, ang parehong tangential at normal na mga acceleration ay lumalaki nang linear na may pagtaas ng radius R- distansya mula sa axis ng pag-ikot. Ang kabuuang acceleration ay depende rin sa linearly R :
Halimbawa. Hanapin natin ang linear velocity at centripetal acceleration ng mga puntos na nasa ibabaw ng mundo sa ekwador at sa latitude ng Moscow ( = 56°). Alam natin ang panahon ng pag-ikot ng Earth sa paligid ng sarili nitong axis T \u003d 24 na oras \u003d 24x60x60 \u003d 86,400 s. Mula dito ay ang angular velocity ng pag-ikot
Ang ibig sabihin ng radius ng Earth
Ang distansya sa axis ng pag-ikot sa latitude ay
Mula dito makikita natin ang linear velocity
at centripetal acceleration
Sa ekwador = 0, cos = 1, samakatuwid,
Sa latitude ng Moscow cos = cos 56° = 0.559 at makuha namin:
Nakikita natin na ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth ay hindi masyadong malaki: ang ratio ng centripetal acceleration sa equator sa free fall acceleration ay
Gayunpaman, tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang mga epekto ng pag-ikot ng Earth ay lubos na nakikita.
Relasyon sa pagitan ng linear at angular velocity vectors. Ang mga ugnayan sa pagitan ng angular at linear na bilis na nakuha sa itaas ay isinulat para sa mga module ng mga vector at . Upang isulat ang mga ugnayang ito sa anyong vector, ginagamit namin ang konsepto ng produkto ng vector.
Hayaan 0z- ang axis ng pag-ikot ng isang ganap na matibay na katawan (Larawan 2.28).
kanin. 2.28. Relasyon sa pagitan ng linear at angular velocity vectors
Dot PERO umiikot sa bilog na may radius R. R- distansya mula sa axis ng pag-ikot hanggang sa itinuturing na punto ng katawan. Kumuha tayo ng isang punto 0 para sa pinagmulan ng mga coordinate. Pagkatapos
at mula noon
pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng produkto ng vector, para sa lahat ng mga punto ng katawan
Narito ang radius vector ng punto ng katawan, simula sa punto O, na nakahiga sa isang arbitrary na nakapirming lugar, kinakailangan sa axis ng pag-ikot
Ngunit sa kabilang panig
Ang unang termino ay katumbas ng zero, dahil ang vector product ng collinear vectors ay katumbas ng zero. Kaya naman,
kung saan ang vector R ay patayo sa axis ng pag-ikot at nakadirekta palayo dito, at ang modulus nito ay katumbas ng radius ng bilog kung saan gumagalaw ang materyal na punto at ang vector na ito ay nagsisimula sa gitna ng bilog na ito.
kanin. 2.29. Sa kahulugan ng instantaneous axis ng pag-ikot
Ang normal (centripetal) acceleration ay maaari ding isulat sa vector form:
at ang sign na "-" ay nagpapakita na ito ay nakadirekta sa axis ng pag-ikot. Ang pagkakaiba-iba ng kaugnayan para sa linear at angular na bilis na may paggalang sa oras, nakita namin ang expression para sa kabuuang acceleration
Ang unang termino ay nakadirekta nang tangential sa trajectory ng isang punto sa isang umiikot na katawan at ang modulus nito ay , dahil
Paghahambing sa expression para sa tangential acceleration, napagpasyahan namin na ito ang tangential acceleration vector
Samakatuwid, ang pangalawang termino ay ang normal na acceleration ng parehong punto:
Sa katunayan, ito ay nakadirekta kasama ang radius R sa axis ng pag-ikot at ang modulus nito ay katumbas ng
Samakatuwid, ang kaugnayang ito para sa normal na acceleration ay isa pang anyo ng pagsulat ng dating nakuhang formula.
karagdagang impormasyon
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Pangkalahatang kurso ng pisika, volume 1, Mechanics Ed. Science 1979 - pp. 242–243 (§46, p. 7): isang medyo mahirap unawain na tanong tungkol sa likas na vector ng mga angular na pag-ikot ng isang matibay na katawan ay tinalakay;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Pangkalahatang kurso ng pisika, volume 1, Mechanics Ed. Science 1979 - pp. 233–242 (§45, §46 pp. 1–6): agarang axis ng pag-ikot ng isang matibay na katawan, pagdaragdag ng mga pag-ikot;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - Kvant magazine - basketball throw kinematics (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - Kvant magazine, 2003, No. 6, - pp. 5–11, larangan ng madalian na bilis ng isang matibay na katawan (S. Krotov);
Mga anggulo ng Euler, mga anggulo ng sasakyang panghimpapawid (barko).
Ayon sa kaugalian, ang mga anggulo ng Euler ay ipinakilala bilang mga sumusunod. Ang paglipat mula sa posisyon ng sanggunian patungo sa aktwal na isa ay isinasagawa sa pamamagitan ng tatlong pagliko (Larawan 4.3):
1. Umikot sa kanto pangunguna Kasabay nito, napupunta ito sa posisyon, (c) .
2. Umikot sa kanto nutation. Kung saan, . (4.10)
4. Umikot sa kanto sariling (purong) pag-ikot
Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, ang Fig. 4.4 ay nagpapakita ng isang tuktok at ang mga anggulo ng Euler na naglalarawan dito
Ang paglipat mula sa posisyon ng sanggunian patungo sa aktwal na isa ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng tatlong pagliko (iikot ito sa iyong sarili!) (Larawan 4.5):
1. Umikot sa kanto yaw, kung saan
2. Umikot sa paligid ayon sa anggulo ng pitch, habang (4.12)
3.Igulong anggulo sa paligid
Ang pananalitang "magagawa" ay hindi sinasadya; hindi mahirap maunawaan na posible ang iba pang mga opsyon, halimbawa, mga pag-ikot sa paligid ng mga nakapirming axes
1. Umikot sa kanto gumulong(sa panganib na mabali ang mga pakpak)
2. Umikot sa kanto pitch(pagtaas ng "ilong") (4.13)
3. Paikot-ikot sa isang anggulo yaw
Gayunpaman, kailangan ding patunayan ang pagkakakilanlan ng (4.12) at (4.13).
Sumulat tayo ng malinaw na formula ng vector para sa vector ng posisyon ng anumang punto (Larawan 4.6) sa anyong matrix. Hanapin ang mga coordinate ng vector na nauugnay sa batayan ng sanggunian. Palawakin natin ang vector ayon sa aktwal na batayan at ipakilala ang isang "inilipat" na vector na ang mga coordinate sa reference na batayan ay katumbas ng mga coordinate ng vector sa aktwal na isa; sa madaling salita, - isang vector na "pinaikot" kasama ng katawan (Fig.4.6).
| kanin. 4.6. |
Ang pagpapalawak ng mga vector ayon sa batayan ng sanggunian, nakuha namin
Ipinakilala namin ang isang rotation matrix at mga column,
Ang vector formula sa matrix notation ay may anyo
1. Ang rotation matrix ay orthogonal, i.e.
Ang patunay ng pahayag na ito ay ang formula (4.9)
Ang pagkalkula ng determinant ng produkto (4.15), nakuha namin at dahil sa posisyon ng sanggunian, kung gayon (orthogonal matrice na may determinant na katumbas ng (+1) ay tinatawag na nararapat orthogonal o rotation matrices). Ang rotation matrix, kapag pinarami ng mga vector, ay hindi nagbabago ng alinman sa mga haba ng mga vector o ang mga anggulo sa pagitan nila, i.e. sila talaga lumiliko.
2. Ang rotation matrix ay may isang eigenvector (fixed) na tumutukoy sa axis ng rotation. Sa madaling salita, ito ay kinakailangan upang ipakita na ang sistema ng mga equation kung saan ay may isang natatanging solusyon. Isinulat namin ang sistema sa anyo (. Ang determinant ng homogenous na sistemang ito ay katumbas ng zero, dahil
kaya ang sistema ay may non-zero na solusyon. Sa pag-aakala na mayroong dalawang solusyon, agad kaming dumating sa konklusyon na ang isang patayo sa kanila ay isang solusyon din (ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector ay hindi nagbabago), na nangangahulugang i.e. walang turn..
| Fig.4.7 |
Matrix sa isang orthonormal na batayan
may hitsura.
2. Differentiating (4.15), nakukuha natin o, denoting - matrix pabalik (eng. to spin - twirl). Kaya, ang spin matrix ay skew-symmetric: . Ang pag-multiply mula sa kanan sa, makuha namin ang Poisson formula para sa rotation matrix:
Dumating kami sa pinakamahirap na sandali sa loob ng balangkas ng paglalarawan ng matrix - ang pagpapasiya ng angular velocity vector.
Maaari kang, siyempre, kumilos sa isang karaniwang paraan (tingnan, halimbawa, ang pamamaraan at isulat: " ipinakilala namin ang notasyon para sa mga elemento ng skew-symmetric matrix S ayon sa pormula
Kung gagawa tayo ng vector , kung gayon ang resulta ng pagpaparami ng isang matrix sa isang vector ay maaaring katawanin bilang isang cross product". Sa quote sa itaas - ang vector ng angular velocity.
Differentiating (4.14), nakuha namin ang representasyon ng matrix ng pangunahing formula para sa kinematics ng isang matibay na katawan :
Ang diskarte sa matrix, na maginhawa para sa mga kalkulasyon, ay napakaliit na angkop para sa pagsusuri at pagkuha ng mga relasyon; anumang formula na nakasulat sa vector at tensor language ay madaling maisulat sa isang matrix form, ngunit mahirap makakuha ng compact at expressive formula para sa paglalarawan ng anumang pisikal na phenomenon sa isang matrix form.
Bilang karagdagan, hindi dapat kalimutan ng isa na ang mga elemento ng matrix ay ang mga coordinate (mga bahagi) ng tensor sa ilang batayan. Ang tensor mismo ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan, ngunit ang mga bahagi nito ay nakasalalay. Para sa walang error na pagsulat sa matrix form, kinakailangan na ang lahat ng mga vector at tensor na kasama sa expression ay nakasulat sa parehong batayan, at ito ay hindi palaging maginhawa, dahil ang iba't ibang mga tensor ay may "simple" na anyo sa iba't ibang mga base, kaya ikaw kailangang muling kalkulahin ang mga matrice gamit ang mga transition matrice.
